H. Seifert- Uber das Geschlecht von Knoten

5/11/2018 H. Seifert- Uber das Geschlecht von Knoten - slidepdf.com

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TIber das Geschlecht von Knoten.

Von

H. Seifert in Dresden.

Im dreidimensionalen euklidisehen Raum liege ein Knoten f, das ist

ein aus endlieh vielen geradlinigen Streeken bestehender doppelpunktfreier

geschlossener Streckenzug. Beksnntlioh kann man in f eine singularitaten-

£reie orientierbare FHiehe 0 : einspannen, d. h. es gibt eine Flache 0 : , die

der Kugel mit h Henkeln und einem Loch homoomorph ist, so daI3 der

Lochrand gerade vom Knoten f gebildet wird. Unter allen Elachen, die

sich in f einspannen lassen, betrachten wir die mit einer moglichst kleinen

Henkelzahl. Diese minimale Henkelzahl heiI3t das Ges eh le ch t d es Knot en e,

das ubrigens nichts zu tun hat mit dem Geschlecht der unverknoteten

geschlossenen Flachen, auf die aich f doppelpunktfrei legen liiI3t und

wonach man die Knoten in Torusknoten, Brezelknoten usw. einteilt

(vgl. Satz 4). Dann und nur dann, wenn das Geschlecht 0 ist, ist f

in eine Kreislinie deformierbar. Es ist ein ungelostes Problem der

Knotentheorie, das Geschlecht eines beliebig vorgegebenen Knotens zu

bestimmen, '

Im £olgenden sollen nun einige Beziehungen zwischen den Homologie-

gruppen der Uberlagerungen des KnotenauJ3enraumes und dem Geschlecht

des Knotens angegeben werden, die wenigstens untere Schranken fUr das

Geschleoht des Knotens lie£ern (§ 1), und die in vielen Fallen, z. B. beiden 'I'orusknoten sowie bei allen Knoten der Alexander- Briggsschen

Knotentabelle eine genaue Bestimmung des Gesohlechtes ermogliohen (§ 2).

Die Methoden des § 1 werden in § 3 zur Untersuchung der Struktnr del"

Alexanderschen Polynominvariante benutzb, Es wird die notwendige und

hinreichende Bedingung daftlr angegeben, daB ein ganzzahliges Polynom

die Polynominvariante eines Knotens ist, und die Au£gabe gelost, zu vor-

gegebener Polynominvariante alle moglichen Knoten zu konstruieren. Ins-

besondere wird in § 4 ein Knoten angegeben, der in der Polynominvariante

und in den Homologiegruppen der samtlichen zyldischen 'Oberlagerungs-

mannig£altigkeiten mit der Kreislinie iibereinstimmt und doch nicht in

die Kreislinie deformierbar ist,

37*



5 7 2 H. Seifert.

§ l .

Untere Schranken liir das Geschlecht eines Knotens.

Zuerst sei eine Methode angegeben, naeh der man in jeden durch seine

ebene Projektion gegebenen K noten eine orientierbare Fliiche einspannen kann t).

Wir markieren auf f die Punkte, die den Doppelpunkten (Uberkreuaungs-

punkten) der Projektion entspreehen. f zerfallt hierdureh in 2 d "Teil-

strecken", wenn d die Anzahl der Doppelpunkte der Projektion ist. Die

Teilstrecken werden alle mit einer festen Orientierung versehen, die einer

bestimmten Durchlaufung von f entspricht. Ferner werden je zwei zu-

geordnete Teilpunkte auf f, das sind solche Punkte, die iiber demselben

Doppelpunkt der Projektion liegen, durch eine geradlinige "Verbindungs-

strecke" verbunden. Der aus den Teilstreeken und Verbindungsstreeken

bestehende Streekenkomplex wird nun auf folgende Weise in "Kreise"

eingeteilt. Man durehlauft eine Teilstrecke, wie es die festgesetzte Orien-

tierung angibt, danach die an den Endpunkt der Teilstrecke angrenzende

Verbindungsstrecke, darauf die von dem neuen Knotenpunkt ausgehendeTeilstrecke, dann wiedereine Verbindungsstreeke und so fort. ScblieLHich

kommt man einmal zum Ausgangspunkt zuriick. Gibt es danach eine

noch nicht durchlaufene Teilstreeke, so gibt sie zu einem neuen Kreise

Anla.l3. So mogen sich im ganzen t Kreise bilden lassen. Jede 'I'eilstrecke

Fig. 1. Fig. 2.

kommt in genau einem Kreise vor, jede Verbindungsstrecke dagegen in

zweien, von denen sie in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen wird.

Diese Kreise projizieren sich in die Ebene in doppelpunktfreie Polygone,

die einander offenbar nicht durchsetzen. Es wird nun in jeden Kreis ein

Elementarfliichenstiick eingespannt. wobei man annehmen kann, da.l3 sich

jedes Elementarflachenstttck, abgesehen von den Verbindungsstrecken, ein-

eindeutig in die Ebene projiziert und da.l3 zwei verschiedene Elementar-

flii.chenstiicke keinen mittleren Punkt gemeinsam haben. (Im Falle des

Knotens der Fig. 1 ist t =3, und die Elementariliichenstiieke sind in

der Fig. 2 in der Projektion angedeutet.)

1) Eine andere Methode findet sich bei F. Frankl und L. Pontrjagin, Ein Knoten-

satz mit Anwendung auf die Dimensionstheorie. Mat.h. Annalen 102 (1930), S.785.



Geschlecht von Knoten. 573

Die f Elementarflachenstticke bilden zusammen eine in den Knoten

eingespannte Flache. Sie ist orientierbar, da jede Verbindungsstrecke

von den beiden zugehorigen Kreisen in entgegengesetzten Richtungen

durchlaufen wird. Die Eulersche Charakteristik der Flache ist o££enbar

N = - - = -2d+3d-f = d-f,

ihr Geschlecht (Henkelzahl) also, da es sich um eine Flache mit emem

Loch handelt,

h =N+l =d--f+l22'

So hat man in dem in der Fig. 1 gezeichneten Knoten d =4, f =3,

also h =1; die eingespannte Flaohe ist somit eine gelochte Ringflache,

und das Geschlecht des Knotens ist, da es nicht = 0 ist, =1.

Wir wenden uns nun der Untersuchung der Knoteniiberlagerungen

zu. Wir schliellen den euklidisohen Raum, in dem f liegt, durch einen

unendlich £ernen Punkt zur 3-Sphare 6 und bilden die g-bIattrige zykIische

Uberlagerung m g von 6, die den Knoten f zur einzigen Verzweigungsliniehat. Uber jedem Punkte von 6 liegen dann g Punkte von m i l, aus-

genommen die Punkte von f, iiber denen je ein Punkt von f f i 1 g liegt. Einem

gesohlossenen, f nicht treffenden Wege w von 6 entspricht dann und nur

dann ein geschlossener Weg in m g, wenn die Verschlingungszahl von w

mit f durch g teilbar ist. Durch diese Eigenschaften ist f f i 1 g eindeutig

bestimmt t]. Offenbar gestattet m g eine zyklische Deckbewegungsgruppe

der Ordnung g , bei der sich die iiber einem Punkt von 6 liegenden

Punkte zyklisch vertauschen. Wir zeichnen eine bestimmte Umsehlingung

des Knotens als die positive aus und bezeichnen die erzeugende Deck- .

bewegung, die einen Punkt in den naohsten iiberflihrt, mit x und dem-

entsprechend die iiber einem Punkte von 6 liegenden Punkte mit

P, x P, ... , xU-l P.

Spannt man nun in den Knoten f eine orientierbare Flache vom G e-

schlecht h (das grBBer als das Geschlecht des Knotens sein kann) ein, so

entsprechen ihr in m il 9 homoomorphe Elachen

lj, x~, ... , xg-10:,

2) Vergl. H. Seifert u. W. Threlfall. Topologie (Leipzig 1934), § 77. Dort

wird die 'Unverzueigte Vbel'lagerung dE'S "KnotenauJ3enraumes" betraohtet , hier

handelt es sioh urn die verzweigte Uberlagenmg •.bei del' del' Knoten Verzweigungs-

linie ist. Die Homologiegruppen del' beiden Raume unterscheiden sich duroh eine

freie Erzeugende. - Die g-blattrige unverzweigte zyklische Uberlagerung, und daher

auch die hier benutzte verzweigte, litBt sich ebenso gut wie mit Hilfe der Ve:r-sohlingungszahlen daduroh eharakterisieren, daB die Deckbewegungsgruppe zyklisch

von del' Ordnung gist. Vgl. das angefuhrte Buch S. 281.



574 H. Seifert.

die als gemeinsamen Rand die iiber f liegende Kurve haben, die wiederum

mit f bezeichnet sei, ID lg zerfallt durch diese Fldchen in g Teile, sog. Blatter,

IDl, x I D l, . . . , a _ : g - l I D l,

das sind berandete Mannigfaltigkeiten, die der Reihe nach von ~ und x~,

z ~ und Xl~, ••• , xg-1 ~ und ~ berandet werden. Ein einzelnes Blatt

wird offenbar auch dadurch erhalten, daf man 6 langs der in f ein-

gespannten Flsche "aufschneidet".

Wir berechnen jetzt die Homologiegruppe von ID lg und wahlen zu

dem Zwecke auf ~ 2 h geschlossene Kurven

die auf ~ homolog unabhangig seien, also etwa h Riickkehrschnittpaare.

x/ al, Xi a2, ••• , Xi a2 h

seien die entsprechenden Kurven auf Xi~. Wir ermitteln nun zuerst die

Homologiegruppe des ersten Blattes ID l. ID l wird von den FBi-chen ~

und X ~ berandet, auf denen die 4 h Kurven

l iegen. Die Fig. 3 zeigt die Oberflache von ! .m fiir h =1. (IDl selbst

ist nicht mit dargestellt; ID l ist also nicht etwa das Innere oder AuI3ere

Fig. 3.

der Doppelringflache). Es ist leicht zu sehen, daB diese 4 h Kurven die

Homologiegruppe S j von ID l erzeugen. Is t namlich 0 eine beliebige ge-

schlossene Kurve in IDl, so ist sie in der 3-Sphare 6, die durch Identi-

fizieren von .~ mit z ~ entsteht, nullhomolog, also Rand einer Fliiche q.

In ID f erscheint q als eine Fliiche, deren Rand aus 0 und einer (unter

Umstiinden aus mehreren oder null Teilen bestehenden) Kurve 0' des

Ra.ndes von IDl sich zusammensetzt. Also ist 0 '" - 0' und somit homolog

einer linearen Kombination der ak und x ak' Da iibrigens 0' beim Identi-

fizieren von ~ und x ~ verschwindet, so besteht genauer eine Relation

der Form2h

o '" 1: C X k (ak - x ak)'1.:=1 .



Geschleoht von Knoten,

Wendet man diese Uberlegung insbesondere auf die Kurven al' a2, ••• , ~h

an, so ergeben sieh die Relationen

(I )2h

at - J; ? 'ik(ak - xak) "" 0 (i =1, 2, ... , 2h).k=l

Dafur kann man aueh schreiben

(1 )2h 2h

}; I'.t. ikak + LPikxak ,,-,0 (i =1,2, ... , 2h),k=l k=l

wobei die Summe der quadratischen Matrizen (OCi le)=A und (Pik) =B

die Einheitsmatrix

A+B=Eist.

Wir behaupten, daB die Relationen (1) bereits ein vollstandiges Re-

lationensystem fur die Homologiegruppe i) des Blattes W l bilden. Es sei

namlichih 2h

} ; I'.t.fk ak + }; P ;kxak "" 0k=l k=l

(2 ) (i =1, 2, ... , m)

ein vollstandiges System unabhlingiger Relationen, unsbhangig in dem

Sinne, daB keine lineare Beziehung mit nicht samtlich verschwindenden

Koeffizienten zwischen diesen Relationen besteht, oder was dasselbe ist,

daB die m-zeilige und 4 h-spaltige Koeffizientenmatrix (A', B') den Rang 'In

hat. Dann muf zunaohst 'In<2 h sein, denn dia Homologiegruppe 5 hat

mindestens so viele freie Erzeugende wie die Randflache von Wl Henkel

hat, also 2 h 8). Da anderseits die 2 h Relationen (I) wegen A + B =E

linear unabhsngig sind, so ist m>2 h, also m= h. Wegen der Voll-

standigkeit des Relationensystems (2) ist (I) eine Folge von (2); es gibt

also erne quadratisehe Matrix :::, ftir die gilt

:::A' =A, s B' =B,also

:::(A' + B') =A + B=E.

Geht man zu den Determinanten tiber, so ergibt sich hieraus

1 : : : 1 =± 1.

und deshalb ist auch umgekehrt (2) eine Folge von ( 1 ) und damit von (1).

Um hieraus die Homologiegruppe ~g der g-blattrigen 'trberlagerung

ro tg zu erhalten, benutzen wir den Satz von der Homologiegruppe eines

zusammengesetzten Komplexes. Er sagt aus, daB die Homologiegruppe

eines Komplezes ~, der aus zwei Teilkomplexen ~1 und ~s mit zusammen-

hiingendem Durchschnitt :l) besteht, die direkte Summa der Homologie-

gruppen von ~l und ~2 ist, in der man noch je zwei Elemente, die der-

8 ) Vergl. das S. 578 angefiihrte 'I'opologiebuoh, S. 223, Satz IV.

5 75



5 76 H. Seifert.

selben Kurve in l)entsprechen, zu identifizieren hat. Wendet man diesen

Satz (g - I)-mal auf die Teilkomplexe ID1,x I D 1 , . . . , XU -1 ID1an, aus denen

I D 1 g besteht, so ergeben sich als Erzeugende von i> g die 2 h g Knrven

wahrend die Relationen durch formale Multiplikation der Relationen (1)

mit z, X2, ... , XU-I erhalten werden. Dabei ist xs a, =av zu setzen.

Bezeichnet man in (1) die Matrix (Yik) mit r, so ist hiemach die Ko-

effizientenmatrix des Relationensystems die folgende g-reihige Matrix, deren

Elemente selbst 2h-reihige Matrizen sind (Nullen stehen fur 2h-reihige

Matrizen aus lauter Nullen):

E-r rOO

o E-r I 0

(3) 0 0 E - r 0

r o E-r

Wir werden nun durch Umformungen der Matrix (3) ein aquivalentes

Relationensystem zwischen denselben 2 g h Erzeugenden Xi ak ableiten, aus

dem hervorgehen wird, daB bereits die 2 h Kurven ai' ... , a!j h die Homo-

logiegrnppe i> u erzengen. Dazu betrachten wir zunachst die (g - n + 1)-

reihige Matrix- (y - I)" y" 0 0

0 I-y Y 0

( 4 " ) 0 0 1-- Y 0

y 0 0 I-y

in der y eine Unbestimmte bedentet.

Wir addieren die mit dem Polynom Q = 1+ y + ... + r::multiplizierte zweite Zeile zur ersten und erhalten:

_ (y _ I)"

oo

1

I-y

o

Qy

Y

I-y

l o o I-y

ooo

Addition der mit y - 1 multiplizierten ersten Zeile zur zweiten und Ver-

tauschung der ersten beiden Spalten liefert

1 - (y - 1)" Q y 0

o - (y - I)n+l yn+l 0

o 0 I-y 0

o o l-y



Geschlecht von Knoten.

Streicht man darin die erste Zeile und die erste Spalte, so ergibt sich

gerade die Matrix (4n+I), auf die man dieselben Umformungen anwenden

kann. So gelangt man, von der Matrix (41) ausgehend, schlielilich zu der

Matrix

I * *o I *o 0 I

***5)

000

Darin bedeuten die Sterne nicht naher zu bezeichnende Polynome. Jeder

elementaren Umformung der Polynommatrix (41) entspricht nun in der

ganzzahligen Matrix (3) eine Umformung, die zwar keine elementare Um-

formung ist, sich aber aus elementaren Umformungen zusammensetzt.

Dem Ubergang von W ) zu (5) entspricht so der Ubergang von (3) zu

der Matrix

**E

* *o E *o 0 E6) *

o0

Sie lii,Et sich ebenso wie die Matrix (3) als das Koeffizientenschema eines

Relationensystems fUr die Homologiegruppe ~q au££assen. Da bei dem

Ubergang von (3) zu (6) neben den Zeilenumformungen nur Spalten-

vertauschungen angewendet wurden, so stehen im oberen Eingang der

Matrix (6 ) bis auf die Reihenfolge dieselben Kurven wie in der Matrix (3).

Genauer sind es der Reihe naeh die Kurven

(i =I, ... , g - 1, 0).

Aug der Matrix (6) geht hervor, daE die Erzeugenden xi at, "', x i a 2 h

(i =, ... , g - 1) sich alle durch aI' ... , a2h ausdriicken lassen und

daE die Relationen zwischen den letzteren durch die Koeffizientenmatrix

rg - (r- E ) g

gegeben sind.

Wir fassen dss bisherige Ergebnis zusammen in den

Sat z 1: La{3t sich in einen Knoten f eine Elaoh» vom Geschlecht h

einspannen und ist ~ eine von den g dariiberliegendenFlachen des g-blttttrigen

zyklischen Uberlagerungsraumes 9)1g, so ist eine Homologiebasis aI, ... , a2h

von ~ zugleich ein System von Erzeugenden der Homologiegruppe~q von 9)10 '

Bezeichne: also mg die minimale Erzeugendenanzahl von ~g und ist h das

Gesckleckt des K notens f, so gilt die Ungleichung(7 )

57 7



57 8 H. Seifert.

Die Rel at i on en der Homologiegruppe $ )g sind dUTCh eme 2h-reihige

quadratische Matrix der Form

( 8 )

gegeben. Die von 9 unabhangige Matrix r wird dabei aus dem Relationen-system (1) der Homologiegruppe eines einzelnen Blattes erhalten und E be-

zeichnet die 2 h-reihiqe Einheitsmalrix. .

Da die Minimalzahl m1 7

der Erzeugenden gleich der Summe aus der

Bettischen Zahl und der Anzahl der Torsionskoeffizienten der Dimension 1

der g-blattrigen Uberlagerungsmannigfaltigkeit ist, so ist die Ungleichung (7)

gleichbedeutend mit dem

Sat z 2: Die Summe aus der Bettischen Zahl und der Anzahl der

Torsionskoeffizienten der Dimension 1einer beliebigen zyklischm tJberlagerungs-

mannigfaltigkeit f f i ' l g eines K nolens ist hbchsten« gleich dem doppelten Ge-

schlecht des K nolens.

Wiirde man an Stelle der g-blattrigen Uberlagerung die unendlich-

blattrige betrachten, so wiirden sich als Relationen del' Homologiegruppe

diejenigen ergeben, die aus (1) durch Multiplikation mit einer beJiebigen

positiven oder negativen Potenz 'von x hervorgehen. FaJ3t man die Homo-

logiegruppe als eine Gruppe mit Operatoren auf, wobei der Operatoren-

bereich der Integritatsbereich der Polynome in x und X-I mit ganzzahligen

Koeffizienten ist, so sind ai, ••. , a2h die Erzeugenden und (1) die Re-

lationen. Die Determinante del' "Koeffizientenmatrix" E - r+ x r isf

dann (his auf einen unwesentlicben Faktor ± Xll, eine Einbeit des Inte-

gritatsbereiches] eine Invariante der Gruppe mit Operatoren und daher

eine Knoteninvariante. Den Faktor ±Xll kann man so wshlen, daB keine

negativen Potenzen von z auftreten und das konstante Glied positiv aus-HUt. Die so normierte Determinante ist die von Alexander in die Knoten-

tbeorie eingeflihrte "Polynominvariante" L 1 (x). D a die Determinante

2 h-reihig ist, so ist der Grad des Poly noms L 1 (x ) hochstens gleich 2 k,

und man hat den

Sat z 3: DeT Grad der Alezanderschen Polynominvariante L 1 ( e ) ist'

hiichstens gleich dem doppelten Geschlechi des Knotens.

Die indiesem Paragraphen angegebene Ableitung der Homologiegruppe

einer g-blattrigen Uberlagerungsrnannigfaltigkeit kann auch zur praktischep,'

Ermittlung ~er Homologiegruppe benutzt werden, was besonders bei Knotejl:

mit hoher Uberschneidungszahl, aber niedrigem Geschlecht Vorteile biete~

(vgl. § 4). .\-, ,. "



Geschlecht von Known. 579

§ 2.

Die Geschlechter spezieller Knoten.

Die Polynominvarianten LI(x ) sind fiir die Knoten mit bis zu neun

Uberkreuzungen ermittelt worden 4 ). Spannt man in diese Knoten naohdem in § 1 angegebenen Verfahren Elachen ein, so zeigt es sieh, daE das

Geschlecht der eingespannten Flacho bei 77 Knoten gleich dem halben

Grad des Polynoms .1 (x ) ist, Bei den Knoten

820, 8il, 942, 945, 946, 9'7' 9'8

ist dagegen das Geschlecht der eingespannten Flache bzw.

3, 3, 3 , 3, 2 , 3 , 2 ,

wahrend der halbe Grad des Polynoms .1 (x )

2 , 2 , 2, 2 , 1, 2, 3

betrsgt.

Bei dem Knoten 9;18 ist also der halbe Grad von zl (e) groBer als

das Geschlecht der eingespannten Flache, im Widerspruch zu Satz 3. Inder Tat erweist sich der in der Alexanderschen Tabelle verzeichnete

Wert von .1 (x ) als unrichtig fur die Knoten 9 4 , 7 und 9 ' 8 ' Die richtigen

Werte lauten

947: .1 (x)=1-4x+ 6x2-5x8+6x'-4x5+X6,

948: .1 (x) =1 - 7 x + 11 x~ - 7 XS + x'.

Es bleiben damit nur die ftinf Knoten 820>821> 942, 945>946, bei

denen das Geschlecht der eingespannten Flache um 1 groBer ist als die

halbe Gradzahl von z l (x). In diesen Fallen kann man die Knotenprojektion

so abandern, daf sich das Geschlecht der eingespannten Flache um eine

Einheit emiedrigt "). Bei allen Knoten der Alexander~ Briggsschen Tabelle

ist somit auf Grund von Satz 3 das Knotengeschlecht durch die halbe Grad-zahl der Alexondersche« PolyrlOminvariante L1(x) gegeben. .

4 ) Man findet sie bei J. W.Alexander, Topological invariants of knots and

links. Trans. Amer. Math. Soc. 30 (1928), S. 305. und (mit einer VerbesAerung

versehen) bei K. Reidemeister, Knotentheorie (Berlin 1932), S.41.

5) Hierauf machte mich Herr C.Weberaufmerksam. Die umgeformten Knoten-

projektionen sind:

c@®~~@io 4 1 , o f ! l ~! ~,

Fig. 4.



580 H. Seifert.

Bei den bisher angegebenen Knoten ist das Geschlecht in keinem

Falle gro13er als 4. Knoten beliebigen Geschlechts finden sich dagegen

unter den Torusknoten, die WIr jetzt untersuchen wollen. Der Torus-

knoten p, q ist eine auf einer Rotationsring£liiche gelegene, doppelpunkt-

freie geschlossene Kurve, die einen Meridiankreis

der Ringflache p mal und einen Breitenkreis

q mal gleichsinnig durchsetzt. p und q sind also

teilerfremd. In der iiblichen Projektion bat der

Knoten (p - I) q Uberkreuzungen. (Die Fig. 5

zeigt den Fall p =3, q =4). Die oben be-

schriebene Konstruktion emer eingespannten

Elache fiihrt zu emer Zerlegung der Knoten-

projektion in P Kreise und damit zu emer Fliiche vom Geschlecht

(p -I)·q - P +1_p -I) (q -I) Wir behaupten, da13 sich keine Flaohe2 - 2

niedrigeren Geschlechts einspannen liil3t, daf also der Satz gilt:Satz 4: Der Torusknoten p, q hat das Geschlecht (P-I)2(q-l).

Die Richtigkeit der Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 2 und der

folgenden Tatsache:

Die pq-blattrige zyklische tlberlagerung des Torusknotens p, q hat ZU1'

Homologiegruppe die freie Abelsche Gruppe von (p - 1) (q - I) Erzeugenden.

Um die pq-bliittrige UberIagerung des Knotens zu ermitteln, bedenken

wir, daB die dreidimensionale Sphiire 6, in der der Knoten f liegt, eine

Faserung durch Torusknoten gestattet, m der f als gewohnliche Faser

auftritt 6) . Daher ist auoh die -p q-blattrige UberlagerungsmannigfaJ tigkeit

ein gefaserter Raum 6 =m " Q In 6 gibt es zwei Ausnahmefasern H 1 >

und Hq mit den Vielfachheiten p und q. H bezeichne eine beliebige ge-wohnliche, vom Knotcn f verschiedene Faser in 6. Die Verschlingungs-

zahlen von H, H" und s, mit f sind pq, q, p (1 . c. S. 211). Somit muls

man H einmal, H" p mal, H q q mal durchlaufen, um im Uberlagerungs-

raum 6 einen geschlossenen Weg zu beschreiben. Es liegen daher iiber

H, H", n, bzw. pq, q, p Fasern von 6, wiihrend iiber dem Knoten f,

der ja Verzweigungslinie ist, eine einzige Faser liegt. Da nun die Fasern

von 6 und 6 eineindeutig den Punkten der Zerlegungsflachen f und fentsprechen, so ist hiermit f als ·eine pq-bliittrige Uberlagerungsfliiche von

f erkannt. Die den Fasern f, H'" H a entsprechenden Punkte von f sind

die drei Verzweigungspunkte. Wir berechnen die Eulersche Charakteristik

von f und wahlen zu dem Zweck cine simpliziale Zerlegung von f, in

Fig. 5.

6) VgI. H. Seifert, Topologie dreldimensionaler gefaserter Riume, Acta math. 60

(1933), S.159.




der die drei Verzweigungspunkte als Ecken auftreten. Es seien 1 % 0 Ecken,

a1

Kanten und a2 Dreiecke vorhanden. Sehen wir zunachsb von den drei

Verzweigungspunkten ab, so liegen iiber jedem Stuck von f p q Stucke

von f . Dber den Verzweigungspunkten aber liegen bzw. 1, q, 'P Punkte

von f . f hat dahera o = q (0 :0 - 3) + 1+ p + q Ecken,

a 1 = q O C I Kanten,

a 2 = p q O C 2 Dreiecke.

Die Eulersche Charakteristik von fist also

N =- a o + a l - a 2 = p q ( - C X o + O C I - oc2 ) + 3 p q - 1 - P - q.

That als Kugelflache (1 . c. S. 161) die Charakteristik - O C o -+ - 1 % ] - oc~=- 2,

so dal3 man erhalt

N =q - p - q - 1,

und Iolglich fur das Geschlecht von f

#+2 (p-I)(q-I)-2- - 2Die Homologiegruppe von (5 besitzt nun die Homologiegruppe von

f zur Faktorgruppe ( 1 . c. S. 201). Letstere ist eine freie Abelsche Oruppe,

und die Zahl der Erzeugenden ist duroh das doppelte Geschlecht von f,d. h. durch (p -1) (q -'1) gegeben. Die Homologiegruppe von (5 he-

sitzt also mindestens (p - 1) (q - 1) freie Erzeugende. Weitere Er-

zeugende kann es nicht geben, da dutch Satz 2 die Zahl der Erzeugenden

hOchstens gleich dem doppelten Geschlecht des Knotens ist, letzteres ist

aber hochstens gleich (p -1)2(q - I), da wir eine Flsche von diesem Ge-

schlecht in den Knoten eingespannt haben, Damit ist alIes bewiesen.

Bei der P q-blattrigen Dberlagerung des Torusknotens p , q nimmt dieBeuisehe ZahZ den durch das Knotengeschlecht gegebenen maximalen Wert

an. Es gibt aber auch Knoten beliebig hohen Geschlechts, bei denen die

Anzahl der Torsionskoe//izienten einer passenden Uberlagerung das Maxi-

mum erreicht und dementspreehend die Bettische Zahl gleich Null ist.

Dies gilt fiir alle Torusknoten 2, 2 h + 1. Es ist nlim Zich das Geschlecht

d ieses Knotens , wie bereits bewiesen wurde, gleich It , w ahrend die (2h + " J ) -

b li it tr ig e t Jbe rl age rung , wie wir zeigen werden, 2 h Tors ion skoe/ fi zi en ten

vom W erte 2 besitzt.

Man kann dies beweisen, indem man die Fundamentalgruppe der

Uberlagerungsmannigfaltigkeit nach dem Verfahren von Reidemeister be-

rechnet 7). Einen besseren Einblick in die Struktur der Uberlagerungs-

7 ) K. Reidemeister, Knoten und Gruppen,Abh.math. Sem.Hamburg. Univ.5

(1926), S. 7-23.

581



5 8 2 H. Seifert.

mannigfaltigkeit gewinnt man aber, wenn man sie als gefaserten Raum

konstruiert.

Wir geben gleich das Ergebnis an und verifizieren nachtraglich, daIl

es sieh urn den (2h + 1)-fachen Uberlagerungaraum handelt. Man nehme

eine Kugelflache.ft und schneide aus ihr am Aquator in gleichen Abstanden2 h + 1 gleich groIle kreisformige Locher heraus. Ebenso soIl ein kleines

Loch um den Nordpol ausgeschnitten werden. Die Randkreise der Locher

mogen der Reihe nach

Q l o . . . , Q 2 h + 1 , Q lh + 2

heiIlen und mit gleichartigen Orientierungen verseheu sein. Wir betrachten

dann das topologische Produkt i aus dieser (2h + 2) -fach gelochten

Kugelflache und einer Kreislinie ii. Es ist eine dreidimensionale, von

2 h + 2 Ringfliichen berandete l\fannigfaltigkeit. Auf die.2 h + 1 Ring-

flachen am Aquator wird je ein Vollring mit seiner Oberflache aufgesetzt,

und zwar so, daIl der Meridiankreis des Vollringes

Mi'-'2Qi +ii (i = 1,2, ... , 2h + 1)wird. Ebenso wird die Ringflache am Nordpol mit einem Vollring ver-

schlossen, dessen Meridiankreis

M 2h+2""" Q 2 h +2 - hii

sei. Die Homologiegruppe der entstehenden Mannigfaltigkeit 6' hat offenbar

die Erzeugenden

Q 1 ' . . . , Q 21 1 + 2 , ii,

zwischen denen in i die Homologie

( 9 ) Q 1 +...+ Q 2 h + 2 ,-,0

besteht. Hierzu treten durch die SchlieIlung mit den Vollringen die

weiteren Homologien

( 1 0 ) 2Q;+ii,....,0 (i=I,2, ... ,2h+l)

(11) Q2h+2-hH,_,0 .

Wir behaupten, daB 6 die (2 h + 1)-blattrige Uberlagerungsmannigfaltigkeit

des l'orusknotens 2, 2 h + 1 ist. 6 ist nsmlich, wie aus seiner Kon-

struktion hervorgeht, ein gefaserter Raum mit 2 h + 1 zweifachen Aus-

nahmefasern und mit der Kugel 5 i als Zerlegungsflache. 6 gestattet

eine zyklische Gruppe der Ordnung 2h + 1 von fasertreuen Selbstabbil-

dungen, bei der sich die 2h + 1 zweifachen Ausnahmefasern zyklisch ver-

tauschen, wii.l1rend die dem Nordpol und Siidpol entsprechenden gewohn-

lichen Fasern in sieh iibergehen, und zwar bleibt die letztere punktweise

fest. Um den gefaserten Raum ID l zu erhalten, der durch Identifizieren

aquivalenter· Punkte aus e hervorgeht, identifizieren wir zunii.chst dieii.quiv&l~nten Punkte in X . Es ergibt sich das topologische Produkt X



Geschlecht von Knoten. 583

aus einem Kreis H und einer Kugel mit zwei Lochern, Der eine Loch-

rand ist das gemeinsame Bild der Kreise Q L ' . . . , Q 2 h + l und sei mit Ql

bezeichnet. Der Rand Q2 h + 2 des anderen Loches dagegen wird von dem

Kreis Q2 h +2 (2 h - + - 1) mal tiber lagert. Die in 6 bestehenden Homologien

. (1 0) und (fi) gehen daher auf m tiber in die Homologien(10) 2Q1 + H ,.. .. .,0,

(11) (2h + I)Q2h+ 2 - h H ,.. . . ,0 .

AuBerdem hat man of£enbar

(9 ) Ql + Q2 h+ 2"'_'0.

Die Homologie (11) besagt, daB die dem Nordpol entsprechende gewohn-

liche Faser von @ in eine (2 h + I)-fache Ausnahmefaser von @ tibergeht.

W I: hat also zwei Ausnahmefasern der Vielfachheiten 2 und 2 h + 1, und

da die Determinante des Relationensystems (9), (10), (11) gleich 1 ist, so

liegt die durch Torusknoten 2, 2 h + 1 gefaserte 3-Sphare vor (1 . c. § 11). Da

iiberdies die Deckbewegungsgruppe die dem Siidpol von s t entsprechende

Faser punktweise festliWt, so ist 6' (2 h + I)-fache verzweigte zyklischeUberlagerung von 9)1 mit einer gewohnlichen Faser von m als Verzweigungs-

linie, was zu beweisen war. (Vgl, FuJ3note 2 ) auf S.573.)

Um nun zum Zwecke der Berechnung der Torsionskoeffizienten die

Relationen (9), (10), (11) der Homologiegruppe von 6 auf die Normal£orm

zu bringen, eliminiert man H aus der letzten Homologie ( iO)

2 Q i h + 1+ jj ,....,.

Fiihrt man dann an Stelle von Q i die Erzeugende

Q~, . . _ .Q i - Q2h+I

ein, so ergeben sich gerade die Relationen

2Q~""'" 0, "., 2Q~h"'_' O.Es sind also, wie behauptet wurde, 2 h Torsionskoeffizienten vom Werte 2

vorhanden.

(i - 1, 2, . '" 2h)

§ 3.

Charakterisiernng der Alexandersehen Polynominvariante.

Die Homologiegruppen der 'Oberlagerungsmannigfaltigkeiten eines

Knotens f sind, wie wir in § 1 sahen, durch die Matrix r=Y i k ) von

S.576 bestimmt. Wir wollen jetzt die notwendige und hinreichende

Bedingung dafiir aufstellen, daB eine ganzzahlige Matrix die Matrix reines Knotens sein kann. Daraus wird sieh dann eine Charakterisierung

der Alexanderschen Polynominvariante ergeben.

Wir bedenken zunachst, daB man eine berandete FHi.chevom Ge-sehlecht h auffassen kann als ein ElementarfJiichenstiick E, an das 2ft



5 84 H. Seifert.

"Bander" angesetzt sind. Diese Darstellung ergibt sich sofort, wenn man

im Fundamentalpolygon der geschlossenen Flache vom Geschlecht h, das

in der "Henkelform" B ) vorgelegt sei, die Ecken abschneidet, was gleich-

bedeutend mit einer Lochung der geschlossenen Flsche ist. Die Fig. 6

zeigt die gelochte Flache vom Geschlecht 2. Man erhalt also den all-gemeinsten Knoten vom Geschlecht h oder kleineren GeschIechtes, wenn

man ein solches gebandertes Flachenstuck auf alle mogliehen Weisen in

den Raum hineinlegt. Wir werden das gebanderte Ftachenstuck in der

ebenen Projektion betrachten und durfen annehmen, daB das Elementar-

fliichenstlick E sich als eine Kreisscheibe projiziert und daB die an-

gesetzten Bander in der Projektion mit E nur die Ansatzstellen gemein

Fig. 6. Fig. 7.

haben. Schlie13lich ist es keine Einschrankung, anzunehmen, daB die

Bander in der Projektion unverdrillt erscheinen, da eine Verdrillung

immer durch eine Selbsttiberschneidung des Bandes ersetzt werden kann

{s o Fig. 7). Es ist somit nur die eine Seite der Flache, die "Oberseite"

sichtbar, (Beispiele sind die Fig. 6 und 9; in ersterer ist f in die Kreislinie

deformierbar.) Schneidet man den Raum lsngs der Flache auf, so spaltet

sich die Flache in zwei Exemplare, die Iangs f aneinanderstoBen. Hebt

man sie voneinander ab (wie man etwa ein zusammengefaItetes Luftkissen

aufblast) so entsteht aus dem Elementarfllichenstlick E mit den 2 h an-

gesetzten Bandem eine Kugel mit 2h angesetzten Henkeln. Der Knoten f

ist dann der scheinbare Umri.l3dieser Flache vom Geschlecht 2 h, und die

FIliche selbst wird durch f zerlegt in zwei Teile, die in § 1 mit ~ und x ~

bezeichnet wurden, wahrend der AuBenraum m hie.l3. Die aus ~ und x ~

bestehende Flache vom Geschlecht 2 h bezeichnen wir auch mit ~ + x ' l Y ,und wir verstehen unter ~ immer den sichtbaren (oben liegenden) Tell

der Filiche. In der Projektion sind ~ + x ~ und ~ nicht zu unte.r~

scheiden und konnen daher durch dieselbe Figur dargestellt werde;n

(s. Fig. 6 und 9).

8 ) Vgl. dR S S. 573 angefuhrte Buch.




Zur Ableitung der Relationen (1) von S. 575 wahlen WIr auf (j

h Paare von konjugierten Rlickkehrschnitten, at, a2; as, a~: ... ; a2 h-1,

a2h, von denen jeder ein angesetztes Band durchlauft (s. Fig. 6). Diese

orientieren wir so, daf a2r+2 von a2r+t in dem gemeinsamen Punkt von

links nach rechts iiberkreuzt wird. Man hat also bei richtiger Orientierungder Flache ~ die Schnittzahlen

(1 2)

und daher

(13)

Die ai bilden zusammen mit den entsprechenden Kurven z a, auf der

Flache x ~ eine Homologiebasis von ~ + x~. Mit Ai sei der tiber a; er-

richtete unendliche Halbzylinder bezeichnct, der senkrecht auf der Zeichen-

ebene steht, Er stellt nach Hinzufugung des unendlich fernen Punktes

ein in ai eingespanntes Elementarflachensttick dar. Wir betrachten nun

den im AuBenraum 9R liegenden Teil Ai von Ai' Der Rand von A i besteht

aus at und eimgen "Schnittkreisen", nsmlich denjenigen, lD denen .A i

von den Henkeln der Flsche (j + x ~ durchsetzt wird. Die Summe

dieser richtig orientierten Schnittkr~ise heiI.le a i , so daB gilt

(14) fR d A. = a. - a~ (in 9R).

Die erwahnten Schnittkreise entsprechen den einzelnen Uberkreusungen

von ai durch die Kurven ak (k =1, 2, "', 2 h) . Betrachten wir z. B.

den Fall, daf at von ak an einer bestimmten Stelle

von links nach reohts iiberkreuzt wird (Fig. 8).

Der Schnittkreis ° von Ai mit der uberkreuzenden

Stelle des zu ak gehorenden Henkels durchsetzt

dann ak von links nach rechie. Also ist ~1I-----:::t:F~~~a.t~j

(15) s (0, ak) =1, rS (C, aj) =0 (j i = k)

I~und auf x(j analog § :

(18) rS(O, xak) =1, rs(O, xaj) = (j = i= k). '- ~

Die Vorzeiohen der 8chnittzahlen kehren sich urn,

wenn ak von rechts nach links tiber at hinweggeht.

Es bezeichne nun Vii, die "Uberkreuzungszahl" von a. und o.k, d. h.

die Anzabl der Uberkreuzungen, bei denen ai, von links nsch rechts tiber

a, geht, vermindert um die Anzahl der Uberkreuzungen, bei denen ak von

rechts nach links tiber a , geht. Man findet dann dutch Addition der

samtlichen Schnittkreise des Halbzylinders .A i mit dem zu ak gehorigen

Henkel aus den Formeln (15) und (18)

Fig. 8.

r s (a;, IZk) =i)"

r S (a ;, x ak) = ik .

(17)

(18)Ma.thematisebe Annalen, 110. 3S

585



586 H. Seifert.

Die Relationen (1) von S. 575 ergeben sich nun sofort, wenn man

die auf (j+ x (j liegenden Kurven (1- Ketten) a; durch die Basisketten

aI' ... , a2h, xal, ••• , xa2h ausdriickt:

2 h 2 h

a~ ,_ 1:Yik ak - 1:Yik xak (auf (j+ x (j).

1 1

Aus (12), (13) und (17) folgt:

Yi,2,+1 = rS (a;, a2T+ 2) = Vt,2T+2,

Yi,2T+2 =rS(a;, a2T+l) =Vi,2T+l'

Das gibt zusammen mit der aus (14) folgenden Homologie at'_ a; (in 9 J l ) :

at""'_' VUal - Vila'2 + ... + Vi, ih2h-l - Vi,2h-la2h

- (Vi2 xal - ViI X a'2+ '" + Vi,2t XU2 h -1 - Vi,2h-l X a2 It )

(in W L ) .

Die Uberkreuzungszahlen Vik sind nicht unabhsngig voneinander. Sind

erstens a, und ak nicht konjugierte Riickkehrschnitte, also punktfremd,

so istV.k

die Verschlingungszahl von a, undak. Vik =

V(ai, ak),

und dafUr die Verschlingungszahlen die Symmetriebeziehung

'V (ai, ak) =V (ak' ail

(19)

besteht, so gilt

(i 2r+l

(20) V.k =Vk' k = j= 2r + 2 und

a. und ak seien zweitens konjugierte Riickkehrschnitte, etwa i=1, k = 2.

Dann hat es keinen Sinn, von einer Verschlingungszahl von al und a2

zu reden, da sich beide Kurven in einem Punkt P treffen, und zwar

wird gemaJ3 unserer Festsetzung all von al von links nach rechts durch-

setzt. Wir denken uns dann al in der Umgebung des Punktes P etwas

von der Flache (j losgelost und in den Au13enraum 9Jl hinein de£ormiert.

Die so deformierte Kurve sei at . Es wird dann die algebraische Summeder 'Uberkreuzungen von a2 durch ai - wobei eine Uberkreuzung von

links nach rechts mit dem Zeichen +, eine von rechts nach links mit

demZeichen - in die Summe eingeht - gleich 'V (a2, ail = Vu + 1, die

algebraische Summe der Uberkreuzungen von ai durch all dagegen

'V (ai, all) =VII ' so daf3 man wegen der Symmetrie der Verschlingungs-

zahlen erhiilt:

Allgemein ist

(21) VII r + I. II r + 2 =J T + 2, 2 , + 1 + 1.

Wegen (20) und (21) kann man hochstens d i e Zahlen V'k fiir i<k

willkiirlich vorgeben. Tatsa.chlich sind diese Zahlen voneinander un-abhangig, Umeinen Knoten zu vorgegebenen Zahlen V.k (i S k) zu



Geschleoht von Knoten.

konstruieren, hefte man der Reihe nach die Bander an das Elementar-

flachenstiick E an, so dal3 der Reihe nach die Zahlen Vl2; V13, V

n;

VH V~~, Vs,; ... ; Vl,2hl V2,2/11 .•. , V2h-l,2h die vorgeschriebenen Werte

annehmen. Zuletzt bringe man noch in jedem Band so viele Selbst-

iiberschneidungen (Fig. 7) an, daf auch die Zahlen Vii (i =1, ... , 2 h)

stimmen. Wir fassen das Ergebnis zusammen in dem

Sat z 5. Ist die in den Knoten f eingespannte Elache als Elementar-

/liichenstiick mit 2 h angesetzten Bandern dargestellt (S. 584) und bezeichnet

V,k die Uberkreuzungszahl des i-ten Bandes durch das k-te, so bestehen

zwischen den Vii. die Beziehungen (20) 'Und (21), und die in dem Relationen-

system (1 ) auftretende Matrix r=Yik) lautet:

VI~ - VII VI, ~ h -Vl,2h-l

V22 - V91 VII,2h - V2, IIh-I

r .VSh-l,2 - V2h-I, 1 V2r.-l,2h - V211-1, 2h-l

lV2 71,2 - V2 h, 1 V2h, 2 h - VSh, 2k-l

Umgekehrt tritt jede ganzzahlige Matrix, deren Elemente die Bedingungen (20)

und (21) e-r/ullen, ole Matrix r eines Knotens auf.

Aus der Matrix r ergibt sioh die Alexandersche Polynominvariante

(S. 578) bis auf einen Faktor ± x" als die Determinante

(22) I E - r+ x r I =o+ 01 X + ...+ 0u x~ h.

Beispielsweise lautet diese Determinante fiit b =1 und 2, wenn

man die Uberkreuzungszahlen Vik (i> k) vermoge (20) und (21) durch

die Vrs (r <s) ausdriickt, folgendermallen:

(23) 1 1 +Vu (x - 1) - VlI (x -1)

I ('~=1),I V22 (x - 1) x-v12(x-I)

1+vu (x-I) -VI (x-I) vH(x-I) -VS(x-I)

Vu (x-I) X-'l.'12 (x-I) Vu (x-I) -Vi3 (x-I)(h = 2).

vss(x-I) -VS(x-I) I+v" (x-I) -VS3 (x-I)

Vu (x-I) --vl4 (x-I) v" (x-I) x-VH (x-I) I(24)

Aus dieser Gestalt der Determinante erkennt man leicht, da.Bdas

Polynom (22) immer die folgenden heiden Eigenschaften hat:

I. Es ist Co + C1+ ... + CH =1.

II. Es ist c,=C2h-i (i =, 1, ... , h - I).

Die (bereits bekannte) Eigenschaft I der Polynominvariante ergibtsich, wenn man in (22) x =1 setzt. Um die "Symmetriebedingung" II

zu beweisen, miisasn wir zeigen, da.B 00 + 01 X + ... + On x2" ungeandert

38*

587



588 H. Seifert.

bleibt bei Ersetzung von x durch X-I und nachtragliche Multiplikation

des Ausdruckes mit x2h; d. h. es muf

(25)

sein. Die Mat.rix z (E - r)+ r geht nun durch die folgenden Trans-formationen in die Matrix E - r+ x r tiber:

1. Vertauschung der (2 r + I)-ten mit der (2 r + 2)-ten Zeile und

ebenso der (2 r + I)-ten mit der (2 r + 2)-ten Spaite (r =, 1, ... , h-I).

2. Vertauschung von Zeilen und Spalten (Umklappung urn. die Haupt-

diagonale).

3. Multiplikation aller geraden Zeilen und Spalten mit - 1.

Da sich bei diesen Operationen die Determinante nicht andert, so

ist damit die Beziehung (25) bewiesen.

Aus den beiden Eigenschaften I und II folgt, daB man hOchstens

die ersten h Koeffizienten co, ... , Ch-l willktirlich vorgeben kann. Die

Koeffizienten Ch+ 1, ••• , C2h sind dann durch II bestimmt, wahrend sich

der "mittJere" Koeffizient ell aus Iergibt.

Wir zeigen nun, daf co' ... , Ch-l voneinander unabhangig sind, d. h.

daB man die Uberkreusungszahlen Vik (i S k) so wahlen kann, daB die

Koeffizienten c o ' • . . , Ch-l willktirlich vorgegebene ganzzahlige Werte er-

halten. Man wahle namlich aIle Vik =0 bis auf

v14' t'S6' V58' ••• , Vih-S,ih und V22'

die man =1 setzt, wahrend

VlS, VS5' V67' ••• , ViA-a,2h-l und Vll

unbestimmt bleiben. Der Wert der so spezialisierten Determinante

I E - r + x r I sei All' Aus (23) und (24) erhslt man z. B.

Al = : _ 1 - : 1 1 (x - 1) I ;1

x-IAJ =·0

o

- vll (x - 1) x -- 1

x 0

- v 1 8 (x - 1) 1

- (x - 1) 0 x

- V13 (x - 1)

oo

Mit A h bezeichnen wir die (2h - 1)-reihige Unterdeterminante, die

aus All durch Streichen der letzten Spaite und vorletzten Zeile entsteht.

Wir entwickeln A'; nach der letzten Zeile, in der nur - (x - 1) als

einziges von 0 verschiedenes Element steht, und finden:

A;' =- (x - I )2A'_1>

also wegen A{ =-I

(26) A;' =_1)"-1 (X - Ira-I.



Geschleoht von Knoten.

A" berechnen wir durch Entwicklung nach der letzten Spalte, in

der - '1)2h-8, 2h-l (x - 1) und x als die einzigen von 0 verschiedenen

Elemente stehen:

Ah =V2h-8, 2h-dx - 1)[(x -1)A~-I]

+ X [Ah-1 + (x - 1) {- V2h-3, ill-I (x - 1)IAh - 1 ],

oder mit Benutzung von (26)

(27) A" =xAh-1 + (-1)h-1V2h_5, 2h-dx - 1)2h.

Unsere Behauptung, daB jedes beliebige Polynom Co + c1 X + ... + C2 h x2 h

mit den Eigenscha£ten I und II in der Form einer Determinante A I> (in der

die unbestimmt gebliebenen Koeffizienten noch geeignet zu spezialisieren sind)

geschrieben werden kann, ist o££enbar richtig fUr h =1. Sie sei fUr

den Index h - 1 bereits bewiesen. Insbesondere konnen wir also durch

passende Wahl der in Ah-1 auftretenden unbestimmten Koeffisienten

V11, V13, V35, ••• , V2h-5, 2h-3 es erreichen, daB Ah-1 gleich dem Polynom

vom formalen Grade 2 h - 2.00 + 01 X + ... + 02h x

2h - 00 (x - 1211

X

wird, dem offenbar die (fiir den Index h - 1 zu formulierenden) Eigen-

schaften I und II zukommen. Ferner setzen wir v~h - S, 2 h-1, iiber das

noch nieht verfiigt wurde, gleioh (_1)h-1CO ' Dann £olgt aus (27) so£ort:

A I> =o+ C1X + ..,+ < "2 h X2 h.

Damit ist der Induktionsbeweis beendet.

Den willkiirlichen Faktor ± xn, mit dem die Alexandersche Polynom-

invariante behaftet ist, pflegt man so £estzulegen, daB das Absolutglied

der Polynominvariante LI(x ) positiv ausfallt, (S.578). Dementsprechend

tritt bei LI(x ) an Stelle der Eigenschaft I die Eigenschaft I': Co >0,

ri =± 1. Wir haben damit die folgende Charakterisierung der

Alexanderschen Polynominvariante:

Sat z 6: Ein ganzzahliges Polynom 00 + 01 X + ...+ O ll h X2 h ist

dann und nur dann die Polynominvariante eines Knotens, wenn die Be-

dingungen 00> 0, Co +01 + ... + C2" = ± 1, o. = C2h-t(i =0,1, ... ,

h - 1) erfullt sind.

Ist ein solches Polynom LI(x ) vorgelegt, so laBt sioh die Aufgabe,

aIle moglichen Knoten mit der Polynominvariante LI(x ) zu konstruieren,

folgendermaBen losen: Man ermittelt ein System von Ilberkreueunge-

zahlen Vii" so daB I E - r+ x r I =± x n LI(x ) wird, und konstruiert

naeh dem Verfahren von S. 587 eine gelochte Flache vom Geschlecht 2 h,deren Rand ein Knoten von der gewiinschten Beschaf£enheit sein wird.

589



590 H. Seifert.

§ 4.

Beispiel elnes Knotens, der sieh von der Kreislinie nieht durch die

Homologiegruppen der zyklischen Vberlagerungen und dureh die

Alexanderschc Polynominvariante unterscheiden lallt.Wir fragen jetzt insbesondere nach den Knoten, deren Polynom-

invariante L 1 (x ) =1 ist. Sieher gehort die Kreislinie zu ihnen. Wir

werden sehen, daB es auDer der Kreislinie noeh andere Knoten mit

dieser Eigenschaft gibt.

Wir mtlssen dafiir sorgen, da.13 in dem Polynom I E - r+ x r I,dessen formaler Grad 2 h ist, alIe Koef£izienten versehwinden bis auf

den mittleren, der dann nach I, S. 587 gleich 1 sein muB. Die defi-

nierenden Relationen (1) S.575 der Homologiegruppe der unendlich-

blattrigen Ubedagerungsmannigfaltigkeit lassen sich nun als ein homogenes

lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten aI, •••,a2 h und der

Koeffizientenmatrix E - r+ x r auf£assen. Da die Determinants des

Systems gleich Xh, also eine Einheit des Integritatsbereiches ist, so folgt(Cramersche Regel), daB ap"" a2h samtlich in der unendlichblattrigen

Uberlagerungsmannigfaltigkeit, also erst recht in jeder endlichblattrigen

nullhomolog sind. Sobald sieh also I E - r + x r I auf die Potenz xl i .

reduziert, reduzieren sich die Homologiegruppen der samtlichen zyklischen

Uberlagerungsmannigfaltigkeiten des Knotens auf das Nullelement, d. h.

die 1Jberlagerungsmannig£altJgkeiten sind entweder die 3-Sphare oder

Poinoaresche Raume,

Betrachten wir den einfachsten Fall h =1. Es ist zu verlangen,

daB in dem Polynom I E - r+ x r I vom formalen Grad 2 der Hdchst-

koeffizient

I r I= vl2

- vll

IV22 - Vu+ 1

verschwindet. Das ist z. B. der Fall fur v12 =-1, vlI=1, V22=.

Ein Elementarflachenetuck mit zwei angesetzten Bsndem, die sich diesen

Uberkreuzungszahlen gemaB ubersohneiden, ist in Fig. 9 gezeichnet.

Urn zu zeigen, da.6 der Knoten nicht in die KreisIinie deformierbar

ist, berechnen wir seine Fundamentalgruppe und bringen zu dem Zwecke

den Knoten zunachst in eine iibersichtlichere Gestalt. Wir verwandeln

die Selbstubersohneidungen der Bander gemii.13der Fig. 7 in Verdrillungen.

So entsteht der Knoten der Fig. 10. SchlieBlich werden die gegenseitigen

Uberschneidungen der Bander durch eine Verdrillung des Elementar-

flachenstuckes E urn 3 1t beseitigt. Dabei wird jedes der heiden Bander

noch urn 3 n verdrillt, so daB dann das linke Band im ganzen um 7 n,

das rechte urn 5.n tordiert ist (Fig. 11). Nunmehr bezeichnen wir die




Gebiete, in die die Ebene durch die Knotenprojektion zerlegt wird, mit

A, E, C, b., b2, •• " bw so wie es die Fig. 11 zeigt. Mit den gleichen

Buchstaben wird ein von einem festen Ausgangspunkt ausgehender ge-

schlossener raumlicher Weg bezeichnet, der das betreffende Gebiet einmal

von oben nach unten und das Au.f3engebiet einmal von unten nach obendurchsetzt. Die geschlossenen Wege A, B, 0, b., ... , bl S erzeugen dann

Fig. 9. Fig. 10. Fig 11.

die Fundamentalgruppe, und die Relationen, die den einzelnen "Ober-

schneidungen entsprechen, lauten:

A a-I =b1 A O:' =7 B-1

A b i! =; Ab" i1 = = b e B-1

Ab il =b s Ab;1 =18B-l

Aba l =t

Ab41 =b5

A b r . -I=o

Ab"61 =ls

Aus jeder dieser drei Reihen lii.J3t sich bls durch Elimination der

iibrigen bk berecbnen. Es ist z, B.

b ls =A b " 6 1 =A b5 A-I = ~b;:l A-I = A 2i,A-2 =A 8 b"21A-2

=A 8 blA-3 =A 4 0-1 A-a.

Analog wird

b iB=A B-1 A 0-1 B A-I B und b13= -'J 0-1 B3,

also schlie.f31ich

(28) A' 0-1 A-8 a =A B-1 A 0-1 B A-I B a =B-S 0-1 BB O.

a =Bb;1

b u =Bb1 0 l

b L O =Bb1 11

s;=Bbi}

b 1 2 =B bil.

Ware unser Knoten in die Kreislinie deformierbar, so ware (28) die

freie zyklische Gruppe. Das kann nicht sein, da die Relationen (28) voneiner nichtzyklischen Gruppe starrer Bewegungen der hyperbolischen Ebene

591



592 H. Seifert, Geschlecht von Knoten.

erfiillt werden. Man konstruiere namlich in der hyperbolischen Ebene

ein Dreieck A Br mit den Winkeln ' J I; /7 , ' J I; /5 , ' J I ; / 3 und verstehe unter A

eine Drehung um die Ecke A durch den Winkel - 2 ' J I ; j 7 , unter B die

Drehung um B durch den Winkel + 2 ' J I ; j 5 , unter 0 dieSpiegelung an der Seite A B~(Fig. 12). Dann bedeuten

A' 0-1 A-3 0 = A' (0-1 A-I 0)3

r

B-2 0-1 Ba0=Br» (0-1 B 0)3und

offenbar die identische Transformation 9) . Den mittleren

Ausdruck in (28) schreiben W IT so:

[AB-1] [A (0-1 BO)][(O-lA-l 0)(0-1 B0)].

AIle drei eckigen Klammern bedeuten dieselbe hyper.

bolisehe Bewegung, namlioh die Drehung um r durch den

Winkel 2 ' J I ; / 3 , so da.13der gauze Ausdruck wiederum die

identische Transformation ist. Die Gruppe, die von den hyperboliachen

Bewegungen A, B, 0 erzeugt wird, erfiillt also die Relationen (28). Somit gilt

Sat z 7: Es gibt K noten, bei denen swh die , H omologiegruppen de r

s{),mtlichen zyklischen tJberlagerungen aut das Nullelement reduzieren uM

die sich demgema{J weder durch die Alexandersche Polynominvariante n o o k

durch die Torsionskoettizienten und Bettischen Zahlen der zyklischen t J b e r .

lagerungsmannigfaltigkeiten von der Kreislinie unterscheiden lassen.

BB

Fig. 12.

9 ) Das Produkt U V zweier Abbildungen wird erhalten, wenn man erst T ' und

dann U ausiibt.

(Elngegangen am 27. 6. 1934.)

H. Seifert- Uber das Geschlecht von Knoten

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