Über Hilbertsche Körper.

Über Hilbertsche KörperVon Rolf Klein in Erlangen

In Weissauer [6] wurde kürzlich mit Hilfe der Modelltheorie gezeigt, daß (ver-allgemeinerte) Krullringe der Dimension > l hilbertsche Quotientenkörper haben. Insbe-sondere sind daher Quotientenkörper faktorieller Integritätsbereiche der Dimension > lhilbertsch, aufgrund des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes also alle Potenzreihenkörperin n ̂ 2 Variablen. Weil in einem Krullring R jedes von 0 verschiedene Primideal dasZentrum einer essentiellen Bewertung auf R enthält (vgl. Beweis von Satz 6, § 4), ist dieDimensionsbedingung gleichbedeutend damit, daß für wenigstens eine essentielle Bewer-tung v der Restklassenring von R nach dem Zentrum von v kein Körper ist, also nichtalle ^-Einheiten aus Quot(#) an der Stelle v durch Elemente aus R approximiertwerden können. Nun sind aber auch bei den Körpern mit Produktformel und den inPreuss-Schmidt [5] axiomatisierten „arithmetischen" Körpern Relationen im System derreellen Beträge für die hilbertsche Eigenschaft verantwortlich; es liegt daher nahe, allge-mein nach der Unabhängigkeit der reellen Beträge nicht-hilbertscher Körper zu fragen.

Diese Frage soll im folgenden mit den Methoden aus Geyer [2] untersucht werden,welche einen in Preuss-Schmidt [5] auftretenden Fehler korrigieren und auf den klas-sischen Ansatz von Hubert [3] zurückgreifen. Im ersten Paragraphen werden dieseMethoden in der später benötigten Form vorgestellt. § 2 beginnt mit dem Beweis desIrreduzibilitätssatzes für arithmetische Körper aus Geyer [2]; anschließend wird durch eineleichte Modifikation des Beweises gezeigt, daß jedenfalls solche faktoriellen Integritäts-bereiche R hilbertsche Quotientenkörper haben, die — wie die Potenzreihenringe inmehreren Variablen — außer den durch die Primelemente von R gegebenen nochweitere auf R ganze reelle Bewertungen besitzen. § 3 macht eine Approximationsaussageüber reelle Beträge auf nicht-hilbertschen Körpern. Als Folgerung daraus wird in § 4die oben gestellte Frage folgendermaßen beantwortet: Ist S ein System reeller Beträgevon endlichem Typ auf einem nicht-hilbertschen Körper K, so kann man an endlichvielen Stellen aus S vorgegebene Elemente von K stets beliebig gut durch solche Elementevon K approximieren, die an den übrigen Stellen in S betragsmäßig ^ l sind. Hierausfolgt sofort die hilbertsche Eigenschaft für Produktformelkörper; besteht S nur ausBewertungen, ergibt sich der Weissauersche Satz in etwas schärferer Form.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. W.-D. Geyer, dem Betreuer meinerDissertation, für seine Anregungen und die Verbesserungsvorschläge nach der Durch-sicht eines ersten Manuskriptes herzlichst danken.

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172 Klein, Über Hilbertsche Körper

§ 1. Additive Elimination*4

Wir wollen die heute übliche Definition des Hilbertschen Körpers zugrundelegen:

Definition 1. Ein Körper K heißt hilbertsch, falls zu je endlich vielen in X separablenund irreduziblen Polynomen Fi (/, X), . . . , Fm(t, X) e K(t) [X~\ unendlich viele 6 Kexistieren, für die /i ( , X},. . ., Fm(r, X) definiert und irreduzibel in K[X~\ sind.

Aufgrund eines Satzes au^ Preuss-Schmidt [5] unterscheidet sich diese Definitionvon der ursprünglichen, dieT keine Separabilitätsvoraussetzung macht, nur im Falle un-endlicher vollkommener Körper der Charakteristik p > 0 ; solche Körper können höchstensim Sinne von Definition l hilbertsch sein (Xp — t zum Beispiel ist hier nicht irreduzibelspezialisierbar). Endliche Körper 'sind nicht hilbertsch.

Manchmal ist es nützlich, über folgende äquivalente Charakterisierungen der hilbert-schen Eigenschaft zu verfügen:

Satz 1. Für einen Körper K sind äquivalent:

(i) K ist hilbertsch.

(ii) Für jedes in X normierte und separable Polynom F £ K[t, X~\ ohne Nullstelle inK[f\ gibt es ein e K, so daß ( , ) keine Nullstelle in K hat.

(iii) Für jedes irreduzible, in X normierte und separable Polynom F e K[t, X~\ gibt esunendlich viele € K, für die ( , X) irreduzibel in K[X"\ ist.

(iv) Zu jeder endlichen separablen Erweiterung E/K(t) gibt es unendlich viele Stellenersten Grades von K(t)/K, die in E träge sind.

Beweis, (i) => (ii) ist klar.

(ii) => (iii). In jeder möglichen Zerlegung F(r, X) = G(X) - H(X) in normierte Fak-toren über dem Zerfällungskörper von F liegt wenigstens ein Koeffizient von G oder Hnicht in K(f). Für endlich viele vorgegebene Elemente ri9...,rmeK sei Fi(t, X) dasProdukt der Minimalpolynome aller dieser Koeffizienten über K[t~] und der PolynomeXq — (t — ), \<q teilerfremd zur Charakteristik von K. F1 liegt in K\_t, X~\, ist in Xnormiert, nach Weglassen mehrfach auftretender Faktoren separabel und hat keinenLinearfaktor in X. Hat F^ ( , X) für e K keine Nullstelle in K, so ist F(r, X) irreduzibelund kein .

(iii) => (iv). Betrachte ein über K[f\ ganzes primitives Element von EjK(t).

(iv) => (i). Sei zunächst ein Polynom F wie in Definition l gegeben; für geeignete

Polynome a(t)9 b ( i ) e K { f ] ist /i (i, X) = b(t) F\ t, —-X } normiert in X und ganz in

t. Ferner sei E=K(t,x) mit F1(t, x) = 0. Für fast alle in E trägen Stellen t — vonK(t)/K ist keine Nullstelle der (nicht identisch verschwindenden) Diskriminante vonF1 über K(i), also mod t — primitives Element der RestklassenkörpererweiterungEl K und daher /^( , ) irreduzibel über K. Für die mit ( ) ?( ) ist ( , }definiert und irreduzibel.



Klein, Über Hilbertsche Körper 173

Nun seien Fl9...9Fm wie in Definition l und K der Konstantenkörper im Zer-fallungskörper E der F{ über K (t); K! K ist galoissch. Die in E trägen Stellen t - vonK(t)IK sind als Stellen von K(t)/K wieder träge in E, insbesondere also im Wurzelkörpereines irreduziblen Teilers G von Fi in K(t) pf]; für fast alle diese ist daher G(t, X)definiert und irreduzibel über K. Die übrigen irreduziblen Teiler H von Fi sind über Kzu G konjugiert, also ist auch H ( , ) irreduzibel über K. Vermeidet man die endlichvielen mit G(i, ) = ( , ), so ist für die verbleibenden ^( , ") definiert undirreduzibel über K. Damit ist Satz l bewiesen.

Nach Lang [4] nennt man einen Integritätsbereich R mit Quotientenkörper Khilbertsch, falls man in der Situation von Definition l immer unendlich viele infinden kann. Mit R ist natürlich auch K hilbertsch. Dagegen kann sehr wohl K hilbertschsein, R aber nicht; siehe dazu die Folgerungen 3 und 4 in § 2.

Die Grundidee für den Nachweis, daß ein Körper hilbertsch ist, besteht nun darin,von einem Polynom F wie in Satz l, (ii), auszugehen und aus einer Gleichung

notwendige Bedingungen für das Verhalten von in Abhängigkeit von bezüglich derBeträge |·| von K herzuleiten, z.B. \ \ durch | | abzuschätzen. Wenn man dann sowählen kann, daß es in K kein Element gibt, welches allen diesen Bedingungen genügt,so kann F(T, X) in K keine Nullstelle besitzen, folglich ist K hilbertsch. Dieses Vorgehenkann offenbar nur dann gelingen, wenn im System der Beträge von K Relationenherrschen, die die Existenz gewisser verbieten.

Einen ersten Schritt in diese Richtung macht

Lemma 1. Sei h(X} = Xn + an-i Xn~l + ··· + a0 e K[X] und |·| ein reeller Betrag

auf K. Gilt für ein qelR

\av\^-^qn~v für v = 0,. . ., n- l,

so gilt für jede Nullstelle von h in K:

ICI^·

Beweis. Für q = 0 ist £ = 0. Sei # ; wäre \ \ >q, hätte man wegen

Kl"n n

die Ungleichung

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Folglich ist |£| im wesentlichen durch die Koeffizienten von F in K nach obenbeschränkt, wenn | | klein ist. Um im Fall, daß | | groß ist, Informationen über zubekommen, folgen wir dem Hilbertschen Ansatz und betrachten die Puiseuxreihen von Fam Pol von i; eine von ihnen wird bezüglich | · | gegen konvergieren. Wir können dabeivoraussetzen, daß der Pol von / unverzweigt ist im Zerfallungskörper E von F überK(t). Andernfalls finden wir (K ist unendlich) ein aeK, so daß t — a in E unverzweigt

ist, und ersetzen / durch t' ' = - ; stattt — a

t)=Xn + (hn„^

mit hv(t') E #[/'], r0 = gradr(F), betrachten wir zunächst

#(^;n = ronFU;^Hat dann ( ', X) für ' e K keine Nullstelle in K, so ist ' wegen w > l , r0^l,

und auch F ( -- h a, X } hat keine Nullstelle in K. Außerdem darf man annehmen, daß'

die irreduziblen Faktoren von F in K[t, X~] absolut irreduzibel sind, denn jeder anderekann fortgelassen werden, weil er nur endlich viele Lösungen in K liefern kann.

Halten wir fest:

Folgerung 1. Ein Körper K ist genau dann hilbertsch, wenn für jedes PolynomFe K[t, X~] mit den Eigenschaften

(1)F ist normiert und separabel in X, der Pol von t ist unverzweigt im Zer-fällungskörper von F über K(t), die irreduziblen Faktoren von F in K[t, X]sind absolut irreduzibel und nichtlinear in X

ein e K existiert, so daß F(x9 X) keine Nullstelle in K hat.

Sei also F ein Polynom vom Grade n in X mit den Eigenschaften (1). Dann sindin der Puiseuxreihenzerlegung

v=l

am Pol von t die ( }( ) Potenzreihen in — mit Koeffizienten in einer endlichen Er-

weiterung L von K, aber keine Polynome in t, also

mit *v£l, ^Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)


Klein, ber Hilbertsche K rper 175

Ist | ·| ein reeller Betrag von K, fortgesetzt auf L, so sind die φ(ν}(ί) f r \t\ ̂konvergent, und ihr Verhalten im Gro en wird durch die im allgemeinen nicht-trivialen Hauptteile bestimmt. Ein ζ e K mit F(T, ζ) = 0 wird an den Stellen | · | von K,wo |τ| sehr gro ist, durch eine Puiseuxreihe dargestellt:

ζ = φ(ν\τ) bez glich |·|,

mu sich also dort gr enordnungsm ig wie ein Polynom in τ benehmen, und auf-grund von Lemma l an den Stellen von K, an denen |τ| klein ist, beschr nkt sein.Leider ist nicht zu sehen, warum solche Elemente ζ in K nicht existieren sollten. Wirwollen deshalb die Hauptteile der Puiseuxreihen φ(ν) eliminieren und benutzen dazu einadditives Eliminationsverfahren, das auf D rge [1] zur ckgeht.

Lemma 2. Sind z0, . . . , zr + 1 paarweise verschiedene Elemente des K rpers L und sind

die Koeffizienten der letzten Zeile der Adjungierten zur Vandermondeschen Matrix (z/),OSi /, 7^ r +1, so gilt f r jede Potenzreihe

le ^

deren Hauptteil h chstens vom Grad r ist:r+l 1

Σ ν

mit J = <

Beweis. Mit

ergibt sich die Entwicklung φ(ί + ζρ)= Σ 6y— m^

i v~» / i i + / P* * · <^ A A \~* /" 1 \ J ~ i l·* \ j~ i f" '"**>'

Wegen

L0, 7 = 0,..., r

erh lt man durch Aufaddierenr+l Ί oo Ί

Σ " "p=0

mit//*+/- 1\ r'H1

'Cll, U Σ\ l * / P=0

c.= - νρ·23*Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)


176 Klein, ber Hubert sehe K rper

W hlen wir also ein r mit r ̂ max rv und, falls char (K) =p>0 ist, r = — l mod pal^v^n

f r ein a mit pa>max ev und paarweise verschiedene Elemente z0,. . ., zr+1 von T, sohaben nach Lemma 2 die Potenzreihen

(2) <C....*+i>W=Z r,(z0 , . . . ,z r+1)'«p = 0

keine Hauptteile mehr; es ist

(3) V ( v ) W = 4 v ' + c r

und von z0 , . . . ,z r + 1 abh ngigen Koeffizienten 4V> in £· Nach Wahl

von r ist v l in K nicht 0, also

in

Nun sei £'={|.|(Τ; l^a^gs} eine s-elementige Menge reeller Betr ge von K, in festerWeise fortgesetzt auf L. Mit den Puiseuxreihen φ(ν}(ί) von F sind dann auch die Reihenψ(ν\ί) konvergent in den Komplettierungen La von L bez glich |·|σ. Es gibt alsoKonstanten C und M, so da f r alle τ e K mit

(4) \τ\σ^Μ f r σ = 1,.. . ,5

alle Puiseuxreihen konvergieren und f r die Reihen ψ(ν} die Absch tzungen

(4') lT-/

erf llt sind; hier haben wir nur den ersten Term der rechten Seite von (3) nach linksgeschafft und den Rest abgesch tzt.

Statt der durch die Puiseuxreihen φ(ν) dargestellten Wurzeln ζ von F(T, X) in Kbetrachten wir nun Elemente ξ, die — bez glich der Betr ge aus E — durch die haupt-teilfreien Reihen \//(v} dargestellt werden; die Konstruktion dieser ξ folgt Geyer [2].

Dazu geben wir uns eine (r +1) «s+1 -elementige Teilmenge Z von K vor undk nnen C und M so w hlen, da f r je r + 2 verschiedene Elemente z0 , . . . , zr+1 von Z(4) und (4') gelten mit C, M und ψ[?0,,,.,ΖΓ+ιΥ Sei nun te^mit \τ\σ^Μ f r σ=1,...,5.Angenommen, f r jedes z e Z hat Ρ(τ -h z, X) eine Nullstelle ζ in K', dann gibt es zujedem Betrag |·|σ aus E eine Puiseuxreihe φ(νσ} mit φ(ν<τ)(τ + ζ) = £ in La. Jedem z e Zwird auf diese Weise ein s-Tupel (νσ)σ in {1,...,«}S zugeordnet. Ein Schubfachschluzeigt, da es in Z mindestens r+ 2 Elemente z0 , . . . ,z r + 1 gibt, denen dasselbe Tupel(νσ)σ zugeordnet ist, d.h. es gilt

(5) ΦΜ***ζρ) = ζρ in La f r p = 0 , . . . , r + l.Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)


Klein, ber Hubert sehe K rper 177

Setzen wir

(6) ξ = Σ Κ ρ (ζ 0 , . . . ,ζΓ + 1 ) ·ς ,p = 0

so liegt ξ in ^; wegen (5) und (2) ist

£= Σ YP(ZO,· · ·, *,+ i ) ' £,= Σ' K,(ZO,· · ·-,+ > ) ' Φ(

p=0 p=0

bez glich |·|σ, wegen (4') gilt also

(7) <-^wobei wir zur Abk rzung ca = c(Qa) und fa =fV(T geschrieben haben. Nach eventueller Ver-gr erung der Schranke M in (4) folgt aus (7) £ΦΟ. H lt man in dieser Konstruktiondie Menge Z fest und variiert τ, so k nnen dabei in (7) h chstens

2^-Tupel (c^f a auftreten, denn die fa h ngen nur ab von dem s-Tupel (νσ)σ, das derTeilmenge {z0,. . ., zr+1} von Z zugeordnet ist, die ca au erdem noch von dieser Teil-menge. Alle fa entstammen der Menge {./Ϊ,. ..,.£}, die nur von den Puiseuxreihenvon F abh ngt.

Nun zum Verhalten von ξ au erhalb von E: Bezeichnet Π den Primring von Kund b = (l, b2,. . ., bm) den Vektor der Koeffizienten von F in K, so ist wegenΡ(τ + zp, (p) = 0 jedes ζρ ganz vom Grad ^ n ber Π [τ, b, z ; z e Z] ; wegen (6) ist daher

(9) ξ ganz ber /7[τ, b, z; zeZ] vom Grade ^n r + 2 .

Sei nun |·| irgendein reeller Betrag von K mit |z|gl f r alle zeZ; wir wollen \ξ\nach oben absch tzen. Sind gv(t) die Koeffizienten von F in Kit'] und r0 der r-Gradvon F, und setzt man |F| = max(l, \b2\9. - ., |6J)^1, so ist

aus F(t + zp, Cp)=0 folgt nach Lemma l

ig

und wegen

\vp\= n0

ergibt sich nach (6) insgesamt

(10) | i |^rf | /Hmax(l , |tp) f r rf^Ai(r0 + l)(r-f 2) 2("2 ) + r°.Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)



Fassen wir zusammen:

Lemma 3. Sei F(t, X} e K[t, X~] ein Polynom mit den Eigenschaften (1) aus Folge-rung l, seien n = grad^ (F), r0 = grad, (F), r wie vor (2) zu F gewählt und b = (l, bi9 . . . , bm)der Koeffizientenvektor von F in K. Dann gibt es zu jeder endlichen Menge

reeller Beträge von K und jeder (r+1) ns+ \-element igen Teilmenge Z von K KonstantenC, M und eine N-elementige Menge T von 2s-Tupeln (ca,fa}a mit l ^j£ e N und 0=Nc f falgebraisch über K, so daß folgendes gilt:

Zu jedem e K mit

(a) \ \ ^ für =1, . . . ,* ,

(b) F(t + z, X) hat für alle zeZ eine Nullstelle in K

gibt es ein e K* und ein Tupel (ca,fa)a e T mit

(0

(ii) ö/ gawz über / [ , b, z; z 6 Z] t;ora Grade ^«r+2,

(iii) |{| <i rf|/l max (l, | °) für jeden reellen Betrag von K mit \z\ ̂ l ywr alle z e Z.

* wi /I der Primring von K, N= ( (r + i>n + 1 J und d= n(r0 + 1) (r + 1) 2^+'°.

Schreibweise. In dieser Situation bedeute

daß (a) und (b) erfüllt, wie oben zu konstruiert ist und dabei in (i) das 25-Tupel(c0J0}a e T auftritt.

Im nächsten Paragraphen werden zwei Körperklassen betrachtet, in denen schondie in (i) enthaltenen Bedingungen an \ \ zusammen mit (ii) und (iii) bei geeigneterWahl von nicht erfüllbar sind.

§ 2. Arithmetische Körper und Quotientenkörper faktorieller Integritätsbereichemit exzeptioneller Bewertung

Zunächst sei an die Definition der arithmetischen Körper aus Preuss-Schmidt [5]erinnert; dort werden sie übrigens „arithmetisch halbendlich" genannt, aber wir folgenGeyer [2] und lassen den Zusatz „halbendlich" fort.

Definition 2. Sei K ein Körper mit einem nichtleeren System S nichttrivialer,paarweise inäquivalenter reeller Beträge. Falls 5 archimedische Beträge enthält, seiendiese so normiert, daß sie auf 0 den gewöhnlichen Absolutbetrag induzieren. SeiBs = {yeKi\y\<:l für alle \*\eS}.



Klein, Über Hubert sehe Körper 179

(i) S heißt vollständig, falls für alle e K* gilt: e Bs => — 6 Bs.

(ii) S heißt beschränkt, falls jedes e /£ Quotient von Elementen aus Bs ist.

(iii) S (und dann auch Ä^) heißt arithmetisch, falls S vollständig ist und einedisjunkte Zerlegung S=Sf u E besitzt, in der 5' beschränkt und E endlich ist.

Aus der Definition ergibt sich unmittelbar

Folgerung 2. (a) Ist S beschränkt, so ist für m^l die Menge

>(™} = )yeBs', \y\<— für alle archimedischen Beträge in S

nicht 0, denn aus einer Darstellung 2 = — mit a, b e Bs erhält man für archimedischeb

Beträge 2\b\ = \2b\ = \a\^ l, und eine genügend hohe Potenz von b liegt dann in B(™}\wegen Bs - B(™} <= B(™} ist daher jedes e K auch Quotient von Elementen aus B(™\

(b) Ein nichttriviales System S kann nicht gleichzeitig beschränkt und vollständigsein', daher ist die endliche Ergänzungsmenge E in (iii) der Definition nichtleer.

Beispiele. Alle endlichen algebraischen Zahl- und Funktionenkörper sind arithmetisch.Hier ist die Menge S aller Stellen vollständig wegen der Produktformel und jede echteTeilmenge beschränkt nach dem starken Approximationssatz.

Aufgrund des folgenden Lemmas vererbt sich die arithmetische Eigenschaft stetsauf endliche und manchmal auch auf unendliche algebraische Erweiterungskörper:

Lemma 4. Sei S auf K beschränkt bzw. vollständig. Dann ist die Menge S derFortsetzungen von S auf eine algebraische Erweiterung L von K ebenfalls beschränkt bzw.vollständig. Ist S = S' u E arithmetisch, so ist S = S7" u E folglich arithmetisch, falls E end-lich bleibt.

Beweis. Sei S beschränkt; nach Folgerung 2 (a), genügt jedes xe L* einer Glei-chung anXn + an-.iXn~l H \-a0 mit Koeffizienten in B(g\ 0. Dann ist anx Null-stelle von

Da a„_ i , . . . , a%~ia0 in /$° liegen, ist nach Lemma l $9 also Quotient vonElementen aus B$.

Nun sei S vollständig und 0+xeBg. Sei H e S beliebig mit FortsetzungenK,..., |.|M auf K(x). Für die Norm N von K(x)/K gilt dann

\Nx\ = M?i=l

mit gewissen Zahlen n{^\. Wegen |x|^l ist \Nx\^\, und weil S vollständig ist:\Nx\ = l für alle Beträge in S. Dann muß auch \x\i=l sein für alle /, d.h. S ist voll-ständig.



180 Klein, Über Hubert sehe Körper

Danach ist zum Beispiel auch der Körper L = 0( ; n e N) aller /?-Potenz-Einheits-wurzeln für eine feste Primzahl p arithmetisch; hier liegen sogar über jeder nicht-archimedischen Stelle von Q nur endlich viele Stellen von L.

Für arithmetische Körper gilt

Satz 2. Jeder arithmetische Körper ist hilbertsch.

Beweis (nach Geyer [2]). Sei S^=S'uE arithmetisch auf K. Sollte für einenBetrag aus E Bs,c:B\.\ sein, so schlagen wir ihn zu S"; S' u {|·|} ist immer noch be-schränkt, und dieses Vorgehen kann E nicht ausschöpfen wegen Folgerung 2 (b). Mandarf also annehmen, daß ={\

(11) A,

\ \ l^a^s} ist mit s^l und

Folgende Aussage wird uns gleich die für eine Anwendung von Lemma 3 ge-eigneten Elemente liefern:

Lemma 5. Zu jedem q e N gibt es ein p e B(/) mit \ \ > l für = l , . . . , s.

Beweis. Induktion über s. Angenommen, man hat schon ein p e B(/,q) gefunden mit| | >1 für = 2, . . . , s. Ist auch |p l i>l , so ist man fertig. Sei also | | =1· Nach (11)gibt es ein a e Bs, mit \a\i > 1. Wir können gleich a e Bf,^ annehmen, denn sonst ist fürgeeignetes r p a r e ß f , q } und |par|1>l. Nun wählen wir ein n mit M i > l + lp l i undein m mit | p | J > l + | a \" für = 2, . . . , s. Dann leistet p = an + pm das Verlangte:peB$ und

Im Induktionsanfang findet man ein von 0 verschiedenes p in B$ nach Folgerung 2 (a).

Sei nun F(t, X) e K[t, X"] wie in Lemma 3. Wir dürfen annehmen:(12) die Koeffizienten bj von F liegen in Bs,;

andernfalls fuhren wir mit dem Hauptnenner a einer Darstellung der bj als Quotienten

aus Bs, (S' ist beschränkt!) die Transformation a"Fu, — X\ durch. Wir nehmen nachLemma 5 ein \ /

peB^ mit | | >1 für =1, . . . ,^

und setzen Z={1, p, p2 , . . . , p(r+1)/|S}. Lemma 3 liefert nun C, M und eine endlicheMenge von 2^-Tupeln (^ ,^) ; bei hinreichend großem gilt:

(13)

(14)

(15) _ / f_„ + -J^rr < l für alle (c^ D„ e T.

pa e Bg) , d wie in Lemma 3 ,



Klein, Über Hilbertsche Körper 181

Dann erfüllt wegen (14) = 2 die Voraussetzung (a) aus Lemma 3. Hätte nun fürjedes zeZ F(r + z , X ) eine Nullstelle in K, so gäbe es nach Lemma 3 ein * undein (c f f,^) f fe mit

gC—^r für < j = l , . . . , j ,(i)

(ii) ist ganz über [p, b],

(iii) \ \^ für alle Beträge in 5"

wegen (12) und (13). Für = * ist dann nach (i) und (15) |A|,<1 für die\·\ € 9 wegen (ii), (12) und (13) ist |A|^ l für die nichtarchimedischen Beträge in S",und aufgrund von (iii) und (13) ergibt sich

für die archimedischen Beträge in S'. Die Existenz eines solchen 0 in K widersprichtaber der Vollständigkeit von S = S' u E. Damit ist Satz 2 bewiesen.

Der Beweis liefert etwas mehr als den bloßen Nachweis der hilbertschen Eigen-schaft, denn wir haben Elemente , für die F(t, X) keine Nullstelle in K besitzt, nichtnur in K sondern in einer endlichen Teilmenge bekannter Mächtigkeit gefunden. Hierauslassen sich Dichteaussagen gewinnen; siehe dazu Geyer [2].

Durch eine leichte Modifikation des Beweises wollen wir nun eine weitere Körper-klasse als hilbertsch erkennen:

Satz 3. Sei R ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper K. Es gebeauf K eine nichttriviale reelle Bewertung |·|2, die auf R ganz und zu keiner der zu denPrimelementen n von R gehörenden -adischen Bewertungen äquivalent ist. Dann ist Khilbertsch.

Beweis. Das Zentrum von | · 12 auf R enthält mindestens zwei verschiedene Prim-elemente , von R. Es sei \·\^ der -adische Betrag, so normiert, daß

(16) Wi = W2

ist. Rn bezeichne im folgenden die Lokalisierung von R nach den Potenzen von .Wieder sorgen wir zunächst für geeignete Elemente :

Lemma 6. Zu Konstanten Af, Q, y ̂ l gibt es Elemente in Rn mit

(17)

Journal für Mathematik. Band 337 24Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)Authenticated | 172.16.1.226


182 Klein, ber Hilbertsche K rper

Beweis. Wir machen den Ansatz τ = π*π α mit a, b E N. Dann liegt τ in Rn, undmit den Abk rzungen νν=|π|1 = |π|2< Ι, >> = |π|2<1 ist (17) wegen |π|! = 1 quivalent zu

il

oder

Wegen

w

log wlogy

_V ) log y γ log y

log w log Mlogj logy

>0 wird mit a die obere Schranke und die Differenz zwischen ihr und

der unteren Schranke beliebig gro , so da man viele b e N dazwischen findet.

Nun sei F(t, X) wie in Lemma 3; nach einer geeigneten Transformation liegt Fin R [t, X~\, also kann man gleich annehmen

(18) die Koeffizienten bj von F liegen in R.

Wir setzen Ε={\·\19 \·\2} und Z = {1, π,..., π(Γ+1)ί|Α}. Nach Lemma 3 geh ren dazuKonstanten C, M und eine Tupelmenge T. Es sei

y = max {l, ~-) und Q = max ( l ,/i

wobei ber alle (ca,fa)a=l 2 e ̂ maximiert wird. Zu M, Q und y sei τ nach Lemma 6

gew hlt; dann erf llt τ die Bedingung (a) in Lemma 3. H tte also f r alle zeZΡ(τ + z, X) eine Nullstelle in K, so g be es ein ξ e A"x und ein (ca,fa)a e T mit

(i)1

σ=1,2,

(ii) ξ ist ganz ber 77[τ, b, π].

Mit (18) und τ e Rn folgt aus (ii): <|ergibt sich aus (i)

π. Weil \·\^ und |·|2 nichtarchimedisch sind,

^1 und

falls M (und damit IT^ und |τ|2) gro genug ist. Wegen \ξ^ ^ l liegt daher ξ sogar in R;sei also ξ = πνξ' mit v^O, ξ'e R, π^ξ'. Weil |·|2 auf R ganz ist, hat man |ξ'|2^1,und mit |̂ |! = 1 und (16) folgt

r/2

alsoT/'

Das aber steht im Widerspruch zu (17); Satz 3 ist damit bewiesen.Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)



Folgerung 3. Potenzreihenk rper K = k ((X{,..., Xm)) in m ̂ 2 Variablen sindhilbertsch.Zu jedem in X normierten, reparablen Polynom F(t, X) E R [r, X ] , R=k[[X{,..., Xm~\\,in dessen Zerf llungsk rper ber K(t) der Pol von t nicht verzweigt und das keinenLinearfaktor in X hat, gibt es Zahlen H e N, 0 < δ < l und A >0, so da f r allea.beN mit δα + A^b^a-A ein he N existiert mit Ο^Λ^//, so da

a+h—t— Λ /·»

χ· '*Λ1

keine Nullstelle in K besitzt.

Beweis. Nach dem Weierstra schen Vorbereitungssatz ist R faktoriell, und die(Xl9..., Jfm)-adische Bewertung hat auf R das Zentrum ( A ^ , . . . , Xm) der H he m. F rπ = Χί, π = Χ2 in Lemma 6 ergibt sich die Behauptung.

Es stellt sich die Frage, ob die hier auftretenden Nenner Xf wirklich erforderlichsind, oder ob auch die Potenzreihenringe £[[Α\,..., A^]] hilbertsch sind. Dies ist nichtder Fall aufgrund von

Lemma?. Sei R ein henselscher Integrit tsbereich. Dann gilt:

(i) R ist nicht hilbertsch.

(ii) Ist R ein Bewertungsring, so ist auch # = Quot(R) nicht hilbertsch.

Beweis. Sei M das maximale Ideal von R und n e N teilerfremd zu char (K) undchar(R/M). F r ein Element ρφΟ aus M betrachten wir die Polynome

Beide sind irreduzibel, in X normiert und separabel. Sei τ 6 K. Ist τ aus R, so istpT + l= lmodM, also p τ -l· l eine n-te Potenz in R; Fl kann daher durch Elemente

aus R nicht irreduzibel spezialisiert werden. F r — 6 R ist p -- h l w-te Potenz in Rund daher . .

τ"'1 (τ + ρ) = τη ( l + ρ — } w-te Potenz in K;

folglich ist F2(T, X) reduzibel. Falls R ein Bewertungsring ist, gibt es daher kein τ in K,

nach dessen Einsetzung jF\ und F2 irreduzibel w ren, denn τ oder — liegt in R.

Folgerung 4. (i) Potenzreihenringe ^[[Α^,..., A^]] sind nicht hilbertsch.

(ii) Potenzreihenk rper k ((X)) in einer Variablen sind nicht hilbertsch.24*Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)


184 Klein, ber Hubert sehe K rper

§ 3. Ein Approximationssatz

Sei K ein nicht-hilbertscher K rper; nach Folgerung l existiert dann ein PolynomF(t, X) e Kit, JSf] ohne Linearfaktor in X, so da Γ(τ, Χ) f r jedes τεΚ eine Null-stelle in K besitzt. Von F durften au erdem gewisse Eigenschaften (1) vorausgesetztwerden, die von eher technischer Natur waren.

Sei nun τ ein Element von K mit |τ|σ>1 f r eine endliche Menge

reeller Betr ge von K. Wir wenden Lemma 3 mit seinen Bezeichnungen auf F(t, X), Eund Z={1, τ,. . ., T

(r+1)nS} an; danach gibt es Konstanten C, M und eine TV-elementigeMenge T von 2^-Tupeln (ca,fa)a, so da zu jedem p e K mit

(a)

ein ξ e K* und ein 6 T existieren mit

(19)

(i) J- <T

Ρ/σ

1f r σ = 1,..., s,

(ii) ξ ist ganz ber J7[p, b, τ] vom Grade ;gw r + 2 ,

(iii) \ξ\ ̂ rf|F| max (l, |p|r°) f r jeden reellen Betrag von K mit |τ| ̂ l ,

in Zeichen p f. Dabei ist b der Koeffizientenvektor von F in K, die Zahlenr, n, r0, d h ngen ebenso wie die Menge aller in Elementen von T auftretenden fff nurvon F(t9 X) ab, die Zahl N h ngt au erdem ab von der M chtigkeit s von E; sieheLemma 3.

Bezeichnungen. Es seien c = min \ca\a, f=maxfa, J=max \fa—fp\, ber alle Tupelaus T und jeweils alle Stellen σ, ρ gebildet.

In §2 wurde nur die in (i) enthaltene Information ber \ξ\σ ausgenutzt. Nunwollen wir aus (i) eine Approximationsaussage gewinnen und gehen von folgender

berlegung aus: F r gro es a erf llt ρ = τα die Voraussetzung (a). Angenommen, in demTupel (€σ,/σ)σε T mit τα

(c f } > ξα w ren alle ca = \ und alle^=^; dann w rde f r

η=ζατα/α~ι gelten: ηα ^ <?|τ|Γ(α+1) f r σ= l,.. ., s, ηα ist ganz ber /7[b, τ] vomτ a

Grad ^nr+2, und f r jeden reellen Betrag von K mit |τ|^ l ist \ηα\^ά\Ρ\. F r gro e a

h tten wir damit Elemente ηα in K gefunden, die — an den Stellen aus E approxi-

mieren, au erhalb von E aber berall dort ganz oder zumindest von beschr nkter Gr esind, wo τ ganz ist. Tats chlich lassen sich die durch das Auftreten verschiedener ce



Klein, ber Hubert sehe K rper 185

und fG in (i) verursachten St rungen bei der Approximation von — eliminieren; mit der

Definition 3. F r ein Polynom FeK[t, X~] mit Koeffizienten bj in K, ZahlenV,WE N und £»0 und ein Element τ von K sei K^DtW\r) die Menge aller η Ε Κ mitfolgenden Eigenschaften:

(i) η ist ganz ber Π[b, τ] vom Grade ^v,

( ) \η\^Ο\Ρ\™ f r jeden Betrag von K mit |r|g l

gilt

Satz 4. Sei K nicht hilbertsch, FE #[/, X~\ wie oben und s^.1. Dann gibt es Zahlenv, w e N und D > 0, so da f r je s reelle Betr ge \·\σ von K und jedes Element τ Ε Κmit |τ|σ>1, l^<rgs , gilt:

l s

— ist Grenzpunk t von K(F

v<D*w}(r) in Π (#>!·!) ·

Beweis. Wir f hren den Beweis f r eine feste Menge £={1·^; I rg t f^s} und einfestes τ e K mit |τ|σ> l f r σ= l , . . . , s, werden aber Zahlen v, D und w erhalten, die— wie in der Vorbetrachtung — nur von F(t, X) und s abh ngen.

Wir m ssen zeigen, da der Punkt ( l . . .1) Grenzpunkt (also H ufungspunkt oderElement von) einer Menge τ . ̂ D 'w) ist. Aufgrund der Tatsache, da die Zahlen^eines Tupels (ca,fff)ffe T in (19) (i) im allgemeinen nicht f r alle σ gleich sind, werdensich zun chst gewisse Punkte Pt mit Koordinaten in {οο ,Ι,Ο} als Grenzpunkte einer

s

solchen Menge in Π ( ^ I * U ) » K=Ku {oo}, ergeben (Folgerung 5). Lemma 8 und

Lemma 9 liefern M glichkeiten, aus schon vorhandenen Grenzpunkten neue zu bilden,und Lemma 10 zeigt schlie lich, da diese M glichkeiten ausreichen, um den Punkt(1.. .1) als Grenzpunkt zu erhalten.

Lemma 8. F r ein s' mit l^s'^s und Zahlen v^ Z)l5 w{ sei der Punkt

P = (oo . . .00 l . . .1)s-s' "T"""

s

Grenzpunkt von K(Vi'Di'Wl) in Π (K, l *U) · Dann gibt es ein t mit l^t^s' und Zahlen

Si,· · -iSt^l mit Si H \-st = s', so da nach geeigneter Vertauschung von | » | S _ S ' + 1 ? . . . , |*|sdie Punkte

Si

Grenzpunkte von τ.#«^'^> sind f r v2 = (vlnr+2)N+i, w2 = (

. = ( 0 . . . 0 o o . . . o o . . . o o . . . o o 1 . . . 1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 )



186 Klein, ber Hilbertsche K rper

Beweis. Sei zun chst ein ε>0 fest vorgegeben. Wir wollen durch iterierte Anwen-dung von (19) eine Folge

0ιται-1^£ι,£ι02τα2-^2,···,<^

konstruieren mit monoton wachsenden am e IN und Elementen

(20) eme#*»D^nUt(P)

aus einer den Punkt approximierenden Folge (0) in f^v^D^w^\ Dazu bestimmen wir dieam induktiv durch

32C , , 2 , , , „ . f(21) τ?> , τ?»>— τ?-' ξ,-ι;1 f r σ=1, . . . , ,* ,ec εw hlen θ^ beliebig und 9m — nachdem am schon gew hlt ist — so, da

dies ist m glich, weil P an den ersten s —s' Stellen die Koordinate oo hat, die Folgen-glieder von (Θ) also hier beliebig gro werden. F r das δ in (20) gelte

(23) (l+(5/-l<|- und (\-δ)~τ<2.64

Per Induktion folgt aus (21) f r \^m<q^N+\/2_y~m

*~ ι τ σ \e)

also erst recht

(24) II -ζ τ—l >^V^TJ ISm Sfl-lT U^ ε

und32C

(25)o C

Aus (22) erh lt man

(26) |θ,|β>— 1^1- 1&,- ίι-ι^"*"Ιί. a = l,...,J-i'.ο

Weil wegen (20) und der Beschaffenheit von P l j^ f r alle m und alle σ nach untenbeschr nkt ist, folgt aus (25), falls ε klein genug ist, insbesondere

nach (19) (a), ist daher die Existenz von £m in der Konstruktion unserer Folge ge-sichert. Nun entstammen die Tupel u l9. . ., uN+1 der JV-elementigen Menge Γ und k nnendaher nicht alle verschieden sein; sei etwa

(27) Um = u=(c0Jff)ff f r m9q mit \^m<qBrought to you by | University of Chicago (University of Chicago)



Ordnet man die hier auftretenden Zahlen ^_s,+1,. . .,fs nach wachsender Gr e, ergibtsich eine Partition

{j-j' + l,. . . 9 s } = Bi u B2 u ··· u 5M 5;Φ0,

so da f r p, σ ̂ s - s' + 1 mit p e 5f , σε 5,·, gilt :

(28) fp£f„oi£j.

F r /= l,. . ., t setzen wir nun

'

wobei ̂ das zu den σ e 5( geh rende fa ist. Mit den Abk rzungen

ist also

und nach Konstruktion der Folge gilt mit dem Tupel (€σ,/σ)σ aus (27)

Wir betrachten nun das Verhalten von tf/, an den verschiedenen Stellenzun chst σε 5,; dann ist^=^. Wegen (30) folgt aus (19) (i),

< j _ c j _ j=

. Sei

aufgrund von (24), (25), und weil nach (20) und der Gestalt von P f r a^.|0, - 1 U < 5 ist. Mit

— s

θ{Λ

(nach (23)) folgt daraus

Ebenso ergibt sich

-1

< —, alsoo

-1

Insgesamt folgt daher f r σ e

(31) N,.-l|^ -l --1




Für e Bj mit i3=j ist nach (28)

(32) l \ß\fi~fj\ \ \ s

> — für

< s für i

denn nach (24) ist |/ | > — , und wegenG

Bj liegt ·̂ bezüglich |·| nahe an l, wie

wir gerade gezeigt haben. Dagegen ist für e {!,. . ., s — s'}

(33) ~fa

nach (26) und weil wegen (30) und (19) (i), Zähler und Nenner des rechten Bruchesnahe an ca liegen. Ordnen wir also |· |5_ s / + 1 , . . . , |· |s gemäß der Partition Bl9..., Bt, sofolgt mit st= aus (31), (32) und (33)

rneUM) für /= ! , . . . , / .

Nach Voraussetzung sind 0 l 9 . . . ,0 N + 1 über [b, ] ganz vom Grad ^gi^; durchsukzessive Anwendung von (19) (ii), auf &, . . . , £#+1 folgt daher aus (29)

i ist ganz über il[b, ] vom Grade ^ i

Mit (19) (iii), folgt aus \0J\^D1 \F\™1 per Induktion

l im l = y ° für y== <mit (29) also

für jeden reellen Betrag von K mitBehauptung des Lemmas

|^ 1. Also ist mit den Größen v29 D2, w2 aus der

für /=

Führt man nun die gesamte Konstruktion für ein kleineres erneut durch, so werdendie Zahlen fa des ersten sich dann wiederholenden Tupels in (27) möglicherweise eineandere Partition von {s — s' + l,. . ., s} induzieren; für — > 0 kommt aber wenigstenseine Partition unendlich oft vor. Damit ist Lemma 8 bewiesen.

Für sf = s und P = (l . . .1) e A^1»1*^ erhält man aus Lemma 8 die

Folgerung 5. Nach geeigneter Numerierung der \·\ gibt es ein t mit i^t^s undZahlen s^ , . . . , st ̂ l mit st-\ ----- h st = s, so daß die Punkte

Grenzpunkte von

~( . . .00 . . . oo. . .00 1 . . .1 0. . .0 . . .0. . .0), / = ! , . . . , /«$ iSj _ j «Sf »s* j .f. ^ »5^

KCI.B..W.) /„ fi (R,\.\e) sind für Vl =«<'+2><"+1>, Wl=Nf(r0-



Klein, ber Hilberlsche K rper 189

Lemma 9. Sei P1 =(λν... As) Grenzpunkt von τ · Ar*"1'01'Wl) und P2 = (μί.. ,μ5) Grenz-punkt von τ - K(V2>D2>W2} mit Koordinaten 4, μσ e {oo, l, 0}.

(i) Gilt f r alle σ : 4 = 0 oder μσ = 0, so ist

Pl+P2 = (Vl...vs) mit νΒ = {^4:°,

Grenzpunkt von T.^i^,D1 + D2, max^,^))

(ii) Sind alle 4 e {oo, 1} und ist P2 φ(0. . .0), so ist

(oo f r 4 = °op . p· = ( V l . . . vs) m/7 νσ = < ^\μ« f r 4 = 1Grenzpunkt von τ · /^ ( t ; i t '2 'DlD2 'VVl~ fW2).

ewew. (i) Es ist τ.^^^ι^ο + τ.^2'02^2^!·^^2'0^02'max(Wl'W2)) und

(ii) Sei α e τ - #»2,D2iw2) n t/e(P2), αφΟ. F r έ^ ε min (l, |α|,) ist dannσ

U0(Pi)-ac:U3K(Pi'P2),

wegen α e τ · #(t;2' 2 'W2) c A^^2 'D2 'W2) also

(τ-Α^'^'^η £/ i(P1))'«c:T-^ l 2 'D l D 2 'W l + W a ) n (73ε(Λ - P2).

Zum Beweis von Satz 4 ist zu zeigen, da P = ( l . . .1) Grenzpunkt einer MengeT.^(t;,D,w) jst Ν^^ Folgerung 5 sind — f r gewisse Zahlen ^ -\ \-st = s, s^i —die Punkte

/>!=( 1. . .1 0. . .0 . . .0. . .0)P2 = (oo. . .00 1. . .1 . . .0. . .0)

f = (oo . . . oo 0 0 . . . 0 0 . . . 1 . . . 1 )si s2 st

Grenzpunkte einer Menge τ. J ^ » I » D I » W » ) ? wobei vi9 DI und H^ nur von F(t, X) und sabh ngen. Wir k nnen zu gegebenen Grenzpunkten mit Koordinaten in {oo, l, 0} neuegewinnen durch folgende Operationen:

(a) Addition und Multiplikation, soweit definiert, nach Lemma 9,

(b) Hinzunahme von Punkten

( 0 . . . 0 1 . . .1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 )(0. . .0 oo. . .00 1. . .1 . . .0. . .0)

( 0 . . . 0 oo . . . oo 0 0 . . . 0 0 . . . 1 . . . 1 )S"~~ S S± S2 St*

mit bestimmten Zahlen l g t'^ s', s-^l, s( -l· s'2 H l· s{> = s' zu einem gegebenem Punkt

(oo. . .00 1. . .1)s~s' """T7""

nach Lemma 8.Journal f r Mathematik. Band 337 25Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)



Die Schranken v9 D, w der approximierenden Menge vergrößern sich zwar dabeijedesmal, hängen aber weiterhin nur ab von F(t, X) und s.

Die Behauptung von Satz 4 folgt nun für m = 0 aus

Lemma 10. Aus einer Menge von Punkten

Pl=(ao. . .00 1. . .1 0. . .0 . . .0. . .0)/>2 = (oo. . .00 oo. . .00 1 . . . 1 . . . 0 . . . 0 )

P, = (oo . . . oo o o . . . o o o o . . . o o l . . . l )

mit m ̂ 0, l ̂ t^ s, s i §: l, H- s2 H l· st = s, /#/?/ s/c/z durch Anwendung von (a) wra/ (b)der Punkt

( 0 . . . 0 1 . . .1 )m s

gewinnen.

Beweis. Durch Induktion über s. Für 5=1 ist ^ = s = l und Anwendung von (b)führt zum Ziel. Sei s>l; angenommen, es ist Si<s. Aus P2,...,Pt läßt sich nachInduktionsvoraussetzung

( 0 . . . 0 0 . . . 0 1. . .1)m Si s — Si

gewinnen; Addition von

P!=(OO. . .00 1. . .1 0. . .0)

ist definiert und liefert m ·$ B-SI

P = (oo . . . oo 1 . . . 1 ) ,m s

so daß man gleich ^ = s annehmen kann. Anwendung von (b) auf P ergibt Punkte

= (0 . . . 0 1 . . .1 0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 )jP^ = (0. . .0 oo. . .00 1. . .1 . . .0. . .0)

P/, = (0 . . . 0 oo ... oo oo ... oo ... l . . . l )m s[ s'2 s't>

mit Zahlen l^/'^s, 5-^1, s[ H l·^ — s - Ist hier s(=s, so ist man fertig. Sei alsos( <s. Die Produkte · 2>· -., P-P f ' sind definiert und ergeben

(oo . . . oo oo . . .oo 1. . .1 . . . 0 . . . 0 )

(oo . . . oo oo . . .00 0 0 . . . 0 0 . . . 1 . . . 1 ) .m s[ s — s{



Kle in, Über Hilbertsche Körper 1 91

Nach Induktionsvoraussetzung gewinnt man daraus(0. . .0 0. . .0 l . . .1)

·.· m si s~siAddition von' = ( 0 . . .0 0 . . . 0 1. . . 1 )

m s{ s — siist definiert und liefert das Gewünschte:

(0. . . 1 . . . 1 ) .m s

Weil die Anzahl der in Lemma 10 durchzuführenden Operationen nur von s abhängt— sie ist sicher durch #{oo, l, 0}s beschränkt — gilt Satz 4 mit Konstanten v, D, w,die nur von F(t, X) und s abhängig sind.

§ 4. Folgerungen; Quotientenkörper verallgemeinerter Krullringe der Dimension > l

Definition 4. Ein System S reeller Beträge des Körpers K heißt „von endlichemTyp", falls für jedes je 6 K* gilt: |x| l für höchstens endlich viele | · | e S.

Ein System von endlichem Typ kann nur endlich viele archimedische Beträge ent-halten (es ist ja |2| 1).

Mit Hilfe von Satz 4 läßt sich nun die anfangs formulierte Frage nach der Un-abhängigkeit reeller Beträge auf nicht-hilbertschen Körpern folgendermaßen beantworten :

Satz 5. Sei S ein System endlichen Typs nichttrivialer, paarweise inäquivalenter reellerBeträge auf einem nicht-hilbertschen Körper K. Sind dann H i , . . . , | » | m e S paarweiseverschieden, a1? . . . , am e K und > 0, so gibt es ein 6 K mit

- , ̂ für / = !,..., m,|a| ̂ l für alle übrigen \ · \ e S .

Beweis. Nach dem gewöhnlichen Approximationssatz gibt es ein e K mit\y — ai\i<z für /=!, . . . , m, aber es kann |y|>l sein für Beträge

Wir müssen daher zeigen : Sind | · 1 1 > · · · > i · L» l · l m+ 1 > · · · > l · l w e S paarweise verschieden,

so gibt es zu > 0 ein e K mit\ -1\ < für /=!,. . . , m,

\ß\j<s für y' = w + l,. . . , f l ,\ß\ ^ l für die übrigen Beträge in S,

denn bei passender Wahl von leistet dann ct = ßy das Verlangte. Sei nun F(t, X)wie am Anfang von § 3. Nach dem gewöhnlichen Approximationssatz gibt es ein e K mit

(34) |T|,>1 für i = l, . . . , m,

H « + i > · · · » I*Lalle archimedischen |·| e SMHi,· . ., |»|m} ,

25*Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)Authenticated | 172.16.1.226


192 Klein, ber H ilbertsche K rper

Wir setzen £={|·| e S; |τ|>1} und s= #£"<οο. Zu F und s existieren nach Satz 4Zahlen v, D und w mit

(36) τα-Κ(^Ώ^(τα} η [7ε£(1)φ0 f r alle αεΝ, ε>0 .

Sei nun α so gro , da

(37)

gilt. Ist dann β = ταηε τα · Κ(ν^^(τα) η f/f(l) nach (36), so ist wegen et/f(l)| — 1|<ε f r alle |· |Ε£", insbesondere also f r l · ^ , . . . , |» |m nach (34). Die brigenBetr ge in E m ssen wegen (35) nichtarchimedisch sein; hier ist deshalb | | = l. Nunsei HeSX.E', also |τ|^1. F r |τ|<1, also insbesondere f r | » | m + i , . . . , |·|η, folgt

wegen ηΕΚ(^Ό^\τα} ((Μ) in Definition 3) und (37). Ein Betrag |·| mit |τ| = 1 ist nach(35) nichtarchimedisch und ganz auf den Koeffizienten bj von F in K\ da η ber/7[b, τα] ganz ist ((i) in Definition 3), folgt M^l , also \β\ = \η\^\. β leistet also dasGew nschte.

Folgerung 6. Jeder K rper K mit einem nichtleeren System S = {\ · |,.; / e /} endlichenTyps nichttrivialer reeller Betr ge, das einer Produktformel

Π W? = l f r alle jce/Tie/

mit festen reellen ct > 0 gen gt, ist hilbertsch. Denn aufgrund der Produktformel mujedes Element χ mit Nullstellen in S auch Pole haben.

Besteht das System S in Satz 5 nur aus Bewertungen v, ergibt sich f r den Ringder bez glich S ganzen Elemente von K folgende Strukturaussage :

Satz 6. Sei S ein nichtleeres System endlichen Typs nicht trivialer, paarweise in-quivalenter reeller Bewertungen v auf einem nicht-hilbertschen K rper K. Dann gilt f r

den Durchschnitt

=(] BvveS

der zugeh rigen Bewertungsringe:(i) Quot (£) = #,

(ii) alle v e S sind essentiell f r B, d.h. die Lokalisierung von B nach dem Zentrumpv von v auf B ist stets Bv ,

(iii) die Krulldimemion von B ist l und daher Spek (B) = {0} u {pr; v e S}.

Dies ist im wesentlichen der Satz aus Weissauer [6] ; allerdings mu te dort voraus-gesetzt werden, da Quot(B) = K ist und die pv minimal sind.



Klein, ber H bertsche K rper 1 93

Ein Ring B hei t verallgemeinerter Krullring, wenn er eine Darstellung wie inSatz 6 besitzt und dabei (ii) erf llt ist, und Krullring, falls au erdem S nur aus diskretenBewertungen besteht.

Beweis, (i) Sei ,r 6 K* mit Polen bei t? l 5 . . ., vs e S; nach Satz 5 gibt es ein α in Bmit ^.(a) > 0, l ̂ i^ n, und f r geeignetes r e N liegt ,ταΓ in 5.

JC OC*"(ii) F r xe ,, k nnen wir au erdem p(a) = 0 verlangen; dann liegt x = — - inD 0(

Pv-

(iii) Sei χ E B und t;(jc) = 0. Nach Satz 5 gibt es ein α 6 f) #„, mit t; l α -- ) ̂ l ;i> ' * i> V XJwegen t > ( — 1 = 0 ist dann auch t;(a)^0, also α 6 B und αχ Ξ l modp^. Demnach sind

alle Zentren pv maximale Primideale von B. Behauptung (iii) ergibt sich nun aus derbekannten Tatsache, da in einem verallgemeinerten Krullring jedes Primideal ΦΟ dasZentrum einer essentiellen Bewertung enth lt. Der Vollst ndigkeit halber geben wir denBeweis aus Zariski-Samuel [7], Ch. VI, § 13, wieder:

Sei ρφΟ prim in B und .xep, ,χφΟ. Seien pyi,. . ., pVm die Zentren mit J cep^ ;wegen χ φ B* ist m ̂ 1. L ge nun keines dieser pvi in p, so g be es ElementeWeil alle v e S vom Rang l sind, gibt es st e N mit v^yf) ^v^x), und f r

ist dann vi(y)^.vi(x) f r /= l,. . ., m. Au erhalb von t^,. . ., vm hat χ keine Nullstellenin S, also liegt yx"1 in B, daher ist y e (x) cip; es liegt aber kein yi in p. Widerspruch!

Folgerung 7. Besteht S in der Situation von Satz 6 nur aus diskreten Bewertungen,so ist B ein Dedekindring.

Beweis. Die Lokalisierungen von B nach den von 0 verschiedenen Primidealensind diskrete Bewertungsringe. Weil S von endlichem Typ ist, liegt jedes .χφΟ aus Bin nur endlich vielen Primidealen von B. Dann ist B noethersch: Sei α ein von 0 und Bverschiedenes Ideal von B und p 1 , . . . ,p m die o umfassenden Primideale von B. Lokalwerde α an der Stelle pf durch at e α erzeugt. F r die endlich vielen qf. mit

a,...,aeq und αφς., 1

sei am+iea\qi. Dann stimmt (al9. . ., am, 0m+i,. . ., am+„) mit α lokal an allen Stellenberein, ist also gleich o.

Folgerung 8. Sei B ein faktorieller Integrit tsbereich, aber kein Hauptidealring. Dannist #=Quot(£) hilbertsch.

Beweis. Man wende Folgerung 7 auf das System S der π-adischen Bewertungenvon B an; w re K nicht hilbertsch, so w re B dedekindsch und faktoriell, also einHauptidealring.

Damit ist Satz 3 in versch rfter Form erneut bewiesen.Brought to you by | University of Chicago (University of Chicago)



Literaturverzeichnis

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Universität Erlangen, Mathematisches Institut, Bismarckstr. 11 /2 , D-8520 Erlangen

Eingegangen 6. April 1982



Über Hilbertsche Körper.

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