Variogramme Variogramme und deren und deren

Einsatz beim Einsatz beim KrigingKriging

Geostatistik III

Betreuer: Betreuer: Wolf-Dieter SchuhWolf-Dieter Schuh Boris KargollBoris Kargoll

19.11.01 Variogramme und Kriging 2

Einführung• Nach D.G. Krige, südafrikanischer Bergbauingenieur• Math. Grundlagen von Franzosen Matheron

• Idee: Lineares Schätzverfahren Erwartungstreue Beste Schätzung

BLUE (best linear unbiased estimator)

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Voraussetzungen

• Stationarität der Mittelwert über die Erwartungswerte ist unabhängig

vom Ort es besteht nur ein relativer

Ortsbezug, kein absoluter die Varianz ist endlich

• Variogramm

Z(u1)

Z(u2)

h

Z(u4)

Z(u3)

h

Z(u5)

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Variogramm

• Pendant zur Auto-kovarianzfunktionbei der stochastischenPrädiktion

• Unterschied:Differenz statt

Produkt

)(N

2ji )u(Z)u(Z

)(N1)(ˆ

hhh

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Variogramm - Eigenschaften

• empirisch• theoretisch• „sill“

Schwellwert• „range“

Aussageweite• „nugget“

Achsenabschnitt

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Empirisches Variogramm

2ji )u(Z)u(Z • Berechne für alle i,j

• Bilde Klasse N(h) abhängig von h=ui-uk

• Berechne Klassenmittel

)(N

2ji )u(Z)u(Z

)(N1)(ˆ

hhh

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Empirisches Variogramm

2ji )u(Z)u(Z • Berechne für alle i,j• Bilde Klassen N(k) abhängig von ui-uj

• Berechne Klassenmittel

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Theoretisches Variogramm

• Approximation des empirischen Variogramms durch eine geeignete Funktion

• Bedingungen: muß „konditional bedingt negativ semi-definit“ sein muß Verhalten am Ursprung möglichst gut wiedergeben

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Theoretisches Variogramm

• drei mögliche Ansätze:

sphärisch:

exponentiell:

Gauss:

sonstb

ahah

ahbhba

)5,05,1()(

3

,

)3exp1()(,

ahbhba

)3exp1()( 2

2

,

ahbhba

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Theoretisches Variogramm

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Kriging

• Krige – Schätzer (linear): z*(uz*(u00) = ) = vvi i z(uz(uii))

Varianz des Schätzfehlers minimal (best): Var(F(u0)) min

• Schätzfehler im Mittel gleich null (Erwartungstreue): E(F(u0)) = 0 oder E(z*(u0)-z(u0))=0

daraus folgt: vi = 1

Minimumaufgabe mit Nebenbedingung

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Kriging

Extremwertaufgabe unter Nebenbedingung

Lagrange - Aufgabe

Lineares Gleichungssystem mit eindeutiger Lösung

C v = D

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C v = D

• v enthält die gesuchten Gewichte• C enthält die zwischen gemessenen Punkten aus

dem theoretischen Variogramm• D enthält die zwischen dem gesuchten und den

gemessenen Punkten aus dem theoretischen V.

n

2

1

v

vv

v

011111

11

nn2n1n

n22221

n11211

C

10n

20

10

D

ij

0i

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Variogramm Schätzung

• Abhängigkeit von VariogrammwertenSchwellwert (sill)

• Der Schwellwert hat keinen Einfluss auf den Wert der Schätzung, nur auf die geschätzte Varianz

Aussageweite (range)• je kleiner die Aussageweite ist, umso näher liegt die Schätzung

am arithmetischem MittelVariogramm – Form

• Das Verhalten am Ursprung kann den Einfluss des nahen Bereichs besonders herausheben

• Abhängigkeit von Gewichten• Durch die Gewichte werden redundante Informationen beachtet,

es kommt auf den „stochastischen“ Abstand an!

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BeispielSignal in Abhängigkeit der Entfernung

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 100 200 300 400 500 600

Entfernung (km)

Mes

swer

t

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Variogramm

Variogramm

010203040506070

0 20 40 60 80 100 120Entfernung (km)

Gam

ma

empirisches Variogramm exponentiell sphärisch

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Schätzung

-25-20-15-10

-505

101520

0 100 200 300 400 500 600

Entfernung (km)

Mes

swer

t

Zeitreihe geschätzt

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Interpolation zwischen PunktenSignal

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 100 200 300 400 500 600

Entfernung

Mes

swer

t

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

265 270 275 280 285 290

Entfernung (km)

Mes

swer

t

Signal Schätzung

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Interpolation bei Messlücken

Zeit geschätzt soll

271 -4,371 -5,299278 -11,1373 -11,574279 -11,1247 -11,131284 -11,4024 -11,452

Zeit geschätzt soll

392 7,2832 7,286400 3,1081 2,373411 9,2058 9,63412 10,0249 9,979

0

2

4

6

8

10

12

14

380 385 390 395 400 405 410 415 420 425

Zeit

Mes

swer

t

Gemessen Schätzung Soll

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0260 265 270 275 280 285 290 295

Zeit

Mes

swer

t

gemessen geschätzt soll

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ArcGIS

• Zusatzsoftware zu ArcGIS von ESRI:ArcGIS Geostatistical Analyst 8.1 Interpolation mit:

• Inverse distance weighting • Splines• Globale und lokale

Polynome• Kriging• Cokriging

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ArcGIS

Verschidene Analysemethoden:• Validation• Kreuzvalidation• Histogramm• Trendanalyse• Variogramm• „Declustering“

Verschiedene Ausgaben:• Wahrscheinlichkeitsoberfläche• Schätzung• Geschätzte Standardabweichung

Verschiedene Renderfunktionen

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Danke für die Aufmerksamkeit