Verst arkungseigenschaften der Feed-Forward Chain · Verst arkungseigenschaften der Feed-Forward...

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Verst¨ arkungseigenschaften der Feed-Forward Chain Jana Cherniatinska & David Lindemann 1. Aufbau des Ohrs Das Ohr wird in drei Bereiche eingeteilt: Das Außenohr umfasst den Ohrknorpel, die Ohrmuschel, das Ohrl¨ appchen, den ¨ außeren Geh¨ organg oder auch Ohrkanal und die Außenseite des Trommelfells. Zum Mittelohr geh¨ oren das Trommelfell und die Geh¨orkn¨ochelchen Hammer, Am- boss und Steigb¨ ugel. Das Mittelohr mit den hebelf¨ ormig verbundenen Geh¨orkn¨ ochelchen hat die Aufgabe, den im Geh¨organg ankommenden Schall m¨ oglichst vollst¨ andig in die H¨orschnecke (Cochlea), unser eigentliches H¨ ororgan, einzuleiten. Das Innenohr umfaßt neben dem H¨ororgan in der Cochlea das aus drei Bo- geng¨ angen bestehende Gleichgewichtsorgan. Bild 1: Das Ohr Cochlea (H¨orschnecke) Die Cochlea ist ein schneckenhausf¨ormiges Gebilde mit zweiein- halb Windungen, das im ausgerollten Zustand eine L¨ ange von etwa 32 Millimetern haben wrde. Die Schnecke besteht aus drei fl¨ ussigkeitsgef¨ ullten Kammern (Scala vestibuli, Scala tympani und Ductus cochlearis), die jeweils durch eine Membran in L¨ angsrichtung ge- trennt sind. Die mittlere Kammer (Ductus cochlearis), der so genannte Schneckengang, beherbergt das Corti’sche Organ, das auf einer der beiden Trennmembranen (Basilarmem- bran) sitzt. Das Corti’sche Organ besteht in L¨ angsrichtung gesehen aus drei Reihen 1
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  • Verstärkungseigenschaften der Feed-Forward Chain

    Jana Cherniatinska & David Lindemann

    1. Aufbau des Ohrs Das Ohr wird in drei Bereiche eingeteilt:

    • Das Außenohr umfasst den Ohrknorpel, die Ohrmuschel, das Ohrläppchen, denäußeren Gehörgang oder auch Ohrkanal und die Außenseite des Trommelfells.

    • Zum Mittelohr gehören das Trommelfell und die Gehörknöchelchen Hammer, Am-boss und Steigbügel. Das Mittelohr mit den hebelförmig verbundenen Gehörknöchelchenhat die Aufgabe, den im Gehörgang ankommenden Schall möglichst vollständig indie Hörschnecke (Cochlea), unser eigentliches Hörorgan, einzuleiten.

    • Das Innenohr umfaßt neben dem Hörorgan in der Cochlea das aus drei Bo-gengängen bestehende Gleichgewichtsorgan.

    Bild 1: Das Ohr

    Cochlea (Hörschnecke) Die Cochlea ist ein schneckenhausförmiges Gebilde mit zweiein-halb Windungen, das im ausgerollten Zustand eine Länge von etwa 32 Millimetern habenwrde. Die Schnecke besteht aus drei flüssigkeitsgefüllten Kammern (Scala vestibuli, Scalatympani und Ductus cochlearis), die jeweils durch eine Membran in Längsrichtung ge-trennt sind. Die mittlere Kammer (Ductus cochlearis), der so genannte Schneckengang,beherbergt das Corti’sche Organ, das auf einer der beiden Trennmembranen (Basilarmem-bran) sitzt. Das Corti’sche Organ besteht in Längsrichtung gesehen aus drei Reihen

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  • äußerer und einer Reihe innerer Haarzellen, die durch eine Deckmembran abgedeckt undgekoppelt sind. Insgesamt hat der Mensch pro Ohr etwa 20.000 Haarzellen, an welche dieNervenfasern der Hörnerven anschließen.

    Bild 2: Cochlea

    • Die Äußeren Haarsinneszellen (3 Reihen) dienen der Verstärkung der Schallwan-derwellen (Cochlea Verstärker). Sie arbeiten als akustischer Vorfilter, das Dankder Fähigkeit der äußeren Haarzellen zur direkt vom Frequenzspektrum gesteuertenLängenverstellung auch ein schnell adaptives Filter ist.

    • Die Inneren Haarzellen (eine Reihe) sind für die Umwandlung mechanischer Schwingun-gen in Nervenimpulse (die so genannte Transduktion) zuständig, die an das Gehirnweitergeleitet werden.

    Bild 3: Basilarmembran

    Beim Hörvorgang wird durch die Schwingungen des Trommelfells und der Gehörknöchelchenketteund damit der Steigbügelfußplatte auf der Basilarmembran eine so genannte Wanderwelle

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  • ausgelöst. Durch den speziellen Aufbau des Innenohres kommt es dabei zur maximalenAuslenkung der Basilarmembran jeweils an einem bestimmten Ort, der von der dargebote-nen Frequenz abhängt (Bild 3), und es kommt zur Mitbewegung des Cortischen Organsgegenüber der Tektorialmembran.

    So ist jedem Ort auf der Basilarmembran eine bestimmte Frequenz bzw. Tonhöhezugeordnet: Hohe Frequenzen werden an der Schneckenbasis, tiefe Frequenzen in derSchneckenspitze verarbeitet und reizen die dort sitzenden Haarzellen sehe Bild 4.

    Dadurch entsteht eine Schwingung der Sinneshärchen der äußeren Haarzellen undÜbertragung der Druckschwankungen auf die Endolymphe in der Scala media. Hierdurchschwingen die Sinneshärchen der inneren Haarzellen in der Flüssigkeit. Dementsprechendsind die äußeren Haarzellen, die besonders schädigungsanfällig sind, keine typischen Sin-nenszellen, die Informationen ans Gehirn senden, sondern sie sprechen die inneren Haarzellenan und erfüllen damit in erster Linie Regel- und Verstärkungsfunktionen. Die innerenHaarzellen fungieren dagegen als Sinneszellen, die mechanische Schwingungen in Nerven-impulse umsetzen.

    Bild 4: Cochlea. Die inneren (IHZ) haben intensive synaptische Kontakte zu afferentenFasern (rot), die äußeren (ÄHZ) hauptsächlich zu efferenten Fasern aus der oberen Olive(ocker). Beide strecken Sinneshaare (Stereozilien) zur Tektorialmembran, mit der dieStereozilien der ÄHZ direkten Kontakt haben.

    Die beobachtete Dynamik den äßeren Haarzellen hat man experimentell versuchtdarzustellen.

    2. Elektronische Simulation Es gibt Modelle, die das Hörsystem imitieren, undderen Elemente in der Nähe einer Hopf Bifurkation abgestimmt sind.

    Man vermutet, dass die Elemente, deren Eigenschaften qualitativ den Van der Pol Os-zillatoren ähneln, für die Verstärkung in einigen dieser Fällen verantwortlich sein können.Aufgrund des Auftretens von Hopf Bifurkation in den Gehörsystemen einer Reihe vonTieren und Insekten, existieren physiologische Beweise für diese aktive Art der Audition.

    Es wurden auch Modelle vorgeschlagen, die die Kopplung zwischen den Grenzzyklen,die aus Hopf Bifurkation entstehen, benutzen. Diese Kopplung ist dafür da, um diesignifikante Verstärkungseigenschaft des Insektengehörs zu produzieren. Mc Cullen führte

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  • Experimente an als Feed-Forward Chains gekoppelten nichtlinearen modifizierten Van derPol unabhängigen Oszillatoren durch. Eine graphische Darstellung ist Bild 5.

    Bild 5: Das Schema einer Feed-Forward Chain mit periodischen Erzwingung. Drei iden-tischen Oszillatoren (oder ”Zellen”) sind in eine Richtung, wie man an den Pfeilen sieht,gekoppelt. Es wurde ein kleines erzwingtes Signal mit der Amplitude � und Frequenz ωFzu der Zelle-1 hinzugegeben,dass eine Schwingung in dem System erzeugt.

    Eine auffällige Eigenschaft des ursprünglichen nichterzwungenen Modells ist die Prog-nose, dass die Amplitude der dritten Zelle proportional zu λ

    16 wächst. In der zweiten Zelle

    ist der Wachstum λ12 .

    Die Idee war, ein Netzwerk zu benutzen, das ausgewählte Inputsignale der speziellenFrequenz verstärkt. Die Reaktion auf die harmonische Erzwingung mit der Amplitude� und der variierten Frequenz ωF sind in dem Bild 6 zu sehen. In dem Experimentwurde das Verhältnis der Reaktion der Amplitude zwischen den Zelle zwei und drei fürden begrenzten Bereich der erzwingten Frequenz gemessen. Die Ergebnisse sind in demrechten Bild zu sehen. Aufgezeichnet wurde auch eine Gerade mit der Steigung m = 1/3.Man sieht einen linearen Zusammenhang mit der kleinsten Quadraten Schätzung desAmplitudenverhältnisses von 0.3687± 0.001602.

    Zur Erinnerung: Ein Bandpass ist ein Audiofilter, der nur Signale eines bestimmtenBereiches von Frequenzen passieren lässt, während die Signale mit der Frequenz außerhalbdes Bereiches gedämft werden. Wie man sieht, verhält sich die Feed-Forward Chain wieein Bandpassfilter bei Signalen mit erstaunlich kleinen Amplituden,falls die Inputfrequenznahe genug der Hopffrequenz ist. Damit wir die Frequenz des Inputsignals auch als genaudiese Wahrnehmen, sollte das menschliche Gehör genau diese Eigenschaft haben.

    Zusammengefasst, zeigen die Experimente von McCullen mit (näherungsweise) iden-tisch gekoppelten elektronischen Schaltungen die vermutete Eigenschaft, dass die FeedForward Chain sich als Bandpass Filter verhält. Sie zeigen auch die erwartete Wachstum-srate des Outputs.

    Einige Autoren haben vorgeschlagen, dass die Struktur der Äußeren Haarzellen auf derBasilarmembran linearen Anordnung der gekoppelten Zellen eingestellt sein kann. JedeZelle ist nahe dem Bifurkation Punkt abgestimmt, aber mit unterschiedlichen Frequenzen.

    3. Analytische Untersuchung (Periodische Erzwingung)der Feed Forward Chain.

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  • Bild 6: (Links)Die Reaktion einer Feed-Forward Chain auf die Veränderung der Frequenzω. Durch den Anschluss der dritten Zelle bekommt man eine Vergrößerung der Amplitude.Um dies zu sehen, werden die Reaktionen der Zellen 2 und 3 einzeln angezeigt. Man siehteine scharfe Spitze bei ωF = ωH , der Eigenfrequenz des Systems bei der Hopf Bifurkation.(Rechts) Die Verstärkung der Schwingung in den Zellen 2 und 3 in dem Bereich zwischen129.5 und 130 Hz von ωF . Die Gerade zeigt einen Gradienten von 1/3 in dem Bereich vonωF .

    Definition der Feed-Forward Chain Die 2-dimensionale, 3-zellige Feed-ForwardChain ist definiert durch

    ẋ1 = f(x1, x1, λ),

    ẋ2 = f(x2, x1, λ),

    ẋ3 = f(x3, x2, λ),

    wobei x1, x2, x3 ∈ R2, λ ∈ R, f : R2 × R2 × R → R, (u, v, λ) 7→ f(u, v, λ) stetig differen-zierbar, eine graphische darstellung ist auf dem Bild 1. Weiterhin nehmen wir an, dassf(0, 0, λ) = 0 ∀λ ∈ R.

    Bild 7: 3-Zellen Feed-Forward Chain

    Die Wachstumsrate der Amplitude der periodischen Lösungen hat bei der gewöhnlichenHopf Bifurkation des Systems mit dem Bifurkations Parameter λ die Ordnung λ

    12 .

    Oben genannter Netzwerk erzeugt eine bestimmte Dynamik unter der Synchronie-brechende Hopf Bifurkation. Diese spezielle Hopf Bifurkation der Feed-Forward Zellenführt zu der Famillie der periodischen Lösungen, deren Amplitude mit unerwartet großerWachstumsrate von λ

    16 wächst. Diese Eigenschaft wird in der weiteren Ausarbeitung

    gezeigt.

    Solche Wachstumsrate weist darauf hin, dass, wenn die Feed-Forward Chain nahe derSynchronie-brechenden Hopf Bifurkation abgestimmt ist, es dazu dienen kann, periodische

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  • Signale, deren Frequenz ω nahe der Hopf Frequenz ωH liegt, zu verstärken und die Signale,deren Frequenz ω weit weg von ωH liegt, zu dämpfen.

    Nummerische Simulationen (McCullen) mit identisch gekoppelten Schaltungen zeigen,dass Feed-Forward Chain sich als leistungfähiger Filterverstärker verhalten könnte. DieseBehauptung wird allerdings nur unter beschränkten theoretischen Annahmen nachgewiesen.

    Wir nehmen an, dass zu der ersten Zelle der Feed-Forward Chain eine periodischeErzwingung mit der Frequenz ωf und einer kleinen Amplitude � hinzugefügt wird. Seiweiterhin λ der Bifurkationsparamter der internen Dynamik der Zellen, die nahe demHopf Bifurkations Punkt abgestimmt ist. Die Frage ist: Wie groß ist die Amplitude derReaktion auf die Erregung in der Zelle 2 und 3 als eine Funktion der periodischen Frequenzωf .

    Aufgrund der Resonanz, sollte die Reaktion auf die Erregung groß sein, wenn dieFrequenz der Schwingung sich der Hopf Frequenz ähnelt, und klein andererseits.

    Bild 8: 3-Zellen Feed-Forward Chain

    Die differentiale Gleichung für die periodisch schwingte Feed-Forward Chain gegebendurch

    ẋ1 = f(x1, x1 + �g(ωf t), λ),

    ẋ2 = f(x2, x1, λ),

    ẋ3 = f(x3, x2, λ),

    wobei x1, x2, x3 ∈ R2, λ ∈ R ist der Bifurkationsparameter, g : R → R2 ist 2πperiodische Funktion der Schwingung.

    Um die Simulation durchzuführen, geben wir die g und f an. Speziell gelten folgendeAnnahmen für die interne Dynamik der Zellen:

    (B1) der Phasenraum internen Zellen ist 2-dim und identifiziert mit C

    (B2) die Dynamik internet Zellen ist durch ”truncated” gekürzte Normal Form für dieHopf Bifurkation beschrieben

    (B3) Hopf Bifurkation ist superkritisch, d.h. die Lösung ist stabil für λ < 0. GraphischeDarstellung im Bild

    (B4) der kubische Term solcher Normal Form ist reell

    (B5) die Koppelung des Netzwerkes ist linear

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  • Bild 9: Superkritische Hopf Bifurkation.Nichtlinearität erfüllt Ż = (λ+ iω)Z − (1 + ib)|Z|2Z. Für λ > 0 sind die Z = 0

    Lösungen instabil.

    Nehme an, f sei von der Form

    f(u, v, λ) = (λ+ iωH − |z|2)z − y, (∗)

    ωH > 0, z, y ∈ C, λ < 0, so dass die interne Dynamik um den Punkt der Hopf Bifurkationschwingt (dies ist nicht die Normalform für eine Hopfbifurkation, allerdings ist sie ähnlich).

    Die analytische Untersuchung wird mit zwei Arten von Schwingungen durchgeführt,und zwar mit einfacher harmonischer Schwingung und mit ”spiking” Schwingung. Dieeinfache harmonische Schwingung hat die Form: g(t) = eit. Die ”spike” Schwingungbekommt man als nummerische Lösung der Fitzhugh-Nagumo Gleichung

    υ̇ = 6.4− 120m3h(υ − 115)− 36n4(υ + 12)− 0, 3(υ − 10.5989)

    ṅ = αn(1− n)− βnn,

    wo

    h = 0.8− n m = αm/(αm + βm) αm = 0.1(25− υ)e1−(25−υ)/10

    βm = 4e−υ/18 αn = 0.01(10− υ)e1−(10−υ)/10 βn = 0.125e−υ/80

    Um g(t) zu erhalten, normalisieren wir (υ(n), n(t)) so, dass es Mittelwert 0 undDurchmesser 2 hat. Die erste Koordinate der Zeitreihe für die ”Spike” Schwingung in demrechten Bild 10 gezeigt. Diese Zeitreihe ist zu der einfachen harmonische Erzwingung indem linken Bild verglichen.

    Für hinreichend klein �, periodische Schwingung des Systems gewöhnlicher differentialGleichungen mit Amplitude nahe stabilem Gleichgewicht, erzeugt der Ordnung � peri-odische Antwort auf die Erregung. Frequenz der Schwingung ist gleich der Frequenz derAntwort auf die Erregung.

    Periodischer Output x1(t) kommt in die Zelle 2 rein; λ < 0 impliziet, dass der Ursprungin der Gleichung der Zelle 2 stabil ist. Der Fakt, dass λ nahe dem Bifurkation Punkt,impliziet, dass die Anziehungsrate dieses Gleichgewichtes klein wird. DAdurch, nur wenn

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  • Bild 10: Die erste Koordinate der Zeitreihe der 2π-periodischen Lösung. (Linkt) Einfacheharmonische Schwingung cost.(Rechts) ”Spike” Schwingung

    � sehr klein ist, wird der periodische Output der Zelle 2 der Ordnung �.

    Aufgrund der Resonanz, erwarten wir die Amplitude von x2(t) groß zu sein, wenn ωfnahe ωH ist. Allerdings, Kern und Stoop haben beobachtet, dass wenn die differentialGleichung f̈r f ist (∗) mit � > |λ| 32 , dann wird der Wachstum des periodischen Outputsder Ordnung �

    13 . Darüber hinaus erwarten wir die Amplitude von x3(t) noch größer in

    dem Region zu sein; also wir können erwarten, dass die Amplitude der Zelle 3 wächst mitder Rate �

    19 .

    Um diese Aussage bildlich darzustellen, führen wir folgende Simulation durch.

    Wir fixieren erst die � > 0 und λ < 0. Danach werden die Amplituden der periodischenZuständen der Zellen 1,2 und 3 als die Funktion der erzwingten Frequenz ωf aufgezeichnet.Das Ergebnis ist im Bild graphisch dargestellt.

    Bild 11: Amplitude der Zellen 1 (punktierte Kurve), 2 (gestrichelte Kurve) und 3 (durchge-zogene Kurve) als Funktion von der periodischen Erzwingung; λ = −0.01, � = 0.03,ωH = 1, 0.7 ≤ ωf ≥ 1.3 (Links) Einfache harmonische Schwingung; (Rechts) ”Spike”Schwingung

    Man sieht hier, dass die Inputschwingung verstärkt ist, wenn ωf ≈ ωH . Dieses quali-

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  • tative Ergebnis hängt insbesondere nicht von der Form von g ab. Die Kurve der Antwortauf die Erregung ist symmetrisch in ωf = ωH .

    In der weiteren Abbildung zeigen wir die Amplitude der Reaktion auf die Erregungin den drei Zellen als eine Funktion von � für beide Schwingungen, harmonische und”spiking”. In beiden Fällen sieht man änlichen Muster der Wachstumsrate der Amplitude.Die Amplitude der ersten Zelle wächst linear mit �. In der zweiten Zelle, wenn � steigt, dieWachstumsrate strebt gegen ’Kubikwurzel’, r ∼ � 13 . In änlicher Weise sieht man in derdritten Zelle, für große �, r ∼ � 19 . Da � von Null an wächst, gibt es ein Übergangsbereichtfür diese Regime. Es scheint für verschiedene Werte von � und verschiedene Arten derErregung(Schwingung). Dies ist nicht unerwartet. Man hat wirkürlich entschieden denDurchmesser der zwei Arten der Erregung gleich zu setzen, weil es unklar ist, wie mandie Amplitude der ”spiking” Erregung definieren sollte.

    Bild 12: Lol-log plot der Amplituden in den Zellen 1 (◦), 2 (×) und 3 (+) als Funktionvon �, für harmonische und ”spike” Erregung. Es wurden auch Linien mit der Steigung1, 1

    3und 1

    9graphisch dargestellt. Die Parameter sind ωf = ωH = 1,λ = −0.01 (a)

    0.0005 < � < 0.36, (b) 0.0025 < � < 0.9.

    4. Periodische erzwingte Schwingung (Erzwingung). Die Beobachtung in dennummerischen Simulationen und Experimenten regt für weiteres theoretische Ansatz derperiodischen Erzwingung der Systemen nahe der Hopf Bifurkation an.

    In diesem Abschnitt betrachten wir die periodischen Erzwingung der Systemen naheder Hopf Bifurkation. Insbesondere wollen wir folgendes zeigen. Wenn der kubischeTerm in Hopf Bifurkation einen ausreichend großen imaginären Teil hat, tretten vielfacheperiodische Lösungen, da ωf neben der Hopf Frequenz ωH variiert. Die Existenz derBereichen der Vielfachheit erfordert allgemeine Theory für periodische Erzwingung derSystemen nahe der Hopf Bifurkation.

    Wir haben angenommen, dass das erzwungene System ist in der ”truncated” normalForm. Desweiterem erfüllt das System nur (B1-B3) (das kubische Term ist nicht mehrreell).

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  • Wir addieren eine Erzwingung und bekommen eine Gleichung der Form

    ż = (λ+ iωH)z + c|z|2z + � expiωf t,

    wo λ < 0 und � > 0, c = cR + icI und cR < 0. Wir skalieren z neu beim SetztencR = −1.

    Die skalierte Gleichung hat die Form

    ż = (λ+ iωH)z + (−1 + iγ)|z|2z + �eiωf t, (∗∗)

    wo γ = cRcI

    .

    In dem unteren graphischen Darstellung sind die Ergebnisse der Simulation, wennγ = 0 und γ = 10 zu sehen. Beide Simulationen zeigen Verstärkung der Erzwingungwenn ωf ∼ ωH = 1. Bei γ 6= 0 kann allerdings Bistabilität der periodischen Lösungenvorkommen.

    Bild 13: Amplitude der Lösungen als eine Funktion der Hopf Frequenz der Gleichung(**), mit ωH = 1,λ = −0.0218, � = 0.02. (Links) γ = 0 (Rechts) γ = 10 ′sund◦’s bezeich-nen zwei separate Gruppen der Simulation mit verschiedenen Anfangsbedingungen. Für0.35¡ωf ¡0.7 gibt es zwei stabile Lösungen.

    Da die Normalform für die Hopf Bifurkation Phasenverschiebungssymmetrie hat, könnendie Gleichungen der Normalform durch eine Koordinatendrehung gelöst werden. Das gle-iche gilt für ein erzwingtes System. Es gilt z = uei(ωf t−θ), wo θ beliebige Phasenver-schiebung. Wir setzen dies in (**) ein:

    u̇ = (λ+ iω)u+ (−1 + iγ)|u|2u− �eiθ,

    wo ω = ωH − ωf . Stationäre Lösungen in u für alle θ stimmen mit den periodischenLösungen in z(t) mit der Frequenz ωf . Wir setzen u̇ = 0 und lösen

    g(u) ≡ (λ+ iω)u+ (−1 + iγ)|u|2u = �eiθ

    für alle u und θ.

    Es gilt |g(u)|2 = �2 und |g(u)|2 = (λ2 + ω2)|u|2 + 2(ωγ − λ)|u|4 + (1 + γ2)|u|6.

    |g(u)|2 hängt nur von |u|2 ab.

    Man setzt δ = �2 und R = |u|2. Einsetzten in die obere Gleichung ergibt

    G(R, λ, ω, γ, δ) ≡ (1 + γ2)R3 + 2(ωγ − λ)R2 + (λ2 + ω2)R− δ = 0 (∗ ∗ ∗)

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  • Wir können annehmen, dass γ ≥ 0, da G(R, λ, ω, γ, δ) invariant unter der Parameter-symmetrie (ω, γ) → (−ω,−γ). Wenn γ = 0, dann ist G(R, λ, ω, γ, δ) invariant unter derParametersymmetrie ω → −ω.

    Wir legen λ < 0,δ > 0 und γ ≥ 0. Ermittele Bifurkationsdiagramm, das aus derLösungen R > 0 zu (∗ ∗ ∗) besteht, bei veränderung der ω. Die Veränderung beziehtsich auf die Veränderung entweder von ωf oder ωH in der ursprunglichen erzwungtenGleichung (∗∗).

    Bild 14: Bifurkationsdiagramm der Lösungen zu (∗∗∗) für verschiedene γ. Wenn γ steigt,wird die Reaktionskurve assymetrisch. Und da es weiter steigt, gibt es vielfache Lösungenfür manche Werte von ω . Die benutzten Parameter sind δ = 0.01,λ = −0.109

    Wir benutzen die Theory über hysteresis Punkte, um das Auftretten der Vielfachheitfür beliebig kleine λ < 0 und δ > 0 zu zeigen. Hysteresis Punkte entsprechen solchenPunkten, in welchen die Bifurkationsdiagramm eine vertikale der kubischen Ordnung Tan-gente hat. Diese Punkte sind folgend definiert:

    G = GR = GRR = 0 and Gω 6= 0 6= GRRRG = (1 + γ2)R3 + 2(ωγ − λ)R2 + (λ2 + ω2)R− δ = 0 (4.1),

    GR = 3(1 + γ2)R2 + 4(ωγ − λ)R + (λ2 + ω2) = 0 (4.2),

    GRR = 6(1 + γ2)R + 4(ωγ − λ) = 0 (4.3),

    GRRR = 6(1 + γ2) > 0,

    Gω = 2R(γR + ω) 6= 0,

    und

    GωR = 2(2γR + ω),

    Gγ = 2R2(γR + ω),

    GγR = 2R(3γR + 2ω).

    Vielfachheit der Lösungen trett dann auf, wenn die Veränderung der γ zu allgemeinerEntfaltung des hysteresis Punktes fürt. γ ist allgemeiner Entfalltungsparameter dann undnur dann, wenn∣∣∣∣Gω GωRGγ GγR

    ∣∣∣∣ 6= 011

  • Die obere Determinante ist G2ω, die 6= 0 in jeden hysteresis Punkt ist. Darüber hinauswird die Veränderung der γ immer zu der allgemeiner Entfaltung des histeresis Punktesund zu der Vielfachheit der Lösungen für eine festes ω.

    Bild 15: Hysterese

    Satz Es existiert ein einziger hysteresis Punkt von G in R = Rc(δ, λ),ω = ωc(δ, λ),γ = γc(δ, λ) für alle kleine λ < 0 und δ > 0. Ferner gilt,

    ωc(δ, 0) = −√

    3(2δ)13 γc(δ, 0) =

    √3 Rc(δ, 0) = (

    δ4)13 (4.4).

    Beweis:

    Wir behaupten, dass die Gleichungen (1)−(2) durch δ und λ die Rc,ωc und γc eindeutigbestimmen (definieren).

    Besonders zeigen wir, dass

    Rc(δ, λ) = (δ

    1+γ2c)13 > 0 (4.5)

    γc(δ, λ) =λ+√3ωc

    ωc−√3λ

    (4.6).

    Ferner gelte es

    p(ω) = ω3 −√

    3λω2 + λ2ω −√

    3λ3 = (ω −√

    3λ)(ω2 + λ2) (4.7).

    Dann ist ωc(δ, λ) die Lösung der Gleichung

    ∂(ωc) = −6√

    3δ (4.8).

    Diese Lösung ist eindeutig.

    Wenn λ = 0 ist, ω3c = −6√

    3δ.

    Wir überprüfen die Gleichung (4.5). Als erstes lösen wir (4.3). Daraus ergibt sich

    R = −2(ωγ−λ)3(1+γ2)

    (4.9).

    Danach lösen wir RGRR −GR = 0, wir erhalten folgendes

    R2 = λ2+ω2

    3(1+γ2)(4.10).

    12

  • Durch die Multiplikation (4.9) mit R und Einsetzten in die (4.10), bekommen wir

    2(ωγ − λ)R = −(λ2 + ω2) (4.11).

    Wir setzten letzte Gleichung in (4.1) ein:

    G = (1 + γ2)R3 + (2(ωγ− λ)R)R+ (λ2 +ω2)R− δ = (1 + γ2)R3− (λ2 +ω2)R+ (λ2 +ω2)R− δ = 0

    ⇐⇒ R3 = δ1+γ2

    (4.12)

    Daraus folgt (4.5).

    Wir setzen R = −2(ωγ−λ)3(1+γ2)

    in (4.12) und in (4.10) ein und bekommen

    (1 + γ2)R3 = (1 + γ2)(−2(ωγ−λ)3(1+γ2)

    )3 = − 8(ωγ−λ)3

    27(1+γ2)2= δ (4.13)

    und

    3(1 + γ2)R2 = 3(1 + γ2)(−2(ωγ−λ)3(1+γ2)

    )2 = 4(ωγ−λ)2

    3(1+γ2)= λ2 + ω2 (4.14)

    (4.14) =⇒ 4(ωγ − λ)2 = 3(1 + γ2)(λ2 + ω2)

    ⇐⇒ ω2γ2 − 3ω2 + λ2 − 8ωγλ− 3γ2λ2 = 0

    ⇐⇒ ω2(γ2 − 3)− 8ωγλ+ λ2(1− 3γ2) = 0 (4.15)

    ⇐⇒ (γ(ω −√

    3λ)− (λ+√

    3ω))(γ(ω +√

    3λ)− (λ−√

    3ω)) = 0 (4.16)

    Möglicherweise gibt es zwei Lösungen für γc

    γ = λ+√3ω

    ω−σ√3λ, (4.17)

    wo σ = ±1.

    Mit der Hilfe von (4.16) zeigen wir, dass

    ωγ − λ =√

    3 λ2+ω2

    σω−√3λ

    (4.18)

    Quadrieren der Gleichung (4.14) und einsetzen in (4.13) ergibt

    (λ2 + ω2)2 = 16(ωγ−λ)4

    9(1+γ2)2= −−8(ωγ−λ)

    32(ωγ−λ)27(1+γ2)2 1

    3

    = −6(ωγ − λ)ω (4.19)

    Wir setzen (4.19) in (4.18) ein:

    (ω2 + λ2)(δω −√

    3λ) = −6√

    3δ. (4.20)

    Da δ positive ist, muss δω −√

    3λ < 0 und δω <√

    3λ < 0.

    Wir fördern σ = +1 für γ ≥ 0. Da λ < 0 und σω < 0, ist der Zähler in (4.17) negative.

    Falls σ = −1 ist, ist der Nenner in (4.17) σ(σω−√

    3λ) > 0, weil σω−√

    3λ < 0. Daherγ < 0. Auf diese Weise σ = +1, dass (4.6) bestätigt.

    Wir behaupten, dass für gegebene δ und λ die ω eine eindeutige Lösung der Gleichung(4.20) ist.

    Man stellt fest, dass das kubische Polynom der linken Seite der Gleichung (4.20) dasPolynom (4.7) ist.

    Da p′(ω) = (√

    3ω − λ)2, (4.21)

    13

  • ist p(ω) monoton, und es existiert eine eindeutige Lösung ωc wie es behauptet wurde.

    Als letztes zeigen wir, dass Gω ungleich Null ist. Es gilt, wenn γc(δ, λ)Rc(δ, λ) +ωc(δ, λ) < 0.

    Wir erheben die Gleichung (4.13) in die dritte Potenz und quadrieren die Gleichung(4.14). Wir eliminieren ωγ − λ durch Dividieren von veränderten (4.13) durch (4.14).

    1 + γ2c =(λ2+ω2c )

    3

    27δ2.

    (4.12)=⇒ Rc = δ

    13

    (1+γ2c )13

    = δ13

    3δ23

    λ2+ω2c= 3δ

    λ2+ω2c.

    (4.17)=⇒ Rcγc = 3δλ2+ω2c

    λ+√3ωc

    ωc−√3λ

    (4.20)= −λ+

    √3ωc

    2√3,

    Somit Rcγc + ωc =√3ωc−λ2√3

    = 12(ωc − 1√3λ)

    ( 1√3λ>√3λ)

    < 12(ωc −

    √3λ) < 0.

    14