PhysikalischesGrundpraktikum

Versuch 4

Kreiselpräzession

Praktikant: E-Mail:Tobias Wegener tobias.wegener@stud.uni-goettingen.de

Mitarbeiter: E-Mail:Alexander Osterkorn a.osterkorn@stud.uni-goettingen.de

Tutor: Gruppe:Marten Düvel 3

Durchgeführt am: Protokoll abgegeben:22.4.2013 6.5.2013

Testiert:

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 3

2 Theorie 32.1 Trägheitsmoment und Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.1 Präzession eines Kreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3.2 Nutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Durchführung 5

4 Auswertung 74.1 Übersicht über die vermessenen Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Theoretische Bestimmung der Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . 84.3 Empirische Bestimmung der Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . 9

4.3.1 Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3.2 Präzessionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3.3 Nutationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Diskussion 135.1 Physikalisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Präzessionsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Nutationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Literatur 15

2

1 EinleitungIn diesem Versuch soll die Bewegung eines Kreisels untersucht werden. Besondersinteressant ist die Beobachtung eines Kreisels in einem Kraftfeld (z.B. dem Gra-vitationsfeld der Erde), da hier recht überraschende Effekte auftreten können. Einsolcher Effekt ist, dass ein herkömmlicher Spielkreisel trotz der Erdanziehung nichtumfällt, solange er nur schnell genug rotiert. Dabei kann man das Konzept einesKreisels verallgemeinern und diese Effekte z.B. auch bei der Bewegung von Him-melskörpern nachweisen oder für technische Zwecke nutzen (Kreiselkompaß, vgl.[Otten, 2003, S.160f]).

Im Versuch werden nun verschiedene Facetten dieser Kreiselbewegung genaueruntersucht und mit verschiedenen Trägheitsmomenten der Anordnung in Beziehunggesetzt. Insofern ist dieser Versuch an Versuch 3 angelehnt, in dem die Natur desTrägheitsmoments experimentell untersucht wurde.

Die in dieser Arbeit verwendeten Skizzen wurden selbst erstellt.

2 Theorie2.1 Trägheitsmoment und Satz von SteinerBetrachtet man einen rotierenden starren Körper, so lässt sich ein TrägheitsmomentJ um die Drehachse bestimmen. Dieses ist ein Maß für die Trägheit des Körpersbzgl. der Rotation und wie folgt definiert:

J =∑

miR2i (1)

Kennt man das Trägheitsmoment JS des Körpers der Masse M um eine be-stimmte Achse durch den Mittelpunkt, so lässt sich über den Satz von Steiner auchdas Trägheitsmoment um jede dazu parallele Achse im Abstand h berechnen:

J = JS +Mh2

[Giancoli, 2010, S. 335, 342]

2.2 Physikalisches PendelAls physikalisches Pendel wird eine Anordnung bezeichnet, in der ein ausgedehnterKörper mit der Masse mges um eine Achse schwingt. Das Trägheitsmoment J die-ses Körpers bezüglich der Drehachse lässt sich dann aus der Schwingungsdauer Tberechnen [Giancoli, 2010, S. 504f]:

J = mges · |~g| · acm · T 2

4π2 (2)

Dabei bezeichnet ~g die Erdbeschleunigung und acm den Abstand des Schwer-punktes vom Aufhängepunkt. Es ist zu beachten, dass diese Formel nur etwa fürWinkel < 10° gültig ist.

2.3 Kreiselbewegung2.3.1 Präzession eines Kreisels

Ein Spezialfall eines Kreisels ist in Abb. 1 dargestellt. An einer vertikalen Halterungist eine Stange drehbar gelagert, an der eine Scheibe mit einem Trägheitsmoment J

3

(bzgl. dieser Achse) und auf der anderen Seite ein Ausgleichsgewicht befestigt ist,das gerade die an der Scheibe angreifende Gewichtskraft neutralisiert. Wird nun einweiteres Gewicht mit der Masse mZG im Abstand aZG an der Stange befestigt, sogibt es ein resultierendes Drehmoment, welches zu einem Kippen der Anordnungführt [Demtröder, 2013, S. 61]:

| ~M | = |~aZG × ~g| ·mZG = |~aZG| ·mZG |~g| · sin θ (3)

Draufsicht

Abbildung 1: Kreiselpräzession am Beispiel einer rotierenden Scheibe

Dreht sich stattdessen die Scheibe schnell um die eigene Achse, kippt die An-ordnung nicht mehr, sondern beginnt eine Rotationsbewegung in der horizontalenEbene. Dieses Phänomen wird als (Kreisel-) Präzession bezeichnet. Das Drehmo-ment, welches durch die Gewichtskraft des zusätzlichen Massestückes hervorgerufenwird, bewirkt nach | ~M | = |~̇L| [ebd.] eine zeitliche Änderung des Drehimpulses d~L.Da in diesem Fall die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ~ωR und der Drehimpuls~L parallel sind, ist die Änderung des Drehimpulses senkrecht zu diesem. Die Spitzedes Drehimpulsvektors und damit auch die Scheibe bewegen sich daher auf einerKreisbahn [Otten, 2003, S. 159]. Mit |~L| = J · |~ωR| [ebd., S. 145] folgt dann:

| ~M | =∣∣∣∣∣d~Ldt

∣∣∣∣∣ = J · |~ωR| · sin θ · dφdt (4)

Setzt man nun 3 und 4 gleich und definiert ωP := dφdt als die gesuchte Präzessi-

onsgeschwindigkeit, so lässt sich das Trägheitsmoment folgendermaßen berechnen:

J = mZG · |~g| · |~aZG||~ωP | · |~ωR|

(5)

2.3.2 Nutation

Abbildung 2: Darstellung der verschiedenen Achsen

4

In der bisherigen Betrachtung hat die als homogen angenommene Scheibe eineRotation um die Symmetrieachse ausgeführt. Diese, auch als Figurenachse bezeich-nete Achse zeigte dann in die gleiche Richtung wie der Drehimpulsvektor. Erfährtder rotierende Körper nun einen Stoß, so weist der Körper und damit seine Figuren-achse eine Rotationsbewegung um den raumfesten Drehimpulsvektor auf [Demtrö-der, 2013, S. 143 ff]. Diese Bewegung wird als Nutation bezeichnet. Der Anteil derWinkelgeschwindigkeit ~ω in Richtung von ~L ist die Nutationswinkelgeschwindigkeit,denn die Komponente der Rotation ist stets in Richtung der Figurenachse. Somitgilt:

|~ωN | =|~L|Jvert

und |~efig · ~L| = |~L| cosϕ = Jhor · |~ωR|

Nimmt man an, dass der Öffnungswinkel ϕ recht klein ist, so ist cosϕ ≈ 1:

|~ωN ||~ωR|

= JhorJvert

(6)

3 DurchführungZu Beginn werden die relevanten Längen und Massen der zum Versuchsaufbau ge-hörenden Objekte vermessen (s. Tab. 1). Dieser ist in Abbildung 3 dargestellt: Aneinem vertikalen Stativ ist eine Stange drehbar gelagert, die jedoch bei Bedarf fi-xiert werden kann. An dieser Stange ist eine Scheibe befestigt, die um die eigeneSymmetrieachse rotieren kann. Auf der anderen Seite der Stange kann ein Aus-gleichsgewicht befestigt werden, dass die Gewichtskraft der Scheibe neutralisiert.

Zusatzgewicht

Fixierung

Pendelgewicht

Ausgleichsgewicht

Papierstreifen

Scheibe

Abbildung 3: Versuchsaufbau

Physikalisches PendelZunächst wird die Stange in der horizontalen Ebene so festgespannt, dass sich dieScheibe nur noch um ihre Symmetrieachse drehen kann. Dann wird am Rand derScheibe ein kleines Pendelgewicht angebracht, sodass diese Anordnung als physika-lisches Pendel betrachtet werden kann. Das Gewicht des Pendelgewichts und derAbstand dessen Massenschwerpunktes von der Drehachse sind zu bestimmen. Dannwird das Gewicht um einen kleinen Winkel aus der Ruhelage ausgelenkt, sodass dieScheibe eine harmonische Schwingung beginnt. Aus einer Messung der Perioden-dauer lässt sich dann das Trägheitsmoment der Scheibe bestimmen. Dazu werden

5

mehrere Messungen über jeweils zehn Perioden an einer und an deren diametralgegenüberliegenden Seite durchgeführt.

Funktionsweise und Benutzung der LichtschrankeIm Folgenden wird eine Gabellichtschranke verwendet, welche eine U-Form hat.Die Funktionsweise beruht darauf, dass es einen Lichtstrahl zwischen den beidenEnden gibt. Wird dieser durch ein Hindernis unterbrochen, kann das Gerät diesesregistrieren. An der Lichtschranke kann man über einen Schalter einstellen, wasgemessen werden soll. In unserem Fall soll die Zeit zwischen zwei Durchgängeneines Hindernisses gemessen werden. Alternativ gäbe es zum Beispiel einen Modus,in dem die Anzahl registrierte Unterbrechnugen gezählt wird. Vor der Messungwird die Lichtschranke durch Betätigen der entsprechnden Taste auf Null gesetzt.Wird dann der Lichtstrahl mehrfach unterbrochen, so misst die Lichtschranke dieverstrichene Zeit zwischen den ersten beiden Unterbrechnungen.

PräzessionsmessungNach der Messung wird die Einspannung entfernt und das Ausgleichsgewicht so amStab justiert, dass sich ein Gleichgewicht in horizontaler Richtung einstellt. Ist diesder Fall, so misst man den Abstand des Ausgleichsgewichts vom Aufhängepunkt.Außerdem wird ein kleiner Papierstreifen am Mantel der Scheibe befestigt.

Nun wird die Scheibe mit Hilfe von einer aufgewickelten Schnur in schnelle Rota-tion versetzt. Deren Periodendauer lässt sich mit einer Lichtschranke messen, welcheden Papierstreifen bei jedem Umlauf registriert. Aus der Periodendauer lässt sichdie Winkelgeschwindigkeit ω bestimmen.

Dann beginnt die eigentliche Präzessionsmessung. Auf der der rotierenden Schei-be gegenüberliegenden Seite wird ein Zusatzgewicht eingehängt, sodass sich die Prä-zessionsbewegung einstellt. Danach wird zur Bestimmung der Präzessionsfrequenzvier mal die Dauer für jeweils einen halben Umlauf um die vertikale Achse gemessen,ohne dass die Rotation des Rades um die eigene Achse unterbrochen wird. Dabeimuss vor und nach jeder Messung die Winkelgeschwindigkeit der rotierenden Schei-be bestimmt werden, da diese auf Grund von Reibungseffekten im System kleinerwird. Daher ist es wichtig, die Messung zügig durchzuführen. Wenn man zum Unter-brechen der Präzessionsbewegung die Zusatzmasse nicht abhängt, sondern einfachdie Stange festhält, verliert man kaum Zeit bei der Messung der Rotationsgeschwin-digkeit und gewährleistet zudem, dass beim erneuten Einetzen der Präzession nureine geringe Nutatin auftritt. Die gesamte Messung wird dann noch für zwei weitereunterschiedlich schwere Zusatzgewichte wiederholt.

NutationsmessungIm letzten Teil des Versuchs soll die Nutationsperiode der Scheibe bestimmt werden.Dafür wird kein zusätzliches Zusatzgewicht angehängt. Die Scheibe wird erneutmit der Aufzugsschnur in eine schnelle Rotation versetzt und die Periodendauerfür die Rotation wird mit der Lichtschranke gemessen. Dann gibt man der Achseder Scheibe einen kräftigen Stoß, sodass eine Nutationsbewegung einsetzt. DessenPeriodendauer wird mit der Stoppuhr bestimmt. Nach den zehn Schwingungen wirderneut die Rotationsperiode gemessen. Dieser Vorgang wird mehrmals wiederholt.

6

4 Auswertung

4.1 Übersicht über die vermessenen ObjekteIn der folgenden Tabelle sind alle für die Auswertung benötigten Maße dargestellt.Einige dieser Größen waren als Herstellerangaben gegeben. Daher ist anzunehmen,dass diese im Vergleich zu den gemessenen Werten einen vernachlässigbar kleinenFehler aufweisen. Alle anderen Größen wurden selbst bestimmt und es wurde einMessfehler abgeschätzt. Bei den Abständen wurden die Massenschwerpunkte alsReferenzpunkte verwendet.

Scheibe

mSch = 1,32 kgdSch = 24,5 cmbSch = 2,8 cmaSch = (11,7± 0,6) cm

Pendelgewicht

mPG = 0,12 kgaPG = (13,8± 0,3) cm

Ausgleichsgewicht

mAG = 0,938 kgdAG = (6± 0,1) cmhAG = (4,3± 0,1) cmaAG = (16,5± 0,3) cm

ZusatzgewichtmZG variabelaZG = (28,3± 0,8) cm

StabmStab = (500± 300) glStab = (40,0± 0,5) cm

Tabelle 1: Maße und Längen der verwendeten Objekte

Für Längenmessungen unter 10 cm wird ein Fehler von 1 mm, dem kleinsten Ska-lenwert, einkalkuliert. Bei den zu messenden Längen, die über 10 cm hinausgehen,konnte man nicht immer das Lineal eben anlegen und es hing durch, somit wird hierein um 2 mm größerer Fehler einkalkuliert. Bei der Gesamtlänge des Stabes wird einFehler von 5 mm angenommen, da hier das Lineal noch schlechter angelegt werdenkonnte.

7

Die Abstände der Scheibe und des Zusatzgewichts zum Unterstützungspunktwurden jedoch nicht gemessen, da dies nicht explizit aus der Praktikumsanleitunghervorgeht. Man kann diese Größen jedoch indirekt aus bekannten Größen bestim-men. Mit der Information, dass das Ausgleichsgewicht so justiert wurde, dass eskein von der Gravitationskraft verursachtes Drehmoment gibt, kann über das He-belgesetzes die Länge aSch berechnet werden:

∆aSch = mAG

mSch·∆aAG ≈ 0, 003m

aSch = mAG

mSch· aAG ±∆aSch = (11,7± 0,6) cm

Dabei wird jedoch die Masse des Stabes nicht berücksichtigt, daher wird derFehler doppelt so groß abgeschätzt, wie sich aus der Fehlerfortpflanzung ergebenwürde. Der Abstand des Zusatzgewichts lässt sich dann nach aZG = lStab − aSchbestimmen, der Fehler ergibt sich aus der Fehlerfortpflanzung:

∆aZG =√

∆lStab2 + ∆aSch2 ≈ 0, 8 cm

Außerdem wird in der Auswertung die Masse des Stabes benötigt. Diese ließ sichim Versuch nicht bestimmen, ohne dass die gesamte Versuchsanordnung auseinan-der genommen worden wäre. Da dies nicht vorgesehen war, kann die Masse lediglichgrob mit mStab = (500± 300) g abgeschätzt werden.

Aus den einzelnen Messungen kann man nun das horizontale Trägheitsmoment derScheibe um die Symmetrieachse sowie das vertikale Trägheitsmoment der gesamtenAnordnung um den Aufhängepunkt auf unterschiedliche Art und Weise bestimmen.Aus der Form und Masse der einzelnen Objekte können die beiden Trägheitsmo-mente theore- tisch bestimmt werden, aus den dynamischen Messungen der Pendel-,Präzessions- und Nutationsbewegung empirisch. Natürlich werden zur theoretischenBestimmung auch Messwerte verwendet, aber diese beruhen nur auf statischen Mes-sungen. Da das Trägheitsmoment eigentlich eine Größe ist, die eine dynamischeBedeutung hat, wurde hier dennoch der Begriff „theoretisch“ verwendet.

4.2 Theoretische Bestimmung der TrägheitsmomenteDer Wert des horizontalen Trägheitsmoments der Scheibe um ihre Symmetrieachselässt sich unter der Annahme, dass die verwendeten Werte keinen signifikantenFehler aufweisen, aus der Form und der Masse der Objekte berechnen [Stöcker,2005, S. 103f]:

J theohor = 12 ·M ·R

2 = 12 · 1,32 kg ·

(12,25 · 10−2 m

)2

≈ 9,9 · 10−3 kg ·m2 (7)

Neben dem horizontalen Trägheitsmoment kann man für den Kreisel auch nochein vertikales Trägheitsmoment um die Präzessionsachse berechnen. Dieses ist nachGl. 1 die Summe der Teilträgheitsmomente der einzelnen Massen. In der Rechnungfür die Scheibe und das Ausgleichsgewicht werden die Formel für das Trägheits-moment eines Vollzylinders, der um seine Querachse rotiert sowie der Satz vomSteiner benutzt. Für den Stab wurde die Formel für das Trägheitsmoment eines umdie Spitze rotierenden dünnen Stabes verwendet. Diese Formeln wurden aus einemNachschlagewerk entnommen [Stöcker, 2005].

8

JAG = mAG ·(r2AG

4 + h2

12 + a2AG

)≈ 26 · 10−3 kg ·m2

JSch = mSch ·(r2Sch

4 + b2Sch

12 + a2Sch

)≈ 23 · 10−3 kg ·m2

JStab = mStab

3 lStab·(a3Sch + a3

ZG

)≈ 11 · 10−3 kg ·m2

(∆J theovert )2 =(mAG rAG

2 ·∆rAG)2

+(mAG hAG

6 ·∆hAG)2

+ (2mAG aAG ·∆aAG)2

+((

2 aSchmSch + mStab a2Sch

lStab

)·∆aSch

)2

+(mStab a

2ZG

lStab·∆aZG

)2

+(mStab

3 l2Stab

(a3Sch + a3

ZG

)·∆lStab

)2+(a3Sch + a3

ZG

3 lStab·∆mStab

)2

≈ (2 · 10−10 + 5 · 10−11 + 9 · 10−7 + 4 · 10−6 + 7 · 10−7 + 2 · 10−8

+ 4 · 10−5) kg m2 ≈(5 · 10−5) kg m2

⇒ J theovert = JAG + JSch + JStab + ∆J theovert

= (60± 8) · 10−3 kg ·m2

4.3 Empirische Bestimmung der TrägheitsmomenteNun werden die Bewegungsmessungen ausgewertet. In den Versuchsteilen Physi-kalisches Pendel und Präzessionsmessung wird das horizontale Trägheitsmomentbestimmt, in der Nutationsmessung das vertikale.

4.3.1 Physikalisches Pendel

Um aus dem Pendelversuch das horizontale Trägheitsmoment zu bestimmen, wirddie Periodendauer des physikalischen Pendels benötigt. Der im Experiment ermit-telte Wert ist TMessung = (1, 668± 0, 013) s. Um ein Vertrauensintervall für denwahren Fehler zu erhalten, muss die Standardabweichung um den Term t√

nkor-

rigiert werden. Der Faktor t hängt von der Anzahl der Wiederholungen und demgewünschten Signifikanzniveau ab (hier: 1σ-Umgebung). Außerdem muss der sys-tematische Fehler der Stoppuhr berücksichtigt werden. Dieser ist abhängig von dergemessenen Gesamtzeit. Da jedoch die gemessenen Zeiten sehr ähnlich waren, istder systematische Fehler etwa konstant, somit wird hier für alle Werte der gleicheStoppuhr-Fehler (größter Einzelfehler) verwendet:

∆Tstat = σTMessung· t√

n= 0, 013 · 1, 15√

6s ≈ 0, 007 s

∆Tsys = 0, 01 + 0, 005 · 1, 687 s ≈ 0, 02 s

⇒ Temp = (1,67± 0,03) s

9

Das Trägheitsmoment der Scheibe lässt sich nun aus Gl. 2 berechnen, wenn mandas Trägheitsmoment des Pendelgewichts abzieht. Setzt man für acm die Formel fürden Schwerpunkt ein [Giancoli, 2010, S. 297], so ergibt sich:

Jemphor = g ·mPG · aPG · Temp2

4π2 −mPG · a2PG ± ∆Jemphor

Mit den gegebenen Werten und deren Fehlern lässt sich nun das Trägheitsmo-ment berechnen:

(∆Jemphor )2 =(∂Jemphor

∂aPG·∆aPG

)2

+(∂Jemphor

∂Temp·∆Temp

)2

=(gmPG T

2emp

4π2 − 2mPG aPG

)2

(∆aPG)2 +(gmPG aPG Temp

2π2 ∆Temp)2

≈ 0,5 · 10−3 kg ·m2

⇒ Jemphor = (9, 2± 0, 5) · 10−3 kg ·m2 (8)

4.3.2 Präzessionsmessung

Bei der Präzessionsmessung wurden die Präzessionswinkelgeschwindigkeit ~ωP unddie Rotationswinkelgeschwindigkeit ~ωR indirekt aus den entsprechenden Umlauf-zeiten mehrfach bestimmt, sodass diese Größen in der Auswertung zueinander inBeziehung gesetzt werden können.

Da die Präzessionsbewegung durch Reibung recht stark abgebremst wird, wur-de sowohl vor als auch nach jedem halben Präzessionsumlauf die Periodendauerfür die Rotation des Kreisels um die horizontale Achse bestimmt. In der Auswer-tung dieser Messung ist daher für jeden dieser halben Umläufe die Präzessionsdauerdem Mittelwert der beiden Rotationszeiten gegenübergestellt. Da die gemessenenGrößen bei jeder Einzelmessung variieren, wird der Fehler abgeschätzt. Die Rotati-onszeit um die vertikale Achse wurde mit einer Stoppuhr gemessen, somit muss derStoppuhr-Fehler mit einbezogen werden [vgl. Kapitel 4.3.1]. Außerdem konnte mannur an Hand von recht ungenauen Vergleichspunkten abschätzen, wann ein halberUmlauf vorüber ist. Es ist gut möglich, hier um 10-20° von den 180° abzuweichen.Daher wird der angenommene Fehler um 1

10 · TP erhöht. Im Vergleich dazu kannder Fehler der Lichtschranke bei der Rotationsmessung um die horizontale Achseals gering angenommen werden, da hier Faktoren wie menschliche Reaktion undErmessen entfallen. Da jedoch auch in der Lichtschranke eine Stoppuhr integriertist, wird auch hier ein Stoppuhr-Fehler angenommen. Die Periodendauern werdenüber die Definition ω = 2π

T [Giancoli, 2010, S. 326] in Winkelgeschwindigkeiten um-gerechnet. Mittels Gauß’scher Fehlerfortpflanzung lassen sich daraus die Fehler derWinkelgeschwindigkeiten bestimmen:

∆ωP = 2πT 2 ·∆T und ∆ω−1

R = ∆T2π

Da nach Gl. 5 eine Antiproportionalität zwischen diesen beiden Größen zu er-warten ist, wird ωP gegen das reziproke ωR aufgetragen. Diese Daten werden durchgnuplot mit linearer Regression unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Ein-zelfehler ausgewertet. Die grafische Darstellung der Messwerte sowie die Resultateder Regression sind in Abb. 4 abgebildet.

Mit den in Tabelle 2 aufgeführten Werten für die Steigung k ≈ ωR · ωP (wg.Proportionalität) der jeweiligen Regressionsgeraden und Gl. 5 lässt sich dann für

10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

ωP

[1/s]

1/ωR [s]

Präzessionsmessung

40 g : Messwerte

60 g : Messwerte

80 g : Messwerte

100 g : Messwerte

ωP = 9,735 s−2 · 1ωR

+ 0,029 s−1

ωP = 13,562 s−2 · 1ωR

+ 0,045 s−1

ωP = 20,271 s−2 · 1ωR

+ 0,034 s−1

ωP = 24,493 s−2 · 1ωR

+ 0,044 s−1

Abbildung 4: Gegenüberstellung von ωP und 1ωR

für verschiedene Massen sowieErgebnisse der Linearen Regression

jede Teilmessung mit unterschiedlicher Masse das Trägheitsmoment bestimmen:

J = mZG · g · aZGk

(∆J)2 =(mZG · g

k·∆aZG

)2+(mZG · g · aZG

k2 ∆k)2

Da nach der Fehlerfortpflanzung der Fehler bei allen Messungen als gleich großangenommen wird, kann einfach der ungewichtete Mittelwert berechnet werden.

⇒ Jemphor2 = (12± 4) 10−3 kg ·m2

Dieser Wert für das horizontale Drehmoment ist in der gleichen Größenordnungwie die beiden Werte in Gl. 7 und 8, jedoch etwa 20% größer. Da aber auch einrecht großer Fehler für den dritten, am stärksten abweichenden Wert angenommenwird, liegen die anderen beiden Werte dennoch im Vertrauensintervall.

Massem[g] k [s−2] ∆k [s−2] Jhor [kg] ·m2 ∆Jhor [kg ·m2]40 9,7 0,9 0,011 0,00460 14 1 0,012 0,00480 20 2 0,011 0,004100 24 4 0,012 0,004

Tabelle 2: Trägheitsmoment bei verschiedenen gnuplot-Regression

11

4.3.3 Nutationsmessung

Im letzten Teil wurde die Kreisfrequenz ωR in Abhängigkeit von der Nutationsfre-quenz ωN gemessen. Der Fehler bei der Messung der Rotationszeit wurde analog zuKapitel 4.3.2 abgeschätzt, für die Nutationszeit wurde der Stoppuhr-Fehler sowieein Reaktionsfehler von 0, 3 s einkalkuliert.

6

7

8

9

10

11

12

13

14

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

ωN

[1/s]

ωR [1/s]

Nutationsmessung

Messwerte

ωN = 0,143 · ωR + 0,304 /s

Abbildung 5: Gegenüberstellung von Nutationsfrequenz und Kreisfrequenz

In der Darstellung der Messergebnisse in Abb. 5 ist deutlich der lineare Zu-sammenhang zwischen den beiden Größen zu erkennen. Bis auf einen Ausreißerschneiden alle Werte mit ihren Fehlerbalken die Ausgleichsgerade. Der Wert derSteigung der Regressiongeraden beträgt k = 0,143 ± 0,011 (zwei Dezimalstellenwegen führender 1). Nach Gleichung 6 sollte dieser Wert in guter Näherung demVerhältnis Jhor

Jvertder beiden Hauptträgheitsmomente entsprechen. Somit lässt sich

aus dieser Messung auch das vertikale Trägheitsmoment empirisch bestimmen. AlsWert für das horizontale Trägheitsmoment verwende ich das arithmetische Mittelder beiden empirischen Werte.

(∆Jempvert )2 =

(Jemp1hor

2 · k ∆Jemphor2

)2

+(Jemphor22 · k ∆Jemp1

hor

)2

+(Jemp1hor + Jemphor2

2k2 ∆k)2

Jempvert = Jemp1hor + Jemphor2

2 · k ± ∆Jempvert

Setzt man nun die Werte in diese Formel ein, so erhält man für das Trägheitsmo-ment:

⇒ Jempvert = (71± 6) 10−3 kg m2

12

5 Diskussion

J theohor = 9,9 · 10−3 kg ·m2

J theovert = (60± 8) · 10−3 kg ·m2

Jemphor = (9, 2± 0, 5) · 10−3 kg ·m2 (physikalisches Pendel)

Jemphor2 = (12± 4) 10−3 kg ·m2 (Präzessionsmessung)

Jempvert = (71± 6) 10−3 kg m2 (Nutationsmessung)

Tabelle 3: Übersicht über die Ergebnisse

5.1 Physikalisches PendelDer theoretisch berechnete Wert für das horizontale Trägheitsmoment stimmt rechtgut mit dem empirischen überein, die Abweichung beträgt nur etwa 5%. Dennochliegt der theoretische Wert nicht im Vertrauensintervall (1σ) des empirischen, dassich aus der Fehlerrechnung ergibt. Es ist zu vermuten, dass an dieser Stelle einsystematischer Fehler vorliegt, der in der Fehlerbetrachtung nicht berücksichtigtwurde. Nun kann man nicht abschließend sagen, was die Ursache ist und welcherder beiden Werte näher am wahren liegt. Die Größenangaben, die für den theoreti-schen Wert benötigt wurden, waren zwar weniger fehlerbehaftet, jedoch weiß mannicht, wie gut die reale Scheibe dem theoretischen Modell eines Vollzylinders mithomogener Massenverteilung nahekommt. So gibt es z.B. die Vorrichtung für dasBefestigen und Aufrollen der Schnur, welche eine andere Größe als die Scheibe hatund von der man nicht weiß, ob ihre Masse zur Masse der Scheibe hinzugerechnetwurde. Andererseits hat man bei der empirischen Bestimmung größere Messunge-nauigkeiten. Ein systematischer Fehler könnte hier sein, dass das Pendel zu weitausgelenkt wurde, sodass die Sinus-Näherung nicht mehr so gut erfüllt ist, denndiese Abweichung wäre stets in die gleiche Richtung.

5.2 PräzessionsmessungDer erwartete lineare Zusammenhang ist in Abb. 4 deutlich zu erkennen. Der rela-tive Fehler für die Steigung beträgt im Mittel etwa 10% (vgl. Tabelle 2) und bewegtsich somit in einem akzeptablen Rahmen. Auffällig ist jedoch, dass die Werte für deny-Achsenabschnitt bei der linearen Regression nicht mehr oder weniger gleichmäßigum Null verteilt sind, sondern stattdessen für alle vier Massenstücke positiv undin einer ähnlichen Größenordnung sind. Auf Grund der erwarteten Proportionalitätsollten die Regressionsgeraden eigentlich im Mittel durch den Ursprung verlaufen.Daher kann an dieser Stelle ein systematischer Fehler vermutet werden. Möglicher-weise ist diese Abweichung während der Zeitmessung entstanden. Es könnte sein,dass entweder alle Präzessionswinkelgeschwindigkeiten mehr oder weniger um dengleichen Betrag zu groß sind, oder aber dass die Kehrwerte der Rotatinsgeschwindig-keiten um den gleichen Betrag zu klein sind, was wiederum bedeuten würde, dass dieZeitmessungen in eine bestimmte Richtung abweichen und die absolute Abweichungbei größeren Zeiten größer ist. Neben Gerätfehlern oder Bedienungsfehlern könnteaber auch der Einfluss der Reibung eine Ursache sein. Nimmt man an, dass die Win-kelgeschwindigkeit proportional zur Reibung ist, so fällt diese als Konsequenz derReibung exponentiell ab. Das bedeutet, dass der Mittelwert der Winkelgeschwindig-keit in einem bestimmten Zeitintervall eigentlich geringer ist, als das arithmetischeMittel aus Anfangs- und Endgeschwindigkeit. Diese Abweichung sollte für kleinere

13

Geschwindigkeiten abnehmen, da sich die Krümmung der Geschwindigkeitskurveimmer weniger stark ändert. Somit ist der Fehler, der durch die Reibung verursachtwird, auf jeden Fall ein systematischer, da die Abweichung vom Realwert immerin die gleiche Richtung erfolgt. Auf Grund der Vielzahl an möglichen Ursachenund der Tatsache, dass sowohl x-Wert als auch y-Wert fehlerbehaftet sind und dieWinkelgeschwindigkeiten indirekt über die Periodendauern gemessen wurden, kannhier keine Entscheidung über die tatsächliche Ursache getroffen werden. Es ist auchmöglich, dass mehrere dieser Ursachen zusammen auftreten.

An dieser Stelle ist noch anzumerken, dass es sich lohnt, einen Blick auf dieErgebnisse zu werfen, die man erhält, wenn nur die Quotienten berechnet werden,ohne einen y-Achsenabschnitt anzunehmen. Der systematische Fehler wird hierbeigewissermaßen ausgeblendet, die Steigung ist für alle Punkte etwas größer. Diedaraus berechneten Trägheitsmomente liegen noch sehr viel näher an den anderenWerten (vgl. Tabelle 4). Die Fehlerrechnung verläuft ebenfalls analog, lediglich wirdstatt dem k der Mittelwert der einzelnen Produkte ωR ωP verwendet.

Massem [g] ωRωP [s−2] ∆ωRωP [s−2] Jhor [kg ·m2] ∆Jhor [kg ·m2]40 11,2 0,6 0,010 0,00360 16,4 0,9 0,010 0,00380 22,6 1,2 0,010 0,003100 28,0 1,5 0,010 0,003

Tabelle 4: Trägheitsmoment bei verschiedenen Massen: direkte Betrachtung derAntiproportionalität

5.3 NutationsmessungIn der Auswertung wurde das vertikale Trägheitsmoment auf zwei Arten bestimmt.Zuerst wurde es theoretisch aus der Versuchsanordnung berechnet, später aus einerMessung der Nutationsbewegung. Diese beiden Werte liegen etwa in der gleichenGrößenordnung, weichen aber um etwa 15% voneinander ab. Jedoch müssen auchjeweils recht große Fehler angenommen werden, sodass sich die Vertrauensintervalledennoch überschneiden (bei J ≈ 66 kg m2).

Es entstanden dann Fehler beim Messen, weil bei kleinen Nutationswinklen großeUmdrehungsfrequenzen auftraten und es somit schwierig war, volle Umläufe zu er-kennen und im richtigen Moment zu messen. Bei größeren Winkeln ist dies zwareinfacher, jedoch gibt es dann einen größeren Fehler bei der Verwendung von Gl. 6.Für die theoretische Bestimmung des vertikalen Trägheitsmomentes mussten einigeWerte indirekt abgeleitet werden und sind somit recht ungenau. Hier hätte manein genaueres Ergebnis erhalten, wenn die Abstände der Scheibe und des Zusatzge-wichts vom Unterstützungspunkt direkt gemessen worden wären und ein genauererWert für die Masse des Stabes vorgegeben wäre. Vielleicht kann die Praktikums-anleitung um den Hinweis ergänzt werden, dass auch diese Maße benötigt werden,denn alle anderen zu bestimmenden Größen werden explizit erwähnt.

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LiteraturWolfgang Demtröder. Experimentalphysik 1. Springer Spektrum, 2013.

Douglas C. Giancoli. Physik Lehr- und Übungsbuch. Pearson Deutschland GmbH,Martin-Kollar-Straße 10-12, 81829 München, 2010.

Ernst Wilhelm Otten. Repititorium Experimentalphysik: für Vordiplom und Zwi-schenprüfung. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003.

Horst Stöcker. Taschenbuch der Physik. H. Deutsch, 2005.

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