VI.7. DAS CAP-PRODUKT 323

VI.7. Das Cap-Produkt. Es sei wieder R ein kommutativer Ring mit Eins.Weiters seien (X, A) und (Y, B) zwei Paare von Raumen, sodass (X×Y ; A×Y, X×B) eine excisive Triade bildet, siehe Lemma V.6.12. Mit Hilfe einer Eilenberg–Zilber Aquivalenz erhalten wir genau wie am Beginn von Abschnitt VI.5 eineKettenhomotopieaquivalenz

C(X × Y, A × Y ∪ X × B)≃−→ C(X, A) ⊗ C(Y, B).

Tensorieren mit dem Ring R liefert eine Kettenhomotopieaquivalenz

C∗(X × Y, A × Y ∪ X × B; R)≃−→ C∗(X, A; R) ⊗R C∗(Y, B; R).

Kombinieren wir dies mit der kanonischen Kettenabbildung

Hom(C∗(Y, B); R) ⊗R C∗(X, A; R) ⊗R C∗(Y, B; R) → C∗(X, A; R),

β ⊗ a ⊗ b 7→ (−1)|β||a|β(b)a, so erhalten wir eine Kettenabbildung

C∗(Y, B; R) ⊗R C∗(X × Y, A × Y ∪ X × B; R) → C∗(X, A; R).

Diese induziert Homomorphismen

Hq(Y, B; R) ⊗R Hp+q(X × Y, A × Y ∪ X × B; R)\−→ Hp(X, A; R),

die als Slant-Produkt bezeichnet werden, β ⊗ c 7→ β \ c. Nach Satz V.6.2 ist diesunabhangig von der Wahl der Eilenberg–Zilber Aquivalenz.

VI.7.1. Satz (Slant-Produkt). Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins,f : (X, A) → (X ′, A′) und g : (Y, B) → (Y ′, B′) Abbildungen von Paaren, undρ : R → R′ ein Ringhomomorphismus. Fur α ∈ H∗(X, A; R), β ∈ H∗(Y, B; R),β ′ ∈ H∗(Y ′, B′; R), γ ∈ H∗(Z, C; R), a ∈ H∗(X, A; R), b ∈ H∗(Y, B; R), c ∈H∗(X × Y, A×Y ∪X ×B; R) und e ∈ H∗(X × Y ×Z, A× Y ×Z ∪X ×B ×Z ∪X × Y × C; R) gilt dann:

(i) β \ (γ \ e) = (β × γ) \ e. (Assotiativitat)(ii) 1Y \ c = (prX)∗c. (Einselement100)(iii) f∗(g

∗β ′ \ c) = β ′ \ (f × g)∗c. (Naturlichkeit)(iv) 〈α × β, c〉 = 〈α, β \ c〉. (Dualitat)(v) β \ (a × b) = 〈β, b〉a. (Multiplikativitat)(vi) ρ∗(β \ c) = ρ∗β \ ρ∗c (Naturlichkeit im Koeffizientering)

Beweis. Analog zum Beweis von Satz VI.5.1. Wir wollen hier einen etwasanderen Zugang besprechen, und beschranken uns auf Koeffizienten in einemKorper R. In diesem Fall ist das Slant-Produkt durch (iv) vollig bestimmt, sieheKorollar VI.4.17, und alle anderen Behauptungen folgen aus den entsprechendenEigenschaften des Kohomologie-Kreuzproduktes.

100Hier ist B = ∅, Y 6= ∅, 1Y ∈ H0(Y ; R), c ∈ Hq(X × Y, A× Y ; R) und prX : (X × Y, A×Y ) → (X, A) bezeichnet die kanonische Projektion.

324 VI. KOHOMOLOGIE

Aus (iv) und Satz VI.5.1(i) erhalten wir, fur jedes α ∈ H∗(X, A; R),

〈α, β \ (γ \ e)〉 = 〈α × β, γ \ e〉 = 〈(α × β) × γ, e〉

= 〈α × (β × γ), e〉 = 〈α, (β × γ) \ e〉.

Zusammen mit Korollar VI.4.17 folgt nun Behauptung (i). Ebenso erhalten wiraus Satz VI.5.1(iii), fur jedes α ∈ H∗(X, A; R),

〈α, 1Y \ c〉 = 〈α × 1Y , c〉 = 〈pr∗X α, c〉 = 〈α, (prX)∗c〉

Zusammen mit Korollar VI.4.17 folgt daher Behauptung (ii). Nach Satz VI.5.1(iv)gilt, fur jedes α′ ∈ H∗(X ′, A′; R),

〈α′, f∗(g∗β ′ \ c)〉 = 〈f ∗α′, g∗β ′ \ c〉 = 〈f ∗α′ × g∗β ′, c〉

= 〈(f × g)∗(α′ × β ′), c〉 = 〈α′ × β ′, (f × g)∗c〉 = 〈α′, β ′ \ (f × g)∗c〉.

Zusammen mit Korollar VI.4.17 folgt daher Behauptung (iii). Nach Satz VI.5.1(v)gilt, fur jedes α ∈ H∗(X, A; R),

〈α, β \ (a × b)〉 = 〈α × β, a × b〉 = 〈α, a〉〈β, b〉 =⟨α, 〈β, b〉a

⟩.

Zusammen mit Korollar VI.4.17 erhalten wir nun auch Behauptung (v).

VI.7.2. Bemerkung. Aus der konkreten Eilenberg–Zilber Aquivalenz in Be-merkung V.6.4 erhalten wir eine explizite Formel fur das Slant-Produkt auf Ket-tenlevel,

Cq(Y ; R) ⊗R Cp+q(X × Y ; R) → Cp(X; R), β ⊗ c 7→ β \ c.

Fur β ∈ Cq(Y ; R) und c = σ ⊗ r ∈ Cp+q(X × Y ; R), σ : ∆p+q → X × Y einsingularer Simplex, r ∈ R, ist diese durch

β \ (σ ⊗ r) := (−1)pqr〈β, prY σ jp+qp 〉(prX σ ip+q

p )

definiert. Es gilt dann ∂(β \ c) = (−1)|c|−|β|∂β \ c + β \ ∂c, daher induziert diesHomomorphismen

Hq(Y ; R) ⊗R Hp+q(X × Y ; R) → Hp(X; R), [β] ⊗ [c] 7→ [β \ c],

und diese stimmen mit dem Slant-Produkt uberein.

VI.7.3. Bemerkung (Stabilitat des Slant-Produktes). Die Kompatibilitatdes Slant-Produktes mit den Einhangungshomomorphismen kann durch folgendekommutative Diagramme ausgedruckt werden, wobei wir den Koeffizientenringin der Notation unterdrucken:

Hq(Y, B)⊗Hp+q(X × Y, A× Y ∪X × B)

(−1)q id⊗δ

\ // Hp(X, A)

δ

Hq(Y, B)⊗Hp+q−1(A× Y ∪X ×B, X × B) Hq(Y, B) ⊗Hp+q−1(A× Y, A×B)

∼=

id⊗j∗oo \ // Hp−1(A)

VI.7. DAS CAP-PRODUKT 325

Dabei bezeichnet j : (A × Y, A × B) → (A × Y ∪ X × B, X × B) die Inklusion,die nach Lemma V.6.12(i) einen Isomorphismus in der Homologie induziert. Esgilt daher

δ(β \ c) = (−1)|β|β \ j−1∗ δc, (VI.36)

wobei β ∈ H∗(Y, B; R) und c ∈ H∗(X × Y, A× Y ∪X ×B; R). Im Fall B = ∅ istj die identische Abbildung und (VI.36) wird zu δ(β \ c) = (−1)|β|β \ δc, wobeinun β ∈ H∗(Y ; R) und c ∈ H∗(X × Y, A × Y ; R). Weiters kommutiert auch

Hq(B) ⊗Hp+q(X × Y, A× Y ∪X × B)

(−1)q+1 id⊗δ

δ⊗id // Hq+1(Y, B) ⊗Hp+q(X × Y, A× Y ∪X × B)

\

Hq(B) ⊗Hp+q−1(A× Y ∪X × B, A× Y )

Hq(B) ⊗Hp+q−1(X × B, A× B)

id⊗j∗∼=

OO

\ // Hp−1(X, A)

wobei j : (X × B, A × B) → (A × Y ∪ X × B, A × Y ) die Inklusion bezeichnet,die nach Lemma V.6.12(i) einen Isomorphismus in der Homologie induziert. Esgilt daher

(δβ) \ c + (−1)|β|β \ j−1∗ δc = 0, (VI.37)

wobei β ∈ H∗(B; R) und c ∈ H∗(X × Y, A × Y ∪ X × B; R). Im Fall A = ∅ ist jdie identische Abbildung und (VI.37) wird zu (δβ) \ c + (−1)|β|β \ δc = 0, wobeinun β ∈ H∗(B; R) und c ∈ H∗(X × Y, X × B; R). Weitere Details dazu findensich etwa in [2, Chapter VII, Section 11].

Es seien nun (X, A) und (X, B) zwei Paare von Raumen, sodass (X ×X; A×X, X × B) eine excisive Triade bildet. In dieser Situation haben wir ein Slant-Produkt

Hq(X, B; R) ⊗R Hp+q(X × X, A × X ∪ X × B; R)\−→ Hp(X, A; R).

Kombinieren wir dies mit dem von der Diagonalabbildung D : X → X × X,D(x) := (x, x), induzierten Homomorphismus

D∗ : Hq(X, A ∪ B; R) → Hq(X × X, A × X ∪ X × B; R),

so erhalten wir das sogenannte Cap-Produkt

Hq(X, B; R) ⊗R Hp+q(X, A ∪ B; R)∩−→ Hp(X, A; R), α ∩ b := α \ D∗b.

Aus Satz VI.7.1 erhalten wir sofort

VI.7.4. Korollar (Cap-Produkt). Es seien R ein kommutativer Ring mitEins, f : X → X ′ stetig mit f(A) ⊆ A′, f(B) ⊆ B′ und ρ : R → R′ ein Ring-homomorphismus. Fur α ∈ H∗(X, A; R), β ∈ H∗(X, B; R), β ′ ∈ H∗(X ′, B′; R),γ ∈ H∗(X, C; R), a ∈ H∗(X, A; R), c ∈ H∗(X, A∪B; R), e ∈ H∗(X, A∪B∪C; R)und ξ ∈ H∗(X × Y, A × Y ∪ X × B; R) gilt dann:

(i) β ∩ (γ ∩ e) = (β ∪ γ) ∩ e. (Assotiativitat)

326 VI. KOHOMOLOGIE

(ii) 1X ∩ a = a. (Einselement101)(iii) f∗(f

∗β ′ ∩ c) = β ′ ∩ f∗c. (Naturlichkeit)(iv) 〈α ∪ β, c〉 = 〈α, β ∩ c〉. (Dualitat)(v) 〈α, a〉 = ε(α ∩ a). (Relation mit dem Skalarprodukt102)(vi) β \ ξ = (prX)∗(pr∗Y β ∩ ξ). (Relation mit Slant-Produkt)(vii) ρ∗(β ∩ c) = ρ∗β ∩ ρ∗c (Naturlichkeit im Koeffizientering)

Beweis. Behauptung (i) folgt aus Satz VI.7.1(i)&(iii), der offensichtlichenRelation (idX ×D) D = (D × idX) D und der Definition des Cup-Produktes,α ∪ β = D∗(α × β):

β ∩ (γ ∩ e) = β \ D∗(γ \ D∗e)

= β \(γ \ ((D × idX)∗D∗e)

)

= (β × γ) \((D × idX)∗D∗e

)

= (β × γ) \((idX ×D)∗D∗e

)

= D∗(β × γ) \ D∗e = (β ∪ γ) ∩ e

Behauptung (ii) folgt aus Satz VI.7.1(ii) und der Relation pr1 D = idX ,

1X ∩ a = 1X \ D∗a = (pr1)∗D∗a = a.

Behauptung (iii) folgt aus Satz VI.7.1(iii) und der Relation (f×f)DX = DX′f ,

f∗(f∗β ′ ∩ c) = f∗(f

∗β ′ \ DX∗ c) = β ′ \ (f × f)∗D

X∗ c = β ′ \ DX′

∗ f∗c = β ′ ∩ f∗c.

Behauptung (iv) folgt aus Satz VI.7.1(iv),

〈α ∪ β, c〉 = 〈D∗(α × β), c〉 = 〈α × β, D∗c〉 = 〈α, β \ D∗c〉 = 〈α, β ∩ c〉.

Behauptung (v) folgt aus (iv), denn

〈α, a〉 = 〈1X ∪ α, a〉 = 〈1X , α ∩ a〉

= 〈c∗1∗, α ∩ a〉 = 〈1∗, c∗(α ∩ a)〉 = ε(α ∩ a).

Behauptung (vi) folgt aus Satz VI.7.1(iii) und der Relation (prX × prY )DX×Y =idX×Y ,

(prX)∗(pr∗Y β ∩ ξ) = (prX)∗(pr∗Y β \ DX×Y∗ ξ) = β \ (prX × prY )∗D

X×Y∗ ξ = β \ ξ.

Behauptung (vii) folgt aus Satz VI.7.1(vi),

ρ∗(β ∩ c) = ρ∗(β \ D∗c) = ρ∗β \ ρ∗D∗c = ρ∗β \ D∗ρ∗c = ρ∗β ∩ ρ∗c.

101Dabei setzen wir X 6= ∅ voraus, und 1X ∈ H0(X ; R).102Dabei bezeichnet ε : H∗(X ; R) → H∗(∗; R) = R den von der konstanten Abbildung

c : X → ∗ induzierten Homomorphismus.

VI.7. DAS CAP-PRODUKT 327

VI.7.5. Bemerkung. Aus der expliziten Formel fur das Slant-Produkt inBemerkung VI.7.2 erhalten wir sofort eine explizite Formel fur das Cap-Produktauf Kettenlevel,

Cq(X; R) ⊗R Cp+q(X; R) → Cp(X; R), β ⊗ c 7→ β ∩ c.

Fur β ∈ Cq(X; R) und c = σ ⊗ r ∈ Cp+q(X; R), σ : ∆p+q → X ein singularSimplex, r ∈ R, ist diese durch

β ∩ (σ ⊗ r) = (−1)pqr〈β, σ jp+qp 〉(σ ip+q

p )

gegeben. Es gilt dann ∂(β ∩ c) = (−1)|c|−|β|∂β ∩ c + β ∩ ∂c, daher induziert diesHomomorphismen

Hq(X; R) ⊗R Hp+q(X; R) → Hp(X; R), [β] ⊗ [c] 7→ [β ∩ c],

und diese stimmen mit dem Cap-Produkt uberein.

VI.7.6. Bemerkung (Stabilitat des Cap-Produktes). Aus Bemerkung VI.7.3und der Naturlichkeit des Einhangungshomomorphismus erhalten wir sofort fol-gende kommutative Diagramme, wobei wir den Koeffizientenring in der Notationunterdrucken:

Hq(X, B)⊗Hp+q(X, A ∪ B)

(−1)qi∗⊗δ

∩ // Hp(X, A)

δ

Hq(A, A ∩ B) ⊗Hp+q−1(A ∪B, B) Hq(A, A ∩ B) ⊗Hp+q−1(A, A ∩B)

∼=

id⊗j∗oo ∩ // Hp−1(A)

Dabei bezeichnen j : (A, A ∩ B) → (A ∪ B, B) und i : (A, A ∩ B) → (X, B) diekanonischen Inklusionen. Nach Lemma V.6.12 induziert j einen Isomorphismusin der Homologie. Es gilt daher

δ(β ∩ c) = (−1)|β|(i∗β) ∩ (j−1∗ δc), (VI.38)

wobei β ∈ H∗(X, B; R) und c ∈ H∗(X, A ∪ B; R). Im Fall B = ∅ ist j dieidentische Abbildung und (VI.38) wird zu δ(β \ c) = (−1)|β|(i∗β) ∩ (δc), wobeinun β ∈ H∗(X; R) und c ∈ H∗(X, A; R). Weiters kommutiert auch

Hq(B) ⊗ Hp+q(X, A ∪ B)

(−1)q+1 id⊗δ

δ⊗id // Hq+1(X, B) ⊗ Hp+q(X, A ∪ B)

∩

Hq(B) ⊗ Hp+q−1(A ∪ B, A) Hp−1(X, A)

Hq(B) ⊗ Hp+q−1(B, A ∩ B)

id⊗j∗∼=

OO

∩ // Hp−1(B, A ∩ B)

i∗

OO

wobei j : (B, A ∩ B) → (A ∪ B, A) und i : (B, A ∩ B) → (X, A) die kanonischenInklusionen bezeichnen. Nach Lemma V.6.12 induziert j einen Isomorphismus in

328 VI. KOHOMOLOGIE

der Homologie. Es gilt daher

(δβ) ∩ c + (−1)|β|i∗(β ∩ (j−1

∗ δc))

= 0, (VI.39)

wobei β ∈ H∗(B; R) und c ∈ H∗(X, A ∪B; R). Im Fall A = ∅ ist j die identischeAbbildung und (VI.39) wird zu (δβ) ∩ c + (−1)|β|i∗(β ∩ δc) = 0, wobei nunβ ∈ H∗(B; R) und c ∈ H∗(X, B; R).

VI.7.7. Bemerkung. Ist (X, A) ein Paar von Raumen und ξ ∈ Hn(X, A),dann kommutiert das Diagramm

· · · // Hq(X, A;R)

−∩ξ

// Hq(X; R)

−∩ξ

// Hq(A; R)

−∩(±δξ)

δ // Hq+1(X, A; R)

−∩ξ

// · · ·

· · · // Hn−q(X; R) // Hn−q(X, A;R)δ // Hn−q−1(A;R) // Hn−q−1(X; R) // · · ·

wobei δξ ∈ Hn−1(A). Das linke Quadrat kommutiert nach Korollar VI.7.4(iii), dasmittlere Quadrat kommutiert wegen (VI.38) und das rechte Quadrat kommutiertaufgrund von (VI.39).

VI.7.8. Bemerkung. Das Cap-Produkt ist auch mit der Mayer–Vietoris Se-quenz kompatibel. Es seien dazu U, V ⊆ X offen, sodass X = U ∪ V . Weitersseien A ⊆ U und B ⊆ V abgeschlossen. Schließlich sei ξ ∈ Hp+q(X, X \ (A∪B))und es bezeichnen ξUV , ξU , ξV die Bilder von ξ unter den Homomorphismen:

ξ ∈ Hp+q(X, X \ (A ∪ B))→ Hp+q(X, X \ (A ∩B))∼=←− Hp+q(U ∩ V, (U ∩ V ) \ (A ∩ B)) ∋ ξUV

ξ ∈ Hp+q(X, X \ (A ∪ B))→ Hp+q(X, X \A)∼=←− Hp+q(U, U \A) ∋ ξU

ξ ∈ Hp+q(X, X \ (A ∪ B))→ Hp+q(X, X \B)∼=←− Hp+q(V, V \B) ∋ ξV

Betrachte nun das Diagramm:

Hq(X, X \ (A ∩ B))

∼=

//Hq(X, X \A)

⊕Hq(X, X \B)

//

∼=

Hq(X, X \ (A ∪ B))δ // Hq+1(X, X \ (A ∩ B))

∼=

Hq(U ∩ V, (U ∩ V ) \ (A ∩ B))

−∩ξUV

//Hq(U, U \A)

⊕Hq(V, V \B)

//

(−∩ξU )⊕(−∩ξV )

Hq(X, X \ (A ∪ B))δ //

−∩ξ

Hq+1((U ∩ V ), (U ∩ V ) \ (A ∩ B))

−∩ξUV

Hp(U ∩ V ) // Hp(U)⊕Hp(V ) // Hp(X)

δ // Hp−1(U ∩ V )

Die untere Zeile ist die Mayer–Vietoris Sequenz in der Homologie, und die ober-ste Zeile ist die relative Mayer–Vietoris Sequenz in der Kohomologie. Die mitt-lere Zeile entsteht aus der oberen durch die vertikalen Exzisionsisomorphismenund ist daher ebenfalls exakt. Die beiden unteren linken Rechtecke kommutie-ren aufgrund der Naturlichkeit des Cap-Produktes. Aber auch das dritte untererRechteck kommutiert, vgl. etwa [2, Chapter VII, Proosition 12.20].

VI.8. POINCARE-DUALITAT 329

VI.8. Poincare-Dualitat. Ist M eine geschlossene orientierte topologischen-Mannigfaltigkeit, dann gelten fur die Bettizahlen die Relationen

bq(M) = bn−q(M), q ∈ Z.

Diese Dualitat fur Mannigfaltigkeiten wurde von Henri Poincare 1893 entdeckt.

VI.8.1. Satz (Poincare-Dualitat). Es sei M eine kompakte topologische n-Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M , dh. ∂±M seien beide offen undabgeschlossen in ∂M .103 Weiters bezeichne [M ]Z2 ∈ Hn(M, ∂M ; Z2) die Z2-Fun-damentalklasse von M , siehe Korollar V.10.28. Dann liefert das Cap-Produkteinen Isomorphismus

− ∩ [M ]Z2 : Hq(M, ∂+M ; Z2)∼=−→ Hn−q(M, ∂−M ; Z2).

Fur geschlossenes M gilt daher insbesondere

−∩ [M ]Z2 : Hq(M ; Z2)∼=−→ Hn−q(M ; Z2).

VI.8.2. Satz (Poincare-Dualitat). Es sei M eine orientierte kompakte topo-logische n-Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M . Weiters sei R einkommutativer Ring mit Eins, und [M ]R ∈ Hn(M, ∂M ; R) bezeichne die Funda-mentalklasse von M , siehe Korollar V.10.28.104 Dann liefert das Cap-Produkteinen Isomorphismus

−∩ [M ]R : Hq(M, ∂+M ; R)∼=−→ Hn−q(M, ∂−M ; R).

Fur geschlossenes M gilt daher insbesondere

− ∩ [M ]R : Hq(M ; R)∼=−→ Hn−q(M ; R).

Wir werden beide Satze gleichzeitig beweisen, und dabei den KoeffizientenringR in der Notation unterdrucken. Im orientierten Fall ist R beliebig, im nicht-orientierten Fall sei R = Z2.

Es sei zunachst M eine randlose nicht notwendigerweise kompakte n-Mannig-faltigkeit. Fur jede kompakte Teilmenge K ⊆ M haben wir eine Homologieklasse[M |K] ∈ Hn(M, M\K), siehe Satz V.10.4. Im orientierten Fall ist [M |K] dadurchcharakteristiert, dass sie fur jedes x ∈ K die Orientierung in der lokalen Homo-logiegruppe H(M, M \ x; Z) ∼= Z induziert. Im nicht-orientierten Fall induziert[M |K] das nicht-triviale Element in Hn(M, M \ x; Z2) ∼= Z2. Wir definieren

DMK : Hq(M, M \ K) → Hn−q(M), DM

K (α) := α ∩ [M |K].

Ist L ⊆ M eine weitere kompakte Teilmenge mit K ⊆ L, dann gilt

DMK = DM

L (ιKL )∗, (VI.40)

103Dh. ∂+M ist die Vereinigung gewisser Zusammenhangskomponenten von ∂M , und ∂−M

bezeichnet die Vereinigung der restlichen Zusammenhangskomponenten. Die Falle ∂+M = ∅,∂−M = ∂M bzw. ∂+M = M , ∂−M = ∅ sind explizit nicht ausgeschlossen.

104Genauer bezeichnet [M ]R das Bild der Fundamentalklasse [M ] ∈ Hn(M, ∂M ; Z) unterdem von Z → R induzierten Homomorphismus H∗(M, ∂M ; Z) → H∗(M, ∂M ; R).

330 VI. KOHOMOLOGIE

wobei (ιKL )∗ : H∗(M, M \K) → H∗(M, M \L) von der Inlusion ιKL : (M, M \L) →(M, M \ K) induziert wird. Dies folgt aus der Naturlichkeit des Cap-Produktesund (ιKL )∗[M |L] = [M |K]. Fur jede offene Umgebung U von K in M habenwir auch einen von der Inklusion jM

U : (U, U \ K) → (M, M \ K) induzierten

Exzisionsisomorphismus (jMU )∗ : H∗(M, M \ K)

∼=−→ H∗(U, U \ K), und es gilt

DMK = (jM

U )∗ DUK (jM

U )∗, dh. das folgende Diagramm kommutiert:

Hq(M, M \ K)

(jMU )∗ ∼=

DMK // Hn−q(M)

Hq(U, U \ K)DU

K // Hn−q(U)

(jMU )∗

OO(VI.41)

Dies folgt ebenfalls aus der Naturlichkeit des Cap-Produktes und (jMU )∗[U |K] =

[M |K]. Wir beginnen mit folgender

VI.8.3. Proposition. Fur eine randlose n-Mannigfaltigkeit M gilt:105

(i) Zu jeder Klasse b ∈ Hn−q(M) existiert eine kompakte Menge K ⊆ Mund α ∈ Hq(M, M \ K) mit DM

K (α) = b.(ii) Sind K ⊆ M kompakt und α ∈ H∗(M, M \ K) mit DM

K (α) = 0, dannexistiert eine kompakte Teilmenge L mit K ⊆ L und (ιKL )∗α = 0.

Beweis. Beachte zunachst folgende Monotonieeigenschaften der beiden Aus-sagen. Sind b und K wie in (i) oben, und ist K ′ eine weitere kompakte Teilmengemit K ⊆ K ′ ⊆ M , dann liegt b auch im Bild von DM

K ′, siehe (VI.40). Sind K, αund L wie in (ii), und ist L′ eine weitere kompakte Teilmenge mit L ⊆ L′ ⊆ M ,dann gilt auch (ιKL′)∗α = 0, denn ιKL′ = ιKL ιLL′ . Wir beginnen mit dem wesentlichenSchritt des Beweises.

Behauptung 1. Es sei M = U ∪ V fur zwei offene Teilmengen U, V ⊆ M ,sodass die Proposition fur M = U , M = V und M = U ∩V richtig ist. Dann giltdie Proposition auch fur M = U ∪ V .

105Die Aussage dieser Proposition ist aquivalent zu D : Hqc (M)

∼=−→ Hn−q(M), wobei

Hqc (M) = limHq(M, M \ K) die Kohomologie mit kompakten Trager bezeichnet.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 331

Fur je zwei kompakte Teilmengen K ⊆ U und L ⊆ V erhalten wir ausBemerkung VI.7.8 ein kommutatives Diagramm:

Hq(U ∩ V, (U ∩ V ) \ (K ∩ L))DU∩V

K∩L //

Hn−q(U ∩ V )

Hq(U, U \ K) ⊕ Hq(V, V \ L)

DUK⊕DV

L //

Hn−q(U) ⊕ Hn−q(V )

Hq(M, M \ (K ∪ L))

DMK∪L //

δ

Hn−q(M)

δ

Hq+1(U ∩ V, (U ∩ V ) \ (K ∩ L))

DU∩VK∩L //

Hn−q−1(U ∩ V )

Hq+1(U, U \ K) ⊕ Hq+1(V, V \ L)

DUK⊕DV

L // Hn−q−1(U) ⊕ Hn−q−1(V )

Wir fuhren den Beweis der Behauptung analog zum Beweis des Funferlemmas.Fur den Beweis der ersten Aussage sei nun b ∈ Hn−q(M). Aus der Voraussetzungan U ∩ V folgt, dass fur hinreichend große K und L ein α0 ∈ Hq+1(U ∩ V, (U ∩V ) \ (K ∩ L)) mit DU∩V

K∩L(α0) = δb existiert. Nach den Voraussetzungen an Uund V durfen wir durch Vergroßern von K und L o.B.d.A. annehmen, dass α0

auf 0 ∈ Hq+1(U, U \ K) ⊕ Hq+1(V, V \ L) abgebildet wird. Wegen der Exaktheitder linken Spalte existiert daher α1 ∈ Hq(M, M \ (K ∪ L)) mit δα1 = α0. Ausder Kommutativitat des Diagramms folgt daher δ

(b−DM

K∪L(α1))

= 0. Aufgrundder Exaktheit der rechten Splate finden wir b1 ∈ Hn−q(U) ⊕ Hn−q(V ), das aufb − DM

K∪L(α1) ∈ Hn−q(M) abgebildet wird. Nach Voraussetzung an U und Vkonnen wir durch Vergroßern von K und L erreichen, dass b1 im Bild von DU

K ⊕DV

L liegt. Wegen der Kommutativitat des Diagramms finden wir daher α2 ∈Hq(M, M \ (K ∪L)) mit DM

K∪L(α2) = b−DMK∪L(α1). Die Klasse α := α1 +α2 hat

nun die gewunschte Eigenschaft, DMK∪L(α) = b.

Fur den Beweis der zweiten Behauptung sei nun α ∈ Hq(M, M \ (K ∪ L))mit DM

K∪L(α) = 0. Es genugt zu zeigen, dass wir durch Vergroßern von K und Lauch α = 0 erreichen konnen. Nach Voraussetzung an U und V durfen wir durchVergroßern von K und L o.B.d.A. δα = 0 annehmen. Aufgrund der Exaktheitder linken Spalte existiert daher α1 ∈ Hq(U, U \ K) ⊕ Hq(V, V \ L), das aufα ∈ Hq(M, M \(K∪L)) abgebildet wird. Wegen der Exaktheit der rechten Spaltekommt die Klasse (DU

K ⊕ DVL )(α1) daher von einem Element in b ∈ Hn−q(U ∩

V ). Nach Voraussetzung an U ∩ V konnen wir durch Vergroßern von K und Lerreichen, dass b im Bild von DU∩V

K∩L liegt. Es existiert daher α2 ∈ Hq(U ∩ V, (U ∩V ) \ (K ∩L)) mit DU∩V

K∩L(α2) = b. Durch Korrigieren von α1 mit dem Bild von α2

durfen wir daher auch (DUK ⊕ DV

L )(α1) = 0 annehmen. Nach Voraussetzung anU und V konnen wir durch Vergroßern von K und L nun auch α1 = 0 erreichen.

332 VI. KOHOMOLOGIE

Als Bild von α1 ist daher auch α = 0. Damit ist der Beweis von Behauptung 1vollstandig.

Behauptung 2. Die Proposition ist fur jede konvexe offene Teilmenge M ⊆Rn richtig.

Es sei K ⊆ M eine kompakte konvexe Teilmenge und ∗ ∈ K. Betrachte daskommutative Diagramm

Hq(M, M \ K)DM

K // Hn−q(M)

j∗∼=

Hq(Rn, Rn \ ∗)

j∗ ∼=

OO

∼=

DRn

∗ // Hn−q(Rn)

wobei j : M → Rn die Inklusion bezeichnet. Wegen der Konvexitat von M istdies eine Homotopieaquivalenz und der rechte vertikale Pfeil im Diagramm obendaher ein Isomorphsimus. Es ist weiters j : (M, M \ K) → (Rn, Rn \ ∗) eineHomotpoieaquivalenz von Paaren und daher der linke vertikale Pfeil ebenfallsein Isomorphismus. Aus der Definition der Dualitat folgt sofort, dass der unterehorizontale Pfeil ein Isomorphismus ist. Aus der Kommutativitat des Diagrammsschließen wir, dass auch DM

K ein Isomorphismus sein muss. Behauptung 2 folgtnun aus der Tatsache, dass jede kompakte Teilmenge von M in einer kompaktenkonvexen Teilmenge von M enthalten ist.

Behauptung 3. Die Proposition ist fur jede endliche Vereinigung konvexeroffener Teilmengen M ⊆ Rn richtig.

Dies folgt mittels Induktion aus den Behauptungen 1 und 2. Fur den Induk-tionsschritt beachte, dass der Durchschnitt kovexer offener Teilmengen von Rn

wieder eine konvexe und offene Teilmenge von Rn ist.Behauptung 4. Die Proposition ist fur jede offene Teilmenge M ⊆ Rn

richtig.Fur die erste Behauptung sei also b ∈ Hn−q(M). Da jede Homologieklasse von

einer endlichen Linearkombination singularer Simplizes reprasentiert wird, undda diese stets in einer kompakten Menge zu liegen kommen, existiert eine endlicheVereinigung offener und konvexer Teilmengen U ⊆ M und b0 ∈ Hn−q(U), sodass(jM

U )∗b0 = b, wobei jMU : U → M die Inklusion bezeichnet. Nach Behauptung 3

existiert eine kompakte Teilmenge K ⊆ U und α0 ∈ Hq(U, U \K) mit DUK(α0) =

b0. Nach Exzision ist (jMU )∗ : Hq(M, M \K)

∼=−→ Hq(U, U \K) ein Isomorphismus.

Es existiert daher α ∈ Hq(M, M \ K) mit (jMU )∗α = α0. Zusammen mit (VI.41)

folgt

DMK (α) = (jM

U )∗DUK((jM

U )∗α) = (jMU )∗D

UK(α0) = (jM

U )∗b0 = b.

Fur den Beweis der zweiten Aussage sei nun K ⊆ M kompakt und α ∈Hq(M, M \ K) mit DM

K (α) = 0. Aufgrund der Kompaktheit von K existiert ei-ne endliche Vereinigung konvexer offener Teilmengen U ⊆ M mit K ⊆ U . Aus(VI.41) folgt (jM

U )∗(DU

K((jMU )∗α)

)= 0 ∈ Hn−q(M). Ein Kompaktheitsargument

VI.8. POINCARE-DUALITAT 333

wie im vorangehenden Absatz zeigt, dass wir durch Vergroßern von U o.B.d.A.DU

K((jMU )∗α) = 0 ∈ Hn−q(U) annehmen durfen. Nach Behauptung 3 existiert

daher eine kompakte Teilmenge L mit K ⊆ L ⊆ U , sodass (jMU )∗(ιKL )∗α =

(ιKL )∗(jMU )∗α = 0 ∈ Hq(U, U \ L). Da (jM

U )∗ : Hq(M, M \ L)∼=−→ Hq(U, U \ L)

ein Isomorphismus ist, erhalten wir nun (ιKL )∗α = 0 ∈ Hq(M, M \ L). Damit istBehauptung 4 gezeigt.

Behauptung 5. Ist M endliche Vereinigung von Kartengebieten,106 dann istdie Proposition fur M richtig.

Dies folgt mittels Induktion uber die Anzahl der Kartengebiete die notwendigsind um M zu uberdecken. Der Induktionsanfang folgt aus Behauptung 4. Fur denInduktionsschritt verwenden wir Behauptung 1 und die offensichtlich Tatsache,dass der Durchschnitt von zwei Kartengebieten wieder ein Kartengebiet ist.

Wir sind nun in der Lage die Proposition in voller Allgemeinheit herzulei-ten, und gehen genau wie im Beweis von Behauptung 4 vor. Fur die erste Be-hauptung sei also b ∈ Hn−q(M). Da jede Homologieklasse von einer endlichenLinearkombination singularer Simplizes reprasentiert wird, und da diese stets ineiner kompakten Menge zu liegen kommen, existiert eine endliche Vereinigungvon Kartengebieten U ⊆ M und b0 ∈ Hn−q(U), sodass (jM

U )∗b0 = b, wobeijMU : U → M die Inklusion bezeichnet. Nach Behauptung 5 existiert eine kom-

pakte Teilmenge K ⊆ U und α0 ∈ Hq(U, U \K) mit DUK(α0) = b0. Nach Exzision

ist (jMU )∗ : Hq(M, M \K)

∼=−→ Hq(U, U \K) ein Isomorphismus. Es existiert daher

α ∈ Hq(M, M \ K) mit (jMU )∗α = α0. Zusammen mit (VI.41) folgt

DMK (α) = (jM

U )∗DUK((jM

U )∗α) = (jMU )∗D

UK(α0) = (jM

U )∗b0 = b.

Fur den Beweis der zweiten Aussage sei nun K ⊆ M kompakt und α ∈Hq(M, M \ K) mit DM

K (α) = 0. Aufgrund der Kompaktheit von K existiert ei-ne endliche Vereinigung von Kartengebieten U ⊆ M mit K ⊆ U . Aus (VI.41)folgt (jM

U )∗(DU

K((jMU )∗α)

)= 0 ∈ Hn−q(M). Durch Vergroßern von U durfen

wir o.B.d.A. annehmen, dass DUK((jM

U )∗α) = 0 ∈ Hn−q(U) gilt. Nach Behaup-tung 5 existiert daher eine kompakte Teilmenge L mit K ⊆ L ⊆ U , sodass

(jMU )∗(ιKL )∗α = (ιKL )∗(jM

U )∗α = 0 ∈ Hq(U, U \ L). Da (jMU )∗ : Hq(M, M \ L)

∼=−→

Hq(U, U \L) ein Isomorphismus ist, erhalten wir nun (ιKL )∗α = 0 ∈ Hq(M, M \L).Damit ist der Beweis von Proposition VI.8.3 vollstandig.

Sei nun M eine kompakte n-Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M . Das InnereInt(M) ist eine randlose n-Mannigfaltigkeit. Mit Hilfe eines Kragen

ϕ : ∂M × [0, 1)∼=−→ U ⊆ M

wie in Satz V.10.26 definieren wir kompakte Teilmengen

Kε := M \ ϕ(∂M × [0, ε)

)⊆ Int(M), 0 < ε < 1.

106Unter einem Kartengebiet verstehen wir eine offene Teilmenge U ⊆ M die homoomorphzu einer offenen Teilmenge von Rn ist.

334 VI. KOHOMOLOGIE

Fur jedes dieser ε haben wir ein kommutatives Diagramm:

Hq(M, ∂M)−∩[M ]

// Hn−q(M) Hn−q(Int(M))∼=oo

Hq(M, M \ Kε)

∼=

OO

∼= // Hq(Int(M), Int(M) \ Kε)

DInt(M)Kε

OO

Der untere horizontale Pfeil ist ein Exzisionsisomorphismus. Der obere rechte Pfeilist von der Inklusion Int(M) → M induziert, also ebenfalls ein Isomorphismus,denn diese Inklusion ist eine Homotopieaquivalenz. Ein analoges Argument zeigt,dass auch der von der offensichtlichen Inklusion induzierte linke vertikale Pfeilein Isomorphismus ist. Beachten wir noch, dass jede kompakte Teilmenge vonInt(M) in einer der Mengen Kε liegt, dann folgt nun aus Proposition VI.8.3, dassauch der linke obere horizontale Pfeil ein Isomorphismus sein muss. Dabei folgtdie Surjektivitat von

− ∩ [M ] : Hq(M, ∂M)∼=−→ Hn−q(M)

aus Proposition VI.8.3(i) und die Injektivitat aus Proposition VI.8.3(ii). Damitist der Satz im Fall ∂−M = ∅ bereits gezeigt. Insbesonder deckt dies den Fallgeschlossener Mannigfaltigkeiten ab. Da δ[M ] = [∂M ] folgt aus Bemerkung VI.7.7und dem Funfer-Lemma sofort, dass auch

− ∩ [M ] : Hq(M)∼=−→ Hn−q(M, ∂M)

ein Isomorphismus ist. Damit ist also auch der Spezialfall ∂+M = ∅ erledigt.Fur den allgemeinen Fall sei nun ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M . Aus Bemerkung VI.7.8

erhalten wir ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

Hq−1(M)

∼= −∩[M]

δ // Hq(M, ∂M)

∼= −∩[M]

//Hq(M,∂+M)

⊕Hq(M,∂

−M)

−∩[M]⊕

−∩[M]

// Hq(M)

∼= −∩[M]

δ // Hq+1(M, ∂M)

∼= −∩[M]

Hn−q+1(M, ∂M)

δ // Hn−q(M) //Hn−q(M,∂

−M)

⊕Hn−q(M,∂+M)

// Hn−q(M, ∂M)δ // Hn−q−1(M)

Nach obigen Uberlegungen sind die vier außeren vertikalen Pfeile Isomorphis-men. Nach dem Funfer-Lemma muss daher auch der mittlere vertikale Pfeil einIsomorphismus sein. Insbesondere erhalten wir

− ∩ [M ] : Hq(M, ∂+M)∼=−→ Hn−q(M, ∂−M).

Damit ist der Beweis der Satze VI.8.1 und VI.8.2 vollstandig.

VI.8.4. Beispiel. Ist M eine orientierbare geschlossene und zusammenhan-gende 3-Mannigfaltigkeit mit H1(M) = 0, dann hat M dieselben Homologiegrup-pen wie S3. Aus dem universellen Koeffiziententheorem folgt namlich zunachstH1(M) = 0, siehe Satz VI.4.11. Nach Satz VI.8.2 gilt daher auch H2(M) = 0.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 335

Weiters haben wir H3(M) ∼= Z, wegen des Zusammenhangs von M , siehe Ko-rollar V.10.10(iii).107 Nach Korollar V.10.5 gilt auch Hq(M) = 0 fur q > 3.Zusammenfassend erhalten wir

H∗(M) ∼= H∗(S3).

Insbesondere gilt dies fur die Poincare-Homologiesphare, siehe Beispiel IV.11.5,und aus diesem Grund wird sie als Homologiesphare bezeichnet. Beachte, dass diePoincare-Homologiesphare nicht einfach zusammenhangend ist, und daher nichthomotopieaquivalent zu S3 sein kann.

VI.8.5. Beispiel. Ist M eine kontrahierbare kompakte topologische n-Man-nigfaltigkeit mit Rand, dann gilt H∗(∂M) ∼= H∗(S

n−1). Wegen der Kontrahier-

barkeit von M gilt namlich zunachst H∗(M) = 0. Aus der langen exakte Se-quenz des Paares (M, ∂M) folgt daher Hq(∂M) ∼= Hq+1(M, ∂M). Zusammen mitSatz VI.8.2 erhalten wir:

Hq(∂M) ∼= Hq+1(M, ∂M) ∼= Hn−q−1(M) ∼=

Z falls q = n − 1

0 sonst

Beachte, dass M orientierbar ist, denn jede einfach zusammenhangende Mannig-faltigkeit ist orientierbar, siehe Bemerkung IV.12.8.

VI.8.6. Korollar. Es sei M eine kompakte topologische n-Mannigfaltigkeitmit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M . Dann ist H∗(M, ∂±M) endlich erzeugt.

Beweis. Siehe Vorlesung.

VI.8.7. Bemerkung. Ist A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, dannschreiben wir Afa := A/Ator. Nach dem Hauptsatz uber endlich erzeugte abel-sche Gruppen ist Afa eine freie abelsche Gruppe endlichen Ranges und es giltA ∼= Afa⊕Ator, dieser Isomorphismus ist jedoch nicht naturlich. Kombinieren wirSatz VI.8.2 mit dem universellen Koeffiziententheorem, so erhalten wir:

Hn−q(M, ∂−M) ∼= Hq(M, ∂+M)∼= Hom(Hq(M, ∂+M), Z) ⊕ Ext(Hq−1(M, ∂+M), Z)

= Hom(Hq(M, ∂+M)fa, Z) ⊕ Ext(Hq−1(M, ∂+M)tor, Z)∼= Hq(M, ∂+M)fa ⊕ Hq−1(M, ∂+M)tor

Wir haben daher unnaturliche Isomorphismen

Hq(M, ∂+M)fa∼= Hn−q(M, ∂−M)fa und

Hq−1(M, ∂+M)tor∼= Hn−q(M, ∂−M)tor,

fur jede kompakte orientierte topologische n-Mannigfaltigkeit M .

107Anstatt Korollar V.10.10(iii) zu verwenden konnen wir auch hier mit Poincare-Dualitatargumentieren, H3(M) ∼= H0(M) ∼= Z.

336 VI. KOHOMOLOGIE

VI.8.8. Korollar. Ist M eine kompakte topologische n-Mannigfaltigkeit mitRand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M , dann gelten fur die Z2-Bettizahlen bq(M, ∂±M ; Z2) :=dimZ2 Hq(M, ∂±M ; Z2) die Relationen

bq(M, ∂+M ; Z2) = bn−q(M, ∂−M ; Z2).

Fur die Euler-Charaktersitik folgt χ(M, ∂+M) = (−1)nχ(M, ∂−M).

Beweis. Nach Korollar VI.4.17 gilt

Hq(M, ∂+M ; Z2) = HomZ2

(Hq(M, ∂+M ; Z2), Z2

)=

(Hq(M, ∂+M ; Z2)

)∗.

Zusammen mit Satz VI.8.1 und Korollar VI.8.6 folgt

Hn−q(M, ∂−M ; Z2) =(Hq(M, ∂+M ; Z2)

)∗ ∼= (Hq(M, ∂+M ; Z2),

und daher dimZ2 Hn−q(M, ∂−M ; Z2) = dimZ2 Hq(M, ∂+M ; Z2). Summieren wir

(−1)qbq(M, ∂+M ; Z2) = (−1)n(−1)n−qbn−q(M, ∂−M ; Z2)

uber q, so erhalten wir χ(M, ∂+M) = (−1)nχ(M, ∂−M).

VI.8.9. Korollar. Ist M eine geschlossenen topologische Mannigfaltigkeitungerader Dimension, dann gilt χ(M) = 0.

Beweis. Nach Korollar haben wir χ(M) = (−1)nχ(M) = −χ(M).

VI.8.10. Korollar. Ist M eine kompakte topologische n-Mannigfaltigkeit mitRand, dann gilt χ(∂M) =

(1− (−1)n

)χ(M). Fur ungerades n erhalten wir daher

χ(∂M) = 2χ(M).108 In jedem Fall muss χ(∂M) gerade sein.

Beweis. Aus der langen exakten Sequenz des Paares (M, ∂M) folgt

χ(∂M) − χ(M) + χ(M, ∂M) = 0,

siehe Beispiel IV.6.7. Nach Korollar VI.8.8 gilt weiters χ(M, ∂M) = (−1)nχ(M).Kombiniation dieser beiden Relationen liefert χ(∂M) =

(1 − (−1)n

)χ(M).

VI.8.11. Korollar. Ist M eine geschlossene topologische Mannigfaltigkeitmit ungerader Euler-Charakteristik, dann kann es keine kompakte Mannigfaltig-keit W mit Rand ∂W = M geben.

VI.8.12. Beispiel. Etwa ist RP2n nicht Rand einer kompakten Mannigfaltig-keit, denn χ(RP2n) = 1 ist ungerade. Ebenso kann CP2n nicht Rand einer kom-pakten Mannigfaltigkeit sein, denn χ(CP2n) = 2n+1 ist ungerade. Aus demselbenGrund tritt auch HP2n nicht Rand als Rand einer kompakten Mannigfaltigkeitauf, denn χ(HP2n) = 2n + 1 ist ungerade.

VI.8.13. Korollar. Ist M eine geschlossene topologische n-Mannigfaltigkeitgerader Dimension, n = 2m, dann gilt χ(M) ≡ bm(M ; Z2) mod 2.

108Fur gerades n erhalten wir χ(∂M) = 0, ein Spezialfall von Korollar VI.8.9, denn ∂M istgeschlossen von ungerader Dimension.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 337

Beweis. Wir schreiben zunachst

χ(M) =

m−1∑

q=0

(−1)qbq(M ; Z2) + (−1)mbm(M ; Z2) +

2m∑

q=m+1

(−1)qbq(M ; Z2).

Nach Korollar VI.8.8 gilt bq(M ; Z2) = b2m−q(M ; Z2) und daher

2m∑

q=m+1

(−1)qbq(M ; Z2) =

2m∑

q=m+1

(−1)2m−qb2m−q(M ; Z2) =

m−1∑

q=0

(−1)qbq(M ; Z2).

Zusammenfassend erhalten wir

χ(M) = (−1)mbm(M ; Z2) + 2

m−1∑

q=0

(−1)qbq(M ; Z2)

und daher χ(M) ≡ bm(M ; Z2) mod 2.

VI.8.14. Korollar. Es sei M eine kompakte topologische n-Mannigfaltigkeitmit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M . Dann ist die sogenannte Cup-Produkt Paarung

Hq(M, ∂+M ; Z2) × Hn−q(M, ∂−M ; Z2) → Z2, (α, β) 7→ 〈α ∪ β, [M ]Z2〉

eine nicht-degenerierte bilineare Paarung,109 fur jedes q.

Beweis. Dies folgt aus Satz VI.8.1, dem universellen Koeffiziententheorem,siehe Korollar VI.4.17, und Korollar VI.7.4(iv).

VI.8.15. Bemerkung. Wir wollen nun erneut den Kohomologiering des reel-len projektiven Raums bestimmen, vgl. Beispiel VI.6.8, ohne dabei auf die (auf-wendigen) Berechnungen in Abschnitt V.7 zuruckzugreifen,

H∗(RPn; Z2) ∼= Z2[w]/wn+1, |w| = 1. (VI.42)

Aus Beispiel VI.4.22 wissen wir, dass die additive Struktur der Kohomologiedurch (VI.42) gegeben ist. Um auch die Ringstruktur zu bestimmen gehen in-duktiv vor. Fur n = 0 und n = 1 ist die Aussage trivial. Sei nun n ≥ 2,und w ∈ H1(RPn; Z2) ∼= Z2 das eindeutige nicht-triviale Element. Aus Bei-spiel VI.4.22 wissen wir, dass die Inklusion ι : RPn−1 → RPn Isomorphis-men ι∗ : Hq(RPn; Z2) ∼= Hq(RPn−1; Z2) induziert, q < n. Insbesondere ist0 6= ι∗w ∈ H1(RPn−1; Z2). Nach Induktionsvoraussetzung gilt daher auch 0 6=(ι∗w)q ∈ Hq(RPn−1; Z2), 0 ≤ q < n. Aus der Naturlichkeit des Cup-Produktes,ι∗(wq) = (ι∗w)q, folgt nun 0 6= wq ∈ Hq(RPn; Z2), 0 ≤ q < n. Es bleibt daher nurnoch wn 6= 0 zu zeigen. Nun ist RPn eine geschlossene n-Mannigfaltigkeit, nachKorollar VI.8.14 existiert daher ξ ∈ H1(RPn; Z2) mit 〈wn−1 ∪ ξ, [RPn]Z2〉 = 1.

109Es seien V und W zwei K-Vektorraume. Eine bilineare Paarung b : V × W → K wird

nicht-degeneriert genannt, falls sie einen Isomorphismen V∼=−→ W ∗, v 7→ b(v,−) induziert.

Im endlich dimensionalen Fall ist dies aquivalent dazu, dass W∼=−→ V ∗, w 7→ b(−, w), ein

Isomorphismus ist.

338 VI. KOHOMOLOGIE

Insbesondere gilt ξ 6= 0, und daher ξ = w. Wir erhalten somit wn = ωn−1∪ξ 6= 0,womit nun der Induktionsschritt gezeigt ware.

VI.8.16. Korollar. Ist M eine orientierbare kompakte topologische n-Man-nigfaltigkeit mit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M , dann gilt

bq(M, ∂+M) = bn−q(M, ∂−M).

Fur geschlossenes M erhalten wir daher bq(M) = bn−q(M).

Beweis. Aus Satz VI.8.2 mit R = Z folgt

Hq(M, ∂+M) ∼= Hn−q(M, ∂−M),

und daher

bq(M, ∂+M) = rankHq(M, ∂+M) = rankHn−q(M, ∂−M) = bn−q(M, ∂−M).

Dabei haben wir im ersten Gleichheitszeichen Bemerkung VI.4.16 verwendet.

VI.8.17. Korollar. Ist M eine orientierbare geschlossene topologische n-Mannigfaltigkeit gerader Dimension, n = 2m, dann gilt χ(M) ≡ bm(M) mod 2.

Beweis. Wir gehen genau im Beweis von Korollar VI.8.13 vor und schreiben

χ(M) =m−1∑

q=0

(−1)qbq(M) + (−1)mbm(M) +2m∑

q=m+1

(−1)qbq(M).

Nach Korollar VI.8.16 gilt bq(M) = b2m−q(M) und daher

2m∑

q=m+1

(−1)qbq(M) =2m∑

q=m+1

(−1)2m−qb2m−q(M) =m−1∑

q=0

(−1)qbq(M).

Zusammenfassend erhalten wir

χ(M) = (−1)mbm(M) + 2

m−1∑

q=0

(−1)qbq(M) ≡ bm(M) mod 2.

VI.8.18. Korollar. Es seien M eine orientierte kompakte topologische n-Mannigfaltigkeit mit Rand ∂M = ∂+M ⊔ ∂−M und K ein Korper. Dann ist diesogenannte Cup-Produkt Paarung

Hq(M, ∂+M ; K) × Hn−q(M, ∂−M ; K) → K, (α, β) 7→ 〈α ∪ β, [M ]K〉

eine nicht-degenerierte bilineare Paarung, fur jedes q.

Beweis. Genau wie im Beweis von Korollar VI.8.14 folgt dies aus Satz VI.8.2,Korollar VI.4.17, und Korollar VI.7.4(iv).

VI.8.19. Korollar. Ist M eine orientierbare geschlossene n-Mannigfaltigkeitmit Dimension n ≡ 2 mod 4, dann muss χ(M) gerade sein.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 339

Beweis. Wir schreiben n = 2m, nach Voraussetzung ist dann m ungerade.Aus Korollar VI.8.18 erhalten wir eine nicht-degenerierte Bilinearform auf dermittleren Kohomologie,

Hm(M ; R) × Hm(M ; R) → R, ω(α, β) := 〈α ∪ β, [M ]R〉.

Diese Bilinearform ist schiefsymmetrisch, dh. ω(α, β) = −ω(β, α), siehe Ko-rollar VI.6.1(ii), denn m ist ungerade. Mittels linearer Algebra folgt nun, dassHm(M ; R) gerade Dimension hat.110 Mittels bm(M) = dimR Hm(M ; R), sieheBemerkung VI.4.16, schließen wir, dass bm(M) gerade sein muss. Zusammen mitKorollar VI.8.17 folgt nun die Behauptung.

Ist φ : V × V → R eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform aufeinem endlich-dimensionalen reellen Vektorraum V , dann bezeichne

n±(φ) := max

dim W∣∣∣ W ist Teilraum von V und ±φ|W > 0

.

Aus der linearen Algebra wissen wir, dass V eine Basis besitzt bezuglich der φdie Gestalt

φ =

(In+(φ) 0

0 −In−(φ)

)

hat, wobei In die n-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Unter der Signaturvon φ verstehen wir die ganze Zahl σ(φ) := n+(φ) − n−(φ).

VI.8.20. Lemma. Sind φ, φ1 und φ2 nicht-degenerierte symmetrische Biline-arformen auf endlich dimensionalen reellen Vektorraumen V , V1 und V2, danngilt:

(i) σ(−φ) = −σ(φ).(ii) σ(φ1 ⊕ φ2) = σ(φ1) + σ(φ2).

111

(iii) σ(φ1 ⊗ φ2) = σ(φ1) · σ(φ2).112

(iv) Existiert ein Teilraum W ⊆ V , sodass dim V = 2 dim W und φ|W = 0,dann gilt σ(φ) = 0.

110Ist V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum und ω : V × V → R eine schief-symmetrische nicht-degenerierte Bilinearform auf V , dann muss V gerade-dimensional sein.Um dies einzusehen wahlen wir 0 6= v ∈ V . Wegen der Nichtdegeneriertheit von ω existiertdann u ∈ V mit ω(v, u) = 1. Beachte, dass v und u einen zwei-dimensionalen Teilraum auf-spannen, denn ω(v, v) = 0 wegen der Schiefsymmetrie von ω. Betrachte nun den TeilraumV0 := x ∈ V | ω(x, v) = 0 = ω(x, u). Einschrankung von ω liefert eine nicht-degenerierteschiefsymmetrische Bilinearform ω0 : V0 × V0 → R. Mittels Induktion nach der Dimension vonV durfen wir annehmen, dass V0 gerade Dimension hat. Wegen der Nichtdegeneriertheit von ω

gilt jedoch dimV0 = dimV − 2, also ist auch V gerade-dimensional.111Dabei bezeichnet φ1⊕φ2 die durch (φ1 ⊕φ2)((v1, v2), (u1, u2)) := φ1(v1, u1)+φ2(v2, u2)

definierte nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform auf V1 ⊕ V2.112Dabei bezeichnet φ1 ⊗ φ2 die durch (φ1 ⊗ φ2)(v1 ⊗ v2, u1 ⊗ u2) := φ1(v1, u1) · φ2(v2, u2)

definierte nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform auf V1 ⊗ V2.

340 VI. KOHOMOLOGIE

(v) σ(ω1 ⊗ ω2) = 0, fur je zwei nicht-degenerierte schiefsymmetrische Bili-nearformen ω1 und ω2 auf V1 und V2.

113

Beweis. Die Behauptungen (i) und (ii) sind trivial. Nun zu (iii). Wir wahlenZerlegungen V +

i ⊕ V −i = Vi, i = 1, 2, sodass ±φi|V ±i

> 0. Es lasst sich leicht

verifizieren, dass die Bilinearform φ1⊗φ2 auf dem Teilraum (V +1 ⊗V +

2 )⊕(V −1 ⊕V −2 )positiv definit ist. Analog ist φ1 ⊗ φ2 auf dem Teilraum (V +

1 ⊗ V −2 )⊕ (V −1 ⊕ V +2 )

negativ definit. Da

((V +

1 ⊗ V +2 ) ⊕ (V −1 ⊕ V −2 )

)⊕

((V +

1 ⊗ V −2 ) ⊕ (V −1 ⊕ V +2 )

)= V1 ⊗ V2

folgt

n+(φ1 ⊗ φ2) = dim((V +

1 ⊗ V +2 ) ⊕ (V −1 ⊕ V −2 )

)= n+

1 n+2 + n−1 n−2

n−(φ1 ⊗ φ2) = dim((V +

1 ⊗ V −2 ) ⊕ (V −1 ⊕ V +2 )

)= n+

1 n−2 + n−1 n+2

wobei n±i := n±i (φi) = dim V ±i . Fur die Signatur ergibt sich nun:

σ(φ1 ⊗ φ2) = n+(φ1 ⊗ φ2) − n−(φ1 ⊗ φ2)

=(n+

1 n+2 + n−1 n−2

)−

(n+

1 n−2 + n−1 n+2

)

= (n+1 − n−1 )(n+

2 − n−2 )

= σ(φ1) · σ(φ2)

Ad (iv). Wahle 0 6= w ∈ W . Da φ nicht-degeneriert ist, existiert v ∈ V mitφ(w, v) = 1. Durch Addieren eines geeigneten Vielfachen von w zu v konnenwir auch φ(v, v) = 0 erreichen, denn φ(w, w) = 0. Es bezeichne V0 den zwei-dimensionalen Teilraum, der von w und v aufgespannt wird. Durch Einschrankenvon φ auf V0 erhalten wir eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform φ0 :=φ|V0 auf V0. In der Basis w, v von V0 ist sie durch die Matrix ( 0 1

1 0 ) gegeben,es gilt daher σ(φ0) = 0. Betrachte das orthogonale Komplement V ′ := u ∈ V |φ(u, v) = 0 = φ(u, w) und die Einschrankung φ′ := φ|V ′. Dann gilt φ = φ0 ⊕ φ′,also σ(φ) = σ(φ0) + σ(φ′) = σ(φ′) nach (ii). Weiters ist W ′ := W ∩ V ′ einTeilraum mit dim V ′ = 2 dimW ′ und φ′|W ′ = 0. Da dim V ′ < dim V durfenmittels Induktion nach der Dimension von V annehmen, dass σ(φ′) = 0 gilt. Esfolgt sofort σ(φ) = 0.

Ad (v). Da ωi nicht-degeneriert und schiefsymmetrisch ist, existieren Zerle-gungen V +

i ⊕ V −i = Vi, sodass ωi|V ±i

= 0 und dim V +i = dim V −i . Es folgt sofort

ω1 ⊗ ω2|W = 0, wobei W := (V +1 ⊗ V +

2 ) ⊕ (V −1 ⊗ V −2 ) ⊆ V1 ⊗ V2. Da auchdim(V1 ⊗ V2) = 2 dim W , folgt nun σ(ω1 ⊗ ω2) = 0 aus (iv).

113Dabei bezeichnet ω1 ⊗ ω2 die durch (ω1 ⊗ ω2)(v1 ⊗ v2, u1 ⊗ u2) := ω1(v1, u1) · ω2(v2, u2)definierte nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform auf V1 ⊗ V2.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 341

Ist M eine orientierte geschlossene 4k-Mannigfaltigkeit, dann erhalten wir ausKorollar VI.8.18 eine nicht-degenerierte Bilinearform auf der mittleren Kohomo-logie,

φM : H2k(M ; R) × H2k(M ; R) → R, φM(α, β) := 〈α ∪ β, [M ]R〉. (VI.43)

Nach Korollar VI.6.1(ii) ist φ symmetrisch.

VI.8.21. Definition (Signatur). Unter der Signatur σ(M) einer orientiertengeschlossenen 4k-Mannigfaltigkeit M verstehen wir die Signatur der symmetri-schen Bilinearform (VI.43). Weiters definieren wir b±2k(M) := n±(φ), es gilt daher

b2k(M) = b+2k(M) + b−2k(M) und σ(M) = b+

2k(M) − b−2k(M).

Ist dim(M) 6≡ 0 mod 4, so setzen wir σ(M) := 0.

VI.8.22. Bemerkung. Ist f : M1 → M2 eine Orientierungs-bewahrendeHomotpieaquivalenz114 zwischen orientierten geschlossenen n-Mannigfaltigkeiten,dann gilt σ(M1) = σ2(M). Um dies einzusehen sei o.B.d.A. n = 4k. Betrachte den

Isomorphismus f ∗ : H2k(M2; R)∼=−→ H2k(M1; R). Es gilt dann φM1(f

∗α, f ∗β) =〈f ∗α∪f ∗β, [M1]〉 = 〈f ∗(α∪β), [M1]〉 = 〈α∪β, f∗[M1]〉 = 〈α∪β, [M2]〉 = φM2(α, β).Also sind die beiden Bilinearformen φM1 und φM2 aquivalent, und haben daherdie gleiche Signatur. Die Signatur ist also eine Homotopieinvariante orientiertergeschlossener topologischer Mannigfaltigkeiten.

VI.8.23. Korollar. Ist M eine orientierbare geschlossene n-Mannigfaltig-keit, dann gilt χ(M) ≡ σ(M) mod 2.

Beweis. Im Fall n = 4k gilt, siehe Korollar VI.8.17,

σ(M) = b+2k(M) − b−2k(M) ≡ b+

2k(M) + b−2k(M) = b2k(M) ≡ χ(M) mod 2.

Ist n 6≡ 0 mod 4, dann gilt trivialerweise σ(M) = 0, in diesem Fall folgt dieBehauptung daher sofort aus Korollar VI.8.9 bzw. Korollar VI.8.19.

VI.8.24. Satz (Signatur). Die Signatur hat folgende Eigenschaften:

(i) σ(−M) = −σ(M), fur jede orientierte geschlossene topologische n-Mannigfaltigkeit M .

(ii) σ(M1 ⊔ M2) = σ(M1) + σ(M2), fur je zwei orientierte geschlossenetopologische n-Mannigfaltigkeiten M1 und M2.

(iii) σ(M1 ×M2) = σ(M1) ·σ(M2), fur je zwei orientierte geschlossene topo-logische ni-Mannigfaltigkeiten Mi, i = 1, 2.

(iv) σ(∂M) = 0, fur jede orientierte kompakte topologische n-Mannigfaltig-keit M .

114Orientierungs-bewahrend soll hier bedeuten, dass der induzierte Isomorphismus f∗ :

Hn(M1)∼=−→ Hn(M2) die Fundamentalklasse von M1 auf die Fundamentalklasse von M2

abbildet, dh. f∗([M1]) = [M2]. Jeder Orientierungs-bewahrende Homoomorphismus ist eineOrientierungs-bewahrende Homotpieaquivalenz, siehe Korollar V.10.8(i).

342 VI. KOHOMOLOGIE

Beweis. Ad Behauptung (i). O.B.d.A. sei dim M = 4k, andernfalls ist nichtszu zeigen. Es gilt φ−M = −φM , denn [−M ] = −[M ] nach Korollar V.10.8(iv).Die Aussage folgt daher aus Lemma VI.8.20(i).

Ad Behauptung (ii). Wieder sei o.B.d.A. dim M1 = 4k = dim M2. Die Aussagefolgt aus Lemma VI.8.20(ii), denn offensichtlich gilt

H2k(M1 ⊔ M2) = H2k(M1) ⊕ H2k(M2), φM1⊔M2 = φM1 ⊕ φM2.

Ad Behauptung (iii): O.B.d.A. nehmen wir n1 + n2 = 4k an, andernfalls istnichts zu zeigen. Mittels Korollar VI.6.1(vi) und Satz VI.5.1(v) erhalten wir:

φM1×M2(α1 × α2, β1 × β2) =⟨(α1 × α2) ∪ (β1 × β2), [M1 × M2]R

⟩

= (−1)|α2||β1|⟨(α1 ∪ β1) × (α2 ∪ β2), [M1 × M2]R

⟩

= (−1)|α2||β1|⟨(α1 ∪ β1) × (α2 ∪ β2), [M1]R × [M2]R

⟩

= (−1)|α2||β1|⟨α1 ∪ β1, [M1]R

⟩·⟨α2 ∪ β2, [M2]R

⟩

= (−1)|α2||β1|φM1(α1, β1) · φM2(α2, β2) (VI.44)

Setze:

W0 :=

Hn12 (M1; R) ⊗R H

n22 (M2; R) falls n1 gerade

0 sonst

W+ :=⊕

q>n12

Hq(M1; R) ⊗R H2k−q(M2; R)

W− :=⊕

q<n12

Hq(M1; R) ⊗R H2k−q(M2; R)

W1 := W− ⊕ W+

Nach dem universellen Koeffiziententheorem liefert das Kohomologiekreuzpro-dukt einen Isomorphsimus

× : W0 ⊕ W1

∼=−→ H2k(M1 × M2; R)

Aus (VI.44) folgt, dass W0 und W1 bezuglich φM1×M2 orthogonal sind. NachLemma VI.8.20(ii) gilt daher

σ(M1 × M2) = σ(φM1×M2) = σ(φM1×M2|W0) + σ(φM1×M2 |W1) (VI.45)

Gleichung (VI.44) zeigt auch φM1×M2 |W+ = 0. Wegen Poincare Dualitat fur M1

und M2, siehe Korollar VI.8.16, gilt dim W+ = dim W−, dh. dim W1 = 2 dim W+,und daher σ(φM1×M2 |W1) = 0 nach Lemma VI.8.20(iv). Zusammen mit (VI.45)folgt

σ(M1 × M2) = σ(φM1×M2|W0).

Ist n1 ≡ 1 mod 2, dann folgt σ(M1 ×M2) = 0, denn W0 = 0. Ist n1 ≡ 0 mod 4,dann zeigt (VI.45), dass φM1×M2|W0

∼= φM1⊗φM2 und daher σ(M1×M2) = σ(M1)·σ(M2) nach Lemma VI.8.20(iii). Ist n1 ≡ 2 mod 4, dann ist die Cup-Produkt

VI.8. POINCARE-DUALITAT 343

Paarung auf Hni2 (Mi; R) schiefsymmetrisch, und φM1×M2|W0

∼= −φM1 ⊗ φM2 nach(VI.45), aus Lemma VI.8.20(v) folgt daher σ(M1 × M2) = 0. In jedem Fall istdamit Behauptung (iii) gezeigt.

Ad Behauptung (iv). O.B.d.A. sei dim M = 4k+1. Es bezeichne ι : ∂M → Mdie Inklusion des Randes. Fur α, β ∈ H2k(M ; R) gilt dann

φ∂M(ι∗α, ι∗β) = 〈ι∗α ∪ ι∗β, [∂M ]R〉 = 〈ι∗(α ∪ β), [∂M ]R〉

= 〈α ∪ β, ι∗[∂M ]R〉 = 〈α ∪ β, ι∗δ[M ]R〉 = 0,

denn [∂M ]R = δ[M ]R nach Korollar V.10.33(vi), und ι∗ δ = 0 aufgrund derExaktheit der Homologiesequenz des Paares (M, ∂M). Wir erhalten somit

φ∂M |img(ι∗) = 0.

Betrachte nun das Diagramm:

H2k(M ; R)ι∗ // H2k(∂M ; R)

δ //

∼= −∩[∂M ]R

H2k+1(M, ∂M ; R)

∼= −∩[M ]R

H2k(∂M ; R)ι∗ // H2k(M ; R)

Nach Satz VI.8.2 sind die beiden vertikalen Pfeile tatsachlich Isomorphismen,und aufgrund von Bemerkung VI.7.7 kommutiert das Quadrat bis auf Vorzeichen,denn δ[M ]R = [∂M ]R. Zusammen mit der Exaktheit der oberen Zeile erhalten wir

H2k(∂M ; R) ∼= ker(δ) ⊕ img(δ) ∼= ker(δ) ⊕ img(ι∗) ∼= img(ι∗) ⊕ img(ι∗) (VI.46)

Nach dem universellen Koeffiziententheorem haben wir ein kommutatives Dia-gramm:

H2k(M ; R)ι∗ //

∼= 〈−,−〉

H2k(∂M ; R)

∼= 〈−,−〉

(H2k(M ; R)

)∗ (ι∗)∗//(H2k(∂M ; R)

)∗

Dh. ι∗ und ι∗ sind duale Abbildungen, haben daher denselben Rang und somitgilt img(ι∗) ∼= img(ι∗). Zusammen mit (VI.46) erhalten wir

H2k(∂M ; R) ∼= img(ι∗) ⊕ img(ι∗).

Behauptung (iv) folgt nun aus Lemma VI.8.20(iv) mit W = img(ι∗).

VI.8.25. Beispiel. Ist M eine geschlossene orientierte topologische n-Man-

nigfaltigkeit und f : M≃−→ M eine orientierungsumkehrende Homotopieaquiva-

lenz,115 dann gilt σ(M) = 0. Dies ist eine Konsequenz von Satz VI.8.24(i) und

115Dh. unter dem Isomorphismus f∗ : Hn(M)∼=−→ Hn(M) gilt f∗([M ]) = −[M ]. Dies

ist offensichtlich aquivalent dazu, dass f : M → (−M) eine orientierungsbewahrende Homo-topieaquivalenz definiert. Jeder orientierungsumkehrende Homoomorphismus ist eine orientie-rungsumkehrende Homotopieaquivalenz.

344 VI. KOHOMOLOGIE

Bemerkung VI.8.22, denn f : M≃−→ (−M) ist eine orientierungsbewahrende Ho-

motopieaquivalenz und daher σ(M) = σ(−M) = −σ(M). Da σ(CP2n) = ±1116

muss also jede Homotopieaquivalenz f : CP2n ≃−→ CP2n orientierungsbewahrend

sein! Dasselbe gilt fur CP2n1 × · · · × CP2nr , denn σ(CP2n1 × · · · × CP2nr) = ±1,siehe Satz VI.8.24(iii).

VI.8.26. Beispiel. Ist M eine geschlossene orientierte topologische 4-Man-nigfaltigkeit mit σ(M) 6= 0, dann kann M nicht homoomorph zu einem nicht-trivialen Produkt orientierter Mannigfaltigkeiten sein, dh. es existieren keine ori-entierbaren Mannigfaltigkeiten M1 und M2 mit M ∼= M1 × M2 und dim Mi > 0.Dies folgt sofort aus Satz VI.8.24(iii), denn aus Dimensionsgrunden muss σ(M1) =0 = σ(M2) gelten.

VI.8.27. Beispiel. Nach Satz VI.8.24(ii) gilt σ(CP2n ⊔CP2n

)= 2, also kann

CP2n ⊔ CP2n nicht orientierter117 Rand einer kompakten orientierten Mannigfal-tigkeit sein, siehe Satz VI.8.24(iv). Dasselbe gilt fur CP2n ⊔ · · · ⊔ CP2n.

VI.8.28. Bemerkung (Kobordismenring). Zwei geschlossene orientierte to-pologische Mannigfaltigkeiten M1 und M2 werden kobordant genannt, falls einekompakte orientierte topologische Mannigfaltigkeit W existiert, sodass ∂W ∼=M1⊔(−M2). Diese Relation ist reflexsiv, denn ∂(I×M) = (∂I)×M ∼= M⊔(−M),fur geschlossenes M . Sie ist auch symmetrisch, denn aus ∂W ∼= M1⊔ (−M2) folgt∂(−W ) = −∂W ∼= M2 ⊔ (−M1). Unter Verwendung von Satz V.10.26 lasst sichleicht zeigen, dass diese Relation auch transitiv ist. Es bezeichne Ωtop

n die Mengeder Aquivalenzklassen geschlossener orientierter topologischer n-Mannigfaltigkei-ten bezuglich dieser Bordismenrelation. Die disjunkte Vereinigung orientierterMannigfaltigkeiten ist mit dieser Aquivalenzrelation vertraglich und definiert ei-ne Abbildung Ωtop

n × Ωtopn → Ωtop

n . Dies macht Ωtopn zu einer abelschen Grup-

pe, deren neutrales Element von der leeren Mannigfaltigkeit (aber auch von Sn)reprasentiert wird. Das Inverse von M wird durch −M reprasentiert. Aus derKlassifikation der topologischen n-Mannigfaltigkeiten fur 0 ≤ n ≤ 2, folgt sofortΩtop

0∼= Z, Ωtop

1 = 0 und Ωtop2 = 0. Auch das Produkt orientierter Mannigfal-

tigkeiten ist mit der Kobordismenrelation vertraglich und liefert eine AbbildungΩtop

n1× Ωtop

n2→ Ωtop

n1+n2. Dadurch wird Ωtop

∗ zu einem kommutativen graduiertenRing. Nach Satz VI.8.24 faktorisiert die Signatur zu einem Ringhomomorphismus

σ : Ωtop∗ → Z.

Ersetzen wir topologische durch glatte Mannigfaltigkeiten so erhalten wir volliganalog einen kommutativen graduierten Ring Ω∗. Arbeiten wir mit unorientiertenMannigfaltigkeiten, so erhalten wir die unorientierten Kobordismenringe N top

∗

116Bezuglich der Standardorientierung von CP2n, dh. der, die von der komplexen Strukturinduziert wird, gilt σ(CP2n) = 1.

117Beachte, dass W := CP2n × I eine kompakte orientierbare Mannigfaltigkeit mit orien-tiertem Rand CP2n ⊔ (−CP2n) ist.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 345

bzw. N∗. Diese Ringe sind berechenbar, etwa gilt nach einem Resultat von ReneThom,

Ω∗ ⊗ Q ∼= Q[x4, x8, x12, . . . ], |x4k| = 4k,

dh. der rationale Kobordismenring Ω∗ ⊗ Q ist ein Polynomring mit abzahlbarvielen Erzeugern x4k. Dabei wird x4k von CP2k reprasentiert. Daraus folgt etwa,dass die glatte 8-Mannigfaltigkeit (CP2 ×CP2)⊔ (−CP4) nicht Rand einer orien-tierten kompakten glatten Mannigfaltigkeit sein kann.118 Details finden sich etwain [20, Chapter 21] und [13, Chapter 25].

VI.8.29. Korollar. Ist M eine orientierte kompakte topologische n-Mannig-faltigkeit mit Rand ∂M = ∂−M ⊔ ∂+M , dann faktorisiert die sogenannte Cup-Produkt Paarung

φM : Hq(M, ∂−M) × Hn−q(M, ∂+M) → Z, φM(α, β) := 〈α ∪ β, [M ]〉. (VI.47)

zu einer nicht-degenerierten119 Paarung

φM : Hq(M, ∂−M)fa × Hn−q(M, ∂+M)fa → Z, (VI.48)

fur jedes q, vgl. Bemerkung VI.8.7

Beweis. Ist α ∈ Hq(M, ∂−M)tor oder β ∈ Hn−q(M, ∂+M)tor, dann folgt〈α ∪ β, [M ]〉 = 0, denn Ztor = 0. Dies zeigt, dass die Paarung (VI.47) tatsachlichzu einer Paarung wie in (VI.48) faktorisiert. Aus dem universellen Koeffizienten-theorem VI.4.11 folgt, dass die bilineare Paarung

Hq(M, ∂−M)fa × Hq(M, ∂−M)fa → Z, (α, β) 7→ 〈α, β〉

nicht degeneriert ist, denn Hq(M, ∂−M)tor = Ext(Hq−1(M, ∂−M), Z) und

Hq(M, ∂−M)fa = Hom(Hq(M, ∂−M), Z) = Hom(Hq(M, ∂−M)fa, Z).

Nach Satz VI.8.2 ist

−∩ [M ] : Hn−q(M, ∂+M)fa

∼=−→ Hq(M, ∂−M)fa

ein Isomorphismus. Die Behauptung folgt nun aus der Formel 〈α ∪ β, [M ]〉 =〈α, β ∩ [M ]〉, siehe Korollar VI.7.4(iv).

VI.8.30. Bemerkung. Tensorieren wir (VI.48) mit einerm Korper K derCharakteristik 0, so erhalten wir eine nicht-degenerierte Paarung

(Hq(M, ∂−M)fa ⊗ K

)×

(Hn−q(M, ∂+M)fa ⊗ K

)→ K. (VI.49)

118Die Signatur reicht fur diese Schlussfolgerung nicht aus, denn nach Satz VI.8.24 giltσ((CP2 × CP2) ⊔ (−CP4)

)= 0.

119Es seien A und B zwei freie abelsche Gruppen endlichen Ranges. Eine bilineare Paarung

A × B → Z wird nicht-degeneriert genannt, falls sie einen Isomorphismus A∼=−→ Hom(B, Z)

induziert. In diesem Fall ist dann auch B∼=−→ Hom(A, Z) ein Isomorphismus. Bezuglich Basen

von A und B ist jede bilineare Abbildung A × B → Z durch eine Matrix mit ganzzahligenEintragungen gegeben. Sie ist genau dann nicht-degenerierte, wenn diese Matrix quadratischmit Determinante ±1 ist.

346 VI. KOHOMOLOGIE

Nach dem universellen Koeffiziententheorem induziert der von Z → K induzierteHomomorphismus

Hq(M, ∂±M) → Hq(M, ∂±M ; K)

einen Isomorphismus

Hq(M, ∂±M)fa ⊗ K∼=−→ Hq(M, ∂±M ; K).

Bis auf diesen Isomorphismus stimmt (VI.49) mit der nicht-degenerierten Paa-rung aus Korollar VI.8.18 uberein. Daher ist alle Information letztgenannter Paa-rung schon in der Paarung (VI.48) enthalten, vorausgesetzt K hat Charakteristik0.

VI.8.31. Bemerkung. Wir wollen nun erneut den Kohomologiering des kom-plexen projektiven Raums bestimmen, vgl. Beispiel VI.6.8, ohne dabei auf die(aufwendigen) Berechnungen in Abschnitt V.7 zuruckzugreifen,

H∗(CPn) ∼= Z[x]/xn+1, |x| = 2. (VI.50)

Aus Beispiel VI.4.20 wissen wir, dass die additive Struktur der Kohomologiedurch (VI.50) gegeben ist. Um auch die Ringstruktur zu bestimmen gehen in-duktiv vor. Fur n = 0 und n = 1 ist die Aussage trivial. Sei nun n ≥ 2, undx ∈ H2(CPn; Z2) ∼= Z ein Erzeuger. Aus Beispiel VI.4.20 wissen wir, dass die In-klusion ι : CPn−1 → CPn Isomorphismen ι∗ : Hp(CPn) ∼= Hp(CPn−1) induziert,p < 2n. Insbesondere ist ι∗x ein Erzeuger von H2(CPn−1). Nach Induktionsvor-aussetzung ist daher auch (ι∗x)q ein Erzeuger von H2q(CPn−1), 0 ≤ q < n. Ausder Naturlichkeit des Cup-Produktes, ι∗(xq) = (ι∗x)q, folgt nun, dass xq ein Er-zeuger von H2q(CPn) ist, 0 ≤ q < n. Es bleibt daher nur noch zu zeigen, dass auchxn einen Erzeuger von H2n(CPn) bildet. Nun ist CPn eine geschlossene orientier-bare 2n-Mannigfaltigkeit, nach Korollar VI.8.29 existiert daher ξ ∈ H2(CPn) mit〈xn−1 ∪ ξ, [CPn]〉 = 1. Insbesondere muss ξ ein Erzeuger von H2(CPn) ∼= Z sein,dh. ξ = ±x. Wir erhalten somit 〈xn, [CPn]〉 = ±1, also ist xn ein Erzeuger vonH2n(CPn) ∼= Z. Damit ist der Induktionsschritt gezeigt. Vollig analog lasst sichso auch die Ringstruktur von H∗(HPn) berechnen, siehe Beispiel VI.6.8.

Es sei nun M eine geschlossene orientierte 4k-Mannigfaltigkeit. Dann ist dieCup-Produkt Paarung

φM : H2k(M)fa × H2k(M)fa → Z, φM(α, β) := 〈α ∪ β, [M ]〉 (VI.51)

eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform. Bezuglich einer Basis der frei-en abelschen Gruppe H2k(M)fa ist diese Paarung durch eine symmetrische Matrixmit ganzzahligen Eintragungen gegeben. Die Nichtdegeneriertheit der Paarung istaquivalent dazu, dass diese Matrix unimodular ist, dh. Determinante ±1 hat. Ih-re Signatur stimmt mit der Signatur von M uberein, siehe Bemerkung VI.8.30oben.

VI.8. POINCARE-DUALITAT 347

VI.8.32. Bemerkung. Die Cup-Produkt Paarung (VI.51) ist eine Homoto-

pieinvariante orientierter geschlossener 4k-Mannigfaltigkeiten. Ist f : M1≃−→ M2

eine orientierungsbewahrende Homotopieaquivalenz, dann gilt (f ∗)∗φM1 = φM2,

wobei f ∗ : H2k(M2)∼=−→ H2k(M1), denn ((f ∗)∗φM1)(α, β) = φM1(f

∗α, f ∗β) =〈f ∗α ∪ f ∗β, [M1]〉 = 〈f ∗(α ∪ β), [M1]〉 = 〈α ∪ β, f∗[M1]〉 = 〈α ∪ β, f∗[M2]〉 =φM2(α, β), und daher haben M1 und M2 aquivalente Cup-Produkt Paarungen,φM1

∼= φM2.

VI.8.33. Bemerkung (Klassifikation unimodularer symmetrischer Bilinear-formen). Eine nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform φ auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum V ist durch ihren Rang rank(φ) = dim(V )und ihre Signatur σ(φ) bis auf Aquivalenz eindeutig bestimmt, dh. fur jede wei-tere nicht-degenerierte symmetrische Bilinearform φ′ auf einem reellen Vekto-raum V ′ mit rank(φ) = rank(φ′) und σ(φ) = σ(φ′) existiert ein Isomorphismus

λ : V∼=−→ V ′, sodass λ∗φ′ = φ.

Die Klassifikation der ganzzahligen symmetrischen Bilinearformen ist erheb-lich subtiler. Zwei unimodulare symmetrische Bilinearformen φ : A×A → Z, undφ′ : A′ × A′ → Z auf freien abelschen Gruppen endlichen Ranges A und A′ wer-

den aquivalent oder isomorph genannt, falls ein Isomorphismus λ : A∼=−→ A′ mit

λ∗φ′ = φ existiert. Durch Wahl einer Basis der freien abelschen Gruppe A sehenwir, dass jede unimodulare symmetrische Bilinearform aquivalent zu einer unimo-dularen symmetrischen Bilinearform auf Zk ist. Eine unimodulare symmetrischeBilinerform auf Zk wird durch eine symmetrische ganzzahligen Matrix mit Deter-minante ±1 beschrieben. Zwei solche Matrizen Φ und Φ′ definieren aquivalenteBilinerformen, falls eine ganzzahlige Matrix B mit Determinante ±1 existiert,sodass BtΦ′B = Φ.

Wir ordnen einer unimodularen symmetrischen Bilinearform φ : A × A → Z

drei Invarianten zu, ihren Rang rank(φ) := rank(A), ihre Signatur σ(φ) undihre Paritat. Dabei ist die Paritat von φ gerade falls φ(a, a) ≡ 0 mod 2 fur al-le a ∈ A, und ungerade sonst.120 Offensichtlich haben aquivalente unimodularesymmetrische Bilinearformen denselben Rang, die selbe Signatur und auch diegleiche Paritat. Eine unimodulare symmetrische Bilinearformen ist durch diesedrei Invarianten i.A. jedoch nicht festgelegt, und auch konnen nicht alle Tripel(Rang, Signatur, Paritat) auftreten.121 Die Bilinearform φ wird positiv definit ge-nannt, falls rank(φ) = σ(φ), und sie heißt negativ definit falls rank(φ) = −σ(φ).122

Ist φ weder positiv noch negativ definit, dann wird sie indefinit genannt.

120Die Bilinearform φ ist genau dann gerade, wenn die Matrix von φ bezuglich einer (unddann jeder) Basis von A gerade Diagonaleintragungen besitzt.

121Etwa gilt offensichtlich stets |σ(φ)| ≤ rank(φ). Fur gerades φ haben wir daruber hinausaber auch σ(φ) ≡ 0 mod 8.

122Die Bilinearform φ ist genau dann positiv bzw. negativ definit, wenn ihre Matrixdar-stellung bezuglich einer (und dann jeder) Basis von A positiv bzw. negativ definit ist.

348 VI. KOHOMOLOGIE

Die indefiniten unimodularen symmetrischen Bilinearformen sind relativ leichtzu verstehen. Jede ungerade indefinite unimodulare symmetrische Bilinearformist diagonalisierbar, dh. aquivalent zu

(Ib+ 00 Ib−

)

(VI.52)

wobei Ib die (b × b)-Einheitsmatrix bezeichnet, und b± durch rank(φ) = b+ +b− sowie σ(φ) = b+ − b− bestimmt sind. Jede gerade indefinite unimodularesymmetrische Bilinearform φ mit σ(φ) ≥ 0 ist aquivalent zu

φ ∼= H ⊕ · · · ⊕ H︸ ︷︷ ︸

a Summanden

⊕E8 ⊕ · · · ⊕ E8︸ ︷︷ ︸

b Summanden

wobei

H =

(0 11 0

)

und E8 =

2 1 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 00 0 0 1 2 1 0 10 0 0 0 1 2 1 00 0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 1 0 0 2

.

Die beiden Zahlen a und b sind dabei durch rank(φ) = 2a + 8b und σ(φ) = 8bbestimmt.123

Bei den definiten unimodularen symmetrischen Bilinearformen ist die Situati-on wesentlich komplizierter. Die Anzahl paarweise inaquivalenter solcher Formenwachst sehr rasch mit dem Rang. Es gibt bespielsweise ungefahr 1050 paarwei-se nicht aquivalente solche Formen mit Rang 40. Beweise obiger Behauptungenfinden sich etwa in [21].

VI.8.34. Beispiel (Einfach zusammenhangende 4-Mannigfaltigkeiten). Es seiM eine einfach zusammenhangende geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeit.Nach Hurewicz, siehe Satz IV.11.3, gilt H1(M) = 0. Mit dem universellen Koef-fiziententheorem erhalten wir auch H1(M) = 0. Wegen des Zusammenhangs vonM gilt H0(M) ∼= Z und nach dem universellen Koeffiziententheorem daher auchH0(M) ∼= Z. Aufgrund des einfachen Zusammenhangs ist M orientierbar, mit-tels Poincare Dualitat, siehe Satz VI.8.2, folgt nun H4(M) ∼= Z ∼= H4(M) undH3(M) = 0 = H3(M). Aus dem universellen Koeffiziententheorem folgt, dassH2(M) ∼= Hom(H2(M), Z) eine freie abelsche Gruppe ist. Mittels Poincare Dua-litat sehen wir, dass auch H2(M) frei abelsch sein muss. Die additive Struktur

123Da σ(−φ) = −σ(φ) erhalten wir daraus auch sofort eine Beschreibung aller gerader

indefiniten unimodularen symmetrischen Bilinearform mit σ(φ) ≤ 0. Beachte hier jedoch dieAquivalenzen −H ∼= H und E8 ⊕ (−E8) ∼= 8H := H ⊕ H ⊕ H ⊕ H ⊕ H ⊕ H ⊕ H ⊕ H .