Vom Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe,...
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Vom Ganzen zum Fraktal
Thomas Westermann
6. Lange Nacht der Mathematik
Hochschule Karlsruhe, 7.5.2010
Vom unendlich Kleinen
Was ergibt ?0 Was ergibt ?0 0 Was ergibt ?0 Was ergibt ?0 1
Von Eisblumen …
… und anderen Formen
BlitzBlutgefäße der Niere
Blumenkohl
Ganze Zahlen
1, 2, 3; viele
1, 2, 3, 4, ... , 9, 10, 11, ... usw.
Prinzip der natürlichen Zahlen:
1. Sie beginnen bei 1.
2. Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger.
N = {1, 2, 3, 4, ...} natürliche Zahlen
Es gibt viele natürliche Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ganze Zahlen
Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte ein Drittel abgeben muss?
Gebrochene Zahlen
Lösung: 3
1
6
2
6
13
6
1
2
1
2
1
3
1
2
1
TV-Quiz: Was erhält man, wenn man 50 durch einhalb teilt?a) 25 b) 50c) 75 d) 100
BW-Antwort: 1001
100
1
250
2
1:50
Q = {p/q: p Z und q N} gebrochenrationale Zahlen
Noch mehr Zahlen?
Pythagoras
a2 + b2 = c2
a
c
b
d 2 = 12 + 12 = 2
1
d1
2d
Beispiel:
p2 = 2 q2 p2 ist gerade p ist gerade p = 2 m
4 m2 = 2 q2 q2 = 2 m q ist gerade
NEIN!
Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann??
Was sind dies für Zahlen?
Gebrochenrational? mit p und q teilerfremd?q
p2
Zahlenfolgen
(an) n N = a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
1.) Explizites Bildungsgesetz:
n 1 2 3 ... 10 100 1000
an 0 1.5 0.666 ... 1.1 1.01 1.001
CAS
na n
n
1)1(1
2.) Rekursives Bildungsgesetz
)2
(2
11
nnn a
aa 10 a
konvergente Folgen: an a: besitzen Grenzwert a
divergente Folgen: besitzen keinen Grenzwert
Reelle Zahlen
Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und
Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}
1)2
(2
12 01lim
aund
aaamita
nnnn
n
n
n ne )
11(lim
raunda
rramitannn
nnn
623
23 1121
1lim
Berechnung von
Berechnung von
2221 )
2( n
n
sxs
yrx
222 )2
( nsry
2 21 1 2 ( ( ) )
2n
n
ss r und s r r r
Von kantiger Form zu glatter Struktur
0 ?
0
11 13 2n
n nu s
Eigenschaften:- Anzahl der Linien geht gegen Unendlich
- Länge der Einzellinien geht gegen Null- Umfang bleibt endlich! - Fläche bleibt begrenzt!
Kreis: Von kantig zu rund
:= u2
3.105828540
:= u3
3.132628608
:= u4
3.139350198
:= u5
3.141031980
:= u6
3.141452697
:= u7
3.141558894
:= u8
3.141589401
:= u9
3.141598791
:= u10
3.141561240
:= u11
3.141260829
:= u1
3.000000000
0
Von kantig zu kantiger
CAS
Kochsche Schneeflocke
Kochsche Schneeflocke
Anzahl der Seiten
Seitenlänge Umfang Fläche
3 a 3a
n = 1 3 4
n = 2 3 4 4
n 3 4n
An-1 +3 4n-1
A0 + A0
1
3
n
a
1 1( )
3 3a
1
3a
13 4
3a
24
33
a
43
3
n
a
23
2a
A0 +32
3
2 3
a
A1 +3 42
3
2 9
a
2
3 1
2 3
n
a
3
5
Zusammenfassung:
0
0
Kochsche Schneeflocke
Eigenschaften:- Anzahl der Linien geht gegen Unendlich- Umfang geht gegen Unendlich- Fläche bleibt begrenzt!
Geometrische Eigenschaften
- Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion)
- Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur
- Selbstähnlich
- Bei unendlichem Umfang doch beschränkter Flächeninhalt
Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen
bezeichnet man als Fraktale (lat. fractus = gebrochen).
Sierpinski-Dreieck
Was unterscheidet die Kochsche Scheeflocke vom Sierpinski-Dreieck?
Fraktale Dimension
Umfang pro Dreieck:
Gesamtumfang:
Fläche pro Dreieck:
Gesamtfläche:
n
nnn
n aaU2
33
2
133
04
13
4
1 2
n
n
n aa
04
33
4
1
4
13
4
13 22
n
nnn
n aaA
02
13
n
n
n au
0 0
0
Fraktale Dimension
ds/N 1 s/log
Nlogd
1Allgemein: N: Anzahl der Teile
s: Skalierungsfaktor
Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3
1
31
13
/N
Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=9
2
31
19
/N
Skalierungsfaktor s=1/2Anzahl der selbstähnlichen Teile N=8
3
21
18
/N
Berechnung der fraktalen Dimension
Skalierungsfaktor s=1/2Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3
58412
3.
log
logd
Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=2
630903
2.
log
logd
26213
4.
log
logd
Skalierungsfaktor s=1/3Anzahl der selbstähnlichen Teile N=4
Mandelbrot-Menge
Iterationsvorschrift
z n 1zn
2 c
Man startet immer mit z0=0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab.
Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-Werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z.B. 100) einen vorgegebenen Betrag (z.B. 2) noch nicht überschritten haben.
Die fraktale Beschreibung liefert uns ein Modell, um Formen, Muster und Erscheinungen in unserer realen Welt adäquat
mathematisch zu beschreiben.
Mit etwas Phantasie und Intuition findet man so Zugang zu virtuellen Welten, imaginären Größen und komplexen
Zusammenhängen, die ohne die Fraktale nichtmöglich wären …
… und man findet auf diesem Weg nicht nur gebrochene Zahlen,
sondern sogar gebrochene Dimensionen!!
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!
Und noch eine schöne Nacht!!
Ende