VORLESUNG - Apache2 Ubuntu Default Page: It works · Vorlesung Bauphysik Seite 1 Prof. Dr.-Ing. M....

T E C H N I S C H E U N I V E R S I T Ä T B R A U N S C H W E I G

INSTITUT FÜR BAUKONSTRUKTION UND HOLZBAU PROF. DR.-ING. MARTIN H. KESSEL

VORLESUNG

B A U P H Y S I K

S S 2 0 1 5

Vorlesung Bauphysik Seite 1

Prof. Dr.-Ing. M. H. Kessel Institut für Baukonstruktion und Holzbau TU Braunschweig

Inhaltsverzeichnis:

1 Einführung .................................................................................................................................................................. 5

1.1 Themen der Bauphysik ....................................................................................................................................... 5

1.2 Wärmeschutz ....................................................................................................................................................... 5

1.2.1 Mindestwärmeschutz ................................................................................................................................... 5

1.2.2 Energiesparender Wärmeschutz .................................................................................................................. 5

1.2.3 Sommerlicher Wärmeschutz ....................................................................................................................... 6

1.3 Tauwasserschutz ................................................................................................................................................. 6

1.4 Schallschutz ........................................................................................................................................................ 6

1.5 Brandschutz ......................................................................................................................................................... 7

2 Wärmeschutz ............................................................................................................................................................... 9

2.1 Physikalische Grundlagen ................................................................................................................................... 9

2.1.1 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmeenergie .................................................................... 9

2.1.2 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik und die Wärmeausbreitung ................................................... 10

2.1.3 Das Temperaturfeld und der Temperaturgradient ..................................................................................... 11

2.1.4 Konvektion ................................................................................................................................................ 12

2.1.5 Wärmeleitung ............................................................................................................................................ 13

2.1.6 Strahlung ................................................................................................................................................... 20

2.2 Meteorologische Einflüsse ................................................................................................................................ 28

2.2.1 Sonnenstrahlung ........................................................................................................................................ 28

2.2.2 Außenklima ............................................................................................................................................... 35

2.3 Eindimensionaler Wärmedurchgang ................................................................................................................. 35

2.3.1 Der Wärmedurchgang durch ein einschichtiges Bauteil ........................................................................... 36

2.3.2 Der Wärmedurchgang durch ein mehrschichtiges Bauteil ........................................................................ 38

2.3.3 Der Wärmedurchgang infolge Einstrahlung .............................................................................................. 40

2.3.4 Der Wärmedurchgang durch unbeheizte Räume ohne und mit Einstrahlung............................................ 44

2.4 Mehrdimensionaler stationärer Wärmestrom – Wärmebrücken ........................................................................ 47

2.4.1 Bauteile mit nebeneinanderliegenden Bereichen unterschiedlicher Wärmedämmung .............................. 57

2.4.2 Der Wärmedurchgang durch Bauteile mit Luftschichten .......................................................................... 59

2.4.3 Der Wärmedurchgang durch Fenster und Türen ....................................................................................... 60

2.5 Energiebilanzierung .......................................................................................................................................... 60

2.5.1 Wärmegewinne ......................................................................................................................................... 61

2.5.2 Wärmeverluste .......................................................................................................................................... 62

2.5.3 Heizwärmebedarf ...................................................................................................................................... 63

2.5.4 Energiebilanzierung und Wohnwert .......................................................................................................... 67

2.6 Zur Simulation thermischer Prozesse ................................................................................................................ 68

2.6.1 Erster Schritt.............................................................................................................................................. 68

2.6.2 Vergleich zur Baustatik ............................................................................................................................. 69

2.6.3 Zweiter Schritt ........................................................................................................................................... 71

2.6.4 Finite-Elemente-Formulierung .................................................................................................................. 71

2.6.5 Stationäre Lösung ...................................................................................................................................... 75

2.6.6 Instationäre Lösung ................................................................................................................................... 76



2.6.7 Beispiel ...................................................................................................................................................... 78

2.6.8 Ergebnisse ................................................................................................................................................. 79

3 Tauwasserschutz ....................................................................................................................................................... 82

3.1 Allgemeines ...................................................................................................................................................... 82

3.1.1 Ziel des Tauwasserschutzes von Bauteilen ............................................................................................... 82

3.1.2 Was ist Tauwasser? ................................................................................................................................... 82

3.1.3 Wann entsteht Tauwasser? ........................................................................................................................ 82

3.2 Tauwasserschutz für die Bauteiloberfläche ................................................................................................... 86

3.2.1 Allgemeines............................................................................................................................................... 86

3.2.2 Bedingungen für Tauwasserfreiheit .......................................................................................................... 86

3.2.3 Erforderlicher Wärmeschutz für Tauwasserfreiheit .................................................................................. 86

3.2.4 Nachweis ................................................................................................................................................... 88

3.3 Tauwasserschutz für den Bauteilquerschnitt ..................................................................................................... 89

3.3.1 Allgemeines............................................................................................................................................... 89

3.3.2 Dampfdiffusion ......................................................................................................................................... 89

3.3.3 Wann entsteht Tauwasser im Querschnitt ? .............................................................................................. 90

3.3.4 Verlauf des Dampfsättigungsdrucks ps über den Bauteilquerschnitt ........................................................ 90

3.3.5 Verlauf des Dampfteildrucks p über den Bauteilquerschnitt ..................................................................... 94

3.3.6 Größe der Tauwassermasse im Bauteilquerschnitt .................................................................................... 99

3.3.7 Verbesserung tauwassergefährdeter Bauteilquerschnitte ........................................................................ 103

3.3.8 Verdunstungsmasse ................................................................................................................................. 108

3.3.9 Bauteile ohne Nachweis des Tauwasserschutzes für Bauteilquerschnitt ................................................. 112

3.4 Schimmelpilzbildung ...................................................................................................................................... 114

4 Schallschutz ............................................................................................................................................................ 120

4.1 Zweck des Schallschutzes ............................................................................................................................... 120

4.2 Physikalische Grundlagen ............................................................................................................................... 120

4.2.1 Wellenformen .......................................................................................................................................... 120

4.2.2 Ausbreitung und Geschwindigkeit des Schalls ....................................................................................... 121

4.3 Begriffe der Bauakustik .................................................................................................................................. 122

4.3.1 Schall, Schallschutz ................................................................................................................................. 122

4.3.2 Frequenz (Schwingungszahl) f ................................................................................................................ 123

4.3.3 Wellenlänge ......................................................................................................................................... 123

4.3.4 Ton, Klang, Geräusch (Bild 4-6) ............................................................................................................. 123

4.3.5 Schalldruck, Schallpegel ......................................................................................................................... 124

4.3.6 Lautstärke ................................................................................................................................................ 124

4.3.7 Addition mehrerer Schallpegel ................................................................................................................ 126

4.4 Grundlagen zum Luftschallschutz ................................................................................................................... 126

4.4.1 Allgemeines............................................................................................................................................. 126

4.4.2 Schallpegeldifferenz L1 - L2 .................................................................................................................... 127

4.4.3 Schalldämm-Maß R, R' ........................................................................................................................... 127

4.4.4 B e w e r t e t e s Schalldämm-Maß Rw und R'w ..................................................................................... 128

4.4.5 Subjektive Wirkung der Schalldämmung ................................................................................................ 129

4.4.6 Abschätzung des Schallpegels im leisen Raum ....................................................................................... 129



4.4.7 Zusammenwirken von Flächenanteilen mit unterschiedlicher Schalldämmung (R'w res) ......................... 129

4.4.8 Grenzfrequenz, biegesteife Bauteile, biegeweiche Schalen .................................................................... 130

4.4.9 Resonanzfrequenz zweischaliger Bauteile .............................................................................................. 132

4.5 Grundlagen zum Trittschallschutz................................................................................................................... 133

4.5.1 Allgemeines............................................................................................................................................. 133

4.5.2 Normtrittschallpegel Ln ........................................................................................................................... 133

4.5.3 Bewerteter Normtrittschallpegel Ln,w ...................................................................................................... 134

4.5.4 Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel Ln,w,eq von massiven Rohdecken ohne Deckenauflage ... 134

4.5.5 Trittschallverbesserungsmaß Lw von Deckenauflagen oder Gehbelägen für massive Rohdecken ....... 135

4.5.6 Bewerteter Normtrittschallpegel L’n,w von Massivdecken ...................................................................... 135

4.6 Anforderungen an den Schallschutz ................................................................................................................ 135

4.6.1 Vorbemerkung......................................................................................................................................... 135

4.6.2 Anforderungen an den Schallschutz im Innern von Gebäuden ............................................................... 135

4.6.3 Anforderungen an den Schallschutz gegen Außenlärm........................................................................... 137

4.7 Nachweis des geforderten Schallschutzes (Übersicht) .................................................................................... 138

4.7.1 Nachweis mit bauakustischen Messungen (Eignungsprüfungen) ........................................................... 138

4.7.2 Nachweis ohne bauakustische Messungen .............................................................................................. 138

4.8 Nachweis ohne bauakustische Messungen ...................................................................................................... 139

4.8.1 Luftschalldämmung von schweren Außenbauteilen ................................................................................ 139

4.8.2 Luftschalldämmung von leichten Außenbauteilen mit biegeweichen Schalen ....................................... 141

4.8.3 Luftschalldämmung von Fenstern ........................................................................................................... 144

4.8.4 Luftschalldämmung von Innenbauteilen, Allgemeines ........................................................................... 145

4.8.5 Luftschalldämmung von Innenbauteilen in Massivbauart ....................................................................... 147

4.8.6 Luftschalldämmung von Innenbauteilen in Holz- und Skelettbauart ...................................................... 150

4.8.7 Trittschallschutz von Decken .................................................................................................................. 154

5 Literaturverzeichnis ................................................................................................................................................ 159

Vorlesung Bauphysik Einführung Seite 5


1 Einführung

1.1 Themen der Bauphysik

Die Physik allgemein bedeutet die Wissenschaft von der unbelebten Materie. Sie erforscht grundsätzlich nur die

zahlenmäßig (quantitativ) zu beschreibenden Zusammenhänge. Die Bauphysik beschäftigt sich also mit der Erforschung

und Beschreibung des Verhaltens von Baumaterie. Diese allgemeine Auslegung des Begriffs Bauphysik ist jedoch

etwas zu weit gefasst, da im Bauwesen zur Bauphysik nur die Wärmelehre, die Beschreibung des Brandverhaltens von

Baumaterie, die Akustik, die Lichttechnik als Teil der Optik und Teile der Molekül-, Flüssigkeits- und Festkörperphysik

zur Beschreibung von Diffusionsvorgängen gezählt werden. Die Mechanik wird hingegen als ein eigenständiges

Teilgebiet betrachtet und gehört nicht zur Bauphysik, obwohl sie sich u. a. mit dem Formänderungsverhalten von

Baumaterie beschäftigt und auch in einem engen Zusammenhang zur Wärmelehre steht. Ein weiteres eigenständiges

Teilgebiet ist die Baustofflehre, die neben der Diffusion von Gasen und Flüssigkeiten in festen Körpern weitere Teile

der Molekül-, Flüssigkeits- und Festkörperphysik von Baumaterie beinhaltet.

Die folgenden Darstellungen und Erläuterungen physikalischen Verhaltens von Baumaterie dienen dem Ziel, die in den

Bauvorschriften geforderten Schutzfunktionen von Bauwerken in ihrem Inneren und nach Außen auf dem neuesten

Stand von Wissenschaft und Technik entwerfen, planen und ausführen zu können.

1.2 Wärmeschutz

1.2.1 Mindestwärmeschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne eines Mindestwärmeschutzes nach §6 Absatz 1 der EnEV und Abschnitt 5

des Teils 2 der DIN 4108 dient der Gewährleistung einer Mindesttemperatur auf inneren Raumbegrenzungsflächen

(Oberflächentemperatur), die den Ausfall von Tauwasser auf diesen Flächen verhindert und für annehmbare

Behaglichkeit der sich im Inneren des Gebäudes aufhaltenden Personen sorgt.

Bild 1-1: Mindestwärmeschutz

1.2.2 Energiesparender Wärmeschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne des energiesparenden Wärmeschutzes nach der Energieeinsparverordnung

- EnEV dient der Begrenzung der Kohlendioxidemissionen durch eine effizientere Energienutzung, wie sie durch die

Richtlinie 93/76/EWG des Rates der Europäischen Gemeinschaft vom 13. September 1993 gefordert wird.



1.2.3 Sommerlicher Wärmeschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne des sommerlichen Wärmeschutzes nach Abschnitt 8 des Teils 2 der DIN

4108 dient der Begrenzung des Energiedurchgangs von außen nach innen (im Wesentlichen infolge Sonneneinstrahlung

durch Fenster) und damit der Begrenzung der sommerlichen Raumtemperatur. Durch Mindestanforderungen soll

Behaglichkeit in Aufenthaltsräumen erzielt und die Notwendigkeit einer Kühlung durch Anlagen vermieden werden.

1.3 Tauwasserschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Tauwasserschutz, der auch als klimabedingter Feuchteschutz

bezeichnet wird, nach Teil 3 der DIN 4108 dient der Vermeidung von Bauschäden infolge der Bildung von Tauwasser

an der inneren Oberfläche oder im Inneren (im Querschnitt) eines Bauteils, das zur Raumbegrenzung dient.

Bild 1-2: Tauwasserbildung an der inneren Oberfläche und im Inneren eines raumbegrenzenden Bauteils

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Feuchteschutz nach Teil 4 bis 6 der DIN 18195 wird hier nicht

behandelt.

Bild 1-3: Feuchteschutz im Sinne von DIN 18195 zur Vermeidung von Bauschäden durch Niederschlag und Feuchte

aus Erdreich oder anderen angrenzenden feuchten Stoffen

1.4 Schallschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Schallschutz nach DIN 4109 dient der Vermeidung von

unzumutbaren Belästigungen von Personen, die sich im Inneren eines Gebäudes aufhalten, durch Außenlärm und Lärm

im Gebäudeinneren. Der Schallschutz dient also der Erhaltung der Gesundheit dieser Personen.



Bild 1-4: Außenlärm und Lärm im Gebäudeinneren

1.5 Brandschutz

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Brandschutz nach Landesbauordnung dient der Vorbeugung der

Entstehung eines Brandes und der Vorbeugung der Ausbreitung von Feuer und Rauch. Brandschutzmaßnahmen müssen

die Rettung von Menschen und Tieren sowie wirksame Löscharbeiten möglich machen.

Bild 1-5: Brandschutz bedeutet Sicherheit von Personen und Schutz von Sachwerten

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Brandschutz wird hier nicht behandelt.

Vorlesung Bauphysik Wärmeschutz Seite 9


2 Wärmeschutz

2.1 Physikalische Grundlagen

2.1.1 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik und Wärmeenergie

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beinhaltet, dass Wärme und Arbeit äquivalent sind. Er ist eine Erweiterung des

Satzes von der Erhaltung der mechanischen Energie, denn er besagt: Wenn z. B. eine bestimmte Menge kinetischer

Energie unter Wärmeentwicklung verschwindet, so tritt dafür eine äquivalente Wärmeenergie auf. Die entstandene

Energie ist der verschwundenen Energie an Größe gleich, da auch bei der umgekehrten Umwandlung die gleiche

Äquivalenzbeziehung besteht. Die Summe der Energien ist also konstant geblieben.

Die Energie E eines materiellen Körpers kann nur durch äußere Einwirkungen verändert werden. Dies kann z. B. durch

Zuführung von Wärme geschehen, die die Temperatur und das Molekulargefüge des Körpers und dadurch seine innere

Energie um dU verändert. Die Temperatur eines Körpers kann auf Bewegungen der Moleküle zurückgeführt werden.

Zwischen den Molekülen wirken Kräfte, die ihren Abstand und ihren Gleichgewichtszustand bestimmen. Infolge ihrer

Bewegung besitzen die Moleküle kinetische Energie, und infolge der Molekularkräfte müssen sie auch eine dem

Zustand des Körpers entsprechende potentielle Energie besitzen. Die Summe dieser Energien ist die innere Energie U

des Körpers.

Neben einer Zuführung der Wärmemenge Q kann äußere mechanische Arbeit A auf einen Körper einwirken, wenn von

einer Änderung des elektromagnetischen Zustandes des Körpers abgesehen wird. Die durch diese beiden möglichen

Einwirkungen verursachte Änderung der inneren Energie besitzt dann die Größe

dQdAdU Gl. 2-1

Wird einem Körper eine bestimmte Wärmemenge dQ zugeführt, so kann sie sich in verschieden andere Energiearten

umwandeln. Solche mechanischen oder kalorischen Veränderungen können

Volumenänderung,

Temperaturänderung und

Änderung des molekularen Gefüges, z. B. des Aggregatzustandes

sein.

Wenn für die differentielle Erhöhung dT der Temperatur T eines Körpers die differentielle Wärmemenge dQ benötigt

wird, dann beschreibt der Quotient dQ/dT eine kalorische Eigenschaft des Materials, aus dem der Körper besteht. Diese

Eigenschaft ist die Wärmekapazität C des Materials

dT

dQC . Gl. 2-2

Dann lässt sich für eine endliche Temperaturänderung ΔT=T – T0 für die Änderung ΔU der inneren Energie schreiben

T

T0

CdTU . Gl. 2-3

Wenn es sich um Material handelt, dessen Wärmekapazität in dem Temperaturbereich zwischen T0 und T

temperaturunabhängig ist, dann folgt die Linearisierung

0TTCU . Gl. 2-4

In der Regel wird das Volumen eines Körpers beim Erwärmen vergrößert. Durch eine solche Volumenvergrößerung dV

legt ein Oberflächenelement dO den Weg du nach außen zurück. Wirken auf die Oberfläche des Körpers Druckkräfte,

z.B. der Atmosphärendruck, derart, dass jede Flächeneinheit den auf ihr senkrechten Druck p erfährt, dass also

senkrecht auf das Oberflächenelement die Kraft p∙dO wirkt, so leistet das Flächenstück dO bei der Ausdehnung die

äußere mechanische Arbeit p∙dO∙du. Nun ist dO∙du gleich der Volumenvergrößerung dV und damit hat die äußere

Arbeit die Größe



dVpdA . Gl. 2-5

Dieser mechanische Energieanteil ist für die hier behandelte Wärmeschutzfunktion von Gebäuden klein und wird daher

im folgenden vernachlässigt, so dass die Änderung der inneren Energie dU gleich ist der zugeführten Wärmemenge dQ

dQdU . Gl. 2-6

2.1.2 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik und die Wärmeausbreitung

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik beinhaltet nach Ludwig Boltzmann, dass ein Körper aus einem

unwahrscheinlichen einem wahrscheinlicheren Zustand zustrebt. Alle von selbst eintretenden Vorgänge in der Natur

sind so gerichtet, dass ein wahrscheinlicherer Zustand durch sie entsteht, zumindest aber kein unwahrscheinlicherer.

Der wahrscheinlichste Zustand in einem sich selbst überlassenen abgeschlossenen System ist der der völligen

Unordnung, in dem alle irgendwie gerichteten Zustände, wie Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsgefälle fehlen.

Es ist der Zustand, in dem jede Energieverdichtung an einer Raumstelle dadurch fehlt, dass eine vollkommen

gleichmäßige Verteilung stattfindet. Das ganze System befindet sich sodann auf einer gleichmäßigen Temperatur, oder

der Temperaturgradient hat an jeder Stelle des Temperaturfeldes die Größe Null.

Durch das Streben nach diesem Zustand wird Wärmeenergie von einem Ort höherer Temperatur zu einem Ort

niedrigerer Temperatur transportiert. Wenn an beiden Orten die gleiche Temperatur erreicht ist, endet der Vorgang. Der

Transport von einem Ort zu einem anderen kann durch

Konvektion,

Leitung und

Strahlung

erfolgen.

Bild 2-1: Ausbreitung von Wärme durch a Konvektion im Freien und im Raum, b Leitung im festen Körper, c

Strahlung im Freien, d Strahlung im Raum



Konvektion

Bei der Konvektion bewegt sich der die Wärme tragende Körper selbst von einem Ort zum anderen. Diese Art der

Ausbreitung durch gleichzeitigen Transport von Materie ist also nur bei gasförmiger oder flüssiger Materie möglich.

Die Konvektion ist infolge des Vorhandenseins von Temperaturdifferenzen im Innern des Körpers immer auch mit

Wärmeleitung verbunden, die jedoch gering ist und deshalb hier vernachlässigt werden kann.

Wärmeleitung

Bei der Wärmeleitung erfolgt kein Transport von Materie, sondern nur ein Energietransport durch die Stoßwirkung der

schneller bewegten Moleküle des wärmeren Teils des Körpers. Die Wärmeleitung ist an Materie gebunden.

Strahlung

Bei der Wärmestrahlung findet die Übertragung der Wärme von einem Körper zu einem anderen in Form

elektromagnetischer Schwingungen ohne Mitwirkung von Materie statt. Die Sonne sendet uns ihre wärmenden Strahlen

zu, ohne dass der leere Weltraum erwärmt wird.

Ausbreitung von Wärme in festen porösen Körpern durch Dampfdiffusion

Bild 2-2: Wärmeausbreitung durch Dampfdiffusion: (1) Wassertransport durch Kapillare, (2) Verdunsten des Wassers

in Luftpore (endotherm), (3) Kondensation des Dampfes (exotherm)

2.1.3 Das Temperaturfeld und der Temperaturgradient

Jedes zeitlich und räumlich veränderliche Temperaturfeld eines Körpers lässt sich durch eine Funktion

t)z,y,(x, Gl. 2-7

mit = T + 273,15 K Temperatur in °C,

x, y, z kartesische Raumkoordinaten

t Zeit

beschreiben.

Flächen oder Kurven gleicher Temperatur heißen Isotherme. Der Normalenvektor auf einer Isothermenfläche ist der

Temperaturgradient

z,

y,

xgrad Gl. 2-8

Er hat die Einheit [K/m] (Grad Kelvin pro Meter).



Bild 2-3: Temperaturfeld mit Isothermenflächen

2.1.4 Konvektion

Am Übergang von einem wärmeleitenden Festkörper zu einem gasförmigen Wärmeträger entsteht in einer Grenzschicht

auf Grund des thermischen Auftriebs eine Strömung. Als Transportmedium von Wärme wird hier nur die Luft

behandelt. Bei der freien Konvektion stellt sich ein Luftstrom infolge von Dichtedifferenzen der Luft ein, die durch

Temperaturdifferenzen, dem Temperaturgradient, entstehen. Ursache der Temperaturdifferenzen sind Wärmequellen,

wie z. B. Heizkörper oder warme Bauteiloberflächen. Daneben entsteht ein Geschwindigkeitsgefälle, da die

Luftgeschwindigkeit innerhalb der Grenzschicht von der mittleren Strömungsgeschwindigkeit auf den Wert Null auf der

Festkörperoberfläche absinken muss. Die Strömung kann laminar oder turbulent sein. Bei der erzwungenen Konvektion

wird der Luftstrom durch zusätzlich vorhandene Druckdifferenzen beschleunigt. Luftdruckdifferenzen können z.B.

durch Wind oder durch mechanische Lüftungsanlagen hervorgerufen werden. Die Strömung ist dann überwiegend

turbulent.

Bild 2-4: Wärmestrom K

Die durch die Luftmenge VL = AdL im Zeitraum t transportierte Wärmemenge QK hat die Größe

dtQ

t

KK

Gl. 2-9

mit dem Wärmestrom

)(dt

dVc 12

LLLK . Gl. 2-10



Dabei ist cL die spezifische Wärmekapazität und ρL die Dichte der Luft. Wird für einen spezifischen auf die Oberfläche

A bezogenen Luftstrom der Strömungsgeschwindigkeit dt/dVL der Konvektionskoeffizient Kh in W/(m²K)

eingeführt, dann lässt sich analog zum Newtonschen Abkühlungsgesetz schreiben

A)(h 12KK . Gl. 2-11

2.1.5 Wärmeleitung

Als messbare Größe der durch Wärmeleitung in einem Zeitintervall dt transportierten Wärmemenge Q dient der

Wärmestrom =(x,y,z) in Watt. Die auf t und auf ein Flächenstück dA einer Isothermenfläche bezogene in

senkrechter Richtung hindurchfließende Wärmemenge ist die Dichte q=(qx, qy, qz) des Wärmestroms in Watt/m². Dann

ist der Wärmestrom normal zu den Isothermenflächen eines Körpers gerichtet, was in Bild 2-5 durch die

Wärmestromlinie dargestellt wird.

Bild 2-5: Richtung des Wärmestroms

Durch diese Festlegung sind Temperaturgradient und Wärmestrom bis auf das Vorzeichen gleichgerichtet. Für die hier

behandelte Wärmeschutzfunktion von Gebäuden kann ohne Einschränkungen angenommen werden, dass unabhängig

von der Temperatur der Wärmestrom dem Temperaturgefälle proportional ist und damit für die Wärmestromdichte gilt

grad~q

. Gl. 2-12

Als Proportionalitätsfaktor wird die Baustoffeigenschaft der Wärmeleitfähigkeit in W/(mK) eingeführt und es ergibt

sich damit für homogene, isotrope Stoffe, sofern sich ihr Aggregatzustand nicht ändert, die konstitutive Gleichung der

Wärmeleitung

z,

y,

xλgradλq

Gl. 2-13

Die Rechenwerte der Wärmeleitfähigkeit für verschiedene Baustoffe sind in DIN 4108-4 angegeben.

Die Integration von q über ein Zeitintervall t und ein Teilstück A einer Isothermenfläche, deren Neigung im Raum

durch den Normalenvektor nA beschrieben wird, liefert die Wärmemenge Q in Ws

t A

AdAdtnqQ

Gl. 2-14



Mit Gl. 2-14 können nun alle Fragen zu Wärmeströmungen innerhalb eines Körpers auf die Beschaffenheit des

Temperaturfeldes zurückgeführt werden. Dieses Temperaturfeld lässt sich mit Hilfe der von Fourier aufgestellten

Differentialgleichung beschreiben.

Bild 2-6: Energiebilanz in x-Richtung am Volumenelement dV

Besitzt das in Bild 2-6 dargestellte Volumenelement dV keine innere Wärmequelle, dann muss die Differenz der

Wärmemenge aus Zu- und Abstrom im Zeitintervall dt gleich der im Volumenelement gespeicherten Wärmemenge

sein. Wird zunächst nur der Wärmestrom in x-Richtung betrachtet, dann folgt für die Energiebilanz in den zeitlichen

Änderungen von innerer Energie und einwirkender Wärme

dAdt)qq(dQdxdAdtt

cdU dxxxxx

. Gl. 2-15

Wird der Wärmestrom qx = qx(x) in der Umgebung von x in eine Taylorreihe entwickelt und nur die linearen

Änderungen berücksichtigt, so ergibt sich

dAdtdxx

qdAdt))dx

x

qq(q(dAdt)qq(dQ xx

xxdxxxx

. Gl. 2-16

Durch Einsetzen in die Energiebilanz folgt die von Fourier aufgestellte Differentialgleichung der eindimensionalen

Wärmeleitung

)x

(xx

q

tc x

. Gl. 2-17

Für den allgemeinen Fall der dreidimensionalen Wärmeleitung folgt dann

)grad(div)z

(z

)y

(y

)x

(x

qdivt

c

Gl. 2-18

Die spezifische Wärmekapazität c gibt die Wärmemenge in Ws oder Joule (J) an, die eine Stoffmenge von 1 kg bei

einer Temperaturänderung von 1 K entweder aufnimmt oder abgibt.

Sofern die Wärmeleitfähigkeit neben der Temperaturunabhängigkeit auch ortsunabhängig ist, lässt sich Gl. 2-18 auch

in der Form

c²z

²

²y

²

²x

²

ct Gl. 2-19

mit als Laplace – Operator schreiben. Diese Gleichung (mit allen Abwandlungen) wird nach ihrem Entdecker als die

Fourier – Gleichung bezeichnet.



Befindet sich innerhalb des betrachteten Volumens eine Wärmequelle mit der Leistungsdichte I in W/m³, ist diese auf

der rechten Seite von Gl. 2-18 zu addieren. Für ein temperaturunabhängiges ergibt sich dann

cct

. Gl. 2-20

Solche Wärmequellen können z.B. die auf einer Bauteiloberfläche absorbierte Sonnenstrahlung oder eine

Fußbodenheizung sein.

Lösung der DGl für instationäre eindimensionale Wärmeleitung

Im allgemeinen Fall ist eine instationäre Berechnung nur numerisch möglich. In wenigen Sonderfällen existieren

überschaubare und einfache analytische Lösungen.

Die Lösung der Fourierschen Differentialgleichung soll im Folgenden für ein eindimensionales Temperaturfeld in x-

Richtung in einem homogenen Körper ohne Wärmequellen gezeigt werden. Die Differentialgleichung lautet dann

2

2

xtc

, Gl. 2-21

für die bei Heindl (1966) eine zeitlich periodische Lösung zu finden ist. Er führt zunächst in Gl. 2-21 die Variable

x Gl. 2-22

ein und erhält damit

2

2

tc

1

. Gl. 2-23

Wird als Lösungsansatz das zeitlich periodische Temperaturfeld

v

l

tvi

v ea2

1t, Gl. 2-24

mit den Ansatzfunktionen av gewählt, und die Zeit- und Ortsableitungen

v

l

tvi

v el

via

2

1

t Gl. 2-25

und

v

l

tvi

''v2

ea2

12

Gl. 2-26

in Gl. 2-23 eingesetzt, so folgt

v

l

tvi

v''v 0ea

l

vica

2

1 Gl. 2-27

1 Die Wurzel aus dem Produkt (c) wird auch als Wärmeeindringkoeffizient bezeichnet. Dieser beschreibt das Verhalten eines Materials bei kurzzeitigen

Wärmeströmungsvorgängen. Je kleiner der Wärmeeindringkoeffizient ist, desto schneller ändert sich die Oberflächentemperatur des Stoffes bei einer Änderung des Wärmestromes.



Für die nichttriviale Lösung folgt daraus ein Satz von Differentialgleichungen

0al

vica v

''v

Gl. 2-28

Mit Hilfe der Abkürzung

l

vicw2

v

Gl. 2-29

lässt sich für Gl. 2-28 schreiben

0awa v2v

''v Gl. 2-30

Die allgemeine Lösung von Gl. 2-30 lautet

vvvvvv wshwBwchAa . Gl. 2-31

Die Lösung dieser Gleichung kann nur über die Randbedingungen erfolgen. Für gegebene Oberflächentemperaturen an

der Stelle x = = 0 ergibt sich der Parameter Av zu

0aA vv . Gl. 2-32

Die Differentiation von Gleichungen Gl. 2-31

vvvvvv'v wchwBwshwAa . Gl. 2-33

liefert an der Stelle = 0

0aw

1B '

vv

v . Gl. 2-34

Damit kann Gl. 2-31 auch in der Form

vv

'vvvv wsh

w

10awch0aa Gl. 2-35

geschrieben werden, und Gleichung Gl. 2-33 entsprechend

v'vvvv

'v wch0awshw0aa . Gl. 2-36

Die Temperaturverteilung t, ergibt sich nun durch Einsetzen der Beziehung Gl. 2-35 in die Gl. 2-24

v

l

tvi

v

v

'vvv ewsh

w

10awch0a

2

1t, . Gl. 2-37



Der Wärmestrom

v

l

tvi

'v ea

2

1 Gl. 2-38

ergibt sich durch Einsetzen von Gl. 2-36 zu

v

l

tvi

v'vvvv ewch0awshw0a

2

1 Gl. 2-39

Zur Beschreibung des Wärmeleitverhaltens eines Körpers können die Phasenverschiebung

l2c

d

, Gl. 2-40

die die zeitliche Verschiebung des Auftretens der Temperaturhöchstwerte beschreibt, und das

Temperaturamplitudenverhältnis

mean,e,smax,e,s

mean,i,smax,i,sTAV

, Gl. 2-41

als Kenngröße der Dämpfung der periodischen Temperaturwelle, dienen.

Wie stark die Temperaturwelle gedämpft wird, richtet sich nach den oben bereits erwähnten Stoffwerten , und c der

Schichten des Bauteils, den Schichtdicken und auch nach der Anordnung der einzelnen Schichten. Je kleiner TAV ist,

desto gleichbleibender ist der Tagesverlauf der Wandoberflächentemperaturen s,i.



Bild 2-7: Verlauf der Oberflächentemperatur s,i als Reaktion auf gegebenen sinusförmigen Temperaturverlauf s,e

Bild 2-8: Verlauf der Oberflächentemperatur s,i als Reaktion auf den sinusförmigen Verlauf von s,e für einen Stoff mit

der spezifischen Wärmekapazität c = 0



Wenn das Temperaturfeld (x,y,z) eines isotropen Körpers nicht von der Zeit abhängt ( / 0t ) wird dieser Zustand

als stationär oder Beharrungszustand bezeichnet. Es gilt dann nach Gl. 2-19

0c

. Gl. 2-42

Für den einfachen Fall der eindimensionalen Wärmeleitung in x-Richtung folgt

0²x

²

. Gl. 2-43

Die zweifache Integration liefert

21 cxcx . Gl. 2-44

Die Bestimmung des Temperaturverlaufs wird im folgenden für zwei unterschiedliche Kombinationen von

Randbedingungen durchgeführt:

a Fall 1 b Fall 2

Bild 2-9: Eindimensionale stationäre Wärmeleitung in einem einschichtigen Bauteil

Fall 1: Für die Randbedingungen

i,s

e,s

dx

0x

Gl. 2-45

folgt mit den Oberflächentemperaturen s,e und s,i

dc

c

e,si,s1

e,s2

Gl. 2-46

und damit für den Temperaturverlauf

e,se,si,s

xd

x

Gl. 2-47



der also innerhalb eines isotropen Körpers linear ist.

Der Wärmestrom x , der innerhalb des Bauteils aufgrund der Temperaturdifferenz fließt, hat dann die Größe

Ad

Adx

dAq

e,si,sxx

. Gl. 2-48

und ist konstant.

Fall 2: Für die Randbedingungen

e,s

e,s

0xdx

d

0x

Gl. 2-49

folgt mit den Oberflächentemperaturen s,e und der auf der Oberfläche (x = 0) wirksamen Einstrahlung s,e in W/m²

e,s1

e,s2

c

c

Gl. 2-50

und damit für den Temperaturverlauf

e,se,s

xx

Gl. 2-51

und die Oberflächentemperatur bei x = d

e,se,si,s

ddx

Gl. 2-52

Die stationäre Berechnung liefert ohne großen Rechenaufwand für die meisten wärmeschutztechnischen Probleme des

Bauwesens hinreichend genaue Ergebnisse.

2.1.6 Strahlung

Wenn Strahlungsenergie in Form von elektromagnetischen Wellen (s. Tabelle 2.1) einen Körper trifft, so wird sie von

diesem in drei Teile zerlegt. Ein Teil R wird an der Oberfläche des Körpers reflektiert. Der Rest dringt in den Körper

ein, wovon ein Teil A vom Körper absorbiert und ein Teil D durchgelassen wird. Hat die auftreffende Strahlungsenergie

die Größe , so gilt

1darDAR

1d,a,r0 Gl. 2-53

Diese drei Größen sind vom Stoff, der physikalischen Oberflächenbeschaffenheit des Körpers und von der Wellenlänge

der auffallenden Strahlen abhängig.



Tabelle 2.1: Einteilung elektromagnetischer Wellen

Für den Reflexionsgrad r wird auch die Abkürzungs, für den Absorptionsgrad a die Abkürzungs und für den

Durchlassgrad d die Abkürzung g verwendet. Alle drei Werte sind dimensionslos.

Bei blanken Metallen ist das Reflexionsvermögen für alle Strahlen sehr groß. Das Durchlassungsvermögen der Metalle

ist sehr gering; die Metalle sind schon in verhältnismäßig dünnen Schichten für alle Strahlen undurchlässig.

Undurchsichtige Körper (Bild 2-10) werden als opak bezeichnet und für sie gilt der Zusammenhang zwischen dem

Absorptionsgrad und dem Reflexionsgrad

1ar SS . Gl. 2-54

Bild 2-10: Opaker Körper

Die absorbierte und in Wärme umgewandelte Strahlungsenergie hat die Größe

SAS,q Gl. 2-55

und die reflektierte Wärmeenergie die Größe

SRS,q Gl. 2-56

mit der Strahlungsintensität I (senkrecht zur Bauteiloberfläche) in W/m².

Die im gewöhnlichen Sinne durchsichtigen Körper haben für die sichtbaren Teile des Strahlungsspektrums ein hohes

Durchlassungsvermögen. Sie können dabei aber für die nicht sichtbaren Teile vollständig undurchlässig sein. So lässt

z.B. Glas bis zu 70% aller auffallenden sichtbaren Strahlungsenergie hindurch, während es für die ultravioletten und

infraroten Strahlen fast vollständig undurchlässig ist (Bild 2-11). Dies führt unter anderem zum sogenannten

Treibhauseffekt (Aufheizen von Räumen).

Wellenlänge in [m] Bezeichnung

< 0,01 Röntgen-, Gamma-, Höhenstrahlung

0,01 – 0,4 Ultraviolettstrahlung (UV)

0,4 – 0,8 Sichtbare Strahlung (Licht)

0,8 – 400 Infrarotstrahlung (IR)

> 400 Mikro-, Rundfunkwellen



Bild 2-11: Durchgangskoeffizient von Normalglas

Bild 2-12: Teilweise transparenter Körper

Für transparente Bauteile gilt nach Bild 2-12 und Bild 2-59 die Bedingung

1gSS . Gl. 2-57

Das Absorptionsvermögen für die sichtbaren Strahlen ist bei allen dunkel gefärbten Körpern sehr groß. So absorbiert

z.B. eine Rußschicht schon in sehr geringer Dicke fast alles sichtbare Licht.

Ein idealer Körper, der die gesamte auftreffende Strahlungsenergie absorbiert, der also Licht weder reflektiert noch

durchlässt, erscheint in der Aufsicht und in der Durchsicht schwarz und wird deshalb als schwarzer Körper bezeichnet

(S = 1, s = g = 0). Die Absorption beruht darauf, dass die Energie der den Körper treffenden Strahlung im Körper in

Wärmeenergie umgewandelt wird. Hierdurch wird die Temperatur des absorbierenden Körpers erhöht. Daher kann die

Menge der absorbierten Energie dadurch bestimmt werden, in dem die Temperaturerhöhung gemessen wird.



Ein ideal weißer Körper oder idealer Spiegel reflektiert die auftreffende Strahlung vollständig (S = g = 0, s = 1).

Weicht die Temperatur eines Körpers von seiner Umgebung ab, so setzt, selbst wenn sich der Körper in einem

vollkommenen Vakuum befindet, von selbst ein Temperaturausgleich ein. Die Geschwindigkeit des Ausgleichs hängt

unter sonst gleichen Bedingungen von der Oberflächengröße und der Oberflächenbeschaffenheit des Körpers ab. Der

Austausch erfolgt durch elektromagnetische Wellen im Allgemeinen ziemlich großer Wellenlänge, nur bei sehr hohen

Temperaturen liegt ein Teil derselben im Sichtbaren. Diese Art des Temperaturausgleichs wird als Wärmestrahlung

bezeichnet.

Hat ein Körper die Temperatur seiner Umgebung angenommen (oder umgekehrt), dann hat sich ein

Strahlungsgleichgewicht eingestellt, und der Körper sendet genau die Strahlung aus, die er absorbiert. Das

Temperaturgleichgewicht wird also nicht als ein Ruhezustand angesehen, sondern als ein Austausch der Energie des

Körpers mit seiner Umgebung derart, dass die Temperatur des Körpers unverändert bleibt. Das Strahlungsgleichgewicht

gilt nur unter der Voraussetzung, dass die vom Körper absorbierte Strahlung A vollständig in Bewegungsenergie der

schwingenden Moleküle des Körpers, also in Wärmeenergie, umgewandelt wird und dass die Quelle der vom Körper

ausgesandten Strahlung E die dem Körper auf Grund seiner molekularen Bewegung innewohnende Wärmeenergie ist.

Eine solche Strahlung wird auch als Temperaturstrahlung bezeichnet. Eine Umwandlung von z.B. Strahlung in

chemische Energie oder umgekehrt wird also ausgeschlossen.

Schon einfachste Beobachtungen zeigen, dass die Strahlungsleistung eines strahlenden Körpers mit steigender

Temperatur anwächst. Diese Erscheinung wird durch das Gesetz von Stefan und Boltzmann

4

E,S Tq Gl. 2-58

mit der Stefan–Boltzmann–Konstanten = 5,7710-8

W/(m²K4) beschrieben.

Boltzmann hat dieses Gesetz theoretisch hergeleitet und dabei gezeigt, dass es streng genommen nur für die

Abstrahlung des schwarzen Körpers in ein Vakuum gültig ist.

Die nach Gl. 2-58 berechenbare Strahlungsleistung qs,e kann mit Hilfe des Planckschen Strahlungsgesetzes

1e

c

d

dq

T

c

5

1

2

Gl. 2-59

mit

16

1 1074,3c [Wm2]

01439,0c2 [mK]

Wellenlänge [m]

absolute Temperatur [K]

q Wärmefluss [Wm-2

]

Wärmestromdichte

in ihre von der Wellenlänge abhängigen Anteile zerlegt werden, wie in Bild 2-13 dargestellt.



Bild 2-13: Spektrales Emissionsvermögen in Abhängigkeit der Körpertemperatur

Da die Temperaturen aller strahlenden Teile von Gebäuden, in denen sich Menschen aufhalten, in der Regel in den

Grenzen -30°C < < +50°C liegen, lässt sich eine einfache Abschätzung ihrer Strahlungsleistung dadurch angeben,

dass das Gesetz von Stefan und Boltzmann Gl. 2-58 in der Nähe des Gefrierpunktes T0 von Wasser durch eine Taylor-

Entwicklung

......TTT4TTq 030

40E,S Gl. 2-60

linearisiert wird.

Mit K273T0 und 0TT in °C folgt

7,4320T4Tq 30

40E,S in W/m². Gl. 2-61

Alle uns zugänglichen Stoffe haben einen Absorptionsgrad a < 1. Hat a für alle Wellenlängen den gleichen Wert, so

wird ein solcher Körper als ein grauer Strahler bezeichnet und die von seiner Oberfläche abgestrahlte Energie hat die

Dichte

4

E,S Tq . Gl. 2-62

Für den dimensionslosen Emissionsgrad e wird auch die Abkürzung verwendet. Die elektrischen Nichtleiter

entsprechen mit sehr guter Näherung dem grauen Strahler.



Bild 2-14: Wärmetransport durch Strahlung

Stehen sich ein opaker Körper 1 mit der thermodynamischen Temperatur T1 und ein opaker Körper 2 mit T2 gegenüber,

deren gegenüberstehende Oberflächen unendlich groß und parallel sind und die die Strahlung

4

111,E,S Tq und 4222,E,S Tq Gl. 2-63

emittieren, so wird von jedem Körper auch ein Teil der Gegenstrahlung absorbiert

4221

21,A,S Taq und 4

1121

2,A,S Taq . Gl. 2-64

Die jeweils reflektierten Anteile, z. B. vom Körper 2

4

1122,R,S T)a1(q Gl. 2-65

erfahren erneute Absorption, z. B. qS,R,2 absorbiert vom Körper 1

4

11212,R,S11

1,A,S T)a1(aqaq . Gl. 2-66

Der von qS,R,2 vom Körper 1 reflektierte Anteil wird teilweise vom Körper 2 reflektiert und schließlich zum Teil vom

Körper 1 absorbiert

4

1121211

1,A,S T)a1)(a1)(a1(aq Gl. 2-67

und zum anderen Teil erneut reflektiert und so weiter. Damit wird das Bildungsgesetz deutlich und es lässt sich mit der

Abkürzung

1)a1)(a1(m 12 Gl. 2-68

für die insgesamt auf diese Weise vom Körper 1 absorbierte Strahlungsmenge schreiben

1 2 4

S,A,1 2 1 1 1q =(1-a )a 1 m m ... ε σ T . Gl. 2-69

Die vom Körper 2 emittierte, zunächst vom Körper 1 und dann vom Körper 2 reflektierte und schließlich vom Körper 1

absorbierte Strahlungsenergie hat die Größe

422121

21,A,S T)a1)(a1(aq Gl. 2-70

und damit insgesamt

2 2 4

S,A,1 1 2 2q a 1 m m ... ε σ T . Gl. 2-71



Mit der Summenformel der geometrischen Reihe

m1

1m...mm1

0i

i2

für m < 1 Gl. 2-72

ergibt sich die Wärmebilanz für den Körper 1

1,A,S1,E,S1,S qqq Gl. 2-73

mit

2,R,S2,E,S112,S11,A,S qqaqaq . Gl. 2-74

Daraus folgt

m1

1TaTa)a1(Tq 4

2214

11124

111,S

Gl. 2-75

und nach wenigen einfachen Umformungen

2121

4221

4112

1,Saaaa

TaTaq

. Gl. 2-76

Dieser Prozeß des wechselseitigen Energietransports führt schließlich nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik

zum Zustand

0qTTT 1,S21 . Gl. 2-77

und damit zu einer ausgeglichenen Wärmebilanz.

Diese Bedingung in Gl. 2-76 eingesetzt, führt auf das Kirchhoffsche Gesetz

)T(a

)T(

)T(a

)T(

2

2

1

1

, Gl. 2-78

Das Verhältnis von Emissions- und Absorptionsgrad ist also bei allen Körpern der Temperatur T gleich. Für den Fall,

dass Körper 2 ein schwarzer Körper mit 2 = 1 und a2 = 1 ist, folgt für den beliebigen Körper 1 und insbesondere für den

grauen Strahler, für dessen Absorptionsgrad a() = a gilt

)T(a)T( . Gl. 2-79

Dieses Ergebnis lässt sich ohne Einschränkung auch auf reale Körper, die selektiven Strahler, deren Emissionsgrad

wellenabhängig ist, in der Form

)T,(a)T,(e . Gl. 2-80

übertragen.



Bild 2-15: Strahlungsmenge in Abhängigkeit der Wellenlänge

So wie für den Strahlungsaustausch zwischen zwei unendlich großen und parallelen Flächen kann der

Strahlungsaustausch zwischen einem konvexen Körper mit der Oberfläche A1 und seiner Umhüllung mit der Oberfläche

A2 angegeben werden. Unter der Voraussetzung, dass der Körper 1 von jedem Punkt der Fläche A2 gesehen werden

kann, gilt

2121

4221

4112

1,Saaaa

TaTaq

mit

2

1

A

A . Gl. 2-81

Für den Strahlungsaustausch zwischen zwei in Bild 2-16 dargestellten Flächen beliebiger Lage kann unter der

Annahme, dass die Oberflächen diffus strahlen, geschrieben werden

21422

4111,S )TT(q . Gl. 2-82

Bild 2-16: Strahlungsaustausch zwischen zwei Flächen beliebiger Lage



mit der mit Hilfe des Lambertschen Kosinussatzes bestimmten Einstrahlzahl

21

A A

2

21

121 dAdA

s

coscos

A

1

1 2

. Gl. 2-83

Mit der zuvor eingeführten Linearisierung des Gesetzes von Stefan und Boltzmann Gl. 2-63 in der Nähe des

Gefrierpunktes T0 von Wasser kann nun für den Strahlungsaustausch in Gl. 2-82 die lineare Abschätzung

)(hq 21S1,S mit 21S 7,4h Gl. 2-84

mit dem Strahlungskoeffizienten hS und unter der Voraussetzung angegeben werden, dass beide Oberflächen gleiches

Emissions- und Absorptionsverhalten besitzen.

2.2 Meteorologische Einflüsse

2.2.1 Sonnenstrahlung

Die auf ein Gebäude auftreffende Sonnenstrahlung setzt sich aus direkter, diffuser und reflektierter Strahlung

zusammen, die in ihrer Summe als Globalstrahlung oder Strahlungsintensität I bezeichnet wird. Ihre Größe ist von einer

Fülle von Parametern abhängig. Neben der geographischen Lage ist die Globalstrahlung von der Orientierung der

bestrahlten Fläche abhängig Bild 2-23a-c. So ist die einfallende Strahlungsmenge am größten, wenn die Fläche ständig

so ausgerichtet wird, dass die Sonnenstrahlung senkrecht auf sie trifft.

Bild.2-17: Heliotrop von Architekt Rolf Disch



Bild 2-18: Globalstrahlung

Der zeitliche Verlauf der Globalstrahlung ist nicht vorhersagbar. Durch die statistische Auswertung langjähriger

Messreihen (Bild 2-18) lässt sich jedoch die zu erwartende Strahlungsmenge für einen bestimmten Standort abschätzen.

Eine informative Form der Auswertung der Messdaten ist die Häufigkeitsverteilung der Tagessummen über einen

Monat (Bild 2-19), die z. B. eine Abschätzung der Überheizung eines Raumes durch Sonnenstrahlung möglich macht.

Von praktischer Bedeutung ist die horizontale Fläche und sind verschieden orientierte vertikale Flächen, für die die

mittleren monatlichen Tagessummen in Bild 2-24 angegeben sind.

Bild 2-19: Häufigkeitsverteilung der Tagessummen für Lausanne im März



Von Kasten (1981) wurden die über 10 Jahre gemittelten Stundensummen der direkten und diffusen Sonnenstrahlung

auf eine horizontale Fläche für jeden Monat zusammengestellt. Näherungsweise kann die Verteilung der Summen in der

Stunde des Sonnenhöchststandes (12h TLT, True Local Time) über das Jahr analytisch dargestellt werden. Für die

direkte Strahlung kann dies in der Form

182

dcosba)d(B BBHZ

in Wh/m² Gl. 2-85

mit d = 1, ..., 365 und z. B. für Hamburg aB = 132 Wh/m² und bB = 110 Wh/m² und für die diffuse Strahlung

182

dcosba)d(D DDHZ

in Wh/m² Gl. 2-86

mit d = 1, ..., 365 und z. B. für Hamburg aD = 192 Wh/m² und bD = 122 Wh/m² geschehen. Mit diesen aus stündlichen

Messungen resultierenden Werten kann die Verteilung über den Tag abgeschätzt werden

r

HZHh2

hcosB),d,h(B

Gl. 2-87

und

r

HZHh2

hcosD),d,h(D

Gl. 2-88

mit 0DB HH für 0h2

hcos

r

,

wobei hier die wahre Ortszeit und die Zeit des Sonnenaufgangs hr im Bogenmaß nach Tabelle 2.2 einzusetzen sind.

Tabelle 2.2: Sonnenstand und wahre Ortszeit h (TLT) in Stunden, Grad und Bogenmaß

Für die geographische Breite berechnet sich der Sonnenaufgang für 0 < < 66°33‘ (Polarkreis) aus

)tantanarccos(hr , Gl. 2-89

und der Sonnenuntergang aus

rs hh Gl. 2-90

wobei die Deklination für jeden Tag des Jahres aus

25,365

d360sin45,23 Gl. 2-91

mit d = 0 für den 21. März zu bestimmen ist. Aus der Näherung Gl. 2-87 und Gl. 2-88 ergibt sich schließlich die

Stundensumme der Globalstrahlung auf eine horizontale Fläche zu

),d,h(D),d,h(B),d,h( HHH , Gl. 2-92

wie für Hamburg in Bild 2-20 dargestellt. Den Verlauf der sich daraus ergebenden Tagessummen zeigt Bild 2-21.

Sonnenstand N E S W N

Stunden 0 6 12 18 24

Grad -180 -90 0 90 180

Bogenmaß /2 0 /2



Bild 2-20: Näherung für den Verlauf der mittleren monatlichen Stundensummen der Globalstrahlung (hier für

Hamburg)

Bild 2-21: Jahresverlauf der mittleren monatlichen Tagessummen der Globalstrahlung



Der Azimuthwinkel der Sonne hat die Größe

cos

)hsin(cossin

Aus den Strahlungswerten für horizontale Flächen kann nun die Strahlungsintensität auf unterschiedlich orientierte und

geneigte Flächen berechnet werden. Der zu diesem Zweck im folgenden beschriebene Algorithmus transformiert die

Strahlung von der einen auf die andere Fläche unter Berücksichtigung des Sonnenstandes nach den Gesetzen der

Trigonometrie und den in Bild 2-22 angegebenen Winkeln. Aus dieser Transformation sind auch die meisten

Tabellenwerte entstanden, da Messungen nur in begrenztem Umfang vorliegen.

Bild 2-22: Winkel zur Bestimmung der globalen Einstrahlung auf geneigte Flächen

Die Orientierung der Fläche wird durch den Azimuthwinkel gemäß Tabelle 2.3 festgelegt.

Tabelle 2.3: Azimuthwinkel einer Gebäudefläche

Orientierung N E S W

±180° -90° 0° 90°

Die Neigung gegenüber der Horizontalen wird mit bezeichnet, wobei für eine senkrechte Wand = 90° gilt. Für die

Globalstrahlung ergibt sich damit nach Kasten (1981)

)2

cos1)(DB(2

cosDsin

cosB),,,d,h( 2

HHs2

HH

. Gl. 2-93

Darin ist der Winkel zwischen Sonnenstrahl und Flächennormale und der Höhenwinkel der Sonne. Für diese gilt

)hsin(cosC)hcos(cosCsinCcos 321 Gl. 2-94

mit

sinsinC

cossinsincoscosC

coscossinsincosC

3

2

1

Gl. 2-95

und

)hcos(coscossinsinsin Gl. 2-96

mit 1sin .

Wie aus Gl. 2-93 zu erkennen ist, setzt sich die Globalstrahlung jetzt nicht mehr nur aus der direkten und diffusen

Strahlung zusammen. Für geneigte Flächen kommt noch ein Teil reflektierter Strahlung der Umgebung hinzu, der, wie

der Teil der diffusen Strahlung, nur von dem Neigungswinkel abhängig ist.



Die Anwendung der Transformation auf die in Bild 2-21 dargestellte Näherung der Globalstrahlung IH für Hamburg

zeigen die Bild 2-23a-c. Hier sind die sich daraus ergebenden Tagesverläufe der Stundensummen für die senkrechte

Nord-, Ost-, Süd- und Westwand für den 21. März, Juni und Dezember dargestellt. Bild 2-24 zeigt die zugehörigen

Tagessummen während eines Jahres.

Bild 2-23a: Näherungsweiser Tagesverlauf der Stundensummen der Globalstrahlung für verschieden gerichtete Flächen

(hier für Hamburg)

Bild 2-23b: Näherungsweiser Tagesverlauf der Stundensummen der Globalstrahlung für verschieden gerichtete Flächen

(hier für Hamburg)



Bild 2-23c: Näherungsweiser Tagesverlauf der Stundensummen der Globalstrahlung für verschieden gerichtete Flächen

(hier für Hamburg)

Bild 2-24: Näherungsweiser Jahresverlauf der Tagessummen der Globalstrahlung für verschieden gerichtete Flächen

(hier für Hamburg)



2.2.2 Außenklima

Da der Wärmestrom proportional dem Temperaturgefälle ist (Gl. 2-11), besitzt die Außentemperatur mit ihrer

stündlichen und jahreszeitlichen Änderungen zentrale Bedeutung. Bild 2-25 zeigt beispielhaft den Tagesverlauf der

Außentemperatur an einem Frühlingstag in Norddeutschland.

Bild 2-25: Tagesverlauf der Außentemperatur

2.3 Eindimensionaler Wärmedurchgang

Die Schutzfunktion eines Gebäudes im Sinne von Wärmeschutz besteht darin, eine für den Verwendungszweck eines

Innenraumes des Gebäudes erforderliche Innentemperatur i zu gewährleisten. Die Größe der hierzu erforderlichen

Heizleistung hängt insbesondere von der Temperatur der Luft, die das Gebäude umgibt, der Außentemperatur e ab. Die

Differenz von Innen- und Außentemperatur i - e verursacht einen Wärmestrom , der u. a. seinen Weg nimmt

durch Konvektion und Strahlung von der Luft des Raumes (i) auf die innere Oberfläche der Raum- oder

Gebäudehülle (s,i),

durch Wärmeleitung von der inneren (s,i) zur äußeren Oberfläche (s,e) der Raum- oder Gebäudehülle,

durch Konvektion und Strahlung von der äußeren Oberfläche (s,e) der Raum- oder Gebäudehülle zur Luft der

Umgebung oder Außenluft (e).

Dieser Weg des Wärmestroms wird als Wärmedurchgang bezeichnet. Für den Fall i - e > 0 ist ein Teil des

Transmissionswärmeverlustes durch eine Fläche A der Raum- oder Gebäudehülle, der nur durch seinen Betrag

Aq Gl. 2-97

angegeben wird. Bei der Fläche A handelt es sich meist um die äußere Oberfläche der Kellersohle, der Außenwände,

der Fenster, des Daches oder allgemein die äußere Oberfläche von Bauteilen der Raum- oder Gebäudehülle.



Von Raumhülle wird dann gesprochen, wenn das betrachtete Bauteil der Hülle nicht an die Außenluft, sondern an einen

unbeheizten Raum grenzt. Ein Bauteil der Gebäudehülle grenzt entweder an die Außenluft oder an das Erdreich.

Wenn auch der Wärmestrom im allgemeinen ein dreidimensionaler Vorgang ist, wird er zur Begrenzung des

Planungsaufwandes für das einzelne Bauteil auf ein eindimensionales Problem senkrecht zur Bauteiloberfläche

reduziert, in dem die Wärmeströme der anderen Richtungen vernachlässigt werden. Ist dies ökologisch oder

wirtschaftlich nicht vertretbar, wenn daraus entweder ein übermäßiger Energieverbrauch, dann wird von Wärmebrücken

gesprochen, oder unwirtschaftliche Schutzmaßnahmen (z. B. übermäßige Dämmstoffdicken) resultieren, werden diese

Wärmeströme durch einfache Abschätzungen auf die betrachtete Richtung senkrecht zur Bauteiloberfläche

transformiert.

2.3.1 Der Wärmedurchgang durch ein einschichtiges Bauteil

Ein einschichtiges Bauteil besteht in seiner gesamten Bauteildicke d senkrecht zu seinen beiden parallelen Oberflächen

gemessen aus einem Baustoff. Die Stoffdichte des Bauteils ist in allen drei Richtungen so verteilt, dass für den

stationären Zustand nach Gl. 2-48 der Wärmedurchgang durch den konstanten Wärmestrom in x-Richtung senkrecht zu

den Oberflächen

A)(d

A)(h

e,si,s2,x

i,sii1,x

x

)(H

A)(U

A)(h

ei

!

ei

!

ee,se3,x

Gl. 2-98

ausreichend genau beschrieben werden kann. Der Wärmedurchgangskoeffizient U hat dann die Größe

ei

ei

RRR

1

h

1d

h

1

1U

in W/(m²K) Gl. 2-99

und H ist der spezifische Wärmeverlust.



Bild 2-26: Wärmedurchgang eines einschichtigen Bauteils

Der Wärmedurchgangskoeffizient U, der „U-Wert“ (früher der k-Wert) ist die wichtigste Kenngröße des

Wärmeschutzes. Er kennzeichnet die Größe des Wärmedurchgangs durch ein Bauteil. Der Wärmeschutz eines Bauteils

ist um so besser, je geringer der Wärmedurchgang, d.h. je kleiner der U-Wert ist.



Der Wärmedurchlasskoeffizient

R

1

d

in W/(m²K) Gl. 2-100

ist der Quotient aus Wärmeleitkoeffizient und Bauteildicke d. Sein Kehrwert heißt Wärmedurchlasswiderstand R.

Neben den flächenbezogenen Wärmeübergangskoeffizienten

i,Si,Ki hhh und e,Se,Ke hhh

mit hK nach Gl. 2-11 und hS nach Gl. 2-84 und Anhang A der DIN EN ISO 6946 werden auch ihre Kehrwerte, die

Wärmeübergangswiderstände Ri und Re verwendet, so dass sich in einfacher Weise der Wärmedurchgangswiderstand

eiT RRRR Gl. 2-101

definieren lässt.

Bild 2-27: Wärmedurchlasskoeffizient und Wärmedurchlasswiderstand R einer Dämmschicht mit =0,04 W/(m²Km)

2.3.2 Der Wärmedurchgang durch ein mehrschichtiges Bauteil

Da ein Bauteil der Gebäudehülle in der Regel nicht nur die hohen Anforderungen zum Zweck des energiesparenden

Wärmeschutzes zu erfüllen hat, sondern auch Anforderungen an die Tragfähigkeit, Gebrauchstauglichkeit und

Dauerhaftigkeit, besteht es selten aus einer Stoffschicht. Es gibt nur wenige Stoffe, die sowohl eine geringe

Wärmeleitfähigkeit als auch große Festigkeit und Steifigkeit besitzen. Selbst die in dieser Hinsicht günstigen

Eigenschaften des Holzes sind heutzutage nicht mehr ausreichend. Daher bestehen Bauteile aus mehreren Schichten, die

jede für sich eine der erwähnten Anforderungen optimal erfüllt.



Bild 2-28: Wärmedurchgang eines mehrschichtigen Bauteils

Analog zu Gl. 2-100 ergibt sich der Wärmedurchlasswiderstand R zu:

n

1i i

in

1i

i

dRR Gl. 2-102

Der Wärmedurchgangswiderstand RT berechnet sich wie zuvor aus der Bestimmungsgleichung Gl. 2-101 und der

Wärmedurchgangskoeffizient U aus Gl. 2-99.



2.3.3 Der Wärmedurchgang infolge Einstrahlung

In der passiven Sonnenenergienutzung sind zwei in ihrer physikalischen Wirkungsweise verschiedene Systeme zu

unterscheiden, je nachdem ob die Gebäudehülle opak oder für kurzwellige Strahlung teilweise transparent ist.

a opake Gebäudehülle b teilweise transparente Gebäudehülle

Bild 2-29: Einstrahlung der Sonne

Im Fall der opaken Hülle (Bild 2-29a) wird auf der Oberfläche j Sonnenstrahlung der Intensität S,jFS,j absorbiert und

damit in Wärmeenergie umgewandelt, was zu einer erheblichen Steigerung der Oberflächentemperatur s,e führen kann.

Dabei ist S,j die von der Ausrichtung der Fläche Aj abhängige Strahlungsintensität, der Absorptionsgrad der

Oberfläche und FS,j der Abminderungsfaktor für die Verschattung. Von dort gelangt nur ein kleiner Teil qS der

Wärmeenergie direkt durch Wärmeleitung in das Gebäudeinnere und kann genutzt werden (direkter Energiegewinn),

während der größere Teil S,jFS,j - qS durch langwellige Abstrahlung und Konvektion an die Außenluft verloren geht.

Im Fall der teilweise transparenten Hülle (Bild 2-29b) dringt die kurzwellige Sonnenstrahlung von der Intensität

gS,jFS,j direkt bis in das Gebäudeinnere ein (Bild 2-11) und wird dort (nach mehrmaliger Reflexion) absorbiert

(direkter Energiegewinn). Der größere Teil qS der Wärmeenergie wird dann langwellig in den Innenraum abgestrahlt

und konvektiert, wo er genutzt werden kann. Diese Wirkungsweise transparenter Hüllen wurde bereits als

Treibhauseffekt beschrieben.

Zur quantitativen Abschätzung der Sonnenenergiegewinne qS können beide Fälle auf ein Zwei-Schichten-Problem

reduziert werden. Dabei besteht die rechte Schicht aus opakem Material mit der Wärmedurchlasszahl und dem

Wärmeübergang hr zur Luft auf der rechten Seite mit dem Wärmedurchlasswiderstand

rh

11

1U

Gl. 2-103

Der Wärmeübergangsbereich zur Luft auf der linken Seite wird durch die zweite Schicht mit der Wärmeübergangszahl

hl simuliert.



Bild 2-30: Zwei-Schichten-Modell

Die kurzwellige Globalstrahlung S trifft auf die linke Oberfläche Aj des opaken Materials, deren Teil (1- FS,j)Aj

verschattet ist, wo dann in Abhängigkeit der Orientierung j der Fläche ein Teil

jj,Sj,Sj,S AF Gl. 2-104

absorbiert wird. Bei einer stationären Betrachtung ergibt sich für den Wärmestrom, der durch die opake Schicht geleitet

wird,

j,S

l

j,S

l

rh

U

Uh

U

in W Gl. 2-105

und für den Anteil, der durch langwellige Abstrahlung und Konvektion links an die Luft abgeführt wird,

j,Sj,S

l

ll

U

U

Uh

h

in W Gl. 2-106

Die Verteilung stellt sich also sehr einfach proportional der Transmissionsfähigkeit hl und U' der beiden Schichten ein.

Wird dieses allgemein gültige Ergebnis auf das in Bild 2-31a dargestellte Modell der von außen bestrahlten opaken

Gebäudehülle übertragen, so ist hl = he und hr = hi.



a b

Bild 2-31: Modelle für a opake Hülle und b teilweise transparente Hülle

Als Abschätzung folgt damit für die im Innenraum nutzbare Sonnenenergie nach Gl. 2-105

j,Se

Sh

U . Gl. 2-107

Da im allgemeinen der äußere Wärmeübergang he (z. B. he = 25 W/m²K) sehr viel größer ist als U (z.B.

U = 0,5W/m²K), liefert eine opake Außenhülle nur einen geringen Sonnenenergiegewinn (< 2%). Die

Oberflächentemperatur der opaken Hülle infolge der Absorption hat nach Gl. 2-52 die Größe

j,Se

ee,sh

1 , Gl. 2-108

die deutlich über der im äußeren Wärmeübergangskoeffizienten in Gl. 2-84 berücksichtigten Oberflächentemperatur

liegen kann. Die dann auftretende größere Abstrahlung wird in DIN EN 832 und DIN V 4108-6 bei der Berechnung der

Strahlungsgewinne durch den äußeren Abstrahlungskoeffizienten hr berücksichtigt

jerrfj,Sj,Se

S A)hFF(h

U mit

3ssr )273(4h , Gl. 2-109

dem arithmetischen Mittel aus der Oberflächentemperatur und der Temperatur des Himmels ss = 10°C und der

Differenz der Temperatur der Umgebungsluft und der Himmelstemperatur er = 10 K. Der Formfaktor Ff

berücksichtigt entsprechend 1,2 in Gl. 2-84 Lage und Geometrie der Oberfläche. Für nicht verschattete waagerechte

Dächer kann Ff = 1 und für nicht verschattete senkrechte Wände Ff = 0,5 angenommen werden.

Da die Oberflächentemperatur opaker Bauteile der Gebäudehülle während des Tages erheblich über der der Nacht

liegen kann, können übermäßige Beanspruchungen der Hülle durch Wärmespannungen und thermische Verformungen

auftreten.

Das Modell in Bild 2-31b beschreibt den in Bild 2-29b dargestellten Raum, auf dessen opaken Teil der Raumhülle

innen die kurzwellige Strahlung

jj,Sj,Sj,S AFg Gl. 2-110

auftrifft.



Die Fläche Aj des teilweise transparenten Teils der Raumhülle, z. B. ein Fenster, wird als die wirksame Kollektorfläche

bezeichnet. Es gilt hier hl = hi und hr = hi,e. Die Absorptionszahl der inneren opaken Flächen kann im allgemeinen zu

= 1 angenommen werden, da infolge der vielfältigen Brechung der Strahlung im Innenraum nur ein sehr geringer Teil

kurzwelliger Strahlung durch die teilweise transparente Hülle wieder nach außen abstrahlt. Der in Gl. 2-103 in U' zu

berücksichtigende Wärmeübergang kann zwischen hi und he variieren

ei,h

11

1U

, Gl. 2-111

da die opake Schicht sowohl an beheizte oder unbeheizte Innenräume als auch an die Außenluft angrenzen kann. Sein

Einfluss auf die Abschätzung ist jedoch gering. Die linke Schicht repräsentiert den inneren Wärmeübergang hi. Als

Abschätzung folgt damit aus dem Modell für den Sonnenenergiegewinn nach Gl. 2-106

jj,Sj,S

i

iS AFg

Uh

h

. Gl. 2-112

Da auch der innere Wärmeübergang hi (z. B. hi = 8 W/m²K) wesentlich größer als U' (z. B. U' < 1 W/m²K) sein wird,

kann der größte Teil (> 90 %) der durch ein Fenster eindringenden Sonnenenergie im Innenraum genutzt werden.

Bei der Speicherwand in Bild 2-32 wird die kurzwellige solare Einstrahlung S zunächst durch das Glas und dann von

der opaken Wandfläche reflektiert, so dass der absorbierte Teil die Größe


hat. Die opake Wand mit dem inneren Wärmeübergang wird wie beim Beispiel der opaken Hülle durch die rechte

Schicht simuliert. Die linke Schicht simuliert hier jedoch zusätzlich zum äußeren Wärmeübergang den Wärmeübergang

zwischen Glas und opaker Wand, wobei der Durchlasswiderstand des Glases selbst bei Einfachverglasung

vernachlässigt werden kann.

Bild 2-32: Speicherwand

Dann folgt

Le

Tl

h

1

h

1

1hh

, Gl. 2-114



wobei der Index T für Trombewand steht. Mit he = 25 W/m²K und hL = 6 W/m²K ergibt sich hT = 5 W/m²K. Dies zeigt,

dass sich der Energiegewinn

j,ST

Sh

U Gl. 2-115

im Vergleich zum Beispiel der opaken Hülle bei sonst gleichen Voraussetzungen wesentlich vergrößert (8 %). Diese

Abschätzung berücksichtigt nicht die Wirkung der bei einer Wärmespeicherwand üblichen Luftzirkulation.

Aus der Abschätzung des Energiegewinns in Gl. 2-115 wird deutlich, dass dieser sich erheblich steigern ließe, wenn

anstelle des gut wärmeleitenden Einfachglases eine durchsichtige, aber gut wärmedämmende Schicht verwendet würde.

An der Entwicklung solcher Stoffe wird seit fast 20 Jahren gearbeitet. Sie werden als transparente Wärmedämmung

bezeichnet. Ein Beispiel ist in Bild 2-33 dargestellt.

Bild 2-33: Transparente Wärmedämmung

2.3.4 Der Wärmedurchgang durch unbeheizte Räume ohne und mit Einstrahlung

Da der Wärmestrom von einem beheizten Raum durch einen unbeheizten Raum nach außen, wenn keine

Einstrahlung vorhanden ist, der Differenz von Innenraumtemperatur i und Außenlufttemperatur e proportional und

damit auf dem Weg von innen nach außen konstant ist, muss gelten

i

i,e,ue,uu,i . Gl. 2-116

Bild 2-34: Wärmedurchgang durch unbeheizten Raum



Mit der konstitutiven Beziehung Gl. 2-48 ergibt sich aus der Gleichheit der einzelnen Wärmeströme

)(AU)(AU eu

k

k,e,uk,e,ue,uuiu,iu,iu,i Gl. 2-117

oder mit den spezifischen Wärmeverlustkoeffizienten H nach Abs. 4.5 der EN ISO 13789 und Abs. 6.1.3 der DIN V

4108-6

)(H)(H eu

k

k,e,uuiu,i Gl. 2-118

die Bestimmungsgleichung für die Temperatur u des unbeheizten Raumes

e

u,i

ui

k

k,e,u

uu

H

H

H

H

Gl. 2-119

Dieses Ergebnis in Gl. 2-117 eingesetzt, liefert die Größe des Wärmestroms

)(H

AU

1

AU

1 eiu

k

k,e,uk,e,uu,iu,i

ei

.

Gl. 2-120

Wenn die äußere Gebäudehülle transparent ist, wird auf der außenseitigen Oberfläche Ai,u,j der Innenwand solare

Strahlung von der Größe


absorbiert. Die Abschätzung der Sonnenenergiegewinne verglaster Anbauten kann in ähnlicher Weise wie für die

Speicherwand erfolgen, obwohl zwischen Glas und innenliegender Wand durch den großen Abstand ein

Zwischentemperaturbereich (ZTB) existiert.

Bild 2-35: Verglaster Anbau

Im Unterschied zur Speicherwand ist aber die äußere Glasfläche Au,e nicht mehr gleich der dahinterliegenden

Wandfläche, die nicht nur aus einer opaken Fläche Ai,u,p, sondern auch aus einer transparenten Fläche Ai,u,w bestehen

kann. Für die opake Wandfläche ergibt sich daher, bezogen auf 1 m² wirksame Kollektorfläche Ai,u,p,j



ijp,u,i,ieu,eeu,

jp,u,i,ZTBl

h1/Ah1/Ah1/A

1/Ahh

Gl. 2-122

und damit als nutzbare Sonnenenergie für den Innenraum

j,S

ZTB

ZTBj,S

ZTB

Sh

H

Uh

U

Gl. 2-123

und für den Zwischentemperaturbereich

j,SZTB

ZTBS

Uh

h

. Gl. 2-124

Der Energiegewinn durch eine transparente Wandfläche Ai,u,w kann wie zuvor für das Fenster nach Gl. 2-112

abgeschätzt werden. Er ist jedoch geringer, da sich wegen der Reflexion der äußeren Verglasung (ge) und der

Glasfläche (gi,u) der innenliegenden Trennwand die Einstrahlung ergibt zu

j,w,u,ij,Sj,Su,iej,S AFgg . Gl. 2-125

Bild 2-36: Zusammenstellung der solaren Wärmegewinne besonderer Bauteile



2.4 Mehrdimensionaler stationärer Wärmestrom – Wärmebrücken

Die bisherigen Betrachtungen über den eindimensionalen Wärmedurchgang beschränkten sich auf Teile der

Gebäudehülle mit konstanter Dicke und homogenem Material, für die angenommen werden konnte, dass die Isothermen

nicht wesentlich von einem zu den Bauteiloberflächen parallelen Verlauf abweichen. Dies trifft für Bauteile zu, die wie

in Bild 2-37 zylindrische Gestalt besitzen (Radius r). Für den Sonderfall r sind die Bauteile eben mit parallelen

Oberflächen und von unendlicher Ausdehnung.

Bild 2-37: Zylindrische Gebäudehülle mit konzentrischen Isothermen

Überall dort, wo von diesen materiell und geometrisch idealen Zuständen wesentlich abgewichen wird, muss der

Wärmefluss zumindest in zwei Richtungen (Bild 2-38), die sich dann gegenseitig beeinflussen, betrachtet werden. Der

Grund hierfür liegt darin, dass zum einen die raumseitigen Oberflächentemperaturen deutlich unter und zum anderen

die Wärmeströme deutlich über denen einer eindimensionalen Betrachtung liegen können.

Bild 2-38: Energiebilanz am Volumenelement dV

Aus der allgemeinen Fourierschen Differentialgleichung Gl. 2-19 folgt analog zum eindimensionalen Fall, der in

Gleichung Gl. 2-43 beschrieben wurde, für den stationären zweidimensionalen Fall die Laplacesche

Differentialgleichung

0yx 2

2

2

2

. Gl. 2-126

Für isotropes Material lässt sich dafür auch schreiben, wenn die konstitutive Beziehung in Gl. 2-13 beachtet wird,



0y

q

x

q yx

, Gl. 2-127

woraus zu erkennen ist, dass die Änderung des Wärmestroms beim Durchströmen eines Flächenelementes dxdy in

einer Richtung zunehmen muss, wenn sie in der anderen Richtung abnimmt. Für die Laplacesche Differentialgleichung

existieren nur für einige spezielle Randbedingungen analytische Lösungen, so dass für die im folgenden beschriebenen

baupraktischen Anwendungen immer nur Lösungen auf numerischem Weg zu finden sind. Zu diesem Zweck wird das

Temperaturfeld in Gl. 2-7 zum Zeitpunkt t durch diskrete Temperaturen in Rasterpunkten oder Knoten mit endlichen

Abständen x, y ersetzt, wie es in Bild 2-39 dargestellt ist.

Bild 2-39: Zweidimensionales Knotennetz zur numerischen Modellierung des Wärmetransports in der Gebäudehülle

Eine einfache Bestimmung der Temperatur im Knoten 0 ist dann möglich, wenn die Annahme zulässig ist, dass der

Wärmeaustausch zwischen dem Knoten 0 und den ihm benachbarten Knoten 1,2,3 und 4 durch die eindimensionale

Wärmeleitungsgleichung Gl. 2-47 beschrieben werden kann.

Für den Wärmestrom z. B. zwischen dem Knoten 0 und dem Knoten 1 kann entsprechend Gl. 2-48 geschrieben werden

10111,0 A)( . Gl. 2-128

Werden die endlichen Knotenabstände x,y als Längen- und Breitenabschnitte eines ebenen Bauteils angesehen, so

kann das Temperaturfeld jedes Bauteils durch die Temperaturen einer endlichen Anzahl n von Knoten modelliert

werden. Es ergeben sich dann aus der Wärmestrombilanz jedes Knotens

0m,il,ik,ij,i

und unter Berücksichtigung der Randbedingungen (Temperatur- und Wärmestromrandbedingungen) n Gleichungen

vom Typ

i

4

1i

i

i

4

1i

ii

0

A

A

mit ,x

31

,

y42

A1 = A3 = y und A2 = A4 =x Gl. 2-129



d.h. ein lineares algebraisches Gleichungssystem, für die n Knotentemperaturen. Diese Algebraisierung der

Differentialgleichung stellt ein numerisches Lösungsverfahren dar, das dann zuverlässige Ergebnisse liefert, wenn

mathematisch der Beweis geführt werden kann, dass für x,y0 die diskreten Temperaturen, d.h. die numerische

Lösung, gegen die wahre Lösung des Temperaturfeldes konvergiert. Solche Beweise liefern Konvergenzkriterien, wie

z.B. höchst zulässige Knotenabstände. Zur Validierung des Näherungsverfahrens sind Hinweise im Anhang A der

DIN EN ISO 10211-1:1995 zu finden.

Schon für das in Bild 2-40 dargestellte einfache praktische Beispiel eines ebenen Bauteils, dessen linker Teil aus einem

Wärmedämmstoff und dessen rechter Teil aus Beton besteht, kann eine analytische Lösung nur mit sehr großem

Aufwand gefunden werden. Der zu erwartende Verlauf der Isothermen lässt sich jedoch qualitativ in Bild 2-40

eintragen, wenn das Abklingmaß a bekannt ist. In der Regel beträgt dieses Maß einige Dezimeter.

Bild 2-40: Einfachstes Beispiel eines nicht oberflächenparallelen Verlaufs der Isothermen

Die einfachste Form eines numerischen Modells für das Beispiel in Bild 2-40 ist in Bild 2-41 dargestellt. Die

Knotenabstände wurden hier bewusst so gewählt, d. h. maximal, dass das nicht zu den Bauteiloberflächen parallele

Temperaturfeld gerade noch erfasst wird.



Bild 2-41: Numerisches Modell

Für dieses Modell ergibt sich das lineare Gleichungssystem zu

0STL mit

e6i5

e2i1

3

2

1

6544

4433

3321

0S,T,

0

0

L

Gl. 2-130

und die Lösung lautet

654

e6i52

654

43

321

e2i12

321

31

654321654321

6543e2i1e6i543212

)()()()(

)()()()(

Bereits anhand dieses einfachen und natürlich unbefriedigenden Modells wird deutlich, dass zweidimensionale

Wärmestromprobleme einer Handrechnung nicht mehr zugänglich sind. Um aus den Lösungen das Temperaturfeld in

Bild 2-40 mit der dort gewählten Auflösung darstellen zu können, bedarf es wesentlich kleinerer Knotenabstände, was

die Anzahl der Unbekannten oder Knotenfreiwerte und damit den gesamten Berechnungsaufwand selbst bei

Verwendung komfortabler Computersoftware deutlich vergrößert. Da die daraus resultierenden Planungskosten in

keinem angemessenen Verhältnis zum wirtschaftlichen Nutzen stehen, kann der Einfluss lokaler Diskontinuitäten,

sogenannter Wärmebrücken, auf den Wärmestrom durch die Gebäudehülle durch längenbezogene

Wärmebrückenverlustkoeffizienten , auch als längenbezogene Wärmedurchgangs-koeffizienten bezeichnet, und

punktbezogene Wärmebrückenverlustkoeffizienten , auch als punktbezogene Wärmedurchgangskoeffizienten

bezeichnet, berücksichtigt werden. Zu diesem Zweck wird der thermische Leitwert LD

k

k

j

jj

i

iiD AUL in W/K EN ISO 13789 Gl. 2-131

eingeführt, der ein Teil des spezifischen Wärmeverlustkoeffizienten

...LLH SDT Gl. 2-132

mit

LS nach DIN EN ISO 13370 ist, der den Transmissionswärmestrom

)(H eiT Gl. 2-133

eines Gebäudes liefert. Der spezifische Wärmeverlust wurde erstmals in Gl. 2-98 durch die Abkürzung H eingeführt,

ohne dass dort seine Bedeutung erkennbar wurde.



Zur Bestimmung des längenbezogenen Wärmebrückenverlustkoeffizienten eines Teils einer Hüllkonstruktion (s.a.

Anhang C der DIN EN ISO 10211-1:1995 und DIN EN ISO 14683:1999) wird durch ein numerisches Verfahren, wie

oben beschrieben, der längenbezogene thermische Leitwert L2D

bestimmt, der sich für das Beispiel in Bild 2-41 ergibt

zu

z

2

1i

i,yi

!

ei

e3z2,y6e1z1,y2D2 U)(

)()(L

Gl. 2-134

mit

21

links1 11

1UU

und

65

rechts2 11

1UU

Gl. 2-135

Zur Konkretisierung des in Bild 2-40 dargestellten Teils einer Gebäudehülle dient in Bild 2-42 der Querschnitt einer

Außenwand aus Leichtbeton, die durch Stützen aus Normalbeton verstärkt wird, und in Bild 2-43 der Querschnitt einer

Außenwand in Holztafelbauart.

Bild 2-42: Leichtbetonwand mit Normalbetonstütze aus Wolfseher (1980), = 0,9 W/(m∙K) entsprechend

Wärmebrücke P4 der Tabelle 2 in DIN EN ISO 14683:1999



In Bild 2-42 zugrunde gelegte Daten und Randbedienungen:

Normalbeton: = 2,0 W/(m K) C = 2400 kJ/(m3 K)

Leichtbeton: = 0,2 W/(m K) C = 500 kJ/(m3 K)

Ri = 0,13 (m2 K)/W Re = 0,04 (m

2∙K)/W

i = 20°C e = -10°C

UStütze = 3,72 W/(m2 K) UWand= 0,86 W/(m

2 K)

Bild 2-43: Außenwand in Holztafelbauart, = 0,027 W/(m∙K) nach Hauser und Stigel (1992)

Bild 2-42 und Bild 2-43 zeigen deutlich, dass materielle Diskontinuitäten auf der einen Seite zu höheren

Energieverlusten und auf der anderen Seite zum Absinken der Oberflächentemperaturen in diesen Bereichen

(gegebenenfalls sogar unter die Taupunkttemperatur) führen können, weshalb sie dann als Wärmebrücken bezeichnet

werden.

Wärmebrücken können nach ihren Ursachen unterschieden werden in

materialbedingte Wärmebrücken, die durch den Wechsel von der Wärmeleitfähigkeit innerhalb von

Bauteilschichten entstehen, wie zuvor beschrieben,

geometrisch bedingte Wärmebrücken, die vor allem bei einer Änderung der Gestalt und der Abmessungen eines

Bauteils, bzw. bei Kanten oder Ecken auftreten,

massenstrombedingte Wärmebrücken, die bei einem Materialtransport mit Energieübertragung (z.B.

Luftundichtheit, Wasserleitungen durch Bauteile) entstehen und

umgebensbedingte Wärmebrücken, die durch örtlich unterschiedliche Oberflächentemperaturen von Bauteilen (z.B.

bei Heizkörpern) entstehen.



Bild 2-44: Wärmestrom und Isothermen einer geometrisch bedingten Wärmebrücke

Das Temperaturfeld der in Bild 2-45 dargestellten Gebäudeecke mit homogenem Wandaufbau zeigt, dass jede

Außenecke eine Wärmebrücke darstellt. Die Oberflächentemperatur an der Bauteilinnenseite nimmt zur Ecke hin ab,

weil die Oberfläche der Gebäudehülle auf der Außenseite größer ist als auf der Innenseite. Erst in ausreichender

Entfernung a von der Ecke verlaufen die Isothermen parallel zu den Bauteiloberflächen.

Bild 2-45: Linienförmige Wärmebrücken



Bild 2-46: Punkt- und linienförmige Wärmebrücken

Bild 2-47: Beispiel einer Gebäudeecke mit auskragender Deckenplatte und Fenster aus DIN EN ISO 10211-1

Bild 2-48: Wärmebrücken, für die in DIN EN ISO 14683 Verlustkoeffizienten angegeben sind

Geometriebedingte Wärmebrücken ergeben sich direkt aus dem Gebäudeentwurf und lassen sich nur dadurch

entschärfen, dass der Wärmestrom durch zusätzliche Dämmstoffschichten reduziert wird. Auf die Größe der Reduktion



hat die Lage der zusätzlichen Dämmstoffschicht einen erheblichen Einfluss, wie aus Bild 2-49 bis Bild 2-52 (Gertis,

1982) hervorgeht.

Dort besitzen die monolithische Wand ebenso wie die Wände mit Außen- oder Innendämmung einen

Wärmedurchgangswert U = 0,6 W/m2K. Für eine Temperaturdifferenz i - e = 20°C – (-10°C) = 30K folgt ohne

Berücksichtigung von Wärmebrücken eine Wärmestromdichte q = 0,6∙ 30 = 18 W/m2 einer ebenen Wand.

Bild 2-49: Außenecken

Schematische Darstellung von monolithischen, außen-

und innengedämmten Ausführungen von Außenecken

mit Angabe der prozentualen Wärmestromdichte.

Bild 2-50: Wandanschlüsse

Schematische Darstellung von monolithischen, außen-

und innengedämmten Ausführungen von

Innenwandanschlüssen an Außenwände mit Angabe

der prozentualen Wärmestromdichte.

Auf diese Wärmestromdichte beziehen sich die Prozentangaben in Bild 2-49 bis Bild 2-52, die einen mittleren

Wärmestrom beinhalten, der über die jeweilige Wärmebrücke einschließlich eines 11 m breiten Streifens abfließt und

auf die Innenoberfläche der Außenwand bezogen ist.

1 dem Abklingmaß a entsprechenden



Bild 2-51: Innenecken

Schematische Darstellung von monolithischen, außen- und

innengedämmten Ausführungen von Innenecken mit

Angabe der prozentualen Wärmestromdichte.

Bild 2-52: Deckenanschlüsse

Schematische Darstellung von monolithischen, außen- und

innengedämmten Ausführungen von Deckenanschlüssen

im Außenwandbereich mit Angabe der prozentualen

Wärmestromdichte.

[Gertis, 1982]

Dies gilt ebenso für materialbedingte Wärmebrücken, wie aus Bild 2-53 hervorgeht. Die Außendämmung führt zur

Tauwassergefahr im Bereich der Wärmebrücke, während bei einer Innendämmung die direkte Umgebung der

Wärmebrücke gefährdet ist.



Bild 2-53: Einfluss der Lage der Dämmstoffschicht auf die innere Oberflächentemperatur bei materialbedingter

Wärmebrücke nach Wolfseher (1980)

2.4.1 Bauteile mit nebeneinanderliegenden Bereichen unterschiedlicher Wärmedämmung

Gesucht wird der mittlere U-Wert des gesamten Bauteils, der sich aus den Einzelbereichen mit unterschiedlichem

Flächenanteil und unterschiedlicher Wärmedämmung ergibt (Bild 2-54).



Bild 2-54: Wärmedurchgang durch ein Bauteil bei einer materialbedingten Wärmebrücke

Nach DIN EN ISO 6946 ergibt sich der mittlere Wärmedurchgangswiderstand des Bauteils RT zu:

2

RRR

''T

'T

T

Gl. 2-136

mit R‘T oberer Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes

R‘‘T unterer Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes

Zu der Bestimmung des oberen Grenzwertes wird die Annahme getroffen, dass eindimensional Wärme durch das

Bauteil transportiert wird. Die sich daraus ergebenen einzelnen Wärmedurchlasswiderstände werden über die

Gesamtfläche gemittelt. Es gilt:

z

am Tm

m

Tz

z

Tc

c

Tb

b

Ta

a

'T

R

f

1

R

f.....

R

f

R

f

R

f

1R

Gl. 2-137

mit R‘T oberer Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes

fm Teilflächen des Abschnittes m

z

am

m 1f:giltes

RTm Wärmedurchgangswiderstand des jeweiligen Abschnittes m

se

n

1i

misiTm RRRR

Um bei einer Berechnung auch den Wärmefluss zu berücksichtigen, der innerhalb einer inhomogenen Schicht zwischen

dem Schichtaufbau auftritt, wird der untere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes verwendet, in dem der

Wärmedurchgangswiderstand jeder einzelnen Schicht flächenanteilig gemittelt wird.



z

am jm

m

jz

z

jc

c

jb

b

ja

aj

R

f

1

R

f.....

R

f

R

f

R

f

1R

Gl. 2-138

mit Rmj Wärmedurchgangswiderstand des Teilbereiches m der Schicht j

se

n

1j

jsi''T RRRR

Gl. 2-139

2.4.2 Der Wärmedurchgang durch Bauteile mit Luftschichten

Luftschichten in Bauteilen sind zunächst in

stehende (oder ruhende) Luftschicht und

belüftete Luftschicht

zu unterscheiden.

Der Wärmetransport in stehenden Luftschichten erfolgt ausschließlich durch Wärmeleitung und Wärmestrahlung. In

Tabelle 2.4 ist der Wärmedurchlasswiderstand R [m²K/W] für ruhende Luftschichten nach DIN EN ISO 6946

angegeben:

Tabelle 2.4: Wärmedurchlasswiderstand R in (m²K)/W für ruhende Luftschichten

Aufwärts Horizontal Abwärts

0 0,00 0,00 0,00

0,11 0,11

0,13 0,13 0,13

10 0,15 0,15 0,15

15 0,16 0,17 0,17

25 0,16 0,18 0,19

50 0,16 0,18 0,21

100 0,16 0,18 0,22

300 0,16 0,18 0,23

ANMERKUNG:Zwieschenwerte können mittels linearer

Interpolation ermittelt werden.

Richtung des WärmestromesDicke der

Luftschicht mm

In belüfteten Luftschichten hingegen findet zusätzlich zur Wärmeleitung und Wärmestrahlung noch Wärmekonvektion

statt. In DIN EN ISO 6946 wird in schwach und stark belüftete Luftschichten unterschieden:

Schwach belüftete Luftschichten

Eine Luftschicht gilt als schwach belüftet, wenn der Luftaustausch mit der Außenumgebung durch Öffnungen mit

folgenden Maßen erfolgt:

für vertikale Luftschichten: über 500mm² bis 1500mm² je m Länge

für horizontale Luftschichten: über 500mm² bis 1500mm² je m² Oberfläche

Als Bemessungswert des Wärmedurchlasswiderstandes einer schwach belüfteten Luftschicht kann die Hälfte des

Wertes einer äquivalenten stehenden Luftschicht Tabelle 2.4 angesetzt werden. Allerdings darf der

Wärmedurchlasswiderstand der Schicht zwischen Luftschicht und Außenumgebung einen Höchstwert von 0,15 m²K/W

nicht überschreiten. Ansonsten muss mit diesem Höchstwert gerechnet werden.



Stark belüftete Luftschichten

Eine stark belüftete Luftschicht liegt dann vor, wenn die Öffnung zwischen Luftschicht und Außenumgebung

für vertikale Luftschichten: 1500mm² je m Länge

für horizontale Luftschichten: 1500mm² je m² Oberfläche

überschreitet.

Der Wärmedurchlasswiderstand der stark belüfteten Luftschicht und aller anderen Bauteile, die zwischen Luftschicht

und Außenumgebung liegen, werden vernachlässigt. Anstatt dessen wird ein äußerer Wärmeübergangswiderstand

verwendet, der dem bei ruhender Luft entspricht, also gleich dem inneren Wärmeübergangswiderstand desselben

Bauteils ist.

2.4.3 Der Wärmedurchgang durch Fenster und Türen

Der Wärmedurchgang durch Fenster und Türen ist abhängig von den Wärmedurchgangskoeffizienten der Verglasung

Ug, des Rahmens Uf und vom längenbezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten als eine Kombination aus

Abstandhalter, Glas und Rahmen. Der Wärmedurchgangskoeffizient Uw eines Fensters hat damit die Größe

,U,UfU fgw . Gl. 2-140

und kann nach DIN EN ISO 10077-1 berechnet werden.

2.5 Energiebilanzierung

Der Energiehaushalt eines Gebäudes besteht aus Wärmeverlusten Q (Transmission und Lüftung) und Wärmegewinnen

Qg (Sonnenstrahlung, Geräte etc.), wobei die Verluste meist eindeutig überwiegen. Zum Ausgleich des Haushalts ist

daher die Zufuhr von Heizenergie Qh erforderlich, deren Menge sich aus der Bilanzierung des Energietransports auf der

Gebäudehülle ergibt.

Dabei führt der Energietransport an die Außenluft in Form von Konvektion und langwelliger Abstrahlung zu Verlusten,

während der Transport auf die Hülle in Form von langwelliger Strahlung der Atmosphäre, kurzwelliger

Sonnenstrahlung und Rückstrahlung der Umgebung zu Gewinnen führt. Sie können infolge Verschattungen stark

eingeschränkt sein, wie u. a. Mazria (1979) zeigt. In Tabelle 2.5 sind die wichtigsten Komponenten dieses

Energietransports zusammengestellt und ihre Größenordnungen angegeben.

Tabelle 2.5: Übersicht über den Energietransport auf der Gebäudehülle (: langwellig, s: kurzwellig)

1 Strahlung von Atmosphäre, Abhängig von:

Sonne und Umgebung

Mittelwert Wh/m²

1.1 1. u.a. Bewölkung

1.2 Globalstrahlung I (s) 2.

Direkte Sonnenstrahlung B 0<B<300

Diffuse Sonnenstrahlung D 0<D<400

Reflektierte Globalstrahlung

der Umgebung RU 3. s des Bauteils RB=sI

Oberflächentemperatur s

2 Strahlung der Gebäudehülle Emissionszahl

2.1 Refllektion der Globalstrahlung RB (s)

2.2 4. Temperaturdifferenz

Oberfläche- Aussenluft s-e

Wind

3 Konvektion s: 0,3 < < 2,5 m kurzwellig

Freie Konvektion Kf 1: 2,5 < < 40 m langwellig

Erzwungene Konvektion Ke sichtbar: 0,4 << 0,8 m

Emission E (1)

(inkl. Langwellige Reflektion)150<E<450

Standort, Bewölkung, Jahres- und Tageszeit,

Orientierung der bestr. Fläche Reflektivität

der Umgebung RU=RU s, B, D)

Infrarotrückstrahlung der Atmosphäre

A (1)200<A<400

0<R<100



2.5.1 Wärmegewinne

Die Globalstrahlung S, die in Bild 2-55 dargestellt ist, setzt sich nach Gl. 2-93 aus direkter (B) und diffuser Strahlung

(D) und der Rückstrahlung der Umgebung (RU) zusammen. Die auf der Gebäudehülle oder im Inneren des Gebäudes

absorbierte Strahlungsmenge hat die Größe S,j , wie z. B. in Gl. 2-104 und Gl. 2-113 angegeben. Die restliche

Strahlung R wird von der Hülle reflektiert. Nur ein Teil S der Strahlungsmenge S,j kann z. B. nach Gl. 2-105 oder

Gl. 2-112 als Gewinn

tQ Ss Gl. 2-141

im Zeitraum t für den Energiehaushalt verbucht werden. Der Zeitraum t kann sich über Stunden h, Tage d, Monate m

oder eine Heizperiode HP erstrecken. Die Länge der Heizperiode ist die Summe der Monate, für die die

durchschnittliche Außentemperatur unter der Solltemperatur liegt.

Bild 2-55: Auf ein Gebäude einwirkende Sonnenstrahlung

Der Anteil der langwelligen Strahlung A der Atmosphäre, der in Bild 2-56 auf der Gebäudehülle absorbiert wird,

beträgt A. Neben der Einstrahlung ist im langwelligen Bereich auch die Abstrahlung E der Gebäudehülle zu

berücksichtigen. Sie ist von der Oberflächentemperatur der Gebäudehülle abhängig und kann bei winterlichem Klima

dazu führen, dass s,e unter die Außenlufttemperatur e absinkt. Der aus der Bilanz von A und E noch verbleibende

Strahlungsverlust E wird über den Strahlungsanteil hS,e nach Gl. 2-84 des äußeren Wärmeübergangskoeffizienten he

berücksichtigt.

Bild 2-56: Gebäude mit langwelliger Ein- und Abstrahlung

Neben den solaren Wärmegewinnen gibt es die in Bild 2-57 eingetragenen internen Wärmegewinne



tAqQ Bii Gl. 2-142

mit dem flächenbezogenen internen Wärmegewinn qi in W/m² und der Bezugsfläche AB nach DIN V 4108-6. Die

Summe solarer und interner Wärmegewinne liefert die Gesamtwärmegewinne

iSg QQQ . Gl. 2-143

2.5.2 Wärmeverluste

Für den Energiehaushalt sind die in Bild 2-57 dargestellten vier Wärmeverlustgrößen von Bedeutung: der

Transmissionsverlust QT, der Lüftungsverlust QV, der Wärmeverlust für die Warmwasserversorgung QW und der

Energieumwandlungsverlust Qt der Anlagentechnik für Beheizung und Warmwassererwärmung.

Bild 2-57: Interne Wärmegewinne und Wärmeverluste

Die Summe von Transmissionsverlust QT und Lüftungsverlust QV bildet den Gesamtwärmeverlust

t))(HH(QQt)(HQ eiVTVTei Gl. 2-144

mit HT als spezifischem Transmissionswärmeverlust nach Gl. 2-132, der auch die Verluste HWB über Wärmebrücken

und die Verluste HS an das Erdreich enthält. Das Produkt (i - e)t stellt die Heizgradtage dar.

Die Bedeutung des Lüftungsverlustes QV ist durch die hohen Anforderungen, die an die Wärmedämmung eines

Gebäudes gestellt werden und zu Wärmedurchgangszahlen von U < 0,2 W/m²K führen, erheblich. So wird selbst in

Wohngebäuden mit Hilfe der Lüftungstechnik versucht, die Lüftung auf das für die Behaglichkeit (Komfort und

Hygiene) notwendige Maß zu reduzieren. Mit der Luftwechselzahl n in 1/h, die angibt, wie oft das Luftvolumen V in m³

mit der spezifischen Wärmekapazität

)Km/(Wh34,0cc 3LLaa Gl. 2-145

ausgetauscht wird, ergibt sich der Luftvolumenstrom

nVVt

V

, Gl. 2-146

und es folgt

t)(Ht)(cVQ eiVeiaaV

. Gl. 2-147



Die Lüftungsgewohnheiten der Bewohner von 67 Wohnungen wurden von Reiß, Erhorn und Ohl (2001) untersucht,

indem kontinuierlich über eine Heizperiode die Fensteröffnungszeiten gemessen und ausgewertet wurden. Das Ergebnis

der Messungen, woraus die große Varianz des Nutzerverhaltens hervor geht, zeigt Bild 2-58.

Bild 2-58: Mittlere Fensteröffnungszeiten während einer Heizperiode der untersuchten Wohnungen ohne und mit

Lüftungsanlage.

Der Wärmebedarf für die Warmwasseraufbereitung hat die Größe

)(VcQ 0wwwwW Gl. 2-148

mit der volumenspezifischen Wärmekapazität cww = 1,161 kWh/(m³K).

Der Energieumwandlungsverlust Qt, der Rauchgasverluste, Strahlungsverluste, innere Auskühlverluste und

Verteilungsverluste berücksichtigt, ergibt sich nach DIN EN 832 aus dem Jahreswirkungsgrad h<1 der Heizungsanlage

h

WhtWh

QQQQQ

. Gl. 2-149

2.5.3 Heizwärmebedarf

Der Heizwärmebedarf Qh ergibt sich aus der Bilanzierung des Wärmegewinns Qg und des Wärmeverlustes Q

gh QQQ , Gl. 2-150

sofern die Verluste überwiegen. Andernfalls ergibt sich ein Energieüberschuss, der dazu führt, dass es im Gebäude zu

unbehaglichen Innenraumtemperaturen i,ist > i,behaglich kommt. Dies ist der Fall, wenn z.B. im Sommer die

Sonnenstrahlung große Wärmegewinne liefert, wie in Bild 2-59 und Bild 2-60 angegeben. Die überschüssige Wärme

muss dann durch eine gezielte Erhöhung der Lüftungsverluste QV abgeführt werden.



a) stationäre Berechnung

b) instationäre Berechnung

Bild 2-59: Nutzbare und effektiv genutzte Sonnenenergie für einen Raum in Massivbauweise mit verglaster Loggia in

Lausanne an einem bedeckten Tag im März



a) stationäre Berechnung

b) instationäre Berechnung

Bild 2-60: Nutzbare und effektiv genutzte Sonnenenergie für einen Raum in Massivbauweise mit verglaster Loggia in

Lausanne an einem sonnigen Tag im März

Da die eine Überhitzung bewirkende Wärmemenge Qg nicht durch eine stationäre Rechnung und schon gar nicht mit

Monatsmittelwerten der Strahlungsmengen hinreichend genau bestimmbar ist, werden die Wärmegewinne durch einen

Ausnutzungsgrad < 1, dessen Graph =() in Bild 2-61 dargestellt ist, abgemindert



ggg QQQ . Gl. 2-151

Bild 2-61: Ausnutzungsgrad für Wärmegewinne

Ob es in einem Gebäude zu einer Überhitzung kommt oder nicht, hängt von dem Verhältnis von Wärmegewinn zu

Wärmeverlust

Q

Qg Gl. 2-152

und von der Zeitkonstanten

H

Cwirk Gl. 2-153

ab. Cwirk in Wh/K ist die wirksame Speicherfähigkeit, die von den für das Bauwerk verwendeten Baustoffen und ihrer

Anordnung abhängt. Bild 2-61 veranschaulicht diese Abhängigkeit für zwei Extremfälle. Wird ein Gebäude nicht

überheizt, weil es zum Beispiel über eine ideale Speicherfähigkeit Cwirk verfügt, so ist für <1 der

Ausnutzungsgrad =1. Ein solcher Gebäudetyp würde vorausgesetzt, wenn in der Energiebilanz monatlich die

Sonnenenergiegewinne, die aus den üblicherweise tabellierten mittleren monatlichen Tagessummen der Globalstrahlung

ermittelt wurden, mit den Monatssummen der Energieverluste verrechnet werden. Eine solche Bilanz liefert in jedem

Fall eine zu günstige Abschätzung des Heizwärmebedarfs Qh.

Besitzt das Gebäude keine Speicherfähigkeit mit Cwirk = 0, ergibt sich eine Kurve, die für kleine tangential in die

Gerade =1 einmündet. Dieser Gebäudetyp wird impliziert, wenn die Energiebilanz stündlich mit Hilfe von

Stundensummen der Globalstrahlung durchgeführt wird. Diese Bilanz liefert in der Regel eine zu ungünstige

Abschätzung des Heizwärmebedarfs Qh.



2.5.4 Energiebilanzierung und Wohnwert

Die Energiebilanzierung hat das Ziel, den Primärenergiebedarf Qp eines projektierten Gebäudes zu prognostizieren, und

damit Aussagen über die Güte einer Konstruktion und die Amortisation von Investitionen gewinnen zu können. Bei der

Beurteilung des Nutzens von verglasten Anbauten sollte die Energiebilanz nicht als einziges Kriterium herangezogen

werden, da der Nutzen solcher Baukörper nicht nur in ihrem günstigen Einfluss auf den Energiehaushalt liegt, sondern

zu einem wesentlichen Teil auch in ihrem hohen Wohnwert begründet ist. Zahlenmäßig lassen sich beide Einflüsse

durch das Verhältnis von jährlichem Heizenergiebedarf Qh zur Gebäudenutzfläche AN darstellen.

Zur Ermittlung des jährlichen Primärenergiebedarfs ist die Energiebilanzierung nach EnEV monatlich über eine

Heizperiode von Oktober bis Mai durchzuführen. Für Wohngebäude, deren Fensterflächenanteil kleiner als 30% ist,

kann ein vereinfachtes Periodenbilanzverfahren angewandt werden. Das Monatsbilanzverfahren ist in DIN EN 832 in

Verbindung mit DIN V 4108-6 und DIN V 4701-10 beschrieben. Der Rechenaufwand und damit die Planungskosten

der beiden zur Verfügung stehenden Rechenverfahren sind sehr unterschiedlich. Der Rechenaufwand richtet sich im

wesentlichen danach, ob stationär oder instationär, also ob ohne oder mit Berücksichtigung der zeitlichen Änderung des

Energietransports gerechnet wird. Bei Energiebilanzen über eine ganze Heizperiode kann im allgemeinen von

harmonischen Randbedingungen (Temperatur, Strahlung) mit einer Periode von 24 Stunden ausgegangen werden, wenn

mit über mehrere Jahre gemittelten Werten gerechnet wird. Ihre Amplituden ändern sich nicht sprunghaft von Tag zu

Tag, so dass eine stationäre Bilanzierung zur Prognose des jährlichen Heizenergiebedarfs zulässig ist.

Wie auch immer die Bilanzierung durchgeführt wird, ist die Beantwortung folgender Frage bei der Bearbeitung einer

konkreten Baumaßnahme nützlich:

Genügt eine stationäre oder führt nur eine instationäre Rechnung zu einer realistischen Prognose?

Mit welchem Fehler ist die Bilanzierung von vornherein durch mangelnde Kenntnisse über das Benutzerverhalten,

über Bauteileigenschaften, wie z.B. das Absorptionsverhalten, oder über Strahlungsdaten, behaftet?

Ist das Rechenergebnis anschaulich nachvollziehbar oder kann es durch eine Überschlagsrechnung, z.B. mittels

Abschätzungen, in seiner Tendenz verifiziert werden?

Die Antworten auf diese Fragen geben Auskunft, mit welchen Annahmen die verschiedenen Bilanzierungsmethoden

arbeiten und welcher Genauigkeitsgrad bei welchem Aufwand möglich ist. Es sollte dabei beachtet werden, dass die

Genauigkeit nicht zwangsläufig mit dem Aufwand ansteigt.

Bild 2-62: Energiebilanz



Bild 2-63: Jahres – Primärenergiebedarf aus Hauser (2002)

2.6 Zur Simulation thermischer Prozesse

Die Simulation thermischer Prozesse erfolgt in der Bauphysik ebenso wie die Simulation deformierbarer Körper in der

Baustatik in zwei Schritten, die beide als Näherungen zu verstehen sind. Im ersten Schritt wird der physikalische

Prozess durch ein mathematisches Gesetz in Form eines Differentialgleichungssystems ersetzt, im zweiten wird dieses

System beispielsweise durch Fourier-Analyse, Differenzenverfahren oder Finite-Element-Methode (FEM) algebraisiert.

2.6.1 Erster Schritt

In der Bauphysik wird dabei im ersten Schritt das eigentlich dreidimensionale Problem auf ein eindimensionales

reduziert. Der Wärmetransport durch ein als eben vorausgesetztes Bauteil der Dicke D und der Fläche A wird also nur

in Richtung der Flächennormalen, die in untenstehender Abbildung mit der x- Achse zusammenfällt, betrachtet. Dies

führt auf die bekannte eindimensionale Wärmegleichung (siehe Bild 2-64)



cρ∂T

∂t= λ

∂2T

∂x2 Gl. 2-154

In der T = (t, x)die von der Zeit t und dem Ort x abhängige Temperaturfunktion ist. Die spezifische Wärmekapazität c,

die Dichte ρ und die Wärmeleitfähigkeit λ sind Materialkennwerte. Die konstitutive Gleichung für die

Wärmestromdichte q lautet

q = −λA∂T

∂x[W] Gl. 2-155

Der Wärmestrom q in Richtung der Flächennormalen ist somit proportional dem Temperaturgradienten.

2.6.2 Vergleich zur Baustatik

Im Beharrungszustand ist dies die gleiche Gesetzmäßigkeit wie die für die Normalkraft p beim axial gedehnten Stab in

der Baustatik, die lautet

p = EAdU

dx[kN] Gl. 2-156

Auch hier wird das eigentlich dreidimensionale Problem auf ein eindimensionales reduziert. U = U (x) beschreibt die

Verschiebung jedes Punktes der Stabachse in x-Richtung, und E ist der Elastizitätsmodul. Ein Vergleich von Gl. 2-155

und Gl. 2-156 zeigt sofort, dass q und p, λ und E, T und U einander entsprechende Größen sind.

Für eine anschauliche Interpretation von Gl. 2-155 wird im weiteren angenommen, dass T und U, wie in den

nachstehenden Bildern Bild 2-64 und Bild 2-65 dargestellt, linear in x sind, was in der Regel auch praktisch der Fall ist.

Dann ergibt sich

q = −λAT2−T1

D Gl. 2-157

und

p = EAU2−U1

L Gl. 2-158

Wird nun der einfach baustatische Fall betrachtet, dass der Stab der Länge L an der einen Seite festgehalten wird

(U1 = 0) und an der anderen Seite mit der kraft p gezogen wird, wie im nachstehenden Bild 2-66 dargestellt, so

entspricht dies bauphysikalisch z.B. einer Wand der Dicke D mit einer fest vorgegebenen Temperatur T1 = 0 auf der

einen Seite (z.B. Außentemperatur) und einer Wärmequelle q (z.B. Heizung) auf der anderen Seite. Wenn E und λ

bekannt sind, können aus Gl. 2-157 und Gl. 2-158 sofort die noch unbekannten Größen T2 und U2 ermittelt werden.

Sind λ/D und E/L gleich, so ist auch T2 gleich U 2

Bild 2-64: Eindimensionale Wärmeleitung



Bild 2-65: Eindimensionale Stabdehnung

a Stabdehnung

b Wärmeleitung

Bild 2-66: Analogie von Stabdehnung und Wärmeleitung



a System

Lastfall 1: Einzellast

Lastfall 2: Stützenverschiebung

b Stabanalogie

Bild 2-67: Zweischichtiges Wärmeleitungsproblem- Standardproblem in der passiven Sonnenenergienutzung

Die Bedeutung dieser anschaulichen Interpretation wird erst deutlich, wenn die Analogie für komplexere thermische

Systeme benutzt wird. Obenstehendes Bild 2-67a zeigt hierzu ein für die passive Sonnenenergienutzung besonders

interessantes Beispiel. Es besteht aus zwei beliebigen Materialschichten, wobei Schicht 1 als Konvektion und Schicht 2

als Mauerwerk, das den Wärmestrom q in Form von Sonnenstrahlung absorbiert, interpretiert werden kann. Die Größe

der Wärmeströme q1 und q2 kann nun in Analogie zur Stabstatik aus der Summe der beiden in Bild 2-67b gezeigten

Lastfälle bestimmt werden. Bekanntlich verteilt sich die „Einzellast“ q auf die „Stäbe“ 1 und 2 entsprechend der Größe

ihrer „Steifigkeiten“ λi Ai/Di und verursachen die „Stützenverschiebungen“ Ti und Ta gleich große „Kräfte“ in beiden

„Stäben“. Die Gültigkeit des Superpositionsgesetzes, wie es aus der Baustatik bekannt ist, wird in Gl. 2-154 gezeigt.

Eine formelmäßige Darstellung dieser Zusammenhänge wird mit Absicht unterlassen, um den Eindruck zu vermeiden,

dass thermische Prozesse besser mi Hilfe baustatischer Methoden untersucht werden könnten. Bei diesem Vergleich

geht es vielmehr darum, die Parallelität zu dem Ingenieur und auch dem Architekten vertrauten Gesetzmäßigkeiten

aufzuzeigen, damit er thermische Prozesse zumindest qualitativ schneller überblicken kann.

2.6.3 Zweiter Schritt

Da eine analytische Lösung der Differentialgleichung Gl. 2-154 und der zugehörigen Randbedingungen nur für einfache

Systeme mit vertretbarem Aufwand möglich ist, ist die Algebraisierung des Problems als zweiter Schritt der Simulation

erforderlich. Die Vorgehensweise im Rahmen der FE-Methode, die für die Berechnung komplexer Tragwerke heute im

Bauwesen am häufigsten benutzt wird, wird im Folgenden am Beispiel des Systems im vorstehenden Bild 2-67a in

knapper Form erläutert.

2.6.4 Finite-Elemente-Formulierung

Entsprechend dem Kräftepotential in der Baustatik wird ein Funktional П definiert1,

П =1

2∫ λ

∂T

∂x

∂T

∂xAdx + ∫ cρ

∂T

∂tTAdx − Ʃ3qkTk , Gl. 2-159

D1,D2 D1, D2 k=1

1 im Unterschied zum Kräftepotential enthält П hier noch einen zeitabhängigen Term, der die Wärmespeicherfähigkeit berücksichtigt. Durch Variation führt П genau auf die

Differentialgleichung Gl. 2-154 als Eulersche Differentialgleichung mit den zugehörigen Randbedingungen.



Wobei für T getrennt für Schicht 1 und 2 eine Näherungsfunktion (Ansatzfunktion) zu wählen ist. Dies soll hier in der

einfachsten Form eines linearen Ansatzes geschehen.

T(x1) = T1 +T2−T1

D1x1 = 1 −

x1

D1T1 +

x1

D1T2 , Gl. 2-160

was übersichtlicher in Matrizenform wie folgt dargestellt werden kann

T(x1) = {1 −x1

D1

x1

D1} {T1T2} = h1T1. Gl. 2-161

Für die Ableitung 𝜕T/𝜕x ergibt sich damit ∂T(x1)

∂x1=T1−T2

D1= −

1

D1 T1 +

1

D1T2 = {−

1

D1

1

D1} {T1T2} = h1

′T1 . Gl. 2-162

Für die zeitliche Ableitung von T wird im Folgenden die Abkürzung

∂T

∂t= T

benutzt und für sie soll gelten

T(x1) = T1 +T2−T1

D1x1 = h1T1 Gl. 2-163

Für die Schicht 2gelte entsprechend

∂T(x2)

∂x2

T(x2)

T(x2)

= h2T2= h2

′ T2

= h2T2

Gl. 2-164

Damit ist der Temperaturverlauf in Abhängigkeit der Temperaturen T T1 und T2 in den Knoten 1, 2 und 3

näherungsweise dargestellt, und die Schichten 1 und 2 sind in die finite Elemente 1 und 2 überführt. Für das Funktional

kann jetzt geschrieben werden

П =1

2T1T ∫ λ1A1h1

′Th1′ dx1T1 +

1

2T2T ∫ λ2A2h2

′Th2′ dx2T2 + Gl. 2-165

D1 D2

T1T ∫ c1ρ1A1h1

Th1dx1T1 +

D1

T2T ∫ c2ρ2A2h2

Th2dx2T2 − ∑ qkTk .3k=1

D2

Ausgeschrieben ergibt sich für den ersten Term in Gl. 2-165 mit Gl. 2-162

П =1

2∫ λ1A1 (

T2−T1

D1)2

dx1+. . . Gl. 2-166

Die Knotenpunkttemperaturen T1, T2 und T3 sind die Ansatzkonstanten, die so zu bestimmen sind, dass das Funktional

П einen Extremwert annimmt. Aus der Infinitesimalrechnung ist bekannt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die 1.

Ableitung von П nach den Variablen T1, T2 und T3 Null ist. Da in dem Beispiel des Bild 2-67a die Außen- und

Innentemperatur als Randbedingung fest vorgegeben sind, gilt

T1 = {TaT2} und T2 = {

T2Ti} , Gl. 2-167



so dass für dieses spezielle Beispiel nur noch T2 als Variable übrig bleibt. Es existiert damit nur die Ableitung von П

nach T2, die die Bestimmungsgleichung für T2 liefert. Bevor diese angegeben wird, werden zu einfacheren Darstellung

die Integrale in Gl. 2-165 ausgewertet. Es gilt

h1′ Th1

′ =

−1/D1 2

1/D1 2⏟

h1′ T

−1/D1 1/D1

2

−1/D1 2

1/D1 }h1′

−1/D1 2

1/D1 2

Gl. 2-168

und

h1 Th1 =

1 − x1/D1

x1/D1 ⏟

h1′ T

1 − x1/D1 1 − 2x1/D1

x1/D1 − (x1/D1)2+ (x1/D1)

2

x1/D1 }h1 x1/D1

(x1/D1)2

(x1/D1 )2

Gl. 2-169

und damit

λ1A1h1′ Th1

′ dx1 = λ1A1 {1/D1 −1/D1−1/D1 1/D1

} = H1 ,

D1

Gl. 2-170

oder

H1 =λ1A1D1

{ 1 −1−1 1

} , Gl. 2-171

wobei vorausgesetzt wird, dass λ und A für das Element 1 der Dicke D1 konstant sind. In dieser FE-formulierung wird

H1als die lineare Elementwärmeleitungsmatrix bezeichnet, die genau der linearen Elementsteifigkeitsmatrix

ki =EiAiLi{ 1 −1−1 1

} Gl. 2-172

eines Elementes i in der Baustatik entspricht. Weiter ergibt sich mit Gl. 2-169

c1ρ1A1h1Th1dx1 = c1ρ1A1 {

D1/3 D1/6D1/6 D1/3

} = C1

D1

Gl. 2-173

oder

C1 = c1ρ1A1D1 {1/3 1/61/6 1/3

} Gl. 2-174



Die Herleitung der quadratischen Matrizen H1 und C1 gilt allgemein für jedes Element i, wenn die Materialkennwerte

λ1, c1, ρ1, und die geometrischen Größen A1, D1 die entsprechenden Größen des Elementes i eingesetzt werden. Damit

folgt für П

П =1

2T1 TH1T1 +

1

2T2 TH2T2 + T1

TC1T1 + T2 TC2T2 −∑qkTk .

3

k=1

Gl. 2-175

Für die Behandlung komplexerer Systeme, die aus 100 und mehr Elementen bestehen können, ist natürlich die

Schreibweise in Gl. 2-175 sehr umständlich und wird insbesondere aus Gründen der Computertechnik weiter

vereinfacht. Durch die Bildung von Inzidenzmatrizen Ii für jedes Element i

T = IiTi Gl. 2-176

kann die Summation der einzelnen Elementmatrizen programmintern automatisiert werden, und für das Funktional

ergibt sich dann die einfache Form

П =1

2TTH T + TTC T − Q T. Gl. 2-177

Auf diesen Prozess, der als Zusammenbau bezeichnet wird, wird hier aus Gründen der Vollständigkeit hingewiesen. Die

Bestimmungsgleichung für T2 soll nun aus Gl. 2-175 hergeleitet werden.

Die Ableitung der T1 und T2 liefert unter Beachtung der Randbedingungen in Gl. 2-167

d

dT2(T1) =

d

dT2{Ta T2} = {

01} = e1 Gl. 2-178

d

dT2(T2) =

d

dT2{T2 Ti} = {

10} = e2

und weiterhin

T1 = {0 T2} , T2 = {

T20} , Gl. 2-179

Womit unter Berücksichtigung der Einstrahlung q im Knoten 2 und Anwendung der Produktregel folgt

d

dT2(П) =

1

2(e1 TH1T1 + T1

TH1e1) +1

2(e2 TH2T2 + T2

TH2e2) + e1 TC1T1 + e2

TC2T2 − q = 0 Gl. 2-180



Ausgeschrieben ergibt sich z.B. für den ersten Term in Gl. 2-180

1

2e1TH1 T1 =

1

2

λ1A1D1

{0 1} { 1 −1−1 1

} {TaT2} Gl. 2-181

=1

2

λ1A1D1

{−1 1} {TaT2}

=1

2

λ1A1D1

T2 −1

2

λ1A1D1

a ,

und mi den Abkürzungen

Λi =λ1AiD1, i = 1,2 Gl. 2-182

und

Γi =1

6ciρiAiDi , i = 1,2

folgt für die Bestimmungsgleichung von T2

(Λi + Λ2)T2 + 2(Γ1 + Γ2)T2 = Λ1Ta + Λ2Ti + q. Gl. 2-183

2.6.5 Stationäre Lösung

Die Temperatur im Knoten 2 kann im Beharrungszustand oder stationären Zustand infolge T2 = 0 sofort aus Gl. 2-183

ermittelt werden

T2 =Λ1

Λ1 + Λ2Ta +

Λ2Λ1 + Λ2

Ti +1

Λ1 + Λ2q. Gl. 2-184

Für diesen einfachen fall ist mit Gl. 2-184 die Algebraisierung des mathematischen Modells (Randwertproblem) als 2.

Schritt der Simulation vollzogen. Das Problem ist auf eine einfache lineare algebraisches Gleichungssystem der Form

H T = Q , Gl. 2-185

das sich mit T = 0 aus Gl. 2-177 ergibt.



Wie zu erkennen ist, setzt sich in Gl. 2-184 T2 additiv aus den Einflüssen der drei Randbedingungen Ta, Ti und q

zusammen, was sich aus Gültigkeit des zuvor erwähnten Superpositionsgesetztes ergibt. Gl. 2-184 kann durch die

Division von Zähler und Nenner der Einzelterme durch Λ1Λ2in die im Wärmeschutz übliche Schreibweise überführt

werden. Es folgt mit

1

k=1

Λ1+1

Λ2 Gl. 2-186

die bekannte Form

T2 =1/Λ21/k

Ta +1/Λ11/k

Ti +1/Λ1Λ21/k

q. Gl. 2-187

Zur Bestimmung des Temperaturverlaufs im Inneren der Elemente oder Schichten 1 und 2 wird Gl. 2-184 oder Gl.

2-187 und Gl. 2-167 in Gl. 2-160 und Gl. 2-164 eingesetzt, wodurch wieder in Erinnerung gebracht wird, dass T2 aus

mathematischer Sicht eine Ansatzkonstante war. Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass Gl. 2-160 und Gl. 2-164

Näherungsfunktionen waren und somit jetzt Näherungslösungen sind. Die Güte dieser Lösungen kann z. B. dadurch

verbessert werden, dass anstelle der linearen Polynom-Ansätze trigonometrische Ansätze gewählt werden, was im

Rahmen der FE-Methode ohne weiteres möglich ist. Eine andere Möglichkeit ist, dass eine Materialschicht der Dicke D

nicht nur durch ein finites Element, sondern durch n Elemente mit Di = D/n, i=l,…..simuliert wird. Die Wärmeströme

ergeben sich schließlich aus der konstitutiven Gl. 2-157 durch Einsetzen von Gl. 2-184 und Gl. 2-167 zu

q1 =1/Λ21/k

q − k(Ti − Ta) Gl. 2-188

und

q2 =1/Λ11/k

q − k(Ti − Ta) Gl. 2-189

2.6.6 Instationäre Lösung

Für die instationäre Lösung des Problems muss zum Zweck der Algebraisierung weiter vereinfacht werden, indem die

differentielle Änderung der Temperatur T bezüglich der Zeit t in Gl. 2-163 und Gl. 2-164 durch die Änderung während

eines vorgegebenen Zeitinkrements Δt approximiert wird.

T(x)j =T(x)j − T(x)j−1

Δt, Δt = tj − tj−1 . Gl. 2-190

Der ganzzahlige Index j bezeichnet den aktuellen Zeitpunkt. Für das Zeitinkrement wird in der Bauphysik in der Regel

eine Stunde gewählt, da es sich dabei um relativ träge Systeme handelt. Wird nun Gl. 2-190 auf T2 angewandt und in

Gl. 2-183 eingesetzt, so ergibt sich für den Zeitschritt j

(Λ1 + Λ2)T2 j+2(Γ1 + Γ2)

ΔtT2 j=2(Γ1 + Γ2)

ΔtT2 j−1

+ Λ1Ta + Λ2Ti + q ,

Gl. 2-191



Wobei der Zeitschritt j alle Terme auf der rechten Seite von Gl. 2-191 bekannt sind, da T2 j−1

die Lösung des

vorausgegangenen Zeitschrittes ist. Damit ist die Algebraisierung des Problems auch für den instationären Fall

durchgeführt.

Zur besseren Beurteilung instationärer Berechnungen sollen im folgenden wesentliche Eigenschaften der linearen

algebraischen Gleichung Gl. 2-191 aufgezeigt werden, für die eine Verallgemeinerung möglich erscheint, wenn auch

diese hier nicht explizit nachgewiesen wird. Analytisch betrachtet, stellt Gl. 2-191 eine Rekursionsformel dar, die

vereinfacht in der Form

T2 j= aT2

j−1+ bQj

Gl. 2-192

dargestellt werden kann. Darin bedeutet

b =1

α + β/Δt[K

W] , a = bβ/Δt Gl. 2-193

mit

α = Λ1 + Λ2, β = 2(Γ1 + Γ2),

und

Qj = Λ1Ta j+ Λ2Ti

j+ qj. Gl. 2-194

Im Rückblick auf den zuvor beschriebenen stationären Fall wird hier β=0 infolge Γ1=Γ2=0 und damit a=0 und b=1/α,

womit Gl. 2-192 in Gl. 2-184 übergeht. Mit Hilfe der Rekursionsformel Gl. 2-192 kann nun T2 zu jedem beliebigen

Zeitpunkt j=n angegeben werden, wenn der Anfangswert T2° und das Zeitinkrement Δt vorgegeben sind. Es gilt dann

mit Δt=1h.

T2 1 = aT2

0 + bQ1 = aT2 0 + bQ1

T2 2 = (aT2

0 + bQ1)a + bQ2 = a2T2 0 + abQ1 + bQ2

T2 3 = ((aT2

0 + bQ1)a + bQ2)a + bQ3 = a3T2 0 + a2bQ1 + abQ2bQ3

und damit allgemein nach dem n-ten Zeitschritt

T2 n = anT2

0 + b∑an−jQj.

n

j=1

Gl. 2-195

Diese algebraische Reihe ist die gesuchte instationäre Lösung des in Bild 2-67a dargestellten Systems. An dieser Reihe

können sofort zwei Eigenschaften thermischer Prozesse gezeigt werden, wenn der Wertbereich der dimensionslosen

Größe a abgeschätzt wird. Mit Δt=1 ergibt sich

a =1

1 + α/β , Gl. 2-196

und da immer α/β > 0 gilt, folgt

0 < a < 1. Gl. 2-197

Die erste Eigenschaft von Gl. 2-195 betrifft den Anfangswert T2° der Temperatur im Knoten 2. Da immer α<1 gilt,

nimmt sein Einfluss mit größer werdendem n ab, und zwar umso stärker, je kleiner die Wärmekapazität β wird.

Bezüglich der in Qj zusammengefassten Randbedingungen ist aus dem gleichen Grund als zweite Eigenschaft genau der

umgekehrte Effekt zu erkennen. Mit kleiner werdendem j nimmt der Einfluss von Qj auf die Temperatur im Zeitschritt n

ab, denn für j=n ist an-j

= 1 am größten.



2.6.7 Beispiel

Für die weitere Untersuchung der Eigenschaften instationärer thermischer Prozesse wird für die Auswertung von Gl.

2-195 das System in Bild 2-67a konkretisiert. Es wird für Schicht 2 Mauerwerk mit Leichtziegeln mit ρ=800 kg/m und

einer spezifischen Wärmekapazität von c = 1 kJ/kgK = 0,275 Wh/kgK (alternativ als quasi leichte Bauweise c = 0,25

kJ/kgK= 0,070 Wh/kgK) angenommen. Schicht 1 repräsentiere die Konvektion an der Außenoberfläche des

Mauerwerks. In Tabelle 2.6 sind alle erforderlichen Kennwerte der beiden Schichten zusammengestellt.

Tabelle 2.6: Kennwerte für das System von Bild 2-67a

Der von außen einwirkende Wärmestrom q wird als von der Oberfläche des Mauerwerks absorbierte Sonnenstrahlung

interpretiert. Es werden folgende Randbedingungen gewählt:

1. Konstante Außen- Innentemperatur

Ta = 0°C, Ti = 20°C.

Daraus folgt

Λ1Ta + Λ2Ti = 22.67 W.

2. Für die Sonnenstrahlung q wurden alternativ drei Strahlungsfunktionen angesetzt:

a. qj = 0 für alle j

b. qj = 131.65 sin[(j − 6)π/12][W]

wenn sin[(j-6)π/12] < 0, dann qj = 0,

c. qj = 1000 W für j = 10, 34, 58 und

qj = 0 für j ≠ 10, 34, 58

Die Funktionen unter b. und c. sind so gewählt, dass beide dem System dieselbe Wärmemenge von 1000 Wh pro Tag

zuführen, was einem durchschnittlichen Wärmestrom von 41.67 W während 24 Stunden entspricht.

Die sich aus diesen Randbedingungen ergebenden Wärmeströme, die in Gl. 2-194 zu Qj zusammengefasst werden, sind

in Bild 2-68a über den Zeitraum von drei Tagen dargestellt. Der dort eingetragene Mittelwert QM für die beiden

Strahlungsfunktionen 2b und 2c ergibt sich aus



QM =1

24 ∑ Qj , m ≥ 0 .

m+24

j=m+1

Gl. 2-198

2.6.8 Ergebnisse

Bild 2-68b zeigt die Auswertung von Gl. 2-195 mit Hilfe des Programmsystems NILITE Gl. 2-155 für diese

Randbedingungen und die Kennwerte nach Tabelle 2.6. Als Anfangstemperatur wurde T2° = 5°C. In Bild 2-68c ist der

zugehörige Wärmestrom q2 durch das Mauerwerk dargestellt, der aus Gl. 2-157 berechnet wurde.

Im Rahmen dieser Arbeit soll im Folgenden nur die beiden wesentlichen Ergebnisse der Auswertung eingegangen

werden. Aus bautechnischer Sicht ist das Wesentlichste, dass leichte Bauweisen keinen höheren Wärmeverlust als

schwere aufweisen. Dieser beträgt für beide über den ganzen Tag, entsprechend Gl. 2-198 gemittelt, pro Stunde 19.65

Wh bei einer Sonnenstrahlung gemäß den Randbedingungen 2b oder 2c. Auf diese Tatsache wird u. a. auch in Gl. 2-157

hingewiesen. Leichte Bauweisen, wie Holzskelettbauten, stehen also bezüglich der Wärmeverluste völlig

gleichberechtigt neben den herkömmlichen Mauerwerksbauten. Was den sommerlichen Wärmeschutz anbetrifft,

besitzen sie sogar Vorteile, da sich leichte Konstruktionen sehr viel schneller der Umgebungslufttemperatur anpassen.

Sie können daher die Nacht als Auskühlzeit nutzen und damit ein langsames Aufheizen der Innenräume verhindern.

Aus rechentechnischer Sicht liefert die Auswertung als wichtigste Erkenntnis, dass es zulässig ist, die Berechnung der

durch ein Bauteil strömende Wärmemenge mit Mittelwerten der Temperatur- und Strahlungsrandbedingungen

durchzuführen. So ist in Bild 2-68b der zeitliche Verlauf von T2 infolge des konstanten mittleren Wärmestroms QM mit

T2M bezeichnet. T2M ist nach dem Abklingen des Einflusses des Anfangswertes T2° konstant. Der Wert T2M = 2,67 ist

genau der Mittelwert gemäß Gl. 2-198 jeder der vier dargestellten Temperaturkurven, die sich aus den vier

Kombinationsmöglichkeiten der zwei Strahlungsfunktionen 2b und 2c mit den zwei Varianten der Schicht 2 nach

Tabelle 2.6 ergeben. Entsprechendes gilt für den Wärmestrom q2 in Bild 2-68c. Die Größe von T2M und q2M lässt sich

zur Kontrolle direkt aus Gl. 2-195 berechnen. Es folgt aus QM =konst.

T2Mn = anT2

0 + bQM∑an−jn

j=1

= anT2 0 + bQM∑ak

n−1

k=0

Gl. 2-199

und aus Gl. 2-197

∑ak∞

k=0

=1

1 − a . Gl. 2-200



a Vorgegebener Wärmefluss Q

b Temperatur T2 im Knoten 2 infolge Q

c Resultierender Wärmefluss q2 durch Schicht 2

Bild 2-68: Auswertung für das System Bild 2-67a nach Gl. 2-195



Ist für n < n0 (hier kann n0 = 4 gesetzt werden) der Einfluss des Anfangswertes T2°vernachlässigbar, und ist bereits für

den Fall n-1 = n0 die Summenformel Gl. 2-200 der geometrischen Reihe eine gute Näherung, dann ergibt sich

T2Mn = QMb/(1 − a) für alle n < n0

und mit Gl. 2-193

T2Mn = QM/α = konst.,

was genau der stationären Lösung Gl. 2-184 entspricht. Für alle vier zuvor erwähnten Kombinationsmöglichkeiten ist

QM/α =64.33/24.12 = 2.67. Es ist zu betonen, dass ein verallgemeinerter mathematischer Beweis der Zulässigkeit des

Rechnens mit Mittelwerten noch zu erbringen ist. Für das hier untersuchte System in Bild 2-67a kann er leicht geführt

werden. Für eine einschichtige Wand erfolgte er bereits 1925 in Gl. 2-158 in einer anderen Darstellungsform. An dieser

Stelle sollen die Ergebnisse in Bild 2-68b und Bild 2-68c als Nachweis genügen.

Die Zulässigkeit, die Wärmemenge, die in einem festen Zeitintervall durch ein Bauteil fließt, aus den Mittelwerten der

instationären Randbedingungen stationär zu berechnen, hat für Energiebilanzen komplexer Systeme, wie etwa ganzer

Gebäude, über größere Zeitintervalle entscheidende Auswirkungen. So kann für sie auf rechentechnisch aufwendige,

kostspielige instationäre Rechenverfahren verzichtet werden. Die Anzahl der Eingabedaten ist erheblich geringer als für

eine instationäre Berechnung. Die Berechnung ist daher kontrollierbar, weniger fehleranfällig und ermöglicht auf

einfache Weise Parameterstudien.

Mit diesen Ausführungen, die sich wohlgemerkt auf Energiebilanzen beziehen, soll nicht der Eindruck erweckt werden,

dass instationäre Berechnungsverfahren überflüssig seien. Nur mit ihrer Hilfe können z. B. Temperaturverteilungen in

Bauteilen oder Gebäuden bei instationären Randbedingungen berechnet werden, die sowohl zur Vermeidung von

Bauschäden als auch zur Weiterentwicklung moderner Baukonstruktionen häufig erforderlich sind. Ziel der

geschlossenen Darstellung der Simulation thermischer Prozesse ist es vielmehr, einen Überblick über die Grundlagen

stationärer und instationärer Berechnungsverfahren zu geben. Dadurch soll der planende Architekt und Ingenieur, den

eigentlich nur die Anwendung der Verfahren interessiert, in die Lage versetzt werden, die Anwendungsmöglichkeiten

von Berechnungsverfahren beurteilen und deren Ergebnisse kritisch bewerten zu können.

Vorlesung Bauphysik Tauwasserschutz Seite 82

Prof. Dr.-Ing. M.-H. Kessel Institut für Baukonstruktion und Holzbau TU Braunschweig

3 Tauwasserschutz

3.1 Allgemeines

3.1.1 Ziel des Tauwasserschutzes von Bauteilen

Vermeidung von Bauschäden und gesundheitlichen Beeinträchtigungen durch Tauwasserbildung

a) an der Bauteiloberfläche

b) im Bauteilquerschnitt.

3.1.2 Was ist Tauwasser?

Tauwasser entsteht, wenn der in der Luft vorhandene Wasserdampf vom gasförmigen (unsichtbaren) in den flüssigen

(sichtbaren) Zustand übergeht (z.B. Nebel, beschlagene Scheiben).

3.1.3 Wann entsteht Tauwasser?

Luft kann jeweils nur eine bestimmte Höchstmenge an Wasserdampf (Sättigungsmenge ws in g/m3) aufnehmen, die -

abgesehen vom Luftdruck - nur von der Lufttemperatur a abhängt (vgl. Tabelle 3.1 und Bild 3-1).

Bild 3-1: Dampfsättigungsmenge ws der Luft in Abhängigkeit von der Temperatur a und vorhandene Dampfmenge w

für eine relative Feuchte der Luft = 0,5 ( 50%); Ermittlung (Prinzip) der Taupunkttemperatur s = 9,3°C für

a = 20°C und = 50%



Tabelle 3.1: Wasserdampfsättigungsmenge ws der Luft in Abhängigkeit von der Temperatur a

(°C) -20 -10 0 10 20 30 50

wS (g/m3) 0,9 2,1 4,8 9,4 17,3 30,3 82,3

Tauwasser entsteht, wenn z.B.

bei konstantem a der Sättigungsgehalt an Wasserdampf bereits erreicht ist und ein weiteres Dampfangebot (z.B.

durch Kochen, Duschen) vorliegt, das die Luft nicht mehr aufnehmen kann, oder

die Lufttemperatur a mit einem vorhandenen Wasserdampfgehalt w unter jene Temperatur absinkt, bei der w

Sättigungsgehalt ws bedeutet.

Das Verhältnis des bei einer vorgegebenen Temperatur a tatsächlich vorhandenen Wasserdampfgehalts w zur

zugehörenden Sättigungsmenge ws wird als relative Feuchte der Luft bezeichnet. Es ist: = w/ws oder (%) =

w/ws∙100%

Beispiel (vgl. Tabelle 3.1):

a = 20°C, = 50% bedeutet: w = ∙ ws = 0,5 ∙ 17,3 = 8,65 g/m3

Die Temperatur, bis zu der ein Wasserdampf-Luft-Gemisch abkühlen kann, ohne dass es zu einer Tauwasserbildung

kommt, bei der also die Dampfsättigungsmenge ws genau erreicht ist, wird als Taupunkttemperatur s bezeichnet.

Beispiel (vgl. Bild 3-1):

a = 20°C, = 50%, w = 8,65 g/m3: s = 9,3°C (Temperatur, bei der der Dampfgehalt w Sättigungsgehalt ws bedeutet).

In der Baupraxis werden jedoch alle diese Beziehungen nicht über die Wasserdampfmenge, sondern über den

Wasserdampfdruck ausgedrückt.

Dabei ist

der Wasserdampfsättigungsdruck ps(Pa) der Sättigungsmenge ws zugeordnet, d.h. ps ist ausschließlich abhängig

von a (vgl. Tabelle 3.2 und Bild 3-2); in einem Wasserdampf-Luft-Gemisch der Temperatur a kann kein höherer

Wasserdampfdruck herrschen als der zu dieser Temperatur gehörende Dampfsättigungsdruck;

der Wasserdampfteildruck p(Pa) der tatsächlich vorhandenen Dampfmenge w zugeordnet, also abhängig von a

und ; es ist = p/ps oder (%) = p/ps ∙ 100%



Bild 3-2: Dampsättigungsdruck ps und vorhandener Dampfteildruck p für = 50%; Ermittlung (Prinzip) der

Taupunkttemperatur s für 20°C und 50%

Beispiel (vgl. Tabelle 3.2):

a = 20°C, = 50%; ps(20°C) = 2340 Pa;

p(20°C/50%) = ps(20°C) ∙ = 2340 ∙ 0,5 = 1170 Pa;

s = 9,3°C, da ps(9,3°C) = 1171 Pa

Ergebnis: In einem Raum mit a = 20°C und = 50% wird rechnerisch an allen Bauteiloberflächen oder Gegenständen

Tauwasser ausfallen, die eine Temperatur unter = 9,3°C aufweisen (Beispiel: Unterscheidung von Kalt- und

Warmwasser-Hähnen im benutzten Bad durch vorhandenen/fehlenden Feuchtbelag).

Für EDV-Berechnungen kann der Sättigungsdruck ps durch nachstehende Funktion angenähert werden:

n

sC100

bap

in Pa Gl. 3-1

Darin sind:

für 0 30°C: a = 288,68 Pa, b = 1,098, n = 8,02

für -20 0°C: a = 4,689 Pa, b = 1,486, n = 12,30



Tabelle 3.2: Wasserdampfsättigungsdruck ps bei Temperaturen von 30°C bis -20°C

°C 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

30 4224

29 4006 4030 4053 4077 4101 4124 4148 4172 4196 4219

28 3781 3803 3826 3848 3871 3894 3916 3939 3961 3984

27 3566 3588 3609 3631 3652 3674 3695 3717 3793 3759

26 3362 3382 3403 3423 3443 3463 3484 3504 3525 3544

25 3169 3188 3208 3227 3246 3266 3284 3304 3324 3343

24 2985 3003 3021 3040 3059 3077 3095 3114 3132 3151

23 2810 2827 2845 2863 2880 2897 2915 2932 2950 2968

22 2661 2678 2695 2711 2727 2744 2761 2777 2794

21 2487 2504 2518 2535 2551 2566 2582 2598 2613 2629

20 2340 2354 2369 2384 2399 2413 2428 2443 2457 2473

19 2197 2212 2227 2241 2254 2268 2283 2297 2310 2324

18 2065 2079 2091 2105 2119 2132 2145 2158 2172 2185

17 1937 1950 1963 1976 1988 2001 2014 2027 2039 2052

16 1818 1830 1841 1854 1866 1878 1889 1901 1914 1926

15 1706 1717 1729 1739 1750 1762 1773 1784 1795 1806

14 1599 1610 1621 1631 1642 1653 1663 1674 1684 1695

13 1498 1508 1518 1528 1538 1548 1559 1569 1578 1588

12 1403 1413 1422 1431 1441 1451 1460 1470 1479 1488

11 1312 1321 1330 1340 1349 1358 1367 1375 1385 1394

10 1228 1237 1245 1254 1262 1270 1279 1287 1296 1304

9 1148 1156 1163 1171 1179 1187 1195 1203 1211 1218

8 1073 1081 1088 1096 1103 1110 1117 1125 1133 1140

7 1002 1008 1016 1023 1030 1038 1045 1052 1059 1066

6 935 942 949 955 961 968 975 982 988 995

5 872 878 884 890 896 902 907 913 919 925

4 813 819 825 831 837 843 849 854 861 866

3 759 765 770 776 781 787 793 798 803 808

2 705 710 716 721 727 732 737 743 748 753

1 657 662 667 672 677 682 687 691 696 700

0 611 616 621 626 630 635 640 645 648 653

0 611 605 600 595 592 587 582 577 572 567

-1 562 557 552 547 543 538 534 531 527 522

-2 517 514 509 505 501 496 492 489 484 480

-3 476 472 468 464 461 456 452 448 444 440

-4 437 433 430 426 423 419 415 412 408 405

-5 401 398 395 391 388 385 382 379 375 372

-6 368 365 362 359 356 353 350 347 343 340

-7 337 336 333 330 327 324 321 318 315 312

-8 310 306 304 301 298 296 294 291 288 286

-9 284 281 279 276 274 272 269 267 264 262

-10 260 258 255 253 251 249 246 244 242 239

-11 237 235 233 231 229 228 226 224 221 219

-12 217 215 213 211 209 208 206 204 202 200

-13 198 197 195 193 191 190 188 186 184 182

-14 181 180 178 177 175 173 172 170 168 167

-15 165 164 162 161 159 158 157 155 153 152

-16 150 149 148 146 145 144 142 141 139 138

-17 137 136 135 133 132 131 129 128 127 126

-18 125 124 123 122 121 120 118 117 116 115

-19 114 113 112 111 110 109 107 106 105 104

-20 103

Wasserdampfsättigungsdruck Pa



3.2 Tauwasserschutz für die Bauteiloberfläche

3.2.1 Allgemeines

Bauteile von Aufenthaltsräumen - im wesentlichen Außenbauteile - sind i.a. so auszubilden, dass ihre raumseitige

Bauteiloberfläche tauwasserfrei bleibt. Anderenfalls wären Bauschäden möglich, da solche Tauwassermassen

bedenkliche Größenordnungen erreichen können. Ausgenommen sind solche Bauteile, bei denen

auf Grund zumindest zeitweise ungünstiger raumklimatischer Bedingungen (z.B. hohe relative Feuchte, wie in

Bädern oder dgl.) eine vorübergehende Tauwasserbildung nicht zu verhindern ist und

eine darauf abgestimmte, feuchteabweisende Oberflächenausbildung vorliegt (z.B. Fliesen, Dichtanstrich).

Nachfolgend werden u.a. folgende feuchteschutztechnischen Größen benutzt (übrige Größen siehe Abschn.3.1.3):

relative Luftfeuchte, dimensionslos oder in %

p Wasserdampfteildruck in Pa ( N/m²)

ps Wasserdampfsättigungsdruck in Pa

s Taupunkttemperatur eines Wasserdampf-Luft-Gemisches in °C

3.2.2 Bedingungen für Tauwasserfreiheit

Eine Tauwasserbildung an der Bauteiloberfläche ist solange nicht möglich, wie dort eine der folgenden Bedingungen

eingehalten wird (vgl. Abschn. 3.1.3):

Oberflächentemperatur s,i > Taupunkttemperatur s der Raumluft in diesem Bereich

vorhandener Dampfteildruck p der Raumluft in diesem Bereich < Sättigungsdruck ps,s,i an der Bauteiloberfläche.

Beide Bedingungen sind gleichwertig; bei Bauteiloberflächen verwendet man - im Gegensatz zum Nachweis des

Tauwasserschutzes für den Bauteilquerschnitt - in der Praxis wegen der besseren Anschaulichkeit i.a. die

Temperaturbedingung:

si,s Gl. 3-2

3.2.3 Erforderlicher Wärmeschutz für Tauwasserfreiheit

Die Bedingung (Gl. 3-2) kann - abgesehen von Sonderfällen, z.B. geometrisch bedingte Wärmebrücken - ausschließlich

über die Größe des Wärmeschutzes des Bauteils (R oder U) erfüllt werden.

Zu den beiden Größen in Gl. 3-2:

s der Raumluft ergibt sich sofort aus den vorgegebenen, raumklimatischen Werten a und (vgl. 1.3)

s,i an der Bauteiloberfläche ist für das jeweilige Bauteil aus den Temperaturen der Raumluft (i) und der Außenluft

(e) rechnerisch zu ermitteln.



Bild 3-3: Außenbauteil

a Wärmeübergang qi und Wärmedurchgang q

b Temperaturverlauf im Bereich der Bauteiloberflächen

Nachweis für ebene Bauteile bei stationären Klimabedingungen unter Benutzung der Gl. 2-97 und Gl. 2-98 (Bild 3-3):

eii,siii Uqhq Gl. 3-3

Daraus folgt mit

si,s

der erforderliche Wärmeschutz für die Gewährleistung der Tauwasserfreiheit an der raumseitigen Oberfläche ebener

Bauteile:

eii

si

ei

sii

RhU

Gl. 3-4

Aus Gl. 3-3 folgt z.B.

T

i

ei

i,si

R

R

RT siehe Gl.2.98 Gl. 3-5

d.h. die Temperaturdifferenzen im Bereich eines Bauteils verhalten sich zueinander wie die zugehörenden Widerstände.

Die Temperaturdifferenz i - s,i ist um so größer, d.h. die Oberflächentemperatur s,i um so niedriger (kritischer), je

größer der Übergangswiderstand Rs,i ist. Deshalb muss für den Nachweis der Tauwassergefahr an der

Bauteiloberfläche - abweichend von den Werten für den Nachweis des Wärmeschutzes und des Tauwasserschutzes für

den Bauteilquerschnitt - aus Sicherheitsgründen mit dem größeren Wärmeübergangswiderstand von mindestens

Rs,i = 0,17 m2K/W (gegenüber 0,13) gerechnet werden.

Wird der erforderliche Wärmeschutz nach Gl. 3-4 in Abhängigkeit von den klimatischen Randbedingungen von einem

Bauteil nicht erreicht (d.h. vorh U > zul U), dann ist der Wärmeschutz zu verbessern.



3.2.4 Nachweis

Für Aufenthaltsräume in Wohngebäuden oder ähnlich genutzten Gebäuden braucht der Nachweis des

Tauwasserschutzes für die Oberfläche im ebenen Bereich von Außenbauteilen nicht geführt zu werden, da der

Mindestwärmeschutz nach DIN 4108 Teil 2 so festgelegt ist, dass unter Voraussetzung üblicher Nutzung der Räume

(ausreichende Beheizung und Belüftung) eine Tauwassergefahr - zumindest für die ebenen Bereiche - nicht besteht

(Anmerkung zu „Feuchträumen“ siehe Abschn. 3.2.1).

In allen anderen Fällen als oben beschrieben ist der Nachweis bezüglich Tauwasserfreiheit an der Oberfläche zu führen.

Beispiel für üblich genutzte Wohnräume oder dgl.:

i = 20°C, i = 60%, pi = 0,6 ∙ 2340 = 1404 Pa

s(20°C/60%) = 12,0°C (vgl. Tabelle 3.2), e = -15°C

Mindestwärmeschutz von Außenwänden:

R ≥ 0,55, vorh U ≤ 1/(0,17 + 0,55 + 0,04) = 1,32 W/(m²K)

Erforderlicher Wärmeschutz für Tauwasserfreiheit nach Gl. 3-4:

U 1/0,17 ∙ (20 - 12,0)/(20 + 15) = 1,34 W/(m²K) > vorh U = 1,32

d.h. Tauwasserfreiheit gewährleistet

Beispiel für Bedeutung des Wärmeschutzes für den Tauwasserschutz von Bauteiloberflächen;

Annahmen: i = 20°C, e = -15°C

Gesucht: zulässige relative Raumluftfeuchte i

Wand 1: R = 0,55 m²K/W, U = 1,32 W/(m²K) (siehe a)

Aus Gl. 3-4 und Gl. 3-2 folgt:

ei

i

ish

U Gl. 3-6

p / ps (20°C) = ps(s) / ps(20°C) = 1418/2340 = 0,606 60%

Wand 2: R = 2,55; U = 0,362

s = 20 - 0,362 ∙ 0,17 ∙ 35 = 17,85°C

ps(17,85°C) / ps(20°C) = 2045/2340 = 0,874 87%



3.3 Tauwasserschutz für den Bauteilquerschnitt

3.3.1 Allgemeines

Neben der Tauwassergefahr für die raumseitige Bauteiloberfläche besteht die Gefahr der Tauwasserbildung innerhalb

des Bauteilquerschnitts, die - sofern die ausfallende Masse unzulässig groß ist - insbesondere bei leichten Bauteilen

oder leichten Bauteilschichten zu Schäden oder zur Beeinträchtigung ihrer Funktion (z.B. des Wärmeschutzes) führen

kann.

Nach DIN 4108 Teil 3 ist eine Tauwasserbildung in Bauteilen unschädlich, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Während der Tauperiode (Winter) anfallendes Tauwasser mW,T:

mW,T zul mW,T

Tauwasser mW,T muss während der Verdunstungsperiode (Sommer) wieder an die Umgebung abgegeben werden

können (Verdunstungsmasse mW,V):

mW,V mW,T

Der Durchgang des Wasserdampfes (Dampfdiffusion) durch ein Bauteil erfolgt entsprechend dem Dampfdruckgefälle

zwischen beiden Seiten des Bauteils. Tauwasser entsteht im Bauteilquerschnitt an allen Stellen x , wo - von einer

Ausnahme abgesehen - der vorhandene Wasserdampfteildruck p(x) den Wasserdampfsättigungsdruck ps(x) erreicht.

(Anmerkung: Die Bedingung (x) s(x) für Tauwasserbildung ist hier genau so gültig wie für Bauteiloberflächen

(vgl. Abschn. 3.2.2), jedoch für den rechnerischen Nachweis sehr unhandlich.)

Im Gegensatz zur Tauwasserbildung an der Bauteiloberfläche kommt es für den Querschnitt nicht darauf an, dort

Tauwasser um jeden Preis zu vermeiden - was zum einen nicht notwendig, zum anderen oft unwirtschaftlich ist -,

sondern die Tauwassermasse in für die verwendete Konstruktion zulässigen Grenzen zu halten.

Nachfolgend werden u.a. folgende Größen benutzt (weitere siehe Abschn. 3.2.1 sowie Abschn.2):

D Baustoff-Schichtdicke in m

Wasserdampf-Diffusionswiderstandszahl, dimensionslos

sd (wasserdampfdiffusions)äquivalente Luftschichtdicke in m

Z Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand in m²h Pa/kg

G Wasserdampf-Diffusionsstromdichte in kg/(m²h)

tT Dauer der Tauperiode in h

tV Dauer der Verdunstungsperiode in h

mW,T Tauwassermasse während der Tauperiode in kg/m²

mW,V Verdunstungsmasse während der Verdunstungsperiode in kg/m²

3.3.2 Dampfdiffusion

Ein Gasgemisch in zwei miteinander verbundenen Räumen hat zwar überall den gleichen Gesamtdruck, aber in jedem

Raum kann eine andere Konzentration der einzelnen Gase (Gaskomponenten) vorhanden sein, können also

unterschiedliche Gasteildrücke herrschen. Dann erfolgt so lange ein Austausch der Moleküle eines jeden Gases

zwischen den Räumen, bis auch die einzelnen Konzentrationen (Gasteildrücke) überall gleich sind (Bild 3-4).



Bild 3-4: Austausch der Gasmoleküle zwischen zwei Räumen

2r2l1r1l

2r1r2l1l

pp;pp

pppp :0t

2r2l1r1l

2r1r2l1l

pp;pp

pppp :t

Der gleiche Vorgang spielt sich z.B. auch mit dem Wasserdampf-Luft-Gemisch bezüglich des Wasserdampftransports

durch ein Bauteil ab, bei dem zu beiden Seiten unterschiedliche Wasserdampfteildrücke herrschen (z.B. Raumluft -

Außenluft). Dann setzt aufgrund des Dampfdruckunterschiedes zwischen beiden Seiten die Dampfdiffusion ein, d.h. der

Dampftransport durch das trennende Bauteil.

3.3.3 Wann entsteht Tauwasser im Querschnitt ?

Tauwasser entsteht an allen jenen Stellen im Querschnitt, bei denen der vorhandene Dampfteildruck p den dortigen

Sättigungsdruck ps erreicht (Ausnahme siehe Abschn. Verbesserung durch Dampfsperre a)), d.h. wenn:

spp Gl. 3-7

Für den Nachweis, ob bzw. wo und wie viel Tauwasser anfällt, ist also die Kenntnis,

des Verlaufs von ps und

des Verlaufs von p

notwendig.

3.3.4 Verlauf des Dampfsättigungsdrucks ps über den Bauteilquerschnitt

Da ps nur von der Temperatur abhängt (Bild 3-2), kann der ps - Verlauf über den Bauteilquerschnitt ermittelt werden,

wenn der - Verlauf bekannt ist.



3.3.4.1 Temperaturverlauf

Bild 3-5: Wärmeströme q und Temperaturverlauf für ein dreischichtiges Bauteil (Prinzip)

Die Temperaturen an den Grenzen der einzelnen Baustoffschichten folgen aus Gl. 2-98. Für das in Bild 3-5 dargestellte

Bauteil ergibt sich aus

e321i qqqqqq Gl. 3-8

wobei

qi ei θθU Gl. 3-9

qi is,ii θθh Gl. 3-10

q1 12s,i11 θθ/dλ Gl. 3-11

q2 231222 θθ/dλ , usw. Gl. 3-12

mit Gl. 3-9 und Gl. 3-10:

is,iiei θθhθθU

1/U//hdθθ/θθ i1eiis,i Gl. 3-13

eii1iis, θθ1/U//hdθθ Gl. 3-14

mit Gl. 3-9 und Gl. 3-11:

12is,11ei θθ/dλθθU

1/U//d)/()(θ 11ei12is, Gl. 3-15

ei11is,12 θθ1/U//λdθθ , usw. Gl. 3-16



Aus den Gl. 3-13, Gl. 3-15, usw. ist ersichtlich: der Temperaturabfall in einer einzelnen Schicht verhält sich zur

gesamten Temperaturdifferenz i - e wie der Einzelwiderstand (Ri, Re, R) zum Gesamtwiderstand (RT). Der

Temperaturverlauf ergibt sich aus den Gl. 3-14, Gl. 3-16, usw. zu:

eiiiis, θθU1/hθθ Gl. 3-17

eiR11is,12 θθU/λdθθ Gl. 3-18

eiR221223 θθU/λdθθ Gl. 3-19

eiees,e θθU1/hθθ (Kontrolle)

Den erwähnten Zusammenhang zwischen Widerstand und Temperaturabfall hat man früher bei vielschichtigen

Bauteilen oft ausgenutzt, indem man auf der Abszisse die einzelnen Widerstände aneinanderreihte. Dann brauchte man

nur noch die beiden Temperaturen i und e geradlinig zu verbinden. Die Schnittstellen mit den Widerständen

bedeuteten die dortigen Temperaturen Bild 3-6.

Bild 3-6: Grafische Ermittlung des Temperaturverlaufs über einen mehrschichtigen Bauteilquerschnitt



a Außendämmung b Innendämmung

Bild 3-7: Zweischichtige Außenwände aus gleichen Schichten; der besseren Anschaulichkeit wegen ist die in der Praxis

notwendige Bekleidung der Dämmschicht nicht berücksichtigt

Beispiel 1: Zweischichtiges Bauteil nach Bild 3-7a.

i = 20°C, e = -10°C.

Wärmeübergangswiderstände Rs,i = 0,13, Rs,e = 0,04 m²K/W.

R= d1/R1 + d2/R2 = 0,2/2,1 + 0,08/0,04 = 0,1 + 2,0 = 2,1 m²K/W

U = 1/(0,13 + 2,1 + 0,04) = 0,44 W/(m²K)

Temperaturen an den Schichtgrenzen (Gl. 3-17 ff.):

s,i = 20,0 - 0,13 ∙ 0,44 ∙ (20 + 10) = 20 - 0,13 ∙ 13,2= 18,3°C

12 = 18,3 - 0,1 ∙ 13,2 = 17,0°C

s.e = 17,0 - 2,0 ∙ 13,2 = -9,4°C

e = -9,4 - 0,04 ∙ 13,2 = -10,0°C (Kontrolle)

Beispiel 2: Bauteil nach Bild 3-7b

s,i = 20 - 0,13 ∙ 13,2 = 18,3°C

12 = 18,3 - 2,0 ∙ 13,2 = -8,1°C

s,e = -8,1 - 0,1 ∙ 13,2 = -9,4°C

e = -9,4 - 0,04 ∙ 13,2 = -10°C

Ergebnis für Beispiele 1 und 2: Die Lage der Dämmschicht DÄ beeinflusst den Temperaturverlauf über den

Bauteilquerschnitt im Winter (übrigens auch im Sommer), damit die Größe des Temperaturunterschiedes zwischen

Sommer und Winter und folglich die thermische Beanspruchung des Bauteils entscheidend.



3.3.4.2 Dampfsättigungsdruck

Bei bekannten Temperaturen an den Schichtgrenzen können die dortigen ps - Werte, z.B. aus Tabelle 3.2, direkt

ermittelt werden (Bild 3-8). In aller Regel kann der ps - Verlauf innerhalb der einzelnen Schichten geradlinig

angenommen werden, obwohl der ps - Verlauf über parabelförmig verläuft (Bild 3-2); Ausnahme siehe Anmerkung in

Abschn. Verlauf des Dampfteildrucks p bei Tauwasserbildung im Querschnitt.

a Außendämmung b Innendämmung

Bild 3-8: Dampfsättigungsdruckverlauf ps im Winter für die Bauteile nach Bild 3-7

3.3.5 Verlauf des Dampfteildrucks p über den Bauteilquerschnitt

3.3.5.1 Berechnungsgrundlagen

Der vorhandene Dampfteildruck in den beiden angrenzenden Räumen ist auf Grund der klimatischen Vorgaben (i, i,

e, e) bekannt und ergibt sich aus:

pi = i ∙ psi(i) (Pa)

pe = e ∙ pse(e) (Pa)

Die rechnerische Erfassung des Wasserdampfdurchgangs durch ein Bauteil auf Grund des Dampfdruckgefälles

zwischen den beiden angrenzenden Räumen erfolgt analog zum Wärmedurchgang. Es ist also - entsprechend

q = U ∙ (i - e) - die Wasserdampf-Diffusionsstromdichte g:

eiD ppUg in kg/(m2h) Gl. 3-20

wobei (analog U = 1/(Rs,i + R + Rs,e):

UD = 1/(1/ß'i + Z + 1/ß'e) in kg/(m²h Pa)

mit 1/ß'i,e: innerer, äußerer Dampfübergangswiderstand (m²h Pa/kg)

Z: Wasserdampf-Diffusionsdurchlasswiderstand (m²h Pa/kg)



Die Werte 1/ß'i und 1/ß'e sind jedoch im Verhältnis zu Z verschwindend klein, so dass sie hier zu Null angenommen

werden können. Somit ergibt sich aus Gl. 3-20:

/Zppg ei Gl. 3-21

Ein Abfall des Wasserdampfteildruckes p im Bereich der Bauteiloberfläche - wie der Temperatur beim Wärmeübergang

erfolgt also näherungsweise nicht (Bild 3-9).

Bild 3-9: Verlauf des Dampfteildrucks pi,e im Bereich der Bauteiloberflächen und (Wasserdampf)

Diffusionsstromdichte g

Der Dampfdurchlasswiderstand Z einer Baustoffschicht errechnet sich aus:

dμ101,5Z 6 in m2h Pa/kg Gl. 3-22

Darin sind:

1,5 ∙ 106 (m h Pa/kg):Dampfdurchlasswiderstand einer ruhenden Luftschicht der Dicke

d = 1 m bei einer Temperatur von 10°C

d(m): Dicke der Baustoffschicht

(-):Wasserdampf-Diffusionswiderstandszahl (kurz: „-Wert“) des Baustoffes; gibt an, um wie viel mal

dampfdichter der Baustoff als eine gleichdicke, ruhende Luftschicht ist; in DIN 4108 werden für die einzelnen

Baustoffe neben den R-Werten auch die -Werte genannt; werden für einen Baustoff 2 Werte für angegeben, so

ist der jeweils ungünstigere einzusetzen (i.d.R. für außenliegende Schichten der größere, für innenliegende der

kleinere Wert).

Beispiele für -Werte:

Mineralischer Faserdämmstoff = 1, Mauerwerk (je nach Art) = 5...100, Normalbeton = 70/150, Polyethylenfolie

= 100.000.

Das Produkt d für eine Baustoffschicht wird auch als wasserdampfdiffusionsäquivalente (kurz: „äquivalente“)

Luftschichtdicke sd bezeichnet.

Der Dampfdurchlasswiderstand Z eines mehrschichtigen Bauteils folgt durch Addition der Widerstände der einzelnen

Schichten:

di6

ii6 s101,5d101,5Z in m

2h Pa/kg Gl. 3-23



3.3.5.2 Verlauf des Dampfteildrucks p ohne Tauwasserbildung im Querschnitt

Bild 3-10: Dampfdurchgang im stationären Zustand g = g1 = g2 = g3

Vorausgesetz werden wieder stationäre Verhältnisse, d.h. (vgl. Bild 3-10):

g = g1 = g2 = ... = gn

g /Zpp ei d6

ei s101,5/pp Gl. 3-24

g1 112i /Zpp d16

12i s101,5/pp Gl. 3-25

g2 22312 /Zpp usw.,s101,5/pp d26

2312 Gl. 3-26

Wie bei der Wärmestromdichte folgt auch hier: die Dampfteildruckdifferenz pj in der Schicht j verhält sich zur

gesamten Druckdifferenz pi - pe wie der Widerstand Zj bzw. sdj der Schicht zum Gesamtwiderstand Z bzw. sdj des

Bauteils. Wird also der Dampfdruckverlauf über der Widerstands - Abszisse sd aufgetragen, dann ergibt sich ein

geradliniger Verlauf von pi auf der Innenseite nach pe auf der Außenseite des Bauteils (Bild 3-11). Dies gilt jedoch nur

solange, wie an jeder Stelle p < ps eingehalten wird!

Bild 3-11: Verlauf des vorhandenen Dampfteildrucks p über den Bauteilquerschnitt, solange überall p < ps eingehalten

wird (tauwasserfreier Querschnitt)



Beispiel 1 in Abschn. Temperaturverlauf

Bauteil nach Bild 3-7a. Annahme: i = 50%, e = 80%.

pi = 0,5 ∙ 2340 = 1170 Pa ; pe = 0,8 ∙ 260 = 208 Pa

Beton: = 70, d = 0,2 m; sd1 = 70 ∙ 0,2 = 14,0 m

MiFa: = 1, d = 0,08 m; sd2 = 1 ∙ 0,08 = 0,08 m

Verlauf von ps(aus Bild 3-8a) und von p siehe Bild 3-12.

Bild 3-12: Verlauf des Dampsättigungsdrucks ps (aus Bild 3-8a) und des Dampfteildrucks p für zweischichtiges Bauteil

nach Bild 3-7a

Ergebnis: An jeder Stelle des Querschnitts ist p < ps, d.h. der Querschnitt bleibt tauwasserfrei. Größe der

Diffusionsstromdichte g (hat in solchen Fällen aber keine praktische Bedeutung):

g = (pi – pe) / Z

Z = 1,5 ∙ 106 ∙ (sd1 + sd2) = 1,5 ∙ 10

6 ∙ (14,0 + 0,08) = 21,1 ∙ 10

6 m²hPa/kg

g = (1170 - 208) / (21,1 ∙ 106) = 45,6 ∙ 10

-6 kg/(m²h) 1 g/(m²Tag)

3.3.5.3 Verlauf des Dampfteildrucks p bei Tauwasserbildung im Querschnitt

Der Verlauf von ps wird wie in Abschn. 3.3.4 der von p wie in Abschn. Verlauf des Dampfteildrucks p ohne

Tauwasserbildung im Querschnitt beschrieben ermittelt. Der entscheidende Unterschied zum p-Verlauf ohne

Tauwasserbildung besteht hier jedoch darin, dass die geradlinige Verbindung pi – pe die Sättigungskurve ps schneiden

würde (Bild 3-13). Da dann teilweise p > ps eintreten würde, was physikalisch nicht möglich ist, da p nicht größer als ps

sein kann, ist eine solche Gerade erst gar nicht einzuzeichnen (dieses falsche Verfahren war bis Mitte der 50er Jahre

Stand unserer Erkenntnisse, wodurch es zu einer falschen Beurteilung von Konstruktionen kommen konnte).



Bild 3-13: Falscher p-Verlauf, da bei gradliniger Verbindung zwischen pi und pe stellenweise p > ps!

Zu dieser Zeit stellte G l a s e r ein neues Verfahren vor, in dem er nachwies, dass in jenen Fällen, bei denen durch die

p-Gerade Bereiche mit p > ps entstünden, sich der vorhandene Dampfteildruck-Verlauf „tangential“ an den

Sättigungsdruck-Verlauf anschmiegt (Bild 3-14). Die beiden Berührungspunkte A und B, zwischen denen p die gleiche

Größe hat wie ps, stellen die Grenzen des Tauwasserbereiches dar (Bild a). In den meisten Fällen jedoch fallen A und B

zusammen, so dass dort Tauwasser „nur“ in einer Ebene (an der Schichtgrenze) ausfällt (Bild b).

Bild 3-14: Beispiele für den Verlauf des vorhandenen Dampfdrucks p bei Tauwasserbildung TW im Querschnitt

a Tauwasserbereich A-B innerhalb einer Schicht (dort p = ps)

b Tauwasserebene A=B an der Grenze zwischen zwei Baustoffschichten



Anmerkung zum ps - Verlauf in Bild 3-14a: Bei Schichten mit größerem sd - Wert und stärkerem Abfall von und damit

von ps ist der gekrümmte Verlauf von ps über (vgl. Bild 3-2) zu berücksichtigen, da sonst u.U. eine fehlerhafte

Beurteilung der Tauwassergefahr in dieser Schicht folgt. Zu diesem Zweck wird die sd - Breite dieser Schicht in 3 oder

4 gleiche Abschnitte unterteilt, für deren Grenzen dann die Temperaturen ermittelt und die zugehörenden ps - Werte

eingetragen und parabelförmig untereinander verbunden werden (Bild 3-15).

Bild 3-15: Vorgehen bei einer Schicht mit größerem sd-Wert und stärkerem -Abfall: Berücksichtigung der

Temperaturabhänigkeit von ps innerhalb der Schicht durch Unterteilung in mehrere Schichten

a ohne Berücksichtigung: scheinbar keine Tauwassergefahr

b mit Berücksichtigung: tatsächlicher Tauwasserbereich A-B

3.3.6 Größe der Tauwassermasse im Bauteilquerschnitt

3.3.6.1 Ermittlung

Tauwasserbildung im Querschnitt ist zulässig. Es ist jedoch nachzuweisen, dass vorgegebene zulässige Massen dabei

nicht überschritten werden (Abschn. Zulässige Tauwassermasse). Ein solcher Nachweis lässt sich relativ einfach nach

der rechnerisch-grafischen Methode nach G l a s e r führen.



a für Tauwasserbereich b für Tauwasserebene

Bild 3-16: Erforderliche Größen zur Ermittlung der Tauwassermenge

Vorgehen (vgl. Bild 3-16):

Auftragen der Konstruktion im sd - Maßstab (Abszisse)

Eintragen des ps - Verlaufs

Eintragen von pi und pe an den beiden Bauteiloberflächen (geradlinige Verbindung

pi –pe würde ps - Kurve schneiden)

Tangentiale Verbindungen pi - ps - Kurve und pe - ps - Kurve einzeichnen

Berührungspunkte A und B (Grenzen des Tauwasserbereiches) oder A = B (Tauwasserebene).

Die Größe der Tauwassermasse mW,T ergibt sich aus der Differenz der zum Tauwasserbereich hin eindiffundierenden

Diffusionsstromdichte gi und der vom Tauwasserbereich weg ausdiffundierenden Diffusionsstromdichte ge:

eiTTW, ggtm Gl. 3-27

Auf der Grundlage der Gl. 3-24 ff. folgt (vgl. Bild 3-16):

gi di6

sAiisAi s101,5/pp/Zpp in kg/(m2h) Gl. 3-28

ge de6

esBeesB s101,5/pp/Zpp in kg/(m2h) Gl. 3-29

gi entspricht also der Neigung der „eindiffundierenden“ Geraden p (tan i), ge derjenigen der „ausdiffundierenden“

(tan e). Aus dem Unterschied der beiden Neigungen kann man- zumindest qualitativ - auf die Tauwasserverhältnisse

schließen. Ist die Neigung der Geraden p über den gesamten Querschnitt konstant, ohne dass dabei die ps-Kurve

geschnitten würde, dann ist gi = ge, es findet also keine Tauwasserbildung im Querschnitt statt (vgl. z.B. Bild 3-12).



3.3.6.2 Klimabedingungen

Für nicht klimatisierte Wohn- und Bürogebäude sowie vergleichbar genutzte Gebäude können nach DIN 4108, Teil 3

für die Ermittlung der Tauwassermasse folgende vereinfachte Annahmen zugrunde gelegt werden:

Innenklima i = +20°C, i= 50%

Außenklima e= -10°C, e= 80%

Dauer der Tauperiode tT = 1440 h (60 Tage)

Bei schärferen Klimabedingungen (z.B. in Schwimmbädern, Ställen, klimatisierten Räumen) sind das tatsächliche

Innen- und Außenklima zu berücksichtigen.

3.3.6.3 Zulässige Tauwassermasse

In DIN 4108 Teil 3 ist bezüglich der zulässigen Tauwassermasse zul mW,T während der kalten Jahreszeit unter den

jeweiligen Klimabedingungen (vgl. Abschn.3.3.6.3) folgendes festgelegt:

Baustoffe dürfen durch Tauwasser nicht geschädigt werden (z.B. Korrosion von Stahl, Pilzbefall bei Holz und

Holzwerkstoffen).

Dächer und Wände (insgesamt für den Bauteilquerschnitt):

zul mW,T = 1,0 kg/m², ausgenommen die Fälle 3) und 4).

An Berührungsflächen von kapillar nicht wasseraufnahmefähigen Schichten (Bild 3-17): zul mW,T = 0,5 kg/m². An

diesen Flächen kann sich während des Winters theoretisch die gesamte anfallende Tauwassermasse als Eisschicht

aufbauen, anschließend innerhalb kurzer Zeit abtauen und dadurch übrige Teile der Konstruktion gefährden.

Für Holz: zul mW,T = 0,05 ∙ m(H)

Für Holzwerkstoffe: zul mW,T = 0,03 ∙ m(HWS).

Darin sind m(H) Masse des tauwassergefährdeten Holzbereiches, m(HWS) die des Holzwerkstoffes.

Beispiel: 16 mm Spanplatte, = 700 kg/m3;

zul mW,T = 0,03 ∙ m(HWS) = 0,03 ∙ 0,016 ∙ 700 = 0,33 kg/m²

Bild 3-17: Berührungsflächen von im Sinne von DIN 4108 Teil 3 kapillar nicht wasseraufnahmefähigen Schichten

g Diffusionsstrom, TW Tauwasserebene, DS Dampfsperre



Beispiel (Bild 3-18)

Bild 3-18: Dampfdruck-Diagramm nach Glaser für zweischichtiges Bauteil nach Bild 3-7b

Bauteil nach Bild 3-7b (Abschn. 3.3.4). Verlauf des Sättigungsdrucks ps siehe Bild 3-8b. Bauteil- und Klimadaten siehe

Beispiel in Abschn. Verlauf des Dampfteildrucks p ohne Tauwasserbildung im Querschnitt.

pi = 1170 Pa, pe = 208 Pa, sd1 = 0,08 m, jedoch sd2 = 150(!) ∙ 0,2 = 30 m

(Erklärung siehe Abschn. Berechnungsgrundlagen).

Aus Bild 3-18 : sdi = sd1, sde = sd2

gi = (1170 - 306) / (1,5 ∙ 106 ∙ 0,08)= 7,2 ∙ 10

-3 kg/(m²h)

ge = (306 - 208) / (1,5 ∙ 106 ∙ 30,0) = 2 ∙ 10

-6 kg/(m²h)

Tauwassermasse während 60 Wintertagen (= 1440 h):

mW,T 263eiT g/m10400102107,21440ggt

2TW,

2 kg/m0,5mzulkg/m10,4

(Anforderungen vgl. Abschn. Zulässige Tauwassermasse)

Das Bauteil muss also bezüglich des Tauwasserschutzes verbessert werden.

Anmerkung: Verhältnis der Tauwassermasse mW,T beim Bauteil nach Bild 3-7b zur Diffusionsstromdichte g beim

tauwasserfreien Querschnitt nach Bild 3-7a – unter Verwendung derselben Baustoffschichten, jedoch in anderer

Anordnung – (vgl. Abschn. Zulässige Tauwassermasse):

mW,T : g = 7200 ∙ 10-6

: 45,6 ∙ 106 = 158 : 1 !!



3.3.7 Verbesserung tauwassergefährdeter Bauteilquerschnitte

3.3.7.1 Allgemeines

Die Verbesserung von Bauteilquerschnitten, bei denen die rechnerisch während der Wintermonate auftretende

Tauwassermasse mW,T die zulässige Höchstmenge überschreitet, kann prinzipiell nach 2 Gesichtspunkten erfolgen:

mW,T = 0 (völlige Tauwasserfreiheit), i.a. nicht erforderlich, kann zu unwirtschaftlichen Lösungen führen

mW,T zul mW,T

Bild 3-19: Verbesserung einer tauwassergefährdeten Konstruktion (a)

b durch Anordnung einer Dampfsperre (DS) raumseitig vor der Dämmschicht DÄ,

c durch belüfteten Hohlraum raumseitig vor der ursprünglich tauwassergefährdeten Schicht

Soll ein tauwassergefährdetes Bauteil verbessert werden (wird also nicht etwa eine andere Konstruktion gewählt), dann

existieren 2 Möglichkeiten (Bild 3-19):

Anordnung einer Dampfsperre in der Nähe der raumseitigen Bauteiloberfläche (Regelfall)

Anordnung eines mit der Außenluft in Verbindung stehenden, belüfteten Hohlraumes raumseitig vor der

ursprünglich tauwassergefährdeten Schicht (kann aber andere bauphysikalische Nachteile mit sich bringen und ist

zudem oft konstruktiv nicht möglich).

Eine „Dampfsperre“ dient lediglich zur Reduzierung der Diffusionsstromdichte, hat also keine weiteren

bauphysikalischen Funktionen (z.B. keinen Beitrag zum Wärmeschutz). Besteht in der Regel aus einer dünnen,

vollflächigen Folie (z.B. Alu-, Polyethylen (PE)-Folie). Eine Dampfsperre ist keinesfalls gleichbedeutend mit einer

„dampfdichten“ Schicht; „praktisch dampfdicht“ bedeutet nach DIN 4108 Teil 3, dass sd 1500 m ist.



Die in der Praxis oft zu hörende Behauptung, wonach in den Außenbauteilen angeordnete Dampfsperren das

Raumklima ungünstig beeinflussen (angeblich Erhöhung der relativen Raumluftfeuchte i), ist sachlich nicht berechtigt.

3.3.7.2 Verbesserung durch Dampfsperre

a) Ziel: Tauwasserfreiheit im Querschnitt (mW,T = 0)

Tauwasserfreiheit liegt vor, wenn der p-Verlauf zwischen pi und pe geradlinig ist, ohne die ps-Kurve zu schneiden (da

die Neigung dieser Geraden der Größe der Diffusionsstromdichte entspricht). Folglich muss der geknickte oder

gekrümmte p-Verlauf des ursprünglich tauwassergefährdeten Querschnitts zu einer Geraden werden. Das kann - bei

gleichbleibenden Klimabedingungen - nur dadurch erfolgen, dass man die geradlinige Verbindung pe-B bis zur

Waagerechten von pi verlängert. Der Schnittpunkt dieser Geraden p mit pi ergibt den erforderlichen sd-Wert für das

gesamte Bauteil und somit die Größe von zus. sd der Dampfsperre (Bild 3-20).Die Ermittlung von zus. sd kann auch

rechnerisch erfolgen.

a bei vorher gekrümmtem b bei vorher geknicktem Verlauf von p

Bild 3-20: Grafische Ermittlung von zus sd einer zusätzlichen Dampfsperre an der Innenseite für mW,T = 0 eines vorher

gefährdeten Querschnitts

Aus Bild 3.7-2b folgt mit tan i = tan e :

(psA – pe) / sde = (pi - psA) / (sdi + zus sd) Gl. 3-30

zus sd = (pi - psA) / (psA – pe) sde - sdi Gl. 3-31

Die Dampfsperre ist derart anzuordnen, dass die geradlinige Verbindung von p zwischen pi und pe erhalten bleibt (siehe

Bild 3-21), d.h. allgemein raumseitig vor der Dämmschicht. Anderenfalls würde es wieder zur Tauwasserbildung

kommen!



Bild 3-21: Richtige und falsche Lage der zusätzlichen Dampfsperre DS für ursprünglich tauwassergefährdetes

Bauteil (a)

b, c richtig (p gradlinig), d falsch (geknickter p-Verlauf, d.h. erneut Tauwasserausfall)



Beispiel

Bauteil nach Bild 3-7b mit mW,T = 10,4 kg/m² >> 0,5 (vgl. Beispiel (Bild 3.18))

Mit Gl. 3-31

zus sd = (1170 - 306) / (306-208) ∙ 30,0 - 0,08 = 265 m (!)

Erfordert teure Spezialfolie als Dampfsperre. Anordnung raumseitig vor der Wärmedämmschicht.

b) Ziel: Tauwassermasse mW,T zul mW,T

Der für die Dampfsperre erforderliche zusätzliche sd-Wert ergibt sich zu:

zus sd (pi – psA) sde / ((psB – pe) – zul mW,T 1,5 106 sde / tT Gl. 3-32

Bei Vernachlässigung der im Winter ausdiffundierenden Wassermasse kann der zus sd-Wert näherungsweise auf der

sicheren Seite liegend aus dem Verhältnis

mW,T,o / mW,T,m = (sdi + zus sd) / sdi Gl. 3-33

bestimmt werden, worin mW,T,o die Tauwassermasse für den Bauteilquerschnitt ohne, mW,T,m jene für den Querschnitt

mit Dampfsperre bedeuten. Daraus folgt mit mW,T,m zul mW,T :

zus sd (mW,T,o / zul mW,T) ∙ sdi – sdi Gl. 3-34

Beispiel entsprechend a):

mW,T,o = 10,4 kg/m²; Annahme: zul mW,T = 0,5 kg/m²

sdi = 0,08 m;

mit Gl. 3-34

zus sd 10,4 / 0,5 ∙ 0,08 - 0,08 = 1,6 m << 265 m nach a) !

Bild 3-22: Dampfdruck-Diagramm für Bauteil nach Bild 3-7b mit raumseitig vor der Wärmedämmschicht (DÄ)

zusätzlich angebrachter Dampfsperre (DS) mit zus sd = 1,6 m



Anordnung der Dampfsperre raumseitig vor der Dämmschicht.

Kontrolle (Bild 3-22):

mW,T = 1440 / (1,5 ∙ 106) ∙ [(1170 - 306) / 1,68 - (306 - 208) / 30,0)]

= 0,49 kg/m² < 0,5

3.3.7.3 Verbesserung durch belüfteten Hohlraum

Durch Anordnung eines mit der Außenluft in Verbindung stehenden belüfteten Hohlraums raumseitig unmittelbar vor

der tauwassergefährdeten Schicht lässt sich in den Fällen nach Bild 3-14b, nicht dagegen für solche nach Bild 3-14a,

ebenfalls Tauwasserfreiheit erzielen (Prinzip siehe Bild 3-23). Auch für die Ausbildung nach Bild 3-7b wäre ein

belüfteter Hohlraum zwischen Dämmschicht und Beton praktisch nicht realisierbar.

Bild 3-23: Verbesserung durch Hinterlüftung der tauwassergefährdeten Grenzschicht

a Ausgangssituation

b mit belüftetem Hohlraum



Anmerkungen zum belüfteten Hohlraum:

Der freie Lüftungsquerschnitt der mindestens an den zwei gegenüberliegenden Seiten des Bauteils angebrachten

Öffnungen muss mindestens je 1/500 der zu belüftenden Fläche betragen.

Bei belüfteten Flachdächern ist wegen der Gefahr der „Selbstblockade“ des belüfteten Hohlraums in jedem Fall

eine zusätzliche Dampfsperre vorzusehen, deren erforderliches sd mit der Länge des belüfteten Hohlraums zunimmt

(vgl. auch DIN 4108 Teil 3, Abschn. 3.2.3.3, siehe hier Bild 3-31).

3.3.8 Verdunstungsmasse

3.3.8.1 Ermittlung

Die während der Wintermonate ausgefallene Tauwassermasse mW,T muss während der Sommermonate

(Verdunstungsperiode tV) über die Verdunstungsmasse mW,V wieder vollständig entweichen können, d.h.:

mW,V mW,T Gl. 3-35

Für die Ermittlung von mW,V setzt man in den Poren des Tauwasserbereiches (A-B) Sättigungsdruck (psA, psB) voraus, so

dass sich von hier ein Dampfdruckgefälle in der Regel nach beiden Bauteiloberflächen einstellt (vgl. Bild 3-24). Die

Lage des Tauwasserbereiches ist aus Abschn. Ermittlung bekannt (vgl. auch Bild 3-16).

Bild 3-24: Diffusionsstromdichte gi,e während des Sommers in Bauteilen mit Tauwasserbereich A-B

Die Dampfdrücke beziehen sich - ausgenommen psA,B bei Tauwasserbereichen A-B - auf dieselben Stellen des Bauteils

wie in Abschn. 3.3.6.1, sind aber von anderer Größe, da sie den Klimabedingungen für den Sommer zugeordnet sind.

Vereinfachend verwendet man auch bei Tauwasserbereichen A-B anstelle der beiden Werte psA und psB nur den einen

Wert psA,B (ps in der Mittelachse des TW-Bereiches, Bild 3-25), womit man auf der sicheren Seite liegt. Zu beachten

sind in diesem Fall die gegenüber der Tauwasserberechnung veränderten ZA- und ZB-Werte. Die Berechnung von mW,V

erfolgt sinngemäß wie für mW,T (Bild 3-25).



Bild 3-25: Dampfdruckdiagramm für den Verdunstungsfall bei Tauwasserbereich A-B (Prinzip);

Ermittlung von mW,V mit psA,B

In den Raum ausdiffundierende Dampfstromdichte gi:

gi = (psA,B - pi)/ZA (kg/m²h) Gl. 3-36

Nach außen ausdiffundierende Dampfstromdichte ia:

ge = (psA,B – pe)/ZB (kg/(m²h) Gl. 3-37

Während der Verdunstungsperiode tV insgesamt ausdiffundierende Dampfmasse WV:

mW,V = tV ∙ (gi + ge) (kg/m²) Gl. 3-38



3.3.8.2 Klimabedingungen

Für die in Abschn. Klimabedingungen genannten Gebäude können für die Verdunstungsperiode vereinfacht die

nachstehenden Annahmen zugrunde gelegt werden (vgl. Bild 3-26):

Bild 3-26: Temperatur- und Dampfdruckdiagramm für das Verdunstungsklima (Sommer)

(Tauwasserebene nach Bild 3-14b angenommen)

(Wand), pA,B(Wand): Vereinfachte Bedingungen für Wände, Decken und Dächer

(Dach), pA,B(Dach): genauere Bedingungen für Dächer

Wände, Decken unter nicht ausgebauten Dachräumen; Dächer, die Aufenthaltsräume gegen die Außenluft abschließen:

Innen- und Außenklima a = +12°C, = 70%

Tauwasserbereich = +12°C, =100%

Dauer der Verdunstungsperiode tV = 2160 h (90 Tage).

Für Dächer darf wegen der vorhandenen Sonnenwärmeeinstrahlung auch ein günstigerer Nachweis mit folgenden

Klimabedingungen geführt werden (Bild 3-26):

Innen- und Außenklima a = +12°C, = 70%

Außenoberfläche s,e = +20°C

Tauwasserbereich A,B entsprechend Temperaturgefälle von außen nach innen,

= 100%



Beispiel

Bild 3-27: Dampfdruck-Diagramm (Sommer) für Bauteil nach Bild 3-22

Gewählt (Bild 3-27) Beispiel nach Abschn. Verbesserung durch Dampfsperre, b), Bild 3-22, mit sd(DS) = 1,6 m

(Anmerkung: Wert 1,6 m theoretisch, da es solche Dampfsperren derzeit nicht gibt; in der Praxis würde z.B. gewählt:

PE-Folie, 0,1 mm dick (geringste zulässige Dicke), sd(DS) = 100.000 ∙ 0,1 ∙ 10-3

= 10,0 m).

gi = (1403 - 982)/(1,5 ∙ 106 ∙ 1,68) = 167 ∙ 10

-6 kg/(m²h)

ge = (1403 - 982)/(1,5 ∙ 106 ∙ 30,0) = 9 ∙ 10

-6 kg/(m²h)

mW,V = 2160 ∙ (167 + 9) ∙ 10-6

= 0,38 kg/(m² Sommer)

< mW,T = 0,49 kg/(m² Winter) (vgl. Abschn. Verbesserung durch Dampfsperre, b)

Ergebnis: Obwohl von der angenommenen Konstruktion mit sd(DS) = 1,6 m die zulässige Tauwassermasse

mW,T < 0,5 kg/m² eingehalten wird, muss sie verbessert werden, da mW,V < mW,T, d.h. der Feuchtegehalt könnte sich

zumindest rechnerisch - von Jahr zu Jahr um den Differenzbetrag mW,T - mW,V aufschaukeln. Einfache Verbesserung:

sd(DS) = 10 m (siehe oben); dann ergibt sich durch Rechnung mW,T mW,V = 0,08 kg/m².



3.3.9 Bauteile ohne Nachweis des Tauwasserschutzes für Bauteilquerschnitt

DIN 4108, Teil 3 nennt die Außenbauteile, für die kein Nachweis des Tauwasserschutzes geführt zu werden braucht,

wenn sie in nicht klimatisierten Wohn- oder Bürogebäuden oder in vergleichbar genutzten Gebäuden eingesetzt werden.

Diese Bauteile werden in den nachstehenden Bild 3-28 bis Bild 3-31 auszugsweise wiedergegeben. Die genaue

Beschreibung geht aus DIN 4108, Teil 3, Abschn. 3.2.3, hervor.

Bild 3-28: Außenwände aus Mauerwerk (MW) ohne Nachweis

Bild 3-29: Außenwand in Holzbauart ohne Nachweis, AB Außenbeplankung mit sd ≤ 10 m



Bild 3-30: Einschaliges Gasbetondach ohne Nachweis

Bild 3-31: Belüftete Dächer ohne Nachweis; Bedingung: Lüftungsquerschnitte AL und sL sowie sd-Werte (Bild c) sind

einzuhalten:

a Dachneigung < 10 : sd ≥10 m

b Dachneigung ≥ 10 : a ≤10 m / ≤15 m / >15 m:

sd ≥ 2 m / ≥ 5 m / ≥10 m



3.4 Schimmelpilzbildung

Pilzwachstum ist nur unter bestimmten Bedingungen möglich. Vor allem die Temperatur und die Feuchte haben einen

großen Einfluss. Mit Hilfe von sogenannten Isoplethenkurven bzw. –systemen kann der Zusammenhang zwischen

diesen Einflussfaktoren und dem biologischem Wachstum dargestellt werden.

Bild 3-32: Isoplethensysteme für Sporenauskeimung für einige Schimmelpilze nach Sedlbauer (2002 -Bauphysik). Die

Isolinien geben in Abhängigkeit von Temperatur und relativer Feuchte die Keimungszeiten in Tagen an (eingetragene

Zahlenwerte). Die Punkte zeigen Bedingungen, bei denen nach 95 Tagen noch keine Keimung stattgefunden hat.

Weitere Untersuchungen (Sedlbauer) haben ergeben, dass neben der Temperatur und der Feuchte auch das Substrat

über einen längeren Zeitraum vorhanden sein muss.

Tabelle 3.3: Wesentliche Einflussfaktoren für das Auskeimen und Wachstum von Schimmelpilzen nach Sedlbauer

(2002-Bauphysik)

minimal maximal

TemperaturTemperatur an

der Bauteil-oberfläche°C -8 60

Feuchterelative Feuchte

an der Bauteil-oberfläche% 70 100

SubstratNährstoffe und

Salzgehalt- - -

auch in Staubablagerungen können

Nährstoffe gefunden werden

MilieupH-Wert

der Oberfläche- 2 11

Der pH-Wert hängt selbst von der

relativen Feuchte sowie der

Temperatur ab und wird vom Pilz

beeinflusst

Bemerkungen

Hängt von der Pilzart und dem

Lebensstadium (Sporenkeimung oder

Myzelwachstum) ab

WachstumsbereichEinfluss-größe Parameter Einheit



Nach Sedlbauer können dabei drei Substratgruppen unterschieden werden:

Tabelle 3.4: Einteilung von verschiedenen Materialen in Substratgruppen nach Sedlbauer (2002-Bauphysik)

Angaben zu den oberflächennahen Bauteilschichten Zuordnung zur

Substratgruppe in

Abhängigkeit vom

Verschmutzungsgrad

Substratgruppe2 Typische Repräsentanten nicht stark

0 Optimaler

Nährboden biologische Vollmedien 0 0

I

Biologisch

verwertbare

Substrate3

Tapeten, Gipskarton, Bauprodukte aus gut

abbaubaren Rohstoffen, Material

für dauerelastische Fugen

I I

II Substrate mit

porigem Gefüge

Putze, mineralische Baustoffe, manche Hölzer,

Dämmstoffe, die nicht unter I fallen II I

III Inerte Substrate4 Metalle, Folien, Gläser, Fliesen III I

In Bild 3.33 ist die Sporenauskeimungzeit für die Substratgruppe „0“ und für verschiedene hygrothermischen Einflüsse

angegeben. Auf der untersten Linie ist die LIM – Kurve („Lowest Isopleth for Mould“) dargestellt. Auf und unterhalb

dieser Linie ist die Sporenauskeimungszeit theoretisch unendlich groß und die Wachstumsrate beträgt 0 mm/d.

Bild 3-33: Verallgemeinertes Isoplethensystem für Sporenauskeimung aller Pilze und der Substratgruppe „0” nach

Sedlbauer (Bauphysik)

Nach dem Auskeimen beginnt der Pilz mit dem Wachstum, sofern die hygrothermischen Voraussetzungen gegeben

sind. Die Wachstumsgeschwindigkeit wird in mm/d angegeben und kann wiederum in Abhängigkeit der Temperatur,

der Feuchte und des Substrates angegeben werden (Bild 3.35).

2 Je nach Art der Verschmutzung kann sich die Einteilung in die Substratgruppe verschieben.

3 Entweder können diese Substrate biologisch verwertbare Einlagerungen besitzen oder sie werden selbst abgebaut.

4 Diese Substrate können weder abgebaut werden noch enthalten sie Nährstoffe.



Bild 3-34: Verallgemeinertes Isoplethensystem für Myzelwachstum aller Pilze und der Substratgruppe „0” nach

Sedlbauer (Bauphysik)

Bild 3-35: Verallgemeinerte Isoplethemsysteme für Sporenauskeimung und Myzellenwachstum aller Pilze für die

Substratgruppen I und II nach Sedlbauer (Bauphysik)



Bild 3-36: Maximal zulässige relative Raumluftfeuchte im stationären Zustand nach Sedlbauer (Bauphysik)

Oben: Oberflächentemperatur in Abhängigkeit des Wärmedurchlasswiderstandes.

Unten: Maximal zulässige relative Raumluftfeuchte der Substratgruppen I und II.

Vorlesung Bauphysik Schallschutz Seite 120


4 Schallschutz

4.1 Zweck des Schallschutzes

Der Schallschutz in Gebäuden hat große Bedeutung für die Gesundheit und das Wohlbefinden des Menschen, ist also

ein Teil des Umweltschutzes. Besonders wichtig ist der Schallschutz im Wohnungsbau, weil die Wohnung dem

Menschen sowohl zur Entspannung und zum Ausruhen dient als auch den eigenen häuslichen Bereich gegenüber dem

Nachbarn abschirmen soll. Auch in Schulen, Krankenanstalten, Beherbergungsstätten und Bürobauten ist der

Schallschutz von Bedeutung, um eine zweckentsprechende Nutzung der Räume zu ermöglichen.

Allerdings darf nicht erwartet werden, dass Geräusche von außen oder aus benachbarten Räume nicht mehr

wahrgenommen werden; der dafür erforderliche bauliche Schallschutz wäre heute in den meisten Fällen nicht mehr

bezahlbar. Die Notwendigkeit gegenseitiger Rücksichtnahme durch Vermeidung unnötigen Lärms bleibt daher

bestehen.

4.2 Physikalische Grundlagen

4.2.1 Wellenformen

Unter Schall versteht man die sich wellenförmig ausbreitenden Schwingungen in elastischen gasförmigen, flüssigen und

festen Medien. Der Schall ist also eine besondere Form mechanischer Energie, wenn auch von sehr geringer Größe.

Im Bauwesen unterscheidet man folgende Wellenarten:

a) Längs- oder Longitudinal- oder Druckwellen (Bild 4-1)

Die Masseteilchen werden in Richtung der Fortpflanzung der Welle angestoßen, sie bewegen sich pendelnd in der

Bewegungsrichtung der Welle hin und her; dadurch nähern und entfernen sie sich voneinander abwechselnd. Der

Zusammenballung der Moleküle entspricht ein bestimmter Überdruck, der Auflockerung ein Unterdruck.

Bild 4-1: Längswellen

a pendelnde Lage der Moleküle

b Druckverlauf grafisch sichtbar gemacht



b) Quer- oder Transversalwellen (Bild 4-2)

Die Masseteilchen werden quer zur Richtung der Wellenbewegung angestoßen; jedes angestoßene Teilchen schwingt

quer zur Bewegungsrichtung der Welle und nimmt das Nachbarteilchen, mit dem es elastisch zusammenhängt, durch

Schubkraftübertragung mit.

Bild 4-2: Querwellen

Linienzug I: zuerst gestoßene,

Linienzug II: später angestoßene (mitgenommene) Teilchen

c) Biegewellen (Bild 4-3)

Plattenförmige Bauteile (z.B. Wände, Decken), die rechtwinklig zu ihrer Ebene erregt werden, schwingen oft als

Ganzes. Ihre Verformung ist dabei entsprechend ihrer Struktur und Abmessungen unterschiedlich groß. Man

unterscheidet biegesteife und biegeweiche Bauteile.

Bild 4-3: Biegewellen bei plattenförmigen Bauteilen

In Bauteilen können Längs-, Quer- und Biegewellen zugleich auftreten. Dagegen pflanzt sich Schall in der Luft und im

Wasser nur in Längswellen fort, da diese Medien weder eine Schubkraftübertragung zulassen noch eine Biegesteifigkeit

besitzen.

4.2.2 Ausbreitung und Geschwindigkeit des Schalls

Schall breitet sich in der Luft kugelförmig aus. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c einer Schallwelle hängt von den

elastischen Eigenschaften des leitenden Stoffes ab; je elastischer der Stoff, desto kleiner ist c (z.B. in Luft (15°C)

c = 340 m/s, Stahl c = 5000 m/s, Gummi c = 40 m/s). Mit der Ausbreitung der Welle ist stets auch eine Dämpfung

verbunden, die eine weitere Materialeigenschaft darstellt.



4.3 Begriffe der Bauakustik

4.3.1 Schall, Schallschutz

Man unterscheidet (Bild 4-4):

Luftschall: in Luft sich ausbreitender Schall

Körperschall: in festen Stoffen sich ausbreitender Schall

Trittschall: Schall, der beim Begehen und bei ähnlicher Anregung einer Decke als Körperschall entsteht und

teilweise als Luftschall abgestrahlt wird.

Bild 4-4: Luftschall- und Körperschallanregung

Unter Schallschutz versteht man (Bild 4-5):

Maßnahmen gegen die Schallentstehung

Maßnahmen, die die Schallübertragung von einer Schallquelle zum Hörer mindern.

Bild 4-5: Schalldämmung (a) und Schallabsorption (Schallschluckung) (b)

Dabei können sich Schallquellen und Hörer

a) in verschiedenen Räumen (Schallschutz hauptsächlich durch Schalldämmung)

b) oder im selben Raum befinden (Schallschutz durch Schallabsorption)



4.3.2 Frequenz (Schwingungszahl) f

Anzahl der Schwingungen je Sekunde (s); 1 Schwingung/s = 1 Hertz (Hz). Mit zunehmender Frequenz nimmt die

Tonhöhe zu. Eine Verdoppelung der Frequenz entspricht einer Oktave. Der tiefste Basston auf dem Klavier hat etwa

30 Hz, der höchste über 4000 Hz (Kammerton a hat 440 Hz). Der menschliche Hörbereich umfasst etwa 16 Hz bis

16000 Hz. In der Bauakustik betrachtet man dagegen vorwiegend nur einen Bereich von 5 Oktaven mit den Frequenzen

100-200-400-800-1600-3200 Hz.

4.3.3 Wellenlänge

Die Wellenlänge ergibt sich aus der Schallgeschwindigkeit c und der Frequenz f zu

f

c in [m] Gl. 4-1

Mit c = 340 m/s für die Luft ergeben sich für den bauakustischen Bereich zwischen 100 Hz und 3200 Hz Wellenlängen

zwischen etwa 10 cm und 3,4 m. Im Gegensatz zu den Wellenlängen des Lichts und der Wärme, die mikroskopisch

klein sind, sind die Wellenlängen des Schalls in der Regel größer als die Dicken der Bauteile. Deshalb ist es beim

Schallschutz - im Gegensatz zum Wärmeschutz - nicht möglich, die Dämmung der einzelnen Schichten eines Bauteils

zu addieren!

Auch Biegewellen in Bauteilen können beträchtliche Wellenlängen aufweisen (z.B. bei 100 Hz im Mauerwerk ca.

24 m). Die Wellenlängen solcher Biegewellen werden um so kleiner, je dünner und damit biegeweicher die

plattenförmigen Bauteile werden (vgl. Abschn. 4.4.8).

4.3.4 Ton, Klang, Geräusch (Bild 4-6)

Bild 4-6: Schalldruckverlauf

a) Einfacher oder reiner Ton: Schallschwingungen von sinusförmigem Verlauf, ohne weitere Nebenschwingungen

(Beispiel: Stimmgabel).

b) Klang: Entsteht durch Überlagerung mehrerer einfacher Töne, deren Frequenzen in einem ganzzahligen Verhältnis

zueinanderstehen (Grundwelle und Oberwellen).

c) Geräusch: Schall, der aus vielen Teiltönen zusammengesetzt ist, deren Frequenzen nicht in einfachen

Zahlenverhältnissen zueinanderstehen. Ein Geräusch kann durch Filter zerlegt werden, z.B. in Frequenzbereiche

von der Breite einer

Oktave (Oktavfilter-Analyse)

Drittel-Oktave (Terz) (Terzfilter-Analyse)



4.3.5 Schalldruck, Schallpegel

Der Schall d r u c k kann durch den Wechseldruck (Druckschwankung) gekennzeichnet werden, der sich dem

atmosphärischen Druck der Luft (1 atm = 1,033 at = 1,013105 N/m²(Pa)) überlagert. Er wird mit Mikrofonen gemessen.

Die auftretenden Schalldrücke können sich um 6 Zehnerpotenzen voneinander unterscheiden (z.B. bei 1000 Hz-Ton

Hörschwelle bei etwa 210-5

Pa, Schmerzgrenze bei etwa 20 Pa).

Die Schallstärke ist proportional zum Quadrat des Schalldrucks. Zur besseren Handhabung wird der Schallpegel L als

logarithmisches Maß verwendet. Einheit dB (Dezibel), aus „dezi“ (1/10 der Einheit Bel) und „Bel“ (nach dem Erfinder

des elektromagnetischen Telefons, Graham Bell).

Definition:

L=10 lg(p2/p

20)=20 lg(p/po) in [dB] Gl. 4-2

Darin sind:

p vorhandener Schalldruck

po Bezugs-Schalldruck, international festgelegt (210-5

N/m² bzw. 20 µPa)

Beispiel: In Abhängigkeit vom Verhältnis der Schallstärke (p/po)² ergeben sich folgende Schallpegel L:

(p/po)² = 10 10 dB

100 20dB

1 000 30 dB

1000 000 60 dB

4.3.6 Lautstärke

Da das menschliche Ohr zwei Töne mit demselben Schallpegel, aber unterschiedlicher Frequenz, als verschieden laut

empfinden kann, hat man neben dem physikalischen Maß des Schallpegels noch das subjektive Maß der L a u t s t ä r k

e eingeführt, die das Lautstärkeempfinden des menschlichen Ohrs kennzeichnen soll; Angaben in phon (keine

physikalische Einheit). Definitionsgemäß ist die Lautstärke eines 1000 Hz-Tones zahlenmäßig gleich groß wie der

Schallpegel in dB. Der Bereich der Lautstärke zwischen der Hörschwelle und der Schmerzschwelle ist derzeit in

130 phon unterteilt. Das Ohr ist für tiefe Töne, vor allem bei kleinen Lautstärken, weniger empfindlich als für mittlere

Frequenzen (Bild 4-7).



Bild 4-7: Hörflächen mit Kurven gleicher Lautstärke für reine Töne (nach ISO R 226)

Als Näherungswert für das menschliche Hörempfinden hat man deshalb den sogenannten A-Schallpegel

(Einheit dB(A)) eingeführt, bei dem die verschiedenen Frequenzanteile eines Geräusches nach der sogenannten A-

Frequenzbewertungskurve unterschiedlich bewertet werden (die Beiträge der Frequenzen unter 1000 Hz und über

5000 Hz zum Gesamtergebnis werden bei der Messung mit dem Schallpegelmesser unterschiedlich weggefiltert).

Einige Richtwerte siehe Tabelle 4.1.

Tabelle 4.1: Richtwerte für den A-Schallpegel verschiedener Geräusche (nach Gösele)

Verkehrslärm in lauter Straße 70 – 80 dB(A)

sehr laute Sprache 70 dB(A)

normale Sprache 60 dB(A)

ruhiger Raum 25 – 30 dB(A)

ruhiger Raum, nachts (abseits vom Verkehr) 10 – 20 dB(A)

Die Lautstärke-Skala ist zum Lautstärkeempfinden allerdings nicht streng proportional. So wird ein Geräusch, dessen

Schallpegel um 10 dB(A) von 60 dB(A) auf 70 dB(A) erhöht wird, als doppelt so laut empfunden wie das ursprüngliche

Geräusch. Bei leisen Geräuschen - z.B. Durchhören von Sprache oder Musik durch Wände oder Decken - genügen

wesentlich geringere Steigerungen des Schallpegels für das Gefühl der Verdoppelung.



4.3.7 Addition mehrerer Schallpegel

Treten zugleich mehrere Schallquellen mit gleicher Einzelschallstärke und gleichem Klangcharakter auf, dann erhöht

sich der Schallpegel L entsprechend Gl. 4-2 (addiert werden nicht die Schallpegel, sondern die Schallstärken!):

bei 2 Schallquellen um 3 dB

bei 4 Schallquellen um 6 dB

bei 8 Schallquellen um 9 dB.

Beispiele: (mit P Schalleistung [W] ≠ p Schalldruck [Pa])

L1 = 10 lg(P1/Po)

2L1 = 10 lg(2P1/Po) = 10 lg(P1/Po) + 10 lg 2 = L1 + 3 dB

4L1 = 10 lg(4P1/Po) = 10 lg(P1/Po) + 10 lg 4 = L1 + 6 dB

Mehrere unterschiedliche Schallpegel (Beispiele):

L1 = 70 dB, L2 = 60 dB, P1 = 107 Po, P2 = 10

6 Po

L = L1 + L2 = 10 lg[(107 + 10

6) Po/Po] = 10 lg(1,110

7)

= 10 lg 107 + 10 lg 1,1 = 70 + 0,41 = 70,4 dB 70

L1 = 70 dB, L2 = 50 dB

L = 10 lg[(107 + 10

5) Po/Po] = 10 lg(1,0110

7) = 70 + 0,04

= 70,04 dB 70

4.4 Grundlagen zum Luftschallschutz

4.4.1 Allgemeines

Wird in einem Raum Luftschall erzeugt, dann werden die trennenden Bauteile zu benachbarten Räumen durch die

periodisch auftretenden Über- und Unterdrücke der Schallwellen in Biegeschwingungen senkrecht zur Bauteilebene

versetzt (vgl. Bild 4-8). Dadurch werden die Luftteilchen im Nachbarraum ebenfalls zu Schwingungen angeregt, womit

auch dort Luftschall entsteht.

Bild 4-8: Messung der Luftschalldämmung von trennenden Bauteilen



4.4.2 Schallpegeldifferenz L1 - L2

Der Schallschutz zwischen zwei Räumen ergibt sich aus der Differenz der gemessenen Schallpegelwerte L1 - L2

zwischen dem „lauten“ Raum (Senderaum) und dem „leisen“ Raum (Empfangsraum). Dieser Unterschied hängt zwar in

erster Linie vom Schalldämm-Maß (R') des trennenden Bauteils ab, das die Luftschalldämmung von Bauteilen

kennzeichnet, aber auch davon, wie groß die Schallabsorption im Empfangsraum (durch Begrenzungsflächen und

Gegenstände) und wie groß die Fläche des trennenden Bauteils ist. Somit ergibt sich definitionsgemäß:

L1 - L2 = R' - 10 lg(S/A) in [dB] Gl. 4-3

Darin sind:

R' Schalldämm-Maß des trennenden Bauteils (dB), unter Berücksichtigung der flankierenden Bauteile

S Fläche der Trennwand (m²)

A Äquivalente Schallabsorptionsfläche des Empfangsraumes (m²); ideelle Fläche mit dem Schallabsorptionsgrad

= 1, die die gleiche Schallenergie schlucken würde, wie die gesamte Oberfläche des Empfangsraumes und die in

ihm befindlichen Gegenstände und Personen. Schallabsorptionsgrad : Verhältnis der absorbierten, d.h. nicht

reflektierten, zur auftreffenden Energie. Bei vollständiger Reflexion ist = 0, bei vollständiger Absorption ist

= 1. A errechnet sich aus A = 0,163V/T (m²); mit V Rauminhalt des Empfangsraumes (m³); T Nachhallzeit (s),

kennzeichnend für das Schallschluckvermögen des Raumes: Zeitspanne, während der der Schallpegel nach

Beenden der Schallsendung um 60 dB fällt.

In einem kahlen Empfangsraum ist die Schallpegeldifferenz und damit die empfundene Dämmung kleiner als in einem

möblierten, auch wenn das gleiche trennende Bauteil verwendet wurde. Für A = S ergibt sich R' direkt aus R' = L1 - L2.

4.4.3 Schalldämm-Maß R, R'

Kennzeichnet die Luftschalldämmung von Bauteilen. Wird bei der Messung zwischen zwei Räumen aus der

Schallpegeldifferenz L1 - L2, der äquivalenten Schallabsorptionsfläche A des Empfangsraumes und der Prüffläche S des

trennenden Bauteils bestimmt (Bild 4-8):

R' = L1 - L2 + 10 lg(S/A) in [dB] Gl. 4-4

R' ist von der Frequenz abhängig, so dass es bei einer Messung für die einzelnen Frequenzbereiche ermittelt werden

muss. Man unterscheidet (Bild 4-9):

R „Labor-Schalldämm-Maß“ bei ausschließlicher Übertragung durch das zu prüfende trennende Bauteil

R' unter Berücksichtigung der zusätzlichen Flankenübertragung (im Prüfstand oder am Bau).

Bild 4-9: Unterschied zwischen Schalldämm-Maß R (ohne) und R‘ (mit Flankenübertragung), sowie Kurzbezeichnung

der Schallübertragungswege



R' ist (bei Vernachlässigung von 10 lg(S/A)) das Verhältnis der auf ein Bauteil auftreffenden Schallenergie P1 zu der

auf seiner Rückseite in den Nachbarraum abgegebenen Energie P2 in folgender Beziehung (vgl. Abschn. 4.3.5):

R' = 10 lg(P1/P2) in [dB]

Ein Schalldämm-Maß R' = 30 dB bedeutet, dass das Verhältnis P2/P1 = 1/1000 beträgt; wegen der großen

Empfindlichkeit des menschlichen Ohres wird dieses Verhältnis und damit die Dämmung als sehr schlecht empfunden.

R' = 50 dB bedeutet P2/P1 = 1/100 000.

Für die praktische Anwendung ist der gemessene, frequenzabhängige Verlauf von R, R' unzweckmäßig. Deshalb

werden in der Baupraxis nur die E i n z a h l - Angaben Rw, R'w verwendet.

4.4.4 B e w e r t e t e s Schalldämm-Maß Rw und R'w

Die Kurve des gemessenen Schalldämm-Maßes R bzw. R' wird mit dem Verlauf einer Bezugskurve verglichen, die

vereinfachend den idealen Verlauf (nicht die ideale Größe) der Schalldämmung eines Bauteils unter Berücksichtigung

der geringeren Empfindlichkeit des menschlichen Ohres für tiefe Frequenzen darstellt (Bild 4-10). Diese Bezugskurve

wird nun so weit in Richtung der Ordinate um ganze dB parallel verschoben, bis die mittlere Unterschreitung der

Bezugskurve durch die Messkurve nicht mehr als 2 dB beträgt; Überschreitungen dürfen dabei nicht berücksichtigt

werden. Aus der Verschiebung der Bezugskurve ergibt sich das bewertete Schalldämm-Maß Rw bzw. R'w des Bauteils.

Die Lage der Bezugskurve entspricht Rw(R'w) = 52 dB.

Bild 4-10: Ermittlung des bewerteten Schalldämm-Maßes Rw, R’w durch Verschieben der Bezugskurve

B (Rw, R’w = 52 dB), M Messkurve, Bv verschobene Bezugskurve



4.4.5 Subjektive Wirkung der Schalldämmung

Wie stark Geräusche aus dem lauten Raum noch im leisen Raum verständlich sind, hängt nicht nur von der

Schalldämmung zwischen den beiden Räumen ab (R'w ), sondern auch von der Größe des Grundgeräuschpegels im

leisen Raum (vgl. Tabelle 4.2). Die Schalldämmung von Bauteilen sollte daher in ruhiger Umgebung besonders gut

sein.

Tabelle 4.2: Durchhören von Sprache nach Gösele (1997)

Sprache ist durch

das Bauteil hindurch

20 dB(A) 30 dB(A)

67 57 nicht zu hören

57 47 zu hören, jedoch nicht zu verstehen

52 42 teilweise zu verstehen

42 32 gut zu verstehen

R’w in dB

bei Grundgeräuschpegel

4.4.6 Abschätzung des Schallpegels im leisen Raum

Bei der Bewertung der Schalldämmung von Bauteilen (Rw , R'w) geht man von den einzelnen Frequenzbereichen aus,

die entsprechend der frequenzabhängigen Empfindlichkeit des menschlichen Ohres unterschiedlich eingehen (Abschn.

4.4.4). Ähnlich geht man bei der „Bewertung“ von Geräuschen mit der Einzahlangabe des Lautstärkepegels

(Schallpegel) in dB(A) vor (vgl. Abschn. 4.3.6), wobei aus demselben Grund die einzelnen Frequenzbereiche ebenfalls

mit unterschiedlichem Gewicht eingehen.

Wegen dieser qualitativ gleichartigen Behandlung der Schallpegel und der Schalldämmung folgt in grober Annäherung

(Bild 4-11): Li La - R'w

Bild 4-11: Trennendes Bauteil; Schalldämmung zwischen beiden Räumen: R’w; Schallpegel im lauten und leisen Raum:

La bzw. Li

Darin sind:

La Schallpegel im lauten Raum in dB(A)

Li Schallpegel im leisen Raum in dB(A)

R'w Schalldämmung des Bauteils in dB

Beispiel: Trennwand zwischen 2 Wohnungen mit R'w = 52 dB; im „lauten“ Raum La = 80 dB(A), im „leisen“ Raum Li

80 - 52 = 28 dB.

Anmerkung: Die Mindestanforderungen der DIN 4109 an die Bauteile sind derart konzipiert, dass im „leisen“ Raum in

aller Regel ein Schallpegel Li von etwa 25 dB(A) bis 30 dB(A) eingehalten wird, wenn der Schallpegel La im „lauten“

Raum oder im Freien den Annahmen der Norm entspricht.

4.4.7 Zusammenwirken von Flächenanteilen mit unterschiedlicher Schalldämmung (R'w res)

Werden z.B. Fenster oder Türen in Wände eingebaut, dann ergibt sich aus der energetischen Addition aller beteiligten

Einzelübertragungen das resultierende Schalldämm-Maß R'w res aus:



10

R

10A...10

R

10A10

R

10AA

1lg10R

'wn

n

'2w

2

'1w

1ges

'resw Gl. 4-5

Darin sind:

A1 bis An Flächen der einzelnen Elemente des Bauteils

Ages = n

1i Ai Summe der Einzelflächen

R’w1 bis R’wn bewertete Schalldämm-Maße (R’w bzw. Rw der einzelnen Elemente des Bauteils)

Der Wert R'w res liegt dabei immer zwischen dem kleinsten und größten Einzelwert R'wn.

Beispiel: Wand mit Fenster;

Wand A1 = 12,0 m², R'w 1 = 50 dB;

Fenster: A2 = 4,0 m², R'w2 = 32 dB;

R'w res = -10 lg [1/16,0(12,010-5,0

+ 4,010-3,2

)] = 38 dB

4.4.8 Grenzfrequenz, biegesteife Bauteile, biegeweiche Schalen

Die Luftschalldämmung einschaliger, homogener, dichter Bauteile hängt in erster Linie von ihrer flächenbezogenen

Masse m' ab (vgl. Bild 4-12). Die Schalldämmung solcher Bauteile ist also um so besser, je größer m' ist.

Bild 4-12: Bewertetes Schalldämm-Maß R'w von einschaligen Wänden und Decken in Abhängigkeit von ihrer

flächenbezogenen Masse m‘; gestrichelt eingezeichnete Gerade gilt für Platten von besonders geringer Biegesteifigkeit,

z.B. Stahl- oder Bleiblech, Gummiplatten

Daneben wird aber die Schalldämmung - vor allem bei dünnen Bauteilen - auch noch von der Biegesteifigkeit

beeinflusst. Hierbei ist die Lage der Grenzfrequenz fg entscheidend. fg ist diejenige Frequenz, bei der die

Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Biegewellen innerhalb des Bauteils mit der Geschwindigkeit übereinstimmt, mit der

die „Spur“ der schräg einfallenden Luftschallwelle die Bauteiloberfläche entlang eilt („Spuranpassung“ oder

„Koinzidenz“) (Bild 4-13).



Bild 4-13: Spuranpassung und Grenzfrequenz fg bei dünneren Schalen infolge schräg einfallenden Schalls

Das Minimum der Schalldämmung eines solchen einschaligen Bauteils tritt etwas oberhalb von fg auf (vgl. Bild 4-14).

Vereinfachend kann fg für homogene Bauteile aus

Ed

60fg

in [Hz] Gl. 4-6

ermittelt werden.

Bild 4-14: Der ungünstige Einfluss der Biegesteifigkeit auf die Schalldämmung dünner Wände nach Gösele (1997):.

Eine Gummiplatte (b) hat wegen ihrer geringen Biegesteifigkeit eine bessere Schalldämmung als eine gleichschwere

Betonplatte (a) (jeweils 55 kg/m²),c ideeller Verlauf für EI = 0; fg Grenzfrequenz

Darin sind: d Dicke des Bauteils in m, Rohdichte des Baustoffs in kg/m³,

E Elastizitätsmodul des Baustoffs in MN/m².

fg liegt um so niedriger, je dicker und je steifer das Bauteil ist. Wegen des besonders wichtigen akustischen Hörbereichs

sind Grenzfrequenzen entweder unter 100 Hz oder möglichst über 2000 Hz anzustreben. Anderenfalls kann sich eine

wesentlich schlechtere Bewertung und damit schlechtere Schalldämmung des Bauteils ergeben.

Platten oder Schalen, deren Grenzfrequenz etwa 1500 Hz oder mehr beträgt, werden als biege w e i c h bezeichnet, z.B.

Gipskartonplatten bis etwa 15 mm und Spanplatten bis ca. 16 mm Dicke. Biege s t e i f sind z.B. Mauerwerk,

Massivdecken.



4.4.9 Resonanzfrequenz zweischaliger Bauteile

Zweischalige Bauteile, bei denen die beiden Schalen über eine Dämmschicht oder eine Luftschicht miteinander

verbunden (gekoppelt) sind, stellen ein Masse-Feder-System dar (Bild 4-15). Dieses Schwingungssystem besitzt eine

Resonanzfrequenz fo (Eigenfrequenz), bei der sich für die Massen unter Einwirkung eines Wechseldruckes die größte

Schwingungsamplitude ergibt.

Bild 4-15: Zweischaliges Bauteil als Masse-Feder-System (schematisch)

Bei solchen Systemen sind 3 Frequenzbereiche zu unterstreichen (Bild 4-16):

Bild 4-16: Einfluss der Steifigkeit s‘ des Dämmstoffes oder der Luftschicht zwischen den beiden Schalen eines Bauteils

auf die Schalldämmung R

f < fo beide Massen schwingen, als wenn sie starr gekoppelt wären (Dämmwirkung wie für gleichschweres,

einschaliges Bauteil)

f fo Amplituden sind größer als die Anregung (starke Verschlechterung der Dämmwirkung)

f > fo Amplituden werden kleiner als die Anregung (immer stärkere Verbesserung der Dämmwirkung).

Vorsatzschalen bewirken also nur dann eine Verbesserung gegenüber dem einschaligen Bauteil, wenn die

Resonanzfrequenz fo des zweischaligen Systems möglichst tief, d.h. an der unteren Grenze des uns interessierenden

Frequenzbereiches (100 Hz) oder darunter liegt. Für einige Konstruktionen sind die Gleichungen für die Abschätzung

von fo in Bild 4-17 angegeben.



Bild 4-17: Näherungsweise Ermittlung der Eigenfrequenz fg zweischaliger Bauteile unter Verwendung biegeweicher

Schalen

m‘ Masse der biegeweichen Schale (kg/m²)

a Abstand der Schalen (m)

s‘ dynamische Steifigkeit der Dämmschicht (MN/m³)

MiFa schallabsorbierende Einlage (mineralischer Faserdämmstoff)

4.5 Grundlagen zum Trittschallschutz

4.5.1 Allgemeines

Decken werden durch viele Körperschallanregungen (allgemein als Trittschallanregung bezeichnet) in

Biegeschwingungen versetzt. Die Schwingungen werden auf angrenzende Bauteile übertragen, so dass die

Schallübertragung auch in weiter entfernte Räume stattfinden kann.

4.5.2 Normtrittschallpegel Ln

Die Decke wird durch ein genormtes Hammerwerk angeregt. Gemessen wird zunächst der Trittschallpegel LT im zu

beurteilenden, zumeist darunterliegenden Raum, und zwar getrennt für die einzelnen Frequenzbereiche (Terzen). Dieser

Schallpegel wird jedoch wieder von der Schallabsorption im Empfangsraum, d.h. von dessen Ausstattung beeinflusst.

Deshalb wird für die Bewertung der Trittschalldämmung einer Decke der Norm-Trittschallpegel Ln herangezogen, das

ist derjenige Pegel, der im Empfangsraum vorhanden wäre, wenn in diesem A = AO wäre, wobei die Bezugs-

Schallabsorptionsfläche AO zu 10 m² angenommen wird (mäßig möblierter Raum).

Es ist:

0Tn

A

Alg10LL in [dB] Gl. 4-7

Darin ist A: äquivalente Schallabsorptionsfläche des Empfangsraumes (m²) (vgl. Abschn. 4.4.2).



4.5.3 Bewerteter Normtrittschallpegel Ln,w

Die Messkurve für Ln (L'n bei Messung mit Nebenwegen) von Decken in fertigem Zustand wird mit einer vorgegebenen

Bezugskurve B verglichen (Bild 4-18). Diese Bezugskurve berücksichtigt wieder, dass das menschliche Ohr für hohe

Frequenzen empfindlicher ist als für tiefe. Die Parallelverschiebung der Bezugskurve (in ganzen dB) kennzeichnet das

TSM der gemessenen Decke, wobei die Überschreitung der verschobenen Bezugskurve vB durch die Messkurve M im

Mittel nicht größer sein darf als 2 dB (Unterschreitungen werden nicht berücksichtigt). Die Verschiebung der

Bezugskurve zu niedrigeren Pegelwerten ist positiv, zu höheren Pegelwerten negativ. Aus dem TSM ergibt sich:

Ln,w = 63 dB – TSM Gl. 4-8

Bild 4-18: Ermittlung von TSM und Ln,w einer Decke durch Verschieben der Bezugskurve B, M Messkurve, B

Bezugskurve (TSM = 0 dB), vB verschobene Bezugskurve

Bei der Bewertung von Messergebnissen für die Trittschalldämmung liegen entgegengesetzte Verhältnisse zur

Luftschalldämmung vor:

beim Luftschall (Rw, R'w) wird von D ä m m - Maßen (R') (Schallpegel- d i f f e r e n z e n) ausgegangen; je größer

die gemessenen Werte, desto besser die Schalldämmung; eine Verschiebung der Bezugskurve nach unten bedeutet

ein schlechteres Dämm-Maß (Bild 4-10);

bei Trittschall Ln,w wird von Schall p e g e l n (Ln, L'n) im Empfangsraum ausgegangen; je größer die dort

gemessenen Werte, desto schlechter die Schalldämmung (Bild 4-18).

4.5.4 Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel Ln,w,eq von massiven Rohdecken ohne Deckenauflage

Da in der Praxis immer wieder interessiert, welche Rohdecke und welche Deckenauflage (z.B. schwimmender Estrich)

zu verwenden sind, um einen vorgegebenen Ln,w einzuhalten (Bild 4-19), ist für die Beurteilung der Rohdecke in

solchen Fällen nicht der Ln,w entscheidend, sondern der Ln,w,eq (Einzahl-Angabe). Ln,w,eq gibt - als korrigierter Ln,w der

Rohdecke - das Verhalten der Rohdecke im Hinblick auf eine noch aufzubringende, trittschalldämmende Auflage

wieder.



Bild 4-19: Verbesserung der Trittschalldämmung von Rohdecken (R) durch Deckenauflagen, z.B. schwimmender

Estrich (E), weichfedernder Gehbelag (G) (schematisch)

4.5.5 Trittschallverbesserungsmaß Lw von Deckenauflagen oder Gehbelägen für massive Rohdecken

Bei der Messung ergibt sich Lw aus der Differenz der Normschallpegel Ln einer Bezugsdecke (mit festgelegtem

Trittschallpegel-Verlauf) ohne und mit Deckenauflage. Lw kennzeichnet die frequenzabhängige

Trittschallpegelminderung L durch die geprüfte Deckenauflage (Einzahlangabe in dB).

4.5.6 Bewerteter Normtrittschallpegel L’n,w von Massivdecken

Der L‘n,w für die gebrauchsfertige Decke (Rohdecke + Deckenauflage) ergibt sich mit 4.5.4 und 4.5.5 zu (vgl. jedoch

Mindestanforderungen an die Trittschalldämmung in Wohngebäuden, FN1):

L‘n,w = Ln,w,eq - Lw in [dB] Gl. 4-9

4.6 Anforderungen an den Schallschutz

4.6.1 Vorbemerkung

Nachfolgend wird nur der allgemeine Hochbau und auch dieser nur auszugsweise behandelt. Dabei ist zu unterscheiden

zwischen dem Schutz

im Gebäudeinnern (Luft- und Trittschallschutz von Innenbauteilen)

gegen Außenlärm (Luftschallschutz von Außenbauteilen).

Die Anforderungen sind in DIN 4109 - Schallschutz im Hochbau, Anforderungen und Nachweise - (Ausgabe 1989)

festgelegt. Bezüglich des Außenlärms sind erforderlichenfalls u.a. zusätzlich zu beachten:

Gesetz zum Schutz gegen Fluglärm (1971) und nachgeschaltete Verordnungen

Örtlich begrenzte Vorschriften (Fluglärm) in einigen Bundesländern

4.6.2 Anforderungen an den Schallschutz im Innern von Gebäuden

4.6.2.1 Allgemeines

Durch M i n d e s t anforderungen zwischen f r e m d e n Wohn- oder Arbeitsbereichen soll der Mensch in

Aufenthaltsräumen vor unzumutbarer Luft- und Trittschallübertragung (Sprache, Musik, Gehen, Stühlerücken,

Haushaltsgeräte u.dgl.) geschützt werden.



Angegeben werden Grenzwerte für die Schalldämmung der betreffenden Bauteile (z.B. Wand, Decke, Tür),

ausgedrückt durch das

bewertete Schalldämm-Maß R'w (dB) - bei Türen Rw - für die Luftschalldämmung

Trittschallschutzmaß TSM (dB) für die Trittschalldämmung von Decken,

die nicht unterschritten werden dürfen. Die Mindestanforderungen sind so bemessen, dass Menschen in

Aufenthaltsräumen bei vertretbarem baulichem Aufwand vor Belästigungen durch Schallübertragungen geschützt

werden, wenn in den benachbarten Räumen keine ungewöhnlich starken Geräusche verursacht werden (Annahme: etwa

L 80 dB(A)).

Die für ein trennendes Bauteil geforderten Werte sind von diesem Bauteil im Zusammenwirken mit den flankierenden

Bauteilen einzuhalten; die Angaben beziehen sich also nicht auf das trennende Bauteil allein, sondern auf die r e s u l t i

e r e n d e Schalldämmung zwischen den beiden Räumen. Der Einfluss flankierender Teile auf die Schalldämmung kann

erheblich sein und die Schalldämmung des eigentlichen trennenden Bauteils u.U. entscheidend verschlechtern (vgl.

Abschn. 4.8.4 ff.)

Neben den verbindlichen Mindestanforderungen gibt es noch

Richtwerte für den Schallschutz innerhalb des eigenen Wohn- oder Arbeitsbereichs sowie

Vorschläge für einen erhöhten Schallschutz zwischen fremden Bereichen oder innerhalb des eigenen Bereiches,

die in DIN 4109 Beiblatt 2 lediglich empfohlen werden. Die Anwendung dieser Werte ist freigestellt und bedarf der

Vereinbarung, z.B. zwischen Bauherr und Entwurfsverfasser.

4.6.2.2 Mindestanforderungen an die Luftschalldämmung in Wohngebäuden

Nachstehend aus DIN 4109 einige Angaben für die Mindestanforderungen R'w zwischen fremden Räumen, in (dB)

Abweichungen für Gebäude mit nur 2 Wohnungen:

Wohnungstrennwände 53 dB

Treppenraumwände 52 dB

Haustrennwände von Einfamilien-Reihenhäusern 57 dB

Wohnungstrenndecken 54 dB (52 dB)

Decken über Kellern 52 dB

Decken unter nutzbaren Dachräumen 53 dB (52 dB)

4.6.2.3 Mindestanforderungen an die Trittschalldämmung in Wohngebäuden

Nachstehend aus DIN 4109 einige zulässige Werte L‘n,w für die geforderte Trittschalldämmung zwischen fremden

Räumen:

Wohnungstrenndecken 53 dB5

Kellerdecken 53 dB6

Decken unter nutzbaren Dachräumen 53 dB7

5 In Gebäuden mit nur 2 Wohnungen dürfen weichfedernde Gehbeläge angerechnet werden; ansonsten dürfen sie nicht in Rechnung gestellt werden, da sie infolge Verschleiß oder

wegen besonderer Wünsche der Bewohner ausgetauscht werden können.

6 Anforderungen nur bezüglich Trittschallübertragung in fremde Aufenthaltsräume.

7 In Gebäuden mit nur 2 Wohnungen zul. L‘n,w = 63 dB.



4.6.3 Anforderungen an den Schallschutz gegen Außenlärm

4.6.3.1 Grundlagen

Ziel ist der Schutz des Menschen in Aufenthaltsräumen vor Außenlärm (z.B. infolge Straßen-, Schienen-, Wasser- und

Flugverkehr). Die baulichen Maßnahmen (Außenwände, Dächer, Fenster) sollen in den Aufenthaltsräumen zumutbare

Schallpegel gewährleisten (etwa Li 25 ... 30 dB(A)). Sie sind abhängig davon, welcher Schallpegel vor dem Gebäude

auftritt.

Für die Beurteilung und Klassifizierung des vor dem Gebäude auftretenden bzw. zu erwartenden Außenlärms sind die

„maßgeblichen Außenlärmpegel“ mit den zugehörenden Lärmpegelbereichen (vgl. Tabelle 4.3) zu verwenden, aus

denen sich dann die jeweils erforderliche Luftschalldämmung der Außenbauteile ergibt.

Der maßgebliche Außenlärmpegel kann z.B. für den Straßenverkehr, sofern keine anderen Festlegungen bestehen (z.B.

gesetzliche Vorschriften, Lärmkarten), aus einem Nomogramm nach DIN 4109 ermittelt werden (sog. Mittelungspegel),

in dem die maßgebenden Einflussgrößen berücksichtigt sind (Verkehrsbelastung in Kfz/Tag, Entfernung des Gebäudes

von der Straßenmitte, Art der Straße, Art der Bebauung, Neigung der Straße, Entfernung von lichtsignalgeregelter

Kreuzung). Der maßgebliche Außenlärmpegel darf für die von der maßgeblichen Lärmquelle (z.B. Straßenseite)

abgewandten Gebäudeseiten bei offener Bebauung um 5 dB(A), bei geschlossener Bebauung (z.B. Reihenhäuser) um

10 dB(A) gemindert werden.

Tabelle 4.3: Lärmpegelbereiche (LPB) in Abhängigkeit vom maßgeblichen Außenlärmpegel (maßg. La)

maßg. La (dB(A)) 55 55..60 61..65 66..70 71..75 76..80 > 80

LPB I II III IV V VI VII

4.6.3.2 Anforderungen an die Luftschalldämmung von Außenbauteilen

In DIN 4109 sind die erforderlichen Schalldämm-Maße R'w der Außenbauteile (Wand, Dach, Fenster) in Abhängigkeit

vom vorliegenden Lärmpegelbereich für die 3 verschiedenen Gebäudearten

Krankenanstalten u.dgl.

Wohngebäude

Bürogebäude

festgelegt. Tabelle 4.4 enthält auszugsweise die Angaben für die Außenbauteile von Aufenthaltsräumen in

Wohngebäuden (ausgenommen Küchen, Bäder). Bei zusammengesetzten Bauteilen, z.B. Außenwand + Fenster, gelten

die Anforderungen für das resultierende Schalldämm-Maß R'w res (vgl. Abschn. 4.4.7).

Die Werte nach Tabelle 4.4 sind in Abhängigkeit vom Verhältnis AW+F/AG zu korrigieren (AW+F: gesamte Außenfläche

des Raumes, AG: Grundfläche des Raumes); Korrekturwerte (von +5 dB bis -3 dB) siehe DIN 4109 Tabelle 9; für

Wohngebäude mit üblicher Raumhöhe von etwa h = 2,50 m und Raumtiefen von mindestens etwa 4,5 m darf ohne

Nachweis der Korrekturwert -2 dB verwendet werden. Mit dieser Korrektur soll die im Verhältnis zum Raumvolumen

unterschiedliche imitierte Schallenergie berücksichtigt werden.

Tabelle 4.4: erf R'w für Außenbauteile von Wohngebäuden

LPB I II III IV V VI VII

erf R’w (dB) 30 30 35 40 45 50 1

1)Auf Grund des örtlichen Gegebenheiten gesondert festzulegen



4.6.3.3 Schallschutz gegen Fluglärm

Das Gesetz zum Schutz gegen Fluglärm (1971) sowie nachgeschaltete Verordnungen sollen den Schutz in der

Umgebung von Verkehrsflughäfen sowie von militärischen Flugplätzen regeln. Der Lärmschutzbereich wird an Hand

des äquivalenten Dauerschallpegels Leq in 2 Schutzzonen unterteilt.

Schutzzone 1 (Leq 75 dB(A)): Wohnungen üblicher Nutzung dürfen nicht errichtet werden; für Außenbauteile

von Aufenthaltsräumen R'w 50 dB;

Schutzzone 2 (Leq 67 bis 75 dB(A)): R'w 45 dB.

Über die Schutzzonen nach dem Fluglärmschutzgesetz hinaus existieren in einigen Bundesländern weitere

Fluglärmzonen, in denen in Abhängigkeit von Leq bewertete Schalldämm-Maße R'w zwischen 35 dB und 50 dB

gefordert werden.

4.7 Nachweis des geforderten Schallschutzes (Übersicht)

Haben Bauteile Anforderungen zu erfüllen, so ist der Nachweis ihrer Eignung auf zweierlei Art möglich:

mit bauakustischen Messungen

ohne bauakustische Messungen.

4.7.1 Nachweis mit bauakustischen Messungen (Eignungsprüfungen)

Diesen Nachweis wird man möglichst vermeiden, da er mit Zeitaufwand und erheblichen Kosten verbunden sein kann.

Er ist aber immer dann erforderlich, wenn die Konstruktion ohne Messungen, d.h. allein an Hand der Daten in DIN

4109 Beiblatt 1 (vgl. Abschn. 4.7.2), nicht oder nicht ausreichend sicher beurteilt werden kann. Man unterscheidet 2

Prüfungen (dargestellt nur am Beispiel von R'w und TSM für gebrauchsfertige Bauteile):

Eignungsprüfung I

Messung gebrauchsfertiger Bauteile im P r ü f s t a n d mit (im Massivbau) bauähnlicher Flankenübertragung nach

DIN 52 210 Teil 2; dabei muss von den Messwerten R'wP bzw. L‘n,w,P erfüllt werden (Index P für „Prüfstand“):

R'wP R'w + 2 dB Gl. 4-10

L‘n,w,P zul. L‘n,w - 2 dB Gl. 4-11

Das „Vorhaltemaß“ 2 dB, das für alle Messwerte anzuwenden ist, die durch Eignungsprüfung I ermittelt werden, soll

die bessere Ausführungsqualität der Bauteile im Labor („Labor-Schönheiten“) gegenüber der Baustelle ausgleichen.

Eignungsprüfung III

Messung der Bauteile oder Bauarten in ausgeführten B a u t e n (bezugsfertig oder bezogen); i.d.R. nur für solche

Bauteile, die aufgrund ihrer Abmessungen nicht in Prüfstände eingebaut werden können (Sonderbauteile); dabei muss

von den Messwerten R'wB bzw. L‘n,w,B (Index B für „Bau“) erfüllt werden:

R'wB erf R'w Gl. 4-12

L‘n,w,B zul. L‘n,w Gl. 4-13

4.7.2 Nachweis ohne bauakustische Messungen

Siehe Abschnitt 4.8.



4.8 Nachweis ohne bauakustische Messungen

Bauakustische Prüfungen sind nicht erforderlich, wenn die Bauteile aufgrund der Angaben in DIN 4109 Beiblatt 1

beurteilt werden können.

Die dort angegebenen Rechenwerte, z.B. R'wR für die Luftschalldämmung, L‘n,w,R für das Trittschallschutzmaß, können

mit den erforderlichen Werten - ohne jeden Abzug - direkt verglichen werden. Es ist einzuhalten:

R'w,R erf R'w Gl. 4-14

L‘n,w,R zul. L‘n,w Gl. 4-15

4.8.1 Luftschalldämmung von schweren Außenbauteilen

4.8.1.1 Rechenwerte R'wR

Für einschalige, biegesteife Außenwände und schwere Flachdächer dürfen in Abhängigkeit von ihrer flächenbezogenen

Masse m' ohne weiteren Nachweis die bewerteten Schalldämm-Maße R'wR (Rechenwerte, Index R für „Rechenwert“)

nach

Tabelle 4.5 verwendet werden (Sicherheitsabschlag von etwa 1 dB bis 2 dB gegenüber Bild 4-12).

Tabelle 4.5: Rechenwerte R’wR (300) des bewerteten Schalldämm-Maßes einschaliger biegesteifer Bauteile in

Abhängigkeit von ihrer flächenbezogenen Masse m' für flankierende Bauteile mit m'Lm 300 kg/m² (Auszug aus

DIN 4109 Bbl 1)

m’ (kg/m²) 85 95 115 135 160 190 230 270 320 380 450 530

R’wR (300)

(dB)34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

Anmerkungen zu

Tabelle 4.5 (vgl.

Bild 4-20):

Die Tabelle gilt für einschalige, biegesteife Außenwände und Flachdächer (Bild a).

Die Tabelle gilt nicht für Außenwände mit innen- oder außenseitigem Wärmedämmverbundsystem. In solchen

Fällen kann sich die Schalldämmung gegenüber der rohen Wand erheblich verschlechtern, wenn Dämmplatten

hoher dynamischer Steifigkeit (z.B. Holzwolle-Leichtbauplatten oder Hartschaumplatten) vollflächig oder

punktweise angesetzt oder anbetoniert und z.B. durch Putz, Bauplatten oder Fliesen abgedeckt werden (Bild b)

(vgl. Abschn. 4.4.9). Für solche Bauteile ist der Nachweis mit bauakustischen Messungen erforderlich.

Verbesserung der Schalldämmung gegenüber der rohen Wand durch Anordnung biegeweicher Vorsatzschalen

(Bild c). Siehe Tabelle 4.6.

Bei Außenwänden mit leichten Vorhangschalen nach DIN 18 516 oder schweren Vorhangfassaden nach DIN 18

515 wird nur die Masse der Wand berücksichtigt (Bild d).

Bei zweischaligem Mauerwerk mit Luftschicht (Bild e) dürfen die Massen der beiden Schalen addiert und der damit aus

Tabelle 4.5 abgelesene Wert für R'wR um 5 dB erhöht werden (Erhöhung 8 dB, wenn Masse der an die Außenwand

stoßenden Innenwand mindestens 50% der Masse der raumseitigen Außenwandschale beträgt).



Bild 4-20: Biegesteife Massivbauteile (Beispiele)

a biegesteife Wand, b mit außenliegendem Wärmedämmverbundsystem WDVS, c mit innenliegender Vorsatzschale,

d mit äußerer Vorhangschale, e zweischaliges Mauerwerk, durch Drahtanker miteinander verbunden

Werden einschalige biegesteife Wände mit biegeweichen Vorsatzschalen nach DIN 4109 Beiblatt 1 versehen (Auszug

siehe Bild 4-21), so ergibt sich eine wesentliche Verbesserung der Rechenwerte R'wR für die Wand gegenüber den

Werten nach

Tabelle 4.5 (vgl. Tabelle 4.6).

Tabelle 4.6: R'wR für einschalige biegesteife Wände mit biegeweicher Vorsatzschale in Abhängigkeit von der Masse m'

der biegesteifen Wand (in ( ) die Werte nach

Tabelle 4.5 für Wände ohne Vorsatzschale)

m’ (kg/m²) 100 200 250 300 400 500

R’wR (dB)49

(36)

50

(44)

52

(47)

54

(49)

56

(52)

58

(55)

Bild 4-21: Geeignete biegeweiche Vorsatzschalen für die Verbesserung einschaliger biegesteifer Wände (Auszug aus

DIN 4109 Beiblatt 1)

HO Hohlraum, MiFa Mineralischer Faserdämmstoff, GKB Gipskarton-Bauplatte, AB Ansatzbinder (punkt- oder

streifenförmig)



4.8.1.2 Ermittlung von m'

Da R'wR mit wachsendem m' größer wird, sind für den Nachweis des Schallschutzes - im Gegensatz zur statischen

Bemessung der Bauteile - bei der Ermittlung von m' die unteren Rohdichtegrenzen für die Baustoffe einzusetzen.

Beispiele aus DIN 4109 Beiblatt 1:

Stahlbeton aus Normalbeton = 2300 kg/m³

Gasbeton > 1000 kg/m³: rechn = - 100 kg/m³

1000 kg/m³: rechn = - 50 kg/m³

Rohdichte W gemauerter Wände in Abhängigkeit von der Steinrohdichte N und der Mörtelart (Normalmörtel,

Leichtmörtel mit Mö 1000 kg/m³), z.B. für N = 1800: W = 1720 (Normalmörtel), W = 1600 (Leichtmörtel).

4.8.1.3 Ausführungsbeispiele für Mauerwerk

DIN 4109 Beiblatt 1 enthält eine Vielzahl von Ausführungsvarianten für Mauerwerk, für die - ohne Ermittlung von m' -

der Rechenwert R'wR in Abhängigkeit von der Wandkonstruktion, Steinrohdichteklasse, Mörtelart, Wanddicke sofort

abgelesen werden kann.

4.8.2 Luftschalldämmung von leichten Außenbauteilen mit biegeweichen Schalen

4.8.2.1 Allgemeines Verhalten

Biegeweiche Schalen siehe Abschn. 4.4.8. Typische Vertreter von Bauteilen mit biegeweichen Schalen sind Wände in

Holzbauart (Holzrippen mit ein- oder beiderseitiger Beplankung aus Holzwerkstoffen oder Gipsbauplatten) oder in

Ständerbauart (z.B. Blechprofil-Ständer mit beiderseitiger Bekleidung) (vgl. Bild 4-22).

a Holzbauart b Ständerbauart

Bild 4-22: Beispiele für Wände mit biegeweichen Schalen (zweischalige Einfachwände)

Die Schallübertragung erfolgt bei solchen Bauteilen unabhängig voneinander über 2 Wege (Bild 4-23).

Bild 4-23: Schallübertragungen bei Bauteilen mit biegeweichen Schalen



Übertragung über den Lufthohlraum (Weg 1):

Bild 4-24: Grundsätzlicher Verlauf der Schalldämmung einer zweischaligen Wand aus dünnen Schalen

a zwei Schalen, b nur eine Schale, B Bewertungskurve nach DIN 4109

Zwei Schalen, die ohne feste Verbindung im Abstand voneinander angeordnet sind, verhalten sich annähernd wie in

Bild 4-24 schematisch dargestellt (Verlauf a). Zum Vergleich ist die Schalldämmung eines gleichschweren,

einschaligen Bauteils eingetragen (Verlauf b). Die Verbesserung des zweischaligen beginnt oberhalb seiner

Eigenfrequenz (Resonanzfrequenz) fo. Bei fo tritt dagegen eine ausgeprägte Verschlechterung der Schalldämmung auf.

Die Eigenfrequenz errechnet sich näherungsweise, wenn der Hohlraum mit einer schallschluckenden Einlage versehen

ist, aus

am

85f

'o

in [Hz] Gl. 4-16

Darin sind:

m' Masse der einzelnen biegeweichen Schale in kg/m²

a lichter Schalenabstand in m

Damit eine zweischalige Wand im gesamten Frequenzbereich eine brauchbare Schalldämmung aufweist, sollte ihre

Eigenfrequenz 100 Hz möglichst nicht überschreiten.

Beispiel:

16 mm Spanplatte, m' = 0,016 700 = 11,2 kg/m², lichter Schalenabstand a = 8 cm,

9008,02,11

85f0

Hz



Übertragung über die Rippen (Weg 2):

Die große Schalldämmung des Gefachbereiches wird durch die Schallübertragung über die Rippen, wenn sie beide

Schalen miteinander verbinden, wesentlich verschlechtert und zwar um so mehr, je steifer die Verbindung Rippe -

Schale ist (Bild 4-25) oder je kleiner der Rippenabstand ist.

Bild 4-25: Wirkung von Schallbrücken auf die Schalldämmung einer doppelschaligen Wand nach Gösele (1997)

a beide Schalen völlig getrennt, b beide Schalen durch Rippen verbunden, c eine Schale allein

4.8.2.2 Rechenwerte R'wR

DIN 4109 Beiblatt 1 enthält Ausführungsbeispiele für Außenwände und Dächer in Holzbauart mit den zugehörenden

Rechenwerten R'wR zwischen 35 dB und 52 dB. Anforderungen an flankierende Bauteile - wie bei Innenbauteilen in

Holzbauart - bestehen hier nicht, da der Einfluss flankierender Bauteile auf die Schalldämmung von Außenbauteilen

vernachlässigbar klein ist. Beispiele siehe Bild 4-26.



Bild 4-26: Beispiele für Rechenwerte R’wR von Außenbauteilen

a) Außenwand in Holzbauart mit R’wR = 42 dB;

Erklärung: FP 13: 13 mm Spanplatte DIN 68763;

GKB 9,5: 9,5 mm Gipskarton-Bauplatte DIN 18180;

MiFa: mineralischer Faserdämmstoff, ≥ 5 kN∙s/m4

b) geneigtes Dach mit Ständerbauart mit R’wR = 45 dB;

Erklärung: vgl. a;

DD Dachdeckung;

USB Unterspannbahn;

QL Querlattung

c) Flachdach in Holzbauart mit R’wR = 50 dB;

Erklärung: vgl. a;

4.8.3 Luftschalldämmung von Fenstern

In DIN 4109 Beiblatt 1 sind die Rechenwerte RwR für die häufigsten Konstruktionsarten genannt, die ohne weiteren

Nachweis verwendet werden dürfen, wenn die vorgegebenen Randbedingungen eingehalten sind. Berücksichtigt sind

folgende Fensterarten (Bild 4-27):

Einfachfenster

Verbundfenster

Kastenfenster



Bild 4-27: In DIN 4109 Beiblatt 1 berücksichtigte Fensterarten

a Einfachfenster mit Isolierverglasung, b Verbundfenster, b1 mit Einfachscheiben, b2 mit Einfach- und

Isolierglasscheibe, c Kastenfenster (mit 2 Einfachscheiben oder 1 Isolierglas- und 1 Einfachscheibe)

Zu den wichtigsten Randbedingungen gehören (von wenigen Ausnahmen für RwR = 25 dB und 30 dB abgesehen):

Umlaufende Falzdichtungen, weichfedernd, dauerelastisch, alterungsbeständig, auswechselbar

genügende Anzahl von Verriegelungsstellen (Schließdruck)

abgedichtete Fugen zwischen Fensterrahmen und Außenwand.

Die angegebenen Rechenwerte schwanken zwischen RwR = 25 dB und RwR = 45 dB (spezielle Verbund- und

Kastenfenster mit besonderen Anforderungen an Gesamtglasdicken und Scheibenzwischenraum). Für das derzeit

allgemein übliche Fenster im Wohnungsbau - Einfachfenster mit Gesamtglasdicke 8 mm (4+4), Scheibenzwischenraum

12 mm und RwR(V) ≥ 32 dB für die Verglasung allein - darf RwR = 32 dB eingesetzt werden. Man sieht sofort, ein

solches Fenster ist auch schallschutztechnisch die schwache Stelle in der Gebäudehülle.

Die Rechenwerte gelten für Fenster bis 3 m² Glasfläche. Bei größeren Flächen sind die Rechnwerte um 2 dB

abzumindern.

Ferner werden in DIN 4109 Beiblatt 1 auch Rechenwerte RwR für vorgegebene Konstruktionen von Rollladenkästen

genannt (RwR = 25 dB bis 40 dB).

4.8.4 Luftschalldämmung von Innenbauteilen, Allgemeines

In DIN 4109 sind die Anforderungen an das bewertete Schalldämm-Maß R’w zwar für die einzelnen trennenden

Bauteile festgelegt, gemeint ist jedoch jeweils die resultierende Schalldämmung zwischen den beiden Räumen, also

unter Einbeziehung der Schallübertragung über die flankierenden Bauteile und gegebenenfalls über weitere Nebenwege.

Für den Nachweis der Einhaltung der Anforderungen ist aus physikalischen Gründen zwischen folgenden Bauarten zu

unterscheiden:

Massivbauart

Holzbauart und Skelettbauart



Bild 4-28: Massivbauart; a statisches Modell für die „biegesteife“ Anbindung des trennenden Bauteils T an die

flankierenden Bauteile F und Schwingungsverformungen (schematisch); b 4 Schallübertragungswege (Bezeichnung

nach DIN 4109), SR Senderaum, ER Empfangsraum

Im Sinne der DIN 4109 liegt die Massivbauart dann vor, wenn trennendes Bauteil (T) und flankierende Bauteile (F) in

akustischer Hinsicht biegesteif miteinander verbunden sind, wenn sich also die Bauteile T und F schwingungsmäßig

gegenseitig beeinflussen (sog. „Stoßstellendämmung“) (Bild 4-28). Daraus ergeben sich für die Schallübertragung 4

unterschiedliche Wege. Eine solche „biegesteife“ Anbindung kann z.B. bei Mauerwerk mit Stumpfstoß allein schon

durch den Putz gewährleistet sein (Bild 4-29).

Bild 4-29: Akustisch „biegesteife“ Anbindung durch den Putz bei Mauerwerk – Anschluss mit Stumpfstoß

(schematisch)

Bei der Holzbauart und der Skelettbauart fehlt diese biegesteife Anbindung, d.h. die gegenseitige Beeinflussung von T

und F, so dass praktisch lediglich 2 Übertragungswege übrigbleiben (Bild 4-30). Die Schallübertragung zwischen den

beiden Räumen ist hier unter ansonsten gleichen Bedingungen wegen der fehlenden „Stoßstellendämmung“ größer als

bei der Massivbauart. Bei der Skelettbauart können durchaus mehrere massive, biegesteife Bauteile an der

Schallübertragung zwischen den beiden Räumen beteiligt sein. Ausschlaggebend ist allein, dass zwischen T und F keine

„biegesteife“ Verbindung vorhanden ist. Bei der Holzbauart liegen dagegen überwiegend Holzbauteile (unter

Verwendung biegeweicher Schalen) vor.



Bild 4-30: Holz- oder Skelettbauart; a statisches Modell für die gelenkige Anbindung T-F und

Schwingungsverformung (schematisch); b nur 2 Schallübertragungswege

4.8.5 Luftschalldämmung von Innenbauteilen in Massivbauart

Vom trennenden Bauteil ist folgende Bedingung einzuhalten:

R'wR = R'wR(300) + KL1(KL2) erf R'w Gl. 4-17

Darin sind:

R'wR(300): Rechenwert des bewerteten Schalldämm-Maßes für das trennende Bauteil bei einer mittleren

flächenbezogenen Masse der flankierenden Bauteile m'Lm 300 kg/m² (vgl. Abschn. Rechenwerte R'wR,

Tabelle 4.5 , sowie Tabelle 4.7).

KL1: Korrekturwert für m'Lm ≠ 300 kg/m² (Tabelle 4.8);

KL2: Korrekturwert für flankierende Bauteile mit Vorsatzschale oder aus biegeweichen Schalen (gilt nur für

2schalige trennende Bauteile) (Tabelle 4.9).

Rechenwert R'wR für Decken

Bild 4-31: Deckenaufbauten



Der Rechenwert R'wR für massive Rohdecken (ohne schwimmende Deckenauflage, ohne Unterdecke) folgt wieder aus

der flächenbezogenen Masse m' (

Tabelle 4.5). Angaben für R'wR von fertigen Decken enthält Tabelle 4.7, und zwar für (Bild 4-31):

Rohdecke (Werte identisch mit denen der

Tabelle 4.5),

Rohdecke + schwimmende Deckenauflage (z.B. schwimmender Estrich) oder biegeweiche Unterdecke

Rohdecke + schwimmende Deckenauflage und biegeweiche Unterdecke.

Tabelle 4.7: R'wR(300) von Massivdecken in Abhängigkeit von m'R der Rohdecke für flankierende Bauteile mit m'Lm

300 kg/m²

oder und

allein

150 41 49 52

200 44 51 54

250 47 53 56

300 49 55 58

350 51 56 59

400 53 57 60

450 54 58 61

500 55 59 62

m’R

Rohdecke R’wR(300) in dB

biegeweicher Unterdecke

Korrekturwert KL1:

Tabelle 4.8: KL1 in dB für einschalige biegesteife Wände und Massivdecken als trennende Bauteile in Abhängigkeit von

der mittleren flächenbezogenen Masse m'Lm der flankierenden Bauteile

Trennende Bauteile 400 350 300 250 200 150 100

Einschalige biegesteife Wände und Decken

Einschalige biegesteife Wände mit

biegeweicher Vorsatzschale, Massivdecke

mit schwimmendem Estrich bzw.

Holzfußboden oder/und Unterdecke

2 1 0 -1 -2 -3 -4

KL1 in dB für m’LM

0 -1

Die Ermittlung von m'Lm der flankierenden Bauteile erfolgt über

n

1

'Li

'Lm m

n

1m Gl. 4-18

wobei m'Li die flächenbezogene Masse des i-ten flankierenden Bauteils und n die Anzahl der massiven flankierenden

Bauteile ohne Vorsatzschale ist. Bauteile mit Vorsatzschale sind in Gl. 4-18)nicht zu berücksichtigen.



Korrekturwert KL2:

Die günstige Wirkung von Vorsatzschalen auf flankierenden massiven Bauteilen oder von flankierenden biegeweichen

Bauteilen auf die Gesamtschalldämmung wird durch den Korrekturwert KL2 (Zuschlag) berücksichtigt. Zu solchen

flankierenden Bauteilen gehören:

biegesteifes Bauteil, in beiden Räumen mit biegeweicher Vorsatzschale versehen, die im Bereich des trennenden

Bauteils unterbrochen ist

biegeweiches Bauteil, im Bereich des trennenden Bauteils unterbrochen.

Tabelle 4.9: KL2 in dB für flankierende Wände mit biegeweichen Vorsatzschalen

Anzahl der flankierenden Bauteile

mit Vorsatzschale oder dgl.KL2

1 1

2 3

3 6

Zweischalige Gebäudetrennwände (Bild 4-32)

Bild 4-32: Zweischalige Gebäudetrennwand mit durchgehender Trennfuge

Bei diesen Wänden verläuft die Trennfuge zwischen den beiden biegesteifen Wandschalen über die gesamte

Wandfläche, einschließlich der angrenzenden Außenwände, Decken und des Daches, so dass eine Übertragung in das

benachbarte Gebäude über flankierende Bauteile nicht stattfindet (keine Korrekturwerte KL1 und KL2).

Der Rechenwert R'wR für solche Wände ergibt sich zu

R'wR = R'wR(m') + 12 dB Gl. 4-19

mit R'wR(m') aus

Tabelle 4.5 für die Summe der beiden Massen m'1 der Einzelschalen. Folgende Voraussetzungen sind dabei zur

Gewährleistung einer möglichst tiefen Resonanzfrequenz fo einzuhalten:

m'1 100 kg/m² für a 50 mm

m'1 150 kg/m² für a 30 mm

Ausfüllen des Hohlraumes mit mineralischen Faserdämmplatten, Typ T, ausgenommen für m'1 200 kg/m² und

a 30 mm.



4.8.6 Luftschalldämmung von Innenbauteilen in Holz- und Skelettbauart

4.8.6.1 Allgemeines

Bei diesen Bauarten ist es in der Vergangenheit des öfteren dadurch zu bösen Überraschungen gekommen, dass die

angestrebte Schalldämmung zwischen 2 Räumen wesentlich unterschritten wurde. Die Ursache lag -wegen mangelnder

Kenntnis zu jener Zeit- oft in der Annahme, dass sich im Gebäude die gleiche Schalldämmung einstellen wird wie z.B.

für die im massiven Prüfstand gemessene Trennwand. Selbst bei vernünftiger Kombination von trennendem Bauteil und

flankierenden Bauteilen kann der Abfall des Gesamtschalldämmasses R'w im Bau gegenüber dem im Prüfstand ohne

Nebenwege gemessenen Rw durchaus bis zu 6 dB betragen.

4.8.6.2 Nachweis

Für die Holz- und Skelettbauart existieren mehrere Nachweismöglichkeiten.

a) Nachweis analog Massivbauart (vgl. 4.8.5)

Einzuhalten ist die Bedingung nach Gl. 4-17. Für trennende Bauteile unter Verwendung biegeweicher Schalen sind die

Angaben für R'wR(300) aus den Tabellen 9 und 10 (Wände) sowie 34 (Holzbalkendecken) des Beiblatts 1, für KL1 bei

flankierenden Massivbauteilen Tabelle 14 des Beiblatts 1 zu entnehmen. Die Werte KL2 sind mit denen für

Massivbauteile identisch (vgl. Tabelle 4.9).

Bei der Ermittlung von KL1 ist für die mittlere Masse der flankierenden Bauteile

4,0

n

1i

5,2'Li

'Lm m

n

1m

Gl. 4-20

auszugehen. Damit wird dieser Nachweis für den Anwender undurchsichtig und äußerst umständlich.

b) Genauerer Nachweis

Bild 4-33: Alleinige Schallübertragung

a) über trennendes Bauteil;

b) über 1 flankierendes Bauteil;

c) Gesamtübertragung

Fu umlaufende Fuge, L Schallpegel, R Schalldämm–Maß (frequenzabhängig)



Definition von Rw und RLw:

Rw kennzeichnet die Schalldämmung zwischen 2 Räumen bei alleiniger Schallübertragung durch das trennende

Bauteil (Bild 4-33a);

RLw1 kennzeichnet die Schalldämmung zwischen 2 Räumen bei alleiniger Schallübertragung über das flankierende

Bauteil 1 (Bild 4-33b).

Die resultierende Schalldämmung R'w zwischen den beiden Räumen ergibt sich aus der Summe aller über die einzelnen

Wege übertragenen Schallenergien (Bild 4-33c). Deshalb kann die resultierende Schalldämmung R'w nie besser sein als

das schwächste Glied in der Übertragungskette (Rw bzw. RLwi), zumeist ist sie schlechter (im Gegensatz zum R'wres für

aus mehreren Einzelbereichen unterschiedlicher Dämmung zusammengesetzte Außenbauteile!).

Beim genaueren Nachweis werden die über die einzelnen Wege übertragenen Schallenergien - vereinfachend unter

Zugrundelegung der Einzahl-Angaben für Rw und RLwi - addiert und in das resultierende Schalldämm-Maß R'w

zurückverwandelt:

n

1i

'LwRiwR

'wR

10

R

1010

R

10lg10R Gl. 4-21

R'Lw bedeutet das bewertete Schall-Längsdämm-Maß am Bau; es ergibt sich aus dem im Prüfstand gemessenen RLw,

korrigiert durch Zusatzglieder, mit denen Abweichungen von der Bezugs-Trennwandfläche und von der Bezugs-

Kantenlänge zwischen Trennwand und flankierendem Bauteil erfasst werden. Bei Raumhöhen bis etwa h = 3 m und

Raumtiefen von etwa 4 m bis 5 m kann R'LwRi = RLwRi angenommen werden.

Vorteile dieses Nachweises: Anschaulich, freizügig, dadurch wirtschaftlich (vergleichbar mit dem A/V-Verfahren der

Wärmeschutzverordnung).

c) Vereinfachter Nachweis

Ausgehend von der energetischen Addition nach b) ergeben sich unter der Annahme, dass die einzelnen übertragenen

Schallenergien praktisch nie gleich groß sind, die Bedingungen

RwR erf R'w + 5 dB Gl. 4-22

R'LwRi erf R'w + 5 dB Gl. 4-23

Der Nachweis der geforderten Schalldämmung zwischen den beiden Räumen ist nur dann erbracht, wenn jedes der

beteiligten Bauteile die Bedingungen in Gl. 4-22 bzw. Gl. 4-23 einhält.

Nachteil dieses Nachweises: Sehr starr, dadurch teilweise unwirtschaftlich (vergleichbar mit vereinfachtem Bauteil-

Nachweis der Wärmeschutzverordnung).

Ein weiterer Vorteil des genaueren Nachweises nach b) besteht darin, dass - z.B. für Vorbemessungen - bei bekannten

Rechenwerten RwR und RLwRi die resultierende Schalldämmung R'wR mit hinreichender Genauigkeit „im Kopf“ ermittelt

werden kann, wenn man nur folgende Gesetzmäßigkeiten für die Addition von 2 Schalldämm-Maßen (hier der

Einfachheit halber generell mit R bezeichnet) anwendet (Zwischenwerte sind entsprechend zu wählen):

(Beispiel)

R + R = R – 3 dB (50 + 50 = 47)

R + (R + 2 dB) = R – 2 dB (50 + 52 = 48)

R + (R + 6 dB) = R – 1 dB (50 + 56 = 49)

R + (R + 10 dB) R (50 + 60 = 50)



Nachstehend wird R'w für ein Beispiel nur mit Hilfe dieser Regeln ohne Benutzung von Hilfsmitteln „berechnet“:

4.8.6.3 Rechenwerte

Die in den Gl. 4-21, Gl. 4-22 und Gl. 4-23 einzusetzenden Rechenwerte RwR und RLwRi können für eine Vielzahl von

Konstruktionen den Tabellen im Beiblatt 1 direkt entnommen werden (Beispiel für RwR siehe Bild 4-34).

Bild 4-34: a Trennwand in Ständerbauart mit R’wR(300)= 50 dB für Nachweis a) und RwR = 56 dB für Nachweis b) und

c); b Holzbalkendecke mit R’wR(300) = 50 dB für Massivbauart (Nachweis nach Abschn. 4.8.5),

R’wR = 57 dB für Holzhäuser bei vorgegebenen flankierenden Wänden ohne weitern Nachweis,

RwR = 65 dB für Nachweis nach b) und c);

SE schwimmender Estrich, FS Federschiene, 1) s‘ ≤ 15 MN/m³

Flankierende Bauteile (RLwR):

In Bild 4-35 sind die jeweils kleinsten und größten Rechenwerte RLwR aufgetragen, wie sie sich nach Beiblatt 1 bei

unterschiedlicher Ausbildung des Anschlusses für Konstruktionen ergeben, bei denen trennendes und flankierendes

Bauteil in Holz- oder Skelettbauart unter Verwendung biegeweicher Schalen hergestellt sind.



Bild 4-35: Rechenwerte RLwR für Konstruktionen in Holz- oder Skelettbauart unter Verwendung biegeweicher Schalen

(Grenzwerte für Ausführungsbeispiele nach Beiblatt 1)

Da bei der Holz- oder Skelettbauart flankierende Bauteile durchaus auch in Massivbauart ausgeführt sein können, für

die das Rechenverfahren nach Abschn. Nachweis b) oder c) ebenfalls anwendbar ist, enthält Beiblatt 1 auch hierfür

entsprechende Angaben in Abhängigkeit von der flächenbezogenen Masse der flankierenden Bauteile (Bild 4-36).

Bild 4-36: Rechenwerte RLwR nach Beiblatt 1 für flankierende Bauteile in Massivbauart von Trennwänden in Holz- oder

Skelettbauart (für a und c in Abhängigkeit von der flächenbezogenen Masse m‘ der flankierenden Bauteile)



Bild m’L (kg/m²) 100 200 300 350 400

a RLwR (dB) 41 51 56 58 60

c RLwR (dB) 43 53 58 60 62

4.8.7 Trittschallschutz von Decken

4.8.7.1 Nachweis

Beim Nachweis des Trittschallschutzes von Decken werden flankierende Bauteile nicht berücksichtigt.

a) Massivbauart

Erforderlicher Nachweis für L‘n,w der Decke:

L‘n,w = Ln,w,eq,R - Lw,R (-KT) zul L‘n,w – 2 dB Gl. 4-24

Darin sind:

Ln,w,eq,R: Rechenwert der Rohdecke

Lw,R: Rechenwert für Deckenauflage/Bodenbelag

KT: ggf. Korrekturwert zur Berücksichtigung der räumlichen Zuordnung zwischen „lautem“ und „leisem“ Raum

(sofern nicht unmittelbar übereinanderliegend)

b) Holz- und Skelettbauart

Skelettbauten mit Massivdecken: wie unter a).

Holzbalkendecken: Anwendbar sind nur die Rechenwerte Ln,w,R für die gesamte Decke nach Beiblatt 1, je nach Einsatz

im Massivbau bzw. im Holzhausbau

4.8.7.2 Rechenwerte

Für eine Vielzahl von Deckenausführungen sind die erforderlichen Rechenwerte für Ln,w,eq,R, Lw,R (Massivdecken)

sowie für Ln,w,R (Holzbalkendecken) Beiblatt 1 zu entnehmen, Ln,w,eq,R siehe Tabelle 4.10. Lw,R von schwimmenden

Estrichen siehe Tabelle 4.11; im Gegensatz zu weichfedernden Gehbelägen verbessern diese Deckenauflagen zugleich

auch die Luftschalldämmung der Decken (vgl. Tabelle 4.7).

Tabelle 4.10: Rechenwerte von Massivdecken ohne und mit biegeweicher Unterdecke in Abhängigkeit von m’R der

Rohdecke

Ln,w,eq,R

m’R

kg/m² ohne mit

biegeweiche(r) Unterdecke

135 86 75

160 85 74

190 84 74

225 82 73

270 79 73

320 77 72

380 74 71

450 71 69

530 69 67



Tabelle 4.11: Rechenwerte von schwimmenden Estrichen mit m’E 70 kg/m² auf Dämmschichten in Abhängigkeit von

der dynamischen Steifigkeit s’ der Dämmschicht; Werte in () mit weichfederndem Gehbelag mit Lw,R 20 dB

s’ (MN/m³) Lw,R (dB)

50 22 (23)

40 24 (25)

30 26 (27)

20 28 (30)

15 29 (33)

10 30 (34)

Die dynamische Steifigkeit s' einer Dämmschicht ist ein Maß für ihre Steifigkeit unter der Einwirkung von

Wechselkräften.

Zum Vergleich einige Verbesserungsmaße für weichfedernde Bodenbeläge auf Rohdecken:

PVC-Belag mit genadeltem Jutefilz als Träger Lw,R = 13 dB

Nadelvlies, Dicke 5 mm Lw,R = 20 dB

Polteppich, Unterseite geschäumt,

Normdicke a20 = 8 mm Lw,R = 28 dB

Die Verbesserung des Trittschalls einer fertigen Massivdecke durch einen zusätzlichen weichfedernden Gehbelag (z.B.

Teppich) guter bauakustischer Qualität liegt maximal bei etwa 4 dB, jedoch sind dieser Ausführung - ebenso wie der

Verbesserung von Rohdecken durch solche Beläge - wegen der möglichen Austauschbarkeit durch den Bewohner

(anschließender Ersatz durch „harten“ Belag möglich) enge Grenzen gesetzt.

Vorlesung Bauphysik Literaturverzeichnis Seite 159


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