Wahlteile Analysis ab 2019 - Fit in Mathe Online...Wir bilden das Integral über in Intervall 0; ....

Abituraufgaben allgemeinbildendes

Gymnasium

Wahlteile Analysis

ab 2019

Seite 1

Inhaltsverzeichnis Wahlteile Analysis ab 2019 Abiturprüfungen Wahlteile Analysis ab 2019 Mustersatz 01 Seite

Aufgaben 03

Lösungen 05 Mustersatz 02

Aufgaben 08 Lösungen 10

Mustersatz 03 Aufgaben 13





Aufgaben 28







Lösungen 50

Seite 2

Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 01

Aufgabe M01A1 Für jedes � � 0 ist eine Funktion �� festgelegt durch

��

2�; � ∈ ℝ.

a) Die Grafik zeigt die Schaubilder für

� 0,5; � 1 und � 2.

Bestimmen Sie zu jedem Schaubild

den entsprechenden Wert für �.

Begründen Sie, dass ��

achsensymmetrisch zur �-Achse ist.

Bestimmen Sie den Tiefpunkt von

��.

b) Das Schaubild von �� schließt mit

der �-Achse und den Geraden � 0

und � �

� eine Fläche ein.

Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Eine Hängebrücke in einem Klettergarten wird durch die untere Skizze dargestellt.

c) Das Profil der Brücke soll durch das Schaubild der Funktion �� ∙��

2�

(� und � in �) beschrieben werden. Bestimmen Sie � und �.

d) Bestimmen Sie unter welchem Winkel die Brücke im Punkt � auf die

waagrechte Plattform trifft.

e) Zur Stabilisierung der Brücke wird im Punkt � ein Halteseil am Boden

befestigt und senkrecht im Punkt � an die Brücke angebracht. Begründen

Sie, dass sich die �-Koordinate von � durch die Gleichung

1

0,2625�"#,�#$% "&#,�#$%�

2,5�"#,�#$% "&#,�#$%�

� 10

bestimmen lässt.

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Aufgabe M01A2 Ein Kegel mit dem Radius ' und der Höhe ℎ entsteht, indem das Schaubild einer

Funktion � um die �-Achse rotiert.

Bestimmen sie die Funktionsgleichung von �.

Berechnen Sie das Volumen ) des Kegels mit Hilfe eines geeigneten

Integrals und weisen Sie so die Richtigkeit der Formel ) �

*+',ℎ nach.

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Lösung M01A1 Lösungslogik a) Zuordnung der Schaubilder.

Wir machen mit den einzelnen -Werten eine Punktprobe mit dem Punkt

��0��0�. Achsensymmetrie von �: Wir weisen nach, dass �� ist. Tiefpunkt von �: Wir bilden �′�� und setzen �� 0.

b) Fläche unter ��:

Wir bilden das Integral über �� in Intervall �0; ��.

c) Berechnung der Parameter � und �:

Mithilfe zweier Punktproben mit ��0|5� und ��10|8� errechnen wir die

Parameter � und �.

d) Winkel, unter dem die Brücke im Punkt � auf die waagrechte Plattform trifft:

Wir bestimmen die Steigung ��10� des Graphen der Funktion im Punkt �

und berechnen den Winkel über den ��10�. e) Nachweis einer Gleichung: Die nachfolgende Graphik beschreibt die Situation:

Wir bestimmen die Steigung der Normalen an ��, die durch den Punkt �

verläuft mit �� ! " � !#$!%

"#$"%�

&��"�.

In der Graphik sehen wir &� als negativen Reziprokwert der 1. Ableitung

von �, sowie ℎ aufgestellt über ! " � !#$!%

"#$"%. Die beiden Graphen haben einen

Schnittpunkt (, dessen �-Koordinate die �-Koordinate von � ist.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 01 Klausuraufschrieb a) Zuordnung der Schaubilder.

� )0*�+,-�0�. ; 0�0��0�; 1�0��2�0� Für � � 0,5 gilt:

�+,-�0� � 34534

2⋅0,5 � 2

Der blaue Graph a) gehört zur Funktion �+,-. Für � � 1 gilt:

��0� � 34534

2 � 1

Der rote Graph b) gehört zur Funktion �. Für � � 2 gilt:

�,-�0� � 34534

4 � 2

Der grüne Graph c) gehört zur Funktion �2. Achsensymmetrie von �: �� 39:53:

2 � ��

Tiefpunkt von �:

�� 3:539:

2 � 2 ∙ �<" = <$"�

�′�� 2 �<" <$"�

2 �<" <$"� � 0

<" � <$" �> � � 0

��0� � 1 (siehe Aufgabenteil a)

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten ?��0|1�.

b) Fläche unter ��:

�� @ 3A:539A:

2�

BA

+ C� � @ �3A:

2� = 39A:

2�

BA

+ � C�

� D3A:

2�E 39A:

2�E F+

BA � 3B$39B

2�E 34$34

2�E � 3$BG

2�E �GE9B

G2�E � 3E$

23�E

c) Berechnung der Parameter � und �:

Die Graphik weist die Punkt ��0� � 5 und ��10� � 8 auf.

� ∙ 34534

2� � 5

H� � 5

� � 5�

� ∙ 3B4A539B4A

2� � 8

-�2� ⋅ �<+� = <$+� � 8

2,5 ⋅ �<+� = <$+� 8 � 0

� 0,105 � � 0,525

�� 0,525 ⋅ 34,B4I:5394,B4I:

+,2 � 2,5 ∙ �<+,+-" = <$+,+-"�

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 01 d) Winkel, unter dem die Brücke im Punkt � auf die waagrechte Plattform trifft: �′�� 2,5 ⋅ �0,105 ⋅ <+,+-" 0,105 ⋅ <$+,+-"� � 0,2625 ⋅ �<+,+-" <$+,+-"� �′�10� � 0,2625 ⋅ �<,+- <$,+-� 0,658 ��K� � �′�10� � 0,658

K � �LM��0,658� 33 ° Die Brücke trifft im Punkt � unter 33 ° auf die waagrechte Plattform auf.

e) Nachweis einer Gleichung:

Steigung der Normalen durch � an ��: �� !

" � !#$!%"#$"%

� &�"�$+"$+ | Steigung durch die Punkte � und �

�� &��"� | Steigung einer Normalen

&P�"� � &�"�$+

"$+

+,2Q2-⋅�34,B4I:$394,B4I:� � 2,-∙�34,B4I:5394,B4I:

"$+ q.e.d.

Lösung M01A2 Lösungslogik Wir bilden das Volumenintegral unter einer Geraden � mit der Steigung � � R

S im

Intervall �0; ℎ�.

Klausuraufschrieb

TU3& � V ⋅ @ )RS ⋅ �.

2S+ C� � V ⋅ DRE

SE ⋅ W �WF

+

S

� V ⋅ RE

SE )W ℎW 0. �

W VL2ℎ q.e.d.

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Aufgabe M02A1 Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die

Wirkstoffmenge im Blut eines Patienten durch den Graphen der Funktion � in Abbildung 1 (s. Anlage) beschrieben.

Dabei ist � die Zeit seit Verabreichung in Stunden und �� die Wirkstoffmenge in ��.

Beantworten Sie die folgenden Fragen anhand des Graphen: • Wie groß sind die Wirkstoffmenge und deren momentane Änderungsrate

acht Stunden nach Verabreichung? • In welchem Zeitraum beträgt die Wirkstoffmenge mindestens 35 ��? • Wie groß ist die mittlere Wirkstoffmenge innerhalb der ersten vier

Stunden? b) Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt

sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion � mit �� 80 ∙ �1 � ��,��; � � 0 (� in Minuten seit Infusionsbeginn, �� in ��). Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge ständig zunimmt. Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der

Wirkstoffmenge 1��

��?

Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge während der ersten vier Stunden. Gegeben ist die Gleichung �� 15� �� 30. Formulieren Sie eine Frage im Sachzusammenhang, die auf diese Gleichung

führt.

Aufgabe M02A2 Der Graph jeder Funktion �� mit �� 6� � 1; � " 0 ist eine Parabel #� . Zeigen Sie, dass sich alle #� im Punkt $�0|1� berühren. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kurve & , auf der die Scheitelpunkte aller #� liegen. Welcher Punkt auf & ist kein Scheitelpunkt einer Parabel #�?

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 02 Anlage: Abbildung 1 zu M02A1:

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 02 Lösung M02A1 Lösungslogik a) Wirkstoffmenge und momentane Änderungsrate 8 Stunden nach

Verabreichung: Wir zeichnen in der mitgegebenen Graphik eine Tangente im Punkt ��8��8��

(��8� aus Graphik ablesen) und tragen an die Tangente ein Steigungsdreieck

an.

Zeitraum für Wirkstoffmenge 35 mg: Wir ziehen eine Parallele zur �-Achse im Abstand 35. Die beiden

Schnittpunkte mit dem Graphen geben die Zeit von und Zeit bis an.

Mittlere Wirkstoffmenge in den ersten 4 Stunden: Dies ist die Gesamtwirkstoffmenge innerhalb 4 Stunden geteilt durch 4. Wir

ermitteln dies, indem wir die Kästchen unter der Kurve zählen, wobei ein

Kästchen 5 �� ist.

b) Wirkstoffmenge langfristig: Gegeben ist eine Funktion des beschränkten Wachstums mit einer oberen

Schranke von 890 ��.

Ständige Zunahme der Wirkstoffmenge: Eine Funktion des beschränkten Wachstums ist streng monoton steigend.

Momentane Änderungsrate von 1 �� :

Wir setzen �� 1 und lösen die Gleichung nach � auf.

Mittlere Wirkstoffmenge während der ersten vier Stunden: Dies entspricht

�� der Fläche unter der Kurve im Intervall �0; 240 .

Frage im Sachzusammenhang: Siehe Klausuraufschrieb.

Klausuraufschrieb a) Wirkstoffmenge und momentane Änderungsrate 8 Stunden nach

Verabreichung: Aus der Lösungsgraphik lesen wir ab: ��8� ! 22,5

��8� � #$#% � &'

(,) ! *2,16

Die Wirkstoffmenge 8 Stunden nach Verabreichung beträgt etwa 22,5 �� bei einer momentanen Änderungsrate von *2,16 �

� .

Zeitraum für Wirkstoffmenge 35 mg: Aus der Graphik lesen wir ab: �,-./ � �0 * �1 � 6,3 * 0,7 � 5,6 In der Zeit von � � 0,7 und � � 6,3 beträgt die Wirkstoffmenge mindestens

35 ��.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 02 Mittlere Wirkstoffmenge in den ersten 4 Stunden:

3 � �� 4 ��

� 5� Aus der Graphik zählen wir im Intervall �0; 4 etwa 40 Kästchen unter dem

Graphen von �. Ein Kästchen ist definiert mit 5 �� . Damit ist:

3 � �� 4 ��

� 5� � �� ∙ 5 ∙ 40 � 50

Die mittlere Wirkstoffmenge in den ersten 4 Stunden beträgt etwa 50 ��.

Graphik zu den Lösungen Teilaufgabe a)

b) Wirkstoffmenge langfristig: �� 80 ∙ �1 * 7&�,�89�; � : 0 ist eine Funktion des beschränkten Wachstums

mit einer oberen Schranke von 80.

Langfristig beträgt die Wirkstoffmenge im Blut 80 ��.

Ständige Zunahme der Wirkstoffmenge: �� 80 ∙ 0,05 ∙ 7&�,�89 � 4 ∙ 7&�,�89 �� ; 0 für � : 0.

Momentane Änderungsrate von 1 �� :

47&�,�89 � 1 | : 4

7&�,�89 � �� | =>

*0,05� � => ?��@ | : *0,05

� ! 27,73 Etwa 28 �A> nach Verabreichung beträgt die Änderungsrate 1 �

� .

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 02 Mittlere Wirkstoffmenge während der ersten vier Stunden:

3 � �� 4 80 ∙ �1 * 7&�,�89��

� 5� � �� B80� C '�DEF,FGH

�,�8 I�

��

� �� 80� C 1600 ⋅ 7&�,�89 �

�� ∙ 17600,1 ! 73,33

Die mittlere Wirkstoffmenge in den ersten vier Stunden betrug etwa 73,3 ��.

Frage im Sachzusammenhang: Mit �� C 15� � �� C 30 wird nach dem Zeitpunkt � gefragt, von welchem aus

innerhalb von 15 Minuten die Wirkstoffmenge um 30 �� zunimmt.

Lösung M02A2 Lösungslogik Alle KL berühren sich im Punkt ��0|1�: Es muss gelten, dass �L�0� � 1 für alle N und �LO′�0� � �LQ′�0�.

Ortskurve aller Scheitelpunkte: Wir bestimmen die Koordinaten der Scheitelpunkte RL, stellen die �-Koordinate

von RL um nach N und setzen dieses N in die Ausgangsgleichung ein.

Punkt der Ortskurve, der kein Scheitelpunkt ist: Prüfung der �-Koordinate der Scheitelpunkte aus Aufgabenteil zuvor, ob �S � 0

möglich.

Klausuraufschrieb Alle KL berühren sich im Punkt ��0|1�: �L� �� 2N� C 6; �L�0� � 1 �LO′�0� � �LQ′�0� 2N� ⋅ 0 C 6 � 2N� ⋅ 0 C 6 �; 6 � 6 wahre Aussage

Wegen ��0|1� ∈ KL ∧ �LO′�0� � �LQ′�0� berühren sich alle KL im Punkt ��0|1�.

Ortskurve aller Scheitelpunkte: �L� �� 0: 2N� C 6 � 0

� � * (L

N � * (%

�L ?* (L@ � N ⋅ ?* (

L@�

* �'L C 1 � V

L * �'L C 1 � 1 * V

L

RL ?* (L W1 * V

L@

X��: N → �L�� X�� * (

% ⋅ �� C 6� C 1

X�� 3� C 1

Der Graph R, auf dem alle Scheitelpunkte KL liegen, hat die Funktionsgleichung X�� 3� C 1.

Punkt der Ortskurve, der kein Scheitelpunkt von KL ist:

Die Scheitelkoordinaten sind RL ?* (L W1 * V

L@ (siehe vor).

�S � * (L kann nicht Null werden.

Der Punkt ��0|1� auf R ist kein Scheitelpunkt einer Parabel KL.

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Aufgabe M03A1 Der Temperaturverlauf an einem Sommertag wird beschrieben durch

die Funktion � mit �� 18 � 10�� ; 0 � � � 24 (� in Stunden nach

Mitternacht, �� in °�).

Abgebildet ist ein Teil des Graphen

von �.

Ergänzen Sie in der Abbildung die

Skalierungen der Koordinatenachsen.

Berechnen Sie die Durchschnitts-temperatur zwischen 6 Uhr und 18 Uhr.

Aufgabe M02A2 Gegeben ist die Funktion � mit �� 6 � 2��. Ihr Graph ist �.

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von K mit den Koordinatenachsen.

Geben Sie die Gleichung der Asymptote von � an.

Untersuchen Sie � auf Monotonie.

Skizzieren Sie �.

b) Die �-Achse, die Gerade � � 6 und � begrenzen eine nach rechts offene

Fläche. Berechnen Sie deren Inhalt.

c) Der Graph �∗ entsteht durch Spiegelung von � an der Geraden � � 1.

Ermitteln Sie eine Gleichung der zu �∗ gehörenden Funktion �∗. d) Eine Parabel zweiter Ordnung berührt den Graphen � im Punkt !�0|4� und hat

ihren Scheitel auf der Geraden � � 3.

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parabel.

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Lösung M03A1 Lösungslogik Ergänzung der Skalierung: An Hand der Funktionsgleichung bestimmen wir Minimum und Maximum des Graphen sowie dessen Periode. Über diese Werte ergibt sich dann die Skalierung. Durchschnittstemperatur zwischen 6 und 18 Uhr:

Wir berechnen �

�� .

Klausuraufschrieb Ergänzung der Skalierung: Aus der Funktionsgleichung ergibt sich, dass die an der �-Achse gespiegelte Kosinuskurve um 18 Einheiten nach oben verschoben ist. Hieraus ergibt sich der �-Wert der Tiefpunkte zu �� 8 und der �-Wert der Hochpunkte zu �� 28. Wegen � � �

�� ist � � 24.

Zugehörige Skalierung siehe nebenstehende Graphik.

Durchschnittstemperatur zwischen 6 und 18 Uhr:

� � �� ⋅ � ��

� � � �

�� ⋅ � 18 � 10�� ! �� "��

� � � �

�� ⋅ #18� � �$%&'! ()*+"

()*

,�

��

�� ⋅ -18� � ��$� ⋅ ./ ! �

�� "0��

� �� ⋅ 118 ⋅ 18 � ��$

� ./ ! �� 18" � 218 ⋅ 6 � ��$

� ./ ! �� 6"34

� �� ⋅ 2324 � ��$

� ./ !6� 7" � !108 � ��$

� sin !��""3

� 27 < �$� � 9 < �$

� � 18 < �$� > 24,366

Die Durchschnittstemperatur zwischen 6 und 18 Uhr betrug etwa 24,4 °B.

Lösung M03A2 Lösungslogik a) Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen: Schnittpunkte mit der �-Achse über �� 0. Schnittpunkt mit der �-Achse über 0�. Gleichung der Asymptote von C:

Untersuchung des globalen Verhaltens für � → E∞. Monotonieverhalten von C:

Untersuchung ob Extremstellen vorhanden.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 03 b) Inhalt einer nach rechts offenen Fläche: Aus der Aufgabenstellung heraus ist die Fläche gesucht, die sich zwischen

der Parallelen zur �-Achse � � 6 und dem Graphen von befindet, also Fläche zwischen oberer und unterer Kurve.

G � H.IJ→K � 6 � ��J$ �.

c) Spiegelung von C an der Geraden � � 1: Mit �� spiegeln wir C zunächst an der �-Achse (� � 0) und verschieben die

gespiegelte Kurve dann um zwei Stellen nach oben (um zwei Stellen, da � � 1 durch die Spiegelung � � �1 wird). d) Funktionsgleichung einer Parabel:

Die Gleichung der Parabel � sei �� L�� < �� < �. Aus der Aufgabenstellung lesen wir ab:

Der Punkt M0|4� ist Berührpunkt: �0� � 4; �P0� � ′0� Der Scheitel liegt auf der Geraden � � 3: ��P�� 0� � 3 Der Funktionswert der Parabel im Scheitelpunkt ist an der Stelle 3. Klausuraufschrieb a) Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen:

Nullstellen über �� 0: 6 � 2S�T � 0 | <2S�T; ∶ 2 S�T � 3 | H/ �� H/ 3� � � �H/ 3� V��ln 3�|0� Schnittpunkt mit der �-Achse über 0� 0� � 6 � 2S$ � 4 MX0|4� Gleichung der Asymptote von C:

Wegen H.IT→KS�T � 0 ist H.IT→K�� 6

C hat die waagrechte Asymptote � � 6. Monotonieverhalten von C: ′�� 2S�T Die Ableitungsfunktion hat keine Nullstellen, somit hat C keine Extremstellen. ′�� Y 0 für � ∈ ℝ. C ist streng monoton steigend. b) Inhalt einer nach rechts offenen Fläche:

G � � 6 � 6 � 2S�T��J$ � � \�2S�T]$J � �2S�J < 2S$

Wegen H.IJ→K � 2S�J � 0 ist H.IJ→K � 6 � ��J� � � 2

Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche beträgt 2 ^_.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 03 c) Spiegelung von C an der Geraden � � 1: Zunächst Spiegelung von �� an

der �-Achse: �� 6 < 2S�T

Dann Verschiebung der gespiegelten Kurve um zwei Stellen nach oben:

∗�� 2S�T � 4 d) Funktionsgleichung einer Parabel: �� L�� < �� < � �′�� 2L� < � �0� � 4; �P0� � ′0� ��P�� 0� � 3

(1) � � 4 (2) � � 2

�′�� 0 2L� < � � 0 2L� � �2

� � � �a

� !� �a" � 3 � L ⋅ !� �

a"� < 2 ⋅ !� �a" < 4

�a � �

a < 4 � 3

� �a � �1

L � 1 Die Funktionsgleichung der Parabel lautet: �� < 2� < 4

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Aufgabe M04A1 Gegeben ist die Funktion � mit ��

�

��

�.

Ein Teil des Graphen � ist abgebildet.

a) Geben Sie die maximale Definitions-

menge von � und Gleichungen der

Asymptoten von � an.

� besitzt einen Schnittpunkt mit der

x-Achse und einen Hochpunkt. Bestimmen Sie deren Koordinaten.

Untersuchen Sie � für � � 0 auf Monotonie.

b) Die Tangente an � an der Stelle

� � 2 begrenzt mit den Koordinaten-

achsen ein Dreieck. Wenn dieses

Dreieck um die �-Achse rotiert,

entsteht ein Körper. Berechnen Sie dessen Volumen.

c) Für die in der Abbildung eingetragene Stelle � wird die Integralfunktion �� mit

��

��

betrachtet.

Begründen Sie ohne Rechnung, dass �� mindestens zwei Nullstellen besitzt.

d) � begrenzt mit der �-Achse und der Geraden � � � �� 1� eine Fläche. Bestimmen Sie � so, dass diese Fläche den Inhalt 1 �� hat.

Aufgabe M04A2 Abgebildet ist ein Teil des Graphen der

Funktion � mit �� .

Bestimmen Sie die Koordinaten des

Hochpunktes !.

Es gibt reelle Zahlen ", #, �, so dass gilt: �� " ∙ %&��#�� ' �

Bestimmen Sie diese Zahlen.

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Lösung M04A1 Lösungslogik a) Maximale Definitionsmenge von �:

Maximale Definitionsmenge ist ganz ℝ mit Ausnahme der Definitionslücken.

Asymptoten von �:

Senkrechte Asymptoten den Definitionslücken, waagrechte Asymptoten

über Untersuchung des globalen Verhaltens für � → �∞.

Schnittpunkt mit der x-Achse:

Berechnung über �� 0. Hochpunkt:

Bestimmung der Extremstelle über �′� � 0, �-Koordinate über ��. Monotonie für � � 0: Untersuchung von �′� für � � 0.

b) Volumen eines Körpers:

Aufstellung der Tangentengleichung im Berührpunkt ��2��2�. Schnittpunktbestimmung der Tangente mit den Koordinatenachsen.

Die rotierende Tangente erzeugt einen Kegel mit Volumen �� ⋅ ℎ,

dabei ist der �-Wert des Schnittpunktes mit der �-Achse die Höhe ℎ und die

Nullstelle der Tangente der Wert des Radius �.

c) Nullstellen einer Integralfunktion:

Wegen "#$ � % �&## '& � 0 ist $ die erste Nullstelle. Das Integral zwischen $

und der Nullstelle von � ist negativ. Rechts der Nullstelle von � gibt es eine

Stelle $∗, bei der das Integral zwischen der Nullstelle und $∗ positiv genau

so groß ist negativ zuvor. Diese Stelle ist in der Stammfunktion somit einer zweite Nullstelle.

Graphische Darstellung siehe Klausuraufschrieb.

d) Wert der Variablen ):

Das Intergral über � im Intervall zwischen der Nullstelle und ) soll den Wert

1 +, haben. Hieraus ermitteln wir ).

Klausuraufschrieb a) Maximale Definitionsmenge von �:

- � � ∈ ℝ \ 001. Asymptoten von �:

Senkrechte Asymptote in der Definitionslücke � � 0.

Waagrechte Asymptote: lim5→|7| �� 0

� � 0 ist waagrechte Asymptote.

Schnittpunkt mit der x-Achse: �� 0

8

59 : 85; � 0

85<8

5; � 0

8� : 8 � 0 �> � � 1

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist ?1|0.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 04 Hochpunkt:

�′� � : �@5; A �B

5C � �B<�@55C

24 : 16� � 0 �> � � ��

�� A 3� : 1 � 0

� G��H � ��

�I Der Hochpunkt hat die Koordinaten J G�

� K ��IH.

Monotonie für � � 0:

�′� � �B<�@55C

�′� > 0 für alle � � 0

� ist für � � 0 streng monoton steigend.

b) Volumen eines Körpers:

Tangentengleichung an � in �2|�2

&� � �L2 ⋅ � : 2 A �2 �L2 � �B<��

�@ � : ��

�2 � 8B : 8

8 � 1

&� � : �� ⋅ � : 2 A 1

� : �� A 2

Bei Rotation der

Tangente um die �-Achse

entsteht zwischen den Koordinatenachsen ein Kreiskegel, dessen Volumen

sich über �� ⋅ ℎ bestimmt.

&0 � ℎ; &� � 0 �> �

&� � 0:

: �� A 2 � 0 �> � � 4

� � 4; ℎ � 2

�� 4� ⋅ 2 � ��

� � N 33,51

Der Kreiskegel hat ein Volumen von etwa 33,5 �,.

c) Nullstellen einer Integralfunktion:

Wegen "#$ � % �&## '& � 0 liegt bei $ die erste

Nullstelle.

Aus a) folgte ?1|0 Aus nebenstehender Graphik ersichtlich:

% �&�# '& � 0

Es gibt eine Stelle $∗, sodass

% �&#∗� '& > 0 � K% �&�

# '&K Somit liegt bei $∗ eine weitere Nullstelle.

Seite 19

Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 04 d) Wert der Variablen ):

Q � % ��R� '� � 1

S: 85 A B

59T�R � : 8

R A BR9 : :8 A 4 � : 8

R A BR9 A 4 � <8RUBUBR9

R9

<8RUBUBR9

R9 � 1 | ⋅ )� :8) A 4 A 4)� � )� 3)� : 8) A 4 � 0 | : 3

)� : 8� ) A B

� � 0

)�,� � A B� � W�@

X : ��X � A B

� � �� | Y/[-Formel

)� � 2; )� � ��

Wegen ) > 1 ist )� � 2 die Lösung.

Die Fläche unter � im Intervall \1; 2] ist 1 +, groß.

Lösung M04A2 Lösungslogik Koordinaten des Hochpunktes J:

Die sin��-Funktion hat eine Periode von Y � �. Der Hochpunkt liegt bei `� � a

� b Ga

�H � 1.

Alternativ Bildung von b′ und b′′ und rechnerische Bestimmung des Hochpunktes.

Reelle Zahlen c, d und ':

Aus der gegebenen Graphik erkennen wir, dass es sich um eine nach oben

verschobene, an der �-Achse gespiegelte Kosinuskurve handelt.

Klausuraufschrieb Koordinaten des Hochpunktes J:

Periode der sin��-Funktion ist Y � �.

Der Hochpunkt liegt in der Mitte bei �ef � `� � a

�. b Ga

�H � Gsin Ga�HH� � 1.

Der Hochpunkt hat die Koordinaten J Ga� K1H.

Alternativ: bL� � 2ghi � ∙ klg � bL′� � 2 klg�� : 2 ghi�� 2gh i� ∙ kl g� � 0 | Satz vom Nullprodukt gh i� � 0 �> �� 0; ��

klg � � 0 �> �� 2 ; �� 3

2 �

bL′0 � 2 klg�0 : 2 ghi�0 � 2 > 0 �> Tiefpunkt

bL′� � 2 klg�� : 2 ghi�� 2 > 0 �> Tiefpunkt

bL′ Ga�H � 2 klg� Ga

�H : 2 ghi� Ga�H � :2 � 0 �> Hochpunkt

b Ga�H � Gsin Ga

�HH� � 1.

Der Hochpunkt hat die Koordinaten J Ga� K1H.

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Reelle Zahlen c, d und ':

|c| � mno<mpo� � �<�

� � 0,5

' � mnoUmpo� � �U�

� � 0,5

Y � �

d � 2�Y � 2�

� � 2

Die Kosinuskurve ist an der �-Achse gespiegelt. c � :0,5

Die alternative Funktionsgleichung lautet b� � :0,5 klg2� A 0,5.

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Aufgabe M05A1 Ein quaderförmiger Wassertank hat eine Grundfläche von 2 �� und ist

zunächst leer. Der Graph in der unteren Abbildung 1 gibt die momentane Zuflussrate des

Wassers in Kubikmeter pro Stunde über einen Zeitraum von sechs Stunden wieder. Bestimmen Sie die maximale momentane Zuflussrate des Wassers.

Ermitteln Sie mithilfe des Graphen die Wassermenge im Tank nach 1,5 Stunden.

Geben Sie die maximale Wassermenge sowie die Wassermenge nach 6 Stunden

an. Wie hoch steht das Wasser im Tank zum Zeitpunkt des stärksten Zuflusses?

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Ergebnisse den Graphen, der die Höhe des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt in die untere

Abbildung 2.

Abbildung 1 Abbildung 2

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Aufgabe M04A2 Gegeben sind die beiden Funktionen und

durch �� 8� ⋅ �� und �� 4�� ∙ ��.

Deren Graphen sind in der nebenstehenden Skizze dargestellt. a) Begründen Sie, dass � der Graph

von und � der Graph von ist. Berechnen Sie die Schnittpunkte

von � und �. b) Die Gerade � � 1 schneidet � in � und

� in �.

�, � und der Ursprung sind die

Eckpunkte eines Dreiecks.

Berechnen Sie den Flächeninhalt

dieses Dreiecks. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts von �. Geben Sie ohne weitere Rechnung an, für welche Werte von � die Gleichung

�� keine, eine bzw. mehrere Lösungen hat. d) Es gibt Stammfunktionen � von und � von , sodass �� gilt.

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von � und � eingeschlossen wird.

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Lösung M05A1 Lösungslogik Maximale Änderungsrate: Ablesen des Hochpunktes von Abb. 1. Wassermenge im Tank nach 1,5 Stunden: Die Wassermenge entspricht der Fläche unter dem Graphen aus Abbildung 1

im Intervall von 0 bis 1,5. Maximale Wassermenge: Die maximale Wassermenge entspricht der Fläche unter dem Graphen aus

Abbildung 1 im Intervall von 0 bis 3. Wassermenge nach 6 Stunden: Der Tank ist leer. Wasserhöhe im Tank zum Zeitpunkt des stärksten Zuflusses: Wir bestimmen die Wassermenge zum Zeitpunkt � � 1,5 (maximale Zuflussrate

Wassertanks). Graph der Höhe des Wasserspiegels: Die Änderungsrate ist eine Sinuskurve, der Bestand dann die

Stammfunktion dieser Sinuskurve (- Kosinus). Da nach der Höhe im Tank gefragt ist, muss diese Stammfunktion durch 2 geteilt werden.

Klausuraufschrieb Maximale Änderungsrate: �� 4 ��/ℎ (siehe Abb. 1) Wassermenge im Tank nach 1,5 Stunden: Wassermenge entspricht der Fläche unter dem Graphen (Abb. 1) im

Intervall � � �0; 1,5�. Es sind ca. 4 Kästchen (durch „Kästchenzählen“ abgelesen). Jedes Kästchen entspricht 1 ��/ℎ.

Nach 1,5 Stunden befinden sich etwa 4 �� Wasser im Tank. Maximale Wassermenge: Die maximale Wassermenge entspricht der Fläche unter dem Graphen (Abb.

1) im Intervall � � �0; 3�. Wegen ��;�,�� 4 �� ist ��;�� 8 �� (Symmetrieachse bei � � 1,5).

Die Wassermenge im Tank ist nach 3 Stunden mit 8 �� maximal. Wassermenge nach 6 Stunden: ��;�� 8 ��; ��;�� 8 �� (Punktsymmetrie bei � � 3) Der Tank ist leer. Wasserhöhe im Tank zum Zeitpunkt des stärksten Zuflusses: Wassermenge zum Zeitpunkt � � 1,5 ist 4 �� Grundfläche des Tanks ist 2 �!. ℎ � "

# � $! � � 2 �.

Das Wasser steht zum Zeitpunkt des stärksten Zuflusses 2 � hoch im Tank.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 05 Graph der Höhe des Wasserspiegels:

�� 4 &'( )*� �+

,�� 4 -.& )*�+ � / 4 � 0

ℎ � "# � 1$ 234)5

6+78$! � 2 -.& )*

�+ � / 2

Lösung M05A2 Lösungslogik a) Begründung, dass 9 der Graph von und : der Graph von ; ist:

�0� ist eine einfache, ;�0� eine doppelte Nullstelle. Schnittpunkte von 9 und :: Wir bilden �<� ∩ ;�<�. b) Flächeninhalt eines Dreiecks:

>?@ABA2C � �! ∙ ; ∙ ℎ

Mit ; � �1� ;�1� und ℎ � 1.

(Erläuternde Graphik siehe Klausuraufschrieb). c) Koordinaten des Hochpunkts von :: Wir bilden ;E�<� � 0 und lösen die entstehende Gleichung nach < auf. Anzahl Lösungen der Gleichung ;�<� � F: ;�<� � F ist eine Parallele zur <-Achse im Abstand F. Aus der Graphik lesen wir ab: Für F G 0 gibt es keine Lösung. Für F � 0 (die <-Achse selbst) gibt es eine Lösung. Für 0 G F G �<HI� gibt es drei Lösungen. Für F � �<HI� gibt es zwei Lösungen. Für F J �<HI� gibt es eine Lösung. d) Inhalt der Fläche, die von 9 und : eingeschlossen wird unter der Bedingung,

dass ;�<� eine Stammfunktion von ,�<� K�<� ist: Ist ;�<� eine Stammfunktion von ,�<� K�<� , so muss für die Fläche zwischen

9 und : gelten: > � L M�<� ;�<�NO� P< � �,�<� K�<��O.

Da aber ,�<� K�<� � ;�<� sein soll, gilt somit �,�<� K�<��O � �;�<��O. F und Q sind die <-Kooridnaten der beiden Schnittpunkte gemäß Aufgabenteil

a).

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 05 Klausuraufschrieb a) Begründung, dass 9 der Graph von und : der Graph von ; ist:

�0� ist einfache Nullstelle �J 9 ist der Graph von . ;�0� ist einfache Nullstelle �J : ist der Graph von ;. Schnittpunkte von 9 und :: �<� ∩ ;�<�: 8< ⋅ S1� � 4<! ∙ S1� | : S1� 4<! � 8< 4<! 8< � 0 4<�< 2� � 0 <� � 0; <! � 2

�0� � 0; �2� � 16 ∙ S1! � ��AU

Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten V��0|0� und V! )2X ��AU+.

b) Flächeninhalt eines Dreiecks:

>?@ABA2C � �! ∙ ; ∙ ℎ

; � �1� ;�1�

ℎ � 1

�1� � YA Z 2.94; ;�1� � $

A Z 1,47

�1� ;�1� � 2,94 1,47 � 1,47

>?@ABA2C � �! ∙ 1,47 ∙ 1 � 0,735

Die Fläche des Dreiecks beträgt etwa 0,74 ,].

c) Koordinaten des Hochpunkts von ::

;′�<� � 8< ⋅ S1� 4<! ⋅ S1� � 4S1��2< <!� 4S1��2< <!� � 0

2< <! � 0 <�2 <� � 0

<� � 0; <! � 2 <! � 2 ist Stelle des Hochpunktes (siehe Graphik Aufgabenstellung).

;�2� � 4 ∙ 2! ∙ S1! � ��AU Z 2,17

Der Hochpunkt hat die Koordinaten _�2|2,17�. Anzahl Lösungen der Gleichung ;�<� � F: ;�<� � F ist Parallele zur <-Achse im Abstand F. Es gilt:

Wert von F Anzahl Nullstellen Einfluss F G 0 0 Parallele unterhalb <-Achse F � 0 1 Die <-Achse selbst

0 G F G 2,17 3 Parallelen oberhalb <-Achse bis

zum Hochpunkt F � 2.17 2 Parallele durch den Hochpunkt

F J 2.17 1 Parallele oberhalb des

Hochpunkts

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 05 d) Inhalt der Fläche, die von 9 und : eingeschlossen wird unter der Bedingung,

dass ;�<� eine Stammfunktion von ,�<� K�<� ist: > � L M�<� ;�<�N!

� P< � �,�<� K�<��! � �;�<��! � 4 ∙ 2! ∙ S1! 0 � ��AU

> Z 2,17 Der Inhalt der gesuchten Fläche beträgt etwa 2,17 ,].

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Aufgabe M06A1.1 Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführen Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion

�� 6000 ∙ � ⋅ ��,��; � � 0 (� in Monaten nach Einführung, �� in Käufer pro Monat). a) Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet.

Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist.

Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt.

b) Zeigen Sie, dass für � � 2 die Funktion � streng monoton fallend ist und nur

positive Werte annimmt. Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen. c) Zeigen Sie, dass �� 12000 ∙ �� 2� ⋅ ��,�� eine Stammfunktion von � ist. Ermitteln Sie die Gesamtanzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der

App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt.

d) Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal 30 000 Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der

Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachsatums entwickelt. Sechs Monate nach Verkausbeginn gibt es bereits 20 000 Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in

Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.

Aufgabe M06A1.2 Die Funktion � ist gegeben durch ��

�

� ; � ! 0.

a) Die Tangente an den Graphen von � im Punkt " verläuft durch #�0| � 0,5�.

Bestimmen Sie die Koordinaten von ". b) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von �, der den kleinsten Abstand zur

Geraden mit der Gleichung % � 2� � 1 besitzt. Ermitteln Sie die �-Koordinate dieses Punktes.

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Lösung M06A1.1 Lösungslogik Situationsgrafik: a) Maximale momentane Änderungsrate: Bestimmung des Hochpunktes von �� über �� 0 mit dem WTR. Zeitraum Änderungsrate größer 4000: Schnittpunkte des Graphen von �� mit der Parallelen zur -Achse mit

� 4000; Bestimmung mittels GTR ergibt zwei Werte �� und ��. Zeitpunkte der größten Zu- bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate.

Diese Zeitpunkte sind die Stellen der Wendestellen von ��. Wendestellen der Stammfunktion führen zu Extremstellen der Ableitung. Bestimmung des Maximums und Minimums von �′�� mit dem GTR. Für das Maximum ergibt sich keine Wendestelle, sondern ein Randmaximum für � � 0.

b) Der Graph der Funktion hat ein Maximum bei � � 2, siehe Aufgabenteil a).

Diese Stelle ist ein globales Maximum. Wegen � � 2 (Aufgabenstellung) und ��,�� stets größer Null (Exponentialfunktion), kann �� keine negativen Werte annehmen.

c) Nachweis einer Stammfunktion: Ist � eine Stammfunktion von �, so muss gelten �� . Gesamtanzahl der Käufer nach sechs Monaten: Dies ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von �� im Intervall von 0

bis 6. Bestimmung über die gegebenen Stammfunktion.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 06 Zeitraum von zwei Monaten mit 5000 neuen Käufern: Das Integral über �� im Intervall � bis � � 2 wird mit der Kostanten

� 5000 geschnitten. Der -Wert des Schnittpunktes entspricht dem Startmonat des gesuchten Intervalls. Bestimmung mit dem GTR.

d) Funktionsgleichung des beschränkten Wachstums mit �� ! " ⋅ ��. Wir

ermitteln die einzelnen Werte von und " aus dem Aufgabentext, machen eine Punktprobe mit ��6� � 20000 zur Ermittlung von $.

Klausuraufschrieb a) Maximale momentane Änderungsrate: �′�� 6000 ∙ ��,�� ! 0,5� ∙ ��,�� 6000 ⋅ ��,��1 ! 0,5�� ′�� 0 6000 ⋅ ��,��1 ! 0,5�� | Satz vom Nullprodukt 1 ! 0,5� � 0 �� 2 ��2� � 6000 ∙ 2 ⋅ ��,�⋅( � 12000 ⋅ ��) * 4414,5533 Die maximale Änderungsrate betrug etwa 4414 Käufer/Monat im zweiten

Monat nach Einführung. Zeitraum Änderungsrate größer 4000: �� ∩ 4000 6000 ∙ � ⋅ ��,�� 4000 6000 ∙ � ⋅ ��,�� ! 4000 � 0 | : 4000 1,5��,�� ! 1 � 0

�) 1,25; �( 3,02

Zwischen etwa 1 )/ und 3 Monaten nach Einführung ist die momentane

Änderungsrate größer als 4000 Käufer/Monat. Stärkste Zu- bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate: �′�� 6000 ⋅ ��,��1 ! 0,5�� ′′�� 6000 ⋅ �!0,5 ∙ ��,��1 ! 0,5�� ,�� ∙ �!0,5�� 6000 ⋅ �!��,�� 0,25��,�� 6000 ⋅ ��,��0,25� ! 1� �′′�� 0 6000 ⋅ ��,��0,25� ! 1� | Satz vom Nullprodukt 0,25� ! 1 � 0 �� 4

�′�4� ! 812 An der Stelle � � 4 liegt ein Wendepunkt mit negativer Steigung vor. Ein

Wendepunkt mit positiver Steigung ist nicht existent. Zunahme: � hat keinen Wendepunkt mit positiver Steigung, somit Randmaximum:

�′��123 6000 für � � 0 Abnahme:

�′��1� ! 812 für � � 4

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 06 b) Streng monoton fallend für � � 2: Maximale Änderungsrate bei � � 2 (siehe

Aufgabenteil a), keine weiteren Extremstellen vorhanden.

Wegen Aufgabenstellung � 4 0 und ��,�� stets größer Null, nimmt �� keine negativen Werte an.

Interpretation: Da die Änderungsrate streng monoton fallend ist und langfristig gesehen

gegen Null läuft, werden die Käuferzahlen/Monat immer weniger, sodass die Gesamtanzahl der App-Anwender auf einen festen Wert zuläuft (Beschränktes Wachstum).

c) Nachweis einer Stammfunktion: �′�� !12000 ∙ ��,�� ! 0,5�� 2� ⋅ ��,�� | Über Produktregel �′�� !12000 ⋅ ��,��1 ! 0,5�� 2�� !12000 ⋅ ��,��1 ! 0,5� ! 1� � 6000 ⋅ � ⋅ ��,�� Gesamtzahl der Käufer nach sechs Monaten:

56 � 7 ��6� 8� � 9��:�

6 � ��6� ! ��0� � !4779,6 ! �!24000� � 19220,4

Die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Produkteinführung beträgt etwa 19.220 Anwender.

Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt:

7 ��>?(> 8� � 9��@>>?( � �9� � 2: ! �9�: � 5000

!12000 ∙ �� 2 � 2� ⋅ ��,��>?(� � 12000 ∙ �� 2� ⋅ ��,�A � 5000 !12000 ∙ ��,�>�)�� 4� � 12000 ∙ ��,�> ⋅ �� 2� � 5000 12000 ∙ ��,�> ⋅ �� 2� ! 12000 ⋅ ��) ⋅ ��,�>�� 4� � 5000

12000 ∙ ��,�> ⋅ B� � 2 ! >?/C D � 5000

12000 ∙ ��,�> ⋅ B� � 2 ! >?/C D ! 5000 � 0

� 3,975 Im Zeitraum von vier bis sechs Monaten nach Einführung gibt es etwa 5000

neue Käufer. d) Funktionsterm beschränkten Wachstums für andere App: �� ! " ⋅ �� 30000 (Aufgabenstellung) " � 30000, da Anfangsbestand gleich Null. �� 30000 ! 30000 ⋅ �� 6� � 20000 20000 � 30000E1 ! ��6�F

(G � 1 ! ��6�

)G � ��6� | H5

!6$ � H5 B)GD | : !6

$ � ! )6 H5 B)

GD 0,1831

Der Funktionsterm lautet �� 30000 ! 30000 ⋅ ��)IG)�

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 06 Lösung M06A1.2 Lösungslogik a) Tangente an den Graphen von � durch J, Koordinaten von J: Aufstellung der Tangentengleichung über die Punktsteigungsformel und

danach Punktprobe mit K�0|!0,5� zur Ermittlung der Koordinaten des Berührpunktes J.

b) Punkt kleinsten Abstands: Wenn von einem kleinsten Abstand die Rede ist, so heißt dies immer ein

senkrechter Abstand. Somit liegt der gesuchte Punkt an den Stellen des Graphen von � mit der Steigung M � 2. Da der Graph von � zwei Stellen mit der Steigung M � 2 aufweist, müssen wir noch die Normalen durch die jeweiligen Punkte bilden und diese Normalen mit der Geraden � 2 ! 1 schneiden. Danach ist die Strecke zwischen jeweils dem Schnittpunkt der Normalen mit dem Graphen von � UND der Geraden � 2 ! 1 zu bilden. Es ergibt sich dabei eine kleinere und eine größere Strecke, sodass aus dem Ergebnis abzulesen ist, welcher der beiden Punkte der Gesuchte ist.

Klausuraufschrieb a) Tangente an den Graphen von � durch J, Koordinaten von J: �� N� ⋅ � ! N� � ��N� �� 1 � G

3O

Punktprobe mit K�0| ! 0,5� !0,5 � ��N� ⋅ �!N� � ��N� ��N� ⋅ �!N� � ��N� � 0,5 � 0

B1 � G3P

O D ⋅ �!N� � N ! )3P

Q � 0,5 � 0

!N ! G3P

Q � N ! )3P

Q � 0,5 � 0

! /3P

Q � 0,5 � 0

NG � 8

N � 2,0; ��2� 1,875 J�2|1,875� b) Punkt kleinsten Abstands: Dies ist ein Punkt auf � mit der Steigung �� 2. �� ∩ 2: 1 � G

3O � 2

G

3O � 1

/ � 3 ) * !1,316; ( * 1,316 ��)� � !0,877 ��(� � 0,877 Normalen zu � 2 ! 1 durch K)�!1,316| ! 0,877� bzw. K(�1,316|0,877� 5)�� ! )

( ⋅ � � 1,316� ! 0,877 � ! )( ! 1,535

5(�� ! )( ⋅ � ! 1,316� � 0,877 � ! )

( � 1,535

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 06 5)�� ∩ ��: ! )

( ! 1,535 � ! )3Q

1,5 ! )3Q � 1,535 � 0

� ! 1,316; ��!1,316� � !0,877 ⟹ K) � �!1,316| ! 0,877� 5)�� ∩ 2 ! 1

! )( ! 1,535 � 2 ! 1

2,5 � !0,535 � � !0,214; � � !1,428 ⟹ K(�!0,214| ! 1,428� 5(�� ∩ ��: ! )

( � 1,535 � ! )3Q

1,5 ! )3Q ! 1,535 � 0

� 1,315; ��1,315� � 0,877 ⟹ KG � �1,315|0,877� 5(�� ∩ 2 ! 1

! )( � 1,535 � 2 ! 1

2,5 � 2,535 � � 1,014; � � 1,028 ⟹ K/�1,014|1,028� K)K( � S�!0,214 ! �!1,316��( � �!1,428 ! �!0,877��(

� 1,23

KGK/ � S�1,014 ! 1,315�( � �1,028 ! 0,877�(

� 0,3341 Somit ist die Strecke KGK/ kürzer als die Strecke K)K(. Der gesuchte Punkt auf � mit dem kleinsten Abstand zu � 2 ! 1 ist

KG�1,315|0,877�.

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Aufgabe M07A2.1 An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion � mit

�� 20 ⋅ sin � 12 ⋅ �� 25; � � 0

Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion � mit �� 19; � � 0.

(� in Stunden seit Beobachtunsbeginn, �� und �� in 1000 ��

� ).

a) Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab? Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. b) Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 2 500 000 �� Wasser im See. Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach

Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um

144 000 �� zunimmt. Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von

14 Tagen die Wassermenge im Stausee 4 180 000 �� betragen würde?

Aufgabe M07A2.2 Gegeben ist die Funktion � mit �� 9�! � 24� 14. a) Die Gerade " durch den Hochpunkt # und den Tiefpunkt $ des Graphen von �

schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten % und &. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke #$ an der Strecke %&. b) Begründen Sie, dass die Steigung von � keinen Wert kleiner als 3 annehmen

kann. c) Der Graph von � und die Gerade ℎ mit der Gleichung ) � 2 schließen eine Fläche

ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade ℎ. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. d) Eine Parallele zur �-Achse schneidet aus dem Graphen von � ein Kurvenstück

aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand 2,5 voneinander.

Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen.

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Lösung M072.1 Lösungslogik a) Minimale momentane Zuflussrate: Wir bestimmen den Tiefpunkt von �. Zeitraum der Abnahme der Wassermenge im Stausee: Dies ist der Zeitraum, in welchem die Differenzkurve aus Zufluss und Abfluss

unterhalb der �-Achse verläuft. Maximale momentane Änderungsrate: Wir bestimmen das Maximum der Differenzkurve aus Zufluss und Abfluss. b) Wassermenge nach 12 Stunden im Stausee: Dies ist der Anfangsbestand von 2 500 000 �� zuzüglich dem Integral der

Differenzkurve aus Zu- und Abflussrate im Intervall von 0 Uhr bis 12 Uhr. Zunahme der Wassermenge im 24-Stunden-Zeitraum: Dies ist die Flächenbilanz unter der Differenzkurve aus Zu- und Abfluss im

Intervall von 0 Uhr bis 24 Uhr. Wegen der periodisch wiederkehrenden Differenzfunktion wiederholt sich der Vorgang alle 24 Stunden.

Wert der konstanten Abflussrate für 4 180 000 �� nach 14 Tagen: Wir bestimmen zunächst die Differenz dieser Wassermenge und dem

Anfangsbestand. Dieser Wert dividiert durch 14 ergibt die täglich zunehmende Wassermenge.

Die konstanten 25 000 ��/ℎ des Zuflusses abzüglich des gesuchten Abflusses in ��/ℎ multipliziert mit 24 Stunden ergibt dann die neue, gesuchte Abflussrate.

Zu berücksichtigen ist, dass sowohl �� als auch �� in ��/ℎ angegeben sind. Klausuraufschrieb a) Minimale momentane Zuflussrate: Gegeben ist eine Sinuskurve mit einer Periode von � � ��

� � ��

�� 24.

Die minimalte Zuflussrate liegt im Tiefpunkt bei � � ��

� ⋅ 24 � 18

��18� � 20 ⋅ sin � �� ⋅ 18 ! 25 � 20 ⋅ �"1� ! 25 � 5

Die minimale Zuflussrate beträgt etwa 5000 ��/ℎ um etwa 18 Uhr. Zeitraum der Abnahme der Wassermenge im Stausee: #�� " �� #�� 20 ⋅ $%& � �

�� ⋅ � ! 25 " 19

#�� 0

20 ⋅ $%& � �� ⋅ � ! 6 � 0

�� 13,16 �� 22,836 Im Zeitraum von etwa 13,2 Uhr bis etwa 22,8 Uhr nimmt die Wassermenge im

Stausee ab.

Seite 35

Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 07 Maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge: Die Differenzfunktion # hat dieselbe Periode wie die Ausgangsfunktion �. Das

Maximum liegt bei � � ��

� ⋅ 24 � 6.

#�6� � 20 ⋅ $%& � �� ⋅ 6 ! 6 � 20 ⋅ $%& ��

� ! 6 � 26

#��+,- � 26 für t=6 Die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge beträgt

26000 ��/ℎ um etwa 6 Uhr. b) Wassermenge nach 12 Stunden im Stausee:

. � 2500 ! / �20 ⋅ $%& � �� ⋅ � ! 6 ��

0 #� � 2500 ! 1"20 ∙ �� ∙ cos � �

�� ! 6�50��

� 2500 " ��0� ⋅ cos�6� ! 72— �" ��0

� ⋅ cos�0�� 2500 ! ��0� ! 72 ! ��0

� � 2724,79

Nach 12 Stunden beträgt die Massermenge im Stausee etwa 2.724.000 ��.

Zunahme der Wassermenge im 24-Stunden-Zeitraum:

#�� " �� 20 ⋅ sin � �� ⋅ � ! 6

Bestimmung der Periode:

� � ��

��

� 24

Die Änderungsrate der Wassermenge ist periodisch mit � � 24 Stunden.

/ �20 ⋅ sin � �� ⋅ � ! 6 ��

0 #� � 2500 ! 1"20 ∙ �� ∙ cos � �

�� ! 6�50��

� " ��0� ⋅ cos�26� ! 144— �" ��0

� ⋅ cos�0�� " ��0� ! 144 ! ��0

� � 144

Die Flächenbilanz der Änderungsrate im Intervall von 0 Uhr bis 24 Uhr beträgt 144 000 ��.

Wegen der Periodizität von 24 Stunden des Graphen der Änderungsrate der Wassermenge nimmt die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um 144 000 �� zu.

Wert der konstanten Abflussrate für 4 180 000 �� nach 14 Tagen:

:��;:�0�

�� <0000;�=00000�� 120000

Statt 144000 �� Wasserzunahme pro Tag dürfen es nur noch 120000 �� sein. �25 " �� ∗ 24 � 120 25 " � � 5 ⟹ � � 20 Die konstante Abflussrate �� müsste einen Wert von 20000 ��/ℎ haben.

Lösung M07A2.2 Lösungslogik a) Prozentualer Anteil von @A an BC: Wir bestimmen zunächst den Hoch- und Tiefpunkt von D mit dem GTR. Wir stellen die Geradengleichung durch die Punkte @ und A auf und

bestimmen deren Schnittpunkte B und C mit den Koordinatenachsen. Der prozentuale Anteil ist dann der Quotient aus der Länge von @A und der Länge von BC.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 07 b) Begründung, dass Steigung von D keinen Wert kleiner "3 hat: Wir bestimmen das Minimum von D′�F� mit dem GTR. c) Volumen Rotationskörper: Situationsgrafik: Berechnung des Volumens über

Volumenintegrale. Hierzu haben wir zwei Möglichkeiten, einmal über „Obere Kurve“ (D�F�) minus „Untere Kurve“ (G � 2).

Wenn wir allerdings um zwei Einheiten nach unten schieben, benötigen wir lediglich das Volumenintegral unter D im Intervall zwischen den dann entstehenden beiden Null-stellen.

d) Gleichung einer Parallelen zur

F -Achse: Situationsgrafik siehe Abbildung rechts: Es muss gelten: F: " FH � 2,5 sowie D�FH� � D�F:� � � und damit D�FH� " D�F:� � 0, also D�F� " D�F ! 2,5� � 0 Klausuraufschrieb D′�F� � 3F� " 18F ! 24 D′′�F� � 6F " 18 a) Prozentualer Anteil von @A an BC Extremstellen mit D′�F� � 0: 3F� " 18F ! 24 � 0 | : 3 F� " 6F ! 8 � 0 F�,� � 3 J √9 " 8 � 3 J 1 F� � 4; F� � 2 D′′�4� M 0 �M Tiefpunkt D′′�2� N 0 �M Hochpunkt

D�4� 2; D�2� 6 A�4|2�; @�2|6�

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 07 Gerade durch @ und A:

P�F� � Q;��;� ⋅ �F " 2� ! 6

P�F� � "2�F " 2� ! 6 � "2F ! 10 Punkt B mit P�F� � 0: "2F ! 10 � 0 ⟹ F � 5 ⟹ B�5|0� Punkt C mit P�0�: P�0� � 10 ⟹ C�0|10� Länge von @A:

RST � U�4 " 2�� ! �2 " 6�� √20 Länge von BC: RVW � √5� ! 10� � √125

Prozentualen Anteil @A an BC: Wegen der Fragestellung ist BC der Grundwert.

XYZX[\ ⋅ 100 % � ^ �0

��= ⋅ 100 % � 40 %

Der Anteil der Strecke @A an der Strecke BC beträgt 40 %.

b) Begründung, dass Steigung von P keinen Wert kleiner "3 hat: Die erste Ableitung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades führt zur

Funktionsgleichung einer Parabel (2. Grades) mit einem Scheitel als globalem Extremum.

D′�F� � 3F� " 18F ! 24 | : 3

�� D_�F� � F� " 6F ! 8

�� D_�F� � �F " 3�� " 9 ! 8 � �F " 3�� " 1 | ∙ 3

D′�F� � 3�F " 3�� " 3 Scheitelpunkt dieser Parabel ist `�3| " 3�. Im vorliegenden Fall ist der kleinste Funktionswert der Ableitungsfunktion ein

globales Minimum mit D_�F�+ab � "3 für F � 3. c) Volumen Rotationskörper: Funktion um zwei Einheiten nach unten schieben: D∗�F� � F� " 9F� ! 24F " 12 Nullstellen von D∗: D∗�F� � 0

F� 1; F� 4

. � 6 ⋅ / �F� " 9F� ! 24F " 12��#F��

� 6 ⋅ / �F6 " 18F5 ! 129F4 " 456F3 ! 792F2 " 576F ! 144�#F��

� 6 ⋅ 1-cd " 3FQ ! ��e-f

= " 114F� ! 264F� " 288F� ! 144F5��

65,4349 Das Rotationsvolumen beträgt ca. 65,4 .g.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 07 d) Gleichung einer Parallelen zur F-Achse: Die Parallele zur F-Achse sei G � � Die beiden Schnittpunkte von G und D seien h und i. Dann gilt: (1) F: " FH � 2,5 (2) D�FH� � D�F:� � � ⟹ D�FH� " D�F:� � 0 Aus (1) folgt F: � 2,5 ! FH F: ⟶ �2� (2) D�FH� " D�FH ! 2,5� � 0 FH� " 9FH� ! 24FH " 14 " ��FH ! 2,5�� " 9�FH ! 2,5�� ! 24�FH ! 2,5� " 14� � 0 FH� " 9FH� ! 24FH " 14 " �FH� ! 7,5FH� ! 18,75FH ! 15,625 " 9FH� " 45FH " 56,25 ! 24FH !

60 " 14� � 0 "7,5FH� ! 26,25FH " 19,375 � 0

FH 2,44 Da das Kurvenstück den Tiefpunkt enthalten soll, ist FH � 2,44 der gesuchte

Wert.

D�2,44� 5,49 Die Parallele zur F-Achse mit G � 5,5 schneidet aus dem Graphen von D ein

Kurvenstück der Länge 2,5 kg aus, das den Tiefpunkt enthält.

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Aufgabe M08A2.1 Ein Klimaforscher beschreibt die Entwicklung der globalen Durchschnitts-temperatur modellhaft durch die Funktion � mit

�� 2,8,�� 0,03� � 11,1; 0 � � � 200. Dabei gibt � die Zeit in Jahren seit Beginn des Jahres 1900 und �� die globale Durchschnittstemperatur in Grad Celsius an. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben anhand dieses Modells. a) Geben Sie die globale Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 1900

an. Geben Sie die niedrigste globale Durchschnittstemperatur seit 1900 an. In welchem Jahr wird die globale Durchschnittstemperatur 16 °�

überschreiten? Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnitts-

temperatur zu Beginn des Jahres 2000. Bestimmen Sie den Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im

durch die Modellierung beschriebenen Zeitraum. b) Formulieren Sie eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die

Gleichung �� 10� �� 0,5 führt. Nachdem die globale Durchschnittstemperatur ihren niedrigsten Wert erreicht

hat, steigt sie immer weiter an. Zeigen Sie, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft. c) Es werden Klimaschutzmaßnahmen geplant. Greifen diese zum Zeitpunkt �,

so bleibt die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnitts-temperatur konstant bei dem Wert, der durch das Modell des Klimaforschers für � vorausgesagt wird.

Bestimmen Sie den späteren Zeitpunkt � , zu dem die Maßnahmen greifen müssen, damit die globale Durchschnittstemperatur 15,7 °� bis zum Beginn des Jahres 2050 nicht überschritten wird.

d) Infolge alternativer Klimaschutzmaßnahmen kann der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur ab Beginn des Jahres 2020 durch beschränktes Wachstum modelliert werden. Der Graph der zugehörigen Funktion � schließt sich dabei ohne Knick an den Graphen der Funktion � an. Außerdem stellt sich nach diesem neuen Modell langfristig eine globale Durchschnitts-temperatur von 16,8 °� ein.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm von �.

Aufgabe M08A2.2 Für jedes � � 0 ist eine Funktion �� mit �� 4��" gegeben. a) Begründen Sie, dass der Graph von �� achsensymmetrisch zur #-Achse ist. Zeigen Sie, dass die Nullstellen der Funktion �� unabhängig von � sind.

b) Sowohl der Graph der Funktion � mit �� $"%& ' ⋅ )*+ ,-

" �. als auch der Graph

von �� schließen für 0 � � � 2 eine Fläche mit der �-Achse ein. Bestimmen Sie � so, dass beide Flächen den gleichen Inhalt haben.

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Lösung M082.1 Lösungslogik a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: Wir berechnen ��0�. Niedrigste globale Durchschnittstemperator: Wir berechnen �′��, setzen �� 0 und lösen die Gleichung nach Null auf. Globale Durchschnittstemperator größer 16 ° : Wir bilden �� ∩ � � 16 und lösen die Gleichung nach � auf. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn

des Jahres 2000: Wir berechnen �′�100�. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im beschriebenen

Zeitraum: Wir berechnen das Integral von �� im Intervall �0; 100� und dividieren das

Ergebnis durch 100. b) Fragestellung zu �� 10� � �� 0,5: Siehe Klausuraufschrieb Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: Nachdem wir in Aufgabenteil a) den Zeitpunkt der tiefsten globalen

Durchschnittstemperatur ermittelt haben, müssen wir nun nachweisen, dass �′�� für alle � � 36,517 streng monoton steigt.

c) Spätester Zeitpunkt zur Maßnahmeneinleitung für konstante momentane Änderungsrate:

Ist die momentane Änderungsrate ab einem Zeitpunkt �� konstant, muss das Schaubild ab �� tangential weiter verlaufen. Gesucht ist also die Tangente an �� im Berührpunkt �� wobei ein Punkt dieser Tangente die Koordinaten �150|15,7� haben muss. Gesucht ist also die Tangente von einem bekannten Punkt aus an eine Kurve.

d) Aufgabenstellung zum beschränkten Wachstum "�� # � $ ∙ &'() (� � 0 im Jahr 2020) mit einer Schranke # � 16,8 und der Vorbedingung eines knickfreien Übergangs im Jahre 2020, somit "′�0� � �′�120� und $ � # � ��120�.

Klausuraufschrieb �� 2,8&�,��+) � 0,03� � 11,1; 0 , � , 200 a) Globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900: ��0� � 2,8&�,��+∙� � 0,03 ∙ 0 � 11,1 � 2,8 � 11,1 � 13,9 Die globale Durchschnittstemperatur im Jahr 1900 betrug 13,9 ° . Niedrigste globale Durchschnittstemperator: �′�� 0,008 ⋅ 2,8&�,��+) � 0,03 �′�� 0: 0,008 ⋅ 2,8&�,��+) � 0,03 � 0 0,008 ⋅ 2,8&�,��+) � 0,03 | : 0,0224 &�,��+) � 1,3393 | 12 0,008� � ln �1,3393� | : 0,008 � � 36,517

��36,517� 13,75

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 08 Die niedrigste globale Durchschnittstemperatur betrug etwa 13,75 ° im

Verlaufe des Jahres 1937. Globale Durchschnittstemperator größer 16 ° : �� ∩ � � 16 2,8&�,��+) � 0,03� � 11,1 � 16 2,8&�,��+) � 0,03� � 4,9 � 0

� 152,3 Im Verlaufe des Jahres 2052 wird die globale Durchschnittstemperatur von

16 ° überschritten. Momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu

Beginn des Jahres 2000:

�′�100� � 0,0024 ⋅ &�,��+∙5�� 0,03 � 0,0024 ∙ &�,+ � 0,03 0,023 Die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu

Beginn des Jahres 2000 betrug etwa 0,023 ° /7$ℎ9. Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur:

: � 5;�� ⋅ < ��;��

� =� � 5;�� ∙ >;,+∙?@,@@AB

�,��+ � 0,015�; � 11,1�C�

;��

: � 5;�� ⋅ �350&�,��+) � 0,015�; � 11,1��

;�� 15,02

Der Mittelwert beträgt ca. 15,02 ° . b) Fragestellung zu �� 10� � �� 0,5: In welchem Zeitraum von 10 Jahren nimmt die globale Durchschnitts-

temperatur um 0,5 ° zu. Anstieg immer schneller nach Erreichen des Tiefpunktes: �′�� streng monoton steigend für alle � � 36,517? Dies ist der Fall, wenn �� 0 �′′�� 0,00018&�,��+) Wegen �� 0 für 0 , � , 200, ist �′�� monoton steigend. Da �′�� die

Steigung von �� ist, ist auch �� monoton steigend, d.h., der Anstieg der globalen Durchschnittstemperatur wird immer schneller.

c) Spätester Zeitpunkt für konstante momentane Änderungsrate: Zeitpunkt der Wirksamkeit einer konstanten Änderungsrate sei �150|15,7�. Berührpunkt an Kurve sei ��D��D��, dann gilt: ��E� � ��D� ∙ E � D� � ��D� | Punkt-Steigungsform 15,7 � ��D� ⋅ �150 � D� � ��D� | Punktprobe mit ��D� ⋅ �150 � D� � ��D� � 15,7 � 0 �0,0224&�,��+F � 0,03� ∙ �150 � D� � 2,8&�,��+) � 0,03D � 11,1 � 15,7 � 0 3,36&�,��+F � 0,0224D ⋅ &�,��+F � 4,5 � 0,03D � 2,8&�,��+) � 0,03D � 4,6 � 0 6,16&�,��+F � 0,0224D ⋅ &�,��+F � 9,1 � 0

D5 122,36; D; 174,08 Wegen EG � 150 ist D5 die einzige sinnvolle Lösung. Um im Jahre 2050 eine konstante globale Durchschnittstemperatur von

15,7 ° zu erreichen, müssen entsprechende Maßnahmen spätestens im Jahr 2022 eingeleitet werden.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 08 d) Beschränktes Wachstum: "�� # � $ ⋅ &'(); � in Jahren # � 16,8; ��120� � "�120�; ��120� � "′�120� ��120� 14,8

��120� 0,029 "′�� $ ⋅ H&'() "′�120� � $ ∙ H ∙ &'5;�( ��120� � "�120� (1) 14,8 � 16,8 � $ ⋅ &'5;�( | �16,8; ⋅ ��1� (1) 2 � $ ⋅ &'5;�( | : &'5;�(

(1) $ � ;?IJK@L

��120� � "′�120� (2) 0,029 � $ ⋅ H ⋅ &'5;�( $ → �2� (2) 0,029 � ;

?IJK@L ⋅ H ⋅ &'5;�( � 2H

(2) H � 0,01425 H → �1� (1) 2 � $ ⋅ &'5;�⋅�,�5N;O � $ ⋅ &'5,P5 (1) $ � ;

?IJ,QJ � 11,058

Die Funktionsgleichung lautet "�� 16,8 � 11,06 ⋅ &'�,�5N;O); 120 , � , 200.

Lösung M08A1.2 Lösungslogik a) Begründung Achsensymmetrie: Siehe Klausuraufschrieb. Nullstelen von �R: Wir setzen �R�E� � 0 und lösen die Gleichung nach E auf. b) $ für gleiche Flächen unter �R und ": Wir berechnen die Fläche unter dem Graphen von " im Intervall 0 , E , 2. Wir setzen das Ergebnis gleich mit der Fläche unter dem Graphen von �R

im gleichen Intervall und lösen die Gleichung nach $ auf. Klausuraufschrieb a) Begründung Achsensymmetrie: Die gegebene Funktionsgleichung ist die Funktionsgleichung einer

ganzrationalen Funktion 4. Grades. Diese Funktionsgleichung besitzt nur geradzahlige Potenzen von E, ist somit achsensymmetrisch.

Nullstelen von �R: �$EN � 4$E; � 0 | : $ �EN � 4E; � 0 E;�4 � E;� � 0 E5,; � 0; ES � 2; EN � �2 Alle Nullstellen von �R sind unabhängig von $.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 08 b) $ für gleiche Flächen unter �R und ":

TU � < S;5O V ⋅ sin YZ

; E[;� =E � >� S;

5O V ∙ \]^ YZ; E[ ∙ ;

ZC�

;� >� _N

5O ∙ \]^ YZ; E[C

�

;

� � _N5O ⋅ cos�V� � _N

5O ∙ cos�0� � _N5O � _N

5O � 5;+5O

Tbc � TU

Tbc � < �$EN � 4$E;;� =E � >� R

O EO � NS $ESC

�

;� � S;

O $ � S;S $ � 0 � 'd_e5_�

5O $ � _N5O $

_N5O $ � 5;+

5O

$ � 5;+_N � 2

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Aufgabe M09A1 Bei einer intramuskulären Injektion hängt die messbare Konzentration �� (in mg pro Liter) des injizierten Medikaments im Blut u. a. von der Zeit � (Angaben in Stunden) seit der Injektion ab. Sie ist außerdem abhängig von zahlreichen weiteren Faktoren (z. B. der un- terschiedlichen Konstitution des Menschen) und lässt sich durch Änderungen der physikalisch-chemischen Zusammensetzung beeinflussen (Parameter �). Für �� gilt: �� ∙ �⋅� �; � � 0; � � 0. Im Folgenden wird zunächst der Fall � � 2 untersucht. a) Bestimmen Sie (für � � 2) rechnerisch und numerisch den Zeitpunkt, zu

dem die maximale Arzneimittelkonzentration im Blut erreicht ist, sowie die maximale Arzneimittelkonzentration.

b) Untersuchen Sie (für � � 2) rechnerisch und numerisch, zu welchem

Zeitpunkt die Geschwindigkeit, mit der sich die Arzneimittelkonzentration ändert, extremal ist, sowie die maximale Änderungsgeschwindigkeit.

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion �� für � → ∞. Interpretieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf den langfristigen Abbau des Medikaments.

Zeigen Sie, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft. c) Die Abbildung zeigt die Graphen von ��

für � � 1 bis � � 4. Ordnen Sie die Parameterwerte den entsprechenden Graphen zu. Beschreiben Sie den Verlauf der Graphen im Sachzusammenhang. Untersuchen Sie, welche Aussagen sich hinsichtlich des Einflusses von � machen lassen. (Beachten Sie auch Ihre Ergebnisse von a) und b).

d) Zeigen Sie, dass es genau einen

Zeitpunkt � � 0 gibt, bei dem die Arzneimittelkonzentration für alle verschiedenen Zusammensetzungen (d. h.

die verschiedenen möglichen Parameterwerte) gleich ist und geben Sie diese Konzentration an.

e) Weisen Sie nach, dass die Funktion �� mit ��

��⋅ �� 1� ∙ �∙� eine

Stammfunktion von �� ist. f) Bestimmen Sie für � � 2 rechnerisch die mittlere Wirkstoffkonzentration ��2�

in den ersten beiden Stunden.

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Lösung M09A1 Lösungslogik a) Zeitpunkt und Wert der maximalen Arzneimittelkonzentration: Hinweis: Die Aufgabenstellung „rechnerisch und numerisch“ bedeutet, dass hier

nicht einfach das Maximum mittels WTR gesucht werden soll, sondern das echt gerechnet wird.

Wir bestimmen �� und ��′��, setzen �� auf Null, lösen nach � auf und prüfen über die Art der Extremstelle und bestimmen dann noch die maximale Arzneimittelkonzentration über ��.

b) Zeitpunkt und Wert der maximalen Arzneimittelkonzentrationsänderung: Gefragt ist hier die Änderungsrate, deren Funktionsgleichung wir mit

bereits berechnet haben. Gesucht ist der Hochpunkt dieser Änderungsrate. Wir bestimmen noch ��′′��, setzen ��′�� auf Null, lösen nach auf und

prüfen über die Art des Extrempunktes. Danach bestimmen wir über die maximale Arzneimittelkonzentrationsänderung.

Verhalten der Funktion �� für � → ∞: Wir prüfen, ob die Funktion gegen einen Grenzwert läuft für � → ∞. c) Zuordnung von Graphen von ��:

Aus den Schaubildern ergeben sich unterschiedliche Stellen der Hochpunkte. Über ��′�� können wir somit die Zuordnung feststellen.

Aussagen hinsichtlich des Einflusses von �:

Siehe Klausuraufschrieb. d) Zeitpunkt gleicher Konzentration:

Obwohl aus der Graphik von Teilaufgabe c) ersichtlich (� � 1 mit �� 1�, ist hier der rechnerische Nachweis gefordert.

Wir bestimmen den Schnittpunkt von �� mit �� und stellen fest, dass die Schnittstelle unabhängig von � ist.

e) Nachweis einer Stammfunktion:

Zwar könnte man mittels partieller Integration die Stammfunktion aus herleiten, da dieses Verfahren aber nicht mehr zum Lehrumfang gehört, verbleibt hier nur noch die 1. Ableitung von �� zu bilden.

f) Mittlere Wirkstoffkonzentration :

Dies ist das Mittelwertintegral von �� im Intervall � � �0; 2�.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 09 Klausuraufschrieb a) Zeitpunkt und Wert der maximalen Arzneimittelkonzentration: �� ∙ ��⋅�� ′ � 1 � � ��⋅�� 2��⋅�� ′�� 2� ⋅ �� ⋅ �1 � 2�� ⋅�� 2��⋅�� 1 � 2� �� 2 ��′′�� 2��1 � 2�� 2 ⋅ �� 2�� ⋅ �2 � 2�� 4��1 � �� ′�� 0 �� ⋅ �1 � 2�� 0 | Satz vom Nullprodukt 1 � 2� � 0 �" � � 0,5 ��′′�0,5� � �4��1 � 0,5� % 0 �" Hochpunkt ��0,5� � 0,5 ∙ ��& ' 1,359 *+/- Nach 30 Minuten ist die Arzneimittelkonzentration mit etwa 1,4 *+/-

maximal.

b) Zeitpunkt und Wert der maximalen Arzneimittelkonzentrationsänderung: ��′′�� 4��1 � �� 4��⋅�� 8��⋅�� 1 � � �� 1 ��′′′�� 8��⋅�� ⋅ �1 � �� / 4��⋅�� 4��⋅��2 � 2� / 1� � 4��⋅��3 � 2�� ′′�� 0

�4��1 � �� 0 | Satz vom Nullprodukt 1 � � � 0 �" � � 1 ��′′′�1� � 4�0�3 � 2� " 0 �" Tiefpunkt ��1� � �� ⋅ �1 � 2� � �0 ⋅ ��1� � �1 Nach einer Stunde ist der Wert der Arzneimittelkonzentrationsänderung

mit etwa �1 123∙4 am geringsten.

Verhalten der Funktion �� für � → ∞: Wegen lim�→8 �� 0 ist lim�→8 �� 0

Auf lange Sicht gesehen nähert sich die Arzneimittelkonzentration dem

Wert 0.

c) Zuordnung von Graphen von ��:

�� ∙ ��⋅�� ′ � 1 � � ��⋅�� ⋅�� ′�� ⋅ �� ⋅ �1 � �� ′�� 0 �� ⋅ �1 � �� 0 | Satz vom Nullprodukt

�1 � �� 0 �" � � &�

Je größer � umso näher liegt der Hochpunkt an � � 0. Das Schaubild von �9 hat die Extremstelle � � &

9 gefolgt von �: mit � � &:, �� mit � � &

� und �& mit

� � 1.

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 09 Aussagen hinsichtlich des Einflusses von �:

Aus dem zuvor gesagten lässt sich schließen: Je größer �, desto früher tritt die maximale Konzentration ein und desto

höher ist sie. Weiterhin gilt: Je größer �, desto früher und schnellet verläuft der Abbau. d) Zeitpunkt gleicher Konzentration: �� ∩ �� ∙ ��⋅�� ∙ ��⋅�� ∙ ��⋅�� ∙ ��⋅�� 0 � ⋅ <��⋅�� ⋅��= � 0 | Satz vom Nullprodukt �& � 0 ��⋅�� ⋅�� 0 ��& ⋅ � / �& � 0 ∧ ��& ⋅ � / �& Aus beiden Gleichungen folgt:

� � �� 1

��1� � 1 ∙ �0=1 Nach einer Stunde beträgt die Arzneimittelkonzentration unabhängig von �

1 *+/-. e) Nachweis einer Stammfunktion:

�� ?@�� ⋅ �� / 1� ∙ ��∙�

� � � ?@�� ⋅ �� / 1� �� ?@

�

� � ��∙� �� ∙�

��′�� ?@� ⋅ ��∙� / ?@

�� ⋅ �� / 1� ⋅ ��∙�

� ?A@∙B⋅?@� ∙ C�1 / �

� ⋅ �� / 1�D � ?A@∙B⋅?@

� ⋅ ��1 / �� / 1� � ?A@∙BE@

� ⋅ �� ⋅ �� q.e.d.

f) Mittlere Wirkstoffkonzentration :

*�2� � &� ⋅ F ��

0 G� � &� ⋅ ��0� � &

� ⋅ <��2� � ��0�= *�2� � &

� ⋅ ?�9 ��2 ⋅ 2 / 1� ∙ ��9 / �2 ⋅ 0 / 1� ∙ �0�

*�2� � ?�H ��5��9 / 1� � � ?�

H ⋅ �5��9 � 1� ' 0,829

Die mittlere Wirkstoffkonzentration *�2� beträgt etwa 0,829 *+/-.

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Aufgabe M10A1

a) Im Gezeitenkalender für Cuxhaven- Steubenhöft findet man für einen

bestimmten Zeitpunkt (Zeitpunkt: � � 0) die Angabe 3,40 � Hochwasser

und 6 ℎ 18 � � � 6,3 ℎ später die

Angabe 0,70 � Niedrigwasser.

Bestimmen Sie eine geeignete Sinusfunktion, mit deren Hilfe man den Vorgang modellieren kann.

b) Der Zeitpunkt des nächsten Hoch-

wassers ist mit 12 ℎ 6 � � � 12,1 ℎ

angegeben. Welche Sinusfunktion ergibt sich, wenn man nur die beiden

Informationen bzgl. des Hochwassers und den Wasserstand des Niedrig-wassers berücksichtigt?

c) Betrachten Sie den Graphen der Sinusfunktion mit � � � � ��. In den

„ersten Bogen" des Graphen werde ein Rechteck maximaler Größe

eingezeichnet; dabei liegen zwei Eckpunkte des Rechtecks auf der �-Achse

und die anderen beiden auf dem Graphen der Sinusfunktion. c1) Begründen Sie, warum der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks

beschrieben werden kann durch

�� 2�� ∙ � � �� für 0 � � ��

�.

c2) Skizzieren Sie den Graphen von �� und bestätigen Sie mithilfe der

1. Ableitung von �� dass für � � 0,71 der Flächeninhalt des Recht-

ecks maximal ist.

c3) Berechnen Sie den Anteil der Fläche des maximalen Rechtecks an

der Fläche des ersten Bogens in Prozent. c4) Betrachten Sie jetzt allgemein eine Funktionsschar von Sinus-

funktionen mit � � � �� ⋅ �� ; � ∈ ℕ.

Auch hier soll analog zu oben ein Rechteck in den "ersten Bogen"

des betreffenden Sinusgraphen eingezeichnet werden. Geben Sie den Term an, mit dem der Flächeninhalt dieses

Rechtecks berechnet werden kann.

Begründen Sie, dass auch für jedes beliebige � der Anteil des

Flächeninhalts des maximalen Rechtecks am Flächeninhalt des Bogens genauso groß ist wie in Teilaufgabe c3).

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Lösung M10A1 Lösungslogik a) Geeignete Sinusfunktion: Ausgehend von der allgemeinen Form einer Sinusfunktion

��

bestimmen wir an Hand der Aufgabenstellung die Parameter �, � und .

b) Sinusfunktion nur unter Berücksichtigung der beiden Hochpunkte und des Wertes für Niedrigwasser:

Aus den Berechnungen nach a) ergibt sich über die beiden Hochpunkte lediglich eine andere Periode.

c1) Flächenformel für eingeschriebenes Rechteck im ersten Bogen:

Aus der Flächenformel für Rechtecke ergibt sich � � � ⋅ � (Länge mal Breite).

c2) Skizze und Nachweis maximale Fläche:

Siehe Klausuraufschrieb. c3) Anteil der Fläche des maximalen Rechtecks an der Fläche des ersten Bogens

in Prozent Wir berechnen die Fläche unter dem ersten Bogen über das Integral von

�� im Intervall � � �0; �� sowie ��0,71� und stellen die beiden Ergebnisse

ins Verhältnis.

c4) Flächeninhalt des Rechtecks gemäß c1) bei einer Funktionsschar:

Wir bestimmen die Nebenbedingungen � und � anhand der vorgegebenen

Funktionsschar und stellen daraus die Hauptbedingung auf.

Nachweis gleicher Flächeninhalt wie c3): Siehe Klausuraufschrieb.

Seite 50

Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 09 Klausuraufschrieb a) Geeignete Sinusfunktion:

��

� � �� !�" # ; � � �� $�"

# %&' � 3,4 | Hochwasser

%*' � 0,7 | Niedrigwasser

� � #,+# � 1,35; � � -,.

# � 2,05

� � #01

2 aus Aufgabenstellung:

Der Abstand zwischen Hoch- und Tiefpunkt bei einer Sinuskurve entspricht 1#.

1# � 6,3; 2 � 12,6

� � #0.#,4 5 0,499�

Wegen %&' � 3,4 zum Zeitpunkt 7 � 0 ist die Sinuskurve um 1- nach links

verschoben.

� � 1- � � .#,4

- � �3,15

�� 1,35��0,499�� 3,15�� 2,05

b) Sinusfunktion nur unter Berücksichtigung der beiden Hochpunkte und des Wertes für Niedrigwasser:

� und � wie Teilaufgabe a).

2 aus Aufgabenstellung:

Der Abstand zwischen zwei Hochpunkten bei einer Sinuskurve entspricht 2. 2 � 12,1

� � #0.#,. 5 0,519�

Wegen %&' � 3,4 zum Zeitpunkt 7 � 0 ist die Sinuskurve um 1- nach links

verschoben.

� � 1- � � .#,.

- � �3,025

�� 1,35��0,519�� 3,025�� 2,05

c1) Flächenformel für eingeschriebenes Rechteck im ersten Bogen: Hauptbedingung: �89:;<9:= � � ∙ �

Nebenbedingungen: � � �� 2��; � � �� NB → HB: �� 2�� ⋅ ��

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Abitur-Musteraufgaben Wahlteil Analysis Satz 10 c2) Skizze und Nachweis maximale Fläche:

Skizze des Graphen von ��: �� 2�� ⋅ �� ′�� 2�� 2�� ⋅ cos �� 2�� 2�� ⋅ cos�� 0; 0 D � D 0

#

� 0,71

c3) Anteil der Fläche des maximalen Rechtecks an der Fläche des ersten Bogens in Prozent.

��0,71� 1,122

�EFG9H � I �� 0J �� K��J

0 � � K�� K� �0� �EFG9H � 2

L�J,+.�LMNOPQ

� .,.### � 0,561 � 56,1 %

Nach einer Stunde beträgt die Arzneimittelkonzentration unabhängig von S

1 TU/�.

c4) Flächeninhalt des Rechtecks gemäß c1) bei einer Funktionsschar:

Hauptbedingung: �89:;<9:= � � ∙ �

Nebenbedingungen:

Wegen der Funktionsgleichung % � ��S ⋅ �� gilt ein anderes 2:

2 � #0E � #0

=

� � W1# � 2�X � W0

= � 2�X ; � � �� S�� NB → HB:

�∗�� 0= � 2�� ⋅ �� S��

Nachweis gleicher Flächeninhalt wie c3):

Die Flächenfunktion �∗�� hat wegen des Gleichungsanteils �� S�� nach wie

vor die Periode 2 � #0= . Der Faktor S stellt (wegen S ∈ ℕ) eine Stauchung der

Sinusfunktion in �-Richtung dar. Dies staucht die Länge � des Rechtecks im

selben Verhältnis. Der Stauchungsfaktor ist .=. Somit wird sowohl die Fläche

des Rechtecks als auch die Fläche unter dem ersten Bogen mit diesem Verhältnis gestaucht, sodass das Verhältnis zwischen maximaler

Rechteckfläche und Fläche unter dem ersten Bogen konstant bleibt mit etwa

56,1 %.

Seite 52

Wahlteile Analysis ab 2019 - Fit in Mathe Online...Wir bilden das Integral über in Intervall 0; ....

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