Seminar  für  Lehramt  Mathematik                         SS2014  Fabian  Szymanek  (0725039)       WAHRSCHEINLICHKEIT                                  13.6.2014    

 

Früher   noch  oft   als   „Stiefkind“   angesehen,   hat   die  Wahrscheinlichkeitsrechnung  hat   im  Laufe   der   letzten   20   Jahre  einen  erheblich  bedeutenderen  Platz  in  den  Lehrplänen,  sowohl  jenen  der  AHS  als  auch  der  BHS,  eingenommen.  Im  Folgenden  sollen  Probleme  aufgezeigt  und  erklärt  werden,  die  mithilfe  von  Wahrscheinlichkeitsrechnung  zu  erklären  sind  und   im  Schulunterricht  klassischerweise  nur  sehr  selten  vorkommen,  aber  durchaus  schon  einsetzbar  wären   in  verschiedenen  Klassenstufen.      

1. Wahrscheinlichkeit:  Das  Nadel-­‐Problem  von  Buffon  Georges  Louis  Leclerc,  Comte  de  Buffon  (1707-­‐1788)  

 Problem:    Wenn  man  eine  Nadel  auf  liniertes  Papier  fallen  lässt  –  wie  groß  ist  dann  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  Nadel  so  liegen  bleibt,  dass  sie  eine  der  Linien  kreuzt?      Die  Wahrscheinlichkeit  hängt  vom  Abstand  d  zwischen  den  Linien  des  Papiers  ab  und  von  der  

Länge  l  der  Nadel,  die  wir  fallen  lassen  –  bzw.  eigentlich  nur  vom  Verhältnis  !!  der  beiden  Längen.  Eine  „kurze“  Nadel  

wird  hier  als  eine  solche  verstanden,  deren  Länge  kürzer  ist  als  der  Abstand  2er  Linien;  also  eine  solche,  die  niemals  2  Linien  kreuzen  kann.  Die  Antwort  auf  dieses  Nadel-­‐Problem  hat  damals  überrascht,  weil  darin  die  Zahl  𝜋  vorkommt.    Satz:  Eine  kurze  Nadel  der  Länge  l  werde  auf  liniertes  Papier  fallen  gelassen,  dessen  Linien  den  Abstand  𝑑 ≥ 𝑙  haben.  Dann  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  Nadel  in  einer  Position  zu  liegen  komm,  in  der  sie  eine  der  Linien  des  Papiers  kreuzt  genau,    

p =2π.ld  

 

Daraus  ergibt  sich:  𝜋 = !.!!.!

,  und  wenn  𝑝 = !!  gesetzt  wird,  erhält  man  𝜋 = !.!.!

!.!.  Dabei   ist  N  die  Anzahl  der  Versuche    

und  P  die  Anzahl  der  Nadeln  mit  Kreuzungspunkt.  Im  unten  angeführten  Link  ist  eine  Simulation  animiert,  die  für  eine  Anzahl  N  an  Nadelwürfen  die  Näherung  zur  Kreiszahl  Pi  veranschaulicht.  Im  Folgenden  sollen  nun  2  Beweisideen  veranschaulicht  werden,  die  sich  im  Oberstufenlehrplan  gut  wiederspiegeln  und  auch  der  Vernetzung  einiger  Teilbereiche  dienen  könnten.  

 

Beweis  von  Barbier  (1860)    Es  wird  von  der  Idee  ausgegangen,  dass  irgendeine  Nadel  fallen  gelassen  wird  (Länge  egal),  womit  die  Anzahl  der  zu  erwartenden  Kreuzungspunkte    

𝐸 = 𝑝! + 2. 𝑝! + 3. 𝑝! +⋯    

Die   Variablen  𝑝!, 𝑝!, 𝑝!,…  bezeichnen   dabei   die   Wahrscheinlichkeit   für   einen,   zwei,   drei,   etc.   Kreuzungspunkte.  Buffon   will   nur   die   Wahrscheinlichkeit   für   zumindest   einen   Kreuzungspunkt   erhalten,   wodurch   sich   der   Term  vereinfacht  zu  

𝐸 = 𝑝! + 𝑝! + 𝑝! +⋯    

Weiters   wird   in   Buffon’s   Setting   eine   kurze   Nadel   betrachtet   (also   mit   l   <   d)   ,   weshalb   alle  Wahrscheinlichkeiten  (𝑝!, 𝑝!,… )  außer  𝑝!  gleich  Null  zu  setzen  sind  und  der  Term  zu  E  =  p  zusammenfällt.  Die  Wahrscheinlichkeit  ist  daher  die  erwartete  Anzahl  an  Kreuzungspunkten.    Weiters  geht  nun  die  Eigenschaft  der  Linearität  des  Erwartungswert  E(x+y)=E(x)+E(y)  ein,  die  es  ermöglicht,  Nadeln  der  Länge  l  =  x+y  zu  betrachten.  Es  ist  damit  auch  nicht  mehr  nötig  von  geraden  Nadeln  auszugehen;  es  können  auch  krummlinige  Nadeln  („polygonale  Nadeln“)  der  Länge  l  betrachtet  werden.      Mithilfe  von  Induktion  lässt  sich  zeigen,  dass  für  alle  𝑥 ≥ 0  gilt,  dass  E(x)  =  cx  lautet.  Die  Frage  ist  also  nun,  wobei  es  sich  bei  diesem  c  handelt.  Die  zu  erwartende  Anzahl  an  Kreuzungspunkten  E  =  c.l  geht  wieder  aus  der  Linearität  des  Erwartungswerts  hervor.      

Seminar  für  Lehramt  Mathematik                         SS2014  Fabian  Szymanek  (0725039)       WAHRSCHEINLICHKEIT                                  13.6.2014    

Der   entscheidende   Schritt   ist   nun,   sich   die   polygonalen   Nadeln   als   Kreis   C   mit  Durchmesser  d  vorzustellen  (ein  Kreis  kann  ja  als  regelmäßiges  n-­‐Eck  mit  unendlich  vielen  Ecken  betrachtet  werden)  und  daher  der  Länge  𝑙 = 𝑑.𝜋.  Da  der  Durchmesser  genau  gleich  dem  Abstand  der  Linien  ist,  erhält  man  in  jedem  Fall  2  Kreuzungspunkte.      

Die   Kreislinie   kann,   wie   bereits   erwähnt,   durch   Polygone   approximiert   werden.   Wenn   wir   uns   nun   ein   dem   Kreis  umschriebenes  Polygon  𝑃!  und  ein  dem  Kreis  eingeschriebenes  Polygon  𝑃!  als  Nadeln  der  Länge   l   vorstellen,  dann  trifft  die  Erwartung  bzgl.  der  Anzahl  der  Kreuzungspunkte  sowohl  auf  den  Kreis  als  auch  auf  beide  Polygone  zu.  Es  gilt  also:    

𝐸 𝑃! ≤ 𝐸(𝐶) ≤ 𝐸(𝑃!).    

Für  die  C  (den  Kreis)  ist  die  Anzahl  der  Kreuzungspunkte  genau  2,  für  die  beiden  Polygone  erwartet  eine  Anzahl  von  Kreuzungspunkten,  die  dem  Produkt  des  oben  erwähnten  Faktors  c  und  der  Länge  entspricht.  Daraus  ergibt  sich    

 

𝑐. 𝑙 𝑃! ≤ 2 ≤ 𝑐. 𝑙(𝑃!).  Im  Grenzfall  lim!→! ergibt  sich  daher:  

lim!→!

𝑐. 𝑙(𝑃!) = 𝑑𝜋 = lim!→!

𝑐. 𝑙(𝑃!)    

und  daraus  folgt  mit  𝑛 → ∞:  𝑐.𝑑𝜋 ≤ 2 ≤ 𝑐.𝑑𝜋,  woraus  sich  𝑐 = !!!!    schließen  lässt.  

 Beweis  mithilfe  eines  Integrals  Eine  Nadel  kommt  auf  dem  Blatt  zu  liegen  und  schließt  mit  den  Linien  einen  Winkel  𝛼  ein.  Es  müssen  nur  Winkel  des  Intervalls   0; !

!  betrachtet  werden,  da  alle  anderen  Fälle  symmetrisch  

sind  und  daher  gleich  wahrscheinlich.  Damit  hat  eine  Nadel,  die  unter  dem  Winkel  𝛼  zu  liegen  kommt  eine  Höhe  h  =  𝑙. sin  (𝛼)  und  daraus  ergibt  sich  die  Wahrscheinlichkeit  für  einen  

Kreuzungspunkt  zu  !.!"#  (!)

!.    

Mithilfe  des  Integrals  lässt  sich  nun  der  Mittelwert  über  alle  möglichen  Winkel  𝛼  bilden  –  es  folgt  also:  

𝑝 =2𝜋

𝑙. sin 𝛼𝑑

.𝑑𝛼

!!

!

=2𝜋.𝑙𝑑. −cos  (𝛼) !

!! =

2𝜋.𝑙𝑑  

 Veranschaulichung:  http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/buffon/index.php?gfx=0&n=500          

2. Statistik:  Das  Simpsonsche  Problem    (E.H.Simpson,  *1922)    Grundproblem:   Die   Auswertung   der   Daten   verschiedener   Gruppen   ergibt   unterschiedliche   Ergebnisse,   abhängig  davon   ob  man  die   Ergebnisse   der  Gruppen   verbindet   oder   nicht.  Das   Simpson-­‐Paradoxon   tritt   auf,  wenn  mehrere  Vierfeldertafeln  mit  einem  Chancenquotienten  kleiner  (größer)  eins  zu  einer  Gesamttafel  zusammengefügt  werden,  die  einen  Chancenquotienten  größer  (kleiner)  aufzeigen.    Die  Interpretation  bzw.  das  kritische  Hinterfragen  von  Statistiken  ist  auch  eine  Fähigkeit,  die  in  der  Schule  schon  ab  einem  sehr  frühen  Alter  der  Sekundarstufe  (2.Klasse)  trainiert  werden  kann.  Das  Simpsonsche  Problem  ist  eines,  das  mathematisch   leicht   nachvollziehbar   ist   und   dessen   graphische   Erklärung   mit   Hilfsmitteln   der   4ten   Klasse   US  realisierbar  ist.    Die  Grundproblematik  soll  an  einigen  Beispielen  veranschaulicht  werden:    

1) Aufnahmequoten  an  einer  Universität  An  einer  Uni  wird  den  Vorständen  der  einzelnen  Fachbereiche  vorgeworfen,  dass  sie  Frauen  in  der  Aufnahme  benachteiligen  (47%  der  männl.  und  31%  der   weibl.   Bewerber   wurden   uniweit   aufgenommen).   Die   einzelnen  Vorstände   rechtfertigen   sich,   dass   in   ihren   jeweiligen   Abteilungen   der  Prozentsatz   der   aufgenommenen   Frauen   immer   höher   ist,   als   jeder   der  Männer.  Wer  hat  nun  Recht?  

 

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2) „Abgespeckter  Triathlon“  2  Sportler  absolvieren  eine  Gesamtstrecke  von  10km  laufend  und  schwimmend.  Sportler  A  läuft  mit  15km/h  und  schwimmt  mit  4km/h,  während  Sportler  B  mit  12km/h  läuft  und  mit  3km/h  schwimmt.  Trotzdem  legt  Sportler  B  die  Gesamtstrecke  in  28  Minuten  weniger  zurück  als  Sportler  A  (2h  08min).  Wie  kann  das  sein?    

3) Fluglinien  –  Pünktlichkeitsstatistik  Die  Pünktlichkeit  2er  amerikanischer  Fluglinien  wird  überprüft.  Anhand  von  5  Flughäfen   soll   das   festgestellt   werden   und   es   stellt   sich   heraus,   dass   der  Anteil  verspäteter  Flüge  an  allen  5  Flughäfen  bei  der  American  West  höher  ist  als  bei  der  Alaska  Airlines.  Trotzdem  liegt  der  Prozentsatz  aller  verspäteten  Flüge  bei  der  Alaska  Airlines  erheblich  höher  als  bei  der  American  West.  Wie  kann  das  sein?    

Was   alle   diese   Szenarien   gemein   haben,   ist   eine   sogenannte   „verborgene   Variable   –   ein   Umstand,   der   in   der  Gesamtschau  nicht  berücksichtigt  worden   ist“.  Hintergrundinformationen,  die   aus  der  Statistik   an   sich  nicht  direkt  hervortreten,  sind  in  eine  Interpretation  mit  einzubeziehen  –  sprich  das  Gesamtbild  muss  betrachtet  werden.    

Bei  den  Aufnahmequoten  bleibt  völlig  unberücksichtigt,  dass  es  scheinbar  so  ist,  dass  Frauen  sich  tendentiell  eher  für  die   „schwereren“   (jene   mit   niedrigerer   Aufnahmequote)   Studienrichtungen   entscheiden   und   dort   natürlich   (in  Absolutwerten   gemessen)   wenig   Frauen   aufgenommen   werden.   Dies   lässt   dann   die   verzerrte   Optik   der  Diskriminierung  von  Frauen  zu.  

Beim  abgespeckten  Triathlon  geht  die  Information,  dass  unterschiedliche  Teilstrecken  gelaufen  und  geschwommen  werden,  erst  nachgereicht.  

Im   Falle   der   Pünktlichkeitsstatistik   übersieht  man   eventuell,   dass   die  Anzahl   der   „Alaska  Airlines“   Flüge   in   Seattle  erheblich  höher  ist  als  überall  anders,  weil  Seattle  der  Hub  dieser  Fluglinie  ist.  Dasselbe  gilt  für  „American  West“  und  Phoenix  –  die  Frequenz,   in  der  bestimmte  Flughäfen  von  den  jeweiligen  Fluglinien  angeflogen  werden,  bleibt  in  der  Statistik  unberücksichtigt.  

Als   Abhilfe   schlägt   Simpson   die   graphische   Darstellung   vor.   Nehmen   wir   das  Beispiel  der  Läufer.  Wenn  man  die  Bewegung  der  einzelnen  Teilabschnitte  in  Weg-­‐Zeit-­‐Diagrammen   graphisch   darstellt,   spiegelt   die   Steigung   der   Teilgeraden   die  Geschwindigkeiten   wieder.   Man   sieht   sehr   klar,   dass   die   Steigung   bei   Läufer   A  immer   höher   ist   als   bei   Läufer   B,   aber   Läufer   A   in   Summe   doch   länger   braucht  (eben  wegen  der  unterschiedlich  langen  Teilstrecken).    

Dasselbe  Prinzip  kann  (unter  Einhaltung  der  Verhältnisse)  auf  die  Problematik  der  Uni-­‐Aufnahmen  übertragen  werden.  Die  Steigungen  geben  die  einzelnen  „Aufnahmeraten“  pro   Institut  wieder,  die  Gesamtzahl  der  Frauen  liegt  in  Summe  jedoch  merklich  unter  jener  der  männl.  Bewerber.  

 

 

Allgemein   stellt   Simpson   den  Lösungsansatz   des   Paradoxons   mit  Vektoren   dar.   Während   die   einzelnen  Vektoren   (Summanden)   steiler   sein  können,   ist   es  durchaus  möglich,  dass  der   dazugehörige   Summenvektor  flacher  ist  als  ein  anderer  mit  flacheren  Summanden-­‐Vektoren.  

     Quellen:  Behrends,   Gritzmann,   Ziegler   (Hrsg.).   2008.   „𝜋  &   co.   –   Kaleidoskop   der   Mathematik“.   Berlin,   Heidelberg:   Springer  Verlag.  http://de.wikipedia.org/wiki/Simpson-­‐Paradoxon#mediaviewer/Datei:Simpsons-­‐vector.svg  http://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/buffon/index.php?gfx=0&n=500