Wht d EtiklWachstum und Entwicklung und... · = y = f (k) ist eine streng monoton wachsende...

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W h t d E t i klWachstum und EntwicklungBausteine zur Wachstumstheorie

Prof. Dr. Wolfgang StröbeleIn Zusammenarbeit mit Dipl.-Math. Eric Meyer

Lehrstuhl für VolkswirtschaftstheorieUniversität Münster

Bausteine zur Wachstumstheorie 2

Angebotsseitige Faktoren Nachfrageseitige Faktoren

• Produktionsfunktion• Technischer Fortschritt

• Nutzenfunktion• Konsum-/Sparverhalten

• Investitionsverhalten• Humankapital-investitionen

• Arbeits-/Freizeit-entscheidung

investitionen







investitionen

Produktionsfunktionen 4

Charakterisierung durch:g• SubstitutionselastizitätWie leicht lässt sich ein Produktionsfaktor durch denanderen substituieren bzw.Wie „krumm“ ist die Isoquante?

• Skalenelastizität• SkalenelastizitätWie weit liegen die Isoquanten auseinander?

Substitutionselastizität 5

Messung von Substitution bei einer gegebenen Produktionsfunktion g g gF=F(K,L) durch die Grenzrate der Substitution:

L

F∂

K

L

FF

KFL

dLdK

−=

∂∂∂−=

L1K∂

Y1Y2

Y3

L2

0 KK1 K2


Definition: Substitutionselastizität

K

Wie ändert sich das relative Faktoreinsatzverhältnis bei der relativen Änderung der Grenzrate der Substitution?

dKvonÄnderungrelativeLKvonÄnderungrelative

=σ

dLg

dKKddKdKd ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

LK

dLdKd

dLLd

dLdKdL

d:

LKL

d

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠

⎜⎝=

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝=σ

LdLdLL ⎠⎝


Beispiel σ=0

K

L

Linear limitationale Funktionen


Beispiel 0<σ<1

K

Kmin

S b tit ti i b h ä kt M ß ö li h b i ht

Lmin L

Substitution in beschränktem Maße möglich, aber nichtüber ein Minimalniveau hinaus


Beispiel σ=1

K

L

Substitution möglich


Beispiel σ>1

K

Kmax

LLmax

Vollständige Substitution möglich


Beispiel σ=∞

K

Kmax

LLmax

Vollkommen elastisch

Skalenelastizität 12

Definition: Skalenelastizität Wie ändert sich bei proportionaler Änderung der Faktoreinsatzmengender Output?

rungSkalenänderelativerungOutputänderelative

=εK

dYdY

dYrungSkalenänderelative

α⋅==ΔαYdd α

αα

α

L

Spezielle Produktionsfunktionen 13

Linear-limitationale Produktionsfunktionen

⎞⎛ 11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= L

u1;K

v1minY

vK

Linear-limitationale Produktionsfunktion

uv

LK=

K

L


Linear-limitationale Produktionsfunktionen

• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substituierbar• Produktionsfaktoren sind zumindest kurzfristig nicht substituierbar.• Der „knappe Faktor“ bestimmt die Höhe der Produktion.• Das Verhältnis von Kapital und Arbeit wird durch die Technologieparameterv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmtv (Kapitalkoeffizient) und u (Arbeitskoeffizient) bestimmt.

∂ Y

L gegeben

∂ K

1v

K L= ⋅v

K

K Lu


Substitutionale Produktionsfunktionen

Neoklassische makroökonomische Produktionsfunktionen• Homogene Produktionsfunktionen

Li h P d kti f kti• Linear-homogene Produktionsfunktionen

CES-ProduktionsfunktionenCES Produktionsfunktionen

Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen


Neokl. makroökonomische Produktionsfunktionen

Y∂Standardannahmen für substitutionale Produktionsfunktionen (1)

KY∂∂ = FK > 0; FL > 0 positive Grenzerträge

(2)2Y∂ = FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge (2) 2K∂

= FKK < 0; FLL < 0 abnehmende Grenzerträge

FKL > 0 Konvexität (3) F (0,0) = 0 ohne Inputs kein Output (3) F (0,0) 0 ohne Inputs kein Output (4) 0Flim KK

=∞→

; 0Flim LL=

∞→ Annahme über die Grenz-

produktivitäten für große“ (bzw∞=

→K0K

Flim ; ∞=→

L0LFlim

produktivitäten für „große (bzw. sehr kleine) Einsatzmengen an Produktionsfaktoren

(5) ∞=)LK(Flim (L>0 fest) keine absolute Obergrenze für die(5) ∞=∞→

)L,K(FlimK

(L>0 fest)

∞=∞→

)L,K(FlimL

(K>0 fest)

keine absolute Obergrenze für die Produktion


Homogene Produktionsfunktionen

Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt homogen vom ( , ) gGrade λ genau dann, wenn F (α ⋅ K, α ⋅ L) = αλ ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereiches.

Eigenschaften:

(1) Die Skalenelastizität Yd

dY α⋅

α ist gleich dem Homogenitätsgrad λ.

Ydα(2) Mit einer einzigen Isoquante ist die Schar aller Isoquanten bestimmt. (3) Eulersche Formel: λ ⋅ Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L . (4) FK (K, L) und FL (K, L) sind homogen vom Grade λ - 1.(5) Die Substitutionselastizität σ ist längs eines Fahrstrahls durch den

U k t t d ilt )1(FF1 KL λ⋅⋅λUrsprung konstant und es gilt: )1(FFFF1

LK

KL −λ−⋅

λ=

σ.


Linear-homogene Produktionsfunktionen

Definition: Eine Produktionsfunktion Y = F (K, L) heißt linear-homogen ⇔ Df ( , ) g Df

F (α ⋅ K, α ⋅ L) = α ⋅ F (K, L) für alle K, L des Definitionsbereichs d.h. eine Ver-α-fachung aller Produktionsfaktorinputs führt zu einer V f h d P d kti d h di P d kti f kti i t hVer-α-fachung der Produktion, d.h. die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 1. Eigenschaften: g

(1) LY d.h. die durchschnittliche Arbeitsproduktivität ist nur von

LK = k

Y Y Kabhängig (ebenso spiegelbildlich auch KY ) :

LY = F (

LK , 1) = f (k) .

(2) FL (Grenzproduktivität der Arbeit) und FK sind nur von K = k abhängig ( ) L ( p ) K Lg g

(3) Y = FK ⋅ K + FL ⋅ L (Spezialfall der Eulerschen Formel ), d.h. bei Entlohnung nach Grenzproduktivitäten Y = i ⋅ K + w ⋅ Lg p



Eigenschaften:Eigenschaften: (4) Die Grenzproduktivität eines Faktors nimmt (bei Konstanz des je-

weils anderen Faktoreinsatzes) mit zunehmendem Einsatz nicht zu: F ≤ 0 und F ≤ 0FLL ≤ 0 und FKK ≤ 0 .

(5) Die Substitutionselastizität σ = KL

KL

FFFF⋅⋅ ist längs eines Ursprung-

fahrstrahls konstant.



Definition: Eine Produktionsfunktion erfüllt die Inada-Bedingungen, wenn: a) sie linear-homogen ist b) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfülltb) sie die Bedingungen (1) bis (5) auf Folie 16 erfüllt. Für diese Funktionen gilt:

Y(1) Die Arbeitsproduktivität LY = y = f (k) ist eine streng monoton

wachsende Funktion der Kapitalintensität der Arbeit mit f' > 0 und f" < 0. (2) k ist eine eindeutige streng monoton wachsende Funktion des Lohn

Zins-Verhältnisses (und umgekehrt):

k ↑w

↑ k ↑ ⇔ r

↑.


CES-Produktionsfunktionen

Produktionsfunktionen mit einer konstanten Substitutionselastizität heißen CES-Funktionen (CES= constant elasticity of substitution). Sie habendie Form:

ρ ρ 1/ρEs sind: - A: Skalierung für die Produktionshöhe - 0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn- und Gewinneinkommen

Y = A⋅[ δ ⋅ K-ρ + (1-δ) ⋅ L-ρ ]-1/ρ

0 < δ < 1: Verteilungsparameter für Lohn und Gewinneinkommen - ρ: Maß für die Substitutionselastizität σ = 1/(1+ρ)


CES-Produktionsfunktionen, Beispiele

( ) 21

22 L80K20Y−−−( ) 222 L8.0K2.0Y ⋅+⋅=



( ) 101

1010 L5.0K5.0Y−−− ⋅+⋅= ( )L5.0K5.0Y +



( )25,05,0 L5.0K5.0Y ⋅+⋅=


Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen

Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen sind ein spezieller Typ von g p ypCES-Funktionen mit der Substitutionselastizität σ=1:

Y = K1-a ⋅ La

neoklassische makroökono-mische Produktionsfunktion

Cobb Douglas

CES-Produk-tionsfunktionen

INADA- Bedingungen

σ <1

mit

Cobb-Douglas-Funktionen σ = 1

σ >1


Cobb-Douglas-Produktionsfunktionen, Beispiele

5.05.0 LKY =



8.02.0 LKY =



8.08.0 LKY =



5.02LKY = LKY =

Cobb-Douglas-Funktion 30

Warum sind sie so beliebt?

dY

Einfach rechnen und zu interpretieren:

(1) Produktionselastizität

KY

dKdY

dKY

dY

lastizitätoduktionsePr ⋅==

KLKLK)a1(

Kaa1

aa ⋅⋅−=−

−

)a1(K

−=


Warum sind sie so beliebt?

Einfach rechnen und zu interpretieren:

(2) Einkommensverteilung (historischer Ursprung)Nach Euler gilt:

wLrKLFKFY LK +=+=

Nach Euler gilt:

Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen

LaK)a1(Y ⋅+⋅−=

Also: Sozialprodukt = Kapitaleinkommen + Lohneinkommen

(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten(3) Leichtes Rechnen mit Wachstumsraten


Growth AccountingUnterstellt man eine Produktionsfunktion der FormUnterstellt man eine Produktionsfunktion der Form

Y = A ⋅ K1-a ⋅ La

wobei A ein Effizienzparameter ist, so lässt sich das Wachstum einerVolkswirtschaft auf die Beiträge der einzelnen Faktoren aufteilen:

LaK)a1(AY ⋅+⋅−+=

Das Wachstum des autonomen Effizienzparameters A bezeichnet manals Totale Faktorproduktivität (TFP). Sie ist das nicht durch K und L erklärbare Residual und reflektiert den technischen Fortschritt.


Growth AccountingBeispiel Bundesrepublik 1991-1998Es gilt dann (s.o.):

%21g*)1(g*gg KNYa α−−α−=

(W h BIP l)

%63g%5,0g%2,1g

N

Y

+−=+= (Wachstum BIP real)

(Beschäftigungswachstum)(Wachstum Kapitalstock in konst Preisen)

%6,3*)73,01(%)5,0(*73,0%2,1g73,0

%6,3g

a

K

=−−−−==>=α

+= (Wachstum Kapitalstock in konst. Preisen)(durchschnittliche Lohnquote)

%593,0%972,0%365,0%2,1%6,3)73,01(%)5,0(73,0%2,1ga

=−+=

>

Interpretation: technischer Fortschritt in Höhe von ca. 0,6% pro Jahr.Aber beachten: Veränderungen der Sektoralstruktur können Ergebnisverzerren => Vorsicht bei gesamtwirtschaftlicher Produktionsfunktion!


Growth Accounting

Quelle: OECD (2003)/IfW Kiel (2004):


Growth Accounting

Quelle: IMF (2001)


Growth Accounting

Quelle: IMF (2006)







investitionen

Investitionsverhalten 39

Investitionsannahmen

K i i tä di Ei tä di• Keine eigenständige Investitionsfunktion(Neoklassik)

• Eigenständige Investitionsfunktion(Keynesianismus)

• Explizite Formulierungdes Investitionsverhaltens


Eigenständige Investitionsfunktion

Investitionen erfolgen wenn der Barwertüberschuss desInvestitionen erfolgen, wenn der Barwertüberschuss des Investitionsprojektes positiv ist:

0DDrschussBarwertübe n1 >++= 0)i1()i1(

rschussBarwertübe n >+

+++

= K

wobei i der Marktzins ist, mit dem diskontiert wird, und Di die Rückflüssed P j kt i daus dem Projekt sind.

Umgekehrt ließe sich auch eine Rendite r des Projektes suchen, bei der

n1 DD0 nn1

)r1(D

)r1(D0

+++

+= K

gilt. Die Investition ist dann lohnend, wenn r > i ist.g


Eigenständige Investitionsfunktion

Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:Einflussfaktoren auf die Investitionen sind dann:• der Marktzinssatz i• erwartete Absatzchancen (Zahlungsrückläufe).

Keynesianische Wachstumstheorien verwenden Investitionsfunktionenmit• der erwarteten Nachfrage• der erwarteten Profitrate r (wird nicht behandelt)

Die Investitionen wirken dabei via Einkommen auf das Sparverhalten.

Investitionen sind inhärent destabilisierendInvestitionen sind inhärent destabilisierend.


Keine eigenständige Investitionsfunktion

Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!Die Investitionen werden gleich der Ersparnis angenommen!

Zinssatz stimmt die Pläne der Haushalte (Sparer) und Unternehmen (Investoren) aufeinander ab.

Ist I > S, dann folgt i↑. Damit S(Y,i) ↑ und I(i,r)↓, bis zum Gleichgewicht.

Kurzfristige Ungleichgewichte sind für langfristige Wachstumspfade nichtrelevant.







investitionen

Technischer Fortschritt 44

Definition:Technischer Fortschritt liegt vor, wenn eine Erweiterung des technisch-organisatorischen Wissens eine Erhöhung des Outputs erlaubt, ohne dass der Einsatz an Produktionsfaktoren erhöht werden müsste.

Technischer Fortschritt wirkt so, als würden die ProduktionsfaktorenTechnischer Fortschritt wirkt so, als würden die Produktionsfaktorenquasi vermehrt, obgleich deren physischer Einsatz unverändert ist.

Hieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denHieran und an den Wirkungen auf die Faktorentlohnung und denKapitalkoeffizienten setzen die Klassifikationen an.


Hicks-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Hicks-neutral, wenn die Einkommensverteilung nicht verändert wird.

D.h. es muss gelten:)t(F)t(F

)0(F)0(F

L

K

L

K =

Der technische Fortschritt vermehrt in gleichem Maße Kapital und Arbeit.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = em⋅t ⋅ F (K, L)


Arbeitsvermehrender technischer Fortschritt:

)t(F)t(F

)0(F)0(F KK <

Kapitalsparender technischer Fortschritt:

)t(F)0(F LL

Kapitalsparender technischer Fortschritt:

)t(F)t(F

)0(F)0(F KK >

(eigentlich kapitalvermehrend)

)t(F)0(F LL


Harrod-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Harrod-neutral, wenn er Zinssatz und Kapitalkoeffizienten nicht verändert.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K, L ⋅ em⋅t)

Y YL

=

Yv

k=1

KY

v const= = .

′ = ′ ==

f k t f k tZinssatz const

( , ) ( , ).

1 0

f k t( , )1

f k t( , )0

v Zinssatz const.

k KL

=k∗ k∗∗

L


Solow-NeutralitätDefinition:Technischer Fortschritt heißt Solow-neutral, wenn er die Grenzproduktivität der Arbeit und den Arbeitskoeffizienten L/Y nicht verändert.

Die Produktionsfunktion lautet:Y = F (K em⋅t L)Y = F (K ⋅ e , L)

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