Losungen der Aufgaben

1.1: a) z(t)jQ(t)jSO(t)j1/(z). b) 2j2j1j 1. e) Ja. d) z = -~:C - ~ZjQ = ... , sO = ±t<~)t(E +mglcosso)tjy' = -tcr~::v ± F· 1.2: ExpIizites System: Q = I (1), i = -ch:Q - fI (2). Man differenziert (1) und setzt danaeh (2) ein: Q = -eftQ - fI (3). AuflOsen von (1) nach I und das Ergebnis einsetzen

.. 1 R • ... 1 in (3): Q = - CL Q - rQ, d. h. LQ + RQ + oQ = 0 (siehe Beispiel 1.2). Man differenziert (2) und setzt im Ergebnis Q bzw. i aus (1) bzw. (2) ein: i = -ch:I -f(-ch:Q - fI) (4). AuflOsen von (2) nach Q (besser: nach -ch:Q) und das Ergebnis • • •• 1 R' ••• 1

emsetzen m (4): 1= -01:1 - rI, d. h. LI + RI + 01 = O.

1.3: /I4(z) = EJ, a3(z) = 2(EJ)',a2(z) = (EJ)",al(z) = ao(z) = O,g(z) = p.

1.4: w = J"£, w = w =F O.

1.5: 1/(z) = JmZ 4 + 1/1&(z) mit 1/h(z) = 1C1Z3 + tC2z2 + C3Z + C4 oder aueh 1/1&(z) = CAz3+ C2Z2+ C3Z+ C4' W = 1, W= 12.

1.6: 1/ = 3 + ~(1 + sin(tz». 1.7: z(t) = C1 cos(wt) + C2 sin(wt), Cl = ~(zow cos(wto) - :Co sin(wto»,

C2 = ~(:co cos(wto) + ZoW sin(wto», z(t) = Zo cos(w(t - to» + ~ sin(w(t - to» mit w = -!f. 1.S: w(z) = Jm(J3z - 21z3 + z4). (w')!.ax = (w'(0»2 = (w'(1»2 = (2t:J) 2 < 8.10-4.

1.9: w(z) = 2J1Jj(12z 2 - 21z3 + Z4). Mit Z1,2 = HI ± ta) ist (w')!.ax = (w'(Zl»2 = (w'(Z2»2 = ;7 (2'1 f < 3.10-5. M = -EJw",Q = -EJw''',M(O) = -~, also "Dreh­

pfeil entgegen Uhrzeigersinn", M(I) = -~, also "Drehpfeil im Uhrzeigersinn", Q(O) = ef, also "Pfeil nach oben", Q(l) = -ef, also "Pfeil nach oben".

2.1: 1/ = C1 + C2Z + ... + C .. _2Z .. - 3 + C .. -1e'" + C .. e-". 2.2: z(t) = C1e-t/s + C2e-9t/s, C1 = £1O-2m, C2 = -11O-2m, T = 7,718 ... s, C2exp(-9T/s) < 2 .1O-33m.

2.3: 1/ = -e-" + (1 + z)e2".

2.4: z(t) = Ae-6tcos(wt - SO),A = 2,405 ... 1O-2m,6 = SO = 33,74 ... 0 = 0,5890 ... j 10-5m = Ae-6T ::} T = 4,67 ... s.

2.5: z(t) = C1 exp(-ft) + e2t(C2 cost + C3 sint).

1S-1 W = 2 4944 s-1 3' ,...,

2.6: a) w(z) = cos(n) + sin(lI'z), b) keine LOsung, e) w(z) = Csin(lI'z).

2.7: Hinweis zu (1.77): k(CIW1(0)+C2W2(0»+[(CIW1(Z)+C2W2(Z»'],,=o·F +[(EJ(CIW1(Z)+ C2W2(Z»")'],,=o = C1 { kW1(0)+wHO)F+[(EJwf(z»,],,=o} +c2{kw2(O)+W~(O)F+[(EJwq(z »'].,=o}.

2S ".2 \ 9".2 • : 4P' < Al < W·

2.9: All = fr"": (211 - 1)2, II = 1,2, ...

174 Losungen der A ufgaben

2.10: tan(y'X;l) = y'X;1,>'1 = -It. 20,19 ... ;>'2 = -It. 59,68 ... ;>.s = -It. 118,89.,.;

>." = -It "": (2v + 1)2 - f,,(V = 4,5, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUr v -> 00.

2.11: Nein. >. = 0 ~ w(4) = 0 ~ w = CIZS+C2Z2+CSZ+C4. Die Randbedingungen fiihren zu einem Gleichungssystem fUr Cl, ... , C4, das nur die L5sung C1 = C2 = Cs = C4 = 0 besitzt.

2.12: Mit den Bezeichnungen z" = ~l und w" = jlfi-ltH" sowie H" = z~ ist

a) sin z" = 0, H" = (V1l"? (v = 1,2, ... ),

b) cosz" coshz" = I,H1 = 22,37, H2 = 61,67, H" = ": (2v + 1)2 + (-I)"-l f,, (v = 3,4, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUx v -> 00,

c) cosz" coshz" = -1, HI = 3,516, H2 = 22,03, H" = w:: (2v -1)2 + (-I)"-1f" (v = 3,4, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUx v -> 00,

d) tanhz" = tanz",H1 = 15, 42,H2 = 49, 96, H" = (v1I"+arctanl)2 -f" (v = 3,4, ... ) mit £" > 0 und limf" = 0 fUr v -> 00.

2.13: Zuniichst wird der jeweilige Eigenwert >. = >." (v = 1,2, ... ) der Eigenwertaufgabe aus dem Beispiel 2.6 in (2.45) bis (2.48) eingesetzt. Die L5sungen dieses Gleichungssystems (die Koeffizientendeterminante ist gleich 0), n1:i.mlich C1 = -A,,(EJ/k)>.~/2cos(y'X;I),C2 = A"y'X; cos ( y'X;1), Cs = 0, C4 = -A" (A" f. 0, beliebig) lief ern mit (2.44) die zu >." gehOrigen Eigenl5sungen w,,(z).

zu 2.9: w,,(z) = A,,«-I)" +sin(fr(2v-l)z». zu 2.10: w,,(z) = A,,(zy'Av cos(y'X;I) - sin(y'X;z». zu 2.12: W,,(z) = C1 cos(~z) + C2sin(~z) + C3exp(~z) +C4exp(-~Z),

a) Cl = 0,C2 = A",Cs = 0,C4 = 0,

b) C1 =A,,(-2cos(~I)+exp(~I)+exp(-~I», C2 =A,,(-2sin(~I) - exp(~l) +exp(-~l», Cs = A" (cos( ~l) + sin( ~l) - exp( - ~l», C4 = A,,(cos( ~l) - sin ( ~l) - exp( ~l».

2.14: Yp = b(w~ - WD-l exp(iwlt), (2.70) gilt mit a = lim(arc cot( ... » fUx {) -> +0, also a = 0, falls w~ - wf > 0, und a = 11", falls w~ - wf < 0 ist.

2.15: Yp = - 2!0 it exp(iwot).

2.16: Yp = isexp(~z). 2.17: Yp = -~zexp(-~z). 2.18: L[E!=1 cpYp(z)] = E!=1 cpL[yp(z)] = E!=l cpgp(z).

2.19: Genau eine L5sung fUr 0 < b < t und t < b < 11", n1:i.mlich y = ~ - ~:~~;~ . Fur kein b mehrere Lesungen. Keine Lesung fUr b = t und b = 11".

2.20: z = -~ - 3t - 2 cos(2t) + ~ sin(2t) + ¥et + ioe-4t.

Losungen der Aufgaben 175

2.21: Y = cos(2x) fiir 0 :::; x :::; 1I",Y = ~cos(2x) + t fiir 11" :::; X :::; 211",y = cos(2x) fUr 211":::; x < 00.

2.22: L24a) + LRl2 + 2J i2 + ~I2 = ~ sin(wt). Weiter siehe L5sung 3.6.

3.1: YI = (GI + G2)e-'" + Gael"', Y2 = -Gle-': + Gae2'" , Ya = -G2e-'" + Gae2"'.

3.2: YI = -G2e2"',Y2 = Gle'" - 2(G2x+ Ga)e2"',ya = (G2x + Ga)e2"'.

3.3: m~ + BQiJ = 0, my - BQi; = 0, mz == O. Mit w == ~ ist x(t) == GI cos(wt) + G2sin(wt) + G4 = Acos(wt - rp) + G4, yet) == GI sin(wt) - G2 cos(wt) + G5 == Asin(wt - rp) + G5, z(t) == Gat + G6.

3.4: 1st in Ay'+By ~ g(x), detA:f. 0 das g(x) gleich (bO+bIX+ .. . +bmxm)e"'" cos(.8x)(bm :f. 0, ex, fJ reell) bzw. (bo+blx+ .. . +bmxm)e"': sin(fJx )(bm :f. 0, ex, fJ reell) und sind die Elemente von A, B, bo, ... , bm reell, so ist y p gleich Re(Y p) bzw. Jm(Y p), wobei Y p eine partikuliire Li:isung von AY' + BY = (bo + ... + bmxm)eq", mit q == ex + ifJ ist.

1st yp(x) (p = 1,2) jeweils eine partikuliire L5sung von Ay' + By == gp(x) (p == 1,2), so hat 2 2

Ay' + By = L cpgp(x) die partikuliire Li:isung y(x) == L cpyp(x). p=l p=l

3.5: YI == -6GI (cos X + sin x) + 6G2( cos x - sin x) - ~ sin(2x) + ~ cos(2x) + 3(1 + x)e-':, Y2 = 10GI con + 10G2 sinx + sin(2x) - ~e-':.

3.6: Charakteristische Gleichung: L2>.a + LR>.2 + ~ >. + ~ = O. Da aIle Koeffizienten L2, LR, ~ ,~ positiv sind, die linke Seite dieser Gleichung fiir >. = 0 den Wert ~ > 0 und fUr >. = -~ den Wert -~ < 0 liefert, giht es keine L5sung >. mit>. > 0 und mindestens eine Losung >. = >'1 mit -~ < >'1 < O. Die heiden weiteren L5sungen geniigen der quadratischen Gleichung >.2 + (~ + >'1)>' + >.~ + ~>'1 + A == 0 und hahen wegen ~ + >'1 > 0 negative Realteile. Also streht die allgemeine Losung des zugehOrigen homogenen Systems fUr t -+ 00

[lach null.

Mit Z = IZlei'P = tJ - Lw2 + iRw und N = INlei.p = ~ - LRw2 + iwL(iJ - Lw2) ist

[l(t) = a/Msin(wt + rp - 1jJ) und 12(t) = elkl sin(wt - 1jJ).

rJ klein: Ua = asin(wt) (DurchlaB), w groB: Ua = ~ .;. sin(wt + t) (Sperrung).

'" I J.7: w(x) == 6jJ [f(3x - z)z2p(z)dz + I(3z - x)x2p(z)dz].

o '" .: I I

~(x) = 6jJ[f 3z2p(z)dz + I(6z - 3x)xp(z)dz], M(x) = I(x - z)p(z)dx, o '" .:

I

;1(x) == I p(z)dz. :z:

J.8: G(x, it) == 6jJx2(3x - x) fUr 0 :::; it :::; x, G(x, it) == 6jJx2(3x - x) fUr x :::; it :::; I. I I 2

:(x) == I 8G~:''')p(fi)dfi,M(x) = -EJ I 8 ;i~''')p(x)dit, o 0

I 3

J(x) = -EJ I a ;i~''')p(x)dx. o

176 Losungen der Aufga.ben

3.9: Yh = C1e-'" + C2e-2"" YP = e-'" In(1 + e"') + (-e'" + In(1 + e"'»e-2:l1. Y = Cle-'" + C2e-2", + (e-'" + e-2"') In(1 + e"').

3.10: (w(x) z(x) M(x) Q(x»T = lim (we(x) ze(x) Me(x) Qe(X»T mit we(x) = e ..... +O

'&2 J:,,+e G(x,z)d:il. Mit der Regel von de I'Hospital ergibt sich w(x) = lim we(x) = £" .,-£ £-++0

t lim 88 f"',,~e G(x,z)d:il = &2 lim (G(x,x,,+e)-G(x,x,,-e)·(-1» = F"G(x,x,,),z(x) = £-++0 £" zo" £ £-++0

F,,8G<;;"'''),M(x) = ... ,Q(x) = ... Dieses Ergebnis erhiilt man auch unmittelbar aus den LOsungen der Aufgabe 3.8 durch Benutzen von Satz 3.3.

3.11: G(x,x,,) = ~exp(x - x,,), falls x $ x"' G(x,x,,) = ~exp(x" - x), falls z" $ z.

3.12: G(z,:il) = 6.iJI (:ilz3 - 3/:ilx2 + (2/2:il + :il3 )x - 1:il3 ) fUr 0 $ :il $ z $ I, G(z,:il) = s.iJI«:il-I)x3 + (:il3 - 3/:il2 + 2/2:il)x) fUr 0 $ x $ x $1. Es ist also G(z,:il) = G(:il, z).w(x) =

S E G(z,x")F,,, ausfiihrlich: ,,=1

S 3 w(z) = s.iJI(ClXS+C2Z) mit Cl = E(z" -/)F",C2 = E(x~ -3/z~ +2/2z")F,, fUr 0 $ z $

,,=1 ,,=1 S

xl, w(z) = S.iJI(C3Z3 + C4x2 + Csz + C6) mit Cs = X1Fl + E (x" -/)F", C4 = -31xlFl, Cs = ,,=2

S (2/2Xl + X~)Fl + E (x~ - 3/z~ + 212x")F,,, C6 = -lx~Fl fUr Xl $ Z $ X2, w(x) = ... fUr

,,=2 X2 $ X $ Xs,w(x) = ... fUr xs$x$/,M(x) = -EJw",M(x) = -telx fUr ° $ x $ zl,M(z) = -f(csx+ ~C4) fUr Xl $ X $ X2, ... ,Q(x) = M1(x),Q(x) = -tCl fUr 0$ x $ x1- O,Q(z) = -tcs fUr Xl + 0 $ x $ xa,···

3.13: w = FlG(X,O) + F2G(x,a),G(x,x,,) = Wh + Wp,Wh = e)."',EJ>.4 + B = 0,>'l,2,S,4 = ±(B/ EJ)1/4(1 ± i)/...j2. Mit k = (4EJ / B)1/4 ist Wh = e"'/"(C1 cos f + Ca sin f) + e-"'/Io(Cs cos f + C4 sin f). Wp = e"'/"(ul(X) cos f +U2(X) sin f)+e-"'/lo(us(x) cos f +U4(X) sin f). u~ = (kS /8EJ)e-"'/" (sin f + cos f)6(x - x,,), Ul(X) = (kS /8EJ)e-"'''/''(sin!f + cos !f) fUr x > x"' Ul(X) = 0 fUr x < x". Aus "lw(x)1 beschriinkt" folgt Cs = 0,C4 = 0,C1 = -U1(X > x,,),C2 = -U2(X > x,,). G(x,x,,) = exp(_"'-,,"'v). *,,1sin("'-:v +~) fUr x?: x", G(x, x,,) = G(x", x) fUr x $ x". Kurvendiskussionen in den Intervallen -00 < x $ 0, ° $ x $ a, a $ x < +00 fUhren mit den gegebenen Zahlenwerten zum (ab801uten) Maximum von Iw(x)1 an der Stelle Xo = k[S; + arctan iJ mit Z = Fl + F2...j2etl / k sin(i + ~) und N = Fl + F2V2etl /" cos(i + ~), also Xo = 3,001625 ... m. Iw(xo)1 = 0,778 mm. Der Extremwert von IMI wird an der Stelle x = a = 3 m (dort ist M(x) nicht differenzierbar!) angenommen. IM(a)1 = 6844,576 Nm.

4.1: Y = 2cos(Inx) - sin(lnx) +~.

4.2: x = 2(ln t) sin(ln t) + C1 cos (In t) + C2 sin (In t).

4.3: y= _c':,,,, +Cl~+C2;2'

4.4: G(x, x,,) = -Inx", falls ° < x $ x" $ 1, G(x,x,,) = -Inx, falls ° < x" $ x $ 1.

4.5: Y = :ox + tsX2 + C1 ;. + C2;., Z = -fox + ftx2 - ~Cl ;. - C2t..

4 6· a) w - L.-(R2 r2)2 b) w - L.-(r4 + clr2 + C2) IDl't C - 2R2!!±l! C2 - R4 !!±l! • • - 64K - , - 64K 1 - - 1+1" - 1+1' •

Losungen der A ufgaben 177

5.2: :c = 0,0::5 y::5 h: n", = -1,nl/ = O,S", = 'Y(h-y),Sl/ = 0.0::5:c ::51,y = 0: n", = O,nl/ = -1,S", = -'YI;:-:c,Sl/ = -'YI;:-(h - 2tx).0 ::5 x ::5 l,y == h - tx : n", == h(h2 + 12)-!,nl/ = l(h2 + 12)-!, S", = O,Sl/ = O.

5.3: yo(x) == 0, Yl(X) = i":c3 , Y2(X) == i":c3 + i3:c7 .

5.4: a), b), d).

5.5: a) vex) == -~, b) keine konstante Funktion, c) Vex) == 2,y(:c) == 3, d) vex) == mr (n == 0,±1, ... ).

5.6: y = -1 + Cexp(~x2), -00 < C < O.

5.7: y = 2arctan(e1- Co"",).

5.8: y = e"'(~ - 1).

5.9: :c = (!:;D!(v'3 + In(t -1». 5.10: I(t) == lk(1 - exp( -¥t».

5.11: Losung von (5.3): x(z) == C(1- z + z2)-! exp(Ta arctan(Ta(-1 + 2z))), y == z· :c(z). Die y-Achse - dort ist :c == 0 und z == ±oo - wird im Rechengang nicht erfaBt. Man erhiilt deshalb die Parameterdarstellung von LOsungskurveI)., die entweder in der rechten Halbebene (x > 0) oder in der linken Halbebene (x < 0) liegen. Weiterhin ist die Gerade y = x (d. h. z == 1) wegzulassen (siehe (5.3». Dort verlaufen die Tangenten an die LOsungskurven parallel zur y-Achse (Bild 5.2), und damit existjert dort die Ableitung y'(:c) der Losung y == Vex) nicht.

Losung von (5.4): Vex) == ZI:C und y == Z2:C mit Z1,2 = H-1 ± v'5). Falls z =I- Z1,2 und z =I- 0 (d. h. y =I- 0), lautet y = Vex) in Paramaterdarstellung (Parameter z) x(z) = Clz - zdAlz - z2lB ,y = z· :c(z) mit A = H-l + 7s') und B = HI + 7s'). 5.12: y' == -1- ± « 1-)2 + I)! mit A == ~(4x + ~y - ~h), Vex) == w(x) + h, w(x) == x . z(x), -00 < z < -2 (also z. B.: (z2)1/2 = -z, Iz - ~I == ~ - z), z' = ~(-2 -1fz ± iV5W) mit W == (5z2 + 32z + 64)1/2.

( ) - C I( 2 13 ± 1 1F5W)-ld - C I -2-fI3f8J$f(168)v'5w d x z - 1 exp - - gZ ilvil Z - 1 exp (-2-138 $)2-5/64)W2 Z

- C (I -16-13z d T· '51 5z2~32ZR64 1 d ) - C (2 )-17/36 - 1 ex.p 18(,,-(2/9»(,,+2) z T V i.I 18( .. - 2f9) z+2) . W Z - 1 9" - z . (-2 - z)-1/4(32 + 10z + 2V5W)'F5/18 . (: 304+m~I:v'5W ):l:17/36(416±3"l,?"W)'F1/4

= C(~ - Z )B( -2- z)b(32+ 10z+2V5W)'F5/ 18(304+ 77 z+ 17V5W):l:17/36(16+3z+V5W)'F1/4, wobei bei vorliegendem oberen bzw. unteren Vorzeichen jeweils a == -ti, b == 0 bzw. a == [), b = -~ gilt. y == z . x(z) + h.

Aus x -> +0 folgt z -> -00. Die gesuchte spezielle Losung geniigt der obigen Differentialglei­chung mit dem unteren Vorzeichen. Fiir hinreichend stark negatives z gilt: (-2 - z)-1/2 == (_z)-1/2(1 + ~ )-1/2 = (_z)-1/2(1 _ ~ + ... ), (32 + lOz + 2V5W)5/18 == (32 + 10z + 2V5. V5( -z)(1 + ¥~ + 5~;2)1/2)5/18 .

= (32 + lOz - lOz(1 + t¥~ + (t¥ - H¥)2)z\ + ... »5/18 = «64 - i· 162) !z (1 + ... »5/18 == (¥)5/18( _z)-5/18(1 + ( ... H + ... ), :304 + 77z + 17V5W)-17/36 == (304 + 77z + 85( -z)(1 + ~¥~ + ... »-17/36

= (304 + 8( -z) + 825352(-1) + ( ... H + ... )-17/36

178 Losungen der Aufgaben

= 8-17/36(_Z)-17/36(1 + ( ... )~ + ... ), (16 + 3z + v'5W)I/4 = (16+3z+ 5(-z)(1 + ~3;~ + ... »1/4 = 21/4(_z)I/4(1+ ( ... )~+ ... ).

:c(z) = CB': (1 + r) mit B = (64)5/188-17/3621/4 und lim r = O. lim y = lim (z . z 5 z~-oo z_-oo z_-oo

x(z) + h) = -CB + h soIl gleich ~ sein. Also ist fUr die gesuchte spezielle wsung das C = 2'8 = h . 0,5528576725.

5.13: al = a2bdb2· w(:c) = a2X + b2y(:c) + C2, w' = a2 + baf(blW±cl:~-c.bl).

5.14: Y = :c - (:c - 1)-1.

5.15: y = (-1 +:c + Ce-",)-1.

5.16: (5.64) ist im allgemeinen nicht exakt, (5.65) ist exakt.

5.17: !(:c3 - yS) + :c2y = C.

5.18: J'(:C) = e"'. -----.,' -,

5.19: J'(y) = y, y2(:c2y2 + 1) = C.

5.20: :~=Tl¥ - p oder auch :~ = T2Ui.(¥». !li2Jc. - I}'B - I} (T.P2.. ) !li2Jc. - T~ I}V - avaT - aT aT - P => av - aT' .

5.21: a).E(V, T) = CvT+Eo(Cv = const, Eo = const), S(V, T) = Cv In(T/To)+Rln(V/Vo)+ So· 1» E(V, T) = CvT - (a/V) + Eo, S(V, T) = Cv In(T/To) + Rln«V - b)/Vo) + So.

u

5.22: y(:c) = h(u, v) mit h(u, v) = f(v - z)J(z)dz + C1(u - :co) + C2 und u = u(:c) =:c, v = "'0

v(:c) = :c.

5.23: y = (-~:c+ ~)4/3,:c <~.

5.24: a) 1{>1 = vo(gl)-1/2. b) T = 21r{l/g)1/2. c) (5.99): Fiir 0 ~ t ~ ~{I/g)1/2 ist 'P

t = (I/vo) f[l- (gl/v~)cp2]-1/2dcp = (l/g)1/2 arcsin«(gl)1/2/vo)l{» und damit o

I{>(t) = vO(gl)-1/2 sin«g/I)1/2t). (5.103): Fiir ~(I/g)I/2 ~ t ~ 3; (I/g) 1/2 ist t = ~(I/g)1/2 'P

- (I/vo) f[ .. . ]-1/2dcp = ~(I/g)1/2 - (I/g)1/2[arcsin«(gl)1/2/vO)I{» -~] und damit 'PI

I{>(t) = Vo(gl)-1/2 sin(1r - (g/I)1/2t) = vO(gl)-1/2 sin«g/I)1/2t). (5.104): Fiir 3;(I/g)1/2 ~ t ~ 'P

21r(I/g)I/2 isH = 3;(I/g)I/2+(1/vo) f [ . .. ]-1/2dcp = 3;{I/g)I/2+(1/g)1/2[arcsin«gl)I/2/vO)I{>--'PI

(-~)] und damit <pet) = vO(gl)-1/2 sin«g/1)1/2t - 21r) = vO(gl)-1/2 sin«g/1)1/2t). d) I{>(t) = vo(gl)-i/2 sin«g/I)I/2t) fiir 0 ~ t < +00.

'" 5.25: y = f exp( _Z2 /2)dz. o

5.26: y = x -In(2 - e"').

6.1: Yj(0,5) = '1,069753582, yj{l, 0) = 1,136252935; yg(l, 0) = 1,136251581, (1/15)(Yj - Yg) = 9,0267.10-8 , y(l, 0) = 1,1362530.

Losungen cler Aufgaben 179

6.2: Yf(0,2) = 0, 0214, Yf(0,4) = 0, 09181796,Yg(0, 4) = 0,091733333, (1/15)(Yf - Yg) = 5,6418· 10-6 , yeO, 4) = 0,0918236, y(x) = -(1 + x) + e'" , Yexakt(0,4) = 0,0918246 ...

6.3: Mit der Bezeichnung y' = I(z,y) ist I(z,y) = -1 - «1)2 + 1)1/2. Fiir ",~oY(x) = 5

gilt lim A = -00. Daher ist lim I(x, y(x)) = lim [-1 + 1(1 + (:i)2)1/2] = limo[-1 + ",_+0 ",_+0 ",_+0 "'-+ t(1 + !(:i)2 + ... )] = lim Ll- + ... ] = o. Es ist also bei Verfahrensbeginn 1(0,5) = 0 zu ",_+0 setzen.

Yf(0,5) = 4, 974578348,Yf(1) = 4, 863409455, Yg(l) = 4,862774706, (1/15)(Yf - Yg) = 4,2317.10-5, y(l) = 4, 863451772, z(l) = -5,136548228. Das x = x(z) der speziellen Losung aus Aufgabe 5.12 im Fall h = 10 ist fUr z = z(1) gleich 0,9999951294. Die Ergebnisse beider LOsungswege stimmen also gut iiberein.

6.4: y' = z, z' = -V, yeO) = 0, z(O) = 1. Yf(0,4) = 0, 3894131555, yg(O, 4) == 0,3893333333, (1/15)(Yf - Yg) = 5,32148· 10-6, yeO, 4) == 0,3894184770, ~in(O, 4) = 0,3894183423.

7.1: C5 == 1/5(coc4 + ClCa + ... + C4CO) = 0, Cs = 1/6(cOC5 + ClC4 + ... + C5CO) = 0, C7 == 1/7(cocs + ClC5 + ... + csco) == 1/7c~ = 1/63.

7.2: Die Anfangsbedingung liefert Co = 1. Damit ergibt sich Cl(X - 1)2 + ... = 1 + (Cl -1) (x - 1) + ... Der Beginn des Koeffizientenvergleiches fiihrt zum Widerspruch 0 == 1.

7.3: a) Y = E~=o CI/xl/, yeO) = 1, y'(0) = 0 => Co = 1, Cl = o. :1- x2)y" - xy' = 2 => E~=o CI/+2(1I + 2)(11 + l)xl/ - E::o CI/(II(II- 1) + II)X" = 2 =* C2 = 1, C,,+2 = (I/+l)(I/+2)C" (11== 1,2,3, ... ) ~ Ca == Cs == 0, C4 == 1/3, C6 == 8/45. ) y' == p => (l-x2)p' -xp = 2,p(0) == O. Behandlung nach 5.3.21iefert p = CdJt~."",~n'" (fiir

xl < 1) u~d Cl = 0 wegen p(O) = O. Damit Y = (arcsinx)2 + C2 mit C2 = 1 wegen yeO) = 1. ~olglich Y = 1 + (x - ixa + fox 5 + ... )2 == 1 + x2 + ~Z4 + fs-x6 + ... :) Co = yeO) = 1, C1 = y'(0) == 0, C2 = ~y"(O) = 1. Jiiferentiation: (1- x2)y''' - 2xy" - xy" - y' = 0 => y'''(0) - y'(0) = 0, also y'''(0) = 0, Ca == ~y'''(0) = ° usw.

r.4: Wegen tj; = -f sin tp und wegen der Anfangsbedingungen ist jetzt f(t, tp, if) = -f sin tp ;u untersuchen auf Entwickelbarkeit nach Potenzen von t, nach Potenzen von tp und nach ~otenzen von if - !If. Da I nichtexplizit von t und if abhiingt, sind die entsprechenden !:ntwicklungen trivialj z. B. fUr die Entwicklung nach Potenzen von t gilt I(t, tp, tj;) = -t sintp· to + E~=1 O· t". Die Entwicklung nach Potenzenvon tp ist auch gesichert (7.16).

'.5: a) Aus lim Vex) = 5 folgt lim A = -00. Also lim (-1 ± (1" + 1)1/2) = +00 bzw. ",-+0 ",_+0 ",-+0 I, je nachdem, ob das obere bzw. untere Vorzeichen genommen wird. Die Existenz von lim y'(x) bedeutet, daB das obere Vorzeichen entfallt. _+0 ,) Fiir hinreichend kleine rir kann (A; + 1)1/2 = 141(1 + 1.)1/2 in eine binomische Reihe ntwickelt werden. ) Einsetzen einer Potenzreihe in eine andere. I) Co = lim Vex) = 5, C1 = lim y'(x) = 0 (beachte die LOsung von a». ",_+0 ",_+0 ) -25· 2C2 = 4j -75ca = 32c2; 5(11 + 2)CI/+2 = 16(11 + l)cI/+l + E~=2(5 + 41')(11 + 2 - p)C"CI/+2-,,(1I = 2,3,4, ... ). ) y(O,5) = 4, 974593632jy(l) = 4,863285357.

180 Losungen der Aufgaben

7.6: 1 + z2 =F 0 fUr Z = O. Nullstellen der Nenner: 2, i, -i. Konvergenzradius ;::: 1.

7.7: PI(z) = Z,P2(Z) = t(3z2-1),Ps(z) = t(5zs -3z),P4(z) = 1(35z4 -30z2+3),P5(z) = 1(63z5 -70zs + 15z), P6(Z) = l6(23b6 - 315z4 + 105z2 - 5).

7.8: 1/2 (z) = z J ",2fl~~2) = 02Z( OS - ~ + t In ~) (Partialbruchzedegung!). Weitere In­formation: 02 = 1 und Os = 0 liefert nam Definition die Legendresche Funktion 2. Art QI(Z) = -1 + ~ In ~ = -1 + zartanhz fUr Izl < 1.

7.9: a) a2(z) = 1 =F 0, Konvergenzradius unendlich. b) 2(n-v) ( 0 1 2 ) Cv+2 = (v+l)(v+2jCV v = , , , .... c) Ho(z) = Co = 1,HI(Z) =CIZ= 2z,H2(Z) =co-2coz2 = -2+4z2,Hs(z) = clz-iclZ3 = -12z+8zs.

7.10: Nur z = -2 ist keine Stelle der Bestimmtheit.

7.11: Ja.

7.12: a) KIar. b) Determinierende Gleichung: a 2 + 2a + 1 = 0 mit Doppelwurzel -1, also al = -1. Rekursionsformel: Cv = -~(v = 1,2,3, ... ). Damit cv = (i;'~?: und y(z) = 1 ~oo en?: 't K adi dlich ... '£"'1'=0 v. 1Dl onvergenzr us unen .

8.1: Allgemeine LOsung: Y = Oie'" + 02e2", + 1. Randbedingungen liefern 01 = 0,02 = 1, also Y = e2'" + 1 einzige LOsung.

8.2: a) Inhomogen. b) Inhomogen. c) Homogen.

8.3: a)u=-2z, b)u=2-z+z2.

8.4: -( e"'-1/)' + e"" y = _e"'o cos z.

8.5: Yl(Z) = COSZ,1/2(z) = sinz,Ul(Z) = COSZ,U2(Z) = sin(l - z),p(O) = 1, W(O) = - cos 1, G(z, z) = (cos 1)-1 cos z sin(l- z) fUr 0 :5 z :5 z :5 1, G(z, z) = (cos 1)-1 cosz x sin(l- z) fUr 0 :5 z :5 z :5 1.

8.6: Wenn (8.25), (8.26) eindeutig 100bar ist, hat nam Satz 8.1 die Aufgabe L(y) = fez), yea) = 'Yby(b) = YI(b) die einzige LOsung Yt. also folgt Y2(b) =F Yl(b).

8.7: a) WI = COS1l"Z, W2 = COS1l"Z + ;. sin 1I"Z, 01 = 1-11",02 = 11".

b) WI = COS1l"Z,W2 = COS1l"Z + ;'sinn,w2(1) - wl(l) = O. Gleichungssystem 0 1 + O2 = 1,01 + 02 = 0 besitzt keine LOsung. c) WI = 0, W2 = ;. sin 1I"Z, w2(1) - wl(l) = O. Gleichungssystem 0 1 + O2 = 1,0 = 0 besitzt unendlich viele LOsungen.

8.8: Fur A :5 0 existieren keine Eigenwerte. Fiir A > 0 : Eigenwertgleichung sin .../Xl = 0, Ei­genwerte A = An = n;:" (n = 1,2,3, ... ), Eigenfunktionen o sin ni" z (0 =F 0), Vielfachheiten gleich 1.

8.9: Partielle Integration ergibt < L(u), v >= J~(ul(z»*v(z)dz =< u, L(v) > .

8.10: Zweimalige partielle Integration ergibt < L(u),v >= J~ EJ(z)(ul(Z»*v"(z)dz =< u,L(v) >, da EJ(z) reell ist.

8.11: Nein, denn die Randbedingungen sind nicht getrennt.

8.12: < L(u),v >= -pu'·vl! + I:(PU'·v' + qu·v)dz, < u,L(v) >= -pu"v'l! + I:(PU'·v' +qu·v)dz.

Losungen der Aufgaben 181

8.13: Fiir Eigenfunktionen Yn und zn zum. Eigenwert ~n gilt zn = dnYn mit ciner Konstanten dn i- 0, da ~n einfach ist. Wegen

dnYn dn Yn ../< dnYn, dnYn >p = Idnl../< Yn, Yn >p

foIgt die Behauptung mit 'Yn = Jb. 1 2 812 ~ao 1 . (2n,1)'" 8.14: z - z =;rr L.m=1 (2n_1)88ID z.

8.15: a) -(z1/)' = ~~,y(l) = y(e) = O. b) Es liegt cine Euler8che Differentialgieichung vor. ~::; 0 : keine Eigenwerte. ~ > 0 : Eigenwertgleichung sin..;x = 0, Eigenwerte ~n = n211"2 (n = 1,2,3, ... ), Eigenfunktionen Csin(n1l"Inz). c) u(z) = E:"=1 bn sin(n1l"Inz) mit bn = 2.h z-1u(z) sin(n1l" In z)dz wegen It z-1 sin2(n1l" Inz)dz = i. 8.16: < L(u), u >= I!<Vlu'12 + qlul2)dz 2: I; qlul2dz > 0 fUr u(z) ~ o. 8.17: Zweimalige partielle Integration ergibt < L(u), u >= I~ EJ(z)lul/(z)l2dz 2: 0 fUr Vergleichsfunktionen u, da EJ(z) > O. Angenommen, es gilt < L(u),u >= 0 fUr u(z) ~ O. Wegen EJ(z) > 0 folgt ul/(z) == 0, d. h. u = C1 + C2Z. Die Randbedingungen liefem C1 = C2 = OJ Widerspruch. b) u = 12z2 - 21z3 + z4, R( u) = 5041-4 , ~1 = 1-4 Hl = 1-4(22,37)2 = 500,41-4•

9.1: :l:l = Z2,:l:2 = -28z2 - W~Z1 + b cosw1t. Das System ist nicht autonom.

9.2: a) Gleichgewichtspunkte: aIle Punkte der z1-Achse. Nichtentartete Trajektorien: Halh­parabeln Z2 = ";2z1 + C und z2 = -../2Z1 + C (C beliebige Konstante). b) Einziger Gieichgewicht8punkt: (0, O)T. Nichtentartete Trajektorien: Bild 5.2. und Aufgabe 5.11.

9.3: Klar.

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Sachregister

Ableitung, nullte 13 Ahnllchkeitsdifferentialgleichung 81 allgemeine LOsung 21, 24 - reelle Losung 34, 55 Alternativsatz 134 Anfangsbedingungen 24 Anfangsgeschwindigkeit 24 Anfangswertaufgabe 24 -, Existenz- und Unitatssatz fUr 110, 113 Ansatz 29, 40 aperiodischer Grenzfall 32 autonomes dynamisches System 167

Balkenbiegung 14 Basis 21 -, reelle 34 Bernoullische Differentialgleichung 83 Besselfunktionen 126 Besselsche Differentialgleichung 126 Biegesteifigkeit 14

-, Hermitesche 121 -, implizite 11 -, Legendresche 116, 124 -, lineare (siehe lineare Differentialglei-chung) 20 - mit trennbaren Veranderlichen 76 -, nichtlinea.re 68 -, parlielle 12 Differentialgleichungen, gekoppelte (si­multane) 15 -, System von 15 Differentialgleichungssystem 15 -, linea.res 23 Differentialoperator, hermitescher 153 -, linea.rer 22 -, symmetrischer 153 Differenzenverfahren 146 diskretes Spektrum 158 Diskretisierung 146 dynamisches System 165 - -, autonomes 167

Chaos 168 Eigenfrequenz 39 charakteristische Gleichung 30, 49 Eigenfunktion 148

-, normierte 159 Dimpfung 32 EigenlOsung 26, 148 Delta-Distribution 61, 141 Eigenraum 148 determinierende Gleichung 125 Eigenschwingung 39 Differentialausdruck, selbsta.djungierter Eigenwert 26, 148 142, 156 -, Vielfa.chheit 148 Differentialgleichung 11 Eigenwertaufgabe 26 -, Bernoullische 83 -, Fouriersche 151 -, Besselsche 126 -, linea.re 36, 148 - der Biegelinie 19 -, positiv definite 163 -, Eulersche 63 -, Sturm-Liouvillesche 156 -, exakte 84 -, volldefinite 163 -, explizite 11 Eigenwertparameter 26 -, gewohnliche 11 Einfl:uBfunktion 59

186 Sachregister

elektrischer Schwingkreis 10 elektrisches Netzwerk 57 elliptisches Integral 91 Energie, elektrische 15 -, innere 87 -, kinetische 10, 171 -, magnetische 15 -, mechanische 10 -, potentielle 10, 171 Energiemethode 89 Energiesatz der Mechanik 10, 171 - Thermodynamik 87 Entropiefunktion 88 Entwicklungssatz 160 erster Hauptsatz der Thermo­dynamik 87 erweiterter Losungsbegriff 13 erzwungene gedampfte Schwingung 44, 167 Eulersche Differentialgleichung 63 Eulerscher Multiplikator 86 exakte Differentialgleichung 84 Existenz der LOsung von Anfangswert­a~aben 72, 100, 113 explizite Differentialgleichung 11 Exponentialansatz 29

Fehlerabschatzung 73, 98 Formel von Rodrigues 119 Fourierentwicklung 44, 161 Fourierkoeffizienten 161 Fouriersche Eigenwertaufgabe 151 Fredholmsche Integralgleichung 158 freie Schwingung, dampfungsfreie (un­gedampfte) 32, 165 - -, gedampfte 32 - - im Kriechfall 32

gekoppelte Differentialgleichungen 15 Gesamtenergie 10, 171 Gewichtsfunktion 148 Gleichgewichtspunkt 168 Greensche Funktion 59, 140, 144

halbhomogene lineare Randwertaufgabe 136 harmonischer OsziIlator 165, 171 Hauptsatz der Thermodynamik, erster 87 - - -, zweiter 88 Hermitesche Differentialgleichung 121 - Polynome 121 hermitescher Differentialoperator 153 homogene lineare Differential­gleichung 20 - - Randbedingungen 36,133 - - Randwerta~abe 36, 133

implizite Differentialgleichung 11 - Angabe der LOsungen 73 inhomogene lineare Randbedingungen 133 - - Randwertaufgabe 133 innere Energie 87 Integrabilitatsbedingung 84 Integralgleichung 96 -, lineare 158 -, Fredholmsche 158 integrierender Faktor 86 - Nenner 88 Integrodifferentialgleichung 12 Isokline 69

Keplersche Fa.f3regel 96 kinetische Energie 10, 171 Knicklast 26

- - mit kleiner Dampfung 32 Fundamentalsatz der Algebra 30 Fundamentalsystem 21

Koeffizientenvergleich 40, 102 Konvergenzradius bei Potenzreihenan­

_ satz 115, 125, 129

Sachregister 187

Kriechfall 32 Maschenweite 95 mathematisches Pendell0, 91, 107 Methode der Variation der Konstanten

Lagrangesche Identitiit 157 58 Legendresche Differentialgleichung 116, Momentenfunktion 14 124 - Funktionen 116 - - 1. Art 118 - - 2. Art 120 - Polynome 118 lineare Differentialgleichung 20 - - erster Ordnung 79 - -, homogene 21 - -, inhomogene 22 - - mit konstanten Koeffizienten 29 - Eigenwertaufgabe 36, 148 - Integralgleichung 2. Art 158 - Randbedingungen 132 - -, homogene 36, 133 - -, inhomogene 133 - Randwertaufgabe 132 - -, halbhomogene 136 - -, homogene 133 - -, inhomogene 133 lineares Differentialgleichungssystem 23 - -, homogenes 48 - -, inhomogenes 58 - - mit konstanten Koeffizienten 56 Linienelement 68 Losung, allgemeine 21,24 - einer Differentialgleichung 11 - einesDifferentialgleichungssystems 16 - im weiteren Sinn 13 - in impliziter Gestalt 73 -, nichttriviale 26 -, partikuHire 22 -, reelle 34 -, spezielle 22 -, stationare 168 -, triviale 26, 148 Lorentzkraft 55

N ewtonsche Grundgleichung (Bewegungs­gleichung) 10, 170 nichtlineare Differentialgleichung 68 nichttriviale Losung 26 normierte Eigenfunktion 159 nullte Ableitung 13 numerische Verfahren fiir Anfangswert­aufgaben 95 - - - Randwertaufgaben 144, 146

Ordnung einer Differentialgleichung 11 - eines Differentialgleichungssystems 15 orthogonale Funktionen 153 Orthonormalsystem 159 Oszillator, harmonischer 165, 171

partielle Differentialgleichung 12 partikulare Losung 22 Pendel, mathematisches 10, 91, 107 Phasenebene 168 Phasenkurve 166 Phasenportriit 166 Phasenraum 166 Picard-Lindelof-Verfahren 72 positiv definite Eigenwertaufgabe 163 potentielle Energie 10, 171 Potenzreihenansatz 102 -, Existenz- und Unitiitssatz fUr 110, 113 -, Konvergenzradius bei 115, 125, 129 -, verallgemeinerter 125, 128 Punktspektrum 158

Querkraftfunktion 14

188 Sachregister

Randbedingungen 25 -, lineare 25, 132 - -, homogene 36, 133 - -, inhomogene 133 Randwertaufgabe 25 -, lineare 132 - -, halbhomogene 136 - -, homogene 36, 133 - -, inhomogene 133 -, Sturmsche 143 Rayleighscher Quotient 163 Reduktion der Ordnung 120 reelle Basis 34 Richtungselement 68 Richtungsfeld 68 Rodrigues, Formel von 119 Runge-Kutta-Verfahren 95 p-orthogonale Funktionen 153 p-Orthonormalsystem 159

Scharparameter 73 Scheinlosung 78 Schrittweite 95, 146 schwac::h singulare Stelle 123 Schwingung, erzwungene geda.mpfte 44, 167 -, freie 32 - -, dampfungsfreie (ungeda.mpfte) 32, 165 - -, gedampfte 32 - - mit kleiner Dampfung 32 - - im Kriechfall 32 selbstadjungierter Differentialausdruck 142, 156 Selbstinduktion 10 simultane Differentialgleichungen 15 singulare Stelle 122 - -, schwach 123 Skalarprodukt 152 - mit Gewichtsfunktion 152

Spannung 57 Spektrum, diskretes 158 spezielle Losung 22 stationare Losung 168 Stelle der Bestimmtheit 123 Storglied 20 Streckenlast 14 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe 156 Sturmsche Randwertaufgabe 143 System von Differentialgleichungen 15

Taylor-Abgleich 98 Thermodynamik, erster Hauptsatz der 87 -, zweiter Hauptsatz der 88 Trajektorie 166 Trennung der Veriinderlichen 75 triviale Losung 26, 148

Unitat der Losung von Anfangswert­aufgaben 72, 110, 113

Variation der Konstanten 58 verallgemeinerter Potenzreihenansatz 125, 128, 129 Verfahren von Picard-LindelOf 72 - - Runge-Kutta 95 Vergleichsfunktion 152 Vielfachheit bei charakteristischer Glei­chung 30 - eines Eigenwertes 148

Wronskische Determinante 21

Zustand eines dynamischen Systems 166 Zustandsgleichung 87 zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 88 Zylinderfunktion 126

TEUBNER-TASCHENBUCH der Mathematik

Bronstein/ Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 1m Vorwort zur ersten deutschen Auflage, die 1958 im Verlag B.G. Teubner Leipzig erschien, heiBt es zur Zielsetzung des Werkes: Mit der Herausgabe der deutschen Ober­setzung des Taschenbuches der Mathe­matik von Bronstein und Semendjajew hofft der Verlag, den angehenden und in der Praxis stehenden Ingenieuren und darOber hinaus auch Physikern und Mathematikern ein wirklich brauchbares Nachschlagewerk in die Hand zu geben und dam it eine empfindliche LOcke in der deutschen mathematischen Literatur zu schlieBen. Auch als Repetitorium der Mathematik dOrfte das Buch gute Dienste leisten. Die vorliegende 25. Auflage basiert auf der 1979 vollig Oberarbeiteten 19. Auflage. Seine VorzOge hat das Werk wohl am besten dadurch unter Beweis gestellt, daB seither 25 Auflagen mit Ober 800.000 Exemplaren erschienen sind .

Aus dem Inhalt: Tabellen und graphische Darstellungen­Elementarmathematik - Analysis -Mengen, Relationen, Funktionen, Vektor­rechnung, Differentialgeometrie, Fourier­rei hen, Fourierintegrale, Laplacetrans­formation - Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik - Lineare Optimierung - Numerik

Von IIja N. Bronstein und Konstantin A. Semendjajew Moskau

Herausgegeben von GOnter Grosche, Viktor Ziegler und Dorothea Ziegler, Leipzig

25. Auflage. 1991 . XII, 840 Seiten mit 390 Bildern. 14,5 x20cm. Geb. OM 36,-6s 281,-1 SFr 36,­ISBN 3-8154-2000-8

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SchEifer /Georgi Mathematik­Vorkurs

Ubungs- und Arbeitsbuch fOr Studienanfanger

Oieses Buch beinhaltet aile wesent­lichen Stoffgebiete der Mathematik, die kOnftige Studierende - vor all em der Natur- und Ingenieurwissenschaf­ten - zu Beginn ihres Grundstudiums kennen sollten. Oabei handelt es sich um jene Stoffgebiete, die in den MathematikprOfungen fOr das Abitur und andere Formen der Hochschulreife im Mittelpunkt stehen (z. B. Oifferen-· tial- und Integralrechnung, Vektorrech­nung).

Oer Aufbau des Buches ist so gewahlt, daB die Elementarmathematik ent­sprechend ihrer fundamentalen Rolle gebOhrend berOcksichtigt wird:. Zahl­reiche erprobte Beispiele und Ubungs­aufgaben ermoglichen dem Leser die Aneignung solider Rechenfertigkeiten.

SchAfer I Georgi

Mathematik-Vorkurs , I P~""I

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Von Prot. Dr. Wolfgang Schafer und Oberstudienrat Kurt Georgi, beide Leipzig

2. Auflage. 1994.472 Seiten mit 171 Bildern. 16,2 x 22,9 cm. Kart. OM 44,-6s 343,-/SFr 44,­ISBN 3-8154-2078-4

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Pforr /Sch i rotzek Differential- und Integralrechnung fur Funktionen mit einer Variablen

Der Inhalt dieses Buches - einer volli­gen Neubearbeitung eines seit vielen Jahren bewahrten Lehrbuches - ist die Grundlage fOr viele rnathematische Disziplinen. In einer verstandlichen Ein­fOhrung mit zahlreichen Abbildungen, vollstandig durchgerechneten Beispie­len und Aufgaben werden die Grund­begriffe der Analysis einer Verander­lichen (Stetigkeit, Differentiation, Inte­gration) behandelt. Auf praktische An­wendungen in den Natur- und Inge­nieurwissenschaften wird besonderer Wert gelegt.

Von Doz. Dr. Ernst-Adam Pforr und Prof. Dr. Winfried Schirotzek, beide Dresden

9., neubearbeitete Auflage. 1993. 302 Seiten. Kart. OM 28,80 6s 225,- / SFr 28,80 ISBN 3-8154-2040-7

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Mathematik fOr Ingenieure und Naturwissenschaftler _

BandemerlBellmann: Statlstlsche Versuchsplanung 4., neubearb. Autl. 164 Seiten. OM 19,80

8eyer/HackeVPiepermedge: Wahrscheinllchkeitsrechnung und mathematlsche Statistik 6. Autl. 216 Selten. OM 16,-

GillerUNollau: Ubungsaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und matflemaltschen Statlstlk 4. Autl. 56 Seiten. 'OM 5,-

GOpfertJRiedrlch: Funktionalanalysis 4. Autl. 136 Seiten. OM 24,80

GrauellKadner: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen 3. Autl. 128 Seiten. OM 12,-

HarbarthIRiedrichiSchirotzek: Dlfferentialrechnung fOr Funktionen mit mehreren Variablen 8., neubearb. Auf!. 198 Selten. OM 22,80

KOrberlPforr: Integralrechnung fOr Funktionen mit mehreren Variablen 8., neubearb. Autl. 199 Selten. OM 22,80

ManteuffeVSeiffartlVetters: Uneare Algebra 7. Autl. 208 Seiten. OM 13,50

MeinholdIWagner: Partialle Differentialgleichungen 6. Autl. 116 Seiten. OM 12,-

OelschlAgel/MatthAus: Numerische Methoden 4. AutI. 95 Selten. OM 10,-

Pforr/OelschIAger/Seltmann: Obungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung 4., Autl. 92 Seiten. OM 8,-

Pforr/Schirotzek: Differential- und Integralrechnung fOr Funktionen mit einer Variablen 9., neubearb. Autl. 302 Selten. OM 26,80

PiehlerlZachlesche: Simulationsmethoden 4. AutI. 60 Seiten. OM 5,-

Stopp: Operatorenrechnung 5. Autl. 156 Selten. OM 19,80

WenzeVMeinhold: Gewohnliche Differentialgleichungen' 7., neubearb. Autl. 108 Seiten. OM 19,80

WenzeVHeinrlch: Obungsaufgaben zur Analysis 1 4. Autl. 75 Selten. OM 6,50

WenzeVHeinrlch: Ubungsaufgaben zur Analysis 2 4. Autl. 84 Seiten. OM 7,-

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