Zahle

nmeng

en

Welche Zahlenmengen gibt es?

Wie hast du zählen gelernt?

1,2,3,4,5,6,7,……….

Die Menge der natürlichen Zahlen

enthält jene Zahlen, die man zum Abzählen benötigt, einschließlich Null.

N = {0,1,2,3,4…}

Welche Rechnungen kannst du mit den

natürlichen Zahlen N durchführen?

Innerhalb der Addition sind die natürlichen Zahlen

abgeschlossen, d.h. das Ergebnis einer Addition ist wieder eine natürliche Zahl

Addieren2+5 = 7, 1+10 = 11…..

Man schreibt:

a + b = c, a,b,c N

Innerhalb der Subtraktion sind die natürlichen Zahlen nicht

abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine natürliche Zahl

ist.

Subtrahieren7-2 = 5

aber: 2 – 7 = -5 ????

Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?

-3,-2,-1,0,1,2,3,……….

Die Menge der ganzen Zahlen

enthält die natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen

Zahlen

Z = {…-2,-1,0,1,2,3,4…} N Z

Welche Rechnungen kannst du mit den

ganzen Zahlen Z durchführen?

Addieren2 + (-5) = -3 …

Subtrahieren1- (-10) = 11 …

Multiplizieren3. (-4) = -12 …

Innerhalb der Addition, der Subtraktion und der

Multiplikation sind die ganzen Zahlen abgeschlossen.

Innerhalb der Division sind die ganzen Zahlen nicht

abgeschlossen, da das Ergebnis nicht immer eine ganze Zahl ist.

Dividieren 10:2 = 5

aber: 3:4 = ¾ = 0,75 ????

Um welche Zahlen muss man die Zahlenmengen erweitern?

¾; 0,75,……….

Die Erweiterung um die Bruchzahlen führt zur Menge der

rationalen Zahlen, in der die Division

(außer durch 0) möglich ist.

Q = {q|q , m Z, n Z, n≠0}N Z Q

Welche Rechnungen kannst du mit den

rationalen Zahlen Q durchführen?

Innerhalb der Addition und der Subtraktion sind die rationalen

Zahlen abgeschlossen.

Addieren+ = + =

Subtrahieren - = - =

Welche Rechenregeln gelten für die Addition und Subtraktion

von Brüchen?

Man addiert oder subtrahiert zwei Brüche, indem man sie auf gleichen Nenner bringt und die

Zähler addiert.

Addition/Subtraktionsregel:

Innerhalb der Multiplikation sind die rationalen Zahlen

abgeschlossen.

Multiplizieren * =

Welche Rechenregel gilt für die Multiplikation von Brüchen?

Man multipliziert zwei Brüche, indem man Zähler mit Zähler

und Nenner mit Nenner multipliziert.

Multiplikationsregel

dividieren: : 2 = . =

Innerhalb der Division sind die

rationalen Zahlen abgeschlossen.

Dividieren : 2 = * =

Welche Rechenregel gilt für die Division von Brüchen?

Man dividiert zwei Brüche, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert (reziproken Wert)

des zweiten Bruches multipliziert.

Divisionsregel:

Jeder Bruch kann auch als Dezimalzahl dargestellt werden.

= 0,5; = 0,25; =0,3333…

Gibt es auch Dezimalzahlen, die keine Brüche sind?

1,4142135… = ????

Angenommen: = mit a, b teilerfremd,

dann ist = 2 und a² = 2b²,

dann wäre aber a² das Doppelte von b², was ein Widerspruch zur Annahme „teilerfremd“ darstellt!

Daher ist nicht als Bruch darstellbar!!!

Da diese Zahlen nicht durch einen Bruch darstellbar sind, also nicht rational sind, nennt

man sie irrationale Zahlen.

, ,……….

Die Menge der irrationalen Zahlen sind

unendliche, nichtperiodische Dezimalzahlen.

I = {… , ,.., e, ….,π,… }

Da den irrationalen Zahlen wie den rationalen Zahlen ein Punkt

auf dem Zahlenstrahl zugeordnet ist, nennt man sie die Menge der reellen Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen

werden beschrieben:

R = {…-2,.. - .. ,0,.. , ..π} N Z Q R I R

Welche Rechnungen kannst du mit den

reellen Zahlen R durchführen?

Man kann uneingeschränkt addieren, subtrahieren,

multiplizieren, potenzieren und dividieren (außer durch 0).

Rechenregeln für die reellen Zahlen R:

aber: Man kann nicht aus negativen

Zahlen Wurzelziehen und negative Zahlen logarithmieren!

Da diesen Zahlen keine Punkte auf dem reellen Zahlenstrahl

zugeordnet sind, nennt man sie die Menge der komplexen

Zahlen.

, ,……….

daher:

Die Menge der komplexen Zahlen wird beschrieben:

C = {… ,.. , ….}

Q Z N

C

Überblick der Zahlenmengen

N Natürliche ZahlenZ Ganze ZahlenQ Rationale ZahlenI Irrationale ZahlenR Reelle ZahlenC Komplexe Zahlen

I

Q I = R