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© H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 1

Zahlensysteme

Übersicht 12:34


Mathematische Grundlagen

Prädikate => Aussagen

Quantisierung von Individuum x• Allquantor x: „für alle x gilt“• Existenzquantor Ǝx: „es existiert ein x“• Resultat:• x ist quantisiert: w, f unabhängig von x• Aussage x (p(x))

Ǝx (p(x))


Venn-Diagramme zur Verdeutlichung von Mengenoperationen


Venn-Diagramme zum Selbststudium

• Gegeben: • 1.) B=M1={0,1,3}• 2.) C=M2={1,2,5,6,7}• 3.) D=M3= {2,8,9}

• Gesucht: • Ergebnisse der Operationen der Venn-Diagramme

nach Folie 3


Technische Informatik 1

Inhalt

• Begriffe, Mathematische Grundlagen (1)• Boolesche Algebren, Normalformen (2,3)• Kombinatorische Schaltungen (4)• Programmierbare Strukturen (5)• Automaten, Sequentielle Schaltungen (6-9)• Rechneraufbau und –funktion (11,12)• Informationskodierung (13,14)


Technische Informatik I 2. Vorlesung

• 2. Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle


Variablen, Belegungen



Variablen

• Binäre Variable x0,y0:

– 2 Werte (Konstanten): 0,1

– Bezeichnung: Kleinbuchstabe + Index

• Vektoren x, y:

– Tupel aus n Variablen x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n

– 2n Wertekombinationen (Belegungen)



Belegungen

• Eingangsvektor x=[xn-1,...,x1,x0], |x|=n

• Belegungen: X0,Y0 X2n -1 , Y2m -1

– 2n : von [0,0,0,...,0] bis [1,1,1,...,1]

• Bezeichnung: Großbuchstabe + Index

• Belegungsmengen X: X={X0, X1, X2,... }, |X|= 2n

• Y={Y0, Y1, Y2,... }, |Y|= 2m


Bezeichnung der Elemente - Wertetabelle

• Bit (Wert der Variablen eines Vektors x=[x2,x1,x0] bzw. y=[y1,y0]) in einer Belegung Xi, Yt

• z.B. Bit 2 von x=[x2,x1,x0] in der Belegung X3

– X3(x2)=0 („X3 von x2“) mit X3=[ 0, 1, 1], x=[x2,x1,x0]

• Bit 1 von y=[y1,y0] in der Belegung Y2

– Y2(y1)=1 („Y2 von y1“) Y2=[1,0], y=[y1,y0]


Boolesche Mengen- Algebra: BMA

• Funktionsbeschreibung mit Mengen• Menge der Eingangsbelegungen: X• Menge der E. mit Funktionswert 1: X1

• zugehörige Indexmenge: I1

• Menge der E. mit Funktionswert 0: X0

• zugehörige Indexmenge: I0

– X= X1 X0, X1 X0 = – I = I1 I0, I1 I0 =


Bezeichnung der Elemente - Wertetabelle

21 0 2

0 0 0

Index i € I


• Unter Berücksichtigung eines Übertrages der vorigen Stelle

Beispiel Addition


• Rechenregeln: 0+0=0 Übertrag 0;• 0+1=1 Übertrag 0; • 0+1+0=1 Übertrag 0;• 0+1+1=0 Übertrag 1;• 1+1+1=1 Übertrag 1;

– Summe =1 eine „1“ in Xi oder 3 „1“– Übertrag =1 Anzahl „1“ in Xi > 1 (2 Bits sind = 1)

Ü

Beispiel Addition:


Digitales System

Architektur

Funktion Struktur

Wertetabelle Schaltung

Y=(X) y=x1x2

Ausgangsbelegung Yt Ausg.variable yj

Eingangsbelegung Xi Eing.variable xi

Belegungsmengen X1 Ausdrücke hk

bn

an

Ün

Ün-1 Sn+


Wertetabelle Beispiel AdditionNachbereich

üi-1 ai bi üi si Adder

x2 x1 x0 y1 y0 intern

X0 0 0 0 0 0 Y0

X1 0 0 1 0 1 Y1

X2 0 1 0 0 1 Y1

X3 0 1 1 1 0 Y2

X4 1 0 0 0 1 Y1

X5 1 0 1 1 0 Y2

X6 1 1 0 1 0 Y2

X7 1 1 1 1 1 Y3

Vorbereich


Strukturbild ao+b0 = S0 +Ü0

Halbadder

+

+

S0

S1

S2

S3

Ü0

Ü3

Ü2

Ü1

b2

a1

a0

a3

a2

b1

b0

b3

Ün

Ün-1

bn

an

Sn+

+

+


Strukturbild

+

+

S0

S1

S2

S3

Ü0

Ü3

Ü2

Ü1

b2

a1

a0

a3

a2

b1

b0

b3

Ün

Ün-1

bn

an

Sn+

+

+


Strukturbild: Volladder

Ün

Ün-1

bn

an

Sn+


Wertetabelle Nachbereich

üi-1 ai bi üi si Adder

x2 x1 x0 y1 y0 intern

X0 0 0 0 0 0 Y0

X1 0 0 1 0 1 Y1

X2 0 1 0 0 1 Y1

X3 0 1 1 1 0 Y2

X4 1 0 0 0 1 Y1

X5 1 0 1 1 0 Y2

X6 1 1 0 1 0 Y2

X7 1 1 1 1 1 Y3

Vorbereich


2. Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle


Schaltalgebraische Ausdrücke

• ... sind Zeichenreihen zur strukturorientierten Beschreibungdigitaler Schaltungen

(Wertetabellen: eindeutige Abbildung Eingangsbelegung/ Ausgangsbelegung=> funktionsorientierte Beschreibung)


Syntax


Schaltalgebraische Ausdrücke

• Syntax• Vereinfachte Schreibweise:• ohne äußere Klammern• Priorität• Beispiel


Technische Informatik1 2. Vorlesung

• 2. Funktion digitaler Schaltungen: • Variablen, Belegungen• BMA, Wertetabellen• Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke• Semantik Wertfunktion• BAA, Wertberechnung• Ausdruck => Wertetabelle

......................... ..........................


Semantik: Wertfunktion W

• E: Menge syntaktisch korrekter AusdrückeX: Menge der Eingangsbelegungen

SemantikW: E x X => {0,1}

Ausdruck hi Ehat bei bestimmter Belegung Xk Xbestimmten Wert W(hi , Xk)=1 bzw. =0



• 2. Funktion digitaler Schaltungen:– Variablen, Belegungen– BMA, Wertetabellen– Syntax schaltalgebraischer Ausdrücke– Semantik, Wertfunktion– BAA, Wertberechnung– Ausdruck => Wertetabelle


Wertberechnung

• Wertberechnung: BAA• Rechenregeln für Konstante:• Negation: 1=0 0=1• Konjunktion: 11=1; 01=00=0 • Disjunktion: 00=0; 01=11=1

x1 x0

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 1


Semantik: Wertfunktion W

• Rechenregeln: BAA– Wertberechnung für Ausdrücke W(hi , Xk): – schrittweise Berechnung des Wertes– 1. Belegung der Variablen (Bits)– 2. Verknüpfung der Werte – Variable xj => Bit der Belegung Xk(xj)



• 2. Funktion digitaler Schaltungen:• Variablen, Belegungen• BMA, Wertetabellen• schaltalgebraische Ausdrücke• Syntax, Semantik• Wertfunktion, Wertberechnung• Ausdruck => Wertetabelle


Ausdruck => Wertetabelle

• Berechnung der Werte eines Ausdrucks bei allen Belegungen der Eingangsvariablen:

• Wertverlauf• Notation in Wertetabelle

• => Ausdruck repräsentiert Wertetabelle(für eine Ausgangsvariable)


Das war‘s für heute

• Viel Spaß beim Wiederholen!Bis nächsten Donnerstag 9.00 ...

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