Zeitdiskrete Regelsysteme 31 Kap. 6 6.4.3. Entwurf des ... · mnmnmmn mmnn +−++=++ =+ −−...

Zeitdiskrete Regelsysteme Kap. 6

31

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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6.4.3.

Entwurf des Reglers mit Kürzung von Pol- und Nullstellen der Regel-strecke

(1) Vorbemerkungen Dieses Verfahren ist die Erweiterung des algebraischen Reglerentwurfsverfahrens nach Abschnitt 6.4.2. Bei dem im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Verfahren konn-ten nur Nullstellen der Regelstrecke gekürzt werden, indem Polstellen des Regelkreises mit gleichen Werten gewählt wurden. Diese Entwurfstechnik soll nun verallgemeinert werden. Bei dem in diesem Abschnitt be-schriebenen Verfahren können alle Pol- und Nullstellen der Regelstrecke gekürzt werden, die innerhalb des Einheitskreises liegen, also nicht dem Kürzungsverbot unterliegen. Au-ßerdem können wir jetzt Pol- und Nullstellen des Reglers vorgeben, um bestimmte Eigen-schaften des Regelkreises zu sichern. (2) Definition der Übertragungsfunktionen des Standardregelkreises Die Regelstrecke möge folgende Form besitzen:

1 2

1 2

( ) ( ) ( )( ) , ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( )

mitP P PP P

P P P

Z z Z z Z zG z grad Z z grad N z nN z N z N z

= = < P =

.

.

Hierin sind: ZP1(z) grad(ZP1(z))=nZ1

Teil des Zählerpolynoms, das nicht gekürzt werden soll.

ZP2(z) grad(ZP2(z))=nZ2 Teil des Zählerpolynoms, das gekürzt werden soll. Die Nullstellen dieses Poly-noms liegen innerhalb des Einheitskreises, also unterliegen nicht dem Kür-zungsverbot. Dieses Teilpolynom sei normiert, d.h. der Koeffizient zur höchsten Potenz von z sei 1.

NP1(z) grad(NP1(z))=nN1 Teil des Nennerpolynoms, das nicht gekürzt werden soll.

NP2(z) grad(NP2(z))=nN2 Teil des Nennerpolynoms, das gekürzt werden soll. Die Nullstellen dieses Poly-noms liegen innerhalb des Einheitskreises, also unterliegen nicht dem Kür-zungsverbot.

Mit diesen Bezeichnungen gilt:

1 2

1 2

( ( ))( ( ))

P N N

P Z Z

grad N z n n ngrad Z z n n n

= + == + <

Der Regler möge folgende Form besitzen:

1 2 1

1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )

mitC C C PC C C

C C C P

Z z Z z Z z N zG z grad Z z grad N z mN z N z N z Z z

= = = = .

Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka SS 2007


32

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dieser Ansatz enthält bereits die zu kürzenden Zähler- und Nenner-Teilpolynome der Re-gelstrecke. Der Zählergrad ist gleich dem Nennergrad gewählt worden, damit möglichst viele Koeffi-zienten für die Polfestlegung zur Verfügung stehen. Hierin sind: ZC1(z) grad(ZC1(z))=mZ1

Teil des Zählerpolynoms, das durch die Polvorgabe festgelegt wird.

ZC2(z) grad(ZC2(z))=mZ2 Dieser Teil des Zählerpolynoms ist vorgegeben, um bestimmte Forderungen des Reglerentwurfs zu erfüllen. Das kann z.B. die Vorgabe von Stellgrößenwer-ten sein oder um Empfindlichkeitsbedingungen zu erfüllen.

NC1(z) grad(NC1(z))=mN1 Teil des Nennerpolynoms, das durch die Polvorgabe festgelegt wird.

NC2(z) grad(NC2(z))=mN1 Dieser Teil des Nennerpolynoms ist vorgegeben, um bestimmte Forderungen des Reglerentwurfs zu erfüllen. Das ist im allgemeinen die Forderung nach Verschwinden des asymptotischen Regelfehlers für bestimmte Testfunktionen. Siehe die Ausführungen im Abschnitt 5.3.1.

Die Übertragungsfunktionen des Standardregelkreises nach Bild 2 mit den oben eingeführ-ten Bezeichnungen lauten, wobei noch folgende Abkürzung benutzt wird:

1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T C C P C C PN z Z z Z z Z z N z N z N z= + Schleifenübertragungsfunktion:

1 2 2 1 2 11 20

1 2 2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

C C P C C PP PC P

C C P P P C C P

Z z Z z N Z z Z z Z zZ z Z zG z G z G zN z N z Z N z N z N z N z N z

= = ⋅ =

Führungsübertragungsfunktion:

1 2 1( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )

C C PT

T T

Z z Z z Z zZ zY zT zR z N z N z

= = =

Ausgangsstörübertragungsfunktion:

1 2 1( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

C C Pa

a T

N z N z N zY zT zD z N z

= =

Eingangsstörübertragungsfunktion:

1 2

2

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

C C Pe

e P T

N z N z Z zY zT zD z N z N z

= =

Stellübertragungsfunktion bezüglich der Führungsgröße:

1 2

2

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )

C C PUR

P T

Z z Z z N zU zT zR z Z z N z

= =



33

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Es lassen sich noch weitere Übertragungsfunktionen berechnen, was hier aber nicht ge-schehen soll. Wesentlich an diesen Übertragungsfunktionen ist das Nennerpolynom, denn die Nennerpolynome der einzelnen Übertragungsfunktionen sind unterschiedlich. Sie ent-halten teilweise die in der Schleifenübertragungsfunktion gekürzten Anteile des Zähler- bzw. des Nennerpolynoms der Regelstrecke. Um die interne Stabilität zu sichern, wurde deshalb für die Nullstellen der zu kürzenden Teile des Zähler- bzw. Nennerpolynoms der Regelstrecke gefordert, dass sie innerhalb des Einheitskreises liegen. (3) Synthese des Führungsverhaltens Die Polvorgabe erfolgt an Hand der Führungsübertragungsfunktion durch Vergleich der vorgegebenen Polstellen der Führungsübertragungsfunktion, also der Nullstellen der Poly-nome in:

1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C P C C PZ z Z z Z z N z N z N z+ durch Koeffizientenvergleich mit dem vorgegebenen Polynom NT(z). Die Nennerpolynome der anderen Übertragungsfunktionen erhält man aus den Ausdrücken, die in (2) angege-ben wurden. Die für die Polvorgabe freien Teile der Regler-Zähler- und -Nennerpolynome lauten:

1

1

1 1

1

21 0 1 2

121 0 1 2 1

( )

( ) .

Z

Z

N N

N

mC m

m mC m

Z z z z z

N z z z z z

β β β β

α α α α −−

= + + + +

= + + + + +

Diese beiden Polynome enthalten P=mZ1+1+mN1 unbekannte Koeffizienten, die durch Ko-effizientenvergleich zu bestimmen sind. Dieser Koeffizientenvergleich wird zwischen den Polynomen

1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C P C C P TZ z Z z Z z N z N z N z N z+ = vorgenommen, die den Grad:

( )( ) ( )

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )C C P C C P

C C P T N N

grad Z z Z z Z z N z N z N z

grad N z N z N z grad N z m m n

+ =

= = + 1N+

1N

besitzen. Damit ist zugleich das Nennerpolynom des Regelkreises festgelegt, d.h., man muss ent-sprechend viele Nullstellen vorgeben. Das kann z.B. nach dem im Abschnitt 5.3.4 be-schriebenen Verfahren erfolgen. Das sich durch den Koeffizientenvergleich ergebende lineare Gleichungssystem besitzt P=mZ1+1+mN1 Unbekannte und durch den Grad der Polynome, an denen der Koeffizien-tenvergleich vorgenommen wird, erhält man G=mN1+mN2+nN1 Gleichungen. Ein solches lineares Gleichungssystem ist eindeutig auflösbar, wenn die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der zur Verfügung stehenden Gleichungen ist. Das führt auf die Glei-chung:

1 1 1 21 Z N N NP m m G m m n= + + = = + + . Hieraus folgt:

1 2 1 1Z N Nm m n= + − . Mit der Bedingung, dass der Zählergrad des Reglers gleich dem Nennergrad des Reglers ist, folgt die Gleichung:



34

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2Z

2Z

0

0

1 2 2 1 2( ( )) ( ( ))C Z Z N C N Ngrad Z z m m n grad N z m m n= + + = = + + . Setzt man die gefundene Gradbedingung von ZC1(z) hierin ein, erhält man:

( )2 1 2 2 1 2

1 2 2

11.

N N Z N N N

N Z Z

m n m n m m nm m n n

+ − + + = + +

= + − −

Zusammengefasst lauten die Gradbedingungen für das durch die Polvorgabe zu bestim-mende Zählerpolynom des Reglers:

1 1 2 1( ( )) 1C Z N Ngrad Z z m m n= = + − ≥ und für das Nennerpolynom des Reglers:

1 1 2 2( ( )) 1C N Z Zgrad N z m m n n= = + − − ≥ . Damit mZ1≥0 ist, muss offensichtlich gefordert werden:

mN2≥1-nN1 (nN1 ist der Grad des nicht zu kürzenden Teils des Nennerpolynoms der Regelstrecke). Diese Bedingung wird nur dann wirksam, wenn nN1=0 ist, also der gesamte Nenner der Regelstrecke gekürzt wird. Dann muss wenigstens eine Reglerpolstelle vorgegeben wer-den. Das wird eine Polstelle bei 1 sein, wodurch der asymptotische Regelfehler für eine sprungförmige Führungsgröße Null wird. Damit mN1≥0 ist, muss offensichtlich gefordert werden:

mZ1≥1+nZ2-n (nZ2 ist der Grad des zu kürzenden Teils des Zählerpolynoms der Regelstrecke). Da der Nennergrad nach Voraussetzung mindestens um eins größer ist als der Zählergrad ist und nZ2≥nZ gilt, ist diese Bedingung immer erfüllt. (4) Beispiele Beispiel 9 (siehe Beispiel 3) Übertragungsfunktion der Regelstrecke:

( )~ ( )G s

sTP =+

11 3 , T=1sek,

Abtastzeit soll TA=0.5 sek betragen. Die Übertragungsfunktion der zeitdiskreten Regelstre-cke lautet in Pol-Nullstellenform:

G zz z

zP ( ) .( . )( .

( . )=

+ )+−

0 01442 5785 01831

0 6065 3 .

Bis auf die Nullstelle außerhalb des Einheitskreises bei z0=-2.5785 können alle Pol- und Null-stellen der Regelstrecke gekürzt werden. Weiterhin fordern wir, dass für eine sprungförmige Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null werden soll. Für den Regler machen wir deshalb den Ansatz:

32 1 1

2 1 2 1

( ) ( ) ( 0.6065) ( )( )( ) ( ) ( ) ( 0.1831) ( )( 1)P C C

CP C C C

N z Z z z Z zG zZ z N z N z z N z z

−= =

+ −.

Für den Grad der verbleibenden Polynome folgt:



35

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

01

1 1 2 1( ( )) 1 1 0 1C Z N Ngrad Z z m m n= = + − = + − =

1 1 2 2( ( )) 1 0 3 1 1C N Z Zgrad N z m m n n= = + − − = + − − = Damit erhalten wir weiter:

30

0

( 0.6065)( )( 0.1831)( 1)( )C

zG zz z z

βα

−=

+ − −.

Damit lautet die Schleifenübertragungsfunktion: 0

00

( 2.5785)( ) 0.0144( 1)( )zG zz z

βα

+=

− +

und die Führungsübertragungsfunktion: 0

20 0 0

0.0144( 2.5785)( )( 1 0.0144 ) (0.0371 )

zT zz z 0

βα β β α

+=

+ − + + −.

Nun legen wir die Führungsübertragungsfunktion fest. Wir fordern, dass die Geschwindig-keit des Regelkreises sich nicht wesentlich ändert, der Einschwingvorgang soll aber mit einem Dämpfungsfaktor von etwa d=1 verlaufen. Da durch den geringeren Dämp-fungsfaktor der Einschwingvorgang schneller verläuft, wählen wir eine kleinere Kennkreis-frequenz von ω

2/

n=1sek-1. Die zeitkontinuierliche Führungsübertragungsfunktion lautet:

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek

Bild 6.22

~( )

.

T s

ds s

s sek sek s

n n

=

+ +

=+ ⋅ + ⋅

1

1 2

11 2 1

2 2

2

2 2

ω ω

Die Polstellen hierzu lauten:

( )s j1 211

21,

∞ −= − ± sek .

Die Sprungantwort der Regelstrecke und die des zeitkontinuierlichen Vergleichssys-tems sind im Bild 22 dargestellt. Die zeit-diskrete Führungsübertragungsfunktion be-sitzt dann die Polstellen:

z e js TA1 2

1,2 0 6588 0 2431, . .∞ = = ±∞

. Somit lautet die Führungsübertragungsfunktion:

0 02 2

0 0 0 0

0.0144( 2.5785) 0.0144( 2.5785)( )( 1 0.0144 ) (0.0371 ) 1.3175 0.4931

z zT zz z z z

β βα β β α

+ += =

+ − + + − − +.

Hieraus erhält man zunächst durch Koeffizientenvergleich die beiden Gleichungen: 0 0

0 0

0.0144 0.31750.0371 0.4931

α βα β+ = −+ =

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet: 0 00.3666 , 3.4097 .α β= − =



36

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Das Bild 23a zeigt die Führungssprungantwort auf einen Einheitssprung und das Bild 23b die zugehörige Stellgröße.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße

Bild 6.23a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.23b

Die Dynamik des Ausgangsstörverhaltens ist mit dem Führungsverhalten identisch, da es sich um eine Struktur mit einem Freiheitsgrad handelt. Die Sprungantwort auf einen Ein-heitssprung am Eingang der Regelstrecke und die zugehörige Stellgröße zeigen die Bilder 24a und 24b.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße: Eingangsstörverhalten

Bild 6.24a 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0Eingangsstörverhalten: Stellgröße

Zeit in sek.

Bild 6.24b Gegenüber Beispiel 3 ist das etwas schlechtere Eingangsstörverhalten zu bemerken. Die Ursache sind die in der Schleifenübertragungsfunktion gekürzten Polstellen der Regel-strecke, die in der Eingangsstörübertragungsfunktion wieder vorhanden sind.



37

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 10 (siehe Beispiel 4) Die Übertragungsfunktionen der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Regelstrecke (mit TA=0.1sek.) lauten:

( )( ) ( )( )( )~ ( )G s

seks sek s sek

seks sek s sek s sekP =

−

− +=

−

+ − +

−

− −

−

− −

1809 20

1803 3 20

2

2 2 1

2

1 1 −1 ,

bzw.:

G zz z

z z zz z

z z zP ( ). . .. . .

.( . )( . )

( . )( . )( .=− − −

− + −= −

+ +− − −

0 0196 0 05155 0 00732 226 1283 01353

0 01962 486 01502

135 0 7408 01353

2

3 2 ).

Weiterhin fordern wir, dass für eine sprungförmige Regelgröße der asymptotische Regel-fehler Null werden soll. Für den Regler machen wir deshalb den Ansatz:

2 1 1

2 1 2 1

( ) ( ) ( 0.7408)( 0.1353) ( )( )( ) ( ) ( ) ( 0.1502) ( )( 1)P C C

CP C C C

N z Z z z z Z zG zZ z N z N z z N z z

− −= =

+ −=

11

.

Für den Grad der verbleibenden Polynome folgt: 1 1 2 1( ( )) 1 1 1 1C Z N Ngrad Z z m m n= = + − = + − =


1 0

0

( 0.7408)( 0.1353)( )( )( 0.1502)( 1)( )C

z z zG zz z z

β βα

− − +=

+ − +.

Damit lautet die Schleifenübertragungsfunktion: 1 0

00

( 2.486)( )( ) 0.0196( 1.35)( 1)(z zG zz z z )

β βα

+ += −

− − +

und die Führungsübertragungsfunktion: 1 0

3 20 1 0 0 1 0

0.0196( 2.486)( )( ) .( 2.35 0.0196 ) ( 2.35 1.35 0.0196 0.0487 ) 1.35 0.0487

z zT zz z z 0

β βα β α β β α β

− + +=

+ − − + − + − − + −

Sprungantwort des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek

Bild 6.25

Nun legen wir die Führungsübertragungs-funktion fest. Wir wählen, ähnlich wie im Beispiel 5, die Polstellen des zeitkontinu-ierlichen Vergleichssystems zu:

s j sek s sek1 21

313

31 1, ( ) ,∞ − ∞= − ± = − 0 −

Die Sprungantwort des zeitkontinuierli-chen Vergleichssystems ist im Bild 25 dargestellt. Die zeitdiskrete Führungs-übertragungsfunktion besitzt dann die Polstellen: z j z1 2 308284 01449 0 3679, . . , .∞ ∞= ± = .



38

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Somit lautet die Führungsübertragungsfunktion: 1 0

3 20 1 0 0 1 0

1 03 2

0.0196( 2.486)( )( )( 2.35 0.0196 ) ( 2.35 1.35 0.0196 0.0487 ) 1.35 0.0487

0.0196( 2.486)( ) .1.9493 1.2360 0.2407

z zT zz z z

z zz z z

0

β βα β α β β α

β ββ

− + +=

+ − − + − + − − + −− + +

=− + −

Hieraus erhält man durch Koeffizientenvergleich die drei Gleichungen:

0 1

0 0 1

0 0

0.0196 2.35 1.94932.35 0.0196 0.0487 1.2360 1.35

1.35 0.0487 0.2407

α βα β β

α β

− = −− − − = −

− − = −

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet: 0 0 10.1883 , 10.1625 , 10.836α β β= = = − .


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße

Bild 6.26a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Zeit in sek.

Stellgröße

Bild 6.26b




39

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße: Eingangsstörverhalten

Bild 6.27a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Zeit in sek.

Eingangsstörverhalten: Stellgröße

Bild 6.27b Beispiel 11 (siehe Beispiel 5) Die Übertragungsfunktionen der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Regelstrecke (mit TA=0.5sek.) lauten:

( )~ ( )

( )G s

sT

sTP =

−

+

1

12

13 mit T1=1sek und T2=0.5sek

bzw.

( )

G zz z

z z zz z

z

P ( ). . .. . .

.( . )( . )

..

=− + +− + −

= −− +

−

0 0235 0 05462 0 029818196 11036 0 2231

0 02352 7792 0 4557

0 6065

2

3 2

3


31

1 2

( 0.6065) ( )( )( 0.4557) ( ) ( )

CC

C C

z Z zG zz N z N

−=

+ z

01

.



30

0

( 0.6065)( )( 0.4557)( 1)( )C

zG zz z z

βα

−=

+ − +.


00

( 2.7792)( ) 0.0235( 1)( )zG zz z

βα

−= −

− +



40

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


20 0 0

0.0235( 2.7792)( )( 1 0.0235 ) (0.0653 )

zT zz z 0

βα β β

− −=

+ − − + −α.

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen

Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit in sek.

Bild 6.28

Nun legen wir die Führungübertragungs-funktion fest. Wir wählen, ähnlich wie im Beispiel 3 ein komplexes Polpaar, aber verringern noch einmal die Kennkreisfre-quenz von ωn = 2 (Beispiel 3), auf ωn = 1 2/ , da das System durch die Nullstelle rechts noch langsamer gewor-den ist und es durch die Regelung nicht unnötig schnell gemacht werden soll (Stellgröße!). Die Polstellen des zeitkonti-nuierlichen Vergleichssystems werden deshalb gewählt zu:

( )s j1 212

1,∞ = − ± .

Die Sprungantwort der Regelstrecke (mit der Nullstelle rechts) und des zeitkontinuierlichen Vergleichssystems ist im Bild 28 dargestellt. Die zeitdiskrete Übertragungsfunktion besitzt dann die Polstellen:

z j1 2 0 7546 01927, . .∞ = ± . Die Führungsübertragungsfunktion lautet somit:

0 02 2

0 0 0 0

0.0235( 2.7792) 0.0235( 2.7792)( )( 1 0.0235 ) (0.0653 ) 1.5092 0.6065

z zT zz z z z

β βα β β α

− − − −= =

+ − − + − − +.

Hieraus erhält man durch Koeffizientenvergleich die beiden Gleichungen: 0 0

0 0

0.0235 1.5092 10.0653 0.6065

α βα β+ − = − +− + =

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet: 0 01.1364 , 26.691α β= = .




41

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße: Führungsverhalten

Bild 6.29a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4Stellgröße: Führungsverhalten

Zeit in sek.

Bild 6.29b


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Zeit in sek.

Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Regelgröße: Eingansstörverhalten

Bild 6.30a 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Zeit in sek.

Stellgröße: Eingangsstörverhalten

Bild 6.30b Beispiel 12 (siehe Beispiel 7) Die Übertragungsfunktionen der zeitkontinuierlichen und der zeitdiskreten Regelstrecke (mit TA=0.5sek ) lauteten:

( )( )~ ( )

. ( ) ( ) . ( )G s

sek s sek s sek sP =+ + +

11 0 2 1 052 2

bzw.:



42

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( )( )( )( )( )

G zz z

z z zz z

z j z j z

P ( ). . .

. . .

.. .

. . . . ..

=+ +

− + −

=+ +

− − − + −

0 03176 0 0971 0 01842 04 152 0 333

0 031762 8559 0 2028

08359 0 454 08359 0 454 0 3679

2

3 2


( )( )( )

3 21

1 2

1

1

( 2.04 1.52 0.333) ( )( )( 0.2028) ( ) ( )0.8359 0.454 0.8359 0.454 0.3679 ( )

.( 0.2028) ( )( 1)

CC

C C

C

C

z z z Z zG zz N z N z

z j z j z Zz N z z

− + −=

+

− − − + −=

+ −z

01



3 20

0

( 2.04 1.52 0.333)( ) .( 0.2028)( 1)( )Cz z zG zz z z

βα

− + −=

+ − +


0

( 2.8559)( ) 0.03176( 1)( )zL zz z

βα

+=

− +


20 0

0.03176( 2.8559)( )( 1 0.03176 ) (0.0907 )

zT zz z 0 0

βα β β α

+=

+ − + + −.

Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen

Vergleichssystems für das Führungsverhalten

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Zeit in sek

Bild 6.31

Für das Führungsverhalten wählen wir ähnlich wie im Beispiel 7 ein konjugiert komplexes Polpaar mit:

s j sek1 212 1, ( )∞ = − ± .

Die Sprungantwort der Regelstrecke und des zeitkontinuierlichen Vergleichssys-tems zeit Bild 31. Die Polstellen des zugeordneten zeitdis-kreten Systems lauten:

z1 2 0 3749 0 3203, . .∞ = ± . Damit lautet die zeitdiskrete Übertra-gungsfunktion:

0 02 2

0 0 0 0

0.03176( 2.8559) 0.03176( 2.8559)( )( 1 0.03176 ) (0.0907 ) 0.7497 0.2431

z zT zz z z z

β βα β β α

+ += =

+ − + + − − +.



43

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hieraus erhält man durch Koeffizientenvergleich zunächst die beiden Gleichungen: 0 0

0 0

0.03176 0.7497 10.0907 0.2431

α βα β+ + = − +− + =

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet: 0 00.1223 , 4.029α β= = .


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Zeit in sek.


Bild 6.32a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Zeit in sek.

Stellgröße: Führungsverhalten

Bild 6.32b

Die Dynamik des Ausgangsstörverhaltens ist mit dem Führungsverhalten identisch, da es sich um eine Struktur mit einem Freiheitsgrad handelt. Die Sprungantwort auf einen Ein-heitssprung am Eingang der Regelstrecke und die zugehörige Stellgröße zeigen die Bilder 33a und 33b. In diesem Beispiel zeigt sich die Wirkung der Kürzung der Polstellen der Re-gelstrecke. In der Eingangsstörübertragungsfunktion sind die Polstellen der Regelstrecke weiterhin enthalten, wie im Teil (6) in diesem Abschnitt gezeigt wurde.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit in sek.


Bild 6.33a

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Zeit in sek.


Bild 6.33b



44

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel 13 (Fortsetzung des Beispiels 8) Die Übertragungsfunktion der zeitkontinuierlichen und der zeitdiskreten Regelstrecke (TA=0.2sek) lauten:

~ ( )(

G sT s sTP =

+110 )

, T=1sek, T0=0.01sek,

bzw.:

G zz

z zP ( ) ..

( )( .=

+− −

18730 9355

1 08187).

Für den Regler machen wir den Ansatz: 1

1

( 0.8187) ( )( )( 0.9355) ( )

CC

C

z ZG zz N−

=+

zz

00

.

Da die Regelstrecke einen Integrierer enthält, wird für eine sprungförmige Führungsgröße der asymptotische Regelfehler Null sein. Wir setzen deshalb ZC2=1, bzw. mZ2=0. Für den Grad der verbleibenden Polynome folgt:

1 1 2 1( ( )) 1 0 1 1C Z N Ngrad Z z m m n= = + − = + − =


0( 0.8187)( )( 0.9355)CzG zz

β−=

+.

Damit lautet die Schleifenübertragungsfunktion: 00 ( ) 1.873

( 1G z

z )β

=−

und die Führungsübertragungsfunktion: 0 0

0 0

1.873 1.873( )( 1) 1.873 1.873 1

T zz z

β ββ β

= =− + + −

.

Die Führungsübertragungsfunktion soll alle Polstellen im Ursprung haben, der Regelkreis besitzt dann deat-beat Verhalten. Durch Koeffizientenvergleich erhält man die Gleichun-gen:

0 01.873 1 , 0.5593β β= = Die Bilder 34a und 34b zeigen die Führungssprungantwort und die zugehörige Stellgröße.



45

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

Zeit in sek.


Bild 6.34a

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit in sek.

Stellgröße: Führungsverhalten

Bild 6.34b

Die zeitdiskrete Regelgröße entspricht der Erwartung. Die zeitkontinuierliche Regelgröße besitzt jedoch ein unerwartet schwingendes Verhalten. Eine Erklärung hierfür erhält man durch die Diskussion der Stell- und Regelgröße. Die Stellgröße im z-Bereich lautet:

( )( )

( )

U zG zG z

R z G zz

z zK z z

z

zz

z zK z z

C Cz

z z

u k C k C z

C

k

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( ) .

=+

=−

=

−

−

+−

⋅−

=−

−= +

−

= +

∞

∞

111

111

1

00

0

0 0 1 0

0 10

Zδ

u(k) enthält insbesondere den Term (z0)k. Da die Nullstelle der Regelstrecke z0=-0.9355 negativ ist, alterniert das Vorzeichen bei jedem Schritt, und da der Betrag fast 1 ist, klingt diese Schwingung nur langsam ab. Diese im Bild 34b gezeigte Rechteckschwingung ist die Stellgröße der zeitkontinuierlichen Regelstrecke:

~ ( )( )

G sT s sTP =

+110

,

wodurch das schwingende Verhalten der zeitkontinuierlichen Regelgröße entsteht. Die Regelgröße im s-Bereich lautet (siehe Abschnitt 4.7, Struktur 4):

( )( )( )

( )

Y s G s G s U e

G s G sG e

G eR e G s

es

T s sTes

e zK e z

P HsT

P HC

sT

sTsT

H

sT

sT sT

sT

A

A

A

AA

A A

A

( ) ~ ( ) ( )

~ ( ) ( ) ( ) ( )

( ).

=

=+

=−

=+

⋅−

⋅−

−

−

− ∞

11

11

10

00



46

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

zAuch hier ist die Schwingung vorhanden. Der Term esTA − 0 repräsentiert unendlich viele Polstellen im s-Bereich:

( )

( )

e z z z e z

sT

z jT

k k

s T j k

kA A

A∞

= = ⋅

⇓

= + + = − −

+

∞

0 0 0 2 0

012 1 2 1 0 1 2

( )

ln ( ) ( , , , , , ) .

π π

π

da negativ ist

… …

Das sind aber konjugiert komplexe Postellen (im Grundstreifen, auf der Streifengrenze(!), liegen die Polstellen mit k=0 und k=-1), die durch den Regler verursacht werden und sich an dieser Stelle nicht herauskürzen. Erst bei der Abtastung kürzen sich diese Polstellen durch die Nullstellen der zeitdiskreten Übertragungsfunktion der Regelstrecke heraus. Die Bilder 35a und 35b zeigen die Eingangsstörsprungantwort und die zugehörige Stell-größe.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Zeit in sek.


Bild 35a

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Zeit in sek.


Bild 35a

Die Stellgröße zeigt ebenfalls ein unbefriedigendes Verhalten. Die Übertragungsfunktion des Regelkreises bezüglich der Eingangsstörung lautet:

T zzz zDe ( ) .( .( . )

=+−

18730 935508187

).

Durch die Kürzung der Streckenpolstelle bei z=0.8187 in der Schleife und damit im Füh-rungsverhalten, ist diese in der Eingangsstörübertragungsfunktion wieder enthalten und erzeugt das kriechende Einschwingverhalten.



-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka

SS 2007

47

(5) Zusammenfassung und Bemerkungen Dieser Entwurf basiert auf eine vollständige Kürzung derjenigen Teile der Übertragungs-funktion der Regelstrecke, die nicht dem Kürzungsverbot unterliegen. Dieses Entwurfsver-fahren erweist sich als besonders einfach, wenn die Regelstrecke stabil und ein Minimal-phasensystem ist. Trotzdem haben bestimmte Kürzungen Nachteile für das Verhalten des Regelkreises. So sind bei einer Kürzung der Polstellen der Regelstrecke die gekürzten Polstellen weiter-hin in der Eingangsstörübertragungsfunktion enthalten und können so zu trägem Ein-gangsstörverhalten (siehe Beispiel 13) oder zu oszillierendem Verhalten (siehe Beispiel 12) führen. Die Kürzung von Nullstellen der Regelstrecke ist ebenfalls problematisch, wenn diese Nullstellen nahen dem Einheitskreis liegen. Sind diese Nullstellen komplex, so tritt eine starke Oszillation der Stellgröße auf. Ist eine Nullstelle negativ, nahe bei 1, so alterniert die Stellgröße (siehe Beispiel 13). In solchen Fällen kann das zu einer starken Beanspruchung des Stellgliedes der Regelstrecke führen, was sicherlich nicht erwünscht ist.

Zeitdiskrete Regelsysteme 31 Kap. 6 6.4.3. Entwurf des ... · mnmnmmn mmnn +−++=++ =+ −−...

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