Aufgabensammlung System- und Signaltheorie: Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme Fourier-,...

Otto Mildenberger

Aufgabensammlung System- und Signaltheorie

ZeitkontinuierIiche und zeitdiskrete Systeme Fourier .. , Laplace .. und zoo Transformation Stochastische Signale

Mit 129 durchgerechneten Aufgaben und 220 Abbildungen

~ vleweg

Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig / Wiesbaden, 1994

Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International.

Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzullissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlag: Klaus Birk, Wiesbaden

ISBN-13: 978-3-528-06611-6 DOl: 10.1007/978-3-322-85000-3

e-ISBN-13: 978-3-322-85000-3

Vorwort

Die Systemtheorie ist heute ein an allen Hochschulen eingefuhrtes Grundlagenfach fur

Elektrotechniker. Ihre Verfahren werden nicht nur in der N achrichten- und Informationstechnik,

sondern auch in der MeB- und Regelungstechnik angewendet. Ftir das Gebiet der Systemtheorie

gibt es inzwischen zahlreiche gute Lehrbticher.

Eine ausreichende Vertiefung des Stoffes und eine Beherrschung der Methoden der

Systemtheorie ist ohne das selbsUindige Losen geeigneter Ubungsaufgaben kaum erreichbar.

Die vorliegende Aufgabensammlung mit insgesamt 129 durchgerechneten Aufgaben solI hierzu

einen Beitrag leisten.

1m Abschnitt 1 werden die zur Losung der Aufgaben notwendigen Gleichungen und Ergebnisse

zusammengestellt. Der Abschnitt 2 enthiilt 23 Aufgaben, zur Ermittlung von Systemreaktionen

kontinuierlicher Systeme im Zeitbereich, also ohne die Anwendung· der Fourier- oder

Laplace-Transformation. Der Abschnitt 3 enthiilt 22 Aufgaben zur Fourier-Transformation.

Ideale Ubertragungssysteme werden im Abschnitt 4 mit 14 Aufgaben behandelt. Der Abschnitt

5 bezieht sich mit 18 Aufgaben auf die Laplace-Transformation. Der Abschnitt 6 enthiilt 18

Aufgaben tiber zeitdiskrete Signale und Systeme. Die Abschnitte 7 mit 16 Aufgaben und 8 mit

18 Aufgaben beziehen sich auf Zufallssignale und die Reaktion linearer Systeme auf zufiillige

Signale. Ein Anhang enthiilt schlieBlich Korrespondenztabellen zur Fourier-, Laplace- und

z-Transformation.

Innerhalb der Abschnitte sind die Aufgaben themenmaBig in Gruppen unterteilt. Die jeweils

letzte Gruppe enthalt Aufgaben tiber das gesamte Gebiet mit Losungen in Kurzform

(Kennzeichnung der Aufgaben mit "K"). Die Aufgaben in den anderen Gruppen sind ausfuhrlich

gelost. Dies gilt besonders fur die mit "E" gekennzeichneten Aufgaben, die oft noch zusatzliche

Hinweise enthalten. Der Leser sol1te diese Aufgaben zuerst durcharbeiten.

Ftir Hinweise und Anregungen, insbesondere auch aus dem Kreis der Studentinnen und

Studenten, ist der Autor dankbar. Ftir die Hilfe bei der Erstellung des Manuskriptes schulde ich

meiner Frau besonderen Dank. Dem Verlag danke ich fur die angenehme Zusammenarbeit.

Mainz, im Oktober 1993 Otto Mildenberger

Inhaltsverzeichnis

Einfiihrung ................................ .................................................................................... 1

1 Bine Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen ................ 2

1.1 Normierung ....................................................................................................... 2

1.2 Wichtige Grundlagen der Signal- und Systemtheorie ........................... ........... 4

1.3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen .............................................. 7

1.4 Ideale Ubertragungssysteme ........... .................................................................. 11

1.5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen ................................. ............ 17

1.6 Zeitdiskrete Signale und Systeme ........ ........................................ ....... ....... ....... 22

1.7 Stochastische Signale ....................................................................................... 29

1.8 Lineare Systeme mit zufillligen Eingangssignalen ..... ........... ........... ...... .......... 34

1.9 Wahrscheinlichkeitsrechnung ........................................................................... 37

2 Die Berechnung von Systernreaktionen im Zeitbereich .. ....... .................. ...... ..... ...... 40

Aufgabengruppe 2.1

(Berechnung von get) und G(jm) bei gegebener Sprungantwort des Systems) ...... 40

Aufgabengruppe 2.2

(Berechnung der Sprungantwort bei gegebener Impulsantwort) ............................ 49

Aufgabengruppe 2.3

(Anwendung des Faltungsintegrales) ..................................................................... 51

Aufgabengruppe 2.4

(Aufgaben zum gesamten Stoffgebiet mit Uisungen in Kurzform) ....................... 61

3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen ....................................................... 65

Aufgabengruppe 3.1

(Fourier-Reihen und Spektren einfacher Signale) .................................................. 65

Aufgabengruppe 3.2

(Berechnung von Systernreaktionen mit der Beziehung Y(jro) = G(jro)X(jro)) .... 70

Aufgabengruppe 3.3

(Aufgaben zum gesamten Stoffgebiet mit Losungen in Kurzform) ....................... 77

4 Ideale Ubertragungssysteme ... ... ............... ........... ...... ................. ............... ............... 82

Aufgabengruppe 4.1

(Verzerrungsfreiheit, verzerrungsfrei iibertragende Systeme) . ............... ............... 82

Aufgabengruppe 4.2

(ldeale Tief- Hoch- und Bandpasse) ....................................................................... 85

Aufgabengruppe 4.3


Inhaltsverzeichnis

5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen ..... .... .............. ............... ................ 92

Aufgabengruppe 5.1

(Berechnung von Laplace-Transformierten und deren Riicktransformation) 92

Aufgabengruppe 5.2

(Berechnung von Systernreaktionen mit der Beziehung Yes) = G(s)X(s)) ........... 98

Aufgabengruppe 5.3


6 Zeitdiskrete Signale und Systeme .............. ............................................ .............. ..... 109

Aufgabengruppe 6.1

(Berechnung von Systernreaktionen im Zeitbereich) .......... ................................... 109

Aufgabengruppe 6.2

(Berechnung von z-Transformierten und deren Riicktransformation) ................... 114

Aufgabengruppe 6.3

(Berechnung von Systernreaktionen mit der Beziehung Y(z) = G(z)X(z)) ........... 118

Aufgabengruppe 6.4


7 Stochastische Signale ................................................................................................ 128

Aufgabengruppe 7.1

(Die Beschreibung von Zufallssignalen durch Korrelationsfunktionen) ................ 128

Aufgabengruppe 7.2

(Die Beschreibung von Zufallssignalen im Frequenzbereich) ............................... 133

Aufgabengruppe 7.3

(Aufgaben zum gesamten Stoffgebiet mit Losungen in Kurzform) .................. ..... 138

8. Lineare Systeme mit zufalligen Eingangssignalen ................................................... 140

Aufgabengruppe 8.1

(Berechnung von Kennfunktionen der Ausgangssignale von Systemen) .............. 140

Aufgabengruppe 8.2

(Aufgaben, die sich mit unmittelbaren Problemen aus der Praxis befassen) ......... 148

Aufgabengruppe 8.3


Anhang A: Korrespondenzen ....................................................................................... 157

A.1 Korrespondenzen derFourier-Transformation ................................................ 157

A.2 Korrespondenzen der Laplace-Transformation ............................................... 158

A.3 Korrespondenzen der z-Transformation .......................................................... 159

VII

Verzeichnis der wichtigsten Formelzeichen

Bezeichnungen

in diesem Buch

A (ro), B(ro)

E[ ], cr2

oct), O(n)

f(t),f(n)

F(jro), F(s)

F(z)

get), g(n)

G(jro)

G(s), G(z)

h(t), hen)

p(x), F(x)

peA)

r

R(ro), X(ro)

Rxx('r), Rxy('t)

s=cr+jro

set), s(n)

sgnt

Sxx(ro), SXy(ro)

x(t), x(n)

y(t), y(n)

X,Y

z * 0-

Hinweis:

Dlimpfungs-, Phasenfunktion

Erwartungswert und Streuung einer ZufallsgroBe

Dirac-Impuls, Einheitsimpuls

Zeitfunktion, Zeitfolge

Fourier-, Laplace-Transformierte einer Funktionf(t)

z-Transformierte einer Folge f(n)

Impulsantwort eines kontinuierlichen und eines

zeitdiskreten Systems

Ubertragungsfunktion

Laplace- bzw. z-Transformierte der Impulsantwort

Sprungantwort eines kontinuierlichen und eines

zeitdiskreten Systems

Dichte- und Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeit der ZufallsgroBe A

Korrelationskoeffizient

Real- und Imaginlirteil einer Fourier-Transformierten

Auto- und Kreuzkorrelationsfunktion

komplexe Variable der Laplace-Transformation

Sprungfunktion, Sprungfolge

Signumfunktion

spektrale Leistungsdichte, Kreuzleistungsdichte

Eingangssignal eines kontinuierlichen bzw. zeit

diskreten Systems

Ausgangssignal eines kontinuierlichen bzw. zeit

diskreten Systems

Zufallsvariablen

komplexe VariabIe der z-Transformation

Faltungssymbol

Korrespondenzsymbol der Fourier-, Laplace- und

z-Transformation

abweichende

Bezeichnungen in

anderen Biichem

a(ro),8(ro)

h(t),h(n)

H(jro)

H(s),H(z)

a(t),a(n)

xx( 't), XY( 't)

p=cr+jro

E(t), E(n)

Bei der Angabe der abweichenden Formelzeichen in anderen Btichem handelt es sich lediglich

urn eine Auswahl. Die Angabe einer vollstandigen Liste ist wegen der zahlreichen anderen

Bezeichnungen nicht moglich.

Einfiihrung

1m Abschnitt 1 werden die wichtigsten Beziehungen und Gleichungen zusammengestellt, die

zur Losung der Aufgaben in den Folgeabschnitten benotigt werden. Die Verwendung

einheitlicher Formelzeichen hat sich in der Systemtheorie leider noch nicht durchgesetzt. Die

groBten Unterschiede gibt es bei der Bezeichnung der Impulsantwort (hier get), sonst auch oft

h(t», der Sprungantwort (hier h(t), sonst auch oft a(t» und der Bezeichnung von

Ubertragungsfunktionen (hier G(jm), sonst auch oft H(jm». Auch fijr die komplexe Variable

von Laplace-Transformierten sind unterschiedliche Bezeichnungen Ublich (hier s, sonst oft p )

Diese unterschiedlichen Bezeichnungen sind fijr die Studentin oder den Studenten, der die

Aufgaben durcharbeiten mochte, ein zusatzliches Problem. Bei der Zusammenstellung der

Formelzeichen wird auf einige alternative Bezeichnungen kurz hingewiesen. Allerdings ist eine

vollstandige Auflistung der in der Literatur verwendeten unterschiedlichen Formelzeichen vollig

unmoglich und auch nicht sinnvoll.

Ansonsten ist der Autbau dieser AufgabensamrnIung an das Lehrbuch

System- und Signaltheorie, 3. Auflage 1994 v. O. Mildenberger

angepaBt. Verweise auf Lehrbuchabschnitte beziehen sich stets auf dieses B uch.

Die Aufgaben in den einzelnen Abschnitten sind in Aufgabengruppen mit bestimmten

Schwerpunkten unterteilt. Die jeweils letzte Aufgabengruppe eines Abschnittes enthiilt

Aufgaben, die sich auf den gesamten Stoff des betreffenden Lehrbuchabschnittes beziehen.

Diese Aufgaben sind zusatzlich mit "K" gekennzeichnet und das bedeutet, daB die Losungen in

kUrzerer Form angegeben sind. Bei den anderen Aufgabengruppen gibt es jeweils mindestens

eine, die mit "E" gekennzeichnet ist. Hierbei hanJielt es sich urn besonders charakteristische

Aufgaben zu dem betreffenden Stoffgebiet mit besonders ausfijhrlichen Losungen und oft noch

zusatzlichen Hinweisen. Es wird empfohlen diese Aufgaben zuerst zu bearbeiten.

1 Eine Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Beziehun~en und Gleichungen zusammengestellt,

die zur LOsung der Aufgaben in den Folgeabschnitten benotigt werden. Auf Beweise und

ausfiihrlichere Erliiuterungen wird dabei in der Regel verzichtet, der Leser wird hier auf das

Lehrbuch verwiesen.

1.1 Normierung

In der System- und Signaltheorie rechnet man in der Regel mit norrnierten (dimensionslosen)

GroBen. Eine Norrnierung erfolgt dadurch, daB die wirklichen GroBen auf geeignet gewiihlte

BezugsgroBen bezogen werden. Dies kann im einfachsten Fall dadurch geschehen, daB man die

Strome auf 1 A, die Spannungen auf 1 V, Zeiten auf 1 s usw. bezieht. Durch die dimensionslose

Rechnung gehen GroBengleichungen in Zahlenwertgleichungen tiber und eine Dimen

sionskontrolle der Ergebnisse ist nicht mehr moglich.

In diesem Abschnitt bezeichnen wir wirkliche dimensionsbehaftete GroBen mit dem Index "w",

die norrnierten GroBen mit dem Index "n", der Index "b" bezeichnet die (dimensionsbehafteten)

BezugsgroBen. In den Folgeabschnitten wird jedoch auf eine Indizierung verzichtet. Norma

lerweise wird norrniert gerechnet. Dort, wo gleichzeitig norrnierte und nicht norrnierte GroBen

auftreten, wird ausdriicklich darauf hingewiesen.

Wenn ffib die Bezugskreisfrequenz ist, dann ist

ffiw 21tfw fw ffi =-=-=-=j,

n ffib 21th, h, n (1.1)

die norrnierte Frequenz. Wir erkennen, daB eine Unterscheidung zwischen der Kreisfrequenz

ffill und der Frequenz fn bei den norrnierten GroBen nicht mehr notig ist.

AIle Impedanzen eines Netzwerkes werden auf einen reellen Bezugswiderstand Rb > 0 bezogen,

darnit erhalten wir die norrnierte Impedanz

z", Zn=Rb' (1.2)

Mit den beiden Gleichungen 1.1 und 1.2 gewinnt man die in der Tabelle 1.1 zusammengestellten

Beziehungen fur die Bauelemente R, L, C.

Wir beziehen nun weiterhin alle Spannungen in einem Netzwerk auf eine (beliebige)

Bezugsspannung Ub und die Strome auf den Bezugsstrom Ib = UblRb:

Uw Iw. Ub Un =-U' In =- Illlt -=Rb·

b Ib Ib (1.3)

1.1 Normierung 3

Falls wir bei Netzwerken eine Ubertragungsfunktion Gw = U2wlUlw mit der Ursache Ulw und der

Wirkung U2w ermitteln wollen, so erhalten wir mit norrnierten und mit nicht norrnierten GroBen

das gleiche Ergebnis:

Anders ist dies, wenn Ursache und Wirkung nicht beide Spannungen (oder beide Strome) sind.

1st die Ursache z.B. ein Strom und die Wirkung eine Spannung, so gilt

U2w U2n · Ub U2n Ub U2n G =-=---=-·-=Rb-=Rb·G

w I lw lIn' Ib lIn Ib lIn n'

Die sich aus den norrnierten GroBen ergebende Ubertragungsfunktion Gn = U2,/lln ergibt mit

dem Bezugswiderstand Rb multipliziert die wirkliche Ubertragungsfunktion Gw , die ja die

Dimension eines Widerstandes aufweist.

Als letzte zu norrnierende GroBe bleibt die Zeit ubrig. Wenn man z.B. ein Signal sin(ffit)

betrachtet, dann muB das (dimensionslose) Produkt ffit sicherlich im norrnierten und auch im

nicht norrnierten Fall gleich groB sein. Dies bedeutet ffiw . tw = ffin . tn und dann folgt

(1.4)

die Bezugszeit hat also den Wert tb = lIffib •

Falls bei einem System eine norrnierte Ausgangsspannung un(tn) berechnet wurde, erhalt man

die wirkliche Spannung uw(tw) = UbUn(twffib)'

Symbol Bezeichnung Bemerkung

Rn = RwlRb norrnierter Widerstand Rb > 0 (reell), Bezugswiderstand

ffin = ffiw/ffib = fwlJb norrnierte Frequenz ffib,Jb Bezugskreisfrequenz, Bezugsfrequenz

Ln = ffibLwl Rb normierte Induktivitat

Cn =ffibCwRb normierte Kapazitat

Un = UwlUb norrnierte Spannung Ub > 0 (reell), Bezugsspannung

In = Iwllb norrnierter Strom Ib = UblRb Bezugsstrom

tn = twltb = twffib norrnierte Zeit tb = 1/ffib Bezugszeit

Tabelle 1.1 Zusammenstellung der normierten GroJ3en

4 1 Eine Zusammenstellung der wichtigsten Gieichungen und Beziehungen

1.2 Wichtige Grundlagen der Signal- und Systemtheorie

Die in diesem Abschnitt angegebenen Beziehungen und Gleichungen werden imAbschnitt 2 des

Lehrbuches (bei den iilteren AUflagen Abschnitt 1) erkliirt und abgeleitet.

Elementarsignale

s(t)

11-------

o Bild 1.1 Sprungfunktion

Sprungfunktion:

t

{Ofiirt<o

s t = () 1 filr t > 0' (2.1)

s(t) kann z.B. die Eingangsspannung eines Systems annahem, die filr t <0 praktisch

verschwindet und bei t = ° sehr schnell auf 1 (V) ansteigt und diesen Wert beibehiilt. Dariiber

hinaus kann man mit s (t) oft abschnittsweise definierte Signale in geschlossener Form darstellen.

1 e ~(t)

Oe

Bild 1.2 Dirac-Impuls

e-O c5(t)

t o

Dirac-Impuls:

3(t) = lim .:\(t), £->0

o(t) = lim sin( COot) , C1b->- 'Itt (2.2)

o(t) = lim _ ~e _12/£.

£->0 "'1m:: t

Das Bild 1.2 zeigt o(t) als Grenzfall der Funktion .:\(t) im Fall £ ~ 0. Es gibt zahlreiche andere

Definitionsgleichungen filr den Dirac-Impuls, von denen zwei weitere angegeben sind. Aus dem

Bild 1.2 erkennt man, daB fiir o(t) = ° filr t :I: ° ist und weiterhin gilt

lim i-.:\(t)dt = i-o(t)dt = 1. (2.3) £ ...... 0 -00 -00

1m Rahmen der iiblichen Mathematik kann es Funktionen mit den Eigenschaften nach den GIn.

2.2 und 2.3 nicht geben, 3(t) ist eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution.

Beziehungen mit dem Dirac-Impuls

o(t) = o(-t), o(t - to) = 3(to - t), (2.4)

f(t)o(t - to) = f(to)o(t - to)' f(t)o(t) = f(O)o(t), (2.5)

f~ f('t)o(t - 't)d't = f(t), f~ f('t)o('t)d't = f(O), (2.6)

1.2 Wichtige Grundlagen der SignaI- und Systemtheorie

1 8(at)=~8(t),a :to.

5

(2.7)

Der Dirac-Impuls ist eine gerade (verallgemeinerte) Funktion (Gl. 2.4). Die Beziehung 2.6 ist

unter dem Namen Ausblendeigenschaft bekannt.

Zusammenhang zwischen dem Dirac-Impuls und der Sprungfunktion

d set) (' 8(t)=Tt, s(t)= J_ 8('t)d't. (2.8)

Die eigentlich (weil unstetig) nicht differenzierbare Sprungfunktion set) kann im Rahmen der

Theorie der verallgemeinerten Funktionen abgeleitet werden und hat die Ableitung 8(t).

Die angegebenen Rechenregeln sind sehr wichtig und werden bei zahlreichen Beispie1en

angewandt und dort teilweise auchkommentiert. Genauere Informationen tiber die Rechenregeln

und Interpretationsmoglichkeiten findet der Leser in dem Lehrbuch.

Systeme

x(t) 0- SysteM r--o y(t) yet) = T{x(t)}. (2.9)

Eingangs- Ausgangs-signal signal

Bild 1.3 System

Bei Gl. 2.9 handelt es sich urn eine Operatorenbeziehung, die ausdrtickt, daB das Ausgangssignal

yet) des Systems von seinem Eingangssignal x(t) abhangt.

Zusammenstellung von Systemeigenschaften

Linearitiit:

(2.10)

Eine Multiplikation des Eingangssignales mit k hat die Multiplikation des Ausgangssignales

mit dem gleichen Faktor k zur Folge. Auf auf die (gewichtete) Summe von Eingangssignalen

reagiert ein lineares System mit der (gewichteten) Summe der entsprechenden Ausgangssignale.

Der aus der Elektrotechnik bekannte Dberlagerungssatz ist eine spezielle Formulierung der

Linearitatseigenschaft.

Zeitinvarianz:

T{x(t)}=y(t), T{x(t-to)} = y(t-to)· (2.11)

Ein zeitinvariantes System reagiert auf ein (urn to) verschobenes Eingangssignal mit dem urn

die gleiche Zeit verschobenen Ausgangssignal.

6 1 Eine Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Stabilitiit:

I yet) I<N < 00, wenn I x(t) I<M < 00. (2.12)

Stabile Systeme reagieren auf (gleichm1iBig) beschrankte Eingangssignale mit ebenfalls

(gleichm1iBig) beschrankten Ausgangssignalen.

Kausalitiit:

aus x(t)=O fUr t<to folgt y(t)=O fiir t<to. (2.13)

Ein kausales System kann erst dann auf ein Eingangssignal reagieren, wenn dieses "eingetroffen"

ist. 1m Gegensatz dazu kann bei einem nichtkausalen System die Reaktion yet) schon vor der

Ursache x(t) eintreffen. Nichtkausale Systeme sind nicht realisierbar, fiir theoretische Unter

suchungen sind sie aber von Wichtigkeit. 1m folgenden wird stets Linearitat und Zeitinvarianz

vorausgesetzt. Auf die Einhaltung der Stabilitat und Kausalitat wird bisweilen verzichtet.

Sprungantwort und Impulsantwort

Die Systemreaktion yet) auf das Eingangssignal II Sprungfunktion II x(t)::;: set) wird als

Sprungantwort h(t) bezeichnet, d.h. h(t) = T{s(t)}. Die Systemreaktion yet) auf das

Eingangssignal "Dirac-Impuls" x(t) = oct) heiBt ImpuIsantwort get) = T{o(t)}. Zwischen

diesen beiden Systemreaktionen bestehen folgende Zusammenhlinge

d h(t) (' g(t) = ----;]f' h(t) = J_ g('t)d't.

Notwendig und hinreichend fiir die Stabilitat eines Systems ist die Eigenschaft

J~ I g(t) I dt <K < 00,

notwendig und hinreichend fiir die Kausalitat die Eigenschaft

g(t)=O fiir t<O.

Faltungsintegral

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Bei Kenntnis der Impulsantwort konnen Systemreaktionen auf beliebige Eingangssignale mit

dem Faltungsintegral berechnet werden:

y(t) = J~ x('t)g(t -'t)d't= J~ x(t -'t)g('t)d't. (2.17)

Diese Gleichungen werden bisweilen in der Kurzform y(t) = x(t)*g(t) = g(t)*x(t) dargestellt.

Ubertragungsjunktion

Ein lineares zeitinvariantes System reagiert auf das Eingangssignal x(t) = e jIDt mit

yet) = G(jO))e jIDt • Das Eingangssignal e jIDt wird mit dem (noch von 0) abhangigen) Faktor G(jO))

multipliziert. Aus diesem Zusammenhang erhaIt man die Ubertragungsfunktion

G(jO)) = yet) I ' x(t) X(I):.!""

(2.18)

1.3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen 7

wobei die Bedingung "x(t) = e jrot" keinesfalls wegge1assen werden darf. Aus G1. 2.18 folgt

x(t) = cos(rot) => yet) = Re{ GUro)e jrot }, x(t) = sin(rot) => yet) = Irn{ GUro)e jrot }. (2.19)

Bei Kenntnis der Irnpulsantwort kann die Ubertragungsfunktion auch nach der Beziehung

GUro) = f~g(t)e-jrotdt (2.20)

berechnet werden. In dieser Form ist GUro) als Fourier-Transformierte der Irnpulsantwort

interpretierbar und es gilt die Rucktransformationsbeziehung (siehe Abschnitt 1.3)

1 (= . g(t) = 2nJ_ GUro)eJrotdro. (2.21)

Fur die durch die GIn. 2.20,2.21 angegebenen Zusammenhange wird oft die Kurzschreibweise

get) 0- GUro) verwandt. Dabei ist 0- ein sogenanntes Korrespondenzsymbol.

Bei Netzwerken kann GUro) mit der komplexen Rechnung ermittelt werden und ist eine in jro

gebrochen rationale Funktion mit reellen Koeffizienten:

ao+aJro+ahro)2+ ... +amUro)'" GUro) = 2 1 ,m ~n.

bo+bJro+b2Uro) + ... +bn-1Uror + Uro)" (2.22)

Das Nennerpolynom von GUro) ist bei stabilen Systemen ein Hurwitzpolynom, dies bedeutet,

daB alle n Nullstellen negative Realteile aufweisen mussen (siehe Abschnitt 1.5).

Differentialgleichung

Lineare zeitinvariante Systeme konnen durch Differentialgleichungen der Form

y(n) + bll_1y(n-l) + ... +b1y'(t)+ boy(t) = amx(m) + am_1x(m-l) + ... +a1x'(t) +aoX(t) (2.23)

beschrieben werden. Die Koeffizienten in der Differentialgleichung entsprechen denen der

Ubertragungsfunktion in ihrer gebrochen rationalen Form (Gl. 2.22).

1.3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen

Die in diesem Abschnitt angegebenen Beziehungen und Gleichungen werden im Abschnitt 3 des

Lehrbuches (bei den iilteren Auflagen Abschnitt 2) erkliirt und abgeleitet.

Fourier-Reihen

Periodische Funktionen konnen durch Fourier-Reihen dargestellt werden. 1st !(t) eine

periodische Funktion mit der Periode T, d.h. !(t) = !(t ± vT), v = 0, ±1, ±2 ... , dann gilt:

8 1 Eine Zusarnmenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

reelle Form

a = = f(t) = 20 + v~}avcos(vroot) + bvsin(vClV)] = v;o cvcos(vroot + q>v),

21t ro--0- T'

2 iT/2 2 iTI2 av =- f(t)cos(vroot)dt, bv =- f(t)sin(vroot)dt, T -T/2 T -T/2

cv=...ja;+b;, q>v=-Arctan(bjav), v=O, 1,2, ...

komplexe Form

(3.1)

(3.2)

Die komplexe Form (01. 3.2) kann mit der Beziehung Cv = O,5(av -jbv) in die reelle Form nach

01. 3.1 iiberfiihrt werden. Bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten kann der

Integrationsbereich (-T/2 ... T12) durch einen beliebigen anderen (zusammenhangenden)

Bereich der Breite T ersetzt werden. Bei Fourier-Reihen unstetiger Funktionen nehmen die

Fourier-Koeffizienten bei groBen Indexwerten mit l/v abo An Sprungstellen vonf(t) weist die

Fourier-Approximation "Uberschwinger" auf, die auch bei Approximationen mit beliebig vielen

Reihengliedem nicht verschwinden und ca. 9% betragen. Man spricht von dem Oibbs'schen

Phanomen. Bei stetigen Funktionen wird durch die Fourier-Approximationen eine gleichmiiBige

Konvergenz erreicht. Die Reihenglieder nehmen bei groBen Indexwerten mit mindestens l/v2

abo

Fourier-Transformation

Einer Funktion f(t) wird gemiiB G1. 3.3 umkehrbar eindeutig eine Funktion, die Fourier

Transformierte F U ro), zugeordnet. Diese Zuordnung wird mit dem Korrespondenzsymbol durch

die Schreibweise f(t) 0- FUro) ausgedriickt. FUro) wird auch als Spektrum von f(t)

bezeichnet. Bei 1 F U ro) 1 spricht man bisweilen von dem Amplitudenspektrum, bei der

Winkelfunktion q>(ro) = LFUro) (siehe G1. 3.4) von dem Phasenspektrum.

Grundgleichungen

FUro)= (=f(t)e-jCJJtdt, f(t)=~ (= FUro)ejCJJtdro, J~ 21tJ~ (3.3)

Kurzschreibweisen: f(t) 0- FUro), FUro) = F{f(t)} ,J(t) = F-1 {FUro)}.

Darstellungsarten

FUro) =R(ro)+ jX(ro) =1 FUro) lejCP{IDl,

R(ro) = R(-ro) = f~f(t)cos(rot)dt, X(ro) = -X(-ro) = - f~ f(t)sin(rot)dt, (3.4)

1 FUro) 1=1 F(-jro) 1= ~R2(ro) + X2(ro), q>(ro) = -<p(-ro) = arctan X(ro) . R(ro)

1.3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen

Eigenschaften

Hinreichende Existenzbedingung: J~ If(t) I dt<oo

gerade Funktionen: f(t) = f(-t) 0-F(jm) =R(m)

ungerade Funktionen: f(t) = -f(-t) 0-F(jm) = jX(m)

LineariUit: kLh(t) + kJz(t) 0- k1F1(jm) + /s.F2(jm)

Vertauschungssatz: F(jt) 0- 2rcf(-m) (f(t) 0-F(jm))

Zeitverschiebungssatz: f(t - to) 0-F(jm)e -jroto

Frequenzverschiebungssatz: F(jm - jffio) -0 f(t)/"'cI

Differentiation im Zeitbereich: ;"\t) 0- (jm)" F(jm)

Differentiation im Frequenzbereich: F(")(jm) -0 (-jt)"f(t)

Faltung im Zeitbereich: J~ J;('t)fz(t -'t)d't = J;(t)*fz(t) 0-F1(jm)F2(jm)

.. 1 Ahnlichkeitssatz: f(at)o--F(jmla), a:;tO

la I

r~ 1 r~ Parseval'sches Theorem: J_f(t)dt = 2rcJ_ I F(jm) f dm

Diskrete Fourier-Transformation

9

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

f(t) sei ein im Bereich 0::; t < To auftretendes Signal mit einer endlichen Dauer To oder auch ein

"Signalausschnitt" in diesem Zeitbereich. Durch Abtastung von f(t) im Abstand T = Tr/N

entstehtein zeitdiskretes Signal mit den N Abtastwertenf(0),f(T),f(2T) ... f«N - 1 )T). Diesem

zeitdiskreten Signal wird die diskrete Fourier-Transforrnierte N-l

F(mQ)= Lf(nT)e-j21f1JmIN, m=O,I, ... ,N-l, QT=21t1N (3.18) n=O

zugeordnet und es gilt die Riicktransformationsformel

1 N-l f(nT) =- L F(mQ)ej27rT1mIN, n = 0,1, ... ,N -1. (3.19)

Nm=o

Die sogenannte schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein spezieller Algorithmus mit dem

die diskrete Fourier-Transformation besonders schnell durchgefiihrt werden kann.


Abtasttheorem

Istf(t) ein mit der Grenzfrequenzh bandbegrenztes Signal, d.h. FUro) = 0 fUr 1 ro I> rog = 21th,

dann gilt

~ sin[rog(t -v1t/rog)] f(t) = L f(v1t/rog ) •

v=_ rog(t -v1t/rog) (3.20)

Dies bedeutet, daB ein mit h bandbegrenztes Signal f(t) durch seine Abtastwerte

f(v1t/rog ) = f(v /(2h» im Abstand 1/ (2h) vollstandig (d.h. ohne Informationsverlust) beschrieben

wird. Das Abtasttheorem ist die Grundlage fUr aile Pulsmodulationsverfahren.

Berechnung von Systemreaktionen mit der Fourier-Transformation

Ein Vergleich von Gl. 2.20 mit der Definitionsgleichung 3.3 fUr FUro) zeigt, daB die Uber

tragungsfunktion G Uro) eines Systems aIs Fourier-Transformierte der Impulsantwort g (t) dieses

Systems interpretiert werden kann, get) 0- GUro).

Zwischen den Fourier-Transformierten XUro) des EingangssignaIes und YUro) des Ausgangs

signaIes des Systems besteht der wichtige Zusammenhang

YUro) = XUro)GUro). (3.21)

Daraus ergibt sich folgender Weg zur Ermittlung von Systernreaktionen im Frequenzbereich:

x(t) 0- gCt) 0- GCJ w)

\ f-o y(t)

/

a) Ermittlung des Spektrums XUro) des Eingangs

signaIes x(t), b) Berechnung des Spektrums Y U ro) = XU ro)G U ro)

des AusgangssignaIes yet), c) RUcktransformation von YUro).

X(j w) G(j w) = Y(j w)

Bild 1.4 Berechnung von Systemreaktionen

f ~ 1 f~ . XUro) = _ x (t)e-jrotdt, x(t) =- XUro)eJrotdro _ 21t _ (3.22)

f ~ 1 f~ . YUro) =_ y(t)e-jrotdt, yet) =- YUro)eJrotdro _ 21t _

FUr Systeme mit einem und mit zwei Energiespeichem lassen sich geschlossene Gleichungen

fUr die Impuls- und Sprungantwort ableiten.

1.4 Ideale Ubertragungssysteme II

Systeme mit einem Energiespeicher

.. ao+aJOO Ubertragungsfunktion: G U (0) b . , bo> 0

o+JOO

(3.23)

Systeme mit zwei Energiespeichem

. ao + aJoo+ a2Uoo)2 Ubertragungsfunktion: GUoo) = b b' U f' bo> 0, b1 > 0

0+ tlOO+ 00

Impulsantwort: get) = ai>(t) + s(t){ A1ePI' + A2e P2tl, Bedingung: P1 :f:. P2 (3.24)

Sprungantwort: h(t) = s(t){a2 + A1 (e Plt _ 1)+ A2(eP,r - 1)}, Bedingung: P1 :f:. P2 P1 P2

{ b1 ~~ P =--+ --b 1,2 2 - 4 0,

1.4 Ideale Ubertragungssysteme



Darstellung von Ubertragungsfunktionen

Eine Ubertragungsfunktion kann zunachst auf folgende Arten dargestellt werden:

GUoo) = R(oo) + jX(oo) = 1 GUoo) 1 eNrOl), (4.1)

dabei gilt

1 GUoo) 1= --JR\oo) + X2(oo), <p(oo) = arctan [X (oo)/R (00)]. (4.2)

Die Hilbert-Transformation beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Real- und Ima

ginarteil kausaler Systeme

R(OO)=R(oo)+.!. (= X('A~ d'A, X(OO)=-.!. (= R('A~ d'A. rrJ_oo-1\, rrJ_oo-1\,

Aus der Darstellung

GUoo) = e -[A (0»+ j8(0l)] = e -A (Ol)e -j8(0l) = 1 GUoo 1 e -j8(0l)

erhhlt man die Dampfung und die Phase

(4.3)

(4.4)

A(ro) = -Inl GUro) I, B(ro) = -<p(ro). (4.5)

A(ro) ist eine gerade Funktion und B(ro) eine ungerade. Statt der Dampfung in Neper (bei Gl.

4.5) verwendet man in der Praxis meistdie Dampfung in der (Pseudo-) Einheit Dezibe1 (dB)

A (ro) = -201g I GUro) I .

Dabei gilt A (ro) = 20lg e . A(ro) "" 8,686· A (ro).

Die Gruppenlaufzeit und die Phasenlaufzeit werden durch die Beziehungen

T = d B(ro) T = B(ro) g dro' P ro

(4.6)

definiert.

Verzerrungsfreie Ubertragung

Bei einem verzerrungsfrei iibertragenden (kausalen) System gilt der Zusammenhang

y(t)=Kx(t-to), K>O,to~O. (4.7)

Das Eingangssignal wird Iediglich mit einem Faktor multipliziert und urn to verzogert.

Aus der Definition get) = T{o(t)} (siehe Abschnitt 1.2) erhlilt man die Impulsantwort des

verzerrungsfrei iibertragenden Systems

get) = Ko(t-to)· (4.8)

Durch Fourier-Transformation (siehe Abschnitt 1.3) ergibt sich daraus die Ubertragungsfunktion

GUro) = Ke-jOJio. (4.9)

Durch Vergleich dieser Ubertragungsfunktion mit der Form nach Gl. 4.4 findet man

A (ro) = -InK, B(ro) = roto. (4.10)

Ein verzerrungsfrei iibertragendes System hat eine konstante Dampfung und eine (mit der

Frequenz) linear ansteigende Phase.

Idealer Tiefpa8

Das Bild 1.5 zeigt die Ubertragungsfunktion eines idealen Tiefpasses. Er hat im DurchlaBbereich

die konstante Dampfung A = -InK, die Dampfung im Sperrbereich ist unendlich groB. Die

Phase hat einen linearen Verlauf.

K IGeJ W)I BCw)= ~to [dealer TiefpafJ

w

GUro) ={Ke -jWlo fur I ro I<rog (4.11)

o fur I ro I> rog

Bild 1.5 [dealer Tiefpaj3

1.4 Ideale Obertragungssysteme 13

Da die Ubertragungsfunktion im Bereich 1 00 1< oog mit der eines verzerrungsfrei iibertragenden

Systems iibereinstimmt (Gl. 4.9), werden Signalemit Spektralanteilen ausschlieBlich imBereich

1 00 1< oog von dem idealen TiefpaB verzerrungsfrei iibertragen.

Durch Fourier-Riicktransformation von GUoo) erhiilt man die unten skizzierte Impulsantwort.

Impulsantwort

(4.12)

t

Bild 1. 6 Impulsantwort (idealer Tiefpaj1)

Aus dem Verlauf erkennt man, daB der ideale TiefpaB ein nichtkausales System ist (siehe Gl.

2.16). AuBerdem ist der ideale TiefpaB ein instabiles System, die Bedingung gemiiB Gl. 2.15 ist

nicht erfiillt.

Die Sprungantwort kann mit Gl. 2.14 berechnet werden, mit der Integralsinus-Funktion

. lxsinu Sl(X) = -du

o u

erhiilt man das unten dargestellte Ergebnis.

K

K 2"

o Bild 1.7 Sprungantwort (idealer Tiefpaj1)

t

Sprungantwort

h(t)=!f.+!f.Si[oo (t-t)] 2 1t g 0

angeniiherte Sprungantwort

h (t) (siehe Bild 1.7)

Einschwingzeit

1t 1 T=-=

e oog 2/g

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Die angeniillerte Sprungantwort h (t) entsteht folgendermaBen. Bei to wird eine Tangente an h (t)

gelegt. Unterhalb des Schnittpunktes der Tangente mit der Abszisse gilt h(t) = o. Wenn die

Tangente den Wert K erreicht, wird h(t) = K. Die Einschwingzeit Te des idealen Tiefpasses (Gl.

4.15) ist die Zeit, in der h(t) von 0 auf den Endwert K ansteigt (siehe Bild 1.7).

14 1 Eine Zusamrnenstellung def wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Tiefpafisysteme mit linearem Phasenverlauf

Es gilt

G(joo) = {I G(joo) I e -jroto fUr I 00 1< oog ,

° fUr I 00 I> OOg

wobei I G (j (0) 1= K den Fall des idealen Tiefpasses bedeutet.

FUr die Impulsantwort erhlilt man die Beziehung

(4.16)

(4.17)

g(t) hat einen zu to symmetrischen Verlauf und daraus folgt, daB Tiefpasse mit linearer Phase

nicht kausal sind. Die Impulsantwort hat ein absolutes Maximum bei to:

1 f OJg g(to) =-2 I G(joo) I doo~1 g(t) I.

1t -<ilg

FUr die Einschwingzeit erhlilt man die Gleichung

Te = 21tG(0) .

r OJg I G(joo) I doo

J-<ilg

(4.18)

(4.19)

Der Leser kann nachkontrollieren, daB man aus dieser Beziehung fUr den idealen TiefpaB Te

nach Gl. 4.15 erhlilt.

Bine Fourier-Reihenentwicklung der (periodisch fortgesetzten) Betragsfunktion I G(joo) I fUhrt

zu den Beziehungen

(4.20)

Die Fourier-RUcktransformation von G(joo) =1 G(joo) I e -jroto ergibt die Impulsantwort

(4.21)

Aus dieser Beziehung erkennt man, daB sich linearphasige Tiefpasse durch eine Zusam

menschaltung idealer Tiefpasse approximieren lassen.

Besonders bekannt ist der (linearphasige) Cosinus-TiefpaB mit dem Betragsverlauf

. {0,5[1 +cos(1tOO/OOg )] fUr 100 I<OOg

I G(joo) 1= ° fUr 100 I> OOg • (4.22)

1.4 Ideale Ubertragungssysteme 15

Idealer Hochpa.8

Das Bild zeigt die Ubertragungsfunktion eines idealen Hochpasses. Er hat im DurchlaBbereich

die konstante Dampfung A ==-lnK, die Dampfung im Sperrbereich ist unendlich groB. Die

Phase hat einen linearen Verlauf. Der ideale HochpaB ist ein nichtkausales System.

IG(j w)1 K

Bild 1.8 Idealer Hochpaj3

BCw)= wto

w

Idealer HochpafJ

G (j 0) == {K e -jroto flir 1 0) 1 > O)g

o fur 1 0) 1< 0) g

Die Ubertragungsfunktion des Hochpasses kann auch in der Form

G(jO) == Ke -jroto - GT(jO)

(4.23)

(4.24)

als Differenz der Ubertragungsfunktion eines verzerrungsfrei iibertragenden Systems (Gl. 4.9)

und eines Tiefpasses (mit gleichen Werten K, O)g und to) dargestellt werden. Aus dieser

Darstellungsart findet man die Impuls- und Sprungantwort

sin[O)g(t - to)] K K g(t)==Ko(t-to)-K )' h(t)==Ks(t-to)--2--Si[O)g(t-to)]. (4.25)

1t(t - to 1t

Si(x) ist die gemliB Gl. 4.13 definierte Integralsinusfunktion.

Idealer Bandpa8

Das Bild 1.9 zeigt die Ubertragungsfunktion

G (j 0) == {K e -jroto fur 0)1 < 1 0) 1< ffi:l o fur I 0) 1< 0)1 und 1 0) 1 > ffi:l

(4.26)

eines idealen Bandpasses. Er hat im DurchlaBbereich die konstante Dampfung A == -InK, die

Dampfung im Sperrbereich ist unendlich groB. Die Phase hat einen linearen Verlauf. Der ideale

BandpaB ist ein nichtkausales System.

BCw)= wto ... IG(jw)1

Bild 1.9 Idealer Bandpqf3

Idealer BandpafJ

Bandbreite: B == ffi:l- 0)1

Mittenfrequenz: roo == 0,5(0)1 + Oh)

16 1 Eine Zusamrnenstellung def wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Durch Fourier-Riicktransformation von G(jro) erhlilt man die Impulsantwort

g(t) = (2K ) sin[0,5B(t - to)] cos[roo(t - to)]. 1t t-to

Reaktion eines Bandpasses auf ein amplitudenmoduliertes Signal

Amplitudenmoduliertes Signal

(4.27)

net) ist ein Signal, das amplitudenmoduliert werden solI, cos(ffiot) die Tragerschwingung. Dann

ist

x(t) =A [1 +m n(t)]cos(root) =A cos(root)+A m n(t)cos(root) (4.28)

das amplitudenmodulierte Signal. n (t) ist in der Amplitude der Tragerschwingung cos(root)

"enthalten". A ist eine beliebige Konstante, m der Modulationsgrad.

Spektrum des amplitudenmodulierten Signales

Durch Fourier-Transformation von x(t) erhlilt man

X(jro) =A1to(ro- roo) + A1to(ro+ roo) +~AmN(jro- jroo) +~AmN(jro+ jroo). (4.29)

Darin ist N(jro) das Spektrum des Signales net).

Das Bild 1.10 zeigt das (bandbegrenzte) Spektrum N(jro) und das Spektrum X(jro) des

amplitudenmodulierten Signales. Man erkennt, daB die Amplitudenmodulation lediglich eine

Verschiebung des Spektrums von n (t) bedeutet. Die Dirac-Anteile entstehen durch die

Tragerschwingung cos (root) in x(t).

IX(Jw)1

IN(jw)1 ~AMIN(jw+ jwo)1 A1Io(w+ wo) A1Io(w-wo) ~AMIN(jw- jwo)1

a Bild 1.10 Spektrum eines amplitudenmodulierten Signales

Wenn die Tragerfrequenz ffio von x (t) mit der Mittenfrequenz ffio eines Bandpasses iibereinstimmt

und zusatzlich rog < B/2 ist, wird x(t) durch diesen BandpaB verzerrungsfrei iibertragen, dann

gilt

yet) = Kx(t - to) = KA [1 + m net - to)] cos[roo(t - to)].

Falls der Phasenverlauf des Bandpasses nur im DurchlaBbereich linear verlauft, erhlilt man

yet) = KA [1 + m net - Tg)] cos[roo(t - Tp)]. (4.30)

Tg ist die Gruppenlaufzeit und Tp die Phasenlaufzeit (siehe Gl. 4.6).

1.5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen 17

Ideale Bandsperre

Das Bild zeigt die Ubertragungsfunktion einer idealen Bandsperre. Sie hat im DurchlaBbereich

die konstante Diimpfung A ==-InK, die Diimpfung im Sperrbereich ist unendlich groB. Die

Phase hat einen linearen Verlauf. Die ideale Bandsperre ist ein nichtkausales System.

B(w)= wto

,....- ......

Ideale Bandsperre

Bandbreite: B == <Oz - 0)1

Mittenfrequenz: COo == 0,5(0)1 + <Oz)

BiM 1.11 Ideale Bandsperre

G(jO)) kann als Differenz der Ubertragungsfunktion eines verzerrungsfrei tibertragenden.

Systems (Gl. 4.9) und der eines Bandpasses (Gl. 4.26) mit gieichen Werten K, 0)1' <Oz, und to

dargestellt werden:

G(jO)) == Ke -jroto - GB(jO)). (4.31)

Aus dieser Beziehung erhaIt man durch Fourier-Rticktransformation die Impulsantwort

g(t)==Ko(t-to)- (2K )sin[0,5B(t-to)]cos[0)0(t-to)]. (4.32) 1tt-to

1.5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen

Die in diesem Abschnitt angegebenen Beziehungen und Gleichungen werden imAbschnitt 5 des


Grundgleichungen und Eigenschaften

Einer Funktionf(t) mit der Eigenschaft f(t) == 0 ftir t < 0 wird gemaB Gl. 5.1 urnkehrbar eindeutig

eine Funktion, die Laplace-Transforrnierte F(s), zugeordnet. Dabei ist s == cr + j 0) eine komplexe

Variable. Die Zuordnung der beiden Funktionen wird mit dem Korrespondenzsymbol durch die

Schreibweise f(t) 0-F(s) ausgedrtickt. Bei F(s) spricht man von dem Bildbereich oder

manchmal auch von dem Spektrum vonf(t).

Grundgleichungen

l~ 1 lCJ+j~ F(s)== f(t)e-'''dt, f(t)==-. F(s)estdt,

0- 21tJ CJ-j~ (5.1)

Kurzschreibweisen: f(t) o-F(s), F(s) == L{f(t) },f(t) == L-1{F(s)}.

Eine Funktion mit der Eigenschaft f(t) = 0 fUr t < 0 besitzt genau dann eine Laplace

Transformierte F(s), wenn eine (reelIe) Konstante 0' so gewlihlt werden kann, daB

1- lf(t) 1 e-<Jldt < 00 (5.2)

ist. Wenn 0' der kleinstmogliche Wert ist, bei der diese Bedingung erfiilIt ist, dann existiert F (s )

filr aile Werte von s mit Re s > 0'. Diesen Wertebereich von s nennt man den Konvergenzbereich

der Laplace-Transformierten.

Zusiitzliche Bemerkungen:

1. Der Integrationsweg bei der Rficktransformationsgleichung 5.1 muB volIstandig im

Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten Iiegen.

2. Die untere Integrationsgrenze "0-" bei der Formel filr F(s) erlaubt die Zulassung von

Zeitfunktionen mit bei t = 0 auftretenden Dirac-Impulsen.

3. Bei F(s) nach Gl. 5.1 spricht man von einer "einseitigen" Laplace-Transformierten. Bei der

(hier nicht behandelten) zweiseitigen Laplace-Transformierten werden auch Zeitfunktionen

ohne die Einschriinkungf(t) = 0 filr t < 0 zugelassen.

Eigenschaften

Es gelten die Korrespondenzen f(t) 0-F(s), J;(t) 0-F,(s), fz(t) 0-F2(S). Der Kon

vergenzbereich von F(s) solI bei Res> 0', der von F,(s) bei Res> 0', und der von F2(S) bei

Re s > 0'2 Iiegen.

Zeitverschiebungssatz: f(t - to) 0-F(s)e -SIO, to;;:: 0, Res> 0'

Differentiation im Zeitbereich: fn)(t) 0- sn F(s), Res> 0'

Differentiation im Frequenzbereich: F(n)(s) -0 (-lttnf(t), Res> 0'

Faltung im Zeitbereich: J;(t)*fz(t) o-F,(s)F2(s), Res> max(0"'0'2)

Anfangswerttheorem: f(O+) = lim{sF(s}} S-+-

Endwerttheorem: f(oo) = Iim{sF(s}}, Existenz von f(oo) vorausgesetzt s-+o

Der Zusammenhang zur Fourier-Transfonnation

(5.3)

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

Ffir s = jro, d.h. 0' = 0 geht die Laplace-Transformierte F(s) einer Funktionf(t) formal in die

Fourier-Transformierte F(jro) dieser Funktion fiber (siehe Gl. 3.3 mit der Zusatzbedingung

f(t) = 0 filr t < 0). Die Beziehung F(jro) = F(s = jro) ist jedoch nur dann giiltig, wenn die

jro-Achse im Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten Iiegt. Wenn die jro-Achse

auBerhaib des Konvergenzbereiches liegt, existiert filr das betreffende Signalf(t) keine

Fourier-Transformierte. Wenn die jro-Achse den Konvergenzbereich begrenzt (Konver

genzbereich: Re s > 0), sind keine eindeutigen Aussagen moglich. In vielen Hillen enthiilt die

Fourier-Transformierte dann zusatzliche Dirac-Anteile. Der Leser wird hierzu auf die

Ausflihrungen im Lehrbuchabschnitt 5.1.3 verwiesen.

Rationale Laplace-Transfonnierte

(5.10)

Die Koeffizienten a)l' bv (IJ, = 0 .. . m, v = O . .. n) sollen reell sein. SOft sind die Nullstellen des

Zahlerpolynoms PI(S), s=v die Nullstellen von PZCs) bzw. die Poistellen von F(s). Infolge der

reellen Koeffizienten konnen nur reelle Null- und Poistellen oder konjugiert komplexe Null

und Poistellenpaare auftreten.

Pol-Nullstellenschema

Ais Darstellungsmittel ftir rationale Laplace-Transformierte F(s) ist das Pol-Nullstellenschema

von Bedeutung. Man erhalt es, wenn in der komplexen s-Ebene die Pol- und Nullstellen von

F (s ) markiert werden (Pole durch Kreuze, N uIlstellen durch Kreise). Das Pol-N ullstellenschema

(Abk. PN-Schema) beschreibt F(s) bis auf eine Konstante. Der Konvergenzbereich von F(s)

liegt im PN-Schema rechts von der Poistelle mit dem groBten Realteil. Wenn alle Pole von F (s)

in der linken s-Halbebene liegen, handelt es sich beif(t) urn eine "abklingende" Funktion mit

der Eigenschaft f(t) -70 flir t -700. Falls (mindestens) ein Pol im Bereich Res> 0 liegt, gilt

If(t) 1-7 00 flir t -7 00.

Riicktransformation bei einfachen Poistellen

1m FaIle echt gebrochen rationaler Funktionen (m < n) gilt bei n einfachen Polen die Darstellung

mit

(5.12)

Die Av in Gl. 5.11 bezeichnet man als Entwicklungskoeffizienten oder Residuen. Die zu reellen

Polen gehorenden Residuen sind reell, zu konjugiert komplexen Polpaaren gehoren konjugiert

komplexe Residuen. Die Gleichung zur Berechnung von Av ist so zu verstehen, daB zuerst F (s)

mit (s - s=v) multipliziert wird. Dieser Faktor ktirzt sich gegen den gleichen im Nenner von F (s)

stehenden Ausdruck weg. Danach ist s = s=v einzusetzen.

Durch Rticktransformation der Partialbrtiche in Gl. 5.11 (siehe Korrespondenzentabelle im

Anhang A.2) erhiilt man die Zeitfunktion

(5.13)

20 1 Eine Zusanunenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Aus dieser Beziehung erkennt man, daB ein positiver Realteil einer der Poistellen (Re s .... > 0 )

zu einer Funktion mit der Eigenschaft If(t) 1--+ 00 fUr t --+ co fUhrt. Haben alle Pole negative

Realteile, dann giltf(t) = 0 fUr t --+ co.

Falls Zahler- und Nennergrad von F(s) iibereinstimmen (m =n), erreicht man durch

Polynomdivision die Form F(s) = K + F(s). Dabei ist F(s) eine echt gebrochen rationale

Funktion, die in der oben beschriebenen Art behandelt werden kann. Mit der Korrespondenz

3(t) 0-1 wird dann f(t) = K3(t) + /(t), wobei /(t) die Laplace-Riicktransformierte der (echt

gebrochen rationalen) Funktion F(s) ist.

Riicktransformation bei mehrfachen Polstellen

Zur Erkllirllng geniigt es eine (echt gebrochen rationale) Funktion zu betrachten, die (neben

moglicherweise anderen Poistellen) eine k-fache Poistelle bei s = s_ aufweist. Dann gilt

F(s) = PI(S~ . (5.14) (s -S_)kP2(S)

Das Polynom P2(S) hat die moglicherweise weiteren Nennernullstellen von F(s). Die Partial

bruchentwicklung von F(s) fUhrt auf die Form

AI A2 Ak -F(s)=--+ 2+ ... + k+F(s).

s -s_ (s -s_) (s -s_) (5.15)

F(s) enthalt die restlichen zu den anderen Polen gehOrenden Partialbriiche. Die Koeffizienten

in Gl. 5.15 berechnen sich nach folgender Beziehung:

1 dk - p k

Ap = (k _ J1)! dsk-P {F(s)(s -s_) }'='.' J1 = 1.. .k. (5.16)

Die zu reellen Polen gehorenden Residuen sind reell, zu konjugiert komplexen Polpaaren

gehOren konjugiert komplexe Residuen.

Zur Riicktransformation benotigt man die Korrespondenz (siehe Tabelle im Anhang A.2)

t n '.1 1 s(t)-, e 0- I' n = 0,1,2, ...

n. (s -s_t+ (5.17)

Dann wird mit F(s) entsprechend Gl. 5.15

".1 '.1 tk - I '.1 _ f(t)=Als(t)e +A2s(t)te + ... +Aks(t)(k_l)!e +f(t). (5.18)

/(t) ist die zu F(s) gehOrende Zeitfunktion. Solange F(s) nur einfache Pole hat, erfolgt die

Riicktransformation nach der oben besprochenen Methode. Enthalt F(s) mehrfache Pole, so

erfolgt nochmals eine Behandlung entsprechend Gl. 5.14.

Berechnung von Systemreaktionen

Die Impulsantwort eines kausaIen Systems hat die Eigenschaft get) = 0 fur t < O. Daher kann

man bei kausaIen Systemen die Laplace-Transformierte

G(s)= i~ g(t)e-stdt (5.19)

der Impulsantwort berechnen. Flir G(s) verwendet man ebenfalls die Bezeichnung Ubertra

gungsfunktion, obwohl dieser Begriff eigentlich aIs Namen fur die Fourier-Transformierte

GUro) der Impulsantwort (siehe Gl. 2.20) vergeben ist.

Systeme, die aus endlich vielen konzentrierten (zeitunabhiingigen) Bauelementen aufgebaut

sind, besitzen rationaIe Laplace-Transformierte

aO+als +a2sz+ ... +amsm G(s)= z 1

bo+b1s +bzs + ... +bn_1sn- +Sn (5.20)

G (S ) ist genau dann die Ubertragungsfunktion eines linearen, kausaIen und stabilen Systems,

wenn

a) der Zahlergrad m den Nennergrad n nicht libersteigt, m ::; n,

b) aIle Polstellen von G(s) negative ReaIteile haben, aIso in der linken s-Halbebene liegen.

Hinweis:

Das Nennerpolynom P2(S) = bo+b1s + ... +bn_1sn- 1 +sn von G(s) hat bei stabilen Systemen

nur Nullstellen mit negativen ReaIteilen. Polynome mit solchen Eigenschaften werden aIs

Hurwitzpolynome bezeichnet. Eine notwendige Bedingung flir ein Hurwitzpolynom ist, daB

aIle Polynomkoeffizienten vorhanden und entweder aIle positiv oder negativ sein mlissen.

Da bei stabilen Systemen aIle Pole links der j ro -Achse liegen, gehOrt die imaginare Achse voll

zum Konvergenzbereich. Dies bedeutet, daB bei stabilen Systemen stets auch die

Fourier-Transformierte der Impulsantwort G U ro) existiert. Die Laplace-Transformierte der

Impulsantwort G (s) kann daher auch so bestimmt werden, daB z.B. mit der komplexen Rechnung

G U ro) ermittelt und dort j ro durch s ersetzt wird.

Hat das EingangssignaI eines kausalen Systems die Eigenschaft x(t) = 0 fur t < 0, dann besteht

zwischen den Laplace-Transformierten des Ein- und AusgangssignaIes der (im Bild 1.12

dargestellte) wichtige Zusarnmenhang:

x(t)-Ofort<O yes) =X(s)G(s). (5.21) x(t) ~ get) I>- G(s) f-o y(t)

\ g(t)=O fOrt<O

/ xes) G(s) = yes)


Die Berechnung mit Gl. 5.21 ist oft einfacher als mit der entsprechenden Beziehung

Y(j ro) = X (j ro)G (j ro) bei der Fourier-Transformation. Bei rationalen Laplace- Transformierten

G(s) und Xes) ist die RUcktransformation der dann ebenfalls rationalen Funktion Yes) durch

Partialbruchentwicklung nach den oben beschriebenen Verfahren moglich. Bei nichtkausalen

Systemen oder bei nichtkausalen Eingangssignalen ist Gl. 5.21 nicht anwendbar.

Bei der Berechnung von Netzwerkreaktionen nach der Gl. 5.21 ist vorausgesetzt, daB die

Energiespeicher des Netzwerkes zum "Einschaltzeitpunkt" leer sind. Dies bedeutet strornlose

lnduktivitaten und unge1adene Kapazitaten. Bei nicht leeren Energiespeichem gilt die

modifizierte Beziehung Y(s)=X(s)G(s)+R(s). 1m Lehrbuchabschnitt 5.5 wird gezeigt, wie

man den Ausdruck R (s) bei gegebenen Anfangsbedingungen ermitteln kann.

1.6 Zeitdiskrete Signale nnd Systeme



Schema einer zeitdiskretenJdigitalen Signalverarbeitung

zeitdiskretes SysteM

digitules SysteM

Antiuliusingfilter Abtuster L-____________ -' y(nT)

Bild 1.13 Schema einer zeitdiskretenldigitalen Signalverarbeitung

y(t)

Das Spektrum eines analogen Signales x(t) wird zunachst durch einen TiefpaB (Bezeichnung

Antialiasing-TiefpaB) auf eine Bandbreite fmax begrenzt. Dadurch ist sichergestellt, daB aus den

durch Abtastung entstehenden Werten x(nT) das Ursprungssignal x(t) exakt rekonstruiert

werden kann (siehe Gl. 3.20). Die Abtastwerte x(nT) stellen das Eingangssignal fUr ein

zeitdiskretes System dar. Aus der Ausgangsfolge y(nT) dieses Systems kann (falls erforderlich)

wieder ein analoges Signal erzeugt werden. Die Frequenz fmax = 1/(2T) wird haufig als die

maximale Betriebsfrequenz des zeitdiskreten Systems bezeichnet.

Das zeitdiskrete System kann so realisiert werden, daB die Abtastwerte x(nT) unmittelbar

verarbeitet werden (Beispiel: Schalter-Kondensator Filter). Bei einer digitalen Realisierung

werden die Signalwerte x(nT) durch eine AID-Wandlung Zllnachst in eine Zahlenfolge x(n)

UberfUhrt. Das eigentliche digitale System kann als spezieller Rechner angesehen werden, der

die Eingangszahlenfolge x(n) in eine Ausgangszahlenfolge yen) "umrechnet". Durch eine

anschlieBende D/A-Wandlung entstehen die Ausgangssignalwerte y(nT). Wir werden im

folgenden zwischen digitalen und zeitdiskreten Systemen nicht unterscheiden. lnsbesonders

wird fUr Signale meist die kUrzere Bezeichnung x(n) anstatt x(nT) verwendet.

1.6 Zeitdiskrete Signale und Systeme

Grundlagen

o(n) s(n)

-3 -2 -1 0 1 2 3 n -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 n

Bild 1.14 Einheitsimpuls und Sprungfolge

Beziehungen mit dem Einheitsimpuls

Einheitsimpuls:

~(n):::{1 fUr n:::O Oftirn:;eO'

Sprungfolge:

s(n):::{O fUr n <0. 1ftirn;;;::0

~(n)::: ~(-n), ~(n - no)::: ~(no - n),

fen )~(n) ::: f(O)~(n), fen )~(n - no) ::: f(no)f(n - no),

~

f(n)::: I. f(v)~(n - v). v=--co

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Der Einheitsimpuls ist eine gerade Funktion (Gl. 6.3). Bei Gl. 6.5 spricht man auch von der

Ausblendsumme.

Zusammenhang zwischen dem Einheitsimpuls und der Sprungfolge n

~(n)::: s(n) - sen -1), s(n)::: I. ~(v). (6.6) v=--co

Geometrische Reihe

2 m -I m -I i 1 _ qm Sm::: 1+q+q+ ... +q :::I.q:::--,

i=O 1-q (6.7)

~. 1 S ::: I. q' ::: -, 1 q 1< 1.

i=O 1-q (6.8)

1m Fall 1 q 1< 1 existiert die Summe der geometrischen Reihe mit unendlich vielen Gliedem.

Systeme

Der Zusammenhang zwischen dem Ein- und Ausgangssignal wird durch die Opera

torenbeziehung y(n)::: T{x(n)} beschrieben. Die folgenden Beziehungen entsprechen

sinngemiiB den entsprechenden Aussagen fUr kontinuierliche Systeme (Abschnitt 1.2).

Zusammenstellung von Systemeigenschaften

Linearitat: T{klxl(n) + k2xzCn)} ::: kIT{xl(n)} + kzT{xzCn)}

Zeitinvarianz: T{x(n)}::: yen), T{x(n -no)}::: yen -no)

(6.9)

(6.10)

24 1 Bine Zusammenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Stabilitiit: 1 y(n) 1< N < 00, wenn 1 x(n) 1< M < 00 (6.11)

Kausalitiit: aus x(n) = 0 fUr n < no folgt y(n) = 0 fUr n < no (6.12)

1m folgenden werden stets lineare und zeitinvariante Systeme vorausgesetzt.

Sprungantwort und Impulsantwort Die Systemreaktion y(n) auf das Eingangssignal "Sprungfolge" x(n) = s(n) wird als

Sprungantwort h (n) bezeichnet, d.h. h (n ) = T {s (n )}. Die Systemreaktion y (n) auf das

Eingangssignal "Einheitsimpuls" x(n) = 8{n) heiSt Impulsantwort g (n) = T {8{n)}. Zwischen

diesen beiden Systemreaktionen bestehen folgende Zusammenhange n

g(n)=h(n)-h(n-1), h(n)= L g(v). v=-

Notwendig und hinreichend fUr die Stabilitat eines Systems ist die Eigenschaft ~

L 1 g(n) I<K < 00,

n=-

notwendig und hinreichend fUr die Kausalitat die Eigenschaft

g(n)=O fUr n <0.

Faltungssumme

(6.13)

(6.14)

(6.15)

Bei Kenntnis der Impulsantwort konnen Systemreaktionen auf beliebige Eingangssignale mit

der Faltungssumme berechnet werden: ~ ~

y(n)= L x(v)g(n-v)= L x(n-v)g(v). (6.16) V=_ v=-

Diese Gleichungen werden bisweilen in der Kurzform y(n)=x(n)*g(n)=g(n)*x(n)

dargesteIlt, wobei * das Faltungssymbol bedeutet.

Ubertragungsjunktion Dorch Abtastung des Signales x(t) = eiOll im Abstand T ensteht das zeitdiskrete Signal

x(n) = x (nT) = einmT. Ein lineares zeitinvariantes zeitdiskretes System reagiert auf dieses

(komplexe) Eingangssignal x(n) = einmT mit y(n) = G(jro)einmT. Aus diesem Zusammenhang

erhiilt man die Ubertragungsfunktion

G(jro) = y(n) I. (6.17) x(n) x(n)="in"T

Aus Gl. 6.17 ergeben sich unrnittelbar die beiden folgenden Beziehungen

x(n) = cos(nroT):::) y(n) = Re{G(jro)einmT},

x(n)=sin(nron:::) y(n)=Im{G(jro)einmT}. (6.18)

Bei Kenntnis der Impulsantwort kann die Ubertragungsfunktion auch nach der Beziehung

G(jro) = i g(n)e-i~mT n=-

(6.19)

1.6 Zeitdiskrete Signale und Systeme 25

berechnet werden. Aus dieser Gleichung erkennt man, daB G(jro) eine periodische Funktion

mit der Periode 2rr/T ist. In der Praxis sorgt man (z.B. durch anaIoge Vorfilter) dafiir, daB die

EingangssignaIe mit ro = rrlT bandbegrenzt werden, so daB die Periodizitat "ohne Wirkung"

bleibt (siehe Bild 1.13 und auch die Erklarungen im Lehrbuchabschnitt 6).

z-Transformation

Grundgleicbnngen nnd Eigenscbaften

Einer Funktion f(n) mit der Eigenschaft f(n) = 0 fur n < 0 wird gemliB Gl. 6.20 umkehrbar

eindeutig eine Funktion, die z-Transformierte F(z), zugeordnet. Dabei ist z eine komplexe

Variable. Die Zuordnung der beiden Funktionen wird durch die Schreibweise f(n) 0-F (z)

ausgedrUckt. Bei F(z) spricht man auch von dem Bildbereich.

Grundgleichungen

F(z) = I-f(n)z-n, f(n) =-21 .fF(Z)Zn-'dZ, f(n)O-F(z). n =0 rr}

(6.20)

Bine z-Transformierte existiert genau dann, wenn f(n) der Ungleichung 1 f(n) 1< K . R n mit

geeignet gewahlten Werten von K und R gentigt. 1st R der kleinstmogliche Wert bei dieser

Ungleichung, so konvergiert die Summe ftir F(z) nach Gl. 6.20 ftir aIle Werte 1 z I> R. Diesen

Wertebereich von z nennt man den Konvergenzbereich der z-Transformierten. Der

Integrationsweg bei der Rticktransformationsforme1 muB vollstandig im Konvergenzbereich der

z-Transformierten liegen. Neben der bier behande1ten (einseitigen) z-Transformation gibt es

auch noch eine sogenannte zweiseitige, bei der die Einschrankung f(n) = 0 fur n < 0 entfallt.

Eigenschaften

Es gelten die Korrespondenzen

f(n) 0-F(z), 1 z 1>121; .h(n) 0- F,(z), 1 z 1>12, I; h(n) 0-FzCz), 1 z 1>1221 .

Linearitat: kJ,(n)+kJ'z(n)O-k,F,(z)+!ezFiz), Iz l>max(12,1,1221) (6.21)

Verschiebungssatz: fen - i) 0-z -iF(Z), i > 0, 1 z 1>121

Multiplikation mit n: n . f(n) 0--z d ~;Z), 1 z 1>1 2 1

FaItung: .h (n) * h(n ) 0- F, (z) . Fiz), 1 z I> max(l 2, 1,1 22 I)

Anfangswertsatz: f(O) = lim{F(z)} z ->=

Endwertsatz: f( 00) = lim {(z - l)F (z)}, Existenz von f( 00) vorausgesetzt z -> I

Bei Gl. 6.24 ist die Faltung durch folgende Beziehung definiert:

= fl(n) * fin) = L .h(v)fzCn -v).

V=-IX>

(6.22)

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26)

(6.27)

26 1 Eine Zusammenstellung def wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Rationale z-Transformierte

P1(Z) CO+CIZ + ... +cqZq cq (z -ZOl)(Z -lo2)···(Z -loq) F(z)=-= dr:t=O. (6.28)

P2(z) ~+dlZ + ... +d,zr dr(z -Z~I)(Z -Z~2) ... (Z -~r)'

Die Koeffizienten cll' dv (~=O ... q, v=O ... r) solIen reelI sein. loll sind die NullstelIen des

Ziihlerpolynoms P1(z), Z~v die NullstelIen von PzCz) bzw. die Polstellen von F(z). Infolge der

reellen Koeffizienten konnen nur reelle Null- und Polstellen oder konjugiert komplexe Null

und Polstellenpaare auftreten.

Pol-Nullstellenschema

Als Darstellungsmitlel fur rationale z-Transformierte F(z) ist das Pol-Nullstellenschema von

Bedeutung. Man erhalt es, wenn in der komplexen z-Ebene die Pol- und Nullstellen von F(z)

markiert werden (Pole durch Kreuze, Nullstellen durch Kreise). Das Pol-Nullstellenschema

(Abk. PN-Schema) beschreibt F(z) bis auf eine Konstante. Der Konvergenzbereich von F(z)

liegt auBerhalb des Kreises, der durch den vom Koordinatenursprung am weitesten entfemten

Pol geht. Wenn alle Pole von F (z) im Einheitskreis 1 z 1< 1 liegen, handelt es sich bei f(n) urn

eine "abklingende" Funktion mit der Eigenschaft f(n) ~ 0 fur n ~ 00. Falls (mindestens) ein

Pol im Bereich 1 z I> 1 liegt, gilt 1 f(n) H 00 fur n ~ 00.

Rucktransformation gebrochen rationaler z-Transformierter

F (z) wird in Partialbriiche zerlegt. Dabei gelten genau die gleichen Beziehungen wie bei der

Laplace-Transformation. In den GIn. 5.11, 5.12 bzw. 5.15, 5.16 istlediglichdie Variables durch

z zu ersetzen. Zur Riicktransformation der dabei entstehenden Partialbriiche werden folgende

Korrespondenzen benotigt:

1 -: -0 ben - i), i = 0,1,2, ... , z'

1 1 {O fur n < 1 ---Os(n -1)zn- -z-z~ ~ - z~-lfurn:2:1'

1 (n -I} . {O fur n . , z z~ I i-I z~ urn_l

d b · ·1 (m) m! m(m -1) ... . (m - k + 1) a el gl t = = . k k!(m-k)! 1·2···k

Berechnung von Systemreaktionen mit der z-Transformation

(6.29)

i = 1,2, ... ,

Bei kausalen Systemen hat die Impulsantwort die Eigenschaft g (n ) = 0 fiir n < O. In dies em Fall

kann die z-Transformierte ~

G(z) = I, g(n)z-n (6.30) n =0

1.6 Zeitdiskrete Signale und Systeme 27

der Impulsantwort berechnet werden. G(z) wird oft Ubertragungsfunktion genannt, obwohl

diese Bezeichnung genaugenomrnen fiir die Beziehung 6.19

GUO)= i g(n)e-jnroT = i g(n)(ejroTfn (6.31) n =0 n =0

zutrifft. Bei Gl. 6.31 wurde die Eigenschaft g (n) = 0 fur n < 0 beriicksichtigt.

Ein Vergleich der rechten Form von GI. 6.31 mit G (z) nach Gl. 6.30 zeigt den Zusarnrnenhang

GUO) = G(z = e jroT), G(z) = GUO) = (lnz)/T). (6.32)

Aus der z-Transforrnierten G (z) der Impulsantwort erhaIt man die Ubertragungsfunktion GUO),

wenn Z durch e jIDT ersetzt wird. Von GUO) komrnt man auf G(z), wenn dort jO) durch (lnz)/T

ersetzt wird.

Zeitdiskrete Systeme, die aus endlich vielen Bauelementen (Addierem, Multiplizierem,

Verzogerungsgliedem) aufgebaut sind, besitzen rationale z-Transformierte

CO+CIZ + C2Z2 + ... +CqZq G(z) = 2 I·

do+d1z +dzz + ... +dr_1zr- +zr (6.33)

G(z) ist genau dann die Ubertragungsfunktion eines linearen, kausalen und stabilen

zeitdiskreten Systems, wenn

a) der Zahlergrad q den Nennergrad r nicht iibersteigt, q $; r,

b) alle Polstellen von G(z) im Einheitskreisl z 1< Iliegen.

Hat das Eingangssignal eines kausalen Systems die Eigenschaft x (n) = 0 fur n < 0, dann besteht

zwischen den z-Transforrnierten des Ein- und Ausgangssignales der (im Bild 1.15 dargestellte)

wichtige Zusarnrnenhang 6.34. Zur Berechnung von Systernreaktionen errnittelt man zunachst

die z-Transforrnierte X (z) des Eingangssignales, wobei nach Moglichkeit Korres

pondenztabellen verwendet werden. Nach Multiplikation mit G(z) erhaIt man die

z-Transforrnierte Y(z) des Ausgangssignales. Bei rationalen Funktionen entwickelt man Y(z)

in Partialbriiche und transforrniert diese zuriick (siehe Gl. 6.29).

x(n)=O fur n(O

x(n) 0-g(n) 0- G(z) f-o yen)

Y(z) =X(Z)G(Z). (6.34)

\ g(n)=O fUr n(O

/ X(Z)·GCz) = YCZ)

28 1 Eine Zusarnmenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

DitTerenzengleichungen und Schaltungen

Systeme 1. Grades

Co+C1Z G(z) =-d--' 1 do 1< 1, y(n)+doy(n -1) = c1x(n)+coX(n -1).

o+Z (6.35)

Die Koeffizienten bei der tibertragungsfunktion stimmen mit denen der Differenzengleichung

(rechte Beziehung) iiberein. Differenzengleichungen kannen rekursiv gelast werden. Mit

x(n) = 0 fur n < 0 und damit auch y(n) = 0 fur n < 0 erhaIt man aus der Differenzengleichung:

y(n) = c1x(n) + coX(n - 1) - doyen - 1),

n = 0: yeO) = c1x(0),

n = 1: y(l) = c1x(l) + CoX (0) - doY(O), (6.36)

n =2: y(2) = c1x(2)+coX(I)-doy(l) usw.

1m linken Bildteil 1.16 ist eine Realisierungsstruktur fUr ein zeitdiskretes (digitales) System 1.

Grades skizziert.

Systeme 2. Grades

CO+C1Z+C2Z2 I d1 ~l I G(z) = 2 ' --± --do < 1,

do+d1z +z 2 4 (6.37)

y(n)+d1y(n -l)+doy(n -2) = czX(n) +c1x(n -l)+coX(n -2).

Die Koeffizienten bei der Ubertragungsfunktion stimmen mit denen der Differenzengleichung

Uberein. Eine rekursive Lasung der Differenzengleichung ist mit der Form

y(n) = c2x(n) + c1x(n -l)+coX(n -l)-d1y(n -l)-doy(n -2) (6.38)

maglich. Aus dieser Beziehung erkHirt sich auch die rechts im Bild 1.16 fUr eine System 2.

Grades skizzierte Schaltung.

x(n) ~--r------, x(n)----,-------~--------~

Bild 1.16 Realisierungsstrukturenfordigitale Systeme 1. und 2. Grades

Der allgemeine Fall

Ein System mit G(z) gemaB G16.33 wird durch eine Differenzengleichung

y(n)+dr _ 1 + ... +doy(n -r) = cqx(n - (r -q))+ ... +coX(n -r), q s" r (6.39)

beschrieben. Die Realisierung erfolgt in der Praxis meistens durch Hintereinanderschaltungen

von Systemen 1. und 2. Grades.

1.7 Stochastische Signale 29

1.7 Stochastische Signale



Die Beschreibung von Zufallssignalen

Falls eine Zufallsvariable X von einem Parameter t abhangt, spricht man von einem Zufallssignal

oder ZufallsprozeB X(t). Der Parameter that (hier) die Bedeutung der Zeit. Bei einem festen

Wert des Parameters t ist X(t) eine ZufallsgroBe mit einem Erwartungswert E[X(t)] und einer

Streuung ai(I)' 1m allgemeinen sind diese Kennwerte zeitabhangig.

Betrachtet man zwei Zeitpunkte t und t +-r, so liegen zwei ZufallsgroBen X(t) undX(t +-r) vor.

Ihre Abhangigkeit kann durch den Korrelationskoeffizienten (siehe Gl. 9.9)

r= E[X(t)X(t +-r)] - E[X(t)] E[X(t +-r)]

C5x(tlJX (1 +t)

beschrieben werden. ImSonderfall -r = 0 wird r = 1, denn danngiltX(t) =X(t +-r) und dieskann

als lineare Abhangigkeit interpretiert werden (siehe Abschnitt 1.9).

Von besonderer Bedeutung ist der in Gl. 7.1 auftretende Erwartungswert des Produktes

E[X(t)X(t+-r)] = Rxx(-r,t), (7.2)

den man Autokorrelationsfunktion (Abk. AKF) nennt. Die Autokorrelationsfunktion ist eine

wichtige Kennfunktion zur Beschreibung von Zufallssignalen.

Beispiel fUr ein ZuJallssignal

A sei eine normalverteilte ZufallsgroBe mit dem Mitte1wert 0 und der Streuung ~ = 1, dann ist

X(t) = A cos(rot)

ein (normalverteilter) ZufallsprozeB mit dem Erwartungswert und dem zweiten Moment bzw.

der Streuung

E[X(t)] = E[A]cos(rot) = 0, E[X\t)] = ai(l) = E[A 2]COS2(rot) = cos\rot).

Mit X(t)X(t + -r) =A 2 cos(rot)cos[ro(t + -r)] wird die Autokorrelationsfunktion nach Gl. 7.2

Rxx(-r, t) = cos(rot) cos[ro(t + -r)].

Die 1. Wahrscheinlichkeitsdichte von X(t) erhalt man, wenn in Gl. 9.6 m = E[X] = 0 und

~=ai(t)=COS2(rot) eingesetzt wird. Wegen der Zeitabhangigkeit der Streuung ist auch p(x)

zeitabhangig. Die zweidimensionale Dichte hat eine Form nach Gl. 9.10 mit dem

Korrelationskoeffizienten gemaB Gl. 7.1. Bei Kenntnis von p (x) kann nach Gl. 9.2 ausgerechnet

werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit Signalwerte des Zufallsprozesses in einem

vorgegebenen Bereich liegen. Mit der zweidimensionalen Dichte kann ermittelt werden, mit

welcher Wahrscheinlichkeit Signalwerte bei tin einem Bereich c, < X(t) < d, und gleichzeitig

bei t + t in einem Bereich C2 < X (t + t) < ~ auftreten (Gl. 9.8). Wenn die ZufallsvariableA einen

speziellen Wert a annimmt, hat das Zufallssignal die Form x(t) = a cos( rot), man spricht dann

von einer Realisierung des Zufallssignales.

Stationare und ergodische Zufallssignale

Bei dem Beispiel wurde ein normalverteiltes Zufallssignal mathematisch "konstruiert". 1m

allgemeinen ist ein geschlossener mathematischer Ausdruck zur Beschreibung von X(t) jedoch

nicht vorhanden. Von dem Zufallssignal liegen nur mehr oder weniger viele

Realisierungsfunktionen vor, wie dies im Bild 1.17 angedeutet ist. Wenn ausreichend viele

Realisierungen vorliegen, konnen Mittelwert, 2. Moment bzw. Streuung und Auto

korrelationsfunktion als Schar- oder Ensemblemittelwerte nach Gl. 7.3 berechnet werden. Bei

stationiiren Zufallssignalen sind Mittelwert, 2. Moment bzw. Streuung und die

Autokorrelationsfunktion zeitunabhiingig. Bei ergodischen Zufallssignalen konnen diese

KenngroBen aus einer einzigen Realisierung des Zufallsprozesses x(t) nach Gl. 7.4 berechnet

werden. Die Stationaritlit ist eine notwendige Voraussetzung fiir die Ergodizitlit. Aile weiteren

Ausfiihrungen beziehen sich auf stationlire ergodische Zufallsprozesse.

Bild 1.17 Realisierungen eines ZuJalissignales

Schar- oder Ensemblemittelwerte: 1 N

t E[X(t)] ""Nj;'IXj(t),

1 N E[X2(t)] "" N j;'1 x j

2(t), (7.3)

1 N RxX<t, t) "" N j;'1 xj(t)xj(t + t).

t

Zeitmittelwerte bei ergodischen Signalen:

1 iT E[X] = lim 2T x (t)dt, T->~ -T

(7.4)

1 iT Rxx(t) = lim 2T x(t)x(t +t)dt. T -+00 -T

Eigenschaften von Autokorrelationsfunktionen

Autokorrelationsfunktionen sind gerade Funktionen. Aus Gl. 7.4 folgt, daB die Auto

korrelationsfunktion bei t = 0 mit der mittleren Leistung E[X2] iibereinstimmt. Bei t = 00

1.7 Stochastische Signale 31

entsprichtdie Autokorrelationsfunktion dem quadrierten Mittelwert des Signales und schlieBlich

hat Rxx('t) bei 't = 0 ein absolutes Maximum:

Rxx('t) = Rxx(-'t), Rxx(O) = E[X2], Rxx(oo) = (E[X])2, Rxx(O) ~ I Rxx('t)I. (7.5)

Die Bedingungen nach Gl. 7.5 sind notwendig, aber nicht hinreichend dafiir, daB eine Funktion

eine Autokorrelationsfunktion sein kann. Eine notwendige und hinreichende Bedingung ist, daB

die Fourier-Transforrnierte von Rxx{'t)( die spektrale Leistungsdichte, siehe Gl. 7.11) reell ist

und keine negativen Werte annimmt.

Aus Gl. 7.5 erhaIt man den Mittelwert und die Streuung von X(t) sowie den Korrela

tionskoeffIzienten (siehe Gl. 7.1) zwischen den ZufallsgroBen X (t) und X (t + 't):

-'--~ Rxx('t)-Rxx(oo) E[X] = I\[Rxx(oo), cri = Rxx(O) - Rxx(oo), rX(t)X(t+t) = Rxx(O) _ Rxx(oo)' (7.6)

Normalverteilte Zufallssignale werden durch ihre Autokorrelationsfunktionen (his auf das

Vorzeichen ihres Mittelwertes) vollstandig beschrieben.

Autokorrelationsfunktionen periodischer Signale

Obschon Korrelationsfunktionen nur fiir Zufallssignale eingefiihrt wurden, konnen die

Beziehungen 7.4 auch bei nichtzufaIligen periodischen Signalen angewandt werden. So erhaIt

man mit der Gleichung fiir Rxx('t) die folgenden Ergebnisse:

x(t) = C COS(fiV + <p)

(7.7) 00

x(t) = Co + L. cvcos(VIDot + <Pv) v~1

Dies bedeutet, daB ein periodisches Signal eine ebenfalls periodische Autokorrelationsfunktion

mit der gleichen Periode T = 27t1ffio hat. Die "Nullphasenwinkel" <Pv treten in der Korre

lationsfunktion nicht auf. Weiterhin gilt auch hier die Eigenschaft Rxx( 't) = Rxx( -'t) und

E[X2] = Rxx(O).

Kreuzkorrelationsfunktionen

Sind X(t) und Y(t) stationare ergodische Zufallssignale, dann konnen folgende Kreuz

korrelationsfunktionen definiert werden

RXY('t) = lim -21 (T x(t)y(t +'t)dt, Ryx('t) = lim ~ (T y(t)x(t +'t)dt. (7.8) T~oo TJ~ T~002TJ~

Dabei gelten folgende Beziehungen

RXY('t) = Ryx(-'t), I Rxy('t)1 :::; --.jRxx(O)Ryy(O):::; 0,5 {Rxx(O) + Ryy(O)}. (7.9)

Der Korrelationskoeffizient zwischen den Zufallsvariablen X(t) und Y(t + 't) berechnet sich zu

32 1 Eine Zusamrnenstellung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

Rxy('t) - E[X] E[y] Rxy('t) r = bzw. r = -- bei E[X] = 0 oder E[Y] = O.

crxcry crxcry (7.10)

Korrelatoren

Korre1atoren sind MeBgerate zur Messung von Korrelationsfunktionen. Das Bild zeigt das

Funktionsschema eines Korrelators.

xCt) o------{

yCt)

Bine Vertauschung der Signale am Eingang fiihrt zum MeBergebnis Ryx(-'t) = Rxy('t)· 1m Falle x(t) = y(t) wird die Autokorrelationsfunktion Rxx(-'t) = Rxx('t) gemessen.

BiM 1.18 Funktionsschema eines Korrelators

Die spektrale Leistungsdichte

Die Fourier-Transformierte Sxx(ro) einer Autokorre1ationsfunktion Rxx('t) wird spektrale

Leistungsdichte genannt, dann gelten gemaB Gl. 3.3 die Beziehungen (Wiener

Chintschin-Theorem)

Sxx(ro) = f~ Rxx('t)e -jOYtd't, Rxx('t) = 2~ f~ Sxx(ro)ejOYtdro.

Da Rxx( 't) eine gerade Funktion ist, ist Sxx( ro) eine reelle Funktion und auBerdem ist

Sxx(ro);::: 0 ftir alle roo

Aus Gl. 7.11 erh1ilt man die mittlere Signalleistung

2 1 (= (= Px = Rxx(O) = E[X ] = 21tJ_ Sxx(ro)dro = J_ Sxx(j)df.

(7.11)

(7.12)

(7.13)

Die mittlere Signalleistung entspricht der Flache unter der tiber der Frequenz I aufgetragenen

spektralen Leistungsdichte Sxx(j). Falls ein MeBgerat zur Messung der mittleren Leistung nur

Signale im Frequenzbereich von 11 bis 12 messen kann, liefert dieses einen Wert

l f2

p, f = 2 Sxx(j)df. JI' 2 f,

(7.14)

Von weillem Rauschen spricht man im Fall

Sxx(ro) = a, Rxx('t) = ao('t), a > O. (7.15)

Die Flache unter der spektralen Leistungsdichte ist hier unendlich groB und das bedeutet, daB

mit weiBem Rauschen ein Zufallssignal mit unendlich groBer mittlerer Leistung vorliegt. WeiBes

Rauschen kann als Grenzfall von bandbegrenztem weillen Rauschen (Gl. 7.16) mit der unten

skizzierten spektralen Leistungsdichte und Autokorrelationsfunktion aufgefaBt werden.

1.7 Stochastische Signale

0.

o

Bild 1.19 Bandbegrenztes weij3es Rauschen

33

{a fur 1 co 1< COg

S (CO)-xx - 0 fur CO > CO '

g (7.16) a sin(cog't)

Rxx('t) = , a > O. T 1t't

Das Bild 1.20 zeigt zwei Ersatzschaltungen fur "rauschende" WidersHinde. Es handelt sich urn

Rauschquellen mit weiBem Rauschen, die ineinander umgerechnet werden k6nnen.

u(t) R -. R

~~ Suu(w)=2kTR

Bild 1.20 Widerstandsrauschen

Kreuzleistungsspektren

~ SlI(w)=2kT/R

Suu(CO) = 2kTR

SlI(CO) = 2kTIR

absolute Temperatur: T in K, Bolzmann'sche Konstante: k = 1,3803 10-23 11K:

(7.17)

Ais Kreuzleistungsdichte oder auch Kreuzleistungsspektrum bezeichnet man die Fourier-

Transformierte der Kreuzkorrelationsfunktion. Es gelten die G1eichungspaare

SXy(CO) = f~Rxy('t)e-j""'d't,

Syx(co) = f~ Ryx('t)e-j""'d't,

1 (~ j"'" RXY('t) = 21t J~ SXy(co)e dco,

1 (~ Ryx('t) = 21tJ~ Syx(co)ej""'dco.

(7.18)

Aus der Eigenschaft Rxy{--'t) =Ryx('t) (siehe Gl. 7.9) folgt bei den Kreuzleistungsspektren der

Zusammenhang

(7.19)

Zeitdiskrete ZufaUssignale

Fast alle bisher angegebenen Begriffe und Erkllirnngen k6nnen sinngemiill auf zeitdiskrete

Zufallssignale tibertragen werden. 1m Falle station1i.rer und ergodischer zeitdiskreter

Zufallsprozesse gilt

1 N E[X] = lim -- I. x(n),

N~~2N+1n~-N

1 N

Rxx(m) = lim -- I. x(n)x(n +m), N~~2N + 1 n~-N

E[X2] = lim _1-1 f x\n), N~~2N + n~-N

1 N (7.20) RXy(m) = lim -2-- I. x(n)y(n +m).

N~~ N+1n~-N

Die Beschreibung zeitdiskreter Signale im Frequenzbereich erfolgt durch die Beziehungen


Sxx(ro)= I. Rxx(m)e-immT, Rxx(m)=2T (lfiT Sxx(ro)eimmTdro, m =- 1t J-lfiT

Sxy(ro) = I. Rxy(m)e -immT, Rxy(m) = 2T (lfIT Sxy(ro)e imroT dro. m =- 1t J-lfiT

(7.21)

hn FaIle Rxx(m) = a B(m), a > 0 erhiilt man nach Gl. 7.21 Sxx( ro) = 1, man spricht von (zeitdiskreten) weiBen Rauschen. B(m) ist dabei der nach Gl. 6.1 definierte Einheitsimpuls.

1.8 Lineare Systeme mit zufalligen Eingangssignalen

Die in diesemAbschnitt angegebenen Beziehungen und Gleichungen werden imAbschnitt 8 des


Vorbemerkungen und Voraussetzungen

Vorausgesetzt werden lineare zeitinvariante Systeme deren EingangssignaIe stationiire

ergodische ZufaIlssignaIe sein sollen. Dies bedeutet, daB die EingangssignaIe schon von" t = -00

an" am Systemeingang anliegen und die Systemreaktionen im eingeschwungenen Zustand

vorliegen. Damit sind auch die Systemreaktionen stationiire ergodische ZufallssignaIe.

Der Zusarnmenhang zwischen den zufiilligen Ein- und AusgangssignaIen wird entsprechend

Gl. 2.17 durch das FaItungsintegraI beschrieben:

yet) = f~ X(t)g(t -'t)d't = f~ x(t -'t)g('t)d't. (8.1)

Eine ReaIisierung x(t) des ZufaIlsprozesses X(t) liefert eine ReaIisierung der zufiilligen

Systemreaktion Y(t):

y(t)= f~ x('t)g(t-'t)d't= f~X(t-'t)g('t)d't.

Normalverteilte EingangssignaIe fiihren bei linearen Systemen zu ebenfalls normaIverteilten

AusgangssignaIen. Dies bedeutet, daB dann die Autokorrelationsfunktionen Rxx('t) und Ryy('t)

diese ZufallssignaIe vollsUindig beschreiben.

Systemreaktionen bei zmalligen Eingangssignalen

Vorausgesetzt wird, daB die Autokorre1ationsfunktion Rxx('t) und die spektraIe Leistungsdichte

Sxx(ro) des zufiilligen EingangssignaIes bekannt sein sollen. Bei nicht mittelwertfreien

EingangssignaIen (d.h. Rxx( 00) = (E[X])2 :;t 0) solI auBerdem noch das Vorzeichen des

Mittelwertes und darnit E[X] bekannt sein. Dann kann man die entsprechenden Kenngr6Ben des

Ausgangssignales folgendermaBen errnitteln

E[Y]=E[X]f~g('t)d't, Ryy('t) = f~f~Rxx('t+U-V)g(u)g(V)dUdV. (8.2)

1.8 Lineare Systeme mit zufaIligen Eingangssignalen 35

Man erkennt, daB ein mittelwertfreies Eingangssignal ein mitte1wertfreies Ausgangssignal zur

Folge hat. Das Ausgangssignal ist auf jeden Fall mitte1wertfrei, wenn die Flache unter der Impulsantwort verschwindet.

Die Berechnung von Ryy('t) kann oft einfacher mit der Beziehung

(8.3)

erfolgen. Zur Interpretation dieser Beziehung wird auf die Darstellung im Bild 1.21 verwiesen.

Der Zusammenhang zwischen den Zufallsprozessen X(t) und yet) kann durch die

Kreuzkorrelationsfunktion Rxy('t) oder deren Fourier-Transformierte Sxy(ro) beschrieben

werden. Es gelten folgende Beziehungen

RXy('t) = J~ Rxx(t- u )g(u )du, SXy(ro) = G(jro)Sxx(ro). (8.4)

Ein Vergleich dieser Beziehungen mit dem Faltungsintegral (Gl. 2.17) zeigt, daB sich die

Kreuzkorrelationsfunktion durch eine Faltung der Autokorrelationsfunktion mit der

Impulsantwort ergibt: Rxy('t:) = Rxx('t:)* g ('t:).

xes) G(s) =Y(s)

X(jw)G(jw) = Y(j w)

{b!?i kausal!?n Syst!?M!?n unci x(t)=O fOr t< 0

cI!?t"rMini"rt" / "'-Signal!? g(t) <>-G(jw) \, 00

;-tatio-;:;-o.~ - x(t) 0- g(t)~-G(5)- f--o y(t)=L X(T)g(t-T)C;/T, E[YJ=E[XJ!:g(t)clt

stOChastiSCh,,! kausal" SYSt"M" \ Signal"

l RxiT -u) g(u) clu = RxiT)

-00 / 00 ""

RXX(T)e>- SXX(w)G(jw)=Sxlw) Ryy(T)= f f RxiT+U-V)g(u)g(v)cluclv

'" 2 /' -00-00

SXX(w) IG(jw)1 =Syy(w)

Bild 1.21 Zusammenstellung von Beziehungen

Einige Anwendungen

Formfilter

Formfilter haben die Aufgabe die Autokorre1ationsfunktion bzw. die spektrale Leistungsdichte eines Zufallssignales in eine vorgeschriebene (gewiinschte) "Form" zu bringen. Dieses Problem

liegt z.B. vor, wenn ein Rauschsignal mit einer vorgeschriebenen spektralen Leistungsdichte benotigt wird und der Rauschgenerator nUf weiBes Rauschen liefert. Bei gegebenen Autokor-

36 1 Eine ZusammensteUung der wichtigsten Gleichungen und Beziehungen

relationsfunktionen Rxx('C) und Ryy('C) ermittelt man zunachst die spektralen Leistungsdichten

Sxx(ro) und Syy(ro) und dann erhiilt man nach Gl. 8.3

I G(jro) f= Syy(ro) . Sxx(ro)

(8.5)

Aus dieser Beziehung kann schlieBlich die Ubertragungsfunktion G(jro) des Formfilters

ermittelt werden.

Eine Meftmethode zur Messung der Impulsantwort

Gemessen wird die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy('C) zwischen dem Ein- und Ausgangssignal

eines Systems. Das Eingangssignal fur das System sei weiBes Rauschen mit der spektralen

Leistungsdichte Sxx(ro)=a. Dann wird nach Gl. 8.4 SXy(ro)=aG(jro) und dies bedeutet

RXy('C) = ag('C). Der Korrelator miBt also (bis auf den Faktor a) die Impulsantwort g('C) des

Systems. Der Vorteil dieser MeBmethode ist, daB SWrsignale keinen EinfluB auf das

MeBergebnis haben. Fur weitere Informationen wird auf den Lehrbuchabschnitt 8.3.2 verwiesen.

Optimale Such filter

Ein Impuls x(t) wird von einem SWrsignal r(t) uberlagert. Das empfangene Signal x(t) + r(t)

ist das Eingangssignal fur ein optimales Suchfilter. Die Reaktion auf x(t) ist y(t), auf das

Rauschsignal r(t) reagiert das System mit net). Die Filterschaltung ist so zu dimensionieren, daB das Nutzausgangssignal y (t) m6glichst groB gegenuber der mittleren Rauschleistung E[N2]

ist. Das Optimierungskriterium lautet:

l(to) --=max. E[N2]

Die Optimierung fuhrt zu der Ubertragungsfunktion

G(jro) = KX*(jro)e -}fiJlo

SRR(ro) (8.6)

Darin ist K eine (beliebige) Konstante, X*(j ro) die konjugiert komplexe Fourier-Transformierte

des Eingangsimpulses x(t) und SRR(ro) die spektrale Leistungsdichte des Rauschsignales am

Systemeingang.

Besonders einfach werden die Verhiiltnisse, wenn es sich bei dem St6rsignal r(t) urn weiBes

Rauschen handelt. In diesem Fall ist SRR(ro) = a und G(jro) = KX*(jro)e-jfiJlo • Die Ruck

transformation von G(jro) liefert dann die Impulsantwort des optimalen Suchfilters

get) = Kx(to - t). (8.7)

Man erhiilt g(t) (bis auf den Faktor K), indem der Eingangsimpuls "umgeklappt" und nach to

"verschoben" wird. Die Systemreaktion des optimalen Suchfilters auf x(t) und des sen Maximalwert y(to) lautet

y(t)=K f~X(U)X[u+(to-t)]dU, y(to)=K f~X2(U)dU. (8.8)

1.9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 37

Das "Signal-Rauschverhiiltnis" hat dann den Wert

y2(tO) 1 i~ 2 1 --=- x (u)du =-W, E[N2] a ~ a

(8.9)

Darin ist a die "Rohe" der spektralen Leistungsdichte des Rausch-Eingangssignales. W wird

als Energie des Signales x(t) bezeichnet.

Zeitdiskrete Systeme

~

E[Y] = E[X] L g(v), V =--00

Ryy(m) = i i Rxx(m + ~- v)g(~)g(v), Syy(ro) =\ GUro) \2 Sxx(ro), (8.10) J.L =--00 V =--00

~

RXy(m) = L Rxx(m -v)g(v), SXy(ro) = GUro)Sxx(ro). V =--00

1.9 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die in diesem Abschnitt angegebenen Beziehungen und Gleichungen sind im Anhang A des

Lehrbuches ausfiihrlicher zusammengestellt.

Eindimensionale Zufallsvariable

Die Verteilungsfunktion F (x) und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p (x) einer

ZufallsgroBe X sind durch die Beziehungen

p(x) __ dF(x) F(x)=P(X~x), dx (9.1)

definiert. P (X ~ x) bedeutet, daB die ZufallsgroBe X einen Wert annimmt, der kleiner oder g1eich

x ist. F (x) ist eine monoton ansteigende Funktion mit F (-00) = 0 und F (00) = 1. Die

Dichtefunktion p (x) kann keine negativen Werte annehmen, die Flache unter ihr hat den Wert

1. Weiterhin geIten folgende Beziehungen

pea <X~b)=F(b)-F(a)= f p(x)dx,

E[X] = f~ xp(x)dx, E[X2] = f~ x 2p(x)dx,

rl = f~(X -E[X])2p(x)dx = E[X2] - (E[X]f

(9.2)

(9.3)

Darin ist E[X] der Erwartungswert, E[X2] das 2. Moment und rl die Streuung der

Zufallsvariablen. Die (positive) Wurzel cr aus der Streuung heiBt Standardabweichung.

1st Y = g (X) eine Funktion der Zufallsvariablen X, dann kann der Erwartungswert von Y ohne

Kenntnis der Dichtefunktion p (y ) berechnet werden, es gilt

E[y] =E[g(X)] = J~ g(x)p(x)d.x. (9.4)

Gleichverteilung

In diesem Fall hat p (x) die im Bild 1.22 skizzierte Dichtefunktion. Rechts von dem Bild sind

Mittelwert, 2. Moment und Streuung angegeben.

1 2<:

p(x)

M

Bild 1.22 Gleichveneilung

Normalverteilung

M+<: x

2 2 e? E[X]=m, E[X ]=m +3'

e? 1 d=3' cr=~.

(9.5)

In diesem Fall hat p (x) die im Bild 1.23 skizzierte Dichtefunktion. Erwartungswert m = E[X]

und Streuung d sind Parameter in der Dichtefunktion nach Gl. 9.6.

1 -../2TI (J

p(x)

o M

Bild 1.23 Normalverteilung

x

p (x) = _1_ e -{x -m)'/(2cfl).

,fiiCcr (9.6)

Auftrittswahrscheinlichkeiten von normalverteilten Zufallsgrofien: P(m - cr <X < m + cr) = 0,6826: "cr-Bereich", P(m - 2cr < X < m +2cr) = 0,9544: "2cr-Bereich", P(m - 3cr < X < m + 3cr) = 0,9972: "3cr-Bereich", P(m -4cr < X < m +4cr) = 0,9999: "4cr-Bereich".

Obschon die Dichte der Normalverteilung (Gl. 9.6) fiir keinen Wert von x verschwindet, liegt

doch fast die gesamte Flache im 4cr-Bereich. Werte auBerhalb dieses Bereiches sind sehr

unwahrscheinlich.

Zwei- und mehrdimensionale Zufallsgro8en

1m zweidimensionalen Fall sind die Verteilungs- und Dichtefunktion folgendermaBen definiert

F(x,y) =P(X :S;x, Y:S; y), p(x,y) = d:(~:). (9.7)

1.9 Wahrscheinlichkeitsrechnung 39

F(x,y) ist eine in beiden Variablen monoton ansteigende Funktion und es gilt F(-oo,-oo) = 0,

F(oo, 00) = 1, F(x,oo)=F(x), F(oo,y)=F(y). SchlieBlich wird bei voneinander unabhiingigen

Zufallsgr6Ben F(x,y) = F(x)· F(y). Weiterhin gelten die Beziehungen

P(a <X<;;,b,c < Y<;;'d)= i~aL~cP(X,Y)dxdY, f~f~p(X,Y)dxdY = 1,

E[g(X, Y)] = f~ f~ g(x,y)p(x,y)dxdy, E[Xy] = f~ f~ xyp(x,y)dxdy. (9.8)

KorrelationskoeJfizient

Sind X und Y zwei Zufallsgr6Ben mit den Erwartungswerten E[X], E[Y] und den

Standardabweichungen ox, Oy, so ist der Korrelationskoeffizient zwischen diesen Zufallsgr6Ben

folgendermaBen definiert:

E[XY] - E[X] E[Y] E[(X - E[X]) (Y - E[Y])] rXY=

OxOy (9.9)

Der Korrelationskoeffizient ist ein MaB fur die Abhangigkeit der beiden Zufallsgr6Ben. Er liegt

im Bereich -1 <;;, r xy <;;, 1. Bei r xy = 0 liegen unabhiingige (genauer unkorrelierte) Zufallsgr6Ben

vor. r XY = 1 bedeutet eine lineare Abhiingigkeit der Zufallsgr6Ben in "gleicher" Richtung.

rXY = -1 heiBt, daB die beiden Zufallsgr6Ben "gegenliiufig" linear voneinander abhiingen, z.B.

Y=-2X.

Zweidimensionale Normalverteilung

X und Y sollen zwei normalverteilte Zufallsgr6Ben sein, mit den Erwartungswerten mx = E[X],

my = E[Y], den Streuungen cri und 0;, und dem Korrelationskoeffizienten r = rXY • Dann lautet

die Dichte der zweidimensionalen Normalverteilung

_ 1 {~[ (x -mx)2 (y -my? (x -mx)(Y -my)]} (9.10) p(x,y) - _ ,.----;-exp 2 + r . 21tO xO y" 1 - r2 1 - r 2cri 20;, 0 xO y

Bei unkorrelierten Zufallsgr6Ben ist r = rXY = 0 und aus Gl. 9.10 erhiilt man dann das Produkt

der beiden eindimensionalen Dichtefunktionen p (x, y) = p (x)p (y).

Summen von Zufallsgroj3en

1st Z = k1X + kzY die gewichtete Summe aus zwei Zufallsgr6Ben X und Y, so wird

E[Z] = E[k1X + kzY] = kl E[X] + kz E[Y], ~ = klO~ + kzo;. + 2k1kzrxyOxoy. (9.11)

1m Falle unabhiingiger (genauer unkorrelierter) Zufallsgr6Ben vereinfacht sich die Beziehung

fur die Streuung der Summe:

(9.12)

Bei einer Summe von Zufallsvariablen addieren sich deren Erwartungswerte, sind die

Zufallsvariablen zusatzlich noch unabhangig voneinander, dann addieren sich auch die

Streuungen. Diese Beziehungen k6nnen auf (gewichtete) Summen mit beliebig vielen

Summanden erweitert werden.

2 Die Berechnung von Systemreaktionen im Zeitbereich

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 2. (bei den alteren Auflagen 1.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in insgesamt vier Gruppen unterteilt. Die erste Aufgabengruppe 2.1

umfaBt acht Beispiele bei denen das System durch die Sprungantwort charakterisiert ist. Zu

ermitteln sind immer die Impulsantwort und die Ubertragungsfunktion. Weitere Fragen beziehen

sich auf Systemeigenschaften und die Ermittlung von Systernreaktionen bei denen das

Faltungsintegral nicht angewendet werden muS. Die zweite Aufgabengruppe 2.2 umfaBt vier

Beispiele bei denen die Systeme durch die Impulsantwort beschrieben werden und die

Sprungantwort berechnet werden solI. Die wichtige Aufgabengruppe 2.3 mit insgesamt sechs

Beispielen bezieht sich auf die Anwendung des Faltungsintegrales. Die fiinf Aufgaben in der

Aufgabengruppe 2.4 betreffen den gesamten Stoff des 2. Lehrbuchabschnittes und enthalten die

Losungen nur in einer Kurzform.

Dem Leser wird empfohlen, die mit "E" gekennzeichneten Aufgaben zuerst zu bearbeiten. Es

handelt sich hierbei urn besonders charakteristische Aufgaben mit detaillierten Losungen und

oft auch noch zusatzlichen Hinweisen. Die Bezeichnung "K" bedeutet, daB die Losungen nur

in einer Kurzform angegeben sind. Die wichtigsten zur Losung der Aufgaben erforderlichen

Gleichungen sind im Abschnitt 1.2 zusammengestellt.

Aufgabengruppe 2.1

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Systeme durch ihre Sprungantwort beschrieben.

Zu ermitteln sind bei allen Beispielen die Impulsantwort und die Dbertragungsfunktion. Weitere

Fragen beziehen sich auf die Ermittlung einfacher Systernreaktionen bei der das Faltungsintegral

nicht angewendet werden muS.

Aufgabe 2.1.1 E

Das Bild zeigt eine RC-Schaltung mit clem Eingangssignal xCt) = sct) und der Reaktion

yet) = hCt) (Sprungantwort).

x(t)=s(t) R

~ o t

y(t) = h(t)

{ Ofiirt < ° 't=ht= ) ( ) ( ) 1 -tl(RC)f" 0' -e urt>

Aufgabengruppe 2.1

a) Berechnen und skizzieren Sie die Irnpulsantwort get).

b) Weisen Sie nach, daB das vorliegende System stabil ist.

c) Berechnen Sie die Dbertragungsfunktion G(jO)) dieses Systems.

d) Stellen Sie die Differentialgleichung fur das System auf.

e) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(t) = cos(OOot).

f) Ermitteln und skizzieren Sie die Systemreaktion auf den rechts

skizzierten Eingangsimpuls x(t).

Losung

a) h(t) ist eine stetige Funktion, die abschnittsweise diffe

renziert werden kann. Daher gilt (Gl. 2.14)

d h(t) 1° fur t < 0 g(t)=d"t= _1_ e -tl(RC) fur t>O'

RC

Das Bild zeigt den Verlauf der Irnpulsantwort.

Anderer (fonnaler) Losungsweg:

g(t)

x(t) Ai'--...,

o T

Mit Hilfe der Sprungfunktion s(t) kann h(t) als geschlossener Ausdruck dargestellt werden: h(t)=s(t)(l-e-tl(RC)).

41

t

t

Fur t < ° ist s(t) = ° und damit auch h(t) = 0, fur t > ° ist s(t)=1 und darnit h(t) = 1- e-tl(RC).

Differenziert man h(t) in seiner geschlossenen Form, so erhaIt man nach der Produktregel

get) = h '(t) = o(t)(l- e -tl(RC)) + s(t) R~ e-tl(RC).

Bei Beachtung der Beziehung (Gl. 2.5) f(t)o(t) = f(O)o(t) entfaIlt der 1. Summand, denn es gilt f(t) = 1 - e -t/(RC) und f(O) = 0. Darnit wird

10 fur t <0 1 -tl(RC)

g(t)=s(t)RC e = _1_ e -tl(RC) fur t>O' RC

Hinweise:

1. Da das Ausgangssignal des Systems eine Spannung ist, hat die Sprungantwort h(t) die

Dimension V und aus der Beziehung g(t) = dh(t)ldt ergibt sich fur get) die Dimension Vis. 2. Die Sprungfunktion set) kommt hier in zwei vollig unterschiedlichen Bedeutungen vor. Zum

einen ist s(t) ein Eingangssignal (die Eingangsspannung der RC-Schaltung), die zur

Sprungantwort h(t) am Systemausgang fuhrt. Zum anderen hat s(t) die Aufgabe eine Funktion geschlossen darzustellen, z. B. die Funktion h(t) = s(t)(I- e-tl(RC)). Die in dieser Gleichung

auftretende Sprungfunktion set) darf nicht mit dem "Eingangssignal s(t)" verwechselt werden.

42 2 Die Berechnung von Systemreaktionen im Zeitbereich

b) Mit get) = 0 flir t < 0 erhalten wir (Gl. 2.15)

(= (= 1 J~ 1 get) 1 dt = Jo RCe-tl(RC)dt =_e-tl(RC)I~ = 1 < 00,

also ist das System stabil.

c) Mit der oben ermittelten Impulsantwort erhalten wir die Ubertragungsfunktion (Gl. 2.20)

GUro) = (= g(t)e-jOJtdt = (=_I_ e-tl(RC)e-jOJtdt =_1_ (= e-t(I/(RC)+jW)dt = J~ Jo RC RC Jo

1 -1 -t(lI(RC) + jw) 1= 1 = RC l!(RC) + jro e 0 = 1 + jroRC'

Der Ausdruck an der oberen Integrationsgrenze t = 00 verschwindet, denn es gilt e-t(lI(RC)+jW) = e-tl(RC)e-jOJt = e-tl(RC)[cos(rot) - j sin(rot)] ~ 0 fUr t ~ 00.

Anderer (einfacherer) Losungsweg:

Ermittlung der Ubertragungsfunktion mit der komplexen Rechnung. Ersetzt man x (t) durch die

komplexe Eingangsspannung Ux, yet) durch Uv, so wird nach der Spannungsteilerregel

G 'ro _ Uy _ l!UroC) l!(RC) U ) - Ux - R + l!UroC) 1 + jroRC l!(RC) + jro'

d) Die Ubertragungsfunktion liegt in Form einer gebrochen rationalen Funktion vor:

. ao+aJro l!(RC) G U ro) = = --'----'--

bo+jro 1/(RC)+jro

Differentialgleichung (Gl. 2.23 mit den Koeffizienten ao = bo = l!(RC), a j = 0):

y'(t)+ Y(t)/(R C) = x (t)/(R C) oder RCy'(t)+ y(t) =x(t).

e) Ein lineares zeitinvariantes System reagiert auf x(t) = ejlJlt = cos(rot) + j sin(rot) mit

y(t) = GUro)e jOJt = Re{ GUro)e jlJlt } + j Im{ GUro)e jlJlt }. Daraus folgt wegen der Linearitlit, daB

Re{ GUro)e jlJlt } die Systemreaktion auf das Signal cos( rot) ist (siehe Gl. 2.19). 1m vorliegenden

Fall erhalten wir mit der oben angegebenen Ubertragungsfunktion und ro = roo

_ { 1 jUV} _ {[eos(root) + j sin(root)] (1- jrooRC)} _ y (t) - Re 1 . £., vC e - Re 2 2 2 -+ } "'0" 1 + rot/? C

; 2 2 [eos(root) + rooRC sin(root)] =,j 1 eos(root + <p), <p = - Aretan(rooRC). 1 + ro(jR C 1 + o)fjR2C2

Hinweis:

Den ganz reehts stehenden Ausdruck erhlilt man nattirlieh durch geeignete Umformungen,

einfaeher aber auf folgende Weise. Mit GUro) =1 GUro) 1 eN wird

y(t) = R~ 1 GUroo) 1 eN/"'oI} =1 GUroo) 1 Rej ej(Wcf+'P)) = 1 GUroo) 1 eos(root + <p).

Aufgabengruppe 2.1

f) Das oben skizzierte Signal x(t) kann mit Hilfe der

Sprungfunktion in geschlossener Form ausgedruckt werden:

x(t) =As(t) - As(t - T).

Zur ErkHirung wird auf das Bild verwiesen. Die Differenz der

Funktionen As(t) und As(t - T) ergibt x(t).

A As(t)

I As(t-T) I I I I

_ _ .J

o T

43

t

Auf set) reagiert das System mit seiner Sprungantwort h(t). Wegen der Linearitat und

Zeitinvarianz des Systems erhalten wir dann y(t) =Ah(t) -Ah(t - T), d.h.

y(t) =As(t)(1 - e-t/(RC» - As(t - T)(I - e -('-T)/(RC» = A(l-e -tl(RC» rur 0< t < T . lorurt<o

Ae-'/(RC)(eT1(RC)_I) rur t > T

yet) ist rechts im Bild dargestellt. Man zeichnet zunachst die y(t)

Funktionen Ah(t) und Ah(t - T), die Differenz ergibt y(t),

Maximalwert: yeT) =A(1_e-T1(RC).

Aufgabe 2.1.2

Die Sprungantwort eines Systems lautet

21 {O rur t < 0 h(t)=s(t)(l-0,5e-)= -2,.. .

I - 0, Se rur t > ° a) Berechnen und skizzieren Sie g(t) und weisen Sie nach, daB das System stabil ist.

t

b) Ermitteln und skizzieren Sie die Systernreaktion auf das Eingangssignal x(t) = 2s(t - 0, S).

c) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GUO) des Systems.

Losung

g(t) 1 O.50(t)

a) Ableitung von h(t) nach der Produktregel:

get) =h'(t) = 0(t)(l-0,Se-2')+s(t)e-2'.

Anwendung der Beziehung/(t)o(t) = /(O)o(t) mit/CO) = O,S:

get) = 0, So(t) + s(t)e-21 .

Zur Untersuchung der Stabilitat muE der Dirac-Impuls in t

der Beziehung von g (t) (bei der Gl. 2.IS) nicht berucksichtigt werden (siehe Lehrbuchabschnitt

2.3.4). Daher (mit get) = s(t)e-2,)

f~ I g(t) I dt = i~ e-2'dt =-O,Se-211~ =O,S < =,

also ist das System stabil.


b) Das System reagiert auf set) mit der oben angegebenen 2 yet)

Sprungantwort h(t). Wegen der Linearitat und Zeitinvarianz

lautet die Systemreaktion auf x(t) = 2s(t -0, 5):

yet) = 2h(t - 0, 5) = 2s(t -0,5) (1- 0, 5e-2(1-0.5).

Diese Reaktion ist rechts im Bild dargestellt.

c) Mit get) = 0, 5o(t) + s(t)e-21 erhalt man (Gl. 2.20) a 0,5 t

G(jm) = (= g(t)e-jrotdt = (= 0,50(t)e-jrotdt+ (= e-2Ie-jOltdt =0,5 + (= e-I (2+ jro)dt =~+_1_._. J~ J~ Jo Jo 2 2+ Jm

Hinweise:

Bei dem Integral mit dem Dirac-Impuls reicht es eigentlich aus, wenn von unmittelbar vor ° (d.h. 0-) bis unmittelbar nach ° (d.h. 0+) integriert wird. Die Lasung des Integrales ergibt sich

aus der Ausblendeigenschaft (Gl. 2.6). Statt der Ausblendeigenschaft kann zunachst auch die

Beziehung f(t)o(t) = f(O)o(t) angewandt werden. Dies fiihrt hier zu 0, 5e -jrotO(t) = 0, 5o(t) und

die anschlieBende Integration zu 0,5. Bei dem 2. Integral muB nur von ° an integriert werden.

Aufgabe 2.1.3

Das Bild zeigt die Sprungantwort eines Systems h(t) = s(t)0,5e-t!3.

a) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort get) des

Systems.

b) Berechnen Sie die Obertragungsfunktion G(jm).

c) Ermitteln und skizzieren Sie die Systemreaktion auf das

rechts (nicht maBstablich) dargestellte Eingangssignal x(t).

Losung a) Bei Berticksichtigung der Beziehung f(t)o(t) = f(O)o(t)

erhalt man die (unten rechts skizzierte) Impulsantwort

~ 1 -If3 1 -1/3 1 ~ 1 -1/3 g(t)=h'(t)=u(t)"2 e -s(t)6 e ="2 u(t)-s(t)6 e .

b)

G(jm) = (= g (t)e -jOlt dt = (= !o(t)e -jOltdt - (= ~e -1/3e -jOlt dt = J~ J~2 Jo 6

h(t)

0,5

t

2 x(t)

o 9 t

g(t)

0,50(t)

t

Aufgabengruppe 2.1 45

Das Integral mit dem Dirac-Impuls wird mit der Ausblendeigenschaft gelost oder auch durch

Anwendung der Beziehungf(t)oCt) = f(O)oCt). Das 2. Integral ist elementar losbar.

c) Das oben dargestellte Eingangssignal hat die Form y(t)

xCt) = sct) + set - 9). Auf sct) reagiert das System mit

h ct), auf s (t - 9) mit h (t - 9). Damit wird

yct) = hCt) + h(t - 9) = sct)O, 5e -tl3 + sct - 9)0, 5e -(t-9Y3•

Aufgabe 2.1.4

Das Bild zeigt die Sprungantwort hCt)=-O,5s(t)e-2t eines h(t)

Systems.

a) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort gCt).

b) Berechnen Sie die Obertragungsfunktion G(jm). c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf xct) = ejro"t + e j2ro"t.

Losung

a) Nach Anwendung der Produktregel und der Beziehung

f(t)oCt) = f(O)oCt) erhlilt man die Impulsantwort

gCt) = h '(t) = -0, 50(t)e-2t + sCt)e-2t = -0, 5oCt) + sCt)e-2t .

b) G(jm) = f~ g(t)e-jrotdt =

f= . i= . 1 1 =-0,5 o(t)e-Jrotdt+ e-t(2+ Jrot)dt= __ + __ ._. ~ 0 2 2+ Jm

-0,50(t)

t

t

t

Das erste Integral ist mit Hilfe der Ausblendeigenschaft auszuwerten. Bei dem zweiten Integral

ist von 0 an zu integrieren, die Auswertung ist auf elementare Weise moglich. c) Auf /ffio' reagiert das System mit G(jmo)ej"'ot, auf e 2j"'ot mit G(2jmo)e 2j"'ot. Daher wird

yct) = G(jmo)ej"'ot + G(2jmo)e 2j"'ot.

Aufgabe 2.1.5

Das Bild zeigt die Sprungantwort h(t) eines Systems.

a) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort gCt).

b) Begrtinden Sie, daB es sich hier urn ein kausales und stabiles

System handelt.

c) Berechnen Sie die Obertragungsfunktion G(jm) und die

Systemreaktion auf das Eingangssignal xct) = e jOJot .

h(t)

E

t

d) Ermitteln und skizzieren Sie die Systemreaktion auf das

reehts dargestellte Eingangssignal x(t).

Hinweis:

Systeme mit (absehnittsweise) linearem oder konstantem

Verlauf der Sprung- oder Impulsantwort konnen dureh

Netzwerke (mit endlich vielen konzentrierten Bauelementen)

nur approximativ realisiert werden.

Losung

a) h(t) kann absehnittsweise differenziert werden, man erhalt

die reehts skizzierte Impulsantwort g(t) = h '(t).

Wamung:

Einige Leser werden das vorliegende Problem vielleieht so

angehen, daB sie zunaehst einen gesehlossenen Ausdruek fUr

h(t) aufzustellen versuehen, der dann auf "formale" Weise

x(t)

21---...,

o t

-2

get)

2

o 2 t

differenziert werden kann. Von einem solchen Weg ist dringend abzuraten, er liefert mit einem

relativ groBem Aufwand eine Losung, die viel einfaeher (siehe oben) gefunden werden kann.

b) Kausal, weil g (t) = 0 fUr t < 0 ist (Gl. 2.16), stabil, weil (nach Gl. 2.15)

f~lg(t)ldt= f2dt=2<OO.

c) Naeh Gl. 2.20 wird

foo • 12 . 2· 12 2 . 2' G(jro) = g(t)e-j""dt = 2e -j(fJtdt = ---;-e-j"" = --;-(e -j'" - e - J'j. ~ 1 Jro 1 Jro

Auf x(t) = ej"'r} reagiert das System mit (siehe Gl. 2.18)

yet) = G(jroo)ejo'o' =~(ej"'o(t-l) -e -j"'o(t-2»).

Jffio

d) Das Eingangssignal kann dureh die Beziehung x(t) = 2s(t) - 4s(t - 5) + 2s(t - 10)

beschrieben werden. Auf set) reagiert das System mit h(t) und wegen der Linearitat und

Zeitinvarianz wird y(t) = 2h(t) -4h(t - 5) + 2h(t -10). Den Verlaufvon y(t) erhaIt man, wenn

man zunaehst die drei Summanden skizziert und dann die entsprechende Summe bildet.

Hinweis:

h(t) liegt hier in Form einer Skizze vor, aus der der

Verlauf eindeutig hervorgeht. Auf die Angabe eines

gesehlossenen Ausdruekes soBte verziehtet werden,

wenn dies nieht zur Losung weiterer Probleme

yet) 4 ~--...,

erforderlich ist. -4

Aufgabengruppe 2.1

Aufgabe 2.1.6


a) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort g(t).

b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GUm).

Losung

a) Durch abschnittsweises Differenzieren der (stetigen)

Funktion h(t) erhaIt man die rechts skizzierte Impulsantwort.

b) GUm)= f~g(t)e-jOltdt= i\,5e-jOltdt- i 6e -j''''dt=

3 (1 -2jO>-, 1 (-5jro -6jO>-, =-- -e )-- e -e ). 2jm jm

Aufgabe 2.1.7

Das Bild zeigt die Sprungantwort h (t) eines Systems.


b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GUm).

c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf das Eingangssignal

x(t) = 1.

Losung

a) Die unstetige Funktion h(t) wird in einen stetigen Anteil

h 1(t) und einen Anteil h2(t) = 2s(t) zerlegt. Offensichtlich gilt

h(t) = h 1(t) + hz{t). h 1(t) kann abschnittsweise differenziert

werden, die Ableitung von h2(t) = 2s(t) lautet 20(t). Damit

erhalten wir die unten rechts skizzierte ImpulsantwOft, die

formal durch die Beziehung g(t)=20(t)+s(t)-s(t-2)

ausgedrtickt werden kann.

Hinweis:

h(t)

0 2

get) 1,5

a 2

-1

hCt) 4

o 2

2~ o 2

gCt) Der Leser kann sich leicht klarmachen, daB jede Funktion, die 26(t)

U nstetigkeiten in Form von Spriingen aufweist, immer in einen

stetigen Anteil aufgeteilt werden kann und einen weiteren, der

nur (gewichtete und ggf. zeitverschobene) Sprungfunktionen

enthalt. o 2

47

t

5 6 t

E

t

t'

t'

t


b) G(jro) = (~ g(t)e-jrotdt = (~ 20(t)e-jrotdt + e e-jrotdt = 2+~(I_e-2j{J)). J_ J_ Jo Jro

Das ers~e Integral mit dem Dirac-Impuls kann mit der Ausblendeigenschaft gel6st werden, das

zweite Integral ist elementar auswertbar.

c) Das Signal x(t) = 1 ist der Sonderfall des Signales ejrot mit ro = O. Daher gilt (Gl. 2.18)

y(t) = {G(jro)ejrotL=o = G(O) = 4.

Bei der Berechnung des Wertes G(O) muS beachtet werden, daB der zweite Summand von G(jro)

flir ro = 0 die Form "0/0" annimmt (Anwendung der Regel von l'Hospital).

Hinweise:

Auf noch einfachere Art erhalten wir y(t) = h(=) = 4, die Systemreaktion auf einen Sprung s(t)

muS im eingeschwungenen Zustand mit der Reaktion auf das Signal 1 iibereinstimmen.

SchlieBlich entspricht die Reaktion auf das Signal 1 auch der Flache unter der Impulsantwort.

Aufgabe 2.1.8



b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion G(jro).

c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf das Eingangssignal

x(t) = 30(t - 2).

Losung

a) Die Funktion h(t) kann wie bei der Aufgabe 2.1.7 in einen

stetigen Anteil und einen Anteil4s (t - 1) zerlegt werden. Wir

erhalten dann die rechts skizzierte Impulsantwort, die in der

Form

g(t) =-2s(t)+2s(t-2)+40(t -1)

geschlossen dargestellt werden kann.

h(t)

2

get) 4o(t-l)

o 2

-21--------'

b) G(jro) = (= g(t)e -jCJl1 dt = (= 40(t - I)e -jOJ! dt _ (2 2e -jOJ! dt = 4e -jill -~ (1- e -2j ill).

J_ J_ Jo Jro

t

t

Zur Auswertung des Integrales mit dem Dirac-Impuls kann die Regelf(t)o(t - to) = f(to)o(t - to)

angewandt werden. Dies filhrt hier zu 40(t - I)e -jill! = 4o(t - I)e -jill, die Flache unter diesem

Ausdruck ergibt dann den Wert 4e-jill. Die Auswertung kann aber auch unmittelbar mit der

Ausblendeigenschaft (GI. 2.6) erfolgen. Das zweite Integral ist elementar auswertbar.

c) Das System reagiert auf o(t) mit seiner Impulsantwort g(t). Wegen der Linearitat und

Zeitinvarianz lautet daher die Reaktion auf das hier vorliegende Eingangssignal y (t) = 3g (t - 2).

Aufgabengruppe 2.2

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Systeme durch ihre Impulsantwort beschrieben.

Zu ermitteln istjeweils die Sprungantwort mit der Beziehung (Gl. 2.14)

h(t) = f~ g('t)d1:.

Aufgabe 2.2.1 E

Das Bild zeigt eine RC-Schaltung mit dem Eingangssignal x(t) = oct) und der Reaktion

(Impulsantwort) y(t) = g(t). Die Sprungantwort, also die Systernreaktion auf x(t) = s(t), solI

ermittelt werden.

I"(t>'''t> . o t

y(t)=g(t)

Losung (siehe auch Aufgabe 2.1.1)

t

y(t) = get) = s(t)_l_e-t,(RC) = RC

{o fUr t < 0 = l/(RC)e -t/(RC) fUr t > 0

N ach der oben angegebenen Beziehung fUr h (t) entspricht der Wert der Sprungantwort an einem

bestimrnten Zeitpunkt t der Flache unter der Funktion g (1:) zwischen 1: = -00 und 1: = t.

Dag(1:) = 0 fUn < 0 ist,erhaltman fUrnegativeZeitenh(t) = O. geT)

Dies muS auch so sein, denn es liegt ein kausales System und

ein Eingangssignal mit der Eigenschaft x(t) = 0 fUr t < 0 vor.

1m Falle t > 0 ist die Flache zwischen 1: = 0 und 1: = t (siehe

Bild) zu berechnen, es wird

h(t)= it R~e-'/(RC)d1:=_e-'C/(RC)I~= l_e-t'(RC).

Der Wert von h(t) entspricht der schraffierten Flache unter

g (1:) zwischen 1: = -00 (hier 1: = 0) und 1: = t.

Zusamrnenfassung der Teilergebnisse ftir t < 0 und t > 0:

_ {O fUr t < 0 _ -t/(RC) h(t)- l_e-t'(RC) ftir t>O-s(t)(l-e ).

Hinweis:

t)

T

t

Die Sprungfunktion s(t) komrnt hier in zwei vollig unterschiedlichen Bedeutungen vor. Zum

einen ist s(t) ein Eingangssignal (die Eingangsspannung der RC-Schaltung), die zur

Sprungantwort h(t) am Systemausgang ftihrt. Zum anderen hat set) die Aufgabe die Funktion

h (t) geschlossen darzustellen.

Aufgabe 2.2.2

Gegeben ist die rechts skizzierte Impulsantwort

g(t) = 0, 5o(t) + s(t)e-Zt•

Berechnen und skizzieren Sie die Sprungantwort des Systems.


Fiir t < 0 wird h(t) = 0 (Flache unter get) zwischen 't = -00 und

't = t). Fiir t > 0 (genauer fur t > 0 -) wird

h(t) = f~ g('t)d't= f~ 0,50('t)d't+ f e-z'd't=

= 0, 5 -0,5e-z'l ~= 1-0,5e-Zt •

Hinweis:

g(t) 1 a.50( t)

t

a t

Bei dem Integral iiber den Dirac-Impuls konnen die Integrationsgrenzen auch durch 0 - und t

ersetzt werden. Die Grenzen miissen nur so festgelegt werden, daB der Dirac-Impuls innerhalb

des Integrationsbereiches liegt.

Zusammenfassung der Ergebnisse der Bereiche t < 0 und t > 0:

h(t) =s(t)(l-0,5e-Zt ).

Aufgabe 2.2.3

Gegeben ist die rechts skizzierte Impulsantwort

g(t)=s(t)te-t •

Berechnen und skizzieren Sie die Sprungantwort.

Losung

Fiir t < 0 wird h(t) = 0, fiir t > 0 erhiilt man

h(t)= f~g('t)d't= f'te-'td't=-e-'t('t+l)I~=l-e-'(t+l). Zusammenfassung der Teilergebnisse:

h(t) = s(t)(l- e -t - te -t).

g(t)

t

1 h(t)

4 6 t

Aufgabengruppe 2.3

Aufgabe 2.2.4

Gegeben ist die rechts skizzierte Impulsantwort get).

Berechnen und skizzieren Sie die Sprungantwort h (t).


FUr t < 0 wird h(t) = O.

FUr 0 < t < 1 erhiilt man

h(t)= J~g('t)d't= f(-2)d't=-2t.

FUr 1 < t < 2 erhiilt man

i' i' f1+ h(t)= g('t)d't= (-2)d-r+4 o('t-l)d't-2t+4=-2(t-2). _ 0 1-

FUr t > 2 entspricht die Sprungantwort der gesamten Flache

unter g ('t), d.h. h (t) = O.

Zusammenfassung der Teilergebnisse:

10 fur t < 0 -2t fUr 0 < t < 1

h(t)= -2(t-2) fur 1<t<2·

OfUrt>2

Aufgabengruppe 2.3

51

g(t) 4c5(t-l)

0 2 t

-2

h(t) 2

2 t

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Systeme durch ihre Impulsantwort beschrieben.

Die Systernreaktionen sind mit dem Faltungsintegral

y(t) = J~ x('t)g(t -'t)d't oder y(t) = J~ xU -'t)g('t)d't

zu berechnen. Zur Festlegung der jeweils aktuellen Integrationsgrenzen sollen x('t) und get - 't)

bzw. x(t - 't) und g ('t) skizziert werden. Dabei sei daran erinnert (Lehrbuchabschnitt 2.3.3), daB

man den Verlauf von g(t -'t) in Abhangigkeit von 't (und t als Parameter) folgendermaBen

erhalt:

Die Funktion g('t) wird an der Ordinate gespiegelt (umgeklappt) und dann auf der 1:-Achse

an den (zuvor festgelegten) Wert t verschoben. Bei Verwendung des Faltungsintegrales in

der rechten Form erhiilt man x(t -'t) auf entsprechende Weise durch Spiegelung an der

Ordinate und Verschiebung urn t.

52 2 Die Berechnung von Systernreaktionen im Zeitbereich

Aufgabe 2.3.1 E

Gegeben ist eine RC-Sehaltung (siehe Aufgabe 2.2.1) mit der g(t)

reehts skizzierten Impulsantwort

g(t) = s(t) R~ e-tl(RC).

Mit dem Faltungsintegral in der Form t

y(t) = f~ x('t)g(t -'t)d't

sollen die Systemreaktionen auf die Signale x1(t), xit) und x3(t) bereehnet werden.

x -----~---

t t t

Losung

a) {o filr t < 0

x1(t)=s(t)!t= i fi·· O· T Tt ur t>

Klappt man die Impulsantwort (siehe Bild ganz oben) an der Ordinate um, so erhaIt man filr

g (t - 't) bei negativen Zeiten t das Bild unten links. Filr positive Werte von t wird die

"umgeklappte" Impulsantwort naeh reehts an die Stelle t versehoben (reehter Bildteil). In beiden

Bildem ist auBerdemxl('t) eingezeichnet.

t<o t>o g(t-r) g(t-r)

T r o t T r

Naeh dem Faltungsintegral ist Yl(t) die Flache unter dem Produkt Xl('t)g(t -'t). Filr t < 0 gilt

Xl('t)g(t - 't) = 0 (Bild links) und damit ist aueh Yl(t) = 0 filr t < o. Auf dieses Ergebnis komrnt

man narurlieh aueh, wenn man beaehtet, daB ein kausales System vorliegt und das Eingangssignal

erst bei 0 "beginnt".

Bei t > 0 (Bild rechts) verschwindet das Produkt XI(1:)g(t -1:) im Bereich 1: < 0 und 1: > t, wir

erhalten daher

=!_I_e-tl(RC)R2C2e'CI(RC)(~_1) It =x RC e-tl(RC)[etl(RC)(_I_t -1)+ IJ = TRC RC 0 T RC

Zusammenfassung der Ergebnisse fur t < 0 und t > 0:

{o fur t < 0

A t RC ARC -tl(RC) YI(t)= A( t RC) ARC -tl(RC) f·· o=s(t)[x(---)+x-e J. x --- +x-e ur t> T T T

T T T

YI (t) ist rechts (fur T = 3RC) dargestellt. Man findet den

Verlauf (im Bereich t > 0) am besten dadurch, indem die beiden Summanden x(tIT-Rc/T) und xRCe-tl(RC)IT ~

getrennt aufgetragen und dann addiert werden. Flir groBe

Werte von t steigt YI(t) eben so wie xl(t) linear an.

Hinweise:

o t

1. Die Berechnung kann selbstverstandlich auch mit der anderen Form des Faltungsintegrales

erfolgen. In diesem Fall ware das Eingangssignal XI(1:) "urnzuklappen" und zum Wert t zu

verschieben. Flir t > 0 wlirde man dann folgendes Integral erhalten

y(t)= (t x1Ct -1:)g('t)d1:= (t!(t_1:)e-'t/(RC)d1:. )0 )0 T

2. Eine Kontrolle des hier ermitte1ten Ergebnisses kann folgendermaBen erfolgen. Die Ableitung

des Eingangssignales lautet £ I (t) = dX1 (t)1 dt = s (t)x IT. Auf das abgeleitete Eingangssignal£ I (t)

muB das System mit dem abgeleiteten Ausgangssignal Y I (t) = d YI (t )ldt reagieren. Aus dem oben angegebenen Ergebnis erhalten wir YI(t) = s(t)(I- e-tl(RC»)xIT. Das Eingangssignal ist die mit

dem Faktor xlT multiplizierte Sprungfunktion s(t), also muB YI(t) die mit dem gleichen Faktor

multiplizierte Sprungantwort h (t) sein. Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Aufgabe 2.2.1 zeigt,

daB dies hier zutrifft. Die bei dieser Uberlegung zugrunde liegende Aussage, daB ein (lineares

zeitinvariantes) System auf das abgeleitete Eingangssignal auch mit der abgeleiteten System

reaktion reagiert, kann ganz leicht nachgewiesen werden, wenn man Y (t) nach dem

Faltungsintegral (in der Form mit x(t - 1:)) auf beiden Seiten ableitet.

b)

{

Ofurt<o

x2(t) = f t fur 0< t < T (siehe Bild oben).

ifurt>T

Ftir die Bereiche t < ° und ° < t < T erhalten wir die gleichen Ergebnisse wie im Fall a. In den

Bildem ist lediglich x 1('t) durch xi't) zu ersetzen.

Ftir t > T erhalten wir fur X2('t) und get -'t) die rechts

skizzierte Anordnung. Zu integrieren ist von 't = Obis

't = t. Dabei ist im Bereich von Obis T x2('t) = 'tilT und

im Bereich von T bis t xi't) = i einzusetzen. Man erhiilt

Die Auswertung der Integrale ftihrt schlieBlich

(nach e1ementarer Rechnung) zu dem Ergebnis

(t) - ~ ~ RC (1 -TI(RC)) -{t-T)I(RC) Y2 - X - x T - e e .

Y2(t) ist rechts (ftir T = 3RC) dargestellt, der

Verlauf im Bereich t < ° und ° < t < T stimmt mit dem im Fall a tiberein.


o T 2T

~(t RC J ~ RC -tl(RC) f" ° x --- +x-e ur <t<T 10 fur t < °

yz<t) = T T T .

c)

~ ~RC (1 -TI(RC)) -(t-T)l(RC) f" t > T x-x- -e e ur T

{

Oftirt<o

x3(t) = f t ftir 0< t < T (siehe Bild oben).

° fur t > T

Ftir die Bereiche t < ° und ° < t < T gelten die gleichen

Ergebnisse wie im Fall a. In den Bildem ist lediglich

x1('t) durch xi't) zu ersetzen.

Ftir t > T erhalten wir die Darstellung rechts im Bild. Zu

integrieren ist von 't = Obis 't = T. Man erhiilt (nach

elementarer Auswertung):

T

T

Aufgabengruppe 2.3

Ylt) ist rechts (mit T = 3RC) skizziert. Ftir t < T

ergibt sich der gleiche Verlaufwie bei a und b.

Zusammenstellung der Teilergebnisse: o T 2T

x(!...- RC )+xRC e-tl(RCl ftir 0< t < T 10 fur t < °

y/t) = T T T

xR; e-(t-TYCRCl(:c_l+e-TI(RCl) ftir t>T

Aufgabe 2.3.2

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems

g(t) = 0, 5o(t) + s(t)e-2t •

Mit dem Faltungsintegral in der Form

yet) = f~ x(t -'t)g('t)d't

solI die Systemreaktion auf das Eingangssignal

g(t) 1 o.S6(t)

{Ofurt<o . x(t)= ~. ) f.. O=s(t)xsm(rot)

x sm(rot ur t>

berechnet werden.

Losung

55

t

1:

Den Verlauf von x(t - 't) erhiilt man durch "umklappen" von x('t) = s('t)x sin(ro't) und

Verschiebung zu dem Wert t. Links im Bild sind die VerhaItnisse fur negative t-Werte, rechts

ftir positive Werte von t dargestellt.

T T

Bei negativen Werten von t ist x(t -'t)g('t) = ° und damit auch yet) = 0.

Bei positiven t -Werten ist von 't = 0- bis zu 't = t zu integrieren. Die untere Grenze "0-" ist

wegen des Dirac-Anteiles in g('t) erforderlich. Wir erhalten

yet) = .C x(t -'t)g('t)d't = 1> sin[(O(t - 't)](0, SO('t) + e -Zt)d't =

= (' xsin[(O(t-'t)]O,So('t)d't+ ('xsin[(O(t-'t)]e-Ztd't. Jo- Jo

Bei dem 1. Integral (2. Zeile) konnen die Integrationsgrenzen auch durch -00 und 00 ersetzt

werden. Die Losung erfolgt mit der Ausblendeigenschaft (Gl. 2.6) und lautet 0, SX sin((Ot). Bei

dem 2. Integral substituieren wir u = t - 't und erhalten

.... . -2t.....· -2 / - u ,,-2t· 2u i ' fO i' o xsm[(O(t-'t)]e d't=-x , sm((Ou)e ( ldu =xe 0 sm((Ou)e du =

=xe-Z, ~{2 sin((Ou) _ (Ocos((Ou)} I' =.~{2sin((Ot) - (Ocos((Ot)} + x(O 2e-Zt. 4+(0 0 4+(0 4+(0

Zu diesem Ergebnis muB noch der Anteil 0, SX sin((Ot) von dem Integral mit dem Dirac-Impuls

addiert werden, wir erhalten fur t > 0:

yet) = ~{2sin((Ot) - (Ocos((Ot)} + x(O ze-z, +O,SX sin((Ot) = 4+(0 4+(0

=~((4 +0, S(Oz) sin((Ot) - (Ocos((Ot)} + x(O ze-z,. 4+(0 4+(0

Zusammenfassung der Teilergebnisse ftir t < ° und t > 0:

10 fur t < ° y(t)= ~{(4+0,S(Oz)sin((Ot)-(OcOS((Ot)}+ x(O ze-2t fur t>O·

4+(0 4+(0

Hinweise:

1. Die ermittelte Losung besteht (ftir t > 0) aus einem periodischen Anteil und einem 2.

abklingenden Summanden, der das Einschwingverhalten beeinfluBt. Wie man erkennt, ist der

Maximalwert x(O/(4 + (02) des abklingenden Summanden im vorliegenden Fall relativ klein

gegentiber der Amplitude des 1. periodischen Anteiles. Dies hat zur Folge, daB das

Einschwingverhalten des Systems auf das hiervorliegende Eingangssignal bei einer graphischen

Darstellung von yet) relativ schlecht erkennbar ist und yet) auch bei kleinen Zeiten "optisch"

wie eine Sinusschwingung aussieht. Daher wird hier auf eine Skizze fur yet) verzichtet.

2. Der erste Summand Yl(t) von yet) kann auch auf folgende Art ermittelt werden. Da

x(t) = x sin((Ot) = x . Im{ejOJl} ist, wird Yl(t) = x . Im{ G(j(O)e jOJl }. Die Obertragungsfunktion des

gegebenen Systems lautet G(j ro) = 0, 5 + 1/(2 + j ro) (siehe Aufgabe 2.1.2). Dann erhhlt man nach

einigen Zwischenschritten fur den ersten Summanden von yet) den Ausdruck

--./16+Sro2 +O,2Sro4 • ro YI(t) = 2 sm(cot-cp), tancp= 2'

4+ro 4+0,Sro

Selbstverstandlich erhhlt man diesen Ausdruck auch dlirch geeignete Umformungen des 1.

Summanden von yet) bei der oben dargesteHten Form.

3. Zur Dbung kann der Leser die vorliegende Aufgabe auch mit der anderen Form des

Faltungsintegrales lOsen. Dabei ist die Impulsantwort "urnzuklappen" und zu verschieben.

Hierbei entsteht bei g (t - 't) ein Summand 0, So(t - 't) und dies hat zur Folge, daB (bei t > 0) von

't = 0 bis 't = t + 0 zu integrieren ist.

Aufgabe 2.3.3


g(t) = s(t)te-I •

Mit dem Faltungsintegral in der Form

y(t) = f~ x('t)g(t -'t)d't

soH die Systemreaktion auf das ebenfalls rechts skizzierte

Eingangssignal

() -III {elfurt<O x t =e = e-I fur t >0

berechnet werden. y(t) ist zu skizzieren.

Losung

g(t)

t

x(t)

t

Im Bild sind x('t) und get -'t) fiir negative t-Werte (links) und positive Zeiten (rechts) skizziert.

T T

1m Falle t < 0 (linker Bildteil) ist von 't = -00 bis zu 't = t zu integrieren, wobei x('t) = e < gilt.

Man erhhlt dann

= te-t{0,Se2'}~ -e-'{0,2Se2'(2't-l)}~ = 0, Stet -0,2Se'(2t -1) = 0,2Se'.

1m Fall t > ° ist im Bereich von 't = -00 bis 't = ° x('t) = e' einzusetzen und im Bereich 't > ° x('t) = e-'. Wir erhalten dann

y(t) = f~ e \t - 't)e-{t-'ld't+ it e --'t(t -'t)e -{t-'ld't = te-t f~ e2'd't- e -t f~ 'te 2'd't+


{0,2Se t flir t < ° y(t) = -t -t 2 -t.. .

0,2Se +O,Ste +O,St e fur t>O

y (t) ist rechts skizziert.

-4

Aufgabe 2.3.4

Das Eingangssignal ftir ein System mit der rechts skizzierten

Impulsantwort ist x(t) = cos2(uV).

Zu berechnen ist y(t) mit dem Faltungsintegral in der Form

y(t) = f~ x('t)g(t -'t)d't.

Losung

Aus der Darstellung von x ('t) und g (t - 't) erkennt man, daB

von 't = t - 2 bis 't = t - 1 zu integrieren ist:

y(t) = cos2(coo't)2d't= 't+-sin(2coo't) ft-I [1 ]'-1 t-2 2COo ,-2

Hinweise:

= 1 +_I_{sin[2COo(t -1)] - sin[2coo(t - 2)]}. 2coo

y(t)

-2 o 2 4

g(t)

2

o 2

2 __ r--_--ig(t-T)

t

t

1. Bei der Darstellung von g(t - 't) muB beachtet werden, daB g(t) erst bei t = 1 "beginnt". Dies

ist beim "Umklappen" von g('t) nattirlich zu berticksichtigen.

2. Mit x(t) = cos2(coot) = 0, S(1 + cos(2coot)) folgt y(t) = 0, SG(O) + 0, S . Rei G(2jcoo)e 20l0t).

GUm) wurde bei der Aufgabe 2.1.5 berechnet CObung flir den Leser).

3. Systeme mit abschnittsweise konstanten Impulsantworten konnen durch Sehaltungen mit

konzentrierten Bauelementen nur naherungsweise realisiert werden.

Aufgabe 2.3.5 E

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems und ein

Eingangssignal. Zu berechnen ist die Systemreaktion mit

dem Faltungsintegral in der Form lhg(t) ~)

-+-h --~2?-H=----I-O----'2"'=T:--+t yet) = f~ X(1:)g(t -1:)d1:.

Losung

Mit x(t) = (2T + t)!(2T) flir -2T < t < 0 bzw. (2T - t)f(2T) flir 0 < t < 2T erhhlt man die unter

den Bildern angegebenen Teilergebnisse. y (t) entspricht den jeweils schraffierten Flachen.

9(H/ts~-2T D X(T) ,

t-T t 0 2T T

yet) = 0

O<t<T ?f:Q(t-T) X(T) y(t)

, -2T t-T t 2T T

fo 1 y(t) = -(2T+1:)d1:+

I-T2T .

+ f 2~(2T-1:)d1:= = 0, 75T + 0, 5t - 0, 5t2fT

y(t) = 0

t-T t 0 2T T

Q(t-T)

2T T

f' 1 y(t)= -(2T-1:)d1:=

I-T2T

= l,25T-0,5t

y(t) ist rechts skizziert. Wir

verzichten in diesem Fall auf

eine Zusammenstellung der

oben angegebenen Teiler

gebnisse.

-2Tt-T to 2T T

f' 1 y(t) = -2 (2T+1:)d1:=

I-T T

= 0, 75T +0,5t

-2T 0 t-T t T

f 2T 1 y(t)= -2 (2T-1:)d1:=

I-T T

= 2,25T -1, 5t +0,25t2fT

y(t)

-2T -T o T 2T t

Aufgabe 2.3.6

Das Eingangssignal fur ein System mit der reehts skizzierten

Impulsantwort ist

x(t) = s(t)e-kt , k > o. Zu bereehnen ist y(t) mit dem Faltungsintegral in der Form

y(t) = f~ x(t -'t)g(t)d't.

Losung

46(T-l) 46(T-l)

X(t-T)

2 T o 2 T

-21---------' -21---------'

gCt) 4c5(t-l)

o 2 t

-21-------1

46(T-l)

X(t-T)

o T

-21---------'

Die Bilder zeigen die Funktionen g('t) und x(t -'t) fur 0 < t < 1 (links), 1 < t < 2 (Mitte) und

t > 2 (reehts). Auf die Darstellung fur t < 0 wurde verziehtet, wir erhalten fur diesen Zeitbereieh

y(t) =0.

Aus dem linken Bild erkennt man, daB fur 0 < t < 1 von 't = 0 bis 't = t zu integrieren ist:

y(t) = So' x(t -'t)g('t)d't = So' e-k(t-'\-2)d't = -2e -kt So' ektd't =

=_2e-kt~ekt [ =-i(l-e-kt ).

Im Zeitbereieh 1 < t < 2 ist ebenfalls von 0 bis t zu integrieren, allerdings liegt jetzt im

Integrationsbereieh der Dirae-Impuls:

y(t) = So' x(t - 't)g('t)d't = So' e -k(t-')(_2)d't+ So' e -k(H)40('t - l)d't =

_ 2 (1 -kt) 4 -k(t -I) --- -e + e k .

Das zweite Integral wird mit der Ausblendeigensehafi gelOst.

1m Zeitbereieh t > 2 ist von 't = 0 bis 't = 2 zu integrieren:

y(t) = 12 x(t - 't)g('t)d't = f e -k(t-'\_2)d't + f e -k(H)40('t - l)d't =

_ -kt 2 ( 2k 1)+4 -k(t-I) --e k e - e .

Aufgabengruppe 2.4

Zusammenstellung der oben ermittelten Teilergebnisse:

o flir t < 0 2

-k(l-e-kt ) flir 0 < t < 1

y(t) = _~(l_e-kt)+4e-k(t-l) flir 1 < t < 2' k

Hinweis:

-e -kt ~ (e Zk -1) + 4e -k(t-l) flir t > 2 k

yet) 3

61

3 t

Flir k --70 erhalt man flir das Eingangssignal x(t) = s(t). Dies bedeutet, daB yet) flir k --70 in

die Sprungantwort h(t) des Systems libergehen muB. Mit den Naherungen e±kt = 1 ±kt erhalt

man im Bereich 0 < t < 1 die Losung y(t) = -2t, im Bereich 1 < t < 2 die Losung yet) = -2t +4

und im Bereich t > 2 wird y (t) = O. Dies ist tatsachlich die (bei der Aufgabe 2.1.8 skizzierte)

Sprungantwort des Systems.

Aufgabengruppe 2.4

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Losungen in klirzerer Form angegeben. Die

Aufgaben beziehen sich auf den gesamten Stoff des 2. Lehrbuchabschnittes.

Aufgabe 2.4.1 K

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems. gCt) a) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t).

b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion GUffi). 4 - - - - .,..----,

c) Ermitteln Sie die Systernreaktion auf das Signal x(t) = 1.

d) Berechnen Sie die Systernreaktion auf x(t) = s(t) cos(ffiot).

o 2 4 t Losung

a) (t (t h(t)= J_g(''C)d't, t<2:h(t)=O, 2<t<4:h(t)= J2 4d't=4(t-2), t>4:h(t)=8.

Flir t > 4 entspricht h (t) der gesamten Flache unter der Impulsantwort. Das Bild von h (t)

entspricht dem der Sprungantwort bei der Aufgabe 2.1.5 mit den hier berechneten Werten.

b) GUffi)= (~g(t)e-jrotdt=~(e-2j"'-e-4j",). J_ Jffi

c) x(t) = 1 => y(t) = h(oo) = 8 oder auch y(t) = G(O) = 8 (siehe Erklarungen bei Aufgabe 2.1.7).

d) (~ yet) = J~x("C)g(t-"C)d"C.

1,-2 4 t < 2: yet) = 0, 2 < t < 4: yet) = cos(mo"C)4d"C = -sin[mo(t - 2)],

o roo

1'-2 4 t > 4: yet) = cos(mo"C)4d"C = -{sin[mo(t - 2)] - sin[mo(t -4)]}.

1-4 roo

Aufgabe 2.4.2

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems.

a) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t).

b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion G(jm).

c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf das Signal

x(t) = cos(mt).

3

d) Berechnen Sie die Systemreaktion auf x (t) = s (t) t. -2

Losung

a)

h(t)= f~g("C)d"C, t<O:h(t)=O,

O<t<l:h(t)= f3d"C=3t, l<t<2,5:h(t)= f3d"C=3,

g(t)

o

2,5 < t < 3: h(t) = 11 3d"C-f 2d"C = 8 - 2t, t > 3: h(t) = 2, gesamte FHiche unter g("C). o 2,5

K

t

Das Bild von h (t) entspricht dem der Sprungantwort bei Aufgabe 2.1.6 mit den oben berechneten

Werten.

b)

c)

x(t) = cos(mt) =::} yet) = Re{ G(jm)e jwt } = Re{ ~ (e jwt _ e j OJ(I-1) -~ (e j OJ(I-2,5) _ ej OJ(I-3)} = } m } m

= !{3 sin(mt) - 3 sin[m(t -1)] - 2 sin[m(t - 2, 5)] + 2 sin[m(t - 3)]}. m

Aufgabengruppe 2.4

d)

yet) = J~ x(t -'t)g('t)d't, t < 0: yet) = 0, 0 < t < 1: yet) = f (t - 't)3d't = 1, 5t2,

1 < t < 2,5: yet) = f (t -'t)3d't = 3t -1,5,

2,5 < t < 3: yet) = f(t -'t)3d't- rt (t -'t)2d't= -7,75 + 8t - t2, o )2,5

t>3:y(t)= f(t-'t)3d't- f(t-'t)2d't=1,25+2t. o 2,5

Skizzieren Sie yet) ! Kontrolle des Rechenergebnisses: y '(t) = h(t), weil x'(t) = set).

Aufgabe 2.4.3


{o fur t < 0 tfurO<t<l

g(t)= t-2 ftir 1<t<2'

o fur t > 2

a) Berechnen Sie die Sprungantwort h(t).

b) Ermitteln und skizzieren Sie die Systernreaktion auf einen

Rechteckimpuls der Hi:ihe 1 und Breite 2.

Losung

g(t)

a) h(t)= J~g('t)d't, t<O:h(t)=O, O<t< l:h(t)= f'td't=0,5t 2,

t > 2: h(t) = 0, gesamte Flache unter g('t).

Skizzieren Sie h(t), kontrollieren Sie das Ergebnis: h '(t) = get) !

b) Der Rechteckimpuls kann durch die Beziehung

x(t) = set) - set - 2) beschrieben werden. Damit ist

y (t) = h (t) - h (t - 2). Diese Systernreaktion ist rechts

skizziert.

y(t) 0,5

° -0,5

2

63

K

t

4 t

Aufgabe 2.4.4 K

Das Bild zeigt die Sprungantwort eines Systems 2 h(t)

h(t) = s(t -1) (2 - e-2(I-l)).

a) Berechnen Sie die Impu1santwort g(t).

b) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(t) = 0, So(t + 1).

c) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion G(jro).

d) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(t) = ej"'rf. a 1 t

Losung

a) g(t) = h '(t) = oct -1) +2s(t _1)e-2(1-1).

b) x(t) = 0, So(t + 1) => yet) = 0, Sg(t + 1) = 0, So(t) + s(t)e -21.

e) G(jro) = r~ g(t)e-jffJtdt = r~ o(t-1)e-jffJtdt+2 r~ e-2(1-I)e-jffJtdi= e-jOl+_2_._e-jOl. J_ J_ JI 2+ Jro

jCi'o' . j"'o' (-j"'o 2 -j"'o) j"'o' 4 + j roo j"'o(t -I) d) x(t)=e =>y(t)=G(jro)e = e +--.-e e =--.-e .

o 2+JOOo 2+Jroo

Aufgabe 2.4.5 K

Das Bild zeigt die Sprungantwort h(t) = 2s(t)(1- e-I - te-I).

a) Berechnen Sie die Impulsantwort g(t).

b) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion G(jro).

c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(t) = 0, S.

d) Berechnen Sie die Systemreaktion auf x(t) = 0, Ss(t)e-I.

Losung

a) g(t)=h'(t)=2s(t)te-1 (Bildvon g(t) bisaufFaktorO,SwiebeiAufgabe2.2.3).

b) G(jro) = f~ g(t)e -jOltdt = 2 fo~ te -1(1 +jOl)dt =

=2t~e-'(I+jOl)I~ +2_1_._ r~ e-I(l+jOl)dt= -~ e-I(I+jOl) 1= = 2 1 + Jro 0 1 + JroJo (1 + J(f))2 0 (1 +jro)2

(partielle Integration: u = t, dv = e -I(l +jOl)dt).

e) x(t)=O,S => y(t) =O,SG(O) = 1 oder y(t)=O,Sh(oo) = 1.

d) y(t)=f~x(t-'t)g('t)d't, t<O:y(t)=O, t>O:y(t)= fe-{H)'te-td't=0,St2e-l.

3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 3. (bei den aIteren Auflagen 2.) Abschnitt

des Lehrbuches, sie sind in insgesamt drei Gruppen unterteilt. Die erste Aufgabengruppe 3.1

urnfaBt sechs Beispiele zur Fourier-Reihenentwicklung und zur Berechnung von

Fourier-Transformierten. Bei den Lasungen wird bisweilen auf die in der Korres

pondenzentabelle (Anhang A.I) zusammengestellten Ergebnisse zurUckgegriffen. Die

Aufgabengruppe 3.2 mit ebenfalls sechs Aufgaben bezieht sich auf die Ermittlung von

Systemreaktionen unter Verwendung der Beziehung YUro) =XUro)GUro). Die Auf

gabengruppe 3.3 umfaBt zehn Aufgaben tiber das gesamte Stoffgebiet. Die Lasungen sind hier

in ktirzerer Form und mit weniger ErkHirungen angegeben.


handelt sich hier urn besonders charakteristische Aufgaben mit detaillierten LOsungen und oft

auch noch zusatzlichen Hinweisen. Die Bezeichnung "K" bedeutet, daB die Lasungen nur in

einer Kurzform angegeben sind. Die wichtigsten Gleichungen zur Lasung der Aufgaben sind

im Abschnitt 1.3 zusammengestellt.

Aufgabengruppe 3.1

Die Aufgaben dieser Gruppe befassen sich mit der Darstellung periodischer Funktionen durch

Fourier-Reihen und der Berechnung von Fourier-Transformierten (Spektren) einfacher Signale.

Der Leser wird auch auf die grundlegenden Beispiele im Lehrbuch hingewiesen.

Aufgabe 3.1.1

Das rechts skizzierte periodische Signal.hat im

Bereich 0 < t < T die Formf(t) = e-kt , k > o. a) f(t) solI in Form einer Fourier-Reihe dar

gestellt werden.

b) Die Fourier -Transformierte F U ro) von f(t) ist

zu ermitteln.

Losung -T

f(t)

o T 2T

a) Ftir die komplexen Fourier-Koeffizienten erhaIt man nach Gl. 3.2 bei einer (zulassigen)

Anderung des Integrationsbereiches in 0 bis T

E

3Tt

66 3 Die Fourier-Transformation und Anwendungen

e ll Tf ( ) -jV(f'o'd 1 1 T -kt -jv"'o'd 1 1 T -t(k + jV(fJold =- t e t =- e e t =- e t = v ToT 0 T 0

= 1 -1 e -t(k+jv"'ol IT = 1 (_ -T(k+jV"'ol) = 1 (l_e-kT) T k + jvOOo 0 kT + jv2rc 1 e kT + jv2rc ,(cooT = 2rc!).

Fourier-Reihe in komplexer Form:

= jv"'o' ~ 1 -kT jV"'o' f(t)= L eve = k kT . 2 (l-e)e ,coo=2rc/T,k>0.

v~- v~- + JV rc

Durch die Zusammenfassung von jeweils zwei Reihengliedem mit Indizes unterschiedlichen

V orzeichens erhalt man nach einigen elementaren Rechenschritten

-jV"'ot jV"'o' -kT {COS(VOOot) - j sin(vOOot) cos(vOOot) + j Sin(VOOot)} e ve + eve = (l - e ) + = - kT - jv2rc kT + jv2rc

1 -kT 2 2- e 2 2 {2kTcos(vcoot) + v4rcsin(vcoot)} = avcos(vcoot) + bv sin(vcoot).

k T +v 4rc

Damit lautet die Fourier-Reihe in ihrer reellen Form (Gl. 3.1)

1 -kT -e av=2kT 2 2 2 2'

k T +v 4rc

Das Bild zeigt nochmals f(t) (im Fall kT = 2)

und die Fourier-Approximation let) mit 21

Reihengliedem in der reellen Form (v = 0 bis

v = 20) bzw. mit 41 Reihengliedem bei der

komplexen Form (v = -20 bis v = 20).

Hinweise:

f(t) f(t)

Die Fourier-Koeffizienten ev nehmen hier bei groBen Werten von V mit l/v abo Man kann zeigen,

daB dies bei allen (periodischen) Funktionen mit Unstetigkeiten in Form von Sprungstellen der

Fall ist. Bei stetigen Funktionen nehmen die Fourier-Koeffizienten mit (mindestens) l/v2 ab und

dies bedeutet eine schnellere Konvergenz der Fourier-Reihen. Zusatzlich zu der schlechten

Konvergenz tritt bei unstetigen Funktionen das sogenannte Gibbs' sche Phanomen auf. Darunter

verstehtman die "Uberschwinger" der Fourier-Approximation an den Unstetigkeitsstellen (siehe

l(t) im obigen Bild). Diese "Uberschwinger" haben eine Hohe von fast 9% und verringem sich

auch nicht bei Approximationen mit mehr Reihengliedem.


b) Zur Ermittlung der Fourier-Transformierten von f(t) geht man am besten von der

Korrespondenz /mot 0-21t5( CO - COo) aus. Diese Korrespondenz kann der Tabelle im Anhang

A.i entnommen werden, sie wird im Absehnitt 3.4.3 des Lehrbuehes abgeleitet. Wegen der

Linearitat der Fourier-Transformation erhlilt man dann aus der komplexen Fourier-Reihe

- - i_e-kT F(jco)= L Cv21t~(co-vCOo)= L kT . 2 21t~co-vcoo)·

v=_ v=- +]V 1t

Auf eine graphisehe Darstellung von F(jco) wird verziehtet (siehe Lehrbuehabsehnitt 3.4.3).

Aufgabe 3.1.2

Gegeben ist das reehts skizzierte Signalf(t) = sin2(COot).

a) f(t) ist in Form einer Fourier-Reihe darzustellen.

b) Das Spektrum F(jO)) soIl ermittelt und skizziert werden.

LOsung

a) Mit sin2(x) = 0, S - 0, S eos(2.x) erhlilt man unmittelbar die Fourier- Reihendarstellung

f(t) = 0, S - 0, S eos(20)0t).

Mit der Beziehung eosx = O,Se jx +O,Se-jx folgt daraus die Darstellung in komplexer Form

f(t) = 0, S - 0, 2S/2mot - 0, 2Se -j2IDo'.

b) Mit I 0- 21t~( 0)), e ±j2mot 0- 21t~( 0) + 2COo) (siehe Anhang

A.I) erhlilt man die Fourier-Transformierte

F(jO)) = 1l~(0)) -~~(O) - 20)0) -~~(O)+ 20)0).

WegenderEigensehaftf(t) = f(-t)istF(jO)) = R(O))einereelle

und ebenfalls gerade Funktion. R(O)) ist reehts skizziert.

Aufgabe 3.1.3

Die Fourier-Transformierte des reehts skizzierten Signales

f(t) = s(t)sin\O)ot), COo = 21t1T ist zu ermitteln. Weiterhin sollen der Real- und Imaginarteil

von F(jO)) angegeben werden.

Losung

o

ret)

w

Mit sin2(x) = O,S -0, S eos(2.x) findet man flir f(t) die Formf(t) = 0, Ss(t) - O,Ss(t)eos(2COot).

68 3 Die Fourier-Transfonnation und Anwendungen

Mit den in der Tabelle im Anhang A.I angegebenen Korrespondenzen fur s (t) und s (t) cos( OOot)

erhlilt man die gesuchte Fourier-Transformierte

1t 0,5 1t 1t 0,5jro F(jro) =-O(ro) +---O(ro- 2ro ) --O(ro+ 2ro ) - .

2 jro 4 0 4 0 (2000)2 _ ro2

Aus dieser Beziehung erhlilt man den Real- und Imaginmeil

R(ro) =~2 O(ro) -~4 O(ro- 2roo) -~4 O(ro+ 2roo), X(ro) = _ 0,5 _ 0,5ro ro (2000)2 - ro2

Aufgabe 3.1.4 E

Unter Verwendung des Zeitverschiebungssatzes (01. 3.10) solI die Fourier-Transformierte von

f(t) = cos( root - <p) berechnet werden.

Losung

Zunachst schreibt man

f(t) = cos(root - <p) = cos[roo(t - <p/roo)] = cos[roo(t - to)] mit to = <p/roo'

Mit der Korrespondenz (siehe Tabelle im Anhang A.I) cos (root) 0-1t0(ro- roo) + 1tO(ro + roo)

folgt dann mit dem Zeitverschiebungssatz

und mit to = <pI roo

-jOlt cos[roo(t - to)] 0-{1tO(ro - roo) + 1tO(ro+ roone 0

F (j ro) = {1t0( ro - roo) + 1t0( ro + roo)}e -NroI"'o.

Dies ist allerdings noch nicht das Endergebnis. Wendet man niimlich die Beziehung

f(ro)O(ro + roo) = f(±roo)O(ro+ roo) (siehe 01. 2.5) bei den beiden Summanden von F(jro) an, so

erhlilt man

F (j ro) = 1t0( ro - roo)e -N + 1t0( ro + roo)ej<P.

FUr <p = 0 erhlilt man daraus das Spektrum von cos( root) und fUr <p = 1t/2 das von sine root).

Aufgabe 3.1.5

Das Spektrum des rechts skizzierten Signales f(t) solI

berechnet werden.

Losung Durch unmittelbare Anwendung der Orundgleichung 3.3 wird

f(t)

2B - - - - .---..,

B I o T 2T t

-B -jOlt IT -2B -jOlt 12T B (1 -jroT) 2B (-jroT -j2roT) =-e +--e =- -e +- e -e joo 0 joo T joo joo .

Mit der Beziehung e-jx = cosx - j sinx erhalt man hieraus den Real- und Imaginmeil

R(oo) = ~{2 sin(2OOT) - sin(ooT)}, X(oo) = ~{2cos(2OOT) - cos(ooT) - I}. 00 00

Hinweis auJ einen anderen LOsungsweg:

J(t)wird mit der SprungfunktiongeschlossendargestelltJ(t) = Bs(t) + Bs(t - T) - 2Bs(t - 2T).

Mit der Korrespondenz s (t) O-1tO( (0) + 1IU (0) erhalt man dann bei Anwendung des

Zeitverschiebungssatzes die (oben angegebene) Fourier-Transforrnierte. Die bei dieser

Losungsmethode auftretenden Dirac-Impulse kiirzen sich weg (Gl. 2.5).

Aufgabe 3.1.6

Gegeben ist die rechts im Bild skizzierte FunktionJ(t).

a) FUoo) soll unter Verwendung einer im Anhang A.l

angegebenen Korrespondenz ermittelt werden. Der Betrag

1 FUoo) 1 ist darzustellen.

b) FUoo) soll ohne Verwendung der Korrespondenzentabelle

berechnet werden.

Losung

a) Offensichtlich gilt J(t) = J(t - T). Die Fourier-Trans

formierte von Jet) kann aus der Tabelle im Anhang A.l

entnommen werden (vorletzte Korrespondenz):

FUoo) = 4sin2(~T!2). Too

Da J(t) = J(t - T) ist, erhalt man nach dem Zeitver

schiebungssatz (Gl. 3.10)

FUoo) = FUoo)e -jroT = 4 sin2(ooTI2) e -jroT.

Too2

Wegen 1 e-jroT 1= 1 wird

1 FUoo) 1= 4Sin2(~T!2). Too

Diese Betragsfunktion 1 FUoo) 1 ist rechts skizziert.

F<t) 1

t

t

b) Die unmittelbare Berechnung der Fourier-Transforrnierten nach Gl. 3.3 ist bei dem

vorliegenden Signal J(t) recht umstandlich. Es ist einfacher von let) auszugehen und den

Zeitverschiebungssatz anzuwenden. Dal(t) eine gerade Funktion ist, gilt (GIn. 3.4, 3.6)

F(joo) = R(oo) = f~ l(t) cos(rot)dt = 2 faT j(t)cos(oot)dt.

Bei dem ganz rechten Integral wurde (nochmals) die Eigenschaftl(t) = j(-t) ausgenutzt. Wir

erhalten dann mit l(t) = 1 - tiT fur 0 < t < T

F(jOO) = 2 fa T 1-~ )cOS(oot)dt = 2 fa T cos(oot)dt -~ fa T t cos(oot)dt =

2 IT 2 cos(oot) IT 2 t sin(oot) IT 2 =-sin(oot) ----z- -- =-z[l-cos(ooT)]. 00 0 T 00 0 T 00 0 Too

Mit 1- cos(ooT) = 2 sinz(ooTI2) ergibt sich schlieBlich die Korrespondenz

F(joo) = 4sin2(ooT!2) Tooz

und daraus mit dem Zeitverschiebungssatz (Gl. 3.10) die gesuchte Fourier-Transformierte

F(joo) = F(joo)e-jroT•

Aufgabengruppe 3.2

Die Aufgaben dieser Gruppe befassen sich mit der Ermittlung von Systemreaktionen unter

Anwendung der Beziehung Y(jOO) =X(joo)G(joo).

Aufgabe 3.2.1

Die rechts skizzierte Schaltung hat die (wirklichen) Baue

lementewerteRw = 10000hmund Cw = 159,2nF. Zuberechnen und

zu skizzieren sind

a) die Impulsantwort get), b) die Sprungsantwort h(t).

E

Die Rechnung ist normiert durchzufiihren, der Bezugswiderstand solI den Wert Rb = 1000 Ohm

haben, die Bezugsfrequenz den Werth, = 1000 Hz.

Losung Entsprechend den im Abschnitt 1.1 angegebenen Beziehungen (Tabelle 1.1) erhalten wir mit

OOb = 21th, = 6283,2 S-1 die normierten Bauelementewerte

~ 1~ ~ R =RIl = Rb = 1000 = 1, C = CII = RhOObCw = 1000·6283,2·159,210 = l.

Die Schaltung hat also die norrnierten Bauelementewerte R = Rn = 1 und C = CII = 1.

Aufgabengruppe 3.2

Die Ubertragungsfunktion der (norrnierten) Schaltung lautet

. U2 R jroRC jro ~_ ao+aJro G(jro) = UI = R + lI(jroC) 1 + jroRC lI(RC) + jro 1 + jro - bo+ jro .

Die Errnittlung von get) und h(t) kann mit Gl. 3.23 erfolgen.

a) Mit ao = 0, al = 1, bo = 1 erhalt man aus Gl. 3.23

get) = alo(t) + s(t)(ao - albo)e -bot = o(t) - s(t)e-t.

71

Zu dem gleichen Ergebnis kommt man, wenn die Ubertragungsfunktion zunachst folgen

dermaBen umgeformt wird

. jro 1 G(jro) = 1+ jro = 1- 1 + jro

und die beiden Summanden (mit Hilfe der Korrespondenzen im Anhang A.l) zuriick

transforrniert werden.

Aus der rechts skizzierten Impulsantwort der norrnierten

Schaltung erhiilt man die "wirkliche" Impulsantwort folgen

dermaBen. Es gilt tw = tn/rob = 1,592 10-4 . tno Dies bedeutet,

daB die Zeitachse "umskaliert" werden muB. An die Stelle

t = tn = 1 ist t = tw = 0, 1592 ms zu schreiben. Wie bei dem

Beispiel im Lehrbuchabschnitt 3.5.2 erkliirt wurde, ist die

normierte Impulsantwort zusatzlich noch mit rob = 6283,2 S-I

zu multiplizieren. An die "Ordinatenstelle 1" ist also der Wert

6283,2 S-I zu schreiben. Formal lautet die "wirkliche"

Impulsantwort -1

gCt) o(t)

gw(tw) = robgn(twrob) = 6283, 2{ 0(6283,2· U - s(6283, 2· tw)e --Q283.2tw} •

t

Weil das Eingangssignal bei dem Netzwerk eine Spannung ist, hat die Impulsantwort hier die

Dimension Vs· l .

b) Mit ao = 0, a l = 1, bo = 1 erhalt man nach Gl. 3.23 die (normierte) Sprungantwort

{ ao ao-albo -bl} I h (t) = s (t) bo bo e 0 = s (t)e - .

Statt der Anwendung dieser Formel kann man natiirlich auch

Y(jro) = X(jro)G(jro) = (1[O(ro) +~J . ~ = _1._ Jro 1 + Jro 1 + Jro

berechnen und den rechten Ausdruck zuriicktransforrnieren. Bei der Rechnung wurde die Regel

1(ro)8(ro) = 1(0)8(ro) angewandt (Gl. 2.5).


Die Sprungantwort ist rechts skizziert. Die "wirkliche" h(t)

Sprungantwort erhaIt man durch eine Umskalierung der

Zeitachse, wobei tw ::: tn/rob::: tn . 1,59210-4 gilt. An die Stelle

t ::: tn ::: 1 ist also die Zeit 0,1592 ms zu schreiben. Da Ein- und

Ausgangssignal bei dem Netzwerk beide Spannungen sind,

entfaIlt eine Umskalierung der Ordinate. Formal gilt

6 --6Z83,Z· 'w hw(tw) ::: hn(twrob) ::: s ( 283,2· tw)e .

Zusatz:

t

Leser, die mit den Normierungsproblemen Schwierigkeiten haben, konnen zur Kontrolle

unnormiert rechnen. Man erhaIt in diesem Fall mit ao::: 0, a l ::: 1, bo::: 1/(RC)

::: 11(1000· 159,210-9) "" 6283 S-l z.B. die Impulsantwort

g (t) ::: alo(t) - s(t)(ao - albo)e -brf ::: oct) - s(t)6283e -6Z83,.

In dieser Gleichung hat t die Bedeutung der wirklichen Zeit. Das Ergebnis unterscheidet sich

von dem oben angegebenen noch durch den anderen Faktor und das andere Argument bei dem

Dirac-Impuls. Wendet man aber die Regel o(at)::: oCt)! I a I an (Gl. 2.7), so wird

6283 . 0(6283 t) ::: oct), so daB nur ein scheinbarer Widerspruch vorliegt. Der Unterschied bei

dem Argument der Sprungfunktion ist ohne Bedeutung.

Aufgabe 3.2.2

R L -c:::::JH-----r--l~

unterschiedlichen (normierten) Bauelementewerten berechnet und u1jX(t) cT u2jy(t)

Die Impulsantwort g (t) des rechts skizzierten N etzwerkes solI bei

skizziert werden. _

a)L::: 1, C::: I,R :::0,5. b)L::: 1, C::: I,R :::4. c)L::: 1, C::: I,R :::2.

Losung

Losungsweg: Aufstellung der Dbertragungsfunktion GUro) und deren Riicktransformation in

den Zeitbereich (g (t) 0- G U ro) ). Man erhaIt die Ubertragungsfunktion

GUro) _ Uz _ 1I(LC) ao+aJro+azUro)2

- Ul -1I(LC)+ jroR/L+Uroi bo+bJro+Uro)z'

Bei unterschiedlichen Nullstellen des Nennerpolynoms von GUro) kann die Impulsantwort

nach der im Abschnitt 1.3 angegebenen Gl. 3.24 berechnet werden.

a) L::: 1, C ::: 1, R ::: 0,5: ao::: 1, a l ::: az ::: 0, bo::: 1, b l ::: 0,5.

Nullstellen des Nennerpolynoms: PI ::: -114 + j-.Jl5 /4, pz ::: -114 - j-.Jl5 /4.

Wegen PI *' pz kann GI. 3.24 verwendet werden:

g(t):::a20(t)+s(t){A leN +AzeP2'j.

Aufgabengruppe 3.2

Man erhalt mit Al = 2/(j-{i5) = -A2

(t) (t) 2 «(..{J,2S + j...{fS14lt (..{J,2S - j...{fS14lt) (t) 2 ..{J,2St( jt...{fS;4 -jt...{fS14) g =s -- e -e =s --e e -e . j-{i5 j-{i5

Daraus folgt mit e1x - e -jx = 2j sinx schlieBlich

g(t) = s(t) _ ~e..{J'2St sin(t-{i5/4). -v15

Diese Impulsantwort ist unten im Bild skizziert (Bezeichnung a).

b) L = 1, C = 1, R = 4: ao = 1, a l = ~ = 0, bo = 1, bl = 4.

Nullstellen des Nennerpolynoms: PI = -2 +...J3. P2 = -2 ---/3. Auch hier treten zwei unterschiedliche Nennernullstellen auf, so daB Gl. 3.24 verwendet

werden kann. Man erhalt mit Al = 1I(2--J3) = -Az

g(t) = s(t)_I_(e(-z+V3lt _e(-Z-V3)t). 2--/3

Diese Impulsantwort ist unten im Bild skizziert (Bezeichnung b), man spricht hier von dem

"Kriechfall" .

c) L = 1, C = 1, R = 2: ao = 1, a l = ~ = 0, bo = 1, b l = 2.

Nullstellen des Nennerpolynoms: PI,Z = -1.

Das Nennerpolynom hat eine doppelte Nullstelle, daher ist Gl. 3.24 nicht anwendbar. Wir

erhalten hier

G(jOl) = 1 1 1+2jOl+(jOli (l+jOli'

Dieser Ausdruck kann sofort zurucktransformiert

werden, man erhalt (siehe Tabelle A.l)

g(t) = s(t)te-t.

g(t) ist rechts im Bild skizziert (Bezeichnung c), man

spricht hier von dem "aperiodischen Grenzfall".

Aufgabe 3.2.3

Gegeben ist ein System mit der Ubertragungsfunktion

G(j ) =3+2jOl Ol 1+2jOl'

a) Man berechne die Impulsantwort und Sprungantwort des Systems.

73

t

b) Mit Hilfe der Beziehung Y(jOl) =X(jOl)G(jOl) solI die Systemreaktion auf x(t) = s(t)e-I,St

berechnet werden.


Losung

a) Zur Ermittlung der Impulsantwort schreiben wir

GUm)== 3+2jm == 1,5+ jm (0,5+ jm)+ 1 == 1 + 1 . 1+2jm 0,5+jm 0,5+jm 0,5+jm

Die beiden Summanden (in der rechten Form) von GUm) lassen sich mit Hilfe der

Korrespondenzen im Anhang A.l zuriicktransformieren, man erhiilt

g(t) == o(t) + s(t)e -Q,s,.

Mit der Korrespondenz s(t) 0-1to(m)+ lIUm) erhiilt man die Fourier-Transformierte der

Sprungantwort

YUm) == XUm)GUm) == (1to(m) +~)~' ~ + ~m == 31to(m) +. 1(~; j~ ) == Y1Um) + Yhm). Jm , + Jm Jm , + Jm

Bei der Berechnung von Y1Um) == 31to(m) wurde die Regelf(m)o(m) == f(O)o(m) angewandt. Der

zweite Summand muB in Partialbriiche entwickelt werden, es gilt

. 1,5+jm 3 2 Yhm) == jm(O, 5 + jm) jm 0,5 + jm'

Damit erhiilt man insgesamt

YUm) == 31to(m) +~- 0 / . Jm ,+Jm

und mit den Korrespondenzen 21to(m)-OI, 2/Um)-Osgnt, 11(0,5 +jm)-O s(t)e-Q·s,

schlieBlich die Sprungantwort

h(t) == 1,5 + 1,5 sgn t - 2s(t)e-Q,s, == s(t)(3 - 2e -Q,s,).

Den rechts stehenden Ausdruck erhiilt man mit der vom Leser leicht nachkontrollierbaren

Beziehung 1+ sgnt == 2s(t).

Hinweise:

1. g(t) und h(t) kannen auch mit der in der im Abschnitt 1.3 angegebenen Gl. 3.23 ermittelt

werden (ao == 1,5, a 1 == 1, bo == 0, 5).

2. Auf die graphische Darstellung der Ergebnisse wird hier verzichtet CObung fUr den Leser).

3. Partialbruchentwicklungen werden im Lehrbuchabschnitt 5 im Zusarnmenhang mit der

Laplace-Transformation ausfUhrlich behandelt.

b) Das Signal x(t) == s(t)e-1,St hat die Fouriertransformierte XUro) == 1/(1,5 + jro). Damit wird

. . . 1 1,5+jro YUro) ==XUro)GUro) == 1,5 + jro 0,5 + jro 0,5 + jro'

y(t) == s(t)e-Q,s,.

Aufgabe 3.2.4 E

Das Bild zeigt ein System mit seinem Ein- und Ausgangssignal (siehe auch Aufgabe 2.3.3):

() _ -III ()_{0,25e l furt<0 x t -e , y t - 2. 0,25e-t+0,5te-I +0,5t e-t fur t>O

Gesucht sind die Ubertragungsfunktion und die Impulsantwort des Systems.

x(t) y(t)

''''1 SysteM ~Y") -1 t -4 -2 0 2 4 t

Losung

Die Fourier-Transformierte von x(t) kann der Tabelle im Anhang A.I entnommen werden:

. 2 2 XUoo) = 1 + 002 = (1 + joo) (1- jOO)·

Zur Ermittlung von YUoo) stellt man yet) zweckmaBig folgendermaBen als geschlossenen

Ausdruck dar:

yet) = 0, 25e -I t I + s(t)O, 5te -I + s(t)O, 5t2e -I.

Dann findet man mit den in der Korrespondenzentabelle angegebenen Beziehungen

YU) 0,5 0,5 1 00 =--+ + .

1 + 002 (1 + joo)2 (1 + joo)3

Mit diesen Fourier-Transformierten erhaIt man aus der Beziehung YU (0) = XU oo)G U (0)

GUoo) = YUoo) = 0 25 + 0, 25(1- joo) + 0, 5(1- joo) . XUoo)' 1 + joo (1 + jooi

Durch elementare Rechnung ergibt sich schlieBlich g(t)

GU.oo)- 1 - (1 + jooi

und die rechts skizzierte Impulsantwort

get) = s(t)te -I. t

Aufgabe 3.2.5

Ein System reagiert auf das Eingangssignal x(t) = eiOll mit

eiOXt - Z)

y(t) =-1 -.-. +Jro

Zu berechnen sind die Ubertragungsfunktion und die Impulsantwort des Systems.

Losung Wenn x(t) = eiOll ist, lautet yet) = G(jro)eiOll (Gl. 2.18). Damit erhaIt man hier

G(jro) = yet) I =_I._e-zjm•

xU) x(t)=.,!"" 1 + Jro

Zur Riicktransformation von G(jro) kommt der Zeitverschiebungssatz der Fourier-Trans

formation (GI. 3.10) zur Anwendung:

f(t) 0-F(jro) ~ f(t - to) 0-F(jro)e -iOllO.

Mit der Korrespondenz sU)e-t 0-11(1 + jro) und to = 2 gilt

s(t)e-t0- 1}jro ~ S(t-2)e--<t-Z)0-1}jro e-im2.

Damit lautet die gesuchte Impulsantwort

get) = set - 2)e--<t-Z).

Auf eine Skizze filr get) wird verzichtet, es handelt sich urn die urn zwei Zeiteinheiten nach

rechts verschobene Funktion s(t)e-t.

Aufgabe 3.2.6

Gegeben ist ein System mit der Ubertragungsfunktion

G(j) jro ro = (1 + jro)3'

Die Impuls- und die Sprungantwort des Systems sind zu berechnen und zu skizzieren.

Losung Zur Bestimmung von get) als Fourier-Riicktransformierte von G(jro) ist eine Partial

bruchentwicklung

. jro Al Az A3 G(jro) = =--+ +---

(1 + jro)3 1 + jro (1 + jro)z (1 + jro)3

durchzufilhren. Diese (miihsame) Aufgabe kann vermieden werde, wenn zunachst h(t) ermittelt

wird und dann get) = h'(t).


Mit der Korrespondenz s (t) 0-n:8( (0) + 1/(j (0) wird die Fourier -Transforrnierte der Sprung

antwort

Y(joo) =X(joo)G(joo) = (n:8(OO) +-!-) j~ 3 = 1. 3. JOO (1 + JOO) (l + JOO)

Bei der Berechnung ist die Beziehungf( 00 )8( (0) = f(0)8( (0) zu beachten. Die RUcktransformation

kann mit Hilfe der Tabelle im Anhang A.l erfolgen, man erhli.lt die unten skizzierte Sprung

antwort

h(t) = s(t)0,5tZe-'.

Durch Ableitung von h(t) findet man (unter Beachtung der Beziehung f(t)8(t) = f(0)8(t)) die

ebenfalls unten skizzierte Impulsantwort

get) = s(t)O, 5te-'(2 - t).

Aus der Form von get) kann man nun leicht die Ent

wicklungskoeffizienten der ganz oben angegebenen Partial

bruchentwicklung fUr G (j (0) erhalten. Die Transformation (der

beiden Surnmanden) von get) in den Frequenzbereich liefert

. 1 1 -0,1

G(joo) = (1 + joof (1 + joo)3 also Al = 0, Az = 1, A3 =-1.

Aufgabengruppe 3.3

t

Bei diesen Aufgaben werden die Losungen in kUrzerer Form angegeben. Die Aufgaben beziehen

sich auf den gesamten Stoff des Lehrbuchabschnittes 3.

Aufgabe 3.3.1

Das Spektrum der rechts skizzierten Funktion f(t) solI

berechnet werden.

Losung Mit der Defintionsgleichung fUr die Fourier-Transformierte

(Gl. 3.3) erhli.lt man

K

f(t)

21------,

o

Aufgabe 3.3.2 K

2

Filr die reehts skizzierte Funktion f(t) = e-I und deren eben-_ 2

falls reehts skizzierte Ableitungf(t) = f' (t) = - 2t e -I sol1en die

Fourier-Transformierten ermitte1t werden.

Losung t

Aus der Korrespondenzentabelle entnimmt man

F(jro) = -{ite -uh4.

Naeh der Regel von der Differentiation im Zeitbereieh (Gl. 3.12) hat die Ableitung vonf(t) die

Fourier-Transformierte jroF(jro), also wird

F(jro) = jro-{ite-"li4.

Aufgabe 3.3.3

Die Fourier-Transformierte X(jro) des reehts skizzierten

Signales x(t) = e- I I I solI bereehnet werden.

Losung Urn das Integral (Gl. 3.3) rur die Fourier-Transformation

anwenden zu konnen, stellen wir x (t) folgendermaBen dar

) -III {e l filr t <0 x(t = e = , e-I rur t>O

dann erhalten wir (siehe aueh Korrespondenzentabelle im Anhang A.l)

x(t)

X(jro) = f~ x(t)e-jOJldt = f~ e'e-jOJldt+ i~ e-1e-j0l1dt = f~ e'(l-jro)dt+ i~ e-tCI+jOl)dt =

= _l_e'CI-jOl) 10 + ~e-I(l+jOl) I~ =_1_+_1_=_2_. 1 - j ro ~ 1 + j ro 0 1 - j ro 1 + j ro 1 + ro2

Aufgabe 3.3.4

Die Fourier-Transformierte des rechts skizzierten Sig

nales

f(t) = s(t)e-ill cos(root), a> ° solI bereehnet werden.

Losung . ju'o' -j"'o'

Mit eos( root) = 0, 5e + 0, 5e erhalten wir (siehe

aueh Korrespondenzentabelle im Anhang A.l)

1 f(t)

K

t

K

t

Aufgabengruppe 3.3

-° 51 ~ -t(a + jOl- j"'old ° 51 ~ -t(a + jOl+ j"'old _ -, e t+, e t-o 0

= e - e = 0,5 -t(a + jro-j"'oll~ 0,5 -t(a + jOl+ j"'ol I~

a + j(ro-ffio) 0 a + j(ro+ffio) 0

0,5 0,5 a + jro = +

a + j(ro-roo) a + j(ro+ffio) [a + j(ro-ffio)][a + j(ro+ffio)]

Aufgabe 3.3.5

Das Bild zeigt die Impulsantwort g(t) = e-(t-2l' eines

Systems. Die Ubertragungsfunktion des Systems ist zu

ermitte1n. AuBerdem ist zu begriinden, daB das

vorliegende System nicht kausal ist.

Losuug -1

a + jro

Aus der Korrespondenzentabelle im Anhang A.l entnimmt man die Korrespondenz

e-t ' o--{-ite-(J)'/4.

Dann erhiilt man mit dem Zeitverschiebungssatz (Gl. 3.10) die Ubertragungsfunktion

G(jro) = -{-ite -(J)2/4e -2j Ol_Q e -(t-2l' = g (t).

Das System ist nicht kausal, wei! g(t) ~ ° fiir t <0 ist (siehe Gl. 2.16).

Aufgabe 3.3.6

Ein System reagiert auf das Eingangssignal x(t) = lOe jOlt mit

( ) _ 20+ lOjro jOlt yt - 1 2. e . + Jro

a) Man berechne die Ubertragungsfunktion des Systems.

b) Man berechne die Impuls- und die Sprungantwort.

Losung a) GemaB Gl. 2.18 erhiilt man

. 2+jro G(jro) =-1 2·

+ Jro

1 +0,5jro 0,5+jro·

79

K

4 t

K


b) Aus der rechten Form von G(jm) entnehmen wir die Koeffizienten ao = 1, a] = 0,5, bo = 0, 5

und erhalten nach Gl. 3.23

get) = 0, 50(t) +0, 75s(t)e-o,5t, h(t) = s(t)(2 -1, 5e -o,5t).

Aufgabe 3.3.7

Das Bild zeigt eine Schaltung mit einem Ein- und Ausgangssignal.

Zu berechnen sind die Impuls- und die Sprungantwort. Der Verlauf I der Sprungantwort ist physikalisch zu interpretieren. x(t)

Losung

K

yet)

c=f= R

Die Dbertragungsfunktion lautet (komplexer Ausgangsstrom zu komplexer Eingangsspannung)

. 1/(2R2C) G(jm) = 3/(2RC) + jm

Mit der im Abschnitt 1.3 angegebenen Beziehung 3.23 erhtilt man dann

g (t) = s(t)_1_e -3t/(2RC) h(t) = s(t)_l_(l- e-3tl(2RC)). 2R2C' 3R

Physikalische Interpretation von h(t):

Die Sprungantwort ist die Systernreaktion auf x(t) = set). Wenn zum Zeitpunkt t = 0 die

Eingangsspannung von 0 auf 1 V "springt", wird im ersten Moment kein Strom yet) flieBen,

weil der Kondensator ungeladen ist. Dies bedeutet h (0) = O. N ach hinreichend langer Zeit ist

der Kondensator voll aufgeladen, der gesamte Strom flieBt durch den Widerstand R. Dieser hat

bei 1 V Eingangsspannung den Wert 1/(3R). Daraus folgt h(oo) = 1/(3R). Skizze von h(t) durch

den Leser!

Aufgabe 3.3.8

Bei der rechts skizzierten Schaltung soll die Systernreaktion auf das

Eingangssignal x (t) = s (t) sin t berechnet werden.

Losung Die Ubertragungsfunktion des Systems lautet

G . 1 + (jOl)2 1- Ol2

(jm) = 1 +2jm+ (jroi (1 + jOl)2'

K

Aufgabengruppe 3.3

Aus der KorrespondenzentabelIe im Anhang A.1 entnehmen wir die Fourier-Transforrnierte

X(jm) = 1t. O(m_1)_1t. O(m+1)+_1_. 2J 2J 1-m2

Dnter Beachtung der Beziehungf(m)o(m+ 1) = f(±l)o(m+ 1) erhalten wir dann

Y(jm) =X(jm)G(jm) = 1 2' y(t) = s(t)te -'. (1 + jm)

Aufgabe 3.3.9

81

K

Gegeben ist die im Bereich ° 75.t < To betrachtete Funktion f(t) = e-'. f(t) wird im Abstand

T = ToilO abgetastet, es enstehen die Abtastwertef(O) = l,f(T) = e -0. ITo ••• f(9T) = e -o,9To• Zu

berechnen ist die diskrete Fourier-Transforrnierte F(mQ) des Signalesf(nT).

Losung Nach Gl. 3.18 im Abschnitt 1.3 erhlilt man (mit e-jm21t = 1)

F(mQ) = f f(nT)e-j21r1!mI1O = f e -o,lnTOe -121t1,mI1O = f e -nO,I(To+j2rtm) = n=O n=O Il=O

9 1 -To

( -o,I(T. + j21t1n))" - e = ~oe 0 =1 -o,I(To+j21t1n)' m=0 ... 9, Q=21tITo'

1l- -e

Zur Auswertung der Summe wurde die Formel fUr die Summe einer geometrischen Reihe (Gl.

6.7) angewandt.

Aufgabe 3.3.10 K

f(t) sei ein bandbegrenztes Signal mit der Grenzfrequenzk Von dem Signalliegen folgende

Abtastwerte im Abstand T = 1t/mg = 1/(2,!g) vor: f(-2T) = 0, l,f(-T) = 0,5,f(0) = l,f(T) = 0, 5,

f(2T) = 0,1. Der "Zwischenwert" f(O, 5T) solI (niiherungsweise) berechnet werden.

Losung Nach Gl. 3.20 gilt bei den hier vorliegenden Voraussetzungen

= sin[mg(t -v1t/mJ] f(t) = L f(v1t/mg) .

V=~ mg(t -v1t/mg)

FUr t = 0, 5T erhalten wir aus dieser Gleichung mit mgt = (1tIT) . 0, 5T = 1t/2:

f(O 5T) '" ° 1· sin(2,51t) +05. sin(1,51t) + 1. sin(0,51t) + , , 2,51t ' 1, 51t 0,51t

+0,5. sin(-O,51t) +0,1. sin(-1,51t) 0,8403. -O,51t -1,51t

4 Ideale Ubertragungssysteme

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 4. (bei den ill.teren Auflagen 3.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in drei Gruppen unterteilt. Die Aufgabengruppe 4.1 enthalt fiinf

Beispiele, die sich auf verzerrungsfrei tibertragende Systeme beziehen oder bei denen zu

untersuchen ist, ob die Bedingungen ftir eine verzerrungsfreie Ubertragung vorliegen. Der

Abschnitt 4.2 enthill.t flinf Aufgaben tiber ideale Tief- Hoch- und BandpaBsysteme. SchlieBlich

enthiilt die Aufgabengruppe 4.3 vier weitere Beispiele, die den gesamten Stoff betreffen und

bei denen die Losungen in ktirzerer Form mit weniger Erklarungen angegeben werden.





Gleichungen sind im Abschnitt 1.4 zusarnmengestellt.

Aufgabengruppe 4.1

Die Aufgabengruppe enthalt flinf Beispiele, die sich auf verzerrungsfrei tibertragende Systeme

beziehen oder bei denen zu kliiren ist, ob sie verzerrungsfrei tibertragen.

Aufgabe 4.1.1

Ein Ubertragungskanal reagiert auf x(t) mit yet) = 0,1· x(t - T), wobei T> ° sein solI.

a) Urn was flir ein System handelt es sich im vorliegenden Fall?

b) Begriinden Sie, daB das System stabil und kausal ist.

c) Ermitteln Sie die Impulsantwort und die Ubertragungsfunktion des Systems.

d) Ermitteln und skizzieren Sie den Dampfungs- und Phasenverlauf.

Losung

E

a) Der hier vorliegende Zusarnmenhang zwischen dem Ein- und Ausgangssignal hat die Form

yet) = Kx(t - to)mitK = 0,1 undto = T, also handelt es sich umein verzerrungsfrei tibertragendes

System (siehe G1. 4.7). Die Eingangssignale werden bei diesem System lediglich mit dem Faktor

K = 0, 1 multipliziert und urn die Zeit to = T "verzogert".

b) Falls Ix(t) I<M <ooist, ist 1 yet) 1<0, l·M <00, daheristdas System stabil (siehe G1. 2.12).

Wenn x(t) = ° flir t < to ist, ist yet) = ° ftir t <to + T, die Systemreaktion trifft nach der Ursache ein, das System ist kausal (siehe G1. 2.13).

c) MitxCt) = oCt) wird y(t) = get) = 0, lo(t - T) (siehe G1. 4.8). Die Fourier-Transformierte von gCt) ist die Ubertragungsfunktion GUm) = 0, Ie-jOlT (siehe G1. 4.9).

Anderer Weg zur Ermittlung von GUm):

Die Systemreaktion auf x(t) = ejOll lautet yCt) = 0, lx(t - T) = 0, le-jOl(t-T) = 0, Ie-jOlT e jOlt = GUm)e jOll . Aus dieser Beziehung erhalt man flir GUm) den oben angegebenen Ausdruck.

Aufgabengruppe 4.1

d) A (m) =-20 ·lgl G(jm) 1=-20 ·lgO, 1 =20 dB.

Aus der Schreibweise G(jm) =1 G(jm) 1 e-jB(ro) = 0, le-jroT (siehe Gl.

4.4) folgt bier B(m) = mT. Die konstante Diimpfung und die lineare

Phase sind rechts skizziert.

Hinweis:

83

Ein Beispiel fUr ein verzerrungsfrei tibertragendes System ist eine Leitung mit konstanten Werten

der Diimpfungs- und Phasenkonstanten. Durch Netzwerke mit konzentrierten Bauelementen

lassen sich verzerrungsfrei tibertragende Systeme nur nilllerungsweise realisieren.

Aufgabe 4.1.2

Bin System reagiert auf das Eingangssignal x1(t) = cos(ffiot) mit Yl(t) = 0,5 cos(mot -1t/3). Das

g1eiche System reagiert auf das Signal x2(t) = cos(2mot) mit Y2(t) = 0,5 cos(2mot -1t/2).

Begrtinden Sie, daB es sich bier urn kein verzerrungsfrei tibertragendes System handelt.

Losung

Bei einem verzerrungsfrei tibertragenden System gilt y(t) = Kx(t - to). Wir schreiben

Yl (t) = 0,5 cos( mot -1t/3) = 0,5 cos[ mo(t -1t/(3mo))] = 0, 5x1 [t -1t/(3mo)].

Dies wtirde bei einem verzerrungsfrei tibertragenden System K = 0,5 und to = 1t/(3mo) bedeuten.

Mit diesen Werten wtirde die Systemreaktion auf x2(t) = cos(2ffiot) folgendermaBen lauten:

yzCt) = KxzCt - to) = 0, 5 cos[2mo(t -1t/(3mo)] = 0, 5 cos(2mot - 21t/3).

Dies ist aber ein Widerspruch zu der in der Aufgabenstellung angegebenen Systemreaktion

yzCt) = 0, 5 cos(2mot -1t/2). Offensichtlich weist das vorliegende System keinen linearen

Phasenverlauf auf, es ist kein verzerrungsfrei tibertragendes System.

Aufgabe 4.1.3

Gegeben ist ein System mit der rechts skizzierten Impulsantwort

get) = -oCt) + s(t)2e-'.

a) Ermitteln Sie die Ubertragungsfunktion des Systems.

b) Berechnen Sie Diimpfung und Phase. Skizzieren Sie den

Phasenverlauf. Handelt es sich bier urn ein verzerrungsfrei

tibertragendes System?

Losung

2

E

g(t)

t

-c5(t)

a) Mit den im Anhang A.l angegebenen Korrespondenzen erhiilt man die Ubertragungsfunktion

. 2 1- jm GUm) =-1 +--=--.

1 + jm 1 + jm

84 4 Ideale Ubertragungssysteme

b) Wir drticken den Zahler und Nenner der (rechten Form) der Ubertragungsfunktion folgen

dermaBen aus:

Z = 1-jO) =,) 1 + 0)2 eN, \jI = -arctan 0), N = 1 + jO) =,)1 + 0)2 eN, <p = arctan 0).

Dann wird

GUO)) = Z = eN = e -j(<p-'V) = e -j8(ro) mit B(O)) = <p - \jI = 2 arctan 0). N eN

Offensichtlich hat das SystemeinekonstanteDampfungA =-20 ·lg 1 GUO)) 1= OdE. Die (unten

rechts skizzierte) Phase verlauft allerdings nicht linear, es liegt kein verzerrungsfrei ilber

tragendes System vor.

Hinweise: 1\' B(w)

Bei dem vorliegenden System handelt es sich urn einen AllpaB.

Allpasse haben eine konstante Dampfung, sie werden in der

Praxis zur Phasenentzerrung verwandt. Sie sind (im Gegensatz

zu verzerrungsfrei Ubertragenden Systemen) durch Netzwerke

mit konzentrierten Bauelementen realisierbar.

Aufgabe 4.1.4

a 5 10

Ein System reagiert auf Signale der Form x(t) = cos(rot) mit y(t) = f(O))· cos[rot - <p(0))].

15w

a) Geben Sie Beziehungen fUr f(O)) und <p(0)) an, wenn es sich urn ein verzerrungsfrei ilber

tragendes System handelt.

b) Geben Sie Beziehungen furf(O)) und <p(0)) an, wenn es sich bei dem System urn einen idealen

TiefpaB handelt.

Losung

a) Bei einem verzerrungsfrei Ubertragenden System muB ge1ten

y(t) = Kx(t - to) = K . cos[O)(t - to)] = K . cos(O)t - roto)·

Daraus folgt f( 0)) = K, <pC 0)) = roto.

b) Ein idealer TiefpaB ilbertragt Signale der Art x(t) = cos(rot) verzerrungsfrei, solange 0) < O)g

ist. Bei Signalen mit einer Frequenz, die h6her als die Grenzfrequenz O)g des Tiefpasses ist, wird

yet) = O. Daraus folgt

{K fur 0) < O)g

f(O)) = 0 foO ,<p(0)) = O)to ur 0» O)g .

Hinweis:

Die Funktion <p(0)) ist hier ohne Einschriinkung des Frequenzbereiches angegeben. FUr Werte

0» O)g ist y(t) = 0, der Phasenwinkel hat dann keine Bedeutung mehr.

Aufgabe 4.1.5

Ein verzerrungsfrei iibertragendes System reagiert auf das Eingangssignal x(t) = s(t) mit

y(t) = h(t) = 0,5s(t - 2).

a) Errnitteln Sie die Diimpfung und Phase.

b) Berechnen Sie die Systemreaktion j(t) auf das Signal.x(t) = cos(rot).

Losung a) Das verzerrungsfrei iibertragende System reagiert auf x(t) = s(t) mit

yet) = h(t) = Ks(t - to) = 0, 5s(t - 2).

Dies bedeutetK =0,5, to=2,A =-20lg0,5 = 6,02 dB, B(ro) = 2ro.

b) Die Systemreaktion auf .x(t) = cos( rot) lautet

y(t) = K.x(t - to) = 0,5 cos[ro(t - 2)].

Aufgabengruppe 4.2

Die Aufgaben dieser Gruppe beziehen sich auf ideale und linearphasige Tiefpasse sowie auf

ideale Band- und Hochpasse.

Aufgabe 4.2.1

Das Bild zeigt ein periodisches Eingangssignal fUr einen

idealen TiefpaB mit der Ubertragungsfunktion

G (j ro) = {e -jruo/fiJg fUr 1 ro 1< rog •

° fUr 1 ro I> rog

E

2 x(t)

1

- o 1 2 3 4 5 t/I'\S

a) Ermitteln sie die Systemreaktion bei einer Grenzfrequenz des Tiefpasses von~ = 100 Hz.

b) Errnitteln Sie die Systemreaktion bei einer Grenzfrequenz von ~ = 400 Hz.

Losung Das periodische Signal x(t) mit der Periode T = 4 ms kann in Form einer Fourier-Reihe

dargestellt werden. Man erhlilt (durch Rechnung entsprechend Gl. 3.1 oder aus einer Tabelle)

444 x (t) = 1 + ~ cos( root) - 31t cos(3root) + 51t cos(5root) - + ... , roo = 21tfo mit fo = liT = 250 Hz.


Zur Berechnung von yet) errnittelt man die Reaktionen auf die einzelnen Summanden von x(t)

und addiert diese (LineariHitseigenschaft). Dabei ist zu beachten, daB Teilschwingungen mit

Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz des Tiefpasses nicht libertragen werden. Teil

schwingungen mit niedrigeren Frequenzen werden verzerrungsfrei libertragen. Die

Ubertragungsfunktion des Tiefpasses hat im DurchlaBbereich den Betrag K = 1 und die Phase

R(ffi) = ffito = 1tffi/ffig, d.h. to = 1t/ffig.

a) Bei einer Grenzfrequenz des Tiefpasses von 100 Hz kann nur der Gleichanteil libertragen

werden. Mit x 1(t) = 1 erhiilt man

y(t) = Yl(t) = Kx1(t - to) = 1.

b) Bei einer Grenzfrequenz von i;; = 400 Hz wird auGer dem Gleichanteil noch die erste

Teilschwingung mit der Frequenz fo = 250 Hz verzerrungsfrei libertragen. Flir diese Teil

schwingung x2(t) = (4/1t)cos(21tfot) wird

4 4 4 yit) = Kxit - to) = -COS[ffio(t - to)] = -cos(ffiot - ffioto) = -cos(ffiot - 51t/8).

1t 1t 1t

Dabei war ffioto = 1tffiolffig = 1tfoli;; = 1t250/400 = 51t18.

y(t) besteht aus der Summe der beiden Teilreaktionen

4 y(t) = 1 +-cos(ffiot - 51t/8), ffio = 21tfo mit 10 = 250 Hz.

1t

Aufgabe 4.2.2

Das Bild zeigt das Eingangssignal flir

einen idealen TiefpaG. Rechts ist die

angenaherte Sprungantwort h (t) dieses Tiefpasses skizziert.

a) Wie groG ist die Einschwingzeit Te

des idealen Tiefpasses?

0,5

o t o t

b) Unter der Bedingung Tx = Te solI die Systemreaktion auf x(t) ermittelt und skizziert werden.

Dabei ist die angenaherte Sprungantwort h(t) zu verwenden.

Losung

a) Te = 2, die Einschwingzeit ist die Zeit in der die angenaherte Sprungantwort von 0 auf den

Endwert ansteigt (siehe Bild 1.7).

Aufgabengruppe 4.2

b) Mit Tx = Te = 2 erhlilt man flir das Eingangssignal die Form

x(t)=0,Ss(t)+0,Ss(t-2). Dann lautet die Systernreaktion

y(t) = 0, Sh(t) + 0, Sh(t - 2). Diese (angenaherte) System

reaktion ist rechts skizziert.

Hinweis:

Ein idealer TiefpaB ist ein nichtkausales System bei dem die

87

t

Systernreaktion schon vor der Ursache eintrifft. Dieser Effekt ist hier nicht zu erkennen, da mit

der angenliherten Sprungantwort gerechnet wurde (siehe Lehrbuchabschnitt 4.3.2 und Bild 1.7).

Aufgabe 4.2.3

Das Bild zeigt den Betrag der Ubertragungsfunktion eines

linearphasigen Tiefpasses. Es gilt G(jO) =1 G(jO) 1 e -jOlto mit

. _{(I-c)+cCOS(41t0)/O)g) flir 10)1<0)8 1 G(jO) 1- ° ftir 10) I> O)g .

E

1 IG<Jw)1

1-21:

a) Man berechne die Einschwingzeit dieses Tiefpasses. -Wg o Wg W

b) Die Impulsantwort des Tiefpasses ist zu berechnen und zu skizzieren.

Losung

a) Die Einschwingzeit linearphasiger Tiefpasse berechnet sich nach Gl. 4.19

T = 21tG(0)

e (roc 1 G(jO) 1 dO) J-rog

Das Integral im Nenner muB nicht formal ausgewertet werden, man erkennt sofort, daB die

Flache unter 1 G(jO) 1 den Wert 20)g(l- E) hat. Mit G(O) = 1 wird dann

T= 1t e O)g(I-E)

Die Einschwingzeit ist urn den Faktor 1/(1- E) groBer als die beim idealen TiefpaB (Gl. 4.1S).

b) Die unmittelbare Fourier-Rticktransformation von G(jO) ist hier recht umstandlich. Mit j4rrro/(J) -)41[00/0) ..

cos(41t0)/O)g)=0,Se g+O,Se g erhlilt man flir die Ubertragungsfunktion im Durch-

laBbereich die Form

G (j0) =1 G(jO) 1 e -jOlto = (1 - E)e -jOlto + 0, See -jOJ(to-41r1rog) + 0, See -jOJ(to+41r1rog).

Dies ist eine Darstellung gemaB Gl. 4.20, die Ubertragungsfunktion ist die Summe von drei

Ubertragungsfunktionen idealer Tiefpasse. Nach Gl. 4.21 wird dann

sin[ O)g (t - to)] sin[ O)g(t - to + 41t/O)g)] sin[ O)g (t - to - 41t/O)g)] g(t)=(1-E) +O,SE +O,SE .

1t(t-to) 1t(t-to+41t/O)g) 1t(t-to-41t/O)g)

88 4 Ideale Ubertragungssysterne

Diese Impulsantwort ist rechts (mit den Werten

e = 0, 1, to = 77t1rog ) skizziert. Der Verlauf unter

scheidet sich optisch nur wenig von der

Impulsantwort des idealen Tiefpasses (Bild 1.6).

Nach Gl. 4.18 ist g(to) = rocC1- E)/rc.

Hinweise:

g(t) g<to) - - - -

t

Der vorliegende TiefpaB ist ein nichtkausales System, seine Reaktion g (t) auf den Dirac-Impuls

x(t) = oCt) beginnt schon bevor dieser eingetroffen ist. Bei hinreichend groBer Wahl von to ist

aber get) im Bereich t <0 so "klein", so daB er als Modellsystem fur einen realen TiefpaB

verwendet werden kann.

Aufgabe 4.2.4

Das Bild zeigt den Betrag und die Phase eines idealen

Bandpasses. Die Gruppenlaufzeit betragt Tg = 0,2 ms.

a) Wie groB ist die bei B(ro) auftretende Konstante to?

b) Man ermittle und skizziere die Impulsantwort des

Bandpasses.

IG<J211f)1 B< 211f)= 211ftO

1 ----- ,""

f/kHz

c) Die Systernreaktion auf das Eingangssignal x(t) = cos(2rcfat) + 3 cos(2rcJ;,t) ist zu berechnen,

wenn fa = 6 kHz und J;, = 10kHz betragt.

Losung a) Aus der Beziehung B(ro) = roto ergibt sich nach Gl4.6 die Gruppenlaufzeit

Tg = B'(ro) = to = 210-4 s.

b) Die Impulsantwort des idealen Bandpasses kann nach Gl. 4.27 berechnet werden:

g(t)= (2K )sin[0,5B(t-to)]cos[roo(t-to)]. rc t - to

Darin ist B = 2rc5000 S-l die Bandbreite und

roo = 2rc9500 S-l die Mittenfrequenz des Band

passes (siehe Darstellung von GUro) nach Bild 1.9). Mit diesen Werten und K = 1 sowie

to = 2 10-4 s erh1ilt man den rechts skizzierten

Verlauf von g(t).

c) Die Teilschwingung von x(t) mit 6 kHz "liegt"

im Sperrbereich und wird nicht tibertragen.

g(t) 104 - - - -

0,2

Aufgabengruppe 4.3

Der 2. Summandxz(t) = 3 cos(21t!"t) mit!" = 10 kHz wird verzerrungsfrei iibertragen, d.h.

yet) = KxzCt - to) = 3 cos[21t!,,(t - 210-4)] = 3 cos(21t!"t -41t) = 3 cOS(21tJbt).

Aufgabe 4.2.5

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems:

sin(t - to) g(t) =0 (t-to) ( ) .

1tt-to Ermitteln und skizzieren Sie die Ubertragungsfunktion. Urn

was fur ein System handelt es sich?

Losung Die Ermittlung der Fourier-Transformierten von g(t) wird

einfacher, wenn zunachst die Funktion

sint get) = o(t)--

1tt

g(t)

89

t

betrachtet wird. Dann gilt namlich g(t) = g(t - to) und GUro) kann mit dem Zeitver-

schiebungssatz (Gl. 3.10) aus der Fourier-Transformierten GUro) von get) berechnet werden.

Der 1. Summand gl(t) = oct) von get) hat die Fourier-Transformierte GlUro) = 1. Die

Fourier-Transformierte des 2. Summanden von g(t) kann aus der Korrespondenzentabelle

(Anhang A.l) entnommen werden. Mit der Korrespondenz ganz unten erhalt man

_ sin t {I fur 1 ro 1<1 -. gzCt) =mG- ° fUr 1 ro I> 1 = GzUro).

Damit wird

-. -. -. {o fUr 1 ro 1< 1 GUro) = GlUro)-GZUro) = f·· 1 1 1 ur ro>1

und mit dem Zeitverschiebungssatz GUro) = GUro)e -jOlto•

iGU w)i B(w)= wto 1 -----r-~===-

DerBetrag 1 GUro) 1=1 GUro) 1 und die Phase B (ro) = rota

sind rechts aufgetragen. Es handelt sich offenbar urn

einen idealen HochpaB mit der Grenzkreisfrequenz

rog = 1. -1 ' 0 w

~"

Aufgabengruppe 4.3

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Losungen in kUrzerer Form angegeben. Die

Aufgabe 4.3.1

Gegeben ist ein Signal n (t) mit dem nebenstehend skizzierten reellen

Spektrum N (j ro). Das Signal n (t) soll amplitudenmoduliert werden.

Die (Kreis-) Frequenz roo der Tragerschwingung soll mit der

hochsten im Spektrum von n (t) auftretenden (Kreis-) Frequenz

iibereinstimmen.

a) Ermitteln und skizzieren Sie das Signal n (t).

K

N(Jw)

w

b) Geben Sie eine Beziehung fUr das amplitudenmodulierte Signal x(t) an. Ermitteln und

skizzieren Sie das Spektrum X(jro) von x(t).

Losung a) Durch Fourier-Riicktransformation von N(jro) (siehe

Gl. 3.3 oder Korrespondenzentabelle) erhiilt man das

rechts skizzierte Signal

sin(root) n(t)=--.

rtt

b) GemaB Gl. 4.28 hat das amplitudenmodulierte Signal die Form

X(t)=A{ l+m sin~7ot)}cOS(root).

t

A ist eine beliebige Konstante, m der Modulationsgrad. Das gerade Signal x(t) hat ein reelles

Spektrum. Nach Gl. 4.29 wird

X(jro) = Arto(ro - roo) + A rto(ro + roo) +

+O,5A m N(jro- jroo) + 0, 5A m N(jro+ jroo)'

X(jro) entsteht dadurch, daB N(jro) urn roo nach rechts

und links verschoben (und noch mit 0,5Am

multipliziert) wird. Durch den Summanden A cos(root)

in x(t) treten zusatzlich Dirac-Anteile auf.

Aufgabe 4.3.2

Das Bild zeigt den Betrag und die Phase einer idealen

Bandsperre. Die Gruppenlaufzeit betragt Tg = 0, 2 ms.

Zu berechnen ist die Systernreaktion auf das Eingangs

signal x(t) = cos(2rtfat) + 3 cos(2rtfbt), wenn fa = 6 kHz

und h, = 10kHz betragt.

X<jW)

O,5Ano(w+wo) O,5Ano(w- Wo)

-2wo -Wo 0 Wo 2"'0 w

K

IG(j 271f)1 r---j----.,

Losung Die Teilschwingung von x(t) mit 10 kHz "liegt" im Sperrbereich und wird nicht tibertragen.

Der 1. Summand xl(t) = cos(21tfat) mit fa = 6 kHz wird verzerrungsfrei tibertragen. Mit

to = Tg = 2 10-4 s wird

yet) = Kxl(t - to) = cos[21tfa(t - 210-4)] = cos(21t1a - 2, 41t).

Aufgabe 4.3.3

Das Bild zeigt ein periodisches EingangssignaI ftir einen

idealen HochpaB. Der linearphasige HochpaB hat eine

Grenzfrequenz von./;: = 100 Hz und die Gruppenlaufzeit Tg = 1

ms. 1m DurchlaBbereich hat er die Dampfung O. Ermitteln und

skizzieren Sie die Systernreaktion yet).

Losung

2 x(t) """":'f--

-1 0 1 2 3 4 5

K

t/l'ls

Das SignaI x (t) kann in eine Fourier -Reihe entwickelt werden (siehe auch Aufgabe 4.2.1). Dabei

hat die Grundschwingung die Frequenz fo = 250 Hz. Der Gleichanteil von x(t) hat den Wert 1.

Da der HochpaB eine Grenzfrequenz von./;: = 100 Hz hat, wird y(t)

nur der Gleichanteil unterdrtickt, die Grundschwingung und

aile "Oberwellen" werden verzerrungsfrei tibertragen. Mit

K = 1 (Dampfung 0 im DurchlaBbereich) und to = Tg = 1 ms o 1 3 5 t/l'lS

gilt formal -1

y(t) =x(t - Tg)-1.

Diese Systernreaktion ist rechts skizziert.

Aufgabe 4.3.4 K

Gegeben ist ein idealer BandpaB mit einem DurchlaBbereich von 100 Hz bis 300 Hz. Der Betrag

der Ubertragungsfunktion hat im DurchlaBbereich den Wert 1, die Gruppenlaufzeit betragt 1

ms. Das periodische Eingangssignal xU) entspricht dem bei der Aufgabe 4.3.3. Die System

reaktion y(t) ist zu ermitteln.

Losung Das Signal xU) kann in eine Fourier-Reihe entwickelt werden (siehe auch Aufgabe 4.2.1)

444 xU) = 1 +-cos(ov) --cos(30V) +-cos(50V) -+ ... , ffio = 21t10 mit fa = liT = 250 Hz.

1t 31t 51t

Der BandpaB tibertragt nur die Grundschwingung mit 250 Hz:

4 4 4 yet) = -COS[ffioU - T..)] = -cos(ffiot - 21t250· 0,001) = -cos(ffiot -1t/2). 1t <, 1t 1t

5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 5. (bei den aIteren Auflagen 4.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in drei Gruppen unterteilt. Die Aufgabengruppe 5.1 entMlt sechs

Beispiele zur Berechnung und zur Riicktransformation von Laplace-Transforrnierten. Bei den

sechs Aufgaben im Abschnitt 5.2 sind Systemreaktionen mit Hilfe der Laplace-Transformation

zu berechnen, wobei stets die Beziehung Yes) = G(s)X(s) angewandt wird. SchlieBlich enthalt

die Aufgabengruppe 5.3 sechs weitere Beispiele, die sich auf den gesamten Stoffbeziehen und

bei denen die Losungen in kiirzerer Form mit weniger ErkHirungen angegeben werden.


handelt sich hierbei urn besonders charakteristische Aufgaben mit detaillierten Losungen lind

oft auch noch zusatzlichen Hinweisen. Die Bezeichnung "K" bedelltet, daB die Losungen nur



Aufgabengruppe 5.1

Die Aufgaben dieser Gruppe beziehen sich auf die Berechnung und die Riicktransformation von

Laplace-Transformierten. Dabei wird auch der Zusammenhang mit der Fourier-Transformation

behandelt.

Aufgabe 5.1.1 E

Gegeben ist die Funktion J(t) = s(t)e-ar cos(uv).

a) Berechnen Sie die Laplace-Transforrnierte F(s).

b) Skizzieren Sie J(t) und das PN-Schema von F(s) im Fall a < 0, a = 0 und a > O. Wie lauten

in diesen drei Fallen die Fourier-Transformierten F(jro) von J(t)?

c) Geben Sie alle SonderfaIle der Funktion J(t) mit ihren Laplace-Transformierten an.

Losung a) Mit der Beziehung cosx = 0, 5eix + 0, 5e-ix erhaIt man fUr J(t) die Form

at j01/ -at -;root J(t) = 0, 5s(t)e - e + 0, 5s(t)e e· .

Dieser Ausdruck wird in die Definitionsgleichung 5.1 fiir F (s) eingesetzt:

So 00 ~t(a +s - jroo) 100 -t(a +s + jroo) = 0, 5 e dt + 0, 5 e dt =

o 0

= . e + . e . -0,5 -I(a+s-j"'o) 1= -0,5 -I(a+'<+j"'o) 1=

a+s-jWo 0 a+s+jwo 0

Dabei wurde die Eigenschaft s(t) = 1 ftir t > 0 berticksichtigt. Ersetzt man in den Exponenten

s durch cr + j W, so erhaIt man weiter

F(s) = . e +. e -0,5 -I(a +eH jO)- JO)o) 1= -0,5 -I(a +<J+ JO)+ jO)u) 1=

a+s-.lwo 0 a+s+jWo 0

_ [ -I(a +a){ 1 -}I(O)-O)O) 1 -jl(o)+ O)())}]= - -o,5e . e + . e .

a+s-jwo a+s+jwo 0

Man erkennt, daB eine Auswertung dieses Ausdruckes an der oberen Grenze t = 00 nur im Fall

a + cr > 0 moglich ist, bei a + cr < 0 wtirde mit e -I(a + a) eine ansteigende Exponentialfunktion

vorliegen, die ftir t -7 00 unendlich groB wtirde. Damit wird

F(S)=0,5{ 1. + I.}= a+2s 2' a+cr>O,d.h.cr=Res>-a. a+s-jwo a+s+jWo (a+s) +wo

Ergebnis (siehe auch Tabelle im Anhang A.2):

'-al S +a S (t)e cos( wot) 0- 2 2' Re S > -a .

(s +a) + Wo

Der Bereich Re S > -a ist der Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten. Nur filr Werte

von s, die in diesem Bereich liegen, besteht zwischen f(t) und F (s) der durch die GIn. 5.1

angegebene Zusammenhang.

b) Das Bild zeigt die Funktion f(t) ftir die Hille a < 0, a = 0 und a > 0 und darunter die

zugehorenden PN-Schemata in denen die Konvergenzbereiche schraffiert dargestellt sind. Die

Konvergenzbereiche werden durch die Polstellen von F(s) bei S=I,2 =-a ±jwo begrenzt. Bei

s = -a hat F (s) eine N ullstelle.

1m Fall a <0 (Bild links) liegt die jffi-Achse nicht im Konvergenzbereich von F(s). Damit

existiert ftir f(t) in dies em Fall keine Fourier-Transformierte. 1m Fall a > 0 (Bild rechts) liegt

die jw-Achse innerhalb des Konvergenzbereiches und dies bedeutet F(jw) = F(s = jw), die

Variable s ist lediglich durch jw zu ersetzen. Der Fall a = 0 (Bildmitte) ist am schwierigsten,

da die j w-Achse die Begrenzung des Konvergenzbereiches bildet und keine generellen Aussagen

moglich sind. Wir konnen hier die Fourier-Transformierte aus der Korrespondenzentabelle im

Anhang A.I entnehmen, sie unterscheidet sich von F(s = jw) durch zusatzlich auftretende

Dirac-Impulse. Die Fourier-Transformierten sind unten angegeben.

94 5 Die Laplace-Transformation und Anwendungen

f(t)

a <0:

f(t) = s(t)e-al cos(OV)

s+a F(s) 2 2' Res>-a

(s +a) +roo FUOl) existiert nicht!

f(t)

a =0:

f(t) = s(t)cos(Olot)

S F(s) =-2--2' Res >0

s+roo

FUOl) = . jr; 2 + UOl) + roo

f(t)

t

a >0:

f(t) = s(t)e-al COS(Olot) , s+a

F(s)= 2 2' Res >-a (s +a) +roo

FUOl) jOl+a UOl+ai+~

c) Zu unterscheiden sind folgende Sonderflille (siehe auch Tabelle im Anhang A.2):

s a =0, 0l0;f=0: S(t)COS(Olot) 0--2--2 , Res >0,

s+roo

-al 1 a ;f=0, 000 =0: s(t)e 0---, Res >-a,

s+a

1 a = 0,000 = 0: s(t) 0-- Res> O.

s

Aufgabe 5.1.2

Gegeben ist die rechts skizzierte Funktion

f(t) = s(t) sin2(0l0t), 000 = 2n1T. a) Ermitteln Sie die Laplace-Transformierte vonf(t).

b) Ermitteln und skizzieren Sie das PN-Schema von F(s).

f<t)


Losung

a) Mit sin2 x = 0,5 - 0, 5 eos(2x) erhiilt man

f(t) = set) sin2(ov) = 0, 5s(t) -0, 5s(t) eos(2ov).

Filr die beiden Summanden k6nnen die Korrespondenzen aus der Tabelle im Anhang A.2

entnommen werden, man erhiilt

0,5 0,5s F(s) =- 2 2' Res> 0.

s 4ffio+s

b) Aus dem oben angegebenen Ausdruek rur F (s) erkennt man ~

unmitte1bar, daB Pole bei S=l = ° und S=2,3 = ±2jffio auftreten. j 2wo Zur Ermittlung der Nullstellen wird F(s) folgendermaBen

umgeformt

° 5 ° 5 2ffi02 F(s) =_'_ ' s

S 4%+S2 S(4ffi5+ S2)' Nun ist erkennbar, daB F (s) nullstellenfrei ist. Das PN -Schema

o

-j 2wo

ist reehts skizziert.

Hinweise:

1. Der Konvergenzbereich liegt reehts von den Polstellen mit dem gr6Bten Realteil, hier also

bei Res> 0. Dies bestatigt das in der Frage a aus der Korrespondenzentabelle entnommene

Ergebnis.

2. 1m vorliegenden Fall begrenzt die imaginare Aehse den Konvergenzbereieh. Daher kann die

Fourier-Transformierte rur f(t) nieht ohne weiteres angegeben werden. In der Aufgabe 3.1.3

wurde diese Fourier-Transformierte ermittelt.

Aufgabe 5.1.3

Flir das reehts skizzierte Signal ist die Laplaee- Transformierte

zu bereehnen.

Losung

Mit der Definitionsgleiehung 5.1 erhiilt man

f(t)

2B

BI-----!I a T

1= IT 12T F(s)= f(t)e-'''dt= Be-'''dt+ 2Be-"dt= 0- 0 T

F(s) - B (1 -ST) + 2B (-ST -2ST) B (1 + -sT 2 -2ST) b l' b' - - - e - e - e = - e - e , s e Ie Ig. S S S

E

2T t

Hinweise:

1. Der Konvergenzbereieh ist hier die gesamte s-Ebene, denn das Integral war ohne jede

Einsehrankung flir beliebige Werte von s losbar. Aus der Form von F (s) konnte man annehmen,

daB F(s) bei s = 0 eine Poistelle besitzt. Dies istjedoeh nieht der Fall, es gilt (Anwendung der

Regel von l'Hospital) F(O) = 3BT. Ein Pol bei 0 wtirde aueh im Widersprueh zu der Aussage

tiber den Konvergenzbereieh stehen.

2. 1m vorliegenden Fall kannf(t) mit Hilfe der Sprungfunktion in gesehlossener Form dargestellt

werden: f(t)=Bs(t)+Bs(t-T)-2Bs(t-2T). Aus dieser Form erhaIt man mit der

Korrespondenz s(t) O-lls und dem Zeitversehiebungssatz (Gl. 5.4) ebenfalls F(s).

3. 1m vorliegenden Fallliegt die jro-Aehse im Konvergenzbereieh. Dies bedeutet, daB man die

Fourier-Transformierte F(jro) von f(t) einfaeh dadureh erhaIt, daB in der Laplaee-Trans

formierten s = jro gesetzt wird (siehe hierzu aueh Aufgabe 3.1.5).

Aufgabe 5.1.4

Ftir das reehts skizzierte Signal ist die Laplace- Transformierte

zu bereehnen.

f(t)

2B

Losung Bt------l

Mit der Definitionsgleiehung 5.1 erhaIt man o T

F(s)= (~f(t)e-stdt= (T Be-ftdt+ (= 2 Be-stdt = Jo- Jo JT

-B -rt IT -2B -rt I~ B -sT 2B -,T B -,T =-e' +-e' =-(l-e )+-e' =-(l+e' ), Res>O. So s TS S S

t

Das ganz reehts stehende Integral konvergiert nur bei Werten mit Res> O. Dies erkennt man, wenn imExponenten s = 0'+ jro gesetztwird. Dann hat e-st die Forme--(CJ+jO»)t = e-are-jO)/. 1m Fall

0' = Res < 0 wtirde dieser Ausdruck an der oberen Grenze unendlieh groB werden. F(s) hat bei

s = 0 eine Poistelle, dies bestatigt die Aussage tiber den Konvergenzbereieh Res> O.

Aufgabe 5.1.5

Die Laplace-Transformierte eines Signales f(t) lautet

s-1 F(s)=--.

(s + 1)2

a) Das PN-Sehema von F(s) ist zu zeiehnen und der Konvergenzbereieh anzugeben.

b) Ermitteln Sie die Fourier-Transformierte ftir das Signalf(t).

e) F (s) ist in Partialbriiehe zu entwiekeln und f(t) zu ermitteln.

Aufgabengruppe 5.1

Losung a) Das PN-Schema ist rechts skizziert. Bei s =-lliegt eine

doppelte Polstelle, bei s = 1 eine Nullstelle. Konver

genzbereich: Re s > -1, er wird durch die Polstelle mit dem

groBten Realteil begrenzt.

b) Die joo-Achse liegt im Konvergenzbereich der

Laplace-Transformierten, daher

joo-l FUoo) = F(s = joo) = .

Uoo+ Ii c) F(s) ist eine echt gebrochen rationale Funktion, daher

s -1 Al A2 F(s)=--=-+--.

(s + 1)2 S + 1 (s + V

-1

d 2 d Al =-d {F(s)(s + 1) L=-I =-d {s -l},=-I = 1, Gl. 5.16, Fall k = 2,11 = 1, S . s .

Az = {F(s)(s + l)z},=_1 = {s -I},=_I =-2, Gl. 5.16, Fall k =2, 11= 2.

Ergebnis der Partialbruchentwicklung

1 2 F(s)=----.

s+I (s+I)2

Zur Riicktransformation kann die Korrespondenz (siehe Anhang A.2)

t n -al 1 s(t)-e 0----

n! (s +a)n+1

mit a = 1 und n = 0 bzw. n = 1 verwendet werden. Dann erhaIt man

f(t) = s(t)e -I - 2s(t)te -I.

Aufgabe 5.1.6

Das Bild zeigt das PN-Schema der Laplace-Transformierten

eines Signales f(t).

a) Wie verhaIt sich f(t) fUr t -7 =?

b) Ermitte1n Sie F(s), wo liegt der Konvergenzbereich?

c) Begriinden Sie, daB fUr das Signal f(t) keine Fourier

Transformierte existiert.

d) F(s) ist in Partialbriiche zu entwickeln und f(t) zu bestim

men.

-1

j

o

97


Losung a) Da F(s) eine Poistelle in der reehten s-Halbebene hat, gilt If(t) I~ 00 fijr t ~ 00 (siehe

Absehnitt 1.5).

Hinweis:

Wegen der Niehtexistenz des Wertesf(oo) kann das Endwerttheorem (Gl. 5.9) im vorliegenden

Fall nieht angewandt werden.

b) Aus dem PN-Sehema erhaIt man

F(s)=K (s-j)(s+j) s(s -1)(s + 1)

S2+ 1 K ,

s(s -1)(s + 1)

wobei K eine beliebige Konstante ist. Der Konvergenzbereieh Iiegt reehts von dem Pol mit dem

groBten RealteiI, d.h. Res> 1.

e) Die imaginare Aehse Iiegt auBerhaib des Konvergenzbereiehes von F (s), daher existiert keine

Fourier-Transformierte fiir das Signalf(t).

d) GemaB den GIn. 5.11, 5.12 erhaIt man

S2+ 1 Al A2 A3 F(s)=K =-+--+--

s(s -1)(s + I) s s -, I s + I

mit Al = {F(s)s },=o = -K, A2 = {F(s) (s -1)},= 1= K, A3 = {F(s) (s + l)}'=_l = K.

Naeh Gl. 5.13 bzw. den Korrespondenzen lis -Os(t) und l/(s +a) O--s(t)e-at wird

-K K K t-t F(s) =-+--1 +--, f(t) =-Ks(t)+Ks(t)e +Ks(t)e .

s s- s+I

Aus diesem Ergebnis bestatigt sieh die Aussage naeh Frage a: If(t) I~ 00 fiir t ~ 00.

Aufgabengruppe 5.2

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden Systemreaktionen mit der Laplaee-Transformation

bereehnet, wobei stets die Beziehung Y(s) = G(s)X(s) angewandt wird.

Aufgabe 5.2.1

Das Bild zeigt das PN-Sehema einer Uber

tragungsfunktion G(s) und eine Sehaltung

mit der diese realisiert werden kann.

a) Begriinden Sie, daB es sieh urn ein stabiles

System handelt und geben Sie eine

Gleiehung fiir G(s) an. Die frei wahlbare

Konstante ist widerspruehsfrei zu der

angegebenen Sehaltung festzulegen.

[I] J

-1

-J

E

L

! U1 C ! U2 R x(t) y(t)


b) Ermitteln und skizzieren Sie den Betrag I G(jro) I der Ubertragungsfunktion.

c) Dimensionieren Sie die Schaltung so, daB das PN-Schema realisiert wird.

d) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort der Schaltung.

e) Berechnen Sie die Systemreaktion auf das Eingangssignal x(t) = s(t) sin t.

Losung

a) Das System ist stabil, weil die Pole von G(s) alle in der linken s-Halbebene liegen und der

Zahlergrad m = 2 nicht groBer als der Nennergrad n = 2 ist. Aus dem PN-Schema erhlilt man

G(s) =K(s - j)(s + j) =K S2+ 1 . (s+I)2 (s+li

Aus der Schaltung erkennt man, daB die Ubertragungsfunktion G(jro) = ViV I bei f = 0 den

Wert 1 hat. G(s) hat bei s = 0 den Wert G(O) = K, also wird K = 1 und

b) Mit s = jro erhlilt man aus G(s)

G(s)=~. (s + 1)2

1 - ro2

G(jro)---- (1 + jro)2

und daraus ("Betrag des Zahlers durch Betrag des Nenners")

I G(jro) I=' I-ro21 . 1 + ro2

Diese Funktion ist rechts skizziert. Bei ro= 1 ist I G(jI) 1=0, lIG(Jw)1

dies ist auch aus dem PN-Schema erkennbar, weil dort bei s = j

eine Nullstelle von G (s) auftritt. Die Nullstelle im PN-Schema

bei s = -jist .aus dem Verlauf von I G (j ro) I nicht erkennbar,

weil diese Funktion nur tiber positive Frequenzwerte auf

getragen ist. Bei der Schaltung muB der Parallelschwingkreis

eine Resonanzfrequenz ror = 1 aufweisen, weil dadurch eine Ubertragungsnullstelle bei ro = 1

entsteht.

c) Nach einigen elementaren Zwischenrechnungen erhalt man ftir die oben skizzierte Schaltung

die Ubertragungsfunktion

G 'ro = V2= l!(LC) + (jro)2 (j ) V j l!(LC) + jro/(RC) + (jro)2'

Daraus folgt mit jro = s und der unter Punkt a aus dem PN-Schema ermittelten Uber

tragungsfunktion

G(s) = 1!(LC)+S2 1 +S2

1!(LCt+ s/(RC)+S2 (1 +si


Ein Koeffizientenvergleich liefert die Bedingungen l!(LC) = 1 und l!(RC) = 2, die z.B. durch

die Werte L = 1, C = 1 und R = 0, 5 erfullt werden.

d) Die Impulsantwort ist die Laplace-Riicktransformierte von G(s). Da G(s) nicht echt

gebrochen rational ist, muB zunachst eine Konstante "abgespaltet" werden. Wir fuhren hier keine

Polynomdivision durch, sondern schreiben

G(s) =~= (1 +s)2-2s 2s -1---= 1 +G(s).

(1 + s )2 (1 + s )2 (1+d Die gebrochen rationale Funktion G(s) wird in Partialbriiche zerlegt:

- -2s Al A2 G(s)=--=-+--.

(1+S)2 s+1 (s+1i

Die Residuen werden nach der Gl. 5.16 ermittelt

d - 2 d Al=-d {G(s)(s+l)}'=-l=-d {-2S},=_I=-2, Fallll=l,k=2, s . s .

A2 = {G(s)(s + I/L=_1 = {-2S},=_1 = 2, Fall 11=2, k =2.

Mit diesen Ergebnissen wird

2 2 G(s)=I--+--.

s+1 (s+I)2

Die Riicktransformation erfolgt mit Hilfe der im Anhang A.2

angegebenen Korrespondenzen, wir erhalten die rechts

skizzierte Impulsantwort

g (t) = bet) - 2s(t)e -I + 2s(t)te -I. -2

get) oCt)

t

e) Aus der Korrespondenzentabelle im Anhang A.2 findet man die Korrespondenz

s(t)sint 0-1/(1 +S2) und damit

1 + S2 1 1 Y(s) = G(s)X(s) = --. -- = --.

(s + 1)2 1 +S2 (l +S)2

Yes) kann unmittelbar zuriicktransformiert werden, man erhalt die Systernreaktion

y(t) = s(t)te-' .

Fiir groBe Werte gilt y(t) ~ O. Dies muB auch so sein, weil die angelegte Sinusspannung mit

def Frequenz (0 = 1 im eingeschwungenen Zustand durch den Parallelschwingkreis in der

Schaltung "gespefrt" wird.

Aufgabengruppe 5.2

Aufgabe 5.2.2

Das Bild zeigt das PN-Schema der Uber

tragungsfunktion eines sogenannten Potenz

tiefpasses 3. Grades und eine mogliche

Realisierungsschaltung mit ihren (nor

mierten) Baue1ementewerten.

CD

-1

X JY3/2

-0,5

X - jY3/2

101

1,5 0,5

I U, 1,333 U2

x(t) I yet)

a) 1st das System stabil? Ermitteln Sie G (s) und wahlen Sie die Konstante widerspruchsfrei zu

der Schaltung.

b) Ermitteln und skizzieren Sie den Verlauf von 1 G U ro) 1 •

c) Berechnen und skizzieren Sie die Sprungantwort des Tiefpasses.

d) Die Schaltung ist zu entnormieren, Bezugswiderstand 1000 Ohm, Bezugsfrequenz 10000 Hz.

Wie sieht der Verlauf von 1 GUro) 1 und h(t) der entnormierten Schaltung aus?

Losung

a) Das System ist stabil, weil die Pole in der linken s-Halbebene liegen und der Zahlergrad

m = a nicht groBer als der Nennergrad n = 3 ist. Aus der Schaltung ist erkennbar, daB die

Ubertragungsfunktion U2/U1 bei ro = a den Wert 1 hat. Mit dieser Bedingung G (0) = 1 erhalt

man aus dem PN-Schema

1 G(s) = ---------;::=--------,=-

(s + l)(s +0,5 - j...J3!2)(s +0,5 + j...J312) (s + l)(s2+ S + 1) 1 + 2s + 2S2 + S3'

b) Mit s = j ro wird zunachst

GUro) = 1 1 + 2jro + 2Uro)2 + U ro)3 1 - 2ro2 + jro(2 _ ro2)

und daraus (nach elementarer Zwischenrechnung)

1 GUro) 1= 1 -V (1 - 2ro2)2 + ro2(2 _ ro2)2 -V 1 + ro6 •

Dieser Betragsverlauf ist rechts skizziert. Bei der (normierten)

Grenzfrequenz ro = 1 ist 1 G 1= lI{i = 0,707, dies entspricht

einer Dampfung von A = 20lg 1 G 1= 3,01 dB.

IG(J w)1 1

0,707

2 3 w

c) Die Sprungantwort ist die Systemreaktion aufx(t) = set). Mitder Korrespondenz set) 0- lis

wird dann

102 5 Die LapJace-Transformation und Anwendungen

1 Yes) = X(s)G(s) = --------;=-------;=-

s(s + 1) (s + 0, 5 - j-{3/2) (s + 0, 5 + j-{3/2)

Al A2 A3 A4 =-+--+ + .

s s + 1 s + 0, 5 - j-{3/2 s + 0, 5 + j-{3/2

Ftir die Residuen erhaIt man nach Gl. 5.12

Al = {Y(s)s},=o= 1, A2 = {Y(s)(s + 1)},=_1 =-1,

A3 = {Y(s)(s + 0, 5 - j-{3/2)}s=-o.5+ j,f]/2 = -1I(j-{3), A4 =A *3 = 1/(j-{3).

Die Rticktransformation ftihrt (unter Beachtung von ejx - e-jx = 2j sinx) zur Sprungantwort

y(t) = h(t) = s(t) - s(t)e -I __ I_ s (t)e(-o·5+ j,f]/2)1 + ~(t)e(-o,5-j,f]/2)1 = j-{3 j'/3

Die Sprungantwort ist rechts skizziert. h(t)

d) Aus der Tabelle 1.1 im Abschnitt 1.1 entnimmt man die

Beziehungen Rn = RwlRh' Ln = ffihLwlRb und Cn = ffihCwRh. Der Bezugswiderstand hat den Wert Rh = 1000 Ohm und die

Bezugskreisfrequenz betragt ffih = 21t10000 S-I. 2 4 6 8 t

In der Schaltung sind die normierten Bauelementewerte LIIl = 1,5, Lzll = 0, 5, CII = 1,333, RII = 1

angegeben. Aus den oben angegebenen Beziehungen erhaIt man dann die wirklichen

Baue1ementewerte L lw = 23, 87 mH, Lzw = 7,958 mH, Cw = 21,22 nF, Rw = 1000 Ohm.

Den Verlauf der Ubertragungsfunktion der wirklichen Schaltung erhaIt man durch eine

Umskalierung der ffi-Achse. An die Stelle von ffi = 1 ist die Frequenz 10000 Hz (oder auch die

Kreisfrequenz 21t10000 S-I zu schreiben. Bei der Sprungantwort ist eine Umskalierung der

Zeitachse vorzunehmen. Die dort angegebenen norrnierten Zeitwerte sind mit der Bezugszeit

th = lIffih = 15,915/1s zu multiplizieren. An die im Bild eingetragene Stelle til =2 ist also der

Wert 31,83 11S zu schreiben.

Aufgabe 5.2.3

Das Bild zeigt die Impulsantwort g(t)=0,50(t)+s(t)e-21

eines Systems. Unter Verwendung der Beziehung

Yes) = G(s)X(s) solI die Systernreaktion auf das Ein

gangs signal x(t) = s(t)i sin(ffit) berechnet werden.

get) 1 O.50Ct)

t


Losung Mit den Korrespondenzen im Anhang A.2 erhlilt man

G(s)=05+_1_=2+0,5s X(s)= xro = xro , 2+s s+2' S2+ro2 (s-jro)(s+jro)

und damit

. ~+~~~ro Y(s) = G(s)X(s) = ( 2)( .)( .) s + s - Jro s + Jro

AI A2 A3 --+--+--. s+2 s-jro s+jro

Errnittlung der Residuen nach Gl. 5.12:

xro AI = {Y(s)(s +2)},=_2 =--2'

. 4+ro

. x(2 + 0, 5jro) A2={Y(s)(s-Jro)}'=jOl= (2+jro)2j ,

. -x(2-0,5jro) A3={Y(s)(s+Jro)}'=_jOl= (2-jro)2j A*2'

Riicktransformation (Korrespondenzen im Anhang A.2):

yet) = s(t)Ale -2t + s(t)A2ejCDt + S(t)A3e -jCDt.

Die beiden letzten Summanden lassen sich zusammenfassen

(){A jCDt A -jCDt}_ ()X{2+0,5j ro jCiJt_ 2 - O,5jro -jCDt}_ s t 2e + 3e - st. 2 . e 2' e -

2J +Jro -Jro

set) X. _1_2 {(2 + 0, 5jro) (2 - jro)e jCiJt - (2 - 0, 5jro) (2 + jro)e -jCiJt} = 2J 4+ro

= s (t) X. _1_2 {( 4 + 0, 5ro2)( ej(J)! - e -jOlt) - j ro(e jCiJt + e -jOlt)} = 2J 4+ro

= s(t) X. _1_2 {(4 + 0, 5ro2)2j sin(rot) - jro2 cos(rot)} = 2J4+ro

= s(t)~{(4 + 0, 5ro2) sin(rot) - rocos(rot)}. 4+ ro

Gesamtergebnis (siehe auch Aufgabe 2.3.2):

y(t) = s(t)~{(4 + 0, 5ro2) sin(rot) - rocos(rot)} + s(t) xro? e -21. 4+ro 4+ro-

Aufgabe 5.2.4

Das Bild zeigt eine Schaltung mit

Ausgangssignal. Unter Verwendung

Y(s) = G(s)X(s) soIl die Systemreaktion

berechnet werden. y(t) ist zu skizzieren.

einem Ein- und

def Beziehung

auf x(t) = s(t)kt

104 5 Die LapJace-Transformation und Anwendungen

Losung

Mit der komplexen Rechnung erhaIt man die Ubertragungsfunktion

G(jm) = jroRIL bzw G(s)= ___ sR_I_L __ R21L 2 + jm3RIL + (jmi' R21L 2 + s3RIL + S2'

Das Nennerpolynom von G(s) hat NulIstelIen bei

S~I.2 = -3RI(2L) ± ...j9R2/(4L 2) - R21L 2 = -3RI(2L) ± {5i4RIL = { ~: ~~~~~~. Mit diesen NennemulIstelIen von G(s) undX(s) = kls2 (siehe TabelIe im Anhang A.2) wird

kRIL AI A2 A3 Y(s) = G(s)X(s) = s(s +0,382RIL)(s +2,618RIL) -:;-+ s + 0, 382RIL + s +2,618RIL'

0

Berechnung der Residuen nach Gl. 5.12:

AI = {Y(s)s}.=o=kLlR,

A2 = {Y(s) (s +0,318RIL)},=-O.318RIL =':""1, 1708kLlR,

A3 = {Y(s)(s + 2, 618RIL)}s=_2.618RIL = 0, 1708k LlR.

Die Riicktransformation ergibt die unten skizzierte Systernreaktion

,y(t) = s(t)k~(l-I, 1708e-O, 382t RIL + 0, 1708e-2.618tRIL).

Bemerkenswert ist, daB y(t) flir t --? 00 einem festen Wert

y(oo) = kLlR zustrebt, obschon ein "ansteigendes" Ein

gangssignal (x(t) = s(t)kt) vorliegt. Dimensionsprobleme

treten bei einer unnorrnierten Rechnung nieht auf, wenn man

beachtet, daB die Konstante k bei x(t) die Dimension V S-1 hat.

L yet) kR -------~-~-~----

Aufgabe 5.2.5

Das Bild zeigt die Impulsantwort g (t) eines Systems. Mit Hilfe

der Beziehung Y(s) = G(s)X(s) solI die Sprungantwort des

Systems berechnet werden. h(t) ist zu skizzieren.

Losung

Nach Gl. 5.19 erhaIt man die Ubertragungsfunktion

o

g(t)

2 - - - - -,----,

o 2

G(s) = i~ g(t)e-stdt = rz 2e-stdt =_~e-stI2 =~(e-S _e-2,).

0- )1 SIS

t


Konvergenzbereich ist die gesamte s-Ebene (G(s) hat keinen Pol bei O!). Die Sprungantwort

ist die Systemreaktion auf x(t) = s(t), man erhaIt deshalb mit der Korrespondenz set) O-lls

() G( )X() 2 (-' -2.') 2 -, 2 -2., Y s = s s =- e . -e =-e . --e . S2 S2 S2

Zur Riicktransformation verwenden wir den Zeitverschiebungssatz (01. 5.4). Aus der Tabelle

im Anhang A.2 entnehmen wir die Korrespondenz s(t)t O-lIs2. Dann folgt aus dem

Zeitverschiebungssatz

Mit Hilfe dieser Korrespondenz (und to = 1, to = 2) wird h(t)

yet) = h(t) = 2s(t -1)(t -1) -2s(t - 2)(t - 2).

1m Bild rechts sind diese beiden Summanden dargestellt,

die Differenz ergibt die Sprungantwort h (t). Eine Kontrolle

des Ergebnisses ist ganz leicht moglich, wenn die

Ableitung g(t) = h '(t) gebildet wird.

Aufgabe 5.2.6

Oegeben ist die Ubertragungsfunktion

1 2 G(s)=-+--.

s +3 (s +2)2

o

a) Skizzieren Sie das PN-Schema von G(s). 1st das System stabil?

b) Berechnen Sie die Systemreaktion auf das Eingangssignal x(t) = oct -1).

Losung

a) G(s) hat bei -3 eine einfache und bei -2 eine doppelte ~

Poistelle. Zur Ermittlung der Nullstellen schreiben wir

1 2 1O+6s +S2 G(s)=-+--= .

s +3 (s +2)2 (s +3)(s +2)2

Das Ziihlerpolynom hat Nullstellen bei -3 ±j. Diese

Nullstellen und die Pole von G(s) sind in dem PN-Schema

rechts eingetragen. Das System ist stabil, weil alle Pole in der

linken s -Halbebene liegen und der Ziihlergrad nicht groBer als

der Nennergrad ist.

o

-3 -2 o

J

b) Zuniichst wird die Systemreaktion auf das Signal oCt) berechnet, dies ist die Impulsantwort

g (t), also die Laplace-Riicktransforrnierte von G (s). Die Systemreaktion aufx (t) = oct - 1) lautet


dann y(t) = g(t -1). ZurBestimmung vong(t) gehen wirvon der ganz oben angegebenenForrn

von G(s) aus und finden (mit den Korrespondenzen im Anhang A.2)

g(t) = s(t)e -31 + s(t)2te -ZI, y(t) = g(t -1) = s(t - l)e -3(1-1) + s(t -l)2(t _1)e-Z(I-l).

Aufgabengruppe 5.3

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Losungen in ktirzerer Form angegeben. Die


Aufgabe 5.3.1

Gesucht wird das Signalf(t) mit der Laplace-Transformierten

I F(s)= .

S3(S + 1)

Losung

1 d Z 3 1 d 2

{ I} 1 2 I A 1=--z{F(s)s},=0=--z -- =-2--3 =1, G1.5.16,Fallk=3,/1=I, 2!ds 2ds s+1 _,=0 (s+l) s=O

d 3 d { I} -1 I Az=-{F(s)s},=o=- -- =--z =-1, G1.5.16,Fallk=3,/1=2, ds ds s+1 s=O (s+l) s=O

:1 1 I A3 = {F(s)s"},=o = - = 1, Gl. 5.16, Fall k = 3, /1 = 3, s+1 s=O

A4= {F(s)(s + l)}S=-1 =-1, G1.5.12.

1 1 1 liz -I F(s)=---+---- f(t)=s(t)-s(t)t+s(t)-2t -s(t)e .

s SZ S3 S + l' Ergebnis:

Aufgabe 5.3.2

K

K

Bei einem System wird der Zusammenhang zwischen dem Ein- und Ausganssignal durch die

Differentialgleichung

y"(t) + 1, 5y '(t) + 0, 5y(t) = x"(t) + x(t)

beschrieben. Ermitteln Sie die Ubertragungsfunktion und berechnen Sie die Systernreaktion auf

x(t) = s(t)cost.

Losung Gemlill den Beziehungen 2.22, 2.23 erhlilt man

Aufgabengruppe 5.3

G(s)= 1+s2 O,S+ 1,Ss +S2 (s +O,S)(s + 1)"

MitX(s) =s/(l +S2) wird

s -1 2 Yes) =--+-- y(t)=-s(t)e--{),5t+ s (t)2e-t,

(s + 0, S)(s + 1) s + 0, S s + l'

Aufgabe 5.3.3

Gegeben ist das rechts skizzierte PN-Schema der Uber

tragungsfunktion eines Systems. Gesucht ist die Impuls

antwort des Systems mit der Nebenbedingung G(O) = l.

Losung

G(s)=K s+1 =

x Jl2

-1 -112

(s +0, S -O,Sj) (s + O,S +0, Sj) x - j/2

=K s+1 O,S(s+l) O,S +s +S2 O,S+s +sz·

Laplace-Rticktransformation:

G(s) = O,S(s + 1) 0,2S(1- j) + 0,2S(1 + j) (s + 0, S -O,Sj)(s +0, S +O,Sj) s + O,S -O,Sj s +0.5 +O,Sj'

Y (t) = s (t)0, 2S( 1 - j)e -(0,5 -0,5j)t + s(t)O, 2S(1 + j)e -(0,5 +0,5j)t =

= s(t)O, 2Se --{),5t {( 1 - j)e 0,5jl + (1 + j)e --{),5jt} = s(t)O, Se --{),5t[COS(0, St) + sin(O, St)].

Aufgabe 5.3.4

Das Bild zeigt das PN -Schema der Ubertragungsfunktion eines

Allpasses 2. Grades.

a) Ermitteln Sie G(s) mit der Nebenbedingung G(O) = l.

b) Berechnen Sie den Betrag der Ubertragungsfunktion

1 G(jco) 1 •

c) Ermitteln Sie die Impulsantwort des Systems.

Losung

x

-1

x

a) G(s)=K(s-l-j)(S-I+j)=KSZ-2s+2 K= l. (s + 1- j)(s + 1 + j) sZ+2s +2'

b) G(jco) _ 2 - co2 - 2jco 1 G(jco) 1= ,j (2 - coz)z + 4 co2

- 2 - co2 + 2jco' ,j (2 _ COZ)2 + 4co2 l.

j 0

-j 0

107

K

K


c) G(S)=S2_ 2s + 2 1- 4s =1- 4s =1_ 2(I+j) 2(I-j) s2+2s+2 s2+2s+2 (s+l-j)(s+I+j) s+l-j s+I+j'

gCt) = B(t) - 2s(t)(1 + j)e(-I +j)' - 2s(t)(l- j)e(-I-j), = B(t) - 2s(t)e-t {(I + j)ej' + (1- j)e-j'},

get) = B(t) -4s(t)e-'(cost-sint).

Aufgabe 5.3.5 K

Bei einem System mit dem Eingangssignal xct) = set) lautet die Laplace-Transformierte des

zugehOrenden Ausgangssignales

1 H(s)=--.

s(s +3)

a) Ermitteln Sie die Sprungantwort des Systems.

b) Ermitteln Sie die Ubertragungsfunktion und begriinden Sie, daB das System stabil ist

Losung

a) H (s) ist die Laplace-Transformierte der Sprungantwort:

1 Al A2 1/3 113 1 H(s)=--=-+-=--- h(t)=-3s(t)(1-e-3').

s(s+3) s s+3 s s+3'

b) Aus der Beziehung Yes) =X(s)G(s) folgt mitX(s) = lis und Yes) = H(s)

1 G(s)=sH(s)= s+3'

Die Ubertragungsfunktion hat eine Poistelle bei s= = -3, sie liegt in der linken s-Halbebene und

damit ist das System stabil.

Aufgabe 5.3.6 K

Gegeben ist das rechts skizzierte PN-Schema der Uber- ~

tragungsfunktion G(s) eines Systems.

a) Ermitteln Sie G (s), wobei der frei wlihlbare Faktor den Wert

1 haben solI.

b) Berechnen Sie die Systemreaktion auf xct) = 2s(t)t.

Losung

a) S2

G(s)=--(s +0,5f'

-112

2 2 X(s) =2> Y(s)=G(s)X(s)= 2' YCt)=sCt)2te --1J·5,.

s (s +0,5) b)

o

6 Zeitdiskrete Sigoale nod Systeme

Die Beispie1e dieses Abschnittes beziehen sich auf den 6. (bei den alteren Auflagen 5.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in vier Gruppen unterteilt. Die Aufgabengruppe 6.1 enthalt vier

Aufgaben bei denen Ubertragungsfunktionen und Systemreaktionen im Zeitbereich zu

berechnen sind. Die vier Aufgaben im Abschnitt 6.2 beziehen sich auf die Berechnung und

RUcktransformation von z-Transformierten. Bei den flinf Aufgaben im Abschnitt 6.3 kommt

die Beziehung Y(z) = G(z)X(z) zur Anwendung. AuBerdem werden dort Differenzen

gleichungen und Schaltungen zeitdiskreter Systeme behandelt. SchlieBlich enthalt die

Aufgabengruppe 6.4 flinf weitere Beispiele, die sich auf den gesamten Stoff beziehen und bei

denen die Lasungen in kUrzerer Form mit weniger Erklarungen angegeben sind.


handelt sich hierbei urn besonders charakteristische Aufgaben mit detaillierten Lasungen und

oft auch noch zusatzlichen Hinweisen. Die Bezeichnung "K" bedeutet, daB die Lasungen nur

in einer Kurzform angegeben sind. Die wichtigsten zur Lasung der Aufgaben erforderlichen


Aufgabengruppe 6.1

Bei den Aufgaben in dieser Gruppe werden die Systeme durch ihre Impuls- oder Sprungantwort

charakterisiert. Zu berechnen sind Systemreaktionen im Zeitbereich und die Ubertra

gungsfunktionen der Systeme.

Aufgabe 6.1.1 E

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines zeitdiskreten Systems g(n)

{o fUr n < 0 II

g(n)=, =s(n)a,lal<l, a' flirn20

0.5 wobei flir die Skizze a = 0, 8 gewahlt wurde.

a) BegrUnden Sie, daB das System kausal und stabil ist.

b) Berechnen und skizzieren Sie die Sprungantwort h (n). -2 0 2 4 6 8 10 12 14 n

c) Berechnen Sie die Systemreaktion auf x(n) = s(n)0,5 cos(ncoT) mit der Faltungssumme.

d) Berechnen Sie die Ubertragungsfunktion und skizzieren Sie den Betrag 1 GUco) 1 . e) Berechnen Sie die Systemreaktion auf x(n) = cos(ncoT).

Losung

a) Das System ist kausal, weil g (n) = 0 fUr n < 0 ist (siehe Gl. 6.15). Kontrolle der Stabilitat

nach Gl. 6.14 (unter Anwendung von Gl. 6.8):

I. 1 g(n) 1= I. 1 a 1,,=_1_< 00, weill a 1< 1. ,,=~ ,,=0 l-Ia 1

110 6 Zeitdiskrete Signale und Systeme

b) Naeh Gl. 6.13 ist n

h(n)= L. g(v). V =-00

Flir v < 0 ist g (v) = 0 und damit wird aueh h (n) = 0 fUr n < O. Dieses Ergebnis folgt aueh aus

der Kausalitat des Systems. Auf die bei n = 0 "eintreffende" Sprungfolge s (n) kann das System

erst ab n = 0 reagieren. Fur n ~ 0 erhiilt man (naeh Gl. 6.7 mit m=n+ I)

n n I_a n + 1

h(n)= L. g(v) = L. a V = I+a+a 2 + ... +a n =-I--v=o v=o -a


[0 fUr n < 0 + 1 I-an

hen) = l_a n+1 = s(n)---1 fUrn~O I-a I-a

Hinweis:

Die Sprungfolge s (n) kommt bei dieser Aufgabenstellung in zwei Bedeutungen vor. Einmal ist

s (n) das Eingangssignal, auf das das System mit der Sprungantwort h (n) reagiert. Zum anderen

wird s (n) zur Darstellung der Sprungantwort in gesehlossener Form verwandt.

1m Bild reehts ist die Sprungantwort fur a = 0, S skizziert, fur

diesen Fall erhiilt man aus der oben angegebenen Beziehung

hen) =s(n)5(l_0,sn+l). c) Bereehnung mit der Faltungssumme in der Form

00

yen) = L. x(v)g(n -v). V =-00

5 h(n)

4

3

2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 n

Zur Festlegung der aktuellen Summationsgrenzen geht man am besten naeh der g1eiehen

Methode wie bei dem Faltungsintegral vor (siehe Hinweise zur Aufgabengruppe 2.3). Man tragt

xCv) und g(n -v) in Abhangigkeit von v auf. Das Bild flir g(n -v) entsteht dabei dadureh, daB

die Funktion g(v) zunaehst an der Ordinate "umgeklappt" und dann an den Punkt V = n

"versehoben" wird.

Reehts im Bild sind xCv) = 0, 5s (v) eos(vffiT) und g (n - y)

flir Werte n > 0 (im Bild n = 6) skizziert. Man erkennt, daB

von v = 0 bis v = n zu summieren ist. Dann wird flir n ~ 0: 00 n

yen) = L. x(v)g(n -v) = L. 0,5eos(vffiT)an- v• V =--00 v=Q

Mit eos(vffiT) = 0, 5e jvOJT + 0, 5e -jvOJT erhalt man naeh

elementarer Zwisehenreehnung

I n I n y(n) = _an L. (e jroT a -1)V +_an L. (e -jroT a -1{

4 v=o 4 v=o

-2

g(n- v)

n=6

Aufgabengruppe 6.1

Die beiden Summen konnen naeh Gl. 6.7 ausgewertet werden. Mit m = n + 1 wird

1 n1_(ejCOTa-l)n+1 1 n1-(e-jCOTa-If+1 y(n)=-4 a 1 jcoT -I +-4 a 1 -jcoT-l -e a -e a

+.!.an . 1 . {(1- ejCOT a -I) (1 _ (e -jcoT a -1)11+ In. 4 (1- e]WT a-I)(1- e-]COT a-I)

111

Naeheinigen (etwas mtihsamen aberelementaren) Reehensehritten erhaltman unter Anwendung der Beziehung ejX + e -jx = 2 eosx sehlieBlieh

0,5 n+2 n+1 y (n) = 2 {a - a eos( roT) + eos(n roT) - a eos[ (n + 1 )roT]), n:2: O.

1 + a - 2a eos( roT)

Versehiebt man die "umgeklappte" Impulsantwort g (n - v) im obigen Bild naeh links zu einem

negativen Wert n, so ist das Produktx(v)g(n -v) = 0, man erhalt yen) = o. Dies ist aueh sofort

einsiehtig, weil ein kausales System mit einem bei n = 0 "beginnenden" Eingangssignal vorliegt.

d) Naeh GI 6.19 erhalt man die Ubertragungsfunktion

G(jro) = I. g(n)e-jnCOT = I. an(e-jCOT)n = I. (ae-jooT)". n =0 n =0

Die reehts stehende Summe konvergiert, denn es ist 1 ae-jWTI =1 a 1< 1 und damit erhalt man

naeh Gl. 6.8

1 1 G(jro) = =----------------

1 - a e -]wT 1 - a eos( roT) + j a sine roT)

Aus der reehten Form von G(jro) erhalt man den Betrag

1 G(jro) 1= 1 -1[1 - a eos(roT)]2 + sin2(roT)

"'1/1 +a2-2a eos(roT)· o 1l IT 2Tf/T 31l/T w

Der Betragsverlauf ist oben reehts ftir den Fall a = 0, 8 bis zur Frequenz ro = 4rrJT skizziert.

Hinweise:

1. Ubertragungsfunktionen zeitdiskreter Systeme sind periodiseh mit der Peri ode 2rr/T. Dies

kann man sieh folgendermaBen verstandlieh maehen. Ein Signal xl(t) = eos(ro,t) mit einer (niedrigen) Kreisfrequenz ro, < rrlT filhrt zu der "Abtastfolge" x,(n) = ejnW,T. Ein zweites Signal

Xz(t) = ejro,t mit der (hoheren) Kreisfrequenz Wz = rol + 2rriT ergibt die Abtastfolge jnro,T jn(co, + 27rfT)T jnco,T .. . .

xzCn) = e = e = e = x,(n). Das SIgnal rrut der hoheren Frequenz erglbt bel der

Abtastung im Abstand T die gleiehen Abtastwerte wie das mit der niedrigeren Frequenz. Auf

gleiche Eingangswertex1 (n) = ~(n) kann das zeitdiskrete System natUrlich auch nur mit gleichen

Ausgangsfolgen reagieren, dies bedeutet, daB die Ubertragungsfunktion bei c.o1 den gleichen

Wert wie bei ffiz = c.o1 + 2nlT haben muB.

2. In der Praxis nUtzt man i.a. nur den Bereich der Ubertragungsfunktion bis zur Frequenz niT

aus.

e) Die Systernreaktion auf x(n) = cos(nc.oT) erhaIt man nach Gl. 6.18:

y(n)=Re{G(jc.o)ejnroT}=Re e . = Re{(1_aejroT)ejnWT} = { jnroT} 1

1-ae-JroT 1 + a 2 - 2a cos(c.oT)

1 2 {cos(n c.oT) - a cos[ (n + l)c.oT]).

1 + a - 2a cos(c.oT)

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem (nicht abklingenden) stationaren Losungsanteil bei der

Systernreaktion auf x (n ) = s (n )0,5 cos(n c.oT) bei Frage d, so stellt man die bis auf den Faktor

0,5 (erwartete) Ubereinstimmung fest.

Aufgabe 6.1.2

Gegeben ist ein System mit der rechts skizzierten Impuls

antwort g(n) = -0, 50(n) + sen -1)0,75·0, 5n- 1•

a) Die Sprungantwort h (n) ist zu berechnen und zu skizzieren.

b) Man berechne G (j c.o) und den Betrag I G (j c.o) I . Losung

a) Die Sprungantwort wird nach der Beziehung 6.13 berechnet. Wegen g(v) = 0 flir v < 0 wird

h(n) = 0 fUr n < o. Bei n = OerhaIt man (mitg(O) = -0,5) den Wert h(O) = -0, 5. FUr n > 0 wird

/I n-l 1- 0 5n

h(n)=-o,5+0,75 I 0,sv-I=-o,5+0,75 IO,5fl =-o,5+0,75 _~ 5 v~ 1 fl~O 1 ,

Bei der Summe wurde die Substitution Il = v - 1 vorgenommen, damit eine Summenform gemaB

Gl. 6.7 entsteht. Wie man erkennt, ergibt der Ausdruck fUr n > 0 im FaIle n = 0 das richtige

Ergebnis h (0) = -0, 5. Daher kann man die Teilergebnisse folgendermaBen zusammenfassen

{o fUr n < 0 II

h(n)= -o,5+1,5(1-0,5n) flir n ;:::0=s(n)(1-1,5.0,5).

h(n)

0,5 Diese Sprungantwort ist rechts skizziert.

b) Nach Gl. 6.19 wird -1 0 1 2 3 4 5 6 n

GUm)= I. g(n)e jnroT =-O,5+0,75 I.O,5"-I(e-jroT)n= -0,5

11 = I

Die Summe tiber den Einheitsimpuls wurde dabei unmittelbar ausgewertet (Wert: -0,5), bei der

weiteren Summe wurde Gl. 6.8 angewandt. Man erhlilt weiter

. _ -looT _ 0,75 _ _ejooT +2 GUO))--0,5+0,75e T--0,5+ . T -0,5. T .

1-0,5e-lOO elOO -0,5 elOO -0,5

Zur Bereehnung des Betrages benutzen wir die Formell GUO)) 12= GUO))G*UO)) und erhalten

1 GUO)) 12=025 (_e jOOT +2)(_e-jOOT +2) 025 5-4eos(O)T) 1 , (elOOT_O,5)(e-lOOT_O,5) , 1,25-eos(O)T) .

Das System hat einen frequenzunabhiingigen Verlauf des Betrages der Dbertragungsfunktion.

Es handelt sieh urn einen AllpaB, der zur Phasenentzerrung verwendet werden kann.

Aufgabe 6.1.3

Das Bild zeigt die Sprungantwort h (n) eines Systems.

a) Ermitteln und skizzieren Sie die Impulsantwort.

c) Zeigen Sie, daB das System stabil ist.

e) Bereehnen Sie die Ubertragungsfunktion des Systems.

Losung

-i ili234 5 6 ~

a) Aus hen) erhlilt man gemaB Gl. 6.13 unmitte1bar die reehts

skizzierte Impulsantwort g (n) = h (n) - h (n - 1). j

9(n)

0,25 0 • •

b) Das System ist stabil, denn es gilt (Gl. 6.14) -'1 2 3 4 5 (, ~

= I. 1 g (n ) 1= 1 < 00.

n ::::--00

c) N aeh Gl. 6.19 erhlilt man mit der oben skizzierten Impulsantwort

GUO))= I. g(n)e-jflOOT = 0, 25 (e-jOOT +e-j2OOT +e-j3OOT +e-j4OOT).

Aufgabe 6.1.4

Gegeben ist ein System mit der Impulsantwort

g(n) =s(n -2)(n _1)a fl - 2, 1 a 1< 1. Diese Impulsantwort ist reehts fUr a = 0, 8 skizziert.

a) 1st das System stabil?

b) Die Ubertragungsfunktion GUO)) des Systems ist zu

bereehnen.

Bei der Beantwortung der Fragen kann die Beziehung

~ v-I 1 L.... vq =---2' v~1 (l-q)

1 q 1< 1

verwendet werden.

g(n) 2

o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 n

a) Stabil ist das System genau dann, wenn die Summe gemliJ3 Gl. 6.14 konvergiert, also einen

endlichen Wert ergibt. Im vorliegenden Fall verzichten wir auf eine Auswertung der Summe

und schreiben zunachst

I. I g(n) 1= I.1(n _1)an-21 = 1+2·1 a 1+3·1 a 12 +4.1 a 13+ ... n=-oo n=2

Das d' Alembertsche Quotientenkriterium sagt aus, daB Konvergenz vorliegt, wenn der Quotient

zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder qn + /qn ab einer gewissen Stelle kleiner als 1 ist. 1m

vorliegenden Fall erhaIt man den Quotienten Q =1 a I (n + 1)ln. Wenn n hinreichend groB ist,

liegt der Faktor (n + 1)ln beliebig nahe bei 1 und wegen I a 1< 1 wird auch der Quotient Q < 1.

Damit konvergiert die vorliegende Reihe, das System ist stabil.

b) Nach Gl. 6.19 wird

G(jro) = I. g(n)e-jnWT = I. (n _1)an-2e-jnwT = I. va v- 1e-j(v+l)WT = n=2 v=!

~ -j2roT =e-21roT L v(ae-]WT)V-l= __ e __ -"

v=1 (l_ae-1WT)2 (e jroT -at

Die Substitution v = n - 1 wurde vorgenommen, damit die oben angegebene Summenformel

angewandt werden konnte.

Aufgabengruppe 6.2

Die Aufgaben dieser Gruppe beziehen sich auf die Berechnung und die Rticktransformation von

z-Transformierten.

Aufgabe 6.2.1 E

Gegeben ist die Funktion f(n) = s (n)e -anT cos(n rooT).

a) Berechnen Sie die z-Transformierte F (z).

b) Skizzieren Sie f(n) und das PN-Schema von F(z) im Fall a < 0, a = 0 und a > O.

c) Geben Sie aIle Sonderfalle der Funktion f(n) mit ihren z-Transformierten an.

Losung a) Mit cos(n rooT) = 0, 5ejn"'oT + 0, 5e -jnwoT erhalt man aus der Definitionsgleichung 6.20

~ ~

F (z) = L fen )z-n = L e -anT cos(n roOT)z -n = Il=O n=O

= I. 0, 5e -anT /n"'oT Z -n + I. 0, 5e -anTe -jn"'oT Z -n = 0, 5 I. [z -1 e (-a + j"'o)T]" + 0, 5 I. [z -1 e (-a - j"'o)T]" = 11=0 n=O n=O 11=0

= 0,5. + 0,5. mit I -1 (-a ±j"'o)T I < 1 I z I> I (-a ±jroo)T I = e -aT. -1 (-a+l"'o)T -1 (-a-l"'o)T Z e , e

l-ze l-ze

Bei der Auswertung der Summen wurde Gl. 6.8 angewandt. Durch Zusammenfassung der beiden

Summanden wird schlieBlich

0,5[2-z- le-QT(ej"'oT +e -j"'oT)] 1-z-le-QT cos(rooT) F(z) = . T . T' I T 2 2T' Izl>e-aT,

(l_z- le-aTeJ"'o )(l-z- le-aTe -J"'o) 1-2z- e-a cos(rooT)+z- e- a

z (z - e -aT cos( rooT» T F(z) = , 1 z I> e-a .

e -2aT - 2z e -aT cos( rooT) + z 2

b) Das Bild zeigt die Funktion f(n) ftir die Hille a < 0, a = 0 und a > 0 und darunter die

zugehorenden PN-Schemata in denen die Konvergenzbereiche schraffiert dargestellt sind. Die

Pole liegen bei Z=I,2 = e-QT[cos(rooT) ±j sin(rooT)] auf einem Kreis mit dem Radius e-aT.

Nullstellen treten bei z = 0 und z = e-aT cos(rooT) auf. Der Konvergenzbereich liegt auBerhalb des Kreises mit dem Radius e -aT durch die Poistellen.

fen) fen)

a <0: a =0: a >0:

f(n) = s (n)e -anT cos(n rooT) f(n) = s (n ) cos(n rooT) f(n) = s (n)e -anT cos(n rooT)

c) Zu unterscheiden sind folgende Sonderfalle (siehe auch Tabelle irn Anhang A.3):

z[z -cos(rooT)] a = 0, roo * 0: s(n)cos(nrooT) 0- 2' I z I> 1,

1 - 2z cos( rooT) + z

a *0, roo = 0:

a =0, roo =0: s(n)0- z(z-l) z(z-l) __ z_ Izl>l. 1 - 2z + Z 2 (z - I? - z - l'

n

116 6 Zeitdiskrete Signa1e und Systeme

Aufgabe 6.2.2

Das Bild zeigt ein Signal f(n).

a) Die z-Transformierte F(z) ist zu berechnen.

b) Zeichnen Sie das PN-Schema von F(z).

Losung

a) Nach 01. 6.20 erhaIt man mitf(n) = 0, 25 fUr 0 < n < 5

"T") ,

F(z) = L. f(n)z -Il = 0, 25(z -1 + Z-2 + z -3 + Z -4), z beliebig. n =0

Die Summe konvergiert ohne Einschr1inkung des Wertebereiches von z, Konvergenzbereich ist

die gesamte z -Ebene.

b) Durch Erweiterung von F(z) mit Z4 erhhlt man

F( -) 025(-1 -2 -3 -4) 1+z+z2+z3 (z+1)(z2+ 1) z =, z +z +z +z = 4

4z 4Z4

Aus derrechten Form vonF (z) erkennt man, daB eine vierfache ~

Polstelle bei z = 0 auftritt undNullstellen beiz = -1 undz = ±j.

Hinweise:

1. Aus der mittleren Form von F(z) erkennt man sofort, daB

bei z = -1 eine Nullstelle auftritt. Durch Abspaltung von z + 1

erhiilt man dann die rechte Form.

2. Der Konvergenzbereich wird durch einen Kreis durch die

am weitesten vom Ursprung entfernte Polstelle begrenzt.

Dieser "Kreis" hat hier den Radius 0, der Konvergenzbereich

ist die ganze z -Ebene (siehe auch Punkt a).

Aufgabe 6.2.3

Das Bild zeigt das PN-Schema der z-Transformierten F(z) ~

eines Signales f(n).

a) Ermitteln Sie F(z), wobei die frei wiihlbare Konstante den

Wert 1 haben solI.

-1

j

4-fach /

b) FUhren Sie eine Partialbruchentwicklung von F(z) durch

und ermitteln Sie f(n).

-0,5 0

Losung

a) Aus dem PN-Schema folgt mit K = 1:

z F(z) = .

(z +0,5)2(Z -1)


b) Partialbruchentwicklung mit Berechnung der Residuen gemaB den GIn. 5.12, 5.16:

z Al A2 A3 F(z) = --+ +-

(z +0,5i(z -1) z +0,5 (z +0,5)2 z -1'

AI=dd {F(Z)(Z+0,S)2L~-{)'5=dd {~1} = ( ~11)21 =_i9 , GI. 5.16,k=2,1l=1, z z z z ~-{),5 Z z ~-{),5

2 Z I 1 A2 = {F(z)(z +0,S)}z~-{).5 = -=t = '3' Gl. 5.16, k = 2,11 = 2, z z ~-{).5

A3={F(z)(z-1nz~l= z 21 =i9 , GI.S.12. (z +O,S) z~l

Ergebnis und Riicktransformation gemaB den Korrespondenzen nach GI. 6.29:

-4/9 113 4/9 F(z) =--+ +--,

z +0,5 (z +0,5/ z-1

4 'I-I 1 '1-2 4 fen) =-gs(n -1)O,S +'3s(n -2)(n -1)0,5 +gs(n -1).

1m vorliegenden Fall ist f(O) = 0 und f(1) = 0 und deshalb gilt auch

fen) =s(n -2){ ~(1-0,5n-1)+i(n _l)0,5"-2}.

Aufgabe 6.2.4

Das Bild zeigt die beiden Signale

.t;(n) = s(n)O,Sn, hen) =s(n)nO,5". a) Die z-Transformierten der beiden Signale sind mit Hilfe

der Korrespondenzentabelle (Anhang A.3) zu ermitteln.

b) Die z-Transformierten sind ohne Verwendung der Tabelle

zu ermitteln.

Losung a) Schreibt man sen )e-a"T = s(n) (e-aT)", so entsteht mit e-aT = 0, 5 die hier vorliegende Funktion

.t; (n ) und aus der Tabelle entnehmen wir

s(n)0,5/1 0- z _zO,5' 1 z I> 0,5.

Aus der ebenfalls in der Tabelle aufgelisteten Funktion sen )ne-a/lT = sen )n(e-aT)/I ergibt sich

mit e -aT = 0,5 die Funktion h(n) und die Korrespondenz

s(n)nO 5/1 0- 0,5z 1 z I> 0, s. , (z -0,S)2'


b) Aus Gl. 6.20 erhlilt man die z-Transformierte von II (n)

Iz 1>0,5.

Die Auswertung der Summe erfolgte nach Gl. 6.8.

Bei der Berechnung der z-Transformierten von h(n) entsteht die schwieriger auszuwertende

Summe

Wir verzichten auf die unmittelbare Auswertung der Summe und verwenden stattdessen die

Korrespondenz nach Gl. 6.23

dF(z) n ·I(n)O--z~, Iz 1>lil.

Dabei ist der Bereich 1 z 1>1 i 1 der Konvergenzbereich von F(z). Im vorliegenden Fall gilt

h(n) == n ·11 (n) und mit der oben berechneten z-Transformierten FI (z) wird

d { z } 0,5z F2(z)==-zdz z-0,5 ==(z-0,5f' Izl>0,5.

Aufgabengruppe 6.3

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden Systernreaktionen mit der z-Transformation berechnet,

wobei stets die Beziehung Y(z) == G(z)X(z) angewandt wird. Die Systeme werden dabei durch

das PN-Schema von G(z) oder auch durch eine Schaltung beschrieben.

Aufgabe 6.3.1 E

Das Bild zeigt das PN-Schema der Ubertragungsfunktion eines ~

Systems mit einer doppelten Pol stelle bei z == a.

a) Welche Bedingung muB eingehalten werden, damit das

System stabil ist?

b) Wie lautet G(z) mit der Nebenbedingung, daB die Uber

tragungsfunktion GUO)) bei 0) == 0 den Wert 1 hat.

Skizzieren Sie den Betragsverlauf 1 GUO)) 1 .

c) Ermitteln und skizzieren Sie die Impulsantwort des Systems.

d) Ermitteln und skizzieren Sie die Sprungantwort h (n ).

0.

e) Wie lautet die das System beschreibende Differenzengleichung? Geben Sie eine Reali-

sierungsstruktur ftir das System an.

f) Mit der Differenzengleichung sollen die ersten drei nichtverschwindenden Werte von h (n)

berechnet und mit dem Ergebnis nach Frage d verglichen werden.

Losung

a) Bei stabilen Systemen miissen aile Pole im Einheitskreis I z 1< 1 liegen, daraus folgt die

StabiliUitsbedingung I a 1< 1.

b) Aus dem PN-Schema erhlilt man

1 . 1 G(z)=K--, GUm)=K---

(z - a )z (eJroT _ a )z

m = 0 bedeutet z = 1 und damit folgt aus der Nebenbedingung GUm = 0) = 1:

1 Z Z 1 G(z=I)=K--z=l, K=(I-a), G(z)=(I-a)--z'

(I-a) (z -a)

Mit Z = ejroT erhlilt man aus G(z)

GUm) = (1- a )z = (1 - a )z (e jroT _ a)z [cos(mT) - a + j sin(mT)f'

I GUm)1= (l-a)z = (l-a)z . (cos( mT) - a)z + sinz( mT) 1 + a Z - 2a cos( mT)

Der Betragsverlauf der Ubertragungsfunktion ist oben rechts

ftir den Wert a = 0, 8 bis zur Frequenz m = 2rriT skizziert. Bei

der Kreisfrequenz rrlT wird I GUrrIT) 1= 0,0411, 8z = 0,0123.

c) G (z) kann unmittelbar zurticktransformiert werden (Tabelle

im Anhang A.3), man erhlilt

g(n) =s(n -2)(I-a/(n _1)a n - Z•

1 IG(Jw)1

g(n) 0,08

0,04

TIlT

° 2 4 6 8 10 20 n

Diese Impulsantwort ist oben rechts flir den Fail a = 0, 8 skizziert, sie stimmt bis auf den Faktor

(1 - a)z mit der bei der Aufgabe 6.1.4 tiberein.

d) Die Sprungantwort ist die Systernreaktion auf das EingangssignaI x (n) = s (n). Mit der

Korrespondenz sen) O-zl(z -1) erhlilt man

(1-a)zz Al Az A3 Y(z) = G(z)X(z) = =-+--?+-.

(z-ai(z-l) z-a (z-a)- z-1

Berechnung der Residuen gemaB den GIn. 5.12, 5.16:

d Z d { (1 - a )zz } (1 - a )ZI Al =d{Y(z)(z -a) }z=a =d =---z =-1, G1. 5.16,k =2, 11= 1,

z z z-1 z=a (z-l) z=a

Z (1- a )zz I Z Az={Y(z)(z-a) L=a= =-(1-a)a=a -a, G1. 5.16,k=2,1l=2, z - 1 z =a

(l-a)zz 1 A3={Y(z)(z-l)}z=l= Z =1, G1. 5.12.

(z -a) z=1

Mit dies en Werten und den Korrespondenzen nach G1. 6.29 erhlilt man

-1 a2 -a 1 Y(z) =--+--+-,

z - a (z - a)2 z - 1

yen) = hen) = -sen -I)a n - I + (a 2 -alsen - 2)(n _I)an - 2 +s(n -1).

Da h(O) = 0 und h(I) = 0 ist, k6nnen wir auch klirzer schreiben

hen) =s(n -2){I-a n - I +(n _I)(a2_a)an - 2}.

Diese Sprungantwort ist rechts flir den Fall a = 0, 8 skizziert. 1 h(n)

Hinweis:

Den Wert h (00) = 1 batten wir auf zweierlei Art auch ohne die

Berechnung von h (n) finden k6nnen. Zunachst erhiilt man

diesen Wert nach dem Endwertsatz, Gl. 6.26. Weiterhin stellt 02 10 20 n

man durch Vergleich von Gl. 6.19 mit ro = 0 und Gl. 6.13 mit n = 00 fest, daB

h(oo) = GUro = 0) = 1 gilt.

e) Aus der Ubertragungsfunktion in der Form

G(z) = (I-a)2 a2 - 2az + Z2

erhiilt man gemiiB Gl. 6.37 die Differenzengleichung

y(n)-2ay(n -I)+a2y(n -2) = (l-a)2x (n -2).

Das Bild zeigt die zugeh6rende Realisierungsstruktur

(siehe rechter Bildteil 1.16).

x(n)

(! -ul y(n)

I----r'-

1) Mit x(n) = s(n) erhiilt man aus der Differenzengleichung folgende Rekursionsformel (Gl.

6.38) flir die Sprungantwort

yen) =h(n) = (1-a)2s(n -2)+2ah(n -1)-a2h(n -2).

Flir n < 2 wird h(n) = O. Flir n :2: 2 folgt "schrittweise"

n = 2: h(2) = (1- a )2S(0) + 2ah(l) - a2h(0) = (1- a )2,

n = 3: h(3) = (l-a)2s(1) +2ah(2) - a2h(1) = (1- a/ +2a(1-a)2 = 1- 3a 2 + 2a 3,

n = 4: h(4) = (1- a )2s(2) + 2ah(3) - a2h(2) =

= (1-ai + 2a(1- 3a2 +2a 3) _a2(I_a)2 = 1-4a 3 + 3a 4 usw ..

Der Leser kann feststellen, daB man die gleichen Werte mit der oben angegebenen Gleichung

flir h (n ) erhiilt.

Aufgabe 6.3.2

digitalen Filters. 2 y(n)

Das Bild zeigt eine Realisierungsschaltung eines x(n) --~r------'

a) Wie lautet die Differenzengleichung des Systems? T + T --',-=-b) Ermitteln Sie G (z) und skizzieren Sie das PN-Schema, 0,5.

begriinden Sie, daB das System stabil ist.

c) Berechnen Sie die Impulsantwort g(n) und ilberpriifen Sie die ersten drei nichtver-

schwindenden Werte mit der Differenzengleichung.

Losung

a) Aus der Schaltung kann man unmittelbar die folgende Differenzengleichung "ablesen"

y(n)=2x(n -2)+x(n -l)+O,Sy(n -1).

b) Nach G1. 6.37 erhaIt man mit der oben angegebenen g]

Differenzengleichung

G(z) = 2+z -o,Sz +zz

2+z z(z -O,S)'

G(z) hat bei -2 eine Nullstelle und bei 0 und O,S Poistellen.

Das System ist stabil, weil die Pole im Einheistskreis 1 z 1< 1

liegen.

c) Partialbruchentwicklung von G(z) gemiill den GIn. S.l1,

S.I2:

-2 ° 0,5

2+z Al Az G(z) = z(z -O,S) =~+ z -O,S' Al = {G(z)zL=o=-4,Az = {G(z)(z -0,S)}Z=O,5 = S.

Mit diesen Werten fUr Al undAz wird nach G1. 6.29

g(n) =-4o(n -I)+Ss(n _I)O,Sn-i.

Mit der unter Punkt a ermittelten Differenzengleichung erhiilt man mit x (n) = o(n) und

y (n ) = g (n) die Rekursionsgleichung

g(n) = o(n -1)+ 20(n -2) +O,Sg(n -1).

Filr n < 1 wird g (n ) = 0, fUr n ;:: 1 erhaIt man

n = 1: g(I) = 0(0) + 20(-1) +0, Sg(O) = 1,

n =2: g(2) = 0(1)+20(0)+0,Sg(1) =2+0,S =2,S,

n =3: g(3) = 0(2)+20(I)+0,Sg(2) = 1,2S usw ..

Diese Werte ergeben sich auch aus der oben angegebenen Gleichung fUr g(n).

Aufgabe 6.3.3

Das Bild zeigt das PN-Schema der Obertragungsfunktion eines g]

Systems.

a) 1st das System stabil?

b) Ermitteln Sie G(z), der frei wiihlbare Faktor solI den Wert

1 haben. c) Berechnen und skizzieren Sie die Impulsantwort g(t) des

Systems. d) Geben Sie die Differenzengleichung fUr das System und

eine Realisierungsschaltung an.

Losung

Jl2 x

o 3/4

-Jl2 x

a) DerPolabstand vom Koordinatenursprung betragt r = "-1(3/4)2+ (l/2f = "13/16 = 0, 901, die

Pole liegen also im Einheitskreis 1 z 1< 1, das System ist stabil.

b) Aus dem PN-Schema findet man mit K = 1

z z G(z)=K (z -3/4- jl2)(z -3/4+ j12) z2-1,5z + 13/16·

c) Partialbruchentwicklung von G (z) gemliB GIn. 5.11, 5.12:

z Al A2 G(z) = (z - 3/4 - j12) (z - 3/4 + j12) z - 3/4 - jl2 + z - 3/4 + j12'

Al = {G(z)(z -3/4- jI2)}z=3/4+jl2 =~-j~, A2 =A *1 =~+ j~. Mit diesen Werten fUr A lund A2 erhlilt man nach Gl. 6.29

( 1 3}(3 l}n-1 (1 3}(3 l}n-1 g(n)=s(n-1) "2- j 4 4+ j "2 +s(n-1) "2+ j 4 4- j "2 .

Zur weiteren Auswertung schreiben wir 3/4±jI2="13116e±jqJ, <p=Arctan(2/3) =0,588 und

erhalten

() ( 1)(1+r3)n-I[(1 .3) j(n-I)<p (1 .3) -j(n-I)<P] g n =s n- - --]- e + -+]- e = 16 2 4 2 4

( 1) (- fl3)n -I [ 1 ( j(n -I)<P -j(n -I)<p) .3 ( j(n -I)<P -j(n -I)<P)] =sn- -\116 "2 e +e -]4 e -e =

(_ fl3)n-1 =s(n -1) -\116 {cos[(n -1)0,588]+ 1,5sin[(n -1)0,588]}.

Aufgabengruppe 6.3

Diese Impulsantwort ist rechts skizziert.

d) Aus dem oben angegebenen Ausdruck fur G(z) erhaIt man

nach Gl. 6.37 die Differenzengleichung

13 yen) -1, 5y(n -1) + 16 y (n - 2) =x(n -1).

1.5

1

0,5

-0,5

Das Bild rechts zeigt eine Realisierungsschaltung fur das x(n) ------,

System.

Aufgabe 6.3.4

Die Dbertragungsfunktion eines zeitdiskreten Systems lautet

G(z)= z2-z+1 . z(z -0,5)3

a) Zeichnen Sie das PN-Schema und begrunden Sie, daB das System stabil ist.

b) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(n) = s(n) cos(n1t/3).

Losung g]

a) G(z) hat Nullstellen bei SOl 2 = 0,5 ±j{:3/2, einen Pol bei z = 0

und eine dreifache Polstelle bei z = 0,5. Das System ist stabil,

weil die Pole im Einheitskreis 1 z 1< 1 liegen.

b) Aus der Tabelle im Anhang A.3 folgt mit ffioT = 1t/3

z(z -0,5) s(n)cos(n1tl3) 0- 2 •

Z -z+ I

Mit dieser Korrespondenz wird (bei Beachtung von Gl. 6.29)

Y(z)=G(z)X(z) = I 2' y(n)=s(n-2)(n-1)0,sn-2. (z -0,5)

J 0,866

- j 0,866

a

123

n

0

3-fnch \

0,5

0

Aufgabe 6.3.5 E

Das Bild zeigt das PN-Schema der Ubertragungsfunktion eines gj

zeitdiskreten Systems mit einer Abtastzeit T = 12,5 j..ls.

a) Ermitteln Sie G(z), wenn die Ubertragungsfunktion beif= 0

den Wert 1 hat.

b) Berechnen Sie den Betrag 1 G(jm) 1 und skizzieren Sie diese

Funktion in Abhangigkeit von f bis zur Frequenz

fmID( = l/(2T) = 1/(2·12,510-6) = 40000 Hz.

c) Geben Sie die Differenzengleichung und eine Schaltung fur

das System an.

3-fnch /

-1

3-fnch \

0,9

124 6 Zeitdiskrete Signaie und Systerne

Losung a) Aus dem PN-Schema erhiilt man

( 1)3 (jOlT 1)3 G(z)=K z+ G(jro)=K e + .

(z - 0, 9)3' (e jOlT - 0, 9)3

Die Bedingung G(jro = 0) = 1 entspricht der Bedingung G(z = 1) = 1 und wir erhalten

23 1 G(z=1)=1=KO,13 =K8000=1, K=8000·

b) Mit diesem Wert fijr K wird

1 (e jOlT + 1)3 G (j ro) = - -'-----'--

8000 (e jOlT _ 0, 9)3

[cos(roT) + 1 + j sin(roT)]3

8000 [cos(roT) - 0, 9 + j sin(roT)]3'

. 1 (cos(roT) + 1) +sm (roT) 1 2+2cos(roT) [

2 . 2 ]3n [ J3n 1 G (j ro) 1= 8000 (cos( roT) _ 0, 9)2 + sin2( roT) = 8000 1,81 - 1,8 cos( roT) .

Diese Betragsfunktion ist rechts bis zu ro = niT skizziert. 1 IG(j w)1

Dem Wert ro = 1tIT entspricht die (maximale Betriebs-) VerlQuf von 0 b;s 5 kHz

Frequenz f = l/(2T) = 40000 Hz. Solange nur der Fre-

quenzbereich von 0 bis zu 40 kHz betrachtet wird, kann hier

von einem zeitdiskreten TiefpaB gesprochen werden.

Hinweis: o

?TIT w

10 20 30 40 f 1kHz

Wird beim Betrieb eines zeitdiskreten Systems dafiir gesorgt, daB die Eingangssignale keine

Spektralanteile oberhalb der Frequenz l/(2T) aufweisen, so bleibt der periodische Verlauf der

Ubertragungsfunktion ohne EinfluB auf das Ubertragungsverhalten (Bild 1.13, Abschnitt 1.6).

c) Aus dem oben angegebenen Ausdruck fijr G(z) folgt zunachst

G z =_1_ (z + 1)3 1 +3z +3z 2 +Z 3

() 8000(z-0,9i 8000-O,729+2,43z-2,7z 2 +Z 3 •

GemaB Gl. 6.39 erhiilt dann die Differenzengleichung

y(n)-2, 7y(n -1)+2,43y(n -2)-0, 729y(n -3) =

1 = 8000 [x(n) + 3x(n -1)+3x(n -2)+x(n -3)].

Das Bild rechts zeigt eine Realisierungstruktur. 1m

vorliegenden Fall ist es giinstig den "Vorfaktor"

durch einen Multiplizierer am Eingang zu

realisieren.

x(n) --C>-r-------r-----,-----, 1/8000

Aufgabengruppe 6.4

Bei diesen Aufgaben werden die Losungen in kiirzerer Form angegeben. Die Aufgaben beziehen


Aufgabe 6.4.1 K

Gegeben ist ein verzerrungsfrei tibertragendes System mit der Gruppenlaufzeit Tg = 2T, wobei

T die Abtastzeit des Systems ist.

a) Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Ein- und Ausgangssignal?

b) Ermitteln Sie die Ubertragungsfunktion und deren Betrag und Phase.

Losung

a) Entsprechend der Definition bei kontinuierlichen Systemen (siehe Gl. 4.7) muB hier gelten

y(n) = Kx[(n - 2)T] = Kx(n - 2), K > 0.

b) Mit x(n) = ejllIDT wird

yen) = Ke j(II-2)IDT = Ke-2jIDTejIlIDT = GUO)ejIlIDT, GUO) = Ke-j2IDT.

Aus der Schreibweise GUO) =1 GUO) 1 e-jB(ID) folgt 1 GUO) 1= K, B(O) = 20)T.

Aufgabe 6.4.2

Die Sprungantwort eines zeitdiskreten Systems lautet h(n) = s(n)(4 - 0, 25").

a) Berechnen Sie die Impulsantwort des Systems im "Zeitbereich".

b) Berechnen Sie die Impulsantwort im Bildbereich mit der z-Transformation.

Losung

a) Mit der Beziehung g(n) = hen) - hen -1) erhaIt man schrittweise

g (n) = ° fur n < 0,

g(O) = h(O) - he-I) = h(O) = 3,

n ~ 1: g(n) = (4 -0, 25") - (4 - 0,25" -1) = 3.0,25".

Diese Losung kann in der Form g(n) = 3s(n)0,25" geschlossen dargestellt werden.

K

b) Das Eingangssignal hat die z-Transformierte X (z) = z/(z - 1) und das Ausgangssignal

Y(z) =4z/(z -I)-z/(z -0,25). Dann erhaItman nach Gl. 6.34

G(z) = Y(z) = 4 _ z -1 3 + 0,75 X(z) z -0,25 z -0,25'

g(n) = 30(n) +0, 75s(n - 1)0,25" -1 = 30(n) + 3s(n - 1)0,25" = 3s(n )0,25".

126 6 Zeitdiskrete Signale und Systerne

Aufgabe 6.4.3 K

x(n) --.----~-__,

2V =4'72v . ~n)

Das Bild zeigt die Schaltung eines zeitdiskreten Systems.

a) Wie lautet die Differenzengleichung?

b) Ermitteln Sie die Impulsantwort des Systems durch

LOsung der Differenzengleichung.

c) Ermitteln Sie G(z), skizzieren Sie das PN-Schema und berechnen Sie die Impulsantwort

durch Riicktransformation von G(z).

LOsung

a) Aus der Schaltung erhiilt man

y(n)=2x(n -3)-4x(n -2)+2x(n -1).

b) Mit x(n) = O(n), y(n) = g(n) folgt aus der Differenzengleichung

g(n) = 2o(n -3)-4o(n -2) + 2o(n -1).

Es gilt g(n) = 0 fur n < 1, g(1) = 2, g(2) = -4, g(3) = 2 und g(n) = 0 fur n > 3.

c) Die Differenzengleichung hat die (allgemeine) Form

y(n)+c4y(n -l)+d,y(n -2) +doy(n - 3) = c~(n)+c2x(n -2)+c,x(n -2) +coX(n - 3)

mit den Koeffizienten ~ = d, = do = 0, C3 = 0, C2 = 2, c, = -4, g)

Co = 2. Dann wird (GIn. 6.28, 6.39)

G( )=2-4z+2z2 2 -3_ 4 -2 2-' z 3 Z z+z.

z Aus der rechten Form von G(z) erhiilt man durch

Rucktransformation (siehe Gl. 6.29) die Impulsantwort

g(n) = 20(n - 3) -40(n -2) + 20(n -I). Aus der linken Form von G (z) erkennt man, daB bei z = 1 eine

doppelte Nullstelle und bei z = 0 eine dreifache Poistelle

auftritt. Das PN-Schema ist rechts skizziert.

Aufgabe 6.4.4

Das Bild zeigt das PN -Schema der Dbertragungsfunktion G (z)

eines Systems.

a) Ermitteln Sie G(z) mit der Bedingung G(jm = 0) = 1.

b) Stellen Sie die Differenzengleichung fur das System auf und

ermitteln Sie die ersten drei nichtverschwindenden Werte

der Systemreaktion auf x(n) = s(n)· n.

c) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf x(n) = s(n)· n mit

Hilfe der Beziehung Y(z) = G(z)X(z).

-1

3-fa.ch 2-fa.ch

o

K

0,8

Losung a) Aus dem PN-Schema folgt (mit G(jO) = 0) = G(z = 1) = 1)

z+1 2 1 z+1 G(z)=K--, 1 =K-= 10K, G(z)=---. z -0,8 0,2 10z -0,8

b) y(n)-0,8y(n -1)=0, 1x(n) +0, 1x(n -1).

Mit x(n) = s(n) . n erhiilt man aus dieser Differenzengleichung

yen) =0, 1s(n)n +0, 1s(n -1)(n -1)+0,8y(n -1).

Daraus folgt y(n)=O ftir n<l, y(1)=0,1, y(2)=0,1·2+0,1+0,8·0,1=0,38,

y (3) = 0, 1 . 3 + 0, 1 . 2 + 0,8 . 0,38 = 0, 804.

c) Mit der Korrespondenz s(n)n O-z/(z _1)2 wird

y(z)=~ z(z+1) = -3,5 +_1_+~ 1O(z-1)2(z-0,8) z-1 (Z-1)2 z-0,8'

y(n)=-3,5s(n -1)+3,6s(n _1)0,8"-1 +s(n -2)(n -1).

Aufgabe 6.4.5 K

Die Ubertragungsfunktion eines zeitdiskreten Systems lautet

G (j 0)) = e -jroT _ 2e -3jroT + e -SjroT.

a) Wie groB ist die.maximale Betriebsfrequenz dieses Systems?

b) Ermitteln Sie G(z) und das PN-Schema und begrtinden Sie, daB das System stabil ist.

c) Ermitteln Sie die Impulsantwort des Systems.

Losung

a) Maximale Betriebsfrequenz fmax = 1/(2T).

b) Mit eiroT = z erhiilt man

G() -1 2 -3 -5 1-2z2+z4 Z =Z - z +Z =---

Z5

G(z) hat bei z =0 eine 5-fache Polstelle und bei z =-1 und

z = 1 jeweils doppelte Nullstellen. Das System ist stabil, weil

die Pole im Einheitskreis 1 z 1< 1 liegen.

c) Aus der oben angegebenen linken Form filr G (z) erhiilt man

die Impulsantwort

g(n) = o(n -1) - 20(n - 3)+ o(n- 5).

2-f'ClCh 2-f'Clch

-1 5-f'ClCh 0

7 Stochastische Signale

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 7. (bei den lilteren Auflagen 6.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in drei Gruppen unterteilt. Die Aufgabengruppe 7.1 enthlilt flinf

Aufgaben zur Beschreibung von Zufallssignalen im Zeitbereich mit Korrelationsfunktionen.

Bei den sechs Aufgaben im Abschnitt 7.2 werden die Zufallssignale durch ihre spektralen

Leistungsdichten beschrieben. SchlieBlich enthalt die Aufgabengruppe 7.3 flinf weitere

Beispiele, die sich auf den gesamten Stoff beziehen und bei denen die Losungen in kiirzerer

Form mit weniger ErkHirungen angegeben sind.





Gleichungen sind im Abschnitt 1.7 zusarnmengestellt.

Aufgabengruppe 7.1

Die Aufgaben dieser Gruppe befassen sich mit der Beschreibung von Zufallssignalen durch

Korrelationsfunktionen.

Aufgabe 7.1.1

Gegeben ist ein Zufallssignal

X(t) = cos (rot + cI».

Darin ist cI> eine im Bereich von 0 bis 21t gleichverteilte

ZufallsgroBe mit der rechts skizzierten Dichtefunktion.

i7rl-------,

o a) Beweisen Sie, daB es sich bei X (t) urn ein stationares Zufallssignal handelt.

b) Zeigen Sie, daB X(t) ergodisch ist.

Losung

E

a) Stationar ist ein Zufallssignal, wenn Mittelwert E[X(t)] und zweites Moment E[X2(t)]

zeitunabhangig sind und zusatzlich der Erwartungswert (die Autokorrelationsfunktion)

E[X(t)X(t +'t)] nur von 't abhangt, also ebenfalls zeitunabhangig ist. Zum Beweis dieser

Zeitunabhangigkeit miissen die Erwartungswerte als "Ensemblemittelwerte" berechnet werden.

MitX(t) = cos(rot + cI» = cos (rot) coscI> - sin(rot) sin cI>erhliltman gemaBGl. 9.11 denMittelwert

E[X(t)] = cos(rot) E[cos cI>] - sin(rot) E[sin cI>].

Dabei wird mit der oben skizzierten Dichtefunktion nach Gl. 9.4

f ~ 1 l'1t E[cos cI>] = cos cp p(cp)dcp = - cos cpdcp = 0, ~ 21t 0

f ~ 1 1: 21t E[sincI>]= sincpp(cp)dcp=- sincpdcp=O.

~ 21t 0

Wir erhalten den zeitunabhangigen Mittelwert E[X(t)] = 0.

Mit X2(t) = cos2(rot) cos2 + sin2( rot) sin2<1> - 2 cos(rot) sin(rot) cos sin wird gemaB Gl. 9.11

E[X2(t)] = cos\rot) E[cos2 <1>1+ sin\rot) E[sin2 <1>] - 2 cos(rot) sin(rot) E[cos sin <1>].

Mit der oben skizzierten Dichtefunktion erhiilt man gemaB Gl. 9.4 nach elementarer Rechnung

die Erwartungswerte

E[col<l>] = r= cos2 q> p(q»dq> = ~ r2lt cos2 q>dq> =.!., J_ 21tJo 2

r= 1 r 2lt E[cos sin <1>] = J_ cos q> sin q> p(q»dq> = 21tJo cos q>sin q>dq> = 0.

Mit diesen Erwartungswerten ergibt sich ein ebenfalls zeitunabhangiges 2. Moment

E[X2(t)] = 0,5 cos\rot) + 0, 5 sin\rot) = 0,5.

Zur Ermittlung der Autokorrelationsfunktion E[X(t)X(t + 't)] berechnen wir zunachst das

Produkt

X(t)X(t + 't) = cos(rot + <I»cos(ro(t +'t) + <1» = 0, 5 cos(ro't) + 0, 5 cos(2rot + ro't + 2<1» =

= 0, 5 cos( ro't) + 0, 5 cos(2rot + ro't) cos(2<1» - 0, 5 sin(2rot + ro't) sin(2<1».

Dann wird

E[X(t)X(t + 't)] = 0,5 cos(ro't) + 0, 5 cos(2rot + ro't) E[cos(2<1»] - 0, 5 sin(2rot + ro't) E[sin(2<1»]

und mit den Erwartungswerten

i = I L2lt E[cos(2<1»] = cos(2q» p(q»dq> = - cos(2q»dq> = 0, _ 21t 0

r= 1 r2lt E[sin(2<1»] = J_ sin(2q»p(q»dq> = 21tJo sin(2q»dq> = °

erhiilt man die zeitunabhangige Autokorrelationsfunktion

E[X(t)X(t + 't)] = 0, 5 cos(ro't) = Rxx('t).

Damit wurde bewiesen, daB X(t) = cos (rot + <1» mit der oben skizzierten Dichtefunktion fUr den

Winkel ein stationiires Zufallsignal ist. Mittelwert E[X(t)] und 2. Moment E[X2(t)] sind

zeitunabhangig, die Autokorrelationsfunktion ist nur von 't abhangig.

b) Die Stationaritat ist eine notwendige Voraussetzung ftir die Ergodizitat. Ergodisch ist das

Zufallssignal genau dann, wenn die oben berechneten Ensemblemittelwerte mit den

entsprechenden Zeitmittelwerten tibereinstirnrnen. Der Zeitmittelwert von X (t) berechnet sich

nach Gl. 7.4. Dabei ist x(t) = cos( rot + q» eine Realisierung des Zufallsprozesses. Dies bedeutet,

daB q> ein beliebiger Winkel im Bereich 0 ::; q> ::; 21t ist. Dann erhalt man

130 7 Stochastische SignaJe

1 IT 1 IT E[X] = lim -2 x(t)dt = lim - COS(ffit + cp)dt = T~- T ~ T~-2T ~

1. 1 1 . ( ) IT 1. 1 2 . = Im--smffit+cp = Im--sm(2ffiT+cp)=0, t~-2Tffi -T T~-2Tffi

also das gleiche Ergebnis wie bei Punkt a.

Die Berechnung des 2. Momentes als Zeitmittelwert erfolgt gemaB Gl. 7.4. Mit der Realisierung

x(t) = COS(ffit + cp) erh1ilt man nach elementarer Rechnung

E[X2] = lim -21 (T x\t)dt = lim -21 (T COS\ffit + cp)dt =.! T~- TJ~ T~- TJ~ 2

und stellt auch hier die Ubereinstimmung mit dem entsprechenden Ensemblemittelwert fest.

Mit x (t)x (t + 't) = cos( ffit + cp) cos( ffi(t + 't) + cp) = 0,5 cos( ffi't) + 0, 5 COS(2ffit + ffi't + 2cp) erhillt

man nach elementarer Rechnung (mit Gl. 7.4)

Rxx('t) = lim ~ (T x(t)x(t + 'C)dt = T~_2T LT

= lim ~ rr 0,5 cos( ffi'C)dt + lim ~ (T 0,5 COS(2ffit + ffi't + 2cp )dt = 0, 5 cos( ffi'C). T~-2TJ~ T~_2TJ~

Auch hier stimmen Ensemble- und Zeitmittelwert iiberein. Damit wurde bewiesen, daB es sich

hier urn ein ergodisches Zufallssignal handelt.

Aufgabe 7.1.2

Gegeben ist ein ergodisches normalverteiltes Signal N(t) mit

der rechts skizzierten Autokorrelationsfunktion RNN('C)=<ie-kltl.

Dieses Zufallssignal N (t) hat die gleiche mittlere Leistung wie

das ebenfalls rechts skizzierte periodische Signal x(t). Wei

terhin ist bekannt, daB der Korrelationskoeffizient zwischen

den ZufallsgroBen N(t) und N(t + 5) den Wert 0,2 hat.

a) Wie groB ist die mittlere Leistung des periodischen

Signales? Ermitteln und skizzieren Sie die Autokor

relationsfunktion von x(t).

E

T

o T 12 T

-2

b) Wie groB ist der Mittelwert des Zufallssignales N(t)? Bestimmen Sie die noch nicht

festgelegten Parameter (32 und k in der Funktion RNN('t).

c) Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte p (n) ? Skizzieren Sie diese Dichtefunktion.

d) Geben Sie denjenigen Bereich -n < N(t) < n an, in dem das Zufallsignal mit einer

Wahrscheinlichkeit von 0,997 liegt.

Losung a) 1m vorliegenden Fall erhaIt man fur x 2(t) den konstanten Wert 4 und damit hat (nach Gl. 7.4)

auch die mittlere Leistung diesen Wert P x = 4. Zur Berechnung ~er Autokorrelationsfunktion

des periodischen Signales x(t) entwickelt man x(t) in eine Fourier-Reihe (siehe Gl. 3.1):

x(t) = ~(sin(fiV) +~sin(3COot) +~sin(5fiV) + ... ). roo = 2;.

Daraus erhaIt man gemaB Gl. 7.7 (unter Beachtung von sinx = cos (x -1tI2»

32( 1 1 ) Rxx(1:) = rr?- cos(root) +'9cos(3COot) + 25 cos(5root) +... .

Normalerweise muB man nun den Verlaufvon Rxx(1:) punktweise berechnen. Ein Blick in eine

Tabelle uber Fourier-Reihen zeigt jedoch, daB Rxx(1:) den rechts unten skizzierten Verlauf

aufweist. Der Wert Rxx(O) = 4 entspricht der mittleren Signalleistung, die oben schon berechnet

wurde.

Hinweis:

1m vorliegenden Fall kann Rxx(1:) auch noch auf eine einfachere Art ermittelt werden. Zu diesem

Zweck untersuchen wir, wie das Produkt x (t)x (t -1:) aussieht. Bei 1:= 0 erhalten wir x 2(t) = 4

und damit auch den Mittelwert Rxx(O) = 4. Bei 1: = TI2 ist das

Produkt aus x(t) und der urn TI2 verschobenen Funktion

x(t - T12) zu errnitteln. Offenbar wird x(t)x(t - T12) = -4 und

damit auch Rxx( - T/2) = Rxx(T/2) = -4. Fur Zwischenwerte

0< 1: < TI2 nimmt die Flache unter x (t)x(t -1:) linear ab (siehe

Bild). Entsprechend erklart sich der Verlauf fur die Werte von

1:> T12.

b) Wegen RNN(oo) = 0 gilt E[N(t)] = 0 (siehe Gl. 7.6). Die mittlere Signalleistung hat den Wert

RNN(O) = cr. Da sie den gleichen Wert wie die mittlere Signalleistung des periodischen Signales

haben solI, wird cr = 4. Der Korrelationskoeffizient zwischen den ZufallsgroBen N(t) und

N(t +1:) wird nach Gl. 7.6 mit RNN(oo) = 0

RNN(1:) -k 1T1 r=--=e .

RNN(O)

Nach der Aufgabenstellung hat der Korrelationskoeffizient fUr 1: = 5 den Wert 0,2 und wir

erhalten aus der oben angegebenen Beziehung 0,2 = e-5k , 5k =-lnO,2 = 1,609, k = 0,3219.

c) Nach Gl. 9.6 wird mit cr =4

() 1 _n 2/8 p n =--e .

2-V21[ p (n) ist rechts skizziert, die Wende

punkte liegen bei n = ±cr = ±2.

p(n) n(t) 6-------

t

n

132 7 Stochastische SignaJe

d) Eine normalverteilte Zufa11sgroBe tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 im

"3 a-Bereich" auf. Wegen E[N(t)] = 0 und 0' = 2 ist dies hier der Bereich von -6 bis 6. 1m Bild

oben rechts ist eine Realisierung des Zufa11ssignales dargeste11t und der Bereich, in dem die

Signalwerte mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 auftreten.

Aufgabe 7.1.3

Gegeben ist ein periodisches Signal x(t) = A cos(mt) + B cos(2mt) sowie ein stationarer

Zufa11sprozeB N (t) mit der Autokorrelationsfunktion RNN( 't) = 0, 2e -1'1.

a) We1che Beziehung besteht zwischen den Amplituden A und B bei dem periodischen Signal,

wenn die mitt1ere Signa11eistung von N(t) lO-mal so groB wie die von x(t) ist?

b) Wie groB sind A und B, wenn die 2. Harrnonische die halbe Leistung der ersten Harrnonischen

hat?

c) Wie lautet die Autokorrelationsfunktion von x(t)?

Losung a) Die mittlere Leistung von x(t) betragt Px = 0, 5A 2 + 0, 5B2 (siehe z.B. Gl. 7.7 mit 't = 0). N(t)

hat die mittlere Leistung RNN(O) = 0,2. Darnit folgt 0, 5A 2 + 0, 5B2 = 0, 1 . RNN(O) = 0, 02 oder A2+B2=0,04.

b) Es muB (0, 5A 2) = 2(0, 5B 2) sein und mit A 2 + B 2 = 0, 04 folgt daraus nach elementarer

Rechnung A = 0,1633, B = 0,1155.

c) GemaB Gl. 7.7 erhalt man die Autokorrelationsfunktion

Rxx('t) = 0, 5A 2 cos(Ol't) + 0, 5B2 cos(20l't) = 0,0133 cos(Ol't) + 0, 00667 cos(2m't).

Aufgabe 7.1.4

Ein Korrelator sol1 die Kreuzkorrelationsfunktion Rxy('t) zwischen den Signalen X(t) = N(t)

und Y(t) = 3N(t) + M(t) messen. Die Autokorrelationsfunktion von N(t) lautet

RNN('t) = 0, 2e-{),5 1'lcos('t). Das stationare Signal M(t) sol1 unabhangig von N(t) sein. Man

berechne und skizziere die vom Korrelator gemessene Funktion RXY('t).

Losung

Mit

x(t)Y(t + 't) = N(t) [3N(t +'t) + M(t +'t)] = 3N(t)N(t +'t) + N(t)M(t + 't)

wird

RXY('t) = E[X(t)Y(t + 't)] = 3 E[N(t)N(t + 't)] + E[N(t)M(t + 't)] = 3RNN('t) + RNM('t).

Wegen der Unabhangigkeit von N(t) und M(t) verschwindet der Korrelationskoeffizient (siehe

Gl. 7.10):

Aufgabengruppe 7.2

Aus der Eigenschaft RNN( 00 ) = ° folgt E[N (t)] = ° und damit

wird RNM(T) = 0. Wir erhalten daher die rechts skizzierte

Kreuzkorrelationsfunktion

RXy(T) = 3RNN(T) = 0, 6e -0,5 It I COS(T).

Aufgabe 7.1.5

Es ist bekannt, daB die Autokorrelationsfunktion eines

Zufallssignales die Form Rxx('c) = kle- I tl + k2

hat. Rechts ist die Wahrscheinlichkeitsdichte p (x) des

Zufallssignales skizziert.

a) Errnitteln Sie die noch unbekannten Werte kl und k2 in der

Beziehung fur Rxx('t).

-6

-4

133

6 T

p(x)

0,125

o 4 x

b) Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit dafur, daB das Zufallssignal Werte im Bereich von 0,5

bis 1,5 annimmt?

c) Geben Sie die Amplitude £ eines Signales x(t) = £ cos( cot) an, das die gleiche mittlere Leistung

wie das Zufallssignal hat.

Losung

a) Aus der oben skizzierten Dichtefunktion erkennt man unmittelbar, daB das Signal

mittelwertfrei ist, also E[X] = 0. Wegen der Eigenschaft Rxx(oo) = k2 = (E[X]i folgt k2 = 0. Die

mittlere Leistung von X (t) kann im vorliegenden Fall nach Gl. 9.3 berechnet werden. Man erhiilt

bei der hier vorliegenden Dichtefunktion

2 f= 2 1 f4 2 I 31 4 16 E[X ] = x p(x)dx =- x dx = -x' =-= 5,333. - 8-4 24 -43

Mit der Bedingung E[X2] = Rxx(O) = kl erhalten wir kl = 16/3. Damit lautet die Autokor

relationsfunktion RxxCT) = 5, 333e- ltl.

b) Nach Gl. 9.2 erhalten wir mit der oben skizzierten Dichtefunktion

P(0,5 <X < 1,5)= (1.5 p(x)dx =.!. (1.5 dx =.!.. )0.5 8 )0.5 8

c) Das Signalx(t) hat eine mittlere Leistung von £2/2. Aus dieser Beziehung folgt mit der oben

berechneten mittleren Leistung des Zufallssignales £ = >/32/3 = 3,266.

Aufgabengruppe 7.2

Bei den Aufgaben in dieser Gruppe werden die Zufallssignale im Frequenzbereich durch ihre

spektra1en Leistungsdichten beschrieben.

134 7 Stochastische Signa1e

Aufgabe 7.2.1

Ein mittelwertfreies normalverteiltes Signal liegt mit einer

Wahrscheinlichkeit von 0,997 im Bereich von -1,5 bis 1,5. Das

Bild zeigt die spektrale Leistungsdichte dieses Signales.

a) Wie bezeichnet man ein Zufallssignal mit einer so1chen

spektralen Leistungsdichte?

b) Man berechne den Wertlmax bei Sxx(j).

0,00125

o

c) Ermitte1n und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion des Zufallssignales.

E

d) Wie groB istdie Amplitude eines Signalesx(t) = £ COS(ffit -1t/3) bei g1eichermittlerer Leistung

wie bei dem Zufallssignal?

Losuug

a) Es handelt sich urn bandbegrenztes weiBes Rauschen (siehe GI7.16).

b) Bei einer mittelwertfreien normalverteilten ZufallsgroBe liegen die Werte mit einer

Wahrscheinlichkeit von 0,997 im Bereich von -3cr bis 3cr (siehe Abschnitt l.9). Damit wird

cr = 0, 5 und die mittlere Signalleistung hat den Wert cr2 = Px = 0,25. Die mittlere Signalleistung

entspricht der Flache unter (der tiber I aufgetragenen) spektralen Leistungsdichte (Gl. 7.13).

Aus dem Bild flir Sxx(j) folgt demnach Px = 2 . ImaxO, 00125 = 0,25 und daraus Imax = 100. c) Wir erhalten nach Gl. 7.11 mit ffi = 21t1 und der oben skizzierten spektralen Leistungsdichte

0,00125 )21[j'< 1100 0,00125 ,"21[IOOr -j"21[IOOr = e = (e - e )

j2m: _100 j21t't .

Mit e1X - e)x = 2j sinx erhalt man daraus die rechts skizzierte

Autokorrelationsfunktion

R () = 0 0025 sin(100· 21t't) xx 't, 21t't'

d) Die mittlere Leistung von xU) solI den Wert Px=0,25

haben. Dann gilt 0,25 = £2/2 und £ = lIfi.

Aufgabe 7.2.2

Das Bild zeigt zwei Funktionen II ('t) und h('t). Es ist zu untersuchen, ob

diese Funktionen Autokorrelations

funktionen stationarer Zufallssignale

sein konnen. -T o T T

0,25 Rxx("T)

r

11200

T


Losung

Bine Autokorrelationsfunktion muB eine gerade Funktion sein, die bei 't = 0 ein absolutes

Maximum aufweist. Diese beiden notwendigen Bedingungen werden von beiden Funktionen

erftillt. Zur KontroIle, ob eine gerade Funktionf('t) mit absolutemMaximum bei 't = 0 tatsachlich

eine Autokorrelationsfunktion sein kann, berechnet man am besten die Fourier-Transformierte

FUm) dieser Funktion. Diese (reeIle) Funktion FUm) muB die Eigenschaften einer spektralen

Leistungsdichte aufweisen, d.h. es muB gelten FUm) ~ 0 filr alle 00.

a) Funktion N't) links im Bild.

Nach Gl. 3.3 lautet die Fourier-Transformierte dieser Funktion

F U ) - f= 1'( ) -jOYtd - fT -j""d _ -1 -jffft IT _~( jroT _ -jroT) _ 2sin(mT) 100- Ji'te 't- e 't-. e -. e e - .

- -T Jm -T Jm 00

Diese Funktion erfilIlt offenbar nicht die Bedingung F,Um) ~ 0 filr aIle 00, damit kann es sich

bei der oben links skizzierten Funktionf,('t) urn keine Autokorrelationsfunktion handeln.

b) Funktion f;('t) rechts im Bild (siehe auch Aufgabe 3.1.6).

Wir entnehmen hier die Fourier-Transformierte aus der Korrespondenzentabelle im Anhang

A.l (vorletzte Funktion in der linken Spalte) und erhalten

F2Um) = 4sin2(mTI2) Tm2

Diese Funktion kann keine negativen Werte annehmen und kann daher die spektrale

Leistungsdichte eines ZufaIlssignales sein. Dies bedeutet, daB die rechts im Bild skizzierte

Funktionh('t) eine Autokorrelationsfunktion sein kann.

Aufgabe 7.2.3

Das Bild (auf der folgenden Seite) zeigt links oben eine Zusammenschaltung von drei

"rauschenden" Widerstanden der GroBe R mit unterschiedlichen Temperaturen.

a) Wie groB ist der Effektivwert der Rauschspannung an den auBeren Klemmen der Schaltung,

wenn die Temperaturen gleich groB sind. Berechnen Sie den Zahlenwert der Rauschspannung

im Fall R = 107 Ohm, T = 300 K bei einer Bandbreite von 10 MHz.

b) Ermitteln Sie die Rausch-Ersatzspannungsquelle ftir die Widerstandsschaltung.

Losung

a) Bei gleichen Temperaturen erhiilt man eine Ersatzschaltung gemaB Bild 1.20 mit dem

Gesamtwiderstand 3RJ2 und einer Rauschspannungsquelle mit der spektralen Leistungsdichte

Suu(m) = 2kT3RJ2. Darin ist k = 1,380310-23 11K die Bolzmannsche Konstante. Diese

Ersatzschaltung entspricht der ganz unten rechts im Bild, wenn TI = T2 = T3 = T gesetzt wird.

Eine (gedachte) Messung der Rauschspannung an dem Widerstand kann nur durch ein MeBgerat

136 7 Stochastische Signale

mit einer (endlichen) Bandbreite fmax erfolgen. Das MeBgeriit miBt dann zuniichst die mittlere

Rauschleistung (siehe GIn. 7.13, 7.14)

r!,na, E[U2] = J Suu(f)df = 2fmax2kT3RJ2

-i;nax

und angezeigt wird die Wurzel aus diesem Wert

U.if = -'./r:-6f,..,.....max-ck-R-T.

Mit den angegebenen Zahlenwerten erhiilt man aus dieser Gleichung den Wert UeJ/ = 1,58 m V.

b) 1m Bild ist die Entwicklung der

Rausch-Ersatzschaltung dargestellt.

Zuniichst wird jeder Widerstand durch

eine Ersatzschaltung gemiiB Bild 1.20

ersetzt. Bei parallelgeschalteten

Widerstiinden ist die Strom-Ersatz-2k<T1/R+ T2 /R)

schaltung zu verwenden, bei Reihen

schaltungen die Spannungs-Ersatz

schaltung. Die so entstehende

Schaltung wird schrittweise verein

facht. Dabei werden Strom- in Span

nungs-Ersatzschaltungen umgerech

net und die spektralen Leistungs

dichten werden addiert. Weitere In

formationen zu diesem Problem findet

der Leser im Lehrbuchabschnitt 7.5.5.

iL~(t) u 3(1;)

- R

R/2 2kT3R

Aufgabe 7.2.4

Das Bild zeigt die Autokorrelationsfunktion

Rxx{'t) = 0,04e- I"1

eines Zufallssignales.

a) Ermitteln und skizzieren Sie die spektrale Leistungsdichte

Sxx(ro).

R

0,04

b) Ermitteln und skizzieren Sie die Dichtefunktion p (x) im FaIle einer Normalverteilung.

c) Ermitte1n und skizzieren Sie die Dichtefunktion p(x) im Falle einer Gleichverteilung.

T

Aufgabengruppe 7.2

Losung

a) Aus der Tabelle im Anhang A.I entnehmen wir die

Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion

0,08 Sxx(oo) = --2·

1 +00

Diese spektrale Leistungsdichte ist rechts skizziert.

b) Wegen Rxx(oo) = (E[X]l = 0 liegt ein mittelwertfreies

Zufallssignal mit der Streuung d- = Rxx(O) = 0,04 vor. Dann

wird im FaIle einer Normalverteilung

1 " p (x) = --e -x-'(2cn

{i1tcr mit cr = 0,2. Diese Dichtefunktion ist rechts skizziert.

c) Bei einem gleichverteilten Signal hat p(x) eine Form nach

Bild 1.22 mit d- = f?13. Wir erhalten die im Bild rechts

skizzierte Dichte mit £ = 0,346.

Aufgabe 7.2.5

Das Bild zeigt die Dichtefunktion eines normalverteilten

Zufallssignales. Es ist bekannt, daB die Autokorrela

tionsfunktion folgende Form hat: RxxC't) = ce-1tl+d.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen die Signalwerte im

Bereich von 0,6 bis I,4?

1 p(x)

..j2TIrr

a b) Ermitteln Sie die Konstanten c und d in dem Ausdruck von Rxx('t).

0,08 Sxx<w)

o

c) Ermitteln und skizzieren Sie die spektrale Leistungsdichte des ZufaIlssignales.

Losung

l37

W

x

x

a) Aus dem Bild von p(x) entnimmt man den Erwartungswert E[X] = 1 und die Stan

dardabweichung cr = 0,2. Der Bereich von 0,6 bis 1,4 ist offenbar der 2cr-Bereich in dem die

Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,954 auftreten (siehe Abschnitt 1.9).

b) Aus der Beziehung Rxx( 00) = d = (E[X])2 = 1 folgt d = 1. Aus Rxx(O) = c + d = cr2 + (E[X])2

erhalt man c + d = 1,04 und damit c = 0,04.

c) Die Autokorrelationsfunktion lautet Rxx('t) = 0, 04e- 1tl + 1,

die Fourier-Transformierte kann (flir jeden der Summanden)

aus der Tabelle im Anhang A.I entnommen werden, wir

erhalten die rechts skizzierte spektrale Leistungsdichte

~ 0,08 Sxx(oo) = 21tu(oo) +--2.

1 + 00

0,08

W

138 7 Stochastische Signale

Aufgabe 7.2.6

Die spektrale Leistungsdichte eines zeitdiskreten Signales lautet

S (ol) = de -k 1 OJI = {de kOJ fiir ol < 0, k > 0. xx c/e-kOJ fUr ol > 0

Man berechne die Autokorre1ationsfunktion Rxx(m) dieses Zufallssignales.

Losung

Nach Gl. 7.21 wird

=_ e<ll(k+]lIIT)dOl+_ e--ro(k-JmT)dOl=_ e _ e = rrT f 0 . rrT 1 rrlT . (J2T { <ll(k + jmT) 10 -<ll(k - jmT) IrrlT} 21t -rriT 21t 0 21t k+jmT -rriT k-jmT 0

rrT {(1- e -7t(k+ jmT)/T)(k - jm T) + (1- e -7t(k- jmTYT)(k + jm T)}. 21t(k2 + m 2T2)

Mit den Beziehungen ejx+e-;x=2cosx und ejX -e-jx =2jsinx erhalten wir daraus die

Autokorrelationsfunktion

rrT -krrlT . (J2Tk -krrlT m Rxx(m) = 2 2 2 {k-e [kcos(m1t)-mTsm(m1t)]} = ? 2 2 [1-e (-1)].

1t(k +m T) 1t(k-+m T)

Aufgabengruppe 7.3

Bei den Aufgaben dieser Gruppe werden die Losungen in kiirzerer Form angegeben. Die


Aufgabe 7.3.1

Es wird behauptet, daB die rechts skizzierte Funktion F('r:) die

Autokorrelationsfunktion eines stationaren mittelwertfreien

Signales sein solI. We1che Griinde sprechen gegen diese

Aussage?

Losung

F(1:) hat bei 1: = ° kein absolutes Maximum und auBerdem ist F(oo);eO.

Aufgabe 7.3.2

K

T

K

Ein Zufallssignal wird durch die Beziehung X(t) =A cos(Olt) beschrieben. A ist eine

normalverteilte ZufallsgroBe mit E[A] = ° und (JA = 1.

a) Handelt es sich bei X(t) urn ein stationares Zufallssignal?

b) Kann die Autokorrelationsfunktion mit dem im Bild 1.18 dargestellten Korrelator gemessen

werden?

Losung a) Der Erwartungswert E[X2(t)] = E[A 2] cos2(rot) = cos2(rot) ist nicht zeitunabhangig, daher ist

X(t) nicht stationar.

b) Der im Bild 1.18 dargestellte Korrelator miBt die Autokorrelationsfunktion als Zeitmittelwert.

Yoraussetzung dazu ist die Ergodizitat des Zufallssignales. X(t) ist nicht stationar, also auch

nicht ergodisch. Bine Messung ist dernnach nicht moglich.

Aufgabe 7.3.3

Das Bild zeigt die spektrale Leistungsdichte eines

Zufallssignales mit einer mittleren Leistung E[X2] = 4 y2.

Bestimmen Sie den noch nicht festgelegten Wert i und

begriinden Sie, daB es sich urn ein mittelwertfreies

Zufallssignal handelt.

Losung

K

f'/kHz

10

Nach Gl. 7.13 ist E[X2] die Flache unter Sxx(f), darnit wird i = 410-4 y2 s. Wenn X(t) nicht

mittelwertfrei ware, wiirde in Sxx(f) ein Dirac-Impuls (E[X])221to(ro) auftreten.

Aufgabe 7.3.4 K

Ein mittelwertfreies stationares Zufallssignal hat die Form Z(t) = X(t) + Y(t).

a) WeIche Aussagen kann man iiber die Teilsignale X(t) und Y(t) machen, wenn

Rzz{1:) = Rxx(1:) + Ryy(1:) gilt?

b) Wie lautet Rzz(1:), wenn die beiden Teilsignale identisch sind, d.h X(t) = Y(t)?

Losung a) X(t) und Y(t) sind voneinander unabhangig (genauer unkorreliert).

b) Z(t) = 2X(t), Rzz{1:) = 4RXX<1:).

Aufgabe 7.3.5 K

Ein Widerstand von 5 Ohm wird von einem zufalligen Strom mit der Autokorrelationsfunktion Rll (1:) = 2e- I<1 A2 durchflossen.

a) Wie groB ist die in dem Widerstand verbrauchte mittlere Leistung?

b) Wie groB ist die Amplitude teines sinusformigen Stromes mit der gleichen mittleren Leistung?

Losung a) P =R . Rll(O) = 10 W. b) [2/2 = Rll(O) = 2 A2, t = 2 A.

8 Lineare Systeme mit zufalligen Eingangssignalen

Die Beispiele dieses Abschnittes beziehen sich auf den 8. (bei den lilteren Auflagen 7.) Abschnitt

des Lehrbuches. Sie sind in drei Gruppen unterteilt. Die Aufgabengruppe 8.1 enthalt acht

Aufgaben bei denen die Autokorrelationsfunktionen und spektralen Leistungsdichten der

Ausgangssignale von linearen Systemen zu berechnen sind. Bei den ftinf Aufgaben im Abschnitt

8.2 handelt es sich urn Anwendungsbeispiele in der Praxis. SchlieBlich enthlilt die

Aufgabengruppe 8.3 ftinf weitere Beispiele, die sich auf den gesamten Stoff beziehen und bei

denen die Lasungen in ktirzerer Form mit weniger Erklarungen angegeben sind.


handelt sich hierbei urn besonders charakteristische Aufgaben mit detaillierten Lasungen und

oft auch noch zusatzlichen Hinweisen. Die Bezeichnung "K" bedeutet, daB die Lasungen nur

in einer Kurzform angegeben sind. Die wichtigsten zur Lasung der Aufgaben erforderlichen

Gleichungen sind im Abschnitt 1.8 zusamrnengestellt.

Aufgabengruppe 8.1

Bei den Aufgaben dieser Gruppe sind die spektralen Leistungsdichten und/oder die Auto

korrelationsfunktionen der Ausgangssignale linearer Systeme zu berechnen.

Aufgabe 8.1.1

In dem Bild ist die Dbertragungsfunktion eines idealen

Bandpasses skizziert. Am Eingang des Bandpasses liegt das

Signal x(t) = 2 cos( rot) + n (t). Das System reagiert mit

y(t) = y cos(rot - q» + r(t), wobei ret) die Systemreaktion auf

n(t) ist. Bei net) handelt es sich urn eine Realisierung eines

Zufallsprozesses mit der Autokorrelationsfunktion RNN('t) = 0, 040('t).

E

IG(jw)1

w

a) In welchem Bereich muB ro liegen? Wie groB sind die Parameter y und q> bei dem periodischen

Signalanteil?

b) Man berechne und skizziere die spektrale Leistungsdichte SRR(ffi) des Rauschsignales R(t)

am Systemausgang.

c) Wie groB ist das Verhliltnis der mittleren Leistung des periodischen Signales zur mittleren

Rauschleistung am Ausgang des Bandpasses?

d) Man berechne und skizziere die Autokorrelationsfunktion RRR('t).

Losung

a) Die Kreisfrequenz ro muB im DurchlaBbereich des Bandpasses liegen ffi l < ro < £Oz. Der

periodische Signalanteil wird verzerrungsfrei tibertragen, daher wird y = 4, q> = roto (siehe hierzu

Abschnitt 1.4 und auch Aufgabe 4.2.4).

Aufgabengruppe 8.1

b) Bei N(t) handelt es sich urn weiBes Rausehen, mit der

spektralen Leistungsdichte SNN(ro)=0,04 (siehe Gl. 7.15).

Naeh Gl. 8.3 erhlilt man die reehts skizzierte spektrale

Leistungsdiehte des Ausgangsrausehsignales.

Hinweis:

141

D

Aus der Darstellung G (j ro) = 1 G (j ro) 1 e -j8(ro) erkennt man, daB die Phase eines Systems keinen

EinfluB auf die spektrale Leistungsdiehte SRR(ro) =1 G(jro) 12 SNN(ro) des Ausgangssignales hat.

Damit ist aueh die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignaies unabhangig von B(ro).

c) Das periodisehe Ausgangssignal hat eine mittiere Leistung von P v = y2/2 = 8, die mittlere

Leistung des Rausehsignaies bereehnet sieh naeh Gl. 7.13. Aus dem Bild flir SRR(ro) foIgt

1 l~ 0,16B PR =- SRR(ro)dro=--=0,0509B, 21t _ 1t

wobei B = ro2 - ro1 die Bandbreite des Bandpasses ist. Damit erhalten wir das Verhaltnis

P / P R = 1571B, es ist umso groBer, je kleiner die Bandbreite des Bandpasses ist.

d) N aeh Gl. 7.11 erhlilt man mit der oben skizzierten spektralen Leistungsdiehte

RRnC't) = -.l (~ SRR(ro)ej""dro = -.l (-ro, 0, 16e j ""dro+-.l ("'2 0, 16e j ""dro = 21tJ_ 21tJ"'2 21tJro,

-Ol, . "'2 0,08 JOY[ I 0,08 JOY[ I 0,08 J (j",.t -j",.t) (jro t -jOl t)l = -.-e +-.-e =-.-1 e -, -e -, - e '-e ' = 1tJ't -ro, 1tJ't Ol, 1tJ't

Mit der Mittenfrequenz roo = 0, 5(ro1 + Wz) und der Bandbreite

B = Wz - ro1 erhlilt man daraus die reehts (mit roJB = 2)

skizzierte Autokorrelationsfunktion

0,32 . RRR( 't) = -- sm(O, 5B't) . cos( roo't).

1t't

Aufgabe 8.1.2

Gegeben ist ein zeitdiskretes System mit der Impulsantwort

-knT {O flir n < 0 g(n)=s(n)e = -knTf" >O,k>O.

e ur n_

T

Man berechne und skizziere die Autokorrelationsfunktion des AusgangssignaIes, wenn es sieh

bei dem Eingangssignal urn (zeitdiskretes) weiBes Rauschen mit der Autokorrelationsfunktion

142 8 Lineare Systeme mit zufalligen Eingangssignalen

{ I fur m =0 Rxx(m) = o(m) = 0 f" ur m:;t:O

handelt. Die Reehnung ist im Zeitbereieh durehzuftihren.

Losung

Wegen der Eigensehaft g (n) = 0 fur n < 0 (Kausalitat), erhiilt man naeh Gl. 8.10

Ryy(m) = I I Rxx(m + ~ - v)g (~)g (v). ~=ov=o

Zur Auswertung dieser Summe unterseheiden wir die Falle m :2: 0 und m :::; O.

Fall m:2: 0:

Die Doppelsumme wird folgendermaBen ausgewertet

Ryy(m) = ~to e-k~TLto Rxx(m + ~_v)e-kVT}. Die "innere" Summe enthalt nur einen einzigen niehtversehwindenden Summanden, narnlieh

den bei v = m +~. Setzt man V = m +~, so wird Rxx(m + ~-v) = oem + ~-v) = 0(0) = 1, bei

allen anderen Werten von V wird Rxx(m + ~ - v) = O. Darnit wird

R ( ) - ~ -k~T -k(m +~)T _ -kmT ~ -2k~T _ 1 -kmT yy m - '" e e - e '" e - -2kT e .

~=O ~=o l-e

Die Auswertung der Summe erfolgte naeh Gl. 6.8 (geometrisehe Reihe mit q = e-2kT ).

Fall m :::;0:

Bei der Doppelsumme vertausehen wir die Reihenfolge gegentiber dem Fall m :2: 0 und erhalten

Ryy(m) = vt e-kvTLto Rxx(m + ~_v)e-k~T}. Die "innere" Summe enthalt nur den Summanden, bei demm + ~-v = 0 wird, also ist ~ = V-m

zu setzen. Wegen m :::; 0 wird ~:2: 0, darnit erhalten wir

R ( ) - ~ -kvT ~ -k(v-m)T _ kmT ~ -2kvT _ 1 kmT yy m - '" e '" e - e '" e - -2kT e ,

v=o ~=o ~=o l-e m:::;O.

Aueh hier wurde die unendliehe Summe der geometrisehen Reihe naeh Gl. 6.8 ausgewertet.

Die Ergebnisse fur m:2: 0 und m:::; 0 lassen sieh

folgendermaBen zusammenfassen

R () = 1 -klmlT =K -klmlT yy m _2kTe e. l-e

Diese Autokorrelationsfunktion ist reehts fur den Fall

e-kT = 0, 5 (d.h. K = 4/3) skizziert.

• • •

• • • • -4 -3 -2 -1 0 1 2 34M

Aufgabengruppe 8.1

Aufgabe 8.1.3

Das Bild zeigt die Impulsantwort eines Systems. Am Eingang des

Systems liegt ein zufiilliges Signal mit der Autokorrelationsfunktion

Rxx('t) = 2cS('t). Berechnen und skizzieren Sie die spektrale Leistungs

dichte Syy(ro) des Ausgangssignales.

Losung

143

g(t)

0,51----.

o 3 t

Die Losungerfolgt mit der Beziehung Syy(ro) =1 GUro) f Sxx(ro). Nach Gl. 7.15 wird Sxx(ro) = 2.

Die Ubertragungsfunktion wird nach Gl. 2.20 berechnet:

GUro) = (~g(t)e -jCiJI dt = (3 0, 5e -j(j)J dt = -~-(1 _ e -j3",).

J~ Jo 2Jro

Dann erhiilt man mit e -3jw = cos(3ro) - j sin(3ro)

1 . 2 1 . 2 2 1 - cos(3ro) GUm) = 2m {sm(3m) - j[1 - cos(3m)]}, 1 GUm) 1 = 4m2 {sm (3m) + [I - cos(3m)] } = 2m2 .

Daraus ergibt sich mit Sxx(ro) = 2 die rechts skizzierte

spektrale Leistungsdichte des Ausgangssignales

S ( ) = l-cos(3ro) yyro 2'

ro

Aufgabe 8.1.4

Das Bild zeigt den Betrag der Ubertragungsfunktion

eines idealen Tiefpasses mit zunachst noch unbekannter

Grenzfrequenz /g. Bei dem Zufallssignal am System

eingang handelt es sich urn normalverteiltes weiBes

IG(J2'ITf)1 V2/2

o fg

w

f

Rauschen mit der spektralen Leistungsdichte Sxx( ro) = 2. Es ist bekannt, daB das Ausgangssignal

eine mittlere Leistung von E[y2] = 1000 aufweist.

a) Ermitteln und skizzieren Sie die spektrale Leistungsdichte des Ausgangssignales Syy(f) und

berechnen Sie die Grenzfrequenz./;: des Tiefpasses.

b) Berechnen und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion des Ausgangssignales.

c) Errnitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(y). In welchem (zum Mittelwert

symmetrischen) Bereich treten die Signalwerte mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 auf.

144 8 Lineare Systeme mit zufiilligen Eingangssignalen

Losung a) Mit derBeziehung Syy(oo) =1 GUoo) f Sxx(oo) erhaltmandie

rechts skizzierte spektrale Leistungsdichte des Aus

gangssignales. Nach Gl. 7.13 entspricht die mittlere Signal

leistung der Flache unter (der tiber f aufgetragenen) spektralen

Leistungsdichte. Dann wird E[y2] = 2· /g = l000,/g = 500.

b) Nach Gl. 7.11 wird

-fg f""""

Ryy('t') =J... r Syy(OO)dOO=J... r 'ejOYtdoo= __ . ejOYt =_1_. (/2X!gt -e -j2Xf"t). ~ 2x!" 1 12X!,

21tJ_ 21tLxt" 21tJ't' -21[!, 21tJ't'

Mit der Beziehung e jx - e -jx = 2j sinx erhalt man daraus die

rechts skizzierte Autokorrelationsfunktion

sin(21t/g't') Ryy('t') = .

1t't' Bei 't' = 0 wird Ryy(O) = E[y2] = 2/g = 1000 (Rechnung mit

Regel von I' Hospital), Aus Ryy(oo) = 0 erkennt man, daB ein

mittelwertfreies Signal vorliegt (siehe Gl. 7,6),

g

T

c) Es liegt ein mittelwertfreies norrnalverteiltes Signal mit der Streuung dr = E[y2] = 1000 VOL

Die Wahrscheinlichkeitsdichte hat gemaB Gl. 9.6 die Form

1 _v2/(2cr2) • ~ p(y) = _.~e . , 0'='.[1000.

IJ\j21t

Zur Darstellung von p (y) wird auf das Bild 1.23 im Abschnitt 1.9 verwiesen. Die normalverteilte

ZufallsgroBe yet) liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 im Bereich von -30"y = -94,9

bis 30"y = 94,9 (siehe Abschnitt 1.9).

Aufgabe 8.1.5

Gegeben ist ein Ubertragungssystem mit der Ubertragungsfunktion

GUoo) = 1 . 1 + I...[2oo + Uoo)2

Bei dem Eingangssignal fur das System handelt es sich um norrnalverteiltes weiBes Rauschen

mit der Autokorrelationsfunktion Rxx('t') = O('t').

a) Berechnen und skizzieren Sie die spektralen Leistungsdichten Sxx(OO) und Syy(OO).

b) Berechnen Sie die mittlere Leistung des Ausgangssignales.

c) Ermitteln und skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte p (y) des Ausgangssignales.

Geben Sie den zum Mittelwert symmetrischen Bereich an, in dem das Zufallssignal y(t) mit

einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 liegt.

Aufgabengruppe 8.1

Losung

a) Sxx(<.O) = 1 (siehe Gl. 7.15). Nach Gl. 8.3 wird mit der oben

angegebenen Ubertragungsfunktion und Sxx(<.O) = 1

• 2 1 Syy(<.O) =1 GU<.O) 1 Sxx(<.O) = --4·

1 + <.0

S xx( <.0) und S yy( <.0) sind rechts skizziert.

b) Nach Gl. 7.13 erhaIt man die mittlere Signalleistung

-2

E[Y] =- S (<.O)d<.O=- --=--Y2=0,3536. 2 1 1= 1 1= d<.O 1 21t ~ yy 21t ~ 1 + <.04 4

Hinweis: 1= dx -=1tI-Y2.

~ 1+x4

c) Y(t) ist mittelwertfrei, weil X(t) mittelwertfrei ist (siehe GI.

8.2). Dann wird ci' = E[y2] = -Y2/4 und nach GI. 9.6

1 -'>/(2.1) p(y)= _.~e . , 0-=0,595.

()'121t

Ein normalverteiltes Signalliegt mit einer Wahrscheinlichkeit

von 0,997 im "30--Bereich" (siehe Abschnitt 1.9), dies ist hier

der Bereich -1,784 < yet) < 1,784.

Aufgabe 8.1.6

-1,78

145

y

1,78

Das Eingangssignal bei der rechts skizzierten Schaltung ist weiBes

Rauschen mit der Autokorrelationsfunktion Rxx(t) = ott). Die

Schaltung ist so dimensioniert, daB die spektrale Leistungsdichte des

Ausgangssignales folgende Form hat

----11----.-~

<.02 Syy(<.O) =--2.

1 + <.0

[x<t) C R k<t)

a) Welchen Bedingungen geniigen die Bauelementewerte in der Schaltung?

b) Man berechne und skizziere die Autokorre1ationsfunktion des Ausgangssignales.

Losung

a) Aus der Beziehung Syy(<.O) =1 GU<.O) 12 Sxx(<'o) folgt mit Sxx(<.O) = 1 bei der vorIiegenden

Schaltung

1 R 12 1 Rj<.OC 12 <.02R2C2

Syy(<.O) = R + 1/U<.OC) = 1 + j<.ORC = 1 + <.02R2C2·

Ein Vergleich mit der gegebenen Form fUr Syy(<.O) fUhrt zu der Bedingung R . C = 1.

b) Zur Riicktransformation schreiben wir

(f/ 1 Syy(oo) =--= 1---

1+002 1 + 002

und erhalten mit den Korrespondenzen in der Tabelle A.l die


Ryy('t) = <i('t) - 0, 5e -1'1.

Aufgabe 8.1.7

Der am Systemeingang anliegende Impuls x(t) mit der

Breite Tx = RC wird von einem normalverteilten

Rauschsignal N(t) mit der Autokorrelationsfunktion

RNN('t) = <i('t) iiberlagert. fL a Tx t

T

-0,5

E

R

~I

a) Berechnen und skizzieren Sie die Systemreaktion yet) des Systems auf den Eingangsimpuls

x(t). Berechnen Sie den Maximalwert von y(t).

b) Berechnen Sie die spektrale Leistungsdichte SRR(OO) der Systemreaktion R(t) auf das

Rauscheingangssignal N(t).

c) Ermitte1n und skizzieren Sie die Autokorrelationsfunktion RRR('t).

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB das Rauschsignal R(t) am Systemausgang

gr6Ber als der Maximalwert von y(t) ist. Das hierbei auftretende Integral braucht nicht

ausgewertet zu werden.

Losung a) Das Eingangssignal x(t) hat die Formx(t) = set) -s(t - TJ. Dann lautet die Systemreaktion

y(t) = h(t) - h(t - Tx)·

Die Sprungantwort h(t) des vorliegenden Systems kann z.B.

der Aufgabe 2.2.1 entnommen werden: h (t) = s (t) (1 - e -tl(Re».

Die Systemreaktion y (t) ist rechts skizziert. Der Maximalwert

Ymax = 1 - e -I = 0, 632 wird bei t = Tx = RC erreicht.

b) Nach Gl. 8.3 gilt SRR(OO) =1 GUoo) 12 SNN(OO). Dann erhaIt man mit SNN(OO) = 1

c) Wir schreiben

t

Aufgabengruppe 8.1

und erhalten mit den Korrespondenzen in der Tabelle A 1 die


R ('t)=_I_e-ITI/(RC) RR 2RC .

147

T

d) Aus RRR(oo) = (E[R(t)])2 = ° und RRR(O) = l/(2RC) = E[R(t)2] folgt, daB ein mittelwertfreies

Signal mit der Streuung ~ = I/(2RC) vorliegt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte dieses

normalverteilten Signales lautet (siehe Gl. 9.6)

() _ [RC -r2RC

p r =-\In-e . Gem1iB Gl. 9.2 ist die Wahrscheinlichkeit dafUr, daB das Rauschsignal groBere Werte als

Ymax = 0, 632 annimmt

Hinweise:

P(R(t) > 0,632) = (= - [RCe-hcdr. )0,632 -\In-

1. Fiir das Integral zu Berechnung von P (R (t) > 0, 632) kann keine allgemeine Losung angegeben

werden. Eine Berechnung ist 1ediglich numerisch bei zah1enmaBig vorliegenden Werten fUr R

und C moglich. Zur Losung kann dann das sogenannte Fehlerintegral (x ) herangezogen werden

(siehe hierzu die Ausfiihrungen im Lehrbuchabschnitt A4.1).

2. Der aufmerksame Leser wird bei dieser Aufgabe ggf. Probleme mit den Dimensionen der

Ausdriicke haben. Diese Dimensionsprobleme beginnen schon bei der Sprungantwort

h (t) = s (t) (l - e -tlCRC), die im vorliegenden Fall die (nicht erkennbare) Dimension Y hat. Die

Autokorrelationsfunktion hat die Dimension y2 und die spektrale Leistungsdichte y 2s (siehe

Gl. 7.11). Die Beachtung dieser (nicht erkennbaren) Dimensionen fiihrt zu widerspruchsfreien

Ergebnissen, beispielsweise hat der Faktor ,jRCln bei der Dichtefunktion die Dimension y-I

und dem im Exponent stehenden Faktor RC muB die Dimension y-2 zugewiesen werden. Diese

Probleme konnen durch eine normierte Rechnung umgangen werden. Am einfachsten ist es,

alle Spannungen auf 1 Y, die Zeiten auf 1 s, R auf 1 Ohm und C auf 1 Farad zu beziehen. Dann

bleiben alle Zahlenwerte erhalten und die Ausdriicke werden dimensionslos.

Aufgabe 8.1.8

Bei einem System sind die Autokorrelationsfunktion

Rxx('t) = 2C5('t) des Eingangssignales gegeben und die rechts

skizzierte Kreuzkorrelationsfunktion

Rxy('t) = 2s ('t)e-t

zwischen Ein- und Ausgangssignal. T


a) Ermitteln Sie die Impulsantwort und die Ubertragungsfunktion des Systems. Durch was filr

eine Schaltung kann das System realisiert werden?

b) Berechnen und skizzieren Sie die spektrale Leistungsdichte Syy(oo) des Ausgangssignales.

c) Ermitteln und skizzieren Sie die Autokorrrelationsfunktion RyyC'!).

Losung

a) Nach Gl. 8.4 gilt SXy(oo) = G(joo)Sxx(OO) und mit Sxx(OO) = 2 wird hier SXy(OO) = 2G(joo). Die

Rticktransformation dieser Beziehung in den Zeitbereich filhrt zu RXY('t) = 2g('t). Daraus folgt

g('t)=0,5Rxy('t) bzw. g(t)=s(t)e-t • Die Fourier-Transformierte von g(t) ist die Uber

tragungsfunktion. Mit den Korrespondenzen in der Tabelle A.l erhaIt man

1 G(joo) =-1 -.-.

+}OO Das System kann durch eine einfache RC-Schaltung (wie bei

der Aufgabe 8.1.7) mit RC = 1 realisiert werden.

b) Nach der Gl. 8.3 folgt mit Sxx(OO) = 2 und der oben

ermittelten Ubertragungsfunktion

1 1 12 2

Syy(oo)=2 l+joo =1+002'

Diese spektrale Leistungsdichte ist oben rechts skizziert.

c) Mit den Korrespondenzen in der Tabelle A.l erhaIt man aus

Syy(OO) die rechts skizzierte Autokorrelationsfunktion

Ryy('t) = e- 1tl.

Aufgabengruppe 8.2

T

Die filnf Aufgaben im dieser Gruppen befassen sich mit Problemen, die einen unmittelbaren

Praxisbezug aufweisen.

Aufgabe 8.2.1

Zur Ubertragung von Binarsignalen tiber

einen Kanal werden (GauB-) Impulse 22

x(t) =ie-k t verwendet. Die Fourier-

Transformierte (das Spektrum) dieser _~ 24 2

Impulse lautet X(joo) = i'J1fJe e-ill /(k ).

x(t) und X(joo) sind rechts (filr k = 1112)

skizziert.

E

x(t)

-2/k 2/k t -4k 4k w

Die Impulsbreite wird etwas willktirlich mit Tx = 41k (von -21k bis 21k ) definiert. Dies bedeutet

x(Txf2)=0,018x(0), der Impuls ist auf ca. 2% seines Maximalwertes "abgeklungen".

Entsprechend wird die Bandbreite B = OOK = 4k, es gilt dann ebenfalls X(jOOR) = 0, 018X(0). Die


Impuls- und Bandbreite sind in den Bildern eingetragen. Flir die weiteren Ubedegungen wird

so getan, als ob es sich bei x(t) urn einen Impuls endlicher Breite mit Tx = 41k handelt, des sen

Spektrum mit der (Kreis-) Frequenz ffig = 4k bandbegrenzt ist.

Das Bild rechts zeigt die (ungestOrten) Ubertra- x(t)

gungsimpulse am Ausgang eines Ubertragungskanales.

Der Ubertragungskanal solI sich wie ein idealer TiefpaB

mit der Grenzkreisfrequenz ffig = 4k verhalten, so daB die

Impulse x(t) verzerrungsfrei libertragen werden. o

t

o

Ein positiver Impuls bedeutet das Signal "1", ein negativer das Signal "0". Die Ubertragung

wird durch ein normalverteiltes Rauschsignal N(t) gestOrt, so daB am Kanalausgang das Signal

x(t) + n(t) empfangen wird, wobei n(t) eine Realisierung von N(t) ist. Falls die Spannung am

Kanalausgang groBer als der Schwellwert s = il2 ist, wird das Signal" 1" erkannt, falls sie kleiner

als -s ist, bedeutet dies das Signal "0".

Die spektrale Leistungsdichte des StOrsignales ist rechts

skizziert, es handelt sich urn bandbegrenztes weiBes Rauschen.

ffig = 4k entspricht der Grenzfrequenz des Ubertragungskanales. -4k a 4k w'

a) Ermitte1n Sie die mittlere Leistung E[N2] des Rauschsignales und geben Sie die Wahr-

scheinlichkeitsdichte p (n ) an.

b) Berechnen Sie das "Signal-Rauschverhiiltnis" i 2/E[N2]. Wie groB muB i sein, damit das

"Sendesignal" x(t) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,997 richtig erkannt wird?

c) Durch we1che MaBnahme konnte man die "Empfangssicherheit" erhohen? Wie verbessert

sich das Signal-Rauschverhaltnis durch diese MaBnahme?

Losung

a) N ach Gl. 7.13 entpricht die mittlere Leistung der durch 211: dividierten Flache unter der

spektralen Leistungsdichte, d.h. E[N2] = a ffi/11: = 4akl11:. Das Signal ist mittelwertfrei, also

E[N] = O. Damit erhaIt man gemaB Gl. 9.6 die Dichtefunktion

1 2 2 _~_~ pen) = __ e-n /(20), cr = 'I E[N2] = 'V4akl11:.

cn/2rt Hinweis:

Die Mittelwertfreiheit von N(t) kann man z.B. dadurch nachweisen, daB die Auto

korrelationsfunktion RNN('t) berechnet und nachgeprlift wird, daB RNN( 00) = 0 ist (siehe Gl. 7.6).

Dies ist aber im vorliegenden Fall unnotig. Ein Wert RNN(oo) =I: 0 wlirde namlich zu einer

spektralen Leistungsdichte mit einem Summanden 211:RNN(00). O(ffi) ftihren (siehe

Lehrbuchabschnitt 7.5.1). SNN(ffi) enthalt keinen Dirac-Impuls, also ist N(t) mittelwertfrei.

b) Mit der oben ermittelten mittleren Rauschleistung erhlilt man das "Signal-Rauschverhliltnis"

x2 ti2 x2

--=-=0785-. E[N2] 4ak ' ak

Ein normalverteiltes Signalliegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,997 im 3cr-Bereich (siehe

Abschnitt l.9). 1m Fall s > 3cr = 3-V4aklrt fiihrt das Eintreffen eines Impulses (mit dem

Maximalwertx = 2s ) immer zu einer Ausgangsspannung, die groBer oder kleiner als s ist. Damit

folgt die Bedingung ~ = E[N2] = 4aklrt < s2/9 = x2/36 oder x > 12-Vaklrt.

c) Eine Verbesserung des Signal-Rauschverhliltnisses kann durch Nachschaltung eines

optimalen Suchfilters erreicht werden. 1st yet) die Reaktion des optimalen Suchfilters auf den

Impuls x(t) und N (t) die Reaktion auf N (t), so erhlilt man am Ausgang des optimalen Suchfilters

nach Gl. 8.9 das Signal-Rauschverhliltnis

L_W E[N2] - a

Darin ist W die Energie des Eingangssignales

W = (= x 2(t)dt = (=1 xe-k't'12dt =x2 (= e-2k't'dt = x 2 - ~ J_ J_ J~ k\J 2'

Mit diesem Wert fiir W wird das Signal-Rauschverhiiltnis nach dem optimalen Suchfilter

-i x2 _ In x2

E[N2] = ak °'12 = 1,253 ak'

Dies ist ein urn den Faktor 1,6 besseres Verhliltnis als bei Frage b.

Hinweise:

l. Zur Losung des Integrales fiir W wird auf Tabellen bestimmter Integrale verwiesen.

2. Das Signal-Rauschverhliltnis wird umso giinstiger, je kleiner die "Rohe" a der spektralen

Leistungsdichte ist. Dies ist klar, weil damit auch die Rauschleistung E[N2] reduziert wird. In

gleicher Weise wirkt sich ein kleiner Wert von k giinstig aus. Kleine Werte von k bedeuten

"breite" Impulse (Impulsbreite Tx = 41k) und eine geringe Bandbreite bzw. Grenzfrequenz des

erforderlichen Dbertragungskanales. Dies bedingt ebenfalls eine Reduzierung der mittleren

Rauschleistung.

3. Das optimale Suchfilter kann so entworfen werden, als ob an seinem Eingang weiBes Rauschen

anliegt. Die Bandbegrenzung des Rauschsignales auf roK = 4k hat keinen EinfluB auf das

Optimierungsergebnis, weil das optimale Suchfilter TiefpaBcharakter hat und hohere

Spektralanteile sowieso "weggefiltert" wiirden. Der Leser wird hierzu aiIch auf die Erklarungen

im Lehrbuchabschnitt 8.2.3 verwiesen.

4. Die Impulsantwort, d~s optimalen Suchfilters hat nach Gl. 8.7 die Form -k (t-t r ..

g(t) = Kx(to - t) = Kxe 0 • Der Betrag der Ubertragungsfunktion entspricht der oben

skizzierten Funktion X(jro). Man spricht in diesem Fall von einem GauB-TiefpaB.


Aufgabe 8.2.2 E

Das Bild zeigt im linken Teil eine Schaltung bei der der EinfluB des Widerstandsrauschens auf

das Ausgangssignal untersucht werden solI. Dabei solI der Widerstand den Wert R = "'./lLlC

haben. T bedeutet die absolute Widerstandstemperatur. Zu berechnen ist die durch den

"rauschenden" Widerstand am Systemausgang entstehende mittlere Rauschleistung und der

Effektivwert dieser Rauschspannung.

Losuug

In der Bildmitte ist der rauschende Widerstand durch seine Ersatzschaltung dargestellt (siehe

Bild 1.20) und auBerdem die Spannungsquelle fUr das Nutzsignal x(t). Die Systemreaktion auf

x (t) wird mit y (t) bezeichnet, die Ausgangsrauschspannung, also die Reaktion auf u (t), mitU(t).

Zur Berechnung der Ausgangsrauschspannung wird x(t) = 0 gesetzt (Uberlagerungssatz).

Dadurch entsteht die Anordnung ganz rechts im Bild. Bei der Eingangsspannung handelt es sich

urn weiBes Rauschen mit der spektralen Leistungsdichte Suu(ro) = 2kRT, wobei die

Boltzmann'sche Konstante den Wert k = 1,380310-23 JIK hat (siehe Gl. 7.17). Mit der Uber

tragungsfunktion

G(jro) = 1 1 + jroRC + (jro)2LC 1 + jro"2LC +(jro)2LC

erhaIt man gemiiB Gl. 8.3 die spektrale Leistungsdichte des Rauschsignales am Systemausgang

S -- = G ·ro 2 S ro = 2kTf2IiC 2kTf2IiC = 2kT "2L1C uu 1 (j )1 uu() (l-ulLC)2+ro22LC 1 + L ZC Zro4 LZCz -l/-(L--C:-zC-'z:-)-+-ro--4 •

Nach Gl. 7.13 erhalten wir die mitt1ere Rauschleistung

-z 1 l~ kT l~ 1 kT ~ E[U]=-2 Soo(ro)dro=-z-z"2L1C Z Z 4 dro =-Z-z"2L1C or;:; .

1t ~ 7tL C ~ l/(L C )+ro 1tL C'/2

Daraus folgt schlieBlich

E[(;Z] = kT (; = ~ /kf C ' elf" c·

Die mittlere Rauschleistung am Systemausgang wird umso groBer, je kleiner die Kapazitiit ist.

Dies erklii.rt sich dadurch, daB ein kleiner Wert von C zu einem groBen Wert des rauschenden

Widerstandes R = "2L1C fUhrt.

H · . l~ 1 dx 1t mwelS: -4--4 = 0 r;:;. ~a +x a 3'12

152

Aufgabe 8.2.3

Ftir eine Datentibertragung tiber einen

gestOrten Kanal stehen die beiden im Bild

skizzierten Impulsformen zur Diskussion.

Bei der Datentibertragung sollen optimale

Suchfilter zum Einsatz kommen, dabei wird

von weiBem Rauschen als Storsignal aus

gegangen.

8 Lineare Systeme mit zufaIIigen Eingangssignalen

E

x 1-------,

o T t o T/2 T t

-x

a) Mit welcher der beiden Impulsformen kann bei der Dbertragung ein besseres Ergebnis erzielt

werden?

b) Welche Impulsform ware ungeachtet des Ergebnisses nach Frage a vorzuziehen, wenn ein

Kanal mit einer ausreichend groBen Bandbreite zur Verftigung steht, tiber den eine moglichst

rasche Datentibertragung erfolgen solI?

c) Ermitteln und skizzieren Sie die Irnpuls- und Sprungantwort des optimalen Suchfilters bei

Verwendung des Impulses xl(t).

d) Ermitteln und skizzieren Sie die Systemreaktion YI (t) des optimalen Suchfilters ftirden Impuls

xl(t)·

e) Ermitteln und skizzieren Sie die Impuls- und Sprungantwort des optimalen Suchfilters bei

Verwendung des Impulses x2(t).

f) Ermitteln und skizzieren Sie die Systemreaktion Y2(t) des optimalen Suchfilters flir den Impuls

xit).

Losung

a) Nach Gl. 8.9 ist flir das erreichbare Signal-Rauschverhhltnis alleine die Energie

W = f~ x 2(t)dt

des Eingangssignales maBgebend. 1m vorliegenden Fall besitzen die beiden Signale xl(t) und

X2(t) die gleiche Energie WI = W2 = Ti2. Aus diesem Grund sind beide Impulsforrnen

gleichwertig.

b) xit) hat bei gleicher Impulsdauer T ein brei teres Spektrum als XI (t), daher ware unter diesem

Aspekt xl(t) vorzuziehen.

Hinweis:

Aus dem Ahnlichkeitssatz Gl. 3.16 folgt, daB schmale Impulse ein "breites" Spektrum haben

und breite Impulse ein "schmales" Spektrum. Siehe hierzu auch die Erklarungen im

Lehrbuchabschnitt 3.4.4.


c) Naeh Gl. 8.7 giltgl(t) = Kxl(to - t). Dies bedeutet, daB der (miteinemFaktor K multiplizierte)

Impuls xl(t) um einen Wert to versehoben und dann "umgeldappt" werden muB. Die

"Versehiebungszeit" to muB mindestens so groB wie die Impulsdauer sein, da sonst kein kausales

System entsteht.

In Bild ist links gl(t) =xl(T-t) skizziert

(Werte K = 1, to = T). Der reehte Bildteil

zeigt die Sprungantwort hI (t). Zur Kontrolle:

gl(t) = d hl(t)!dt.

X 1------,

o d) xl(t) kann in der Form xl(t) =is(t)-is(t-T) dargestellt $(2T ~~(:~ __ _

werden. Damit lautet die Systemreaktion des optimalen

Suehfilters YI(t) = ihl(t) -ihl(t - T). Aus dieser Beziehung

erhaIt man mit der oben skizzierten Sprungantwort die reehts

dargestellte Systemreaktion des optimalen Suehfilters.

e) g2(t) erhalt man, wenn der mit einem beliebigen Faktor K multiplizierte Impuls xlt) urn

einen Wert to versehoben und dann "umge

ldappt" wird. Das Bild zeigt links g2(t) im

Falle K = 1 und to = T. Reehts ist die

Sprungantwort skizziert. Der Leser kann zur 0

Kontrolle die Ableitung g2(t) = d h2(t)ldt

bilden. -x

f) Mitx2(t) = is(t) - 2is(t - T/2)+is(t - T) erhalt man

Y2(t) = ihit) - 2ihit - T12) + i~(t - T). Dann findet

man mit der oben skizzierten Sprungantwort hit) die

reehts dargestellte Systemreaktion Yit) des optimalen

Suehfilters. Man erkennt, daB der Maximalwert i 2T der

gleiehe wie bei dem optimalen Suehfilter flir x[(t) ist.

Aufgabe 8.2.4

t 2T

Das Bild zeigt eine MeBanordnung zur Messung von Ubertragungsfunktionen. Der

Rausehgenerator liefert weiBes Rausehen mit der Autokorrelationsfunktion RxxCt) = OCt). Die

von dem Korrelator gemessene Kreuzkorrelationsfunktion lautet Rxy(t) = 0, 25s (1:) 'te -'tI2.

Gesueht wird die Ubertragungsfunktion G(jm), wenn eine riiekwirkungsfreie Zusam

mensehaltung der beiden Teilsysteme vorausgesetzt wird.


1 /. RQusch- I~I I I R GenerQtor I

G(jCU)

I X

x(t) I • • I y(t) y.T)

KorrelCltor

Losung

Die Ubertragungsfunktion des Gesamtsystems ist bei ruckwirkungsfreier Zusammenschaltung

das Produkt der beiden Teiliibertragungsfunktionen, dann wird mit R C = 2

. l/(RC) . 0,5 . Gges(jro) = l/(RC) + jro . G(jro) = 0, 5 + jro . G(jro).

Mit den Korrespondenzen (siehe Tabelle A.l)

~ ~ ~~ Rxx('t)=u(t)O-I=Sxx(ro), RXy('t)=0,25s('t)'te 0- . 2 Sxy(ro)

(0,5 + jro)

wird nach GL 8.4

. ~5. ~~ SXy(ro) = Gg.,(jro)Sxx(ro) = ° 5 . . G(jro) = 2

.. , + jro (0,5 + jro)

Aus dieser Beziehung erhalten wir die gesuchte Ubertragungsfunktion

G(jro) = 0,5 0,5+jro

Das System kann also ebenfalls durch eine RC-Schaltung mit R C = 2 aufgebaut werden. Wegen

der riickwirkungsfreien Zusammenschaltung muB jedoch zwischen die Teilsysteme ein

Trennverstarker geschaltet werden.

Aufgabe 8.2.5

Ein Rauschgenerator liefert ein Zufallssignal mit der spektralen Leistungsdichte SXX( ro) = 1. Fiir

MeBzwecke benatigt man ein Zufallssignal mit der spektralen Leistungsdichte

1 Syy(ro) = 2'

(1 + ro2)

Zeigen Sie, daB zur Lasung dieser Aufgabe die rechts skizzierte

Schaltung als Formfilter verwendet werden kann.

Losung

Nach GL 8.3 gilt

Syy(ro) =1 G(jro) 12 Sxx(ro) =1 G(jro) 12= 1 2 (l + ro2) 1 + 2ro2 + ro4 •

Fiir die Schaltung erhaIt man die Ubertragungsfunktion

G(jro) _ V2 _ l/(jroC) VI R + jroL + l/(jroC) 1 + jroRC + (jro)2LC


und daraus

I GUro) 12= 1 (1- ro2LC)2 + ro2R2C2 1 + ro2(R2C2 - 2LC) + L 2C2ro4 '

Der Vergleich der beiden Ausdriicke fur I GUro) 12 fuhrt zu den (realisierbaren) Bedingungen

LC = 1 und R2C2 - 2LC = 2. Mogliche (normierte) Bauelementewerte: L = 1, C = 1, R = 2.

Aufgabengruppe 8.3

Bei diesen Aufgaben werden die Losungen in ktirzerer Form angegeben. Die Aufgaben beziehen


Aufgabe 8.3.1 K

Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen dem Ein- und Ausgangssignal eines

verzerrungsfrei tibertragenden Systems, wenn die Autokorrelationsfunktion Rxx(,r) bekannt ist.

Losung Bei einem verzerrungsfrei tibertragenden System gilt nach Gl. 4.7 y(t) = Kx(t - to). Setzt man

y (t + 1) = Kx (t + 1 - to) in Gl. 7.8 ein, so erhiilt man bei Beachtung von Gl. 7.4

RXy(1) = KRxx(1 - to)·

Aufgabe 8.3.2

Das Bild zeigt einen Impuls, der von einem Rauschsignal

(weiBes Rauschen) tiberlagert wird. y (t) ist die Reaktion eines

optimalen Suchfilters auf diesen Impuls. Zu berechnen ist der

Maximalwert, den die Systemreaktion y(t) annehmen kann.

Losung Nach Gl. 8.8 wird dieser Maximalwert

y(to)=K x\t)dt=K·2 t 2dt=-K. f= 11 2

- 0 3

012

Kist ein beliebiger Faktor, der ohne EinfluB auf den erreichbaren Signal-Rauschabstand ist.

K

t

Aufgabe 8.3.3 K

Das Eingangssignal der RC-Schaltung mit der Zeitkonstanten ~

R C = 10-3 S ist weiBes Rauschen mit der Autokorrelationsfunktion x (t)oll K R ~ c..L I 0 It yet)

RxxC't) = DCt). Die Kreuzkorre1ationsfunktion zwischen Ein- und . __

Ausgangssignal hat die Form Rxy(1) = s('t)ae-h,. Wie groB sind die

in dieser Beziehung auftretenden Konstanten a und b ?

156 8 Lineare Systeme mit zufalligen Eingangssignaien

Liisung

Aus 01. 8.4 ergibt sich Rxy('t) = g('t). Die vorliegende Schaltung hat die Impulsantwort

g(t) = s(t)_l-e -t1(Re)

RC

(Berechnung der Ubertragungsfunktion und Riicktransformation). Durch Vergleich mit Rxy('t)

folgt a = b = l/(RC) = 103 S·l .

Aufgabe 8.3.4

Oegeben ist ein binarer Ubertragungskanal.

Bei dem St6rsignal handelt es sich urn

weiBes Rauschen. Zur Ubertragung stehen

die beiden Impulse xl(t) und x2(t) zur Dis

kussion. o t

a) Welches Signal Xl(t) oder x2(t) ist filr die Ubertragung vorzuziehen?

K

0,9/------,

t o 1,3

b) Welches Signal ist vorzuziehen, wenn zur Verbesserung des Signal-StOrabstandes ein

optimales Suchfilter eingesetzt wird?

Liisung

a) Der Impulsxl (t), weil er "h6her" ist und sich daher StOrungen bei ihm weniger stark auswirken.

b) Bei Einsatz optimaler Suchfilter ist der Impuls mit der gr6Beren Energie vorzuziehen (01.

8.9). Wir erhalten Wl=l, W2=O,81·1,3=I,053. Demnach ist hier der Impuls X2(t)

vorzuziehen.

Aufgabe 8.3.5

Begrilnden Sie, daB ein System mit der Ubertragungsfunktion

G(j(O) = 1-!(O 1 + J(O

nicht zum Einsatz als Formfilter geeignet ist.

Liisung Nach 01. 8.3 ist Syy«(O) =1 G(j(O) 12 Sxx«(O). 1m vorliegenden Fall erhalten wir

1 G(j(O) 12= 1 + (02 = 1. 1 + (02

K

Die spektrale Leistungsdichte bzw. Autokorrelationsfunktion wird durch das System nicht

"verandert" .

Anhang A: Korrespondenzen A.1 Korrespondenzen der Fourier-Transformation

J(t)

oct)

COS(IDot)

sin(IDot)

{ -I fUr t < ° sgnt =

+1 flirt >0

( { Oflirt<o s t) =

1 flirt >0

set) cos(IDot)

s(t)sin(IDot)

S(t)e-al, a> ° bzw. Rea> ° s(t)~e-al, a> ° bzw. Rea> O,n =0,1,2, ...

n!

s(t)e -al sin(IDot), a > °

e-a12,a > ° { I fUr I t 1< T

J(t) = ° fiir I t I> T

J(t) = {I-I t I IT flir I t 1< T ° flir I t I> T

sin(IDot)

1tt

FUID)

1

21t0(ID)

1t0( ID - IDo) + 1t0( ID + IDo)

1t 1t -;-O(ID- IDo) --;-O(ID+ IDo) J J

21t0( ID - IDo)

2

JID

1 1t0( ID) + -:

JID

1t 1t JID -2 O( ID - IDo) + -2 O( ID + IDo) + -2--2

(O(j - ID

1t 1t IDa -2 . O( ID - IDo) - -2 . O( ID + IDo) + -2--2 J J (O(j-ID

1

a + JID

1

(a + jID),,+1

a + JID

(a + jIDf+~

(a + jIDf+~ 2a

a 2+ ID2

2a(ID2 + ID~ + a 2)

_ ~I -cil(4a) \/1tta e

2 sin(IDT)

ID

4sin2(IDTI2)

TID2

. {I fUr I ID 1< IDo FUID) = ° flir I ID I> IDo

158 Anhang A: Korrespondenzen

A.2 Korrespondenzen der Laplace-Transformation

f(t)

8(t)

{o fur t < 0 s(t) = 1 fur t > 0

s (t) cos( root)

s(t) sin(root)

s(t)e -at

s(t)~e-at, n = 0,1,2, ... n!

til s(t)-,n =0,1,2 ...

n!

s (t)t cas( root)

s(t)t sin(root)

F (s), Konvergenzbereich

1, aile s

1 -,Res >0 s

S -2 -2,Res>0 roo+s

roo -2 -2,Res>0 roo+ s

1 --, Res> -a bzw. Res> Re-a a +s

1 -----:-1' Res> -a bzw. Res> Re-a (a +s)"+

1 -1,Res>O sll+

a +s ----,Res>-a (a+d+ro~

roo ---:----:-, Re s > -a (a +d+ro~ S2_~

---2,Res>0 (S2 + ro~)

2sroo ---=---C:-2 ,Res >0 (S2 + ro~)

A.3 Korrespondenzen der z-Transformation

A.3 Korrespondenzen der z· Transformation

fen)

O(n)

O(n - i), i = 0,1,2, ...

{o fur n < 0 s(n) = 1 fur n ~ 0

s (n) cos(n rooT}

s(n) sin(nrooT)

s(n)e-anT cos(nrooT}

s(n)e-anT sin(nrooT}

s(n)e -anT

s(n)n

s(n)ne-anT

s(n-l)an- I

F(z), Konvergenzbereich

1, aile z 1 --:, aBe z z'

z -1,lz I> 1 z-

z[z -cos(rooT)] -----=---, I z I> 1 Z2 - 2z cos(rooT) + 1

z sin(rooT) ------,lzl>1 Z2 - 2z cos(rooT) + 1

z [z - e -aT cos( rooT)] -aT ------.:...--=---=--, I z I> e Z2 _ 2ze -aT cos(rooT) + e-2aT

ze-aT sin(rooT) -aT -,-----...:......:=--:..--, I Z I> e Z2 _ 2ze -aT cos (rooT) + e-2aT

z I I -aT ---T' Z >e Z _e-a

z --2,lz I> 1 (z -1)

ze-aT -aT T 2' I z I> e

(Z _e-a )

1 --, I z 1>1 a I, a auch komplex z-a

sen -i)(nl. ~11)an-i,i = 1,2, .. , _1_., I z 1>1 a I, a auch komplex (z -a)'

159

System- und Signaltheori_ Grundlagen fOr das informationstechnische Studium

von Otto Mildenberger

2" verbesserte Auf/age 1989. X, 248 Seiten mit 149 Abbildungen. Kartoniert. ISBN 3-528-13039-3

Aus dem Inhalt: Grundlagen der Signal- und Systemtheorie-Ideale UOOrtragungssysteme - Fourier-Transformation und Anwendungen - Lapl~e

Transformation und Anwendungen -Zeitdiskrete Signale und Systeme -Stochastische Signale - Lineare Sys,&eme mit zufalligen Eingangssignalen.

Die Systemtheorie ist eine grundlegende Theorie zur Beschreibung vonSignalen und Systemen der Informationstechnik. Dieses Buch gibt eine Em-fOhrung und dient als Begleitbuch zu

Vorlesungen. Wohl mit dem notwendigen mathematischen Auf-wand erstell verzic .

Aufgabensammlung System- und Signaltheorie: Zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Systeme Fourier-,...

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