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Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Systemtheorie

Vorlesung 5: Eigenschaften zeitkontinuierlicher Systeme

Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

Zeitkontinuierliche Systeme im Zeitbereich

• Systemtheorie beschäftigt sich mit der Analyse und

Synthese von Systemen

• Sie erlaubt das Systemverhalten zu prognostizieren,

Stabilitätsaussagen zu treffen und die Kopplung

verschiedener Teilsysteme zu beschreiben

• Ein System kann ein oder mehrere Ein- und

Ausgangssignale aufweisen, die in dem

Eingangsvektor u bzw. dem Ausgangsvektor yzusammengefasst sind

• Eingangssignale u(t) werden von dem System nicht

beeinflusst, sie existieren auch ohne das System

und das System hat keine Rückwirkung auf sie,

Beispiel ideale Spannungsquelle

• Dynamische Systeme verfügen über

Energiespeicher

Einführung

System mit

Anfangsbedingung ( )y t

y(0)

( )u t



• Anregung durch die Eingangssignale u(t) führt zu

einer Änderung der in dem System gespeicherten

Energie

• In der Systemtheorie wird davon gesprochen, dass

sich damit der Zustand des Systems geändert wird,

Beispiel ist die in einem Kondensator gespeicherte

elektrische Energie oder der Zustand des

Kondensators

• Ausgangssignale y(t) ergeben sich aus dem aktuellen

Systemzustand und den aktuellen Eingangssignalen

• Ausgangssignal wird auch Reaktion des Systems

oder Systemantwort genannt

• Viele Systeme lassen sich mit linearen

Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

beschreiben, Diskussion einiger Beispiele

Einführung

System mit

Anfangsbedingung ( )y t

y(0)

( )u t



• Beschreibung eines einfaches Netzwerk

bestehend aus einer Spannungsquelle uE, einem

Widerstand R und einer Kapazität C

• Beschreibung linearer elektrischer Systeme erfolgt

über Bauelemente-Gleichungen für die beteiligten

Bauelemente R, L und C, ideale Quellen und

Bilanzgleichungen

• Maschengleichung

• Knotengleichung

Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen – Beispiel RC-Glied

( )M

m

m 1

i t 0=

=

( )N

n

n 1

u t 0=

=

C

( )i t

( )Eu t

R

( )Au t




Bauelement Bauelemente-Gleichungen

Widerstand

Kapazität

Induktivität

( ) ( )R Ru t R i t= ( ) ( )R R

1i t u t

R=

( ) ( )t

C C

1u t i d

C−

= ( ) CC

dui t C

dt=

( ) LL

diu t L

dt= ( ) ( )

t

L L

1i t u d

L−

=



• Maschengleichung und Bauelemente-Gleichung

• Substitution des Strome iR(t)

• Differentialgleichung zur Beschreibung des

RC-Netzwerkes

• Lösung für Spannungssprung am Eingang


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E R A E R Au t u t u t u t i t R u t 0− − = − − =

( ) ( ) AR C

dui t i t C

dt= =

( )( )

( )A

E A

du tu t R C u t

dt= +

( ) ( )t

tR C

A E0u t U 1 e t−

= −

-50 0 50 100

0

5

Zeit t / s

Au

sg

an

gssp

an

nu

ng

u A(t

) / V



• Behälter mit Volumen V und Oberfläche A ist mit

Wasser gefüllt

• Wärmeaustausch mit der Umgebung findet nur als

Wärmeleitung über die Oberfläche A statt

• Bis zu dem Zeitpunkt t = 0 entspricht die

Wassertemperatur (0) der Umgebungs-

temperatur U

• Zum Zeitpunkt t = 0 wird ein Tauchsieder in das

Wasser getaucht, der eine konstante elektrische

Leistung pEL umsetzt

• Temperatur des Wassers wird sich solange

erhöhen, bis sich ein Gleichgewicht zwischen der

zugeführten Leistung pEL und des über die Fläche

A abgeführten Wärmestroms pA einstellt

Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen – Beispiel Aufheizvorgang

Betriebs-

strom

IBetriebs-

spannung

U

Umgebungstemperatur U

Wasser-

temperatur

Heiz-

widerstand

R



• Temperaturdifferenz an einer Fläche A mit der

Wärmeübergangszahl führt zu einem

Wärmestrom pA

• Beschreibung ist vergleichbar zum Ohmschen

Gesetz, elektrische Spannung entspricht die

Temperaturdifferenz , elektrischer Strom

entspricht dem Wärmestrom pA

• Definition des thermischen Widerstandes RTH


( ) ( ) ( )U A

1t t p t

A = − =

( )( )TH

A

t 1R

p t A

= =

Betriebs-

strom

IBetriebs-

spannung

U


Wasser-

temperatur

Heiz-

widerstand

R



• Wärmekapazität Cth ist definiert als der Quotient

aus zugeführter Energie dEC und der damit

verbundenen Temperaturänderung d

• Darstellung in Integralform führt zur

Temperaturänderung des Wassers

• Wissen der elektrischen Schaltungstechnik kann

auf thermische Anwendungen übertragen werden


( )( )

C

TH

dE tC

d t=

( ) ( )t

C

TH

1t p d

C−

=

Betriebs-

strom

IBetriebs-

spannung

U


Wasser-

temperatur

Heiz-

widerstand

R




Bauelement Bauelemente-Gleichungen

Wärmewiderstand

Wärmekapazität

( ) ( ) ( )TH A A

1t R p t p t

A = =

( ) ( )Ap t A t=

( ) ( )t

C

TH

1t p d

C−

= ( )C TH

dp t C

dt

=



• Für die Bilanzen gelten sinngemäß die gleichen

Beziehungen wie bei den elektrischen Größen

• Maschenregel der Temperaturdifferenzen lautet

• Knotengleichung entspricht die Leistungsbilanz

• Verknüpfung der elektrischen und thermischen

Größen über eine Leistungsbilanz erstellt


( )N

n

n 1

t 0=

=

( )M

m

m 1

p t 0=

=

( ) ( ) ( )C EL Ap t p t p t= −

Betriebs-

strom

IBetriebs-

spannung

U


Wasser-

temperatur

Heiz-

widerstand

R



• Einsetzen der Bauelement-Gleichungen ergibt die

Differentialgleichung

bzw.

• Differentialgleichung erster Ordnung mit

konstanten Koeffizienten wie bei RC-Netzwerk

• Lösung für Spannungssprung am Eingang


( )( ) ( )TH EL

d tC p t A t

dt

= −

( )( )

( )ELTHd t p tC

tA dt A

+ =

TH

At tCELT

0

p(t) 1 e 1 e

A

− − = − = −

-10 0 10 20 30

0

20

Zeit t / s

Te

mp

era

turd

iffe

ren

z

/ K



• Beispiel Feder-Masse-Dämpfer-System

• Äußere Kraft FE greift an einem Körper der Masse

m an und bewegt den Körper, der Bewegung

stehen die Trägheits-, Dämpfungs- und

Rückstellkraft der Feder entgegen

• Berechnung der Auslenkung x bei einer

sprungförmig aufgebrachten Kraft FE

• Wie bei dem elektrischen System lassen sich die

mechanischen Bauelemente isoliert beschreiben

• Bilanzen werden zur Verknüpfung der

unterschiedlichen Größen verwendet

Beschreibung von Systemen mit Differentialgleichungen – Feder-Masse-System

Feder

c

Dämpfer

D

Masse m

Fixpunkt

Äußere

Kraft

FE

Auslenkung

x

FE

FD FM FC




Bauelement Bauelemente-Gleichung

Feder mit Federkonstante c

Masse m

Viskose Reibung / Dämpfer D

Gleitreibung keine Invertierung möglich

( ) ( ) ( )t

CF t c v d c x t−

= = ( ) CdF1v t

c dt=

( ) ( )M

dvF t m a t m

dt= = ( ) ( )

t

M

1v t F d

m−

=

( ) ( )D

dxF t D v t D

dt= = ( ) ( )D

1v t F t

D=

( ) ( ) ( )( )G NF t F t sgn v t=



• Maschenregel entspricht die Kräftesumme

• Masse, Feder und Dämpfer sind starr miteinander

gekoppelt, ihre Auslenkung x für Masse, Feder und

Dämpfer ist damit identisch

• Kräftebilanz ergibt unter Berücksichtigung der

unterschiedlichen Kraftrichtungen

• Darstellung als Differentialgleichung


( )N

n

n 1

F t 0=

=

( ) ( )2

E 2

d x dxF t m D c x t

dt dt= + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

E M D C

E

0 F t F t F t F t

F t m a t D v t c x t

= − − −

= − − −

Feder

c

Dämpfer

D

Masse m

Fixpunkt

Äußere

Kraft

FE

Auslenkung

x

FE

FD FM FC



• Darstellung als Differentialgleichung

• Lineare Differentialgleichung mit konstanten

Koeffizienten, Ordnung der Differentialgleichung

entspricht der höchsten Ableitung, N = 2

• Lösung der Differentialgleichung für einen

Kraftsprung, System ist zum Zeitpunkt t = 0 in

Ruhe und in der Position x = 0


( ) ( )2

E 2

d x dxF t m D c x t

dt dt= + +

( ) ( )

Dt 2

2 m0

2

F e c Dx t 1 sin t t

c m 2 mD1

2 m c

−

= + − − −

-0.5 0 0.5 1

0

1

2

3

Zeit t / s

Au

sle

nku

ng

x / m

m



• Beispiele für unterschiedliche Systeme beschrieben

• Mathematische Modellierung führt bei diesen Beispielen zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten

Koeffizienten

• Für die effiziente Beschreibung von Systemen ist es wichtig, grundlegende Eigenschaften von Systemen

erkennen und diskutieren zu können

• Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben lineare, zeitinvariante Systeme

(LTI-Systeme), deshalb werden die zugehörigen Systemeigenschaften Linearität und Zeitinvarianz

diskutiert

• Kausalität von System ist wesentliche Voraussetzung für die Realisierbarkeit von Systemen

• Insbesondere bei geregelten System spielt die Stabilität eine entscheidende Rolle, sie wird anhand

physikalischer Modelle eingeführt

Eigenschaften von Systemen – Überblick



• Für den Linearitätsnachweis eines Systems müssen die Systemantworten y1(t) und y2(t) auf die linear

unabhängigen Eingangssignale u1(t) und u2(t) bekannt sein

• Ein System ist linear, wenn es auf eine Linearkombination von Eingangssignalen

mit derselben Linearkombination der entsprechenden Kombination von Ausgangssignalen reagiert

• Nachweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Gleichungen in die Differentialgleichung

• Bei linearen Systemen kann das Superpositionsprinzip angewendet werden

Eigenschaften von Systemen – Linearität

( ) ( ) ( )1 1 2 2u t u t u t= +

( ) ( ) ( )1 1 2 2y t y t y t= +



Eigenschaften von Systemen – Linearität

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l u 1

(t)

Eingangssignal u1

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l u

2(t

)

Eingangssignal u2

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l u

(t)

Eingangssignal u = u1 + u

2

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l y 1

(t)

Ausgangssignal y1

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l y 2

(t)

Ausgangssignal y2

-50 0 50 100 150 200

0

5

Zeit t / µs

Sig

na

l y(t

)

Ausgangssignal y = y1 + y

2



• RC-Glied wird über die Differentialgleichung

beschrieben

• Prüfung des Systems auf Linearität

• Worauf ist die Linearität des Systems

zurückzuführen?

Beispiel: Eigenschaften von Systemen – Linearität

( )( )

( )A

E A

du tu t R C u t

dt= +

C

( )i t

( )Eu t

R

( )Au t



• Ein Spannungsteiler wird über die Gleichung

beschrieben. Handelt es sich um ein lineares System?

• Der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom an einer Induktivität wird über die Gleichung

beschrieben. Handelt es sich bei der Induktivität um ein lineares System?

Übungsaufgaben: Eigenschaften von Systemen – Linearität

( ) LL

diu t L

dt=

( ) ( )2R2 0

1 2

Ru t u t

R R=

+



• Strom durch eine Diode wird über die Schottkly-

Gleichung beschrieben

• System ein kein lineares System

• Nichtlineares Verhalten des Diodenstrom iD als

Funktion der Diodenspannung uD wird in einem

Arbeitspunkt mit der Spannung u0 und dem Strom

i0 linearisiert werden

Eigenschaften von Systemen – Linearisierung im Arbeitspunkt

( )( )D

T

u t

n U

D si t I e 1 = −

00

Eingangsspannung uD

Au

sg

an

gsstr

om

i D

u0

i0

Diodenkennlinie

Linearisierung im Arbeitspunkt



• In dem Arbeitspunkt wird durch Ableitung der

Shockley-Gleichung die Steigung der Tangente

bestimmt

• Systemverhalten im Arbeitspunkt ergibt sich dann

aus der Geradengleichung

• Lineare Näherung für das nichtlineare System

Diode im Arbeitspunkt (u0|i0), Linearisierung nur

für sehr kleine Werte uD ausreichend präzise

Eigenschaften von Systemen – Linearisierung im Arbeitspunkt

00

Eingangsspannung uD

Au

sg

an

gsstr

om

i D

u0

i0

Diodenkennlinie

Linearisierung im Arbeitspunkt

( )D 0

T T

D 0D 0

u t u

n U n Us sD

D T Tu u u u

I Idim e e

du n U n U

= =

= = =

( ) ( )( )

( )( ) ( )

0

T

u

n UsD D 0 D 0

T

D 0 D

Ii i t i e u t u

n U

m u t u m u t

= − = −

= − =



• System reagiert auf ein Eingangssignal x(t) mit einer Systemantwort y(t)

• Ist das System zeitinvariant, so reagiert das System auf das verzögerte Eingangssignal u(t - t0) mit dem

Ausgangsignal y(t - t0)

• Zeitinvariante Systeme reagieren also unabhängig vom Startzeitpunkt der Beobachtung auf gleiche

Eingangssignale mit gleichen Ausgangssignalen

• Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben zeitinvariante Systeme, ändern sich die

Koeffizienten der Differentialgleichung als Funktion der Zeit t, verändert sich das System mit der Zeit, es

ist zeitvariant

• Zeitinvarianz ist oft nur näherungsweise erfüllt ist, wenn Änderungsprozesse viel langsamer sind als die

Signaländerungen der Schaltung, wird das System als zeitinvariant betrachtet, Beispiel RLC-Schaltung

Eigenschaften von Systemen – Zeitinvarianz



Eigenschaften von Systemen – Zeitinvarianz

-0.5 0 0.5 1

0

0.2

Zeit t / s

Kra

ft F

E1(t

) / N

Eingangssignal

-0.5 0 0.5 1

0

0.2

Zeit t / s

Kra

ft F

E2(t

) / N

Verschobenes Eingangssignal

-0.5 0 0.5 1

0

1

2

3

Zeit t / s

Au

sle

nku

ng

x 1

(t)

/ m

m

Ausgangssignal

-0.5 0 0.5 1

0

1

2

3

Zeit t / s

Au

sle

nku

ng

x 2

(t)

/ m

m

Verschobenes Ausgangssignal



• Systeme, die sowohl

– linear, als auch

– zeitinvariant

sind, werden als LTI-Systeme bezeichnet

• Für LTI-Systeme sind vergleichsweise

anschauliche und einfach zu interpretierende

Lösungs- und Interpretationsmethoden im Zeit-,

Bild- und Frequenzbereich vorhanden

• Darstellungen in diesem Skript beschränken sich

bis auf wenige Ausnahmen auf LTI-Systeme

• Systeme, die mit einer linearen Differential-

gleichung mit konstanten Koeffizienten

beschrieben werden können, erfüllen die

Bedingungen nach Linearität und Zeitinvarianz

Eigenschaften von Systemen – Lineare, zeitinvariante Systeme

LTI

System

1 1 2 2y (t) y (t) +

( )0y t t−( )0u t t−

1 1 2 2u (t) u (t) +



Eigenschaften von Systemen – Fallbeispiel zur Stabilität

0Auslenkung x

Fall a: Asymptotisch stabiles System

x0 0

Auslenkung x

Fall b: Grenzstabiles System

x0 0

Auslenkung x

Fall c: Instabiles System

x0

0

Zeit t

Au

sle

nku

ng

x(t

) x0

0

Zeit t

Au

sle

nku

ng

x(t

) x0

0

Zeit t

Au

sle

nku

ng

x(t

) x0



• Aus dem Beispiel ergibt sich eine physikalische Stabilitätsdefinition: Ein System ist

– asymptotisch stabil, wenn es nach einer Anregung mit endlicher Energie wieder seine Ruheposition

erreicht

– grenzstabil, wenn es nach Anregung mit endlicher Energie zu einem konstanten Ausgangswert

konvergiert

– instabil, wenn es auf eine Anregung endlicher Energie mit divergierendem Ausgangssignal reagiert

• Stabilitätsdefinition ist anschaulich, jedoch praktisch schlecht auszuwerten

• Stabilitätsbegriff und der entsprechende mathematische Nachweis wird erneut aufgegriffen bei der

Diskussion der

– charakteristischen Gleichung

– Impulsantwort

– Faltungsintegrals

Eigenschaften von Systemen – Stabilität



• Hängt das Ausgangssignals y(t) eines Systems zu

einem Zeitpunkt t = t1 nur von Eingangswerten u(t)

mit t t1 ab, wird das System als kausales System

bezeichnet

• Physikalisch sinnvolle und realisierbare Systeme

sind wegen des Ursache-Wirkungsprinzips kausal

• Beispiel Aufheizvorgang, Temperatur steigt erst,

wenn elektrische Leistung in das System

eingebracht wird

Eigenschaften von Systemen – Kausalität

-10 0 10 20 30

0

20

Zeit t / s

Te

mp

era

turd

iffe

ren

z

/ K



Eigenschaften von Systemen – Zusammenfassung

Eigenschaft Bedeutung

Linearität

Eingangssignal

Ausgangssignalen

ZeitinvarianzSystem reagiert auf Eingangssignal u(t - t0)

mit Ausgangsignal y(t - t0)

StabilitätSystem erreicht nach einer Anregung mit

endlicher Energie wieder seine Ruheposition

KausalitätSystem reagiert auf ein Eingangssignal

erst nach Beginn der Anregung

( ) ( ) ( )1 1 2 2u t u t u t= +

( ) ( ) ( )1 1 2 2y t y t y t= +

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