Technische Universitt Berlin Fakultt IVElektrotechnik und Informatik Fachgebiet Regelungssysteme Leitung: Prof. Dr.-Ing. Jrg Raisch Digitale Signalverarbeitung VL-Nr. 0430 L 011 (Vorlesung) Regelungstechnik I VL-Nr. 0430 L 041 (Vorlesung) (Digitale Regelungstechnik) SS 2008 Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- IInhaltsverzeichnis 0. Vorwort 1. Einfhrung in die allgemeinen Grundlagen 1.1 Einleitung 1.2 Signal- und Systemtypen im Zeitbereich 1.3 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich 1.3.1 Zeitinvariante Systeme 1.3.2 Kausale Systeme 1.3.3 Lineare Systeme 1.3.4 Lineare zeitinvariante Differenzengleichungen 1.3.5 Der Shift-Operator 1.3.6 Der Zusammenhang zwischen der Zustandsdifferenzengleichung und Differenzengleichung n-ter Ordnung 1.3.7 Definition der Impulsantwort, Gewichtsfolge 1.3.8 Herleitung der Faltung als Eingangs-Ausgangsbeschreibung fr lineare zeitinvariante Systeme 1.3.9 Die algebraische Struktur der Faltung 1.3.10 Definition und Bedeutung der BIBO-Stabilitt 1.4 Zusammenfassung 1.5 Aufgaben Anhang 1:Hinreichende Bedingung fr die BIBO-Stabilitt 2. Transformationen 2.1 Die Fouriertransformationen und ihre Bedeutung 2.2 Die Fouriertransformationen 2.2.1 Definition der Fouriertransformation 2.2.2 Die Bedeutung der Fouriertransformation fr lineare Systeme 2.3 Herleitung der Laplace- und z-Transformation2.4 Die Laplace-Transformation 2.4.1 Einleitung 2.4.2 Stze der Laplace-Transformation 2.4.3 Rcktransformation aus dem Bildbereich in den Zeitbereich 2.5 Die z-Transformation 2.5.1 Einleitung 2.5.2 Stze der z-Transformation 2.5.3 Verfahren zur Rcktransformation in den Folgenbereich 2.5.4 Lsung von Differenzengleichungen mit der z-Transformation 2.5.5 Vollstndige z-Transformation 2.5.6 Transformationstabelle 2.6 Tabelle der z-Transformation und der vollstndigen z-Transformation 2.7 Aufgaben Anhang 1:Partialbruchzerlegung Anhang 2:Der allgemeine Ausdruck fr die Anfangswerte bei linearen zeitinvarianten Differenzengleichungen 3. Eigenschaften linearer zeitinvarianter zeitdiskreter Systeme 3.1 Beschreibung durch die bertragungsfunktion, Struktur der Lsung 3.2 Interpretation der Polstellen 3.3 Dominanzma von Polstellen zur Ordnungsreduktion 3.4 Eingangs-Ausgangs Stabilitt 3.4.1 Definitionen und Stabilittskriterien -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- II3.4.2 Numerische Stabilittskriterien 3.4.3 bersicht ber die BIBO-Stabilitt 3.4.4 Der Auslenkungsfaktor 3.5 Frequenzgang 3.6 Systemnullstellen und ihre Interpretation 3.7 Grundstrukturen linearer zeitdiskreter Systeme 3.8 Aufgaben Anhang 1:Allpabedingungen 4. Abtasten von Signalen und Systemen 4.1 Problemstellung, bersicht 4.2 Mathematische Beschreibung des Abtastvorganges (A/D-Umsetzer) 4.3 Mathematische Beschreibung des Haltevorganges (D/A-Umsetzer) 4.3.1 Halteglied 0. Ordnung 4.3.2 Halteglied 1. Ordnung 4.3.3 Vergleich der Halteglieder 0. und 1. Ordnung 4.4 Ursachen und Diskussion des Rekonstruktionsfehlers 4.5 Zeitdiskrete Beschreibung abgetasteter zeitkontinuierlicher Systeme 4.6 Eigenschaften der diskretisierten bertragungsfunktion 4.6.1 Transformation der Polstellen 4.6.2 Transformation der Nullstellen 4.7 Blockschaltbildalgebra gemischt zeitkontinuierlicher-zeitdiskreter Systeme 4.8 Diskretisierung von Zustandsmodellen 4.9 Rationale Transformation der zeitdiskreten bertragungsfunktion 4.9.1 Die bilineare Transformation 4.9.2 Die q-bertragungsfunktion abgetasteter zeitkontinuierlicher Systeme 4.9.3 Zusammenfassung 4.10 Nherungsverfahren zur Transformation von s-bertragungsfunktionen in den z- Bereich 4.11 Invarianzen der Diskretisierungsverfahren 4.12 Aufgaben Anhang 1:Anschauliche Betrachtungen zur -Funktion Anhang 2:Spektrum des -Kamms Anhang 3:Beweis des Abtasttheorems Anhang 4:Spektrale Darstellungen zeitdiskreter Systeme Anhang 5:Herleitungen fr das Halteglied 1. Ordnung 5. Analyse und Synthese zeitdiskreter Regelkreise5.1 Problemstellungen 5.2 Analyse des Standard-Regelkreises 5.2.1 Bezeichnungen 5.2.2 Die Gleichungen des Standard-Regelkreises mit einem Freiheitsgrad 5.2.2.1 Der gemischt zeitkontinuierliche zeitdiskrete Regelkreis 5.2.2.2 Der Zeitdiskrete Standard-Regelkreis 5.2.3 Struktur und Gleichungen des Standard-Regelkreises mit zwei Freiheitsgraden 5.2.4 Testfolgen zur Beurteilung von Regelkreisen 5.3 Fhrungsverhalten 5.3.1 Das asymptotische Verhalten 5.3.2 Die Bedingungen fr das asymptotische Verschwinden des Regelfehlers 5.3.3 Effekt der zeitdiskreten Regelschleife auf die zeitkontinuierliche Regelgre 5.3.4 Vorgabe des dynamischen Verhaltens des Regelkreises 5.3.5 Stellverhalten bezglich der Regelgre -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- III5.4 Strverhalten 5.5 Einflu der Sensorbertragungsfunktion und der Sensorstrungen (fehlt noch) 5.6 Die Stabilitt zeitdiskreter Regelkreise 5.6.1 Interne Stabilitt des Standard-Regelkreises 5.6.2 Interne Stabilitt der erweiterten Struktur mit zwei Feiheitsgraden 5.7 Die Wirkung von Nullstellen der Regelstrecke auerhalb des Einheitskreises auf dasRegelverhalten 5.8 Aufgaben Anhang 1Berechnung der Regelfehlersumme bei einer sprungfrmigen Fhrungsgre 6. Synthese zeitdiskreter Regelkreise 6.1 bersicht ber die Reglerentwurfsverfahren 6.2 Randbedingungen und Kriterien bei der Reglerauswahl und Reglerentwurf 6.3 Standard-Regler Katalog 6.4 Analytische Reglerentwurfsverfahren 6.4.1 bersicht 6.4.2 Reglerentwurf ohne Krzungen mit Polvorgabe fr den Regelkreis 6.4.2.1 Vorbemerkungen 6.4.2.2 Regelkreisstruktur und Definition der bertragungsfunktionen 6.4.2.3 Synthese des Fhrungsverhaltens ohne Nebenbedingungen 6.4.2.4 Synthese des Fhrungsverhaltens mit Nebenbedingungen 6.4.2.5 Beispiele 6.4.2.6 Bewertung 6.4.3 Reglerentwurf mit Krzungen von Pol- und Nullstellen der Regelstrecke 6.4.3.1 Vorbemerkungen 6.4.3.2 Regelkreisstruktur und Definition der bertragungsfunktionen 6.4.3.3 Synthese des Fhrungsverhaltens 6.4.3.4 Beispiele 6.4.3.5 Zusammenfassung und Bemerkungen 6.4.4 Standardregelkreis mit einem Vorfilter 6.4.4.1 Standardregelkreis mit vollstndigem Vorfilter 6.4.4.2 Regelkreis mit unvollstndigem Vorfilter6.4.4.3 Beispiele6.4.5. Polvorgabeverfahren mit einer erweiterten Struktur mit zwei Freiheitsgraden 6.4.5.1 Regelkreisstruktur 6.4.5.2 Analyse der Struktur 6.4.5.3 Synthesebeziehung fr die Regelkreispolstellen 6.4.5.4 Realisierungsbedingungen 6.4.5.5 Wahl der bertragungsfunktionen GM(z) und GS(z) 6.4.5.6 Stationre Genauigkeit des Fhrungsverhaltens 6.4.5.7 Stellverhalten bezglich der Fhrungsgre 6.4.5.8 Entwurf 6.4.5.9 Beispiele 6.4.6 bersicht ber die Beispiele der Abschnitte 6.4.2 bis 6.4.5 Anhang 1Anti-Windup-Reset Manahmen -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- IVLiteraturverzeichnis Ein- und weiterfhrende Bcher: DieListederhierzitiertenBcheristsicherunvollstndig.DiezitiertenBchersinddemVerfasser dieses Skriptes gut bekannt, weshalb sich die Kommentare immer auf die angegebene Auflage bezie-hen. Es ist aber nicht ausgeschlossen, da sich der Inhalt in spteren Auflagen gendert hat. Das Buch von J.Ackermann kann im wesentlichen als ein weiterfhrendes Buch angesehen werden. Es behandelt die Grundlagen zeitdiskreter Signale und Systeme und die Synthese von Regelkreisen. DerSchwerpunktliegtaberaufdenZustandsraum-Methoden,dieindiesemSkriptweitgehendaus-geklammert wurden. J.AckermannAbtastregelung (3. Auflage)Springer Verlag, Berlin, 1988 Das Buch von J.Astrm ist auerordentlich breit angelegt. Es behandelt die Grundlagen, vergleichbar mit diesem Skript, geht aber darber hinaus.Die Betrachtungen werden mit bertragungsfunktionen undauchimZustandsraumdurchgefhrt.Hervorzuhebensinddiein diesem Buch enthaltenen zahl-reichenpraktischenAspekte.EsenthltauchzahlreichebungsaufgabenohneLsungen.Dieses Buch ist eine hervorragende Ergnzung zu diesem Skript und kann auch fr ein Weiterstudium emp-fohlen werden. K.J.Astrm B.Wittenmark Computer Controlled Systems, Theory and Design, 3rd Edition Prentice Hall, Englewood Cliffs, NY, 1997 Das Buch von O.Fllinger ist ein Klassiker. Die Grundlagen werden nicht so ausfhrlich wie in diesem Skript behandelt, es ist aber als studienbegleitendes Buch geeignet. Es beinhaltet auerdem die Syn-these mit bertragungsfunktionen und im Zustandsraum. O. Fllinger Lineare Abtastsysteme R.Oldenbourg Verlag, Mnchen, 1974 (Es gibt Neuauflagen!) DasBuchvonFranklin,PowellundWorkmanistzurErgnzungzudiesemSkriptgutgeeignet.Die Grundlagenwerdenzwarnichtsoausfhrlichbehandelt(abgesehenvondenZustandsraum-Methoden,diedafrausfhrlichbehandeltwerden),abereswerdenweitereSyntheseverfahrenmit bertragungsfunktionenbehandelt.DerSchwerpunktliegtallerdingsaufdieZustandsraum-Methoden.EswerdenebenfallsMehrgrensystemeunddieSystemidentifikationbehandelt.Auch hier werden praktische Aspekte (Hardware-und Softwareprobleme) behandelt. Es enthlt zahlreiche bungsaufgaben ohne Lsungen. G.F.Franklin J.D.Powell M.L.Workman Digital Control of Dynamic Systems Addison Wesley, 1990 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- V DasBuchvonGoodwin,GraebeundSalgadokannalseinStandardwerkderRegelungstechnikauf einemhohenNiveauangesehen werden. Es werden zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale und Systeme,Eingren-undMehrgrensystemebehandelt.HervorzuhebenistdieBehandlungder grundlegendenBeschrnkungenbeidemEntwurfvonRegelkreisenundeineEinfhrungindieRo-buste Regelung. Das Buch enthlt zahlreiche bungsaufgaben, deren Lsungen ber die Website zu diesem Buch zu erhalten sind, sowie Fallstudien, deren MATLAB-SIMULINK-Files auf der dem Buch beiliegendenCD-Rombzw.Websitevorhandensind.FreineVertiefungaufdemGebietderRege-lungstechnik ist das Buch hervorragend geeignet. G.Goodwin S.Graebe M.Salgado Control System Design Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2001 Das Buch von Horn und Dourdoumas behandelt die Grundlagen Regelungstechnik mit bertragungs-funktionenundZustandsraum-Methoden.DabeistehendiezeitkontinuierlichenSystemeimVorder-grund, die zeitdiskreten Systeme werden parallel behandelt. Hervorzuheben ist die anschauliche Dar-stellungundInterpretationderErgebnisse.DieSyntheseverfahrenwerdenanFallstudiendemonst-riert.DabeispielendierechnergesttztenVerfahrendieHauptrolle.IndiesemGrundlagenbuchwer-den erstmals (im deutschsprachigen Bereich) auch moderne Verfahren wie die Youla-Parametrierung und der Einsatz der linearen Programmierung fr die Reglersynthese anschaulich dargestellt. Dieses BuchistzurErgnzungsehrzuempfehlen,daesdieBrckezwischenBchernmitdenStandard-Grundlagen und fortgeschrittenen Themen der Regelungstechnik schlgt. Das Buch enthlt zwar kei-nebungsaufgaben,jedochknnenfralleBeispielediezugehrigenMATLAB-Dateienvonder Website des Verlages heruntergeladen werden. M.Horn N.Dourdoumas Regelungstechnik Pearson Studium, Mnchen, 2004 DasBuchvonOgataisteinauerordentlichgrndlichesBuchberzeitdiskreteRegelungen.Esbe-handeltdieAnalysevonSignalenundSystemenunddieSynthesezeitdiskreterSystemediedurch bertragungsfunktionenunddurchZustandsmodellebeschriebenwerden.Hervorzuhebenisteine sehr groe Anzahl von bungsaufgaben, fr die teilweise eine ausfhrliche Lsung angegeben ist. K. OgataDiskrete-time Control Systems Prentice Hall, Englewood Cliffs, NY, 1987 Die folgenden Bcher behandeln die zeitdiskreten Regelungen unter eingeschrnk-ten Gesichtspunkten (aber zum Teil praxisgerechter): -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka DasBuchvonBraunbehandeltdieelementarenGrundlagenzeitdiskreterSignaleundSystemeund imwesentlichendieSynthesemethoden,dieauchbeizeitkontinuierlichenSystemenAnwendungfin-den. Alle Methoden (Analyse und Synthese) werden an Beispielen vorgefhrt. Es kann als erste Ein-fhrung dienen, das hier vorliegende Skript geht wesentlich darber hinaus. A.BraunDigitale Regelungstechnik R.Oldenbourg, Mnchen, 1997 DasBuchvonGausch,HoferundSchlacherbehandeltzielgerichtetdieelementarenGrundlagen zeitdiskreter Signale und Systeme, beschrnkt sich aber bei der Synthese von Regelkreisen auf Fre-quenzbereichsverfahrenimq-Bereich(derBilinearenTransformation).DasBuchistaberdeshalb interessant, da es ein Verfahren im Bodediagramm behandelt, das eine Beschrnkung der Stellgre in der Reglerentwurfsphase erlaubt. R.Gausch A.Hofer K.Schlacher Digitale Regelkreise R.Oldenbourg, Mnchen, 1991 TU-Berlin SS 2007 Zeitdiskrete Regelsysteme -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VI IndemBuchvonSchlterwerdendieGrundlagenzeitdiskreterSignaleundSystemeindidaktisch ansprechender Form dargestellt. Das besondere an diesem Buch ist die interaktive Arbeitsweise mit HilfeeinerCD-Rom,inderdieBeispieleaktivnachvollzogenwerdenknnen.Eswerdendiewich-tigsten Grundlagen zeitdiskreter Signale und Systeme behandelt. Die Syntheseverfahren beschrnken sichimwesentlichenaufFrequenzbereichsverfahrenimq-Bereich(derBilinearenTransformation), das Wurzelortsverfahren und die Polvorgabe. Auch dieses Buch kann als Einstieg empfohlen werden. G.Schlter Digitale Regelungstechnik, interaktiv Fachbuchverlag, Leipzig, 2000 DiedigitaleSignalverarbeitungberhaupt,d.h.diediskreteFouriertransformation,z-Transformation, das Abtasten von Signalen, zeitdiskrete Filter und Filterstrukturen, Oversamplingtechniken, Quantisie-rungseffekteundnochvieleweitereGesichtspunktefindetmanindenfolgendenBchern,dieals Referenz fr dieses Fachgebiet zu betrachten sind. A.V.Oppenheim, R.W.Schafer Discrete-time signal processing (second edition) Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999 J.G.Proakis, D.G.Manolakis Digital signal processing (third edition) Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Einfhrung und allgemeine Grundlagen 1.1 Einleitung Ziel der Vorlesung: Grundlagen der digitalen Signalverarbeitung in der Regelungstechnik -digitale Regelungstechnik- DabeibeschrnkenwirunsaufSystememiteinerEin-undAusgangsgre(SISO: single input -single output) die linear, kausal und zeitinvariant sind (Definitionen sp-ter). Warum digitale Regelungstechnik? Integration von Automatisierungssystemen: ganzheitliche Automatisierungskonzepte: RegelungMesignalvorverarbeitung berwachung Diagnose ........ BestimmteRegelkonzeptewerdenberhaupterstrealisierbar(z.B.selbstein-stellendeRegelungen(adaptiveRegelungen),hierarchischeRegelkonzepte, usw. Regelung einer Vielzahl von Prozessen mit einem Rechner Einfache und schnelle nderung von Reglerkenngren Die Megren liegen nur zu diskreten Zeitpunkten vor, z.B. bei der Gasanalyse Materialanalyse mit einem Massenspektrometer Positionsbestimmung eines Flugkrpers mit RADAR Die Stellgren knnen nur zu bestimmten, diskreten Zeitpunkten vorgegeben oder erzeugt werden, z.B. Phasenanschnittsteuerung bei Stromrichtern Schub bei einigen Satelliten- oder Raketenantrieben Materialbestckung bei Hochfen Prinzip und Ziel der Regelung Das Ziel der Regelung ist die Gleichheit von Fhrungs- und Regelgre auch unterungnstigenBedingungen(Strungen,nderungenderEigenschaften der Regelstrecke). Das Prinzip der Regelung (Bild 1) besteht darin, da aus der Abweichung zwi-schenderFhrungsgrerundderRegelgreyderRegelfehleregebildet wird, und aus diesem erzeugt der Regler eine Stellgre, die die Regelstrecke so beeinflut, da der Regelfehler geringer wird. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 2-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bild 1.1Der Standard-RegelkreisReglerRegel-strecked = Strgrey = Regelgreu = Stellgrer = Fhrungsgree=Regel-fehler Welche Probleme kann oder sollte eine Regelung lsen knnen: Die Stabilitt des Regelkreises sollte unter allen physikalisch mglichen Situa-tionen gesichert sein. Dies ist eine Grundforderung, die in jedem Fall eingehal-ten werden mu (Stabilitt des Regelkreises).DerEinschwingvorgangsolltefrvorgegebeneFhrungsgrenbestimmten Spezifikationengengen,wiez.B.stationreGenauigkeit,Einschwingverhal-ten, Einschwingzeit (Fhrungsverhalten). DerRegelkreissolltedieWirkungbestimmter,spezifizierteruererStrgr-en verringern (Strverhalten). DieStellgreundggf.auchdieStellgeschwindigkeitsolltenbeiderEinhal-tungderdreiobigenEigenschaftenindenphysikalischzulssigenGrenzen bleiben (Stellgrenbeschrnkungen).Der Regelkreis sollte die drei ersten Eigenschaften mglichst auch unter spe-zifizierten Abweichungen der Regelstrecke vom Nominalverhalten in vorgege-benen Grenzen einhalten (Robustheit des Regelkreises). DieVielzahlvonReglerentwurfsverfahrenunterscheidensichu.a.darin,welcheder obigen Aufgaben vorrangig gelst werden knnen und welche Voraussetzungen da-frandieRegelstrecke,bzw.andasModellderRegelstreckegestelltwerdenms-sen. Bei den in dieser Vorlesung vorgestellten Reglerentwurfsverfahren wird immer darauf hingewiesen, welche Voraussetzungen gefordert werden und welche der genannten Aufgaben gelst werden knnen. Regelkreise mit Rechner als Regler DieRegelstreckensindfastimmerphysikalischeProzessemitanalogen(d.h.mit mathematisch reellwertigen) Signalen. Wird der Regler mit einem Rechner realisiert, mssen die analogen Signale in digita-leSignaleumgewandeltwerden.DaswirdmitAnalog-DigitalUmsetzern(A/D-Umsetzern)undmitDigital-AnalogUmsetzern(D/A-Umsetzern)durchgefhrt.Damit ergibt sich die folgende Struktur: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 3-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bild 1.2Der erweiterte Standard-RegelkreisReglerr(k) e(k) Regel-strecked(t)uH(t) y(k)u(k) D/A-UmsetzerA/D-UmsetzerZeitdiskrete Regelstreckey(t)~ HierbeiwirdderA/D-Umsetzer,diezeitkontinuierlicheRegelstreckeundderD/A-Umsetzer zu einer Einheit zusammengefat, die als zeitdiskrete Regelstrecke aufge-fat wird (Bild 3). Dieses Konzept wird in dieser Vorlesung die Hauptrolle spielen, da sichhierfrleistungsfhigeReglerentwurfsverfahrenentwickelnlassen.Bild4zeigt das Strukturbild, das den digitalen Regelkreisen zugrunde gelegt wird.Es gibt noch weitere Konzepte, die im Kapitel 5 kurz behandelt werden. Im wesentli-chenwirddortversucht,einenschonentworfenenzeitkontinuierlichenReglerinei-nen digitalen Regler zu transformieren, oder die zeitdiskrete Regelstrecke wird in ei-nezeitkontinuierlicheErsatzregelstrecketransformiert,umdieklassischenRegler-entwurfsverfahrenfranalogeRegelungenanwendenzuknnen.Allerdingsfhren letztereVerfahrennichtzueinerQualittderRegelungimVergleich zu den Verfah-ren, die fr zeitdiskrete Regelstrecken zugeschnitten sind. Bild 1.3Die zeitdiskrete RegelstreckeD/A-Umsetzeranaloge RegelstreckeA/D-Umsetzeru(k) y(k)d(t) Bild 1.4Der digitale Standard-RegelkreisReglerZeitdiskreteRegelstreckey(k)u(k) r(k) e(k)da(k) de(k) Wichtig: Es ist immer der Zusammenhang zwischen der abgetasteten Regelgr-e y(k) und der physikalischen Regelgre y(t) zu beachten. Durch die Abtastung tritt inderRealittimmereinInformationsverlustauf,derzubeachtenist.Aufdiesen Punkt wird an mehreren Stellen eingegangen. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 4-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Die berwiegende Anzahl von Prozessen sind in ihrer Ursprungsform zeitkontinuier-lich. Man wird daher fr den zu regelnden Proze eine mathematische Modellbildung durchfhren,diezueinerzeitkontinuierlichenBeschreibungimRegelfallinFormei-ner Zustandsdifferentialgleichung fhrt. Diese Zustandsdifferentialgleichung kann als eine natrliche Beschreibung angesehen werden, da sich die (physikalische) Struktur desProzessesinihrwiderspiegelt.IstdieZustandsdifferentialgleichungnichtlinear, so wird man diese in einem Arbeitspunkt linearisieren mssen, will man die hier vor-gestellten Reglerentwurfsverfahren anwenden. Die Modellbildung und die Linearisie-rung ist Gegenstand der Regelungstechnik-Grundlagenvorlesung und wird hier nicht weiterbehandelt.DannkannderSchrittzurDiskretisierung,d.h.derbergangzu einerzeitdiskretenBeschreibung,erfolgen.ImRegelfallistdieZ-bertragungs-funktion das Ziel, die fr die Regelkreissynthese bentigt wird. Zwei mgliche Wege: Modellbildung Zustandsdifferentialgleichung Linearisierung der Zustandsdifferentialgleichungs-bertragungsfunktion Diskretisierung der ZustandsdifferentialgleichungDiskretisierung ZustandsdifferenzengleichungZ-bertragungsfunktion Beide Wege werden im 4. Kapitel behandelt. FreineeinfachemathematischeBehandlungderdigitalenRegelkreisesind folgende Idealisierungen notwendig: das Abtastintervall ist konstant.die Abtastung (Umsetzung) der Ein- und Ausgangsgre erfolgt gleichzeitig (syn-chron). derdurchdieA/D-UmsetzungundD/A-UmsetzungverursachteQuantisierungs-fehlerdereinzelnenGrenwirdvernachlssigt,ebensowerdendiedurchdie endlicheArithmetikdesRechnersverursachtenRechenfehlervernachlssigt.In mathematischer Form: Der Wertebereich der zeitdiskreten Signale sind die reellen Zahlen.WeisendieUmsetzereineausreichendhoheAuflsungauf,z.B.12Bit (212=4096 Stufen) oder mehr, so knnen die Effekte, die durch die Quantisierung entstehen, im allgemeinen vernachlssigt werden. dieVerzgerungszeiten,diedurchdieUmsetzzeitendesA/D-Umsetzerunddes D/A-Umsetzerverursachtwerden,sowiedieRechenzeitendesRechnerswerden zunchst vernachlssigt, knnen aber relativ einfach separat behandelt werden. Wir vereinbaren noch die folgende Sprechweise: SystemoderRegelkreismitrealendigitalenElementen(Verarbeitungaufendlichen Zahlenmengen):digitales System, digitaler Regelkreis System oder Regelkreis mit idealisierten Elementen (Verarbeitung reeller Zahlen): zeitdiskretes System, zeitdiskreter Regelkreis -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 5-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.2 Signal- und Systemtypen im Zeitbereich (Tabelle1) SprechweiseSignaltypen und BeispieleSysteme und Beispiele analoge Signale und Systeme Wert- und zeitkontinuierliche Signale u(t) u(t) Eingangsgre (Einheitenfrei) y(t) Ausgabgsgre (Einheitenfrei) \ \ u, t(bzw. t+\) Beispiele: u t ttt( ) ( ) = =1 fr00 fr< 0die Sprungfunktion u t t ( ) ( ) = der Diracschen Deltafunktion (zur Definition siehe Kapitel 4, An-hang 1) u t u t ( )sin( ) = 0 die Sinusfunktion u t u t ( )cos( ) = 0die Cosinusfunktion u t u j t ( )

exp( ) = 0 die komplexeExponentialfunktion mit : der Amplitude

u 0 0der Kreisfrequenz2 = ffT001=der Frequenz bzw. der Periodendauer S y s t e m -b e s c h r e i b u n gu ( t ) y ( t ) z.B. RCL-Tiefpa R LCue(t)ie(t)uR(t)ua(t)uL(t)iL(t)=0uC(t) 1. Zustandsdifferentialgleichung | |ddtu ti tCLRLu ti tLu tu tu ti tu ti tCeCeeaCeCe( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )

(( =

(((

(( +

((((=

((

((01011 000Anfangszustand: (1 2. Differentialgleichung 2.Ordnung LCdtRCdtu t u tu t u tdu tdti tCa aa ea ca20 00 0( ) ( )( ) ( ) ,( ) ( )+ + == =d u t du t2( ) ( ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 6-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SprechweiseSignaltypen und BeispieleSysteme und Beispiele zeitdiskrete Signale und Systeme Wertkontinuierliche und zeitdiskrete Signale u(k) u(k) Eingangsgre (Einheitenfrei) y(k) Ausgangsgre (Einheitenfrei) \ ] ` u, k(bzw. k) 0Echtzeit tk=kTA , TA=Abtastintervall u(k) :Wert des Signals zum Zeitpunkt k ]{u} :Gesamte Folge der Signalwerte (siehe 1.3) Beispiele: u k kkk( ) ( ) = =10fr0fr< 0 die Sprungfolge u k kkk( ) ( ) = =1 fr= 00 fr0 die Einheitsimpulsfolge u k u k ( )sin( ) = 0die Sinusfolgek u k u k ( )( ) sin( = ) 0 u k u k ( )cos( ) = 0die Cosinusfolge k u k u k ( )( ) cos( = ) 0 u k u j k ( )exp( ) = 0die komplexe Exponentialfolge mit0 0= TA, der normierten Kreisfrequenz. Es ist zu beachten,damanchmalTA=1sekgenommenwird und weiterhin die Bezeichnung 0 fr die jetzt normier-te Frequenz benutzt wird. System-beschreibungu(k) y(k) Systembeispiele sind: der ideale Rechner (Rechenalgorithmus) zeitkontinuierlicheSysteme,diezwischenidealen D/A- und A/D-Umsetzer eingebettet sind DieSystembeschreibungunddiewichtigstenSystemei-genschaftenimZeitbereichwerdenindemfolgenden Abschnitt behandelt. Begriffe: BeschreibungdurcheineDifferenzengleichungn-ter Ordnung BeschreibungdurcheineZustandsdifferenzenglei-chung Zeitinvarianz Kausalitt Linearitt Stabilitt Beschreibung durch die Impulsantwort, Gewichtsfolge Faltung -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 7-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EsgibtnochzweiweitereSignal-undSystemklassen,diehierberhauptnichtbe-handelt werden.Das sind erstens Systeme, die zeitkontinuierliche Signale mit einer endlichen Menge vonSignalwertenverarbeiten,beispielsweisealsSignaldiezueinembestimmten Zeitpunkt(t )vorliegendeAnzahlvon(wartenden)Telephonanrufe(n )einer Telephonzentrale (Warteschlangentheorie).\ `DassindzumzweitenSysteme,diezeitdiskreteSignale(t ),miteinerendlichen MengevonSignalwerten(n )verarbeiten,beispielsweiseStckgutprozesse,bei denensichdieAnzahlderGteraneinerbestimmtenStelledes(Fertigungs-)Pro-zesses nur in diskreten Zeitpunkten verndert (Produktionsprozesse mit festen Takt-zeiten). `` Das Bild 1.5 zeigt die vier Signalkategorien. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.200.20.40.60.811.2WertkontinuierlichZeitkontinuierlich ------->t in sekAnaloge Signale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910Zeitkontinuierlich ------->t in sekWertdiskret Ereignisdiskrete Signale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910WertkontinuierlichZeitdiskret----->kZeitdiskrete Signale 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678910Zeitdiskret----->kWertdiskretDigitale Signale Bild 1.5 Signalkategorien -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Dr.-Ing. Michael Dlabka TU-Berlin SS 2007 Kap 1Zeitdiskrete Regelsysteme 8-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.3 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich Wir betrachten im Augenblick zeitdiskrete Signale x(k) bzw. Folgen zeitdiskreter Sig-nale {x} (Signalfolge) die wir folgendermaen bezeichnen: { } { , ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), } x x x x x x = " " 2 1 0 1 2, wobei das Zeitargument k im Bereich