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April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Prozessidentifikation

Deterministische zeitdiskrete SignaleDeterministische zeitdiskrete SignaleErmittlung des Übertragungsverhaltens Ermittlung des Übertragungsverhaltens

3. Mai 2002

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


Lineare zeitdiskrete Systeme

Fortschritte der Rechnertechnik / Integration von SchaltkreisenMicrocomputer und Halbleiterspeicher -> direkte Auswirkung auf RT

Entwicklungsphasen (Zentralisierung)•Multiplexen der „teuren“ Hardware •Ausnutzen der Hardware für verschiedene Prozesse •Nacheinanderfolgendes Umschaltung auf verschiedene Messstellen

und Stelleinrichtungen / Prozessrechner = Regler


Entwicklung und Trend

Entwicklung der Hardware• Erhöhung der Transistorenanzahl bei der Chip-Herstellung• Preisverfall elektronischer Komponenten (Speicher,

Microprozessoren, A/D-Wandler, D/A-Wandler)• Verteilte Systeme (Intelligenz

in Sensorik, Datenvorverarbeitung,Verfügbarkeitserhöhung, Intelligenz in Aktorik (Stellglieder))


Vorteile digitaler Signale vs. Kontinulierliche Signale in der RT

Leistungsverbesserung der Regelung mit

• Anpassung von Regelalgorithmen

• Optimierung von Kenngrößen

• Gütekriterien für Messgrößen

• Führungsgrößenberechnung


Diskretisierung kontinuierlicher Signale

Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung

Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfaßt. Abtastzeit T

Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.

Reihenfolge der Schritteist tauschbar!


Digitalisierung

uo2uo3uo4uo5uo6uo7uo

Digitalisierung bedeutet: kontinuierlichen Verlauf hinsichtlich Zeit und Wert eingeschränktzu beschreiben.Aus dem kontinuierlichen Signalverlauf entsteht eine diskreteWertfolge zu definierten Zeitpunkten nT mit n = 0,1,2,3,4,....


Realisierung der Digitalisierung

Die Operationen Abtasten und Quantisieren sind Aufgaben des A/D-Wandlers!Wichtig für die Abtastung ist, das die Abtastzeit der Dynamik desSignalverlaufes angepaßt wird.Abtasttheorem Tab > 1/2fg


Rückwandlung digitaler Signale in kontinuierliche Signale

Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell

Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der AusgangssequenzBerechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner

Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolgeyd(kTo) -> ud(kTo)


Mathematische Beschreibung

xa(t) = x(t) Σδ(t-kT) = Σx(t) δ(t-kT) = Σx(kT) δ(t-kT)

Es gilt: x(t) δ(t-kT) = x(kT) δ(t-kT)

Dirac-Stossfolge siebt den Funktionswert an der Stelle heraus,bei der das Argument (t-kT) zu O wird, d.h. für alle t = kT

x(t) Σx(kT) δ(t-kT) = xa(t)

xa(t)

x(t)

Durch Abtastung


Zeitdiskrete Signale / Sprungantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k)Voraussetzung LTI-System

ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s)

u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ...

Transformation in den Frequenzbereich:U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + .....

Y(s) = G(s) U*(s) = u(0)G(s) + u(T)G(s)e-sT + u(2T)G(s)e-s2T + ... + u(kT)G(s)e-skT + .....

Rücktransformationy(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +


Sprungantwort für definierte Zeiten

y(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +

Es interessiert das Verhalten zu den Abtastzeitpunkten t=mT

y(t=mT) = u(0)g(mT) + u(T)g(mT-T) + ... + u(kT)g(mT-kT) + .... +

Verallgemeinerung für T = 1:

y(m) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) + ... +u(k)g(m-k) + ....

y(m) = Σu(k)g(m-k)

y(m) = Σu(k)g(m-k)

K=0

k=

Alle Funktionen u(k), g(k) und y(k) definiertnur für positive Argumente -> k läuft bis mErgebnis: diskrete Faltungsoperation

K=0

k=m


Zeitdiskrete Faltung

y(t) = g(t) * u(t) = u(t)g(t-)d Faltung für kontinuierliche Signale

y(m) = Σu(k)g(m-k) Faltung für diskrete SignaleK=0

k=m

Beispiel:

u(k) Sprungfolge mit u(k) ={

g(k) Gewichtsfolge mit g(k) = {

gesucht y(k) ?

0 für k<01 für k>= 0

0 für k<=0ak für k> 0 und a = 0,5


Beispiel zeitdiskrete Faltung

g(k)u(k)

Bildung aller Produkte für j-te Variableg(o)u(j); g(1)u(j-1); g(2)u(j-2) ........ g(j)u(0)Aufsummation aller Produkteg(x)u(y) mit x+y = j


Beispiel zeitdieskrete Faltung

K=0

k=my(m) = Σu(k)g(m-k)

y(0) = u(0)g(0)

y(1) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(1) + u(1)g(0)

y(2) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0)

y(3) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

y(m) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) +...+ u(m)g(0)

K=0

k=1

K=0

k=2

K=0

k=3

K=0

k=m



u(k) = {

g(k) = {

0 für k<0 und k>=41 für 0 <= k < 4

0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2

g(0) = 1/20 = 1g(1) = 1/21 = ½g(2) = 1/22 = ¼g(3) = 1/23 = 1/8

gesucht y(k): Diagramm / Berechnung Tafel

y(0) = u(0)g(0) = 1y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) = g(0) +g(1) = 1,5y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) = g(0)+g(1)+g(2)+g(3) = 1,875

y(4) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) = 0,9375Y(5) = g(2) + g(3) + g(4) + g(5) = 0,46875Y(6) = g(3) + g(4) + g(5) + g(6) = 0,2343



PT1 Gliedu(t) Kontinuierliche

Signale

Diskrete Signale


Zeitdiskrete Faltung Schreibweise in Matrixform

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Ergebnis der Faltung:

Y(0) u(0) 0 0 .............. 0 g(0)Y(1) u(1) u(0) 0 ............... 0 g(1)Y(2) u(2) u(1) u(0) ........... 0 g(2). .......................................... 0 .Y(j) u(j) u(j-1) u(j-2) .......... 0 g(j). ......................................... 0 .Y(m) u(m) u(m-1) u(m-3) .... u(0) g(m)

y(0) = u(0)g(0) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

= *

y kann aus Kenntnis derGewichtsfolge und Eingangs-Folge bestimmt werden


Identifikation für diskrete Systemantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge

Y(k) = U(k)G(k) in Matrix-Schreibweise Y, U und G

G(k) = U-1(k)Y(k)

In der Matrixschreibweise muß also die Matrix U(k) invertiert werden.-> Hoher Berechungsaufwand-> Anwendung Matrizenrechnung


Berechnung im diskreten Zeitbereich

Ergebnis der diskreten Faltung:(1) y(0) = u(0)g(0) (2) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)(3) y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) (4) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

Bestimmungsgleichung zur Berechnung der Gewichtsfolge:

Ermittlung g(0) aus (1): g(0) = y(0)/u(0)Ermittlung g(1) aus (2): g(1) = [y(1) – u(1)g(0)]/u(0)Ermittlung g(2) aus (3): g(2) = [y(2) –u(2)g(0)-u(1)g(1)]/u(0)

Verallgemeinerung:

g(j) = 1/u(0)[y(j) - Σu(k)g(j-k)]K=1

k=j


Matrixschreibweise

g(0) 1 0 0 ................ 0 y(0)g(1) -u1/u0 1 0 ................ 0 y(1)g(2) -u2/u0+u1

2/u02 -u1/u0 1 ................ 0 y(2)

. ......................................................................... y(3)

. ......................................................................... y(4)

= 1/u(0) *

G(k) = U-1(k) Y(k)

Bestimmung der inversen Matrix:Rekursive Lösung, da immer alle Vorgänger zur Bestimmung des j-ten Koeffizienten genutzt werden.


h(k) = Σg(j)

Ermittlung der Sprungantwort aus Kenntnis der Gewichtsfolge

Für kontinuierliche Signale gilt:

g(t) = dh(t)/dt -> h(t) = g()d

Für diskrete Signale gilt:Integration wird auf Summation zurückgeführt j=0

j=k

0

t

g(k) = {0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2

g(0) = 1/20 = 1 h(0) = g(0) = 1g(1) = 1/21 = ½ h(1) = g(0) + g(1) = 1,5g(2) = 1/22 = ¼ h(2) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75g(3) = 1/23 = 1/8 h(3) = g(0) + g(1) + g(2) + g(3) = 1,875

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