April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Prozessidentifikation

Deterministische zeitdiskrete SignaleDeterministische zeitdiskrete SignaleErmittlung des Übertragungsverhaltens Ermittlung des Übertragungsverhaltens

3. Mai 2002

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Lineare zeitdiskrete Systeme

Fortschritte der Rechnertechnik / Integration von SchaltkreisenMicrocomputer und Halbleiterspeicher -> direkte Auswirkung auf RT

Entwicklungsphasen (Zentralisierung)•Multiplexen der „teuren“ Hardware •Ausnutzen der Hardware für verschiedene Prozesse •Nacheinanderfolgendes Umschaltung auf verschiedene Messstellen

und Stelleinrichtungen / Prozessrechner = Regler

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Entwicklung und Trend

Entwicklung der Hardware• Erhöhung der Transistorenanzahl bei der Chip-Herstellung• Preisverfall elektronischer Komponenten (Speicher,

Microprozessoren, A/D-Wandler, D/A-Wandler)• Verteilte Systeme (Intelligenz

in Sensorik, Datenvorverarbeitung,Verfügbarkeitserhöhung, Intelligenz in Aktorik (Stellglieder))

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorteile digitaler Signale vs. Kontinulierliche Signale in der RT

Leistungsverbesserung der Regelung mit

• Anpassung von Regelalgorithmen

• Optimierung von Kenngrößen

• Gütekriterien für Messgrößen

• Führungsgrößenberechnung

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Diskretisierung kontinuierlicher Signale

Digitalisierung erfolgt in Zwei Schritten:• Abtastung• Quantisierung

Abtastung:Zu definierten Zeitpunkten äqui-distante Abstände) wird von s(t) ein Signalwert erfaßt. Abtastzeit T

Quantisierung:Kontinuierliche Signalwerte werdendefinierten Wertebereich zugeordnet.

Reihenfolge der Schritteist tauschbar!

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Digitalisierung

uo2uo3uo4uo5uo6uo7uo

Digitalisierung bedeutet: kontinuierlichen Verlauf hinsichtlich Zeit und Wert eingeschränktzu beschreiben.Aus dem kontinuierlichen Signalverlauf entsteht eine diskreteWertfolge zu definierten Zeitpunkten nT mit n = 0,1,2,3,4,....

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Realisierung der Digitalisierung

Die Operationen Abtasten und Quantisieren sind Aufgaben des A/D-Wandlers!Wichtig für die Abtastung ist, das die Abtastzeit der Dynamik desSignalverlaufes angepaßt wird.Abtasttheorem Tab > 1/2fg

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Rückwandlung digitaler Signale in kontinuierliche Signale

Abtastung: periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell

Prozessmodell: Algorithmus / Errechnung der AusgangssequenzBerechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner

Ausgangssequenz: Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolgeyd(kTo) -> ud(kTo)

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Mathematische Beschreibung

xa(t) = x(t) Σδ(t-kT) = Σx(t) δ(t-kT) = Σx(kT) δ(t-kT)

Es gilt: x(t) δ(t-kT) = x(kT) δ(t-kT)

Dirac-Stossfolge siebt den Funktionswert an der Stelle heraus,bei der das Argument (t-kT) zu O wird, d.h. für alle t = kT

x(t) Σx(kT) δ(t-kT) = xa(t)

xa(t)

x(t)

Durch Abtastung

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zeitdiskrete Signale / Sprungantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k)Voraussetzung LTI-System

ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s)

u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) + ...

Transformation in den Frequenzbereich:U*(s) = u(0) 1 + u(T) e-sT + u(2T)e-s2T + .... + u(kT)e-skT + .....

Y(s) = G(s) U*(s) = u(0)G(s) + u(T)G(s)e-sT + u(2T)G(s)e-s2T + ... + u(kT)G(s)e-skT + .....

Rücktransformationy(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Sprungantwort für definierte Zeiten

y(t) = u(0)g(t) + u(T)g(t-T) + .... + u(kT)g(t-kT) + ..... +

Es interessiert das Verhalten zu den Abtastzeitpunkten t=mT

y(t=mT) = u(0)g(mT) + u(T)g(mT-T) + ... + u(kT)g(mT-kT) + .... +

Verallgemeinerung für T = 1:

y(m) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) + ... +u(k)g(m-k) + ....

y(m) = Σu(k)g(m-k)

y(m) = Σu(k)g(m-k)

K=0

k=

Alle Funktionen u(k), g(k) und y(k) definiertnur für positive Argumente -> k läuft bis mErgebnis: diskrete Faltungsoperation

K=0

k=m

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zeitdiskrete Faltung

y(t) = g(t) * u(t) = u(t)g(t-)d Faltung für kontinuierliche Signale

y(m) = Σu(k)g(m-k) Faltung für diskrete SignaleK=0

k=m

Beispiel:

u(k) Sprungfolge mit u(k) ={

g(k) Gewichtsfolge mit g(k) = {

gesucht y(k) ?

0 für k<01 für k>= 0

0 für k<=0ak für k> 0 und a = 0,5

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel zeitdiskrete Faltung

g(k)u(k)

Bildung aller Produkte für j-te Variableg(o)u(j); g(1)u(j-1); g(2)u(j-2) ........ g(j)u(0)Aufsummation aller Produkteg(x)u(y) mit x+y = j

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel zeitdieskrete Faltung

K=0

k=my(m) = Σu(k)g(m-k)

y(0) = u(0)g(0)

y(1) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(1) + u(1)g(0)

y(2) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0)

y(3) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

y(m) = Σu(k)g(m-k) = u(0)g(m) + u(1)g(m-1) + u(2)g(m-2) +...+ u(m)g(0)

K=0

k=1

K=0

k=2

K=0

k=3

K=0

k=m

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel zeitdiskrete Faltung

u(k) = {

g(k) = {

0 für k<0 und k>=41 für 0 <= k < 4

0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2

g(0) = 1/20 = 1g(1) = 1/21 = ½g(2) = 1/22 = ¼g(3) = 1/23 = 1/8

gesucht y(k): Diagramm / Berechnung Tafel

y(0) = u(0)g(0) = 1y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0) = g(0) +g(1) = 1,5y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0) = g(0)+g(1)+g(2)+g(3) = 1,875

y(4) = g(1) + g(2) + g(3) + g(4) = 0,9375Y(5) = g(2) + g(3) + g(4) + g(5) = 0,46875Y(6) = g(3) + g(4) + g(5) + g(6) = 0,2343

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel zeitdiskrete Faltung

PT1 Gliedu(t) Kontinuierliche

Signale

Diskrete Signale

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Zeitdiskrete Faltung Schreibweise in Matrixform

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Ergebnis der Faltung:

Y(0) u(0) 0 0 .............. 0 g(0)Y(1) u(1) u(0) 0 ............... 0 g(1)Y(2) u(2) u(1) u(0) ........... 0 g(2). .......................................... 0 .Y(j) u(j) u(j-1) u(j-2) .......... 0 g(j). ......................................... 0 .Y(m) u(m) u(m-1) u(m-3) .... u(0) g(m)

y(0) = u(0)g(0) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

= *

y kann aus Kenntnis derGewichtsfolge und Eingangs-Folge bestimmt werden

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Identifikation für diskrete Systemantwort

g(k)G(s)

)(tua)(tueu(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k)K=0

k=m

Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem!Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge

Y(k) = U(k)G(k) in Matrix-Schreibweise Y, U und G

G(k) = U-1(k)Y(k)

In der Matrixschreibweise muß also die Matrix U(k) invertiert werden.-> Hoher Berechungsaufwand-> Anwendung Matrizenrechnung

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Berechnung im diskreten Zeitbereich

Ergebnis der diskreten Faltung:(1) y(0) = u(0)g(0) (2) y(1) = u(0)g(1) + u(1)g(0)(3) y(2) = u(0)g(2) + u(1)g(1) + u(2)g(0) (4) y(3) = u(0)g(3) + u(1)g(2) + u(2)g(1) + u(3)g(0)

Bestimmungsgleichung zur Berechnung der Gewichtsfolge:

Ermittlung g(0) aus (1): g(0) = y(0)/u(0)Ermittlung g(1) aus (2): g(1) = [y(1) – u(1)g(0)]/u(0)Ermittlung g(2) aus (3): g(2) = [y(2) –u(2)g(0)-u(1)g(1)]/u(0)

Verallgemeinerung:

g(j) = 1/u(0)[y(j) - Σu(k)g(j-k)]K=1

k=j

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Matrixschreibweise

g(0) 1 0 0 ................ 0 y(0)g(1) -u1/u0 1 0 ................ 0 y(1)g(2) -u2/u0+u1

2/u02 -u1/u0 1 ................ 0 y(2)

. ......................................................................... y(3)

. ......................................................................... y(4)

= 1/u(0) *

G(k) = U-1(k) Y(k)

Bestimmung der inversen Matrix:Rekursive Lösung, da immer alle Vorgänger zur Bestimmung des j-ten Koeffizienten genutzt werden.

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 4.21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

h(k) = Σg(j)

Ermittlung der Sprungantwort aus Kenntnis der Gewichtsfolge

Für kontinuierliche Signale gilt:

g(t) = dh(t)/dt -> h(t) = g()d

Für diskrete Signale gilt:Integration wird auf Summation zurückgeführt j=0

j=k

0

t

g(k) = {0 für k<=0 a-k für k > 0 mit a = 2

g(0) = 1/20 = 1 h(0) = g(0) = 1g(1) = 1/21 = ½ h(1) = g(0) + g(1) = 1,5g(2) = 1/22 = ¼ h(2) = g(0) + g(1) + g(2) = 1,75g(3) = 1/23 = 1/8 h(3) = g(0) + g(1) + g(2) + g(3) = 1,875