Zur Analyse Dirichlet'scher Formen auf metrischen Graphen fileSebastian Haeseler Grundlegendes Die...

Zur AnalyseDirichlet’scher

Formen aufmetrischen

Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes

Die fundamentaleZerlegung

Anwendung aufglobaleEigenschaften

AbschließendeBemerkung

Zur Analyse Dirichlet’scher Formen aufmetrischen Graphen

Sebastian Haeseler

Friedrich-Schiller-Universitat Jena

28. November 2013



Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Topologische Graphen

Ein topologischer Hausdorff-Raum XΓ mit hochstensabzahlbarer Basis heißt topologischer Graph falls jeder Punktx ∈ XΓ eine Umgebung hat die aussieht wie ein d-Stern

{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






{r(cosφ, sinφ) | r > 0, φ = 0, 2πd , . . . ,

2(d−1)πd }.

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Metrische Graphen

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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten

Mittels dieser Daten identifizieren wir jede Kante e mit[0, l(e)].



Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Metrische Graphen

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Sebastian Haeseler

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Metrische Graphen

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I V = {vn} die Menge der Knoten,

I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten




Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Metrische Graphen

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I V = {vn} die Menge der Knoten,

I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten




Graphen

Sebastian Haeseler

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Metrische Graphen

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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,

I ` : E → (0, 1] die Lange der KantenI ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten




Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Metrische Graphen

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I V = {vn} die Menge der Knoten,I E = {en} die Menge der Kanten,I ` : E → (0, 1] die Lange der Kanten

I ∂+ : E → V die Anfangsknoten der KantenI ∂− : E → V die Endknoten der Kanten




Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Metrische Graphen

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Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Die Dirichletform

Wir betrachten auf dem Hilbertraum

L2(XΓ ) =⊕e∈E

L2(0, l(e))

fur Funktionen u = (ue)e∈E

die quadratische Form

E(u) =∑e∈E

l(e)ˆ

0

|u′e(t)|2 dt

mit Definitionsbereich

D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E

W 1,2(0, l(e)).

Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt

〈·, ·〉+ E(·, ·).



Graphen

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Die Dirichletform

Wir betrachten auf dem Hilbertraum

L2(XΓ ) =⊕e∈E

L2(0, l(e))

fur Funktionen u = (ue)e∈E die quadratische Form

E(u) =∑e∈E

l(e)ˆ

0

|u′e(t)|2 dt


D(E) = C (XΓ ) ∩⊕e∈E

W 1,2(0, l(e)).

Dann ist D(E) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt

〈·, ·〉+ E(·, ·).



Graphen

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Die Leitmotivik

(A) Kann man Resultate/Ideen/etc. die bei der Analysismetrischer Graphen auftreten, auf allgemeineDirichletformen ubertragen?

(B) Kann man mit Werkzeugen aus der Theorie derDirichletformen neue Erkenntnisse zu metrischenGraphen erhalten?

(C) Kann man Probleme metrischer Graphen betreffend, aufProbleme diskreter Graphen reduzieren?



Graphen

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Die fundamentale Zerlegung

Der Teilraum von D(E)

D(E)V = {u ∈ D(E) | u|V = 0}

ist abgeschlossen

und es gilt

D(E)V =⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e)).

Das orthogonale Komplement

D(E)⊥V = H1V

besteht aus allen Funktionen die 1-harmonisch auf denKanten sind, d.h. es gilt

u′′e = ue .



Graphen

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Die fundamentale Zerlegung

Der Teilraum von D(E)

D(E)V = {u ∈ D(E) | u|V = 0}

ist abgeschlossen und es gilt

D(E)V =⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e)).

Das orthogonale Komplement

D(E)⊥V = H1V

besteht aus allen Funktionen die 1-harmonisch auf denKanten sind, d.h. es gilt

u′′e = ue .



Graphen

Sebastian Haeseler

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Die Kirchhoff-Form

Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten

wir auf dem (diskreten) Raum

`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v

cosh(l(e))− 1

sinh(l(e)),

fur Funktionen U : V → R

die quadratische Form

QK (U) =1

2

∑x ,y∈V ,e=(x ,y)

1

sinh(l(e))(U(x)− U(y))2


D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.

Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.



Graphen

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Grundlegendes




Die Kirchhoff-Form

Um den Raum H1V besser beschreiben zu konnen, betrachten

wir auf dem (diskreten) Raum

`2(V ,M) mit Maß M(v) =∑e∼v

cosh(l(e))− 1

sinh(l(e)),

fur Funktionen U : V → R die quadratische Form

QK (U) =1

2

∑x ,y∈V ,e=(x ,y)

1

sinh(l(e))(U(x)− U(y))2


D(QK ) = {U ∈ `2(V ,M) | QK (U) <∞}.

Dann ist (QK ,D(QK )) eine diskrete Dirichletform.



Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes




Die Kirchhoff-Form

Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir

Theorem

Die Raume H1V und D(QK ) sind isometrisch isomorph

vermoge der Abbildung

u 7→ u|V .

Außerdem bildet dieser Isomorphismus harmonischeFunktionen auf harmonische Funktionen ab.



Graphen

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Die Kirchhoff-Form


TheoremDie Raume H1

V und D(QK ) sind isometrisch isomorph

vermoge der Abbildung

u 7→ u|V .




Graphen

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Die Kirchhoff-Form


TheoremDie Raume H1

V und D(QK ) sind isometrisch isomorphvermoge der Abbildung

u 7→ u|V .




Graphen

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Die Kirchhoff-Form

Zusammenfassend erhalten wir die fundamentaleOrthogonal-Zerlegung

Theorem

D(E) = D(QK )⊕⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e))



Graphen

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Die Kirchhoff-Form


Theorem

D(E) = D(QK )⊕

⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e))



Graphen

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Die Kirchhoff-Form


Theorem

D(E) =

D(QK )⊕⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e))



Graphen

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Die Kirchhoff-Form


Theorem

D(E) = D(QK )⊕⊕e∈E

W 1,2o (0, l(e))



Graphen

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Regularitat

Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt regular falls

D(S) ∩ Cc

dicht ist in Cc bzgl. ‖ · ‖∞ und in D(S) bzgl. derEnergienorm.

TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann regular, wenn dieDirichletform (QK ,D(QK )) regular ist.



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Transienz

Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt transient falls derGrenzwert

limN→∞

N

0

Pt f (x) dt

fur alle f ∈ L1+ fast uberall endlich ist.

TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann transient, wenndie Dirichletform (QK ,D(QK )) transient ist.



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Stochastische Vollstandigkeit

Eine Dirichletform (S,D(S)) heißt stochastisch vollstandigfalls

Pt1 = 1.

TheoremDie Dirichletform (E ,D(E)) ist genau dann stochastischvollstandig, wenn die Dirichletform (QK ,D(QK ))stochastisch vollstandig ist.



Graphen

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Allgemeinere Graph-Dirichletformen

Ist (S,D) eine regulare Dirichletform auf L2(X ,m), dannsagt die Beurling-Deny Formel, daß S wie folgt dargestelltwerden kann:

S(u) =

ˆ

X

dΓ(u)

+

ˆ

X×X\d

(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +

ˆ

X

u(x)2K (dx).

Idee fur Leitmotiv (A): diskrete Version der Beurling DenyDarstellung

I X XΓ metrischer Graph

I dΓ(u) |u′|2dm

I (J,K ) (j , k)



Graphen

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S(u) =

ˆ

XΓ

dΓ(u)

+

ˆ

XΓ×XΓ \d

(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +

ˆ

XΓ

u(x)2K (dx).



I dΓ(u) |u′|2dm

I (J,K ) (j , k)



Graphen

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Grundlegendes






S(u) =

ˆ

XΓ

|u′|2dm

+

ˆ

XΓ×XΓ \d

(u(x)− u(y))2J(dx , dy) +

ˆ

X

u(x)2K (dx).



I dΓ(u) |u′|2dm

I (J,K ) (j , k)



Graphen

Sebastian Haeseler

Grundlegendes






S(u) =

ˆ

XΓ

|u′|2dm

+∑

x ,y∈V

j(x , y)(u(x)− u(y))2 +∑x∈V

u(x)2k(x).



I dΓ(u) |u′|2dm

I (J,K ) (j , k)



Graphen

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Danke!

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