Werner VoB

Zur Messung der Streuung personeller Einkommensverteilungen

Vorbemerkung

Gegenstand dieser Abhandlung ist die Herstellung eines Zusam- menhangs zwischen zwei statistischen MaSzahlen, die h~ufig zur Charakterisierung von Verteilungen, speziell yon Einkom- mensverteilungen herangezogen werden: Lorenz-Koeffizient und Varianz der an die empirische Verteilung approximierbaren log- normalen Verteilung.

I. Die personelle Einkommensverteilun@

Die personelle Einkommensverteilung soll zeigen, wie h~ufig einzelne Einkommensklassen besetzt sind, unabh~ngig davon, welches die ~konomischen Funktionen waren, die zum Bezug des Einkommens fHhrten. Es bietet sich an, als Unterscheidungs- merkmal Personen oder, was sehr h~ufig geschieht, Haushalte zu w~hlen. Im zweiten Fall wird die Frage unterschiedlicher Haushaltsgr~Ben und Zahl der Verdiener zweckm~Bigerweise zu- n~chst vernachl~ssigt. Eine weitere Beschr~nkung erzielt man durch die Beziehung auf Nettoeinkommen, so dab hier alle Fra- gender eventuellen Umverteilung und die damit zusammenh~ngen- den Probleme auBer Betracht bleiben.

2. Die Daten

Ergiebige Unterlagen zur personellen Einkommensverteilung fin- den sich z.B. bei G. G~seke und K.-D. Bedau [4]. Eine der dort zu findenden zusammenfassenden Ubersichten wollen wir im fol- genden verwenden. Diese Daten stellen sich folgendermaBen dar: (s. Tab. I).

3. Charakterisierun@ der Streuun~sverh~Itnisse durch statisti- sche MaBzahlen

a) Die Standardabweichung

Die Standardabweichung berechnet sich zu:

= Ii~i 2f (x i - AM) i

[ fi i

61

Tab.

I: Zahl und Nettoeinkommen

der privaten Haushalte

in der Bundesrepublik

Deutschland

1970

Alle Haushalte,

zusammengefaBt

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1.5

wobei: x. = beobachtete Merkmalswerte = Klassenmitten; l

f i = K l a s s e n b e s e t z u n g s z a h l e n ;

AM = arithmetisches Mittel der Verteilung;

k = Anzahl der Einkommensklassen.

Hier ergibt sich: ~ ~ 1184.- (DM)

b) Der Lorenz-Koeffizient

Der Lorenz-Koeffizient berechnet sich zu:

k LK = I - [ f.Y.

i=I i l

wobei: Yi = Yi' + Yi-1'

Yi '= Yi-1' + Yi

Yi = Einkommensanteil in der i-ten Klasse

yi '= kumulierter Einkommensanteil.

Es ergibt sich hier: LK = 0,38.

Es gibt eine ganze Reihe weiterer geeigneter MaBzahlen, auf deren Darstellung hier jedoch verzichtet werden kann.

4. Charakterisierun~ durch die lo~normale Verteilun~

a) Ausgangspunkt

Der Grundgedanke der Charakterisierung der Einkommensvertei- lung mit Hilfe der lognormalen Verteilung geht davon aus, dab an die empirische Verteilung eine theoretische Funktion appro- ximiert wird, um auf diese Weise zu einem zusamme~fassenden Charakterisierungsansatz zu gelangen, der gleichzeitig die M6glichkeit eines Erkl~rungsversuchs fur eben diese Form der Verteilung er~ffnet.

Die lognormale Verteilung, die sich - wie gezeigt wird - sehr gut dem empirischen Material anpassen l~Bt, hat folgende Dich- te funktion :

[-I inx-~) 2 ] f (x) = I exp ~ (

x.s./-~ s

wobei: x = Merkmalsauspr~gungen

= arithmetisches Mittel der lognormalen Verteilung

s = Standardabweichung der lognormalen Verteilung.

63

Diese theoretische Verteilung stellt eine Verbindung zwischen theoretisch-statistischen Erkl~rungsversuchen einerseits und sozio-6konomischen Erkl~rungsversuchen andererseits her. Er- stere beruhen auf dem "Gesetz des proportionalen Effekts" von Gibrat [ 3] , das M. Tiede anschaulich beschrieben hat [7]. Die sozio-~konomische Begr~ndung [I] basiert auf Uberlegunqen, die sich formalisiert wie folgt zusammenfassen lassen: Geht man vonder realistischen Vorstellung aus, es gebe unterschiedli- che Leistungsklassen, in denen verschieden hohe Einkommen er- zielt werden, und unterstellt man, dab in diesen Klassen, die sich sozio-6konomisch interpretieren und differenzieren las- sen, Chancengleichheit herrscht, so l~Bt sich zeigen, dab un- ter diesen Voraussetzungen eine linkssteile theoretische Ver- teilung bestimmt werden kann [ 7]. Diese Verteilung repr~sen- tiert wie jene, die auf der Basis des "Gesetzes des proportio- nalen Effekts" hergeleitet werden kann, theoretisch zu erwar- tende H~ufigkeiten f~r die einzelnen Einkommensklassen. W~h- rend die Bestimmung des Funktionstyps einer zu Charakterisie- rungszwecken anzupassenden theoretischen Funktion im ersten Fall direkt zur lognormalen Verteilung fUhrt, erhalten wir hier eine der lognormalen Verteilung sehr ~hnliche Verteilung.

b) Approximationsverfahren

Zur Bestimmung der Parameter ~ und s der zu approximierenden theoretischen Funktion gibt es mehrere Verfahren. In der prak- tischen statistischen Arbeit haben sich insbesondere die Punkt- sch~tzungsverfahren und die Methode der kleinsten Quadrate be- w~hrt.

Die Punktsch~tzung Bedient man sich der sogenannten Momentenmethode, so werden die Parameter ~ und s aus dem empirischen Material berechnet. Damit ist dann die analYtische Form der theoretischen Funktion f(in x) bestimmt, die eine zusammenfassende Charakterisierung der .empirischen Verteilung darstellt, und es k6nnen theoreti- sche H~ufigkeiten berechnet werden, die sich in Spalte 3 der folgenden Tab. 2 linden. Kennzeichnet man die GHte der mit Hilfe der Punktsch~tzung erfolgten Anpassung durch die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen empirischen und theore- tischen Werten, so ergibt sich hier:

k SUM = [ (fi - fti)2 = 29,71

i=I

Iterative Approximation Es liegt der Gedanke nahe, die Parameter ~ und s der theoreti- schen Funktion so zu ver~ndern, dab die GreBe SUM (s.o.) mini- miert wird. Dies ist die Uberlegung, die als "Methode der kleinsten Quadrate" h~ufig, insbesondere bei Regressionsmodel- len benutzt wird. Bei komplizierteren theoretischen Funktionen wird die die Quadratsumme minimierende Parameterkombination sehr h~ufig mit iterativen Minimierungsverfahren errechnet. In diesen F~llen hat sich ein Computerprogramm (REFLEX) bew~hrt. Mit seiner Hilfe kann hier eine theoretische Funktion bestimmt werden, deren Funktionswerte sich in der letzten Spalte der Tab. 2 finden. Berechnet man wieder als Pr~fgr~Be f~r die

64

Anpassungsg~te den Wert SUM, so erhalten Wir bei Anwendung des Programms REFLEX den Wert SUM = 16,38. Die Anpassungsg~- te ist also dutch das leistungsf~higere Verfahren betr~cht- lich verbessert worden.

c) Empirische und theoretische Werte

Tab. 2: Empirische Werte und theoretische Werte der lognorma- len Verteilung

Klassen

unter 500

500 bis unter 1OOO

1OOO bis unter 15OO

15OO bis unter 2000

2000 bis unter 2500

2500 bis unter 3000

3000 bis unter 4000

4000 bis unter 5000

5000 und mehr

f, l ft i

Anpassung

11,9

27,0

22,4

15,1

7,9

5,3

5,6

2,5

2,3

Punktsch~tzung

7,93

30,35

23,47

14,31

8,44

5,03

4,97

2,02

1,32

8

28

21

13

8

5

5

2

2

,62

,O5

,18

,53

,51

,44

,93

,76

,13

Summe 1OO,O 97,84 96,15

5. Zusammenhan 9 zwischen den Charakterisierungsans~tzen

Entspricht die zugrundeliegende empirische personelle Einkom- mensverteilung approximativ einer lognormalen Verteilung, so kann deren Standardabweichun 9 s als StreuungsmaB benutzt wer- den. Andererseits haben wir gesehen, dab der Lorenz-Koeffi- zient LK benutzt werden kann. Es kann nun gezeigt werden, dab Zwische n beiden MaBzahlen s und LK ein direkter Zusammenhang besteht, bzw. dab LK mit s variiert, von ~, dem arithmetischen Mittel der lognormalen Verteilung dagegen unabh~ngig ist.

Betrachten wir dazu zwei Verteilungen V(1) und V(2), die sich nicht in ihren Streuungen s, wohl aber in ihren Mittelwerten

voneinander unterscheiden. Es gilt also:

in ~(2) = in ~(I) + c bzw. in xi(2) = in xi(1) + c

Die Besetzungszahlen der durch die x i gekennzeichneten Klas- sen f(In x i) dieser Verteilungen sind jeweils gleich. FUr die Yi (Einkommenanteil in der Klasse i) gilt:

V(1) : In xi(1) e .f(in x i)

Yi (I) = in xi(1) [ e .f(in x i) i

65

V(2) :

Yi(2) =

in x i (I) +c e .f(in x i )

in x i (I) +c e .f(in xi)

i

in xi(1) c e .e .f(in x i)

c in xi(1) e -[ e "f(In x i)

i

c = e .

e c Yi (I) = Yi(1)

Dies bedeutet: Die Einkommenanteile in den Klassen i sind f0r alle i in beiden Verteilungen V(1) und V(2) gleich. Da nun:

f(in x i) (I) = f(in x i) (2) und

Yi(1) = Yi(2) fHr alle i, folgt:

[ fiXi(1) = [ fiYi(2) oder: LK(1) i i

= LK(2)

Der Lorenz-Koeffizient reagiert also nicht auf ~nderungen yon ~, sondern nur auf solche von s.

Die Art des Zusammenhangs zwischen LK und s kann durch folgen- de Beziehung beschrieben werden (I):

Geht man zur stetigen Betrachtungsweise Hber, so gilt:

f(xi) = f(x) und Yi ~ 2FI (x), wobei x f xf (x) dx

F1(x ) = o

xf(x)dx o

Dann ist:

LK = I - [ fiYi = I - 2 • ] F I (x)f(x)dx i o

Nun gilt folgendes Theorem:

Wenn X einer lognormalen Verteilung mit ~ und s folgt, so ist F1(x) ebenfalls eine lognormale Verteilung mit dem Mittelwert ~+s2 und der Streuung s2 (Beweis bei Cramer (2)).

(I) Die mathematischen Hintergr~nde dieser Herleitung linden sich bei: H. Cramer: Mathematical Methods of Statistics, Princeton 1946.

(2) ebenda, Seite 190 ff.

66

Daraus folgt:

LK = I - 2 7 F(xI~+s2; s2) f(xl~; s2) o

Gem~B Uberlegungen, die sich bei Cramer (2) und Aitchison/ Brown (3) finden, l~St sich diese Beziehung folgendermaBen transformieren:

LK= 2 !

N( --{s I O; I) - 1

I

Damit ist der analytische Zusammenhang zwischen dem Lorenz- Koeffizienten LK und der Standardabweichung s hergestellt.

Es folgt daraus: Der Parameter s kann als generelles Einkom- mensverteilungsmaB benutzt werden, wenn die Hypothese der Log- normalit~t der Einkommensverteilung akzeptiert werden kann. Dies ist besonders wichtig im Hinblick auf die M6glichkeiten der wahrscheinlichkeitstheoretischen Aussagen, die 0ber Stich- proben-Standardabweichungen m6glich sind.

Der mit der letzten Beziehung beschriebene Zusammenhang kann grafisch folgendermaBen dargestellt werden:

Beziehung zwischen s und LK:

LK

I,O

0,8

0,6

0,4

0,2

O !

I 2 3 4 s

Diesem Zusammenhang kann entnommen werden, dab einem Lorenz- Koeffizienten LK = 0,38 eine Standardabweichung s 0,7 ent- sprechen muB. Bei der optimalen Anpassung der lognormalen Ver- teilung hatte sich ergeben: s = 0,764. Dieses Ergebnis best~- tigt ungef~hr den beschriebenen Zusammenhang. Damit erhalten wir auch einen weiteren Hinweis darauf, dab die lognormale

(3) J. Aitchison/J.A.C. Brown: The Lognormal Distribution, Cambridge 1957, Seite 9-11 und Seite 112.

67

Vertei!ung in der Tat die empirische personelle Einkommens- verteilung ad~quat beschreiben kann.

Literaturverzeichnis

[ I] FiG. Adams: The Size of Individual Incomes: Socio-Econo- mic Variables and Change Variation, in: Review of Econo- mics and Statistics, Vol. 40, 1958.

[ 2] M. Euler: Die Schichtung der Einkommen der privaten Haus- halte in der Bundesrepublik, in: Wirtschaft und Stati- stik, 1967.

[3] R. Gibrat: Une loi des r~partitions &conomiques: l'effect proportionel, in: Bulletin Statistique G~neral, 1930.

[4] G. G6seke/K.-D. Bedau: Verteilung und Schichtung der Ein- kommen der privaten Haushalte in der Bundesrepublik Deutschland 1950-1975, DIW, Heft 31, 1974.

[ 5] P.G. Guest: Numerical Methods of Curve Fitting, Cambridge 1961.

[6] H. M0ller-Groeling: Maximierung des sozialen Gesamtnut- zens und Einkommensgleichheit, K~in u.a. 1965.

[7] M. Tiede: Konsequenzen der Forderung nach Chancengleich- heit im Erwerbsleben fHr die personelle Einkommensver- teilung sowie einige Folgerungen fHr den Einkommensteu- ertarif, in: Jahrb~cher fHr National6konomie und Stati- stik, Band 185, Heft I, 1971.

[8] W. VoB: Deskriptive Statistik programmiert. Leitfaden zur Erstellung und Anwendung yon Computerprogrammen (FORTRAN IV), K61n 1972.

[9] R. Wagenf~hr: Wirtschafts- und Sozialstatistik, Band 2, Freiburg 1972.

68