Folie 1

§22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen

Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen.

(22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form

oder ,zuvorwieEmit,jk,EE:F k

jkj

kj

kj

(22.2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d.h. es gibt eine (n,n)-Matrix G mit FG =GF = E . Notation: F-1 := G .

.}0{\Kt,E)1t(E:)t(F kkk

,F)EE(E)EE(F kj

kj

kj

kj

).t(F)t/1(FE)t/1(F)t(F kkkk

Folie 2

Kapitel IV, §22

Wegen

1o AFk(t) entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit t (hier ist Fk(t) eine (n,n)-Matrix).

:tlgfo)1(FF)1(FEE jkjj

kj

(22.3) Lemma: Die Inverse einer Elementarmatrix ist wieder eine Elementarmatrix.

(22.4) Elementarmatrizen und elementare Umformungen von Matrizen:

3o Fk(t)A entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit t (hier ist Fk(t) eine (m,m)-Matrix).

2o entsteht aus A durch Addition der k-ten Spalte zur j-ten Spalte.

kjAF

4o entsteht aus A durch Addition der j-ten Zeile zur k-ten Zeile.

AFkj

Sei A eine (m,n)-Matrix. Dann gilt:

Jede elementare Umformung einer Matrix lässt sich also durch Heran- multiplizieren von Elementarmatrizen beschreiben. Daher nach 20.11:

Folie 3

A ist genau dann invertierbar, wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen ist.

Kapitel IV, §22

so dass gilt:

(22.6) Korollar: Für eine (n,n)-Matrix A eine gilt:

(22.8) Äquivalenzsatz: Zwei (m,n)-Matrizen A und B sind äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben.

.000EUAV

(r)

(22.5) Normalformensatz: Zu jeder Matrix A gibt es (m,m)-Matrizen U und (n,n)-Matrizen V , die jeweils Produkte von Elementarmatrizen sind,

Andere Kriterien für „Invertierbarkeit“: Die durch A gegebene lineare Abbildung ist bijektiv (oder injektiv, oder surjektiv) oder rg(A) = n.

(22.7) Definition: Zwei (m,n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P und Q gibt, so dass

A = PBQ.

Daher: Knxn/~ = {0,1,2, ... ,n} und Kmxn/~ = {0,1,2, ... ,max{n,m}} . 14.01.02

Diese „Äquivalenz“ liefert eine Äquivalenzrelation auf Kmxn .