§22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen
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Folie 1 §22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form oder , zuvor wie E mit , j k , E E : F k j k j k j k j (22.2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d.h. es gibt eine (n,n)-Matrix G mit FG =GF = E . Notation: F -1 := G . . } 0 { \ K t , E ) 1 t ( E : ) t ( F k k k , F ) E E ( E ) E E ( F k j k j k j k j ). t ( F ) t / 1 ( F E ) t / 1 ( F ) t ( F k k k k
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§22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen. Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen. (22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form. oder. - PowerPoint PPT Presentation
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Folie 1
§22 Invertierbare Matrizen und Äquivalenz von Matrizen
Wir beginnen mit einer formalen Präzisierung der elementaren Umformungen von Matrizen.
(22.1) Definition: Unter einer Elementarmatrix versteht man jede (n,n)-Matrix der Form
oder ,zuvorwieEmit,jk,EE:F k
jkj
kj
kj
(22.2) Lemma: Jede Elementarmatrix F ist invertierbar, d.h. es gibt eine (n,n)-Matrix G mit FG =GF = E . Notation: F-1 := G .
.}0{\Kt,E)1t(E:)t(F kkk
,F)EE(E)EE(F kj
kj
kj
kj
).t(F)t/1(FE)t/1(F)t(F kkkk
Folie 2
Kapitel IV, §22
Wegen
1o AFk(t) entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Spalte mit t (hier ist Fk(t) eine (n,n)-Matrix).
:tlgfo)1(FF)1(FEE jkjj
kj
(22.3) Lemma: Die Inverse einer Elementarmatrix ist wieder eine Elementarmatrix.
(22.4) Elementarmatrizen und elementare Umformungen von Matrizen:
3o Fk(t)A entsteht aus A durch Multiplikation der k-ten Zeile mit t (hier ist Fk(t) eine (m,m)-Matrix).
2o entsteht aus A durch Addition der k-ten Spalte zur j-ten Spalte.
kjAF
4o entsteht aus A durch Addition der j-ten Zeile zur k-ten Zeile.
AFkj
Sei A eine (m,n)-Matrix. Dann gilt:
Jede elementare Umformung einer Matrix lässt sich also durch Heran- multiplizieren von Elementarmatrizen beschreiben. Daher nach 20.11:
Folie 3
A ist genau dann invertierbar, wenn A ein Produkt von Elementarmatrizen ist.
Kapitel IV, §22
so dass gilt:
(22.6) Korollar: Für eine (n,n)-Matrix A eine gilt:
(22.8) Äquivalenzsatz: Zwei (m,n)-Matrizen A und B sind äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben.
.000EUAV
(r)
(22.5) Normalformensatz: Zu jeder Matrix A gibt es (m,m)-Matrizen U und (n,n)-Matrizen V , die jeweils Produkte von Elementarmatrizen sind,
Andere Kriterien für „Invertierbarkeit“: Die durch A gegebene lineare Abbildung ist bijektiv (oder injektiv, oder surjektiv) oder rg(A) = n.
(22.7) Definition: Zwei (m,n)-Matrizen A und B heißen äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen P und Q gibt, so dass
A = PBQ.
Daher: Knxn/~ = {0,1,2, ... ,n} und Kmxn/~ = {0,1,2, ... ,max{n,m}} . 14.01.02
Diese „Äquivalenz“ liefert eine Äquivalenzrelation auf Kmxn .
