Der Goldene Schnitt!
Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!
Der Goldene Schnitt!
Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!
Schönheit?
Natur Ge-schichte
ZahlenGeo-metrie
Der Goldene Schnitt!
Was steckt hinter den Sternen?!!
Figur: Toni Weininger, Landshut!
Der Goldene Schnitt!
Pentagon und Pentagramm!
Der Goldene Schnitt!
Gleichseitige Dreiecke!
Der Goldene Schnitt!
Wo steckt der Goldene Schnitt?!!
Figur: Toni Weininger, Landshut!
Der Goldene Schnitt!
Der Goldene Schnitt!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Asymmetrie!
Der Goldene Schnitt!
%?!Rechnen!
Asymmetrie!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!50 % + 25 % = 75 % ! !zu klein!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 62 % + 38.44 % = 100.44 %!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!
Der Goldene Schnitt!
Asymmetrie!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!
Der Goldene Schnitt!
Asymmetrie!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!
Der Goldene Schnitt!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!
Der Goldene Schnitt!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!
Der Goldene Schnitt!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!
Der Goldene Schnitt!
x + x i x = 1
x + x2 = 1
x = −1+ 52 ≈ 0.6180339887499
Quadratische Gleichung!
Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!
Der Goldene Schnitt!
x + x i x = 1
x + x2 = 1
x = −1+ 52 ≈ 0.6180339887499
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Asymmetrie!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Asymmetrie!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Der Goldene Schnitt!
Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
1 1
Drohne:!!Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?!
1 1
1 1
Eine männliche Biene (Drohne) !hat nur eine Mutter (Königin)!!Unbefruchtetes Ei!
1 1 2
1 1
1 1
Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater. !
Stammbaum !einer Drohne!
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Asymmetrie!
Stammbaum !einer Drohne!
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Stammbaum !einer Drohne!
3 5 8
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Stammbaum !einer Drohne!
5 8 13
3 5 8
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Stammbaum !einer Drohne!
8 13 21
5 8 13
3 5 8
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Stammbaum !einer Drohne!
8 13 21
5 8 13
3 5 8
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
-Quote!
0%!
100%!
50%!
66.66%!
60%!
62.5%!
61.54%!
61.90%!
Asymmetrie!
Stammbaum !einer Drohne!
8 13 21
5 8 13
3 5 8
2 3 5
1 2 3
1 1 2
1 1
1 1
Verhältnis zu!
1!
2!
1.5!
1.666!
1.6!
1.625!
∞!
0!
Asymmetrie!
Der Goldene Schnitt als „große Zahl“!
Der Goldene Schnitt als „kleine Zahl“!−1+ 52 ≈ 0.618
1+ 52 ≈1.6181!
1!
Minor! Major!
Minor!Major!
Asymmetrie!
38!
Traditionelle Bezeichnungen!
Goldener Schnitt !(1835, Martin Ohm, Bruder von Georg Simon Ohm, )!Golden Section, Nombre d‘Or!!Divina Proportione (Luca Pacioli, 1445-1514)!!Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!
Φ = 1+ 52 ≈1.618
1Φ =
−1+ 52 ≈ 0.618
Ω
Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!6., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2013.! !ISBN 978-3-937219-85-1!
Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556!
Minor! Major!
Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556!
Asymmetrie!
Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !
Minor!
Major!
Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !
Major!
Major!
Minor! Minor!
Goldenes Rechteck!
Major! Major!
Minor!
Minor!
Goldenes Rechteck!
Goldene Rechtecke!
Chandigarh, Punjab (Le Corbusier)!
Le Corbusier: Parlamentsgebäude Chandigarh. 1955 !
Goldene Rechtecke!
Kreuz!
Geometrie!
Kreuz!Umkreis!
Geometrie!
Kreuz!Umkreis!Diagonale!
Geometrie!
Kreuz!Umkreis!Diagonale!Major und Minor!
Geometrie!
Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
Geometrie!
Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
Geometrie!
Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
Asymmetrie!
Minor! Major!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
!
Minor! Major!
Illustration der Flächengleichheit?!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
!Gleichzeitiges Ausschöpfen (greedy algorithm)!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
Tout change au pareil!
Gleichzeitiges Ausschöpfen (greedy algorithm)!
!
Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden.!!Der Goldene Schnitt ist irrational.!
Φ Hippasos von Metapont (5. Jh. v. Chr.)
2 Euklid (3. Jh. v. Chr.)
π Johann Heinrich Lambert (1761)
DIN A4
!
Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden.!!Der Goldene Schnitt ist irrational.!!Beispiele von irrationalen Zahlen:!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
59!
Illustration der Flächengleichheit!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
60!
Illustration der Flächengleichheit!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
61!
Illustration der Flächengleichheit!
ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2
62!
Illustration der Flächengleichheit!
63!
64!
Jo Niemeyer!531 o. Titel!
Acryl auf Leinwand auf Holz!2014!
Pentagon! Pentagramm!
Pentagon!Bauzeit: 11. September 1941 – 15. Januar 1943!
Der Tod reit't auf einem kohlschwarzen Rappen,!Er hat ein' undurchsichtig' Kappen !
Hadriansbogen!Athen!
Architektur und Kunst!
Raffael: Madonna Alba! 1511-1513!
Architektur und Kunst!
Raffael: Madonna Alba! 1511-1513!
Architektur und Kunst!
Wie kommen wir zu einem Fünfeck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!
Handout!
Wie kommen wir zu einem Siebeneck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!
Handout!
Wie kommen wir zu einem Neuneck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!
Der Goldene Schnitt ist das einfachste nicht triviale Beispiel!
Fünfeck!
Door opener!
When shall we three meet again?!In thunder, lightning, or in rain? !
Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!
Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!
Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!
Nun geht’s in den Raum!
Nun geht’s in den Raum!
Nun geht’s in den Raum!
Becher!
Dachdecker!
Dachdecker!
Dachdecker!
Dachdecker!
Dachdecker!
Dachdecker!
Dodekader!
Modell!
Dodekader!
Modell!
90!
Goldener Schnitt beim Dodekaeder!!Niveauhöhen im Goldenen Schnitt!
Halbregelmäßiges Fünfeck!
Halbregelmäßiges Fünfeck!
Halbregelmäßiges Fünfeck!
Was steckt im Würfel?!
Was steckt im Würfel?!
Kemper-Stern (halbreguläres Dodekaeder)!
Carl Kemper, 1881-1957 !Bildhauer und Architekt, Dornach!
Was steckt im Dodekaeder?!
Minor!
Major!
Vermessung des Münsters!
Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !
Johannes M.!
Minor!
Major!
Vermessung des Menschen: Eugenik (Francis Galton, 1883)!
Le Corbusier (1887-1965)!
Vermessung des Menschen: Modulor!
Minor!
Major!
182.88 cm = 6 ft!
Le Corbusier (1887-1965)!
Der Mensch im Goldenen Raster!
Minor!
Major!
Minor!
Major!
182.88 cm = 6 ft!
Leonardo da Vinci (1452-1519)!
Vermessung des Menschen!
r!
s!
sr = Φ
Vermessung des Menschen!
Vermessung des Menschen!
Vermessung des Menschen!
sr = Φ
Vermessung des Menschen!
sr ≠ Φ
sr = Φ
Vermessung des Hundes!
Danke!
Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!
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