Der Goldene SchnittDer Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden.!! Der Goldene...

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Der Goldene Schnitt Hans Walser www.walser-h-m.ch/hans
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  • Der Goldene Schnitt!

    Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!

  • Der Goldene Schnitt!

    Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!

    Schönheit?

    Natur Ge-schichte

    ZahlenGeo-metrie

  • Der Goldene Schnitt!

    Was steckt hinter den Sternen?!!

    Figur: Toni Weininger, Landshut!

  • Der Goldene Schnitt!

    Pentagon und Pentagramm!

  • Der Goldene Schnitt!

    Gleichseitige Dreiecke!

  • Der Goldene Schnitt!

    Wo steckt der Goldene Schnitt?!!

    Figur: Toni Weininger, Landshut!

  • Der Goldene Schnitt!

  • Der Goldene Schnitt!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

    Asymmetrie!

  • Der Goldene Schnitt!

    %?!Rechnen!

    Asymmetrie!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!50 % + 25 % = 75 % ! !zu klein!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 

62 % + 38.44 % = 100.44 %!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!

    Der Goldene Schnitt!

    Asymmetrie!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 

62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!

    Der Goldene Schnitt!

    Asymmetrie!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 

62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!

    Der Goldene Schnitt!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 

62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!

    Der Goldene Schnitt!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!!60 % + 36 % = 96 % ! !etwas zu klein!!61.8 % + 38.1924 % = 99.9924 % 

62 % + 38.44 % = 100.44 %!!!!70 % + 49 % = 119 % ! !zu groß!

    Der Goldene Schnitt!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!

    Der Goldene Schnitt!

    x + x i x = 1

    x + x2 = 1

    x = −1+ 52 ≈ 0.6180339887499

    Quadratische Gleichung!

  • Prozentsatz so, dass!!Prozentsatz plus Prozentsatz vom Prozentsatz = 100 %!

    Der Goldene Schnitt!

    x + x i x = 1

    x + x2 = 1

    x = −1+ 52 ≈ 0.6180339887499

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

    Asymmetrie!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

    Asymmetrie!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • Der Goldene Schnitt!

    Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

  • 1 1

    Drohne:!!Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?!

  • 1 1

    1 1

    Eine männliche Biene (Drohne) !hat nur eine Mutter (Königin)!!Unbefruchtetes Ei!

  • 1 1 2

    1 1

    1 1

    Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater. !

  • Stammbaum !einer Drohne!

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

    Asymmetrie!

  • Stammbaum !einer Drohne!

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

  • Stammbaum !einer Drohne!

    3 5 8

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

  • Stammbaum !einer Drohne!

    5 8 13

    3 5 8

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

  • Stammbaum !einer Drohne!

    8 13 21

    5 8 13

    3 5 8

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

  • Stammbaum !einer Drohne!

    8 13 21

    5 8 13

    3 5 8

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

    -Quote!

    0%!

    100%!

    50%!

    66.66%!

    60%!

    62.5%!

    61.54%!

    61.90%!

    Asymmetrie!

  • Stammbaum !einer Drohne!

    8 13 21

    5 8 13

    3 5 8

    2 3 5

    1 2 3

    1 1 2

    1 1

    1 1

    Verhältnis zu!

    1!

    2!

    1.5!

    1.666!

    1.6!

    1.625!

    ∞!

    0!

    Asymmetrie!

  • Der Goldene Schnitt als „große Zahl“!

    Der Goldene Schnitt als „kleine Zahl“!−1+ 52 ≈ 0.618

    1+ 52 ≈1.6181!

    1!

    Minor! Major!

    Minor!Major!

    Asymmetrie!

  • 38!

    Traditionelle Bezeichnungen!

    Goldener Schnitt !(1835, Martin Ohm, Bruder von Georg Simon Ohm, )!Golden Section, Nombre d‘Or!!Divina Proportione (Luca Pacioli, 1445-1514)!!Stetige Teilung (Euklid, 3. Jh. v. Chr.)!

    Φ = 1+ 52 ≈1.618

    1Φ =

    −1+ 52 ≈ 0.618

    Ω

  • Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!6., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2013.! !ISBN 978-3-937219-85-1!

    Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556!

  • Minor! Major!

    Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556!

    Asymmetrie!

  • Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !

  • Minor!

    Major!

    Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !

  • Major!

    Major!

    Minor! Minor!

    Goldenes Rechteck!

  • Major! Major!

    Minor!

    Minor!

    Goldenes Rechteck!

  • Goldene Rechtecke!

    Chandigarh, Punjab (Le Corbusier)!

  • Le Corbusier: Parlamentsgebäude Chandigarh. 1955 !

    Goldene Rechtecke!

  • Kreuz!

    Geometrie!

  • Kreuz!Umkreis!

    Geometrie!

  • Kreuz!Umkreis!Diagonale!

    Geometrie!

  • Kreuz!Umkreis!Diagonale!Major und Minor!

    Geometrie!

  • Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck
aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt
dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    Geometrie!

  • Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck
aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt
dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    Geometrie!

  • Euklid: Elemente!!Zweites Buch, §11:!Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteck
aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt
dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist. !ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    Asymmetrie!

    Minor! Major!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    !

    Minor! Major!

    Illustration der Flächengleichheit?!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    !Gleichzeitiges Ausschöpfen (greedy algorithm)!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    Tout change au pareil!

    Gleichzeitiges Ausschöpfen (greedy algorithm)!

  • !

    Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden.!!Der Goldene Schnitt ist irrational.!

  • Φ Hippasos von Metapont (5. Jh. v. Chr.)

    2 Euklid (3. Jh. v. Chr.)

    π Johann Heinrich Lambert (1761)

    DIN A4

    !

    Der Goldene Schnitt kann nicht als Bruch dargestellt werden.!!Der Goldene Schnitt ist irrational.!!Beispiele von irrationalen Zahlen:!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    59!

    Illustration der Flächengleichheit!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    60!

    Illustration der Flächengleichheit!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    61!

    Illustration der Flächengleichheit!

  • ganze Strecke × ein Abschnitt = anderer Abschnitt( )2

    62!

    Illustration der Flächengleichheit!

  • 63!

  • 64!

  • Jo Niemeyer!531 o. Titel!

    Acryl auf Leinwand auf Holz!2014!

  • Pentagon! Pentagramm!

  • Pentagon!Bauzeit: 11. September 1941 – 15. Januar 1943!

    Der Tod reit't auf einem kohlschwarzen Rappen,!Er hat ein' undurchsichtig' Kappen !

  • Hadriansbogen!Athen!

    Architektur und Kunst!

  • Raffael:  Madonna Alba! 1511-1513!

    Architektur und Kunst!

  • Raffael:  Madonna Alba! 1511-1513!

    Architektur und Kunst!

  • Wie kommen wir zu einem Fünfeck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!

    Handout!

  • Wie kommen wir zu einem Siebeneck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!

    Handout!

  • Wie kommen wir zu einem Neuneck?!!Knotenmodell aus Papierstreifen!

    Der Goldene Schnitt ist das 
einfachste nicht triviale Beispiel!

    Fünfeck!

    Door opener!

  • When shall we three meet again?!In thunder, lightning, or in rain? !

    Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!

  • Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!

  • Gibt es ein regelmäßiges Fünfeckraster?!

  • Nun geht’s in den Raum!

  • Nun geht’s in den Raum!

  • Nun geht’s in den Raum!

  • Becher!

  • Dachdecker!

  • Dachdecker!

  • Dachdecker!

  • Dachdecker!

  • Dachdecker!

  • Dachdecker!

  • Dodekader!

    Modell!

  • Dodekader!

    Modell!

  • 90!

    Goldener Schnitt beim Dodekaeder!!Niveauhöhen im Goldenen Schnitt!

  • Halbregelmäßiges Fünfeck!

  • Halbregelmäßiges Fünfeck!

  • Halbregelmäßiges Fünfeck!

  • Was steckt im Würfel?!

  • Was steckt im Würfel?!

  • Kemper-Stern (halbreguläres Dodekaeder)!

    Carl Kemper, 1881-1957 !Bildhauer und Architekt, Dornach!

  • Was steckt im Dodekaeder?!

  • Minor!

    Major!

    Vermessung des Münsters!

    Münster Freiburg i. Br., Turm 1330 !

  • Johannes M.!

    Minor!

    Major!

    Vermessung des Menschen: Eugenik (Francis Galton, 1883)!

  • Le Corbusier (1887-1965)!

    Vermessung des Menschen: Modulor!

    Minor!

    Major!

    182.88 cm = 6 ft!

  • Le Corbusier (1887-1965)!

    Der Mensch im Goldenen Raster!

    Minor!

    Major!

    Minor!

    Major!

    182.88 cm = 6 ft!

  • Leonardo da Vinci (1452-1519)!

    Vermessung des Menschen!

  • r!

    s!

    sr = Φ

    Vermessung des Menschen!

  • Vermessung des Menschen!

  • Vermessung des Menschen!

    sr = Φ

  • Vermessung des Menschen!

    sr ≠ Φ

  • sr = Φ

    Vermessung des Hundes!

  • Danke!

    Hans Walser!www.walser-h-m.ch/hans!