Die Fibonacci-Folge undder Goldene Schnitt

1. Die Kaninchen von Fibonacci

Im Jahre 1202 interessierte sich Fibonacci fur das Wachstumsproblem einerBevolkerung von Kaninchen unter idealen Umstanden. Das Problem kann wiefolgt formuliert werden:

• man fangt mit einem Paar junger Kaninchen an,

• ein einmonatiges Kaninchen ist fahig sich fortzupflanzen,

• ein Kaninchenpaar (im Fortpflanzungsalter) gebart jeden Monat ein weite-res Kaninchenpaar.

Fibonacci stellte sich folgende Frage: wieviele Kaninchenpaare wird esnach einem Jahr geben? Die untenstehende Figur veranschaulicht die mo-natliche Entwicklung der Anzahl dieser Kaninchenpaare.

Ideale Entwicklung einer Bevolkerung von Kaninchen.

Man bemerkt, dass die Anzahlen von Kaninchenpaaren nach jedem Monatdie folgende Zahlenfolge bilden

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...

Diese Zahlenfolge wirdFibonacci-Folge genanntund kann folgenderweisegebildet werden:

1

+

211

+

3

1

211

+

53211

Die Konstruktion der Fibonacci-Folge

Man kann diese Zahlfolge erstaunlicherweise haufig in der Natur wiederfin-den.

Beispielsweise sind Tan-nenzapfen aus 8 Spiralenim Uhrzeigersinn und aus13 Spiralen entgegen demUhrzeigersinn zusammen-gesetzt, zwei aufeinan-derfolgenden Zahlen derFibonacci-Folge:

8 13

Tannenzapfen und Fibonacci-Folge

Der Romanesco besitzt 13 Spiralen im Uhrzeigersinn und 21 Spiralen ent-gegen dem Uhrzeigersinn, jeweils zwei aufeinanderfolgenden Zahlen derFibonacci-Folge.

Der Romanesco und die Fibonacci-Folge

Die Blute einer Sonnenblumebesteht aus zahlreichen klei-nen Bluten, den sogenanntenBlutenstanden, welche spira-lenformig angeordnet sind: 21Spiralen im Uhrzeigersinn und34 Spiralen entgegen demUhrzeigersinn.

21 34

Das Herz einer Sonnenblume

2. Der Goldene Schnitt

Wenn man die Fibonacci-Folge be-obachtet, kann man bemerken, dass,die Verhaltnisse jeweils aufeinander-folgender Zahlen eine Zahlenfolge bil-den, welche sich allmahlich einer ZahlΦ nahert, dem sogenannten GoldenenSchnitt, dessen Wert betragt:

Φ =1 +√

5

2≈ 1.62

Das Verhaltnis zwischenaufeinanderfolgender

Fibonacci-Zahlen

Φ ist die einzige positive Zahl, die folgende geometrische Eigenschaft besitzt:1 + Φ

Φ=

Φ

1das heisst

Lange von ACLange von AB

=Lange von ABLange von BC

A B C

Φ 1

Goldener Schnitt

3. Die Goldene Spirale

Mit Hilfe des Goldenen Schnittes kann man eine ” Spirale ” folgenderweiseentwerfen: man zeichnet ein Rechteck von Seite 1 und Φ und einen Kreisbo-gen im Quadrat von Seite 1. Ausgehend vom Rechteck von Seiten 1/Φ = Φ−1und 1 zeichnet man ein Quadrat von Seite 1/Φ und einen Kreisbogen in des-sen Innern und so weiter...

1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ

Annaherung einer Spirale mit Hilfe des Goldenen Schnittes Φ

Man erhalt keine genaue Spirale, sondern eher eine Folge von Kreisbogen,welche eine gute Annaherung einer Spirale ergibt. Diese wird Goldene Spi-rale genannt.

Φ−1=1/Φ1

Die Goldene Spirale und ihre Annaherung

4. Der Goldene Winkel

Der Goldene Winkel betragt ungefahr137.5° und wird erzeugt, indem manden Goldenen Schnitt des Kreisumfan-ges nimmt:

137.51°

Φ 1

Die Goldwinkel

Die Goldene Winkel triit haufig in der Naturauf, zum Beispiel zwischen zwei aufeinan-derfolgenden Blattern einer Pflanze.

Literatur

[1] Die Webseite des Kollegiums Smith: http://www.math.smith.edu/phyllo//

Exposition Plantes, spirales et nombres”, Jardin botanique, Fribourg, septembre 2010 / Ausstellung Pflanzen, Muster und Zahlen”, Botanischer Garten, Freiburg, September 2010