Band 14. Heft 4 ~ ~ ~ ~ , ~ ~ t 1934 N e II be r , Ein neuer hnsatz ZUI' 1,iisuiig r~uniliclior I'robleme der Elastizitatsthcorie 203

Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der Elas tizit at s theorie . *

Der Hohlkegel unter Einzellast als Beispiel '). Von H. iVeuher in Miinchen.

1. Einleitung. Fiir die Losung ebener und achssynimetrischer Problenie der ElastizitAts- theorie stehen bekanntlich Spannungsfunktionen zur Verfiigung, aus denen Verschicbungen und Spannungen durch Differentiation von vornherein so gewonnen werden konnen, dali alle elasti- schen Gleichungen befriedigt sind. Dagegen fehlt es fur die Liisung allgemeiner riumliclier Pro- bleme offenbar noch an einer solchen Methode. Der Grund hierfiir ist ip der Art der bisherigen Ansatze zu suchen, die slmtlich auf Integrale fiihren. Bereits Ma x w e 11 z, brachte Spannungen rind Verschiebungen zu drei Funktionen in Reziehung und stellte durch Einsetzen in die raunt- lichen Grundgleichungen die zwischen den Funktionen bestehende Differentialgleichung auf, ohne jedoch diese mit Hilfe eines weiteren Ansatzes in allgemeiner Form zii losen. Bei spateren Ansatzen wurde einerseits derselbe Weg eingeschlagen, wobei es dann gelang, die jeweils auftretendc Differentialgleichung in Tntegralform zii bcfriedigen. So enthalt z. B. eine dieser Losungstypen a) eine Integration nach x (cartesische Koordinaten), eine andere eine Integration nach r (Polarkoordinaten). Andererseits war man bestrebt, das Problem auf Rand- wertaufgaben der Potentialtheorie 4, zuriickzufiihren, was bereits gelungen ist. Die hierbei auftretenden Integralgleichungen sind entweder nach der F r e d 11 o 1 m schen Theorie oder nacli dem Verfahren der sukzessiven Approximationen zu h e n . Obwohl jeder dieser Ansiitze eine mathematisch einwandfreie Losung des Problems darstellt, ist doch das Aufsuchen strenger Ltisungen in beliebigen Koordinaten mit verhgltnismafiig grofiem Rechenaufwand verknupft. Es dtirfte daher von Interesse sein, im folgenden einen sehr einfachen Ansatz kennenzulernen, mit dessen Hilfe es gelingt, Verschiebungen und Spannungen allein durch Differentiation aus einer allgemeinen raumlichen Spannungsfunktion zu gewinnen, die sich aw drei harmonischen Funktionen zusammensetzt. Das zugehorige Differentiationsschema wird vollstandig sym- metrisch und llfit sich deshalb leicht auf beliebige Koordinaten iibertragen.

Es werden bei drei verschiedenen Relastungsfallen die genauen Ausdriicke fur die Spannungen nngegeben.

Als Beispiel wird das Problem des Hohlkegels uriter Einzellast behandclt.

2. Die Losung der elastischen Grundgleichungen mit Hilfe des neuen Ansatzes. In carte- sischen Koordinaten 5, y, a mit den Norrnalspannungen ox, o!,, oz, den Schubspannungen T ~ ~ ,

zI/ 2 , T~ und den Verschiebungen E , 7, 5 lauten die Gleichgewichtsbedingungen ') :

. . . .

usw. niit zyklischer Vertauschung. Ferner bestehen zwisclien Spannungen und Verschiebungen bei Zugrundelegung des H o o k e schen Gesetzes und Voraussetzung kleiner Formanderungen bekanntlicli die folgenden Beziehungen 5, :

e

wobei

gesetzt ist, und

1) Vorliegende Ahhandliirig ist ein tlieorctischcs 1SrKelmia der F o r ~ c . h u i i ~ ~ e r b i ~ i l . die W I I I Verltisher ini h1ech.- 'rechn. Labor. der Tcchii. Ilochsch. Miinchcn aiif Veraii1;ixsiiiiy von Hrrrn Prof. I)r. 1,. F ii P p I durehg.csfiihi,t wurde. Hierbci niiichte ich iuir gestatten, der Notpe~ucilischaft dcr Ilentuohcn Wissciischaft Iiir ihre liebeiiswiirdigc lluter- stiitzung ineirien aufrichtigsten Dank ausmspreeheii.

2) J . C. M a x w e 1 1 : Scieiitiflc Pap. of J . C. Moxwell, Paris 1927, Bd. '2, S. 198 u. f . 3) E. T r e f I t z : Mnthematische Elnstizitatstheorie, Handbucli d. Ph. , Bd. VI. S. 92. 4) L. L i c h t e u s t e i 11 : Ober die erste Randwertaufgabe der Elastizitatstheorie, Math. Zeitschr., Dd. 20. S. 21,

19'24; ferner A . K o 1' u : Ober die Liisung des Groridproblems der Elastisitiitstheorie, Math. Arm., Bd. 75, Y. 4!li, 1Y14. 5 ) A. u. L. F o p p 1 : Draug uiid Zwaog, I. Bd., 1 . Aufl., 9. 1C u. f.

Ztechr. f.angew. N e u b e r , Ein neuer hnsatz ziir Liisung rauniliclier Probleme der Elastizitatstheorie Math. und M,?ch. 204

Durch Kombination mit den G1. (1) erhalt man die sogen. ,,elastisclien Grundgleichungen"

wobei

bedeutet.

m d e m-2dc At+ ~~ = o usw. . . . . .

Es kotiinit nun darauf an, mit Hilfe eincs neuen Aiisatzes die Verschiebungen derart aus hxrnionischen Funktionen abzuleiten, dafi die G1. ( 3 ) und (5) erfiillt sind, dine dafi - wie hei den bislierigen Metlioden - Integrale auftreten. D i e s g e 1 i 11 g t ti1 i t f o 1 g e n d e ni A n s a t z :

Hierbei sind @,, Q2, Q3 harmonische Funktionen, geniigen also der Gleichung

d @ = O . . . . . . . . . . . . . . . . (8).

Uni iiber den Zusammenhang dieser Funktionen mit der Spannungsfunktion F Aufscliluk zu erhalten, setzcn wir die Verschiebungen entsprechend Ansatz (7) in die G1. (3) und (5) ein. Es ergibt sich mit Berticksichtigung von G1. (8)

und

"( ~ J J F + P . . . . . . . . . (10). .rn

d x 11L - 2 Die GI. (10) verlangen

m m - 2 - - A F f ~~~ 2 G e = const,

oder, da die auf der rechten Seite steliende Konstante unwesentlich ist,

. . . . . . . . . . . . . . (1 1)-

Setzt man dies in G1. (9) ein, so ergibt sich

(12).

W i i h r e n d b e i d e n b i s h e r i g e n M e t h o d e n d i e e n t s p r e c h e n d e G l e i c h u n g n u r i n I n t e g r a l f o r m l o s b a r w a r , l a f i t s i e s i c h h i e r i n d u r c h a u s e i n f a c h e r W e i s e b e f r i e d i g e n. Setzen mir narnlich

. . . . . . . . . . . P= Go + L Ql + y d)? + 2 Q,, (1%

wobei auch @" der G1. (8) geniigt, so wird

und d A F = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15).

G1. (12) ist schliefilich vollstandig befriedigt, wenn wir noch

. . . . . . . . . . . . . . . c=4 ( 1-- 3 * (16)

Band 14, Heft 4 A(]g,lst 1934 hT e II b e r , Eiii neiier Ansatz zur Losung raumlichor Probleme der ElastizitLtstlieorir 205

setzen. Iliese Konstante trat schon beim achssymmetrischen Spannungszustand ") in Erscheinung, und zwar wurde

. . . . . . . . (17)

gesetzt. Man erhalt endgiiltig fiir die Verscliiebungen

l3F 2 G t = - - - - + 2 a @ l B X usw. (18). . . . . . . . . . . .

Die Spannuiigen ergeben sicli nach kurzer Zwischenrechnung aus den GI. (2) und (4), wobei von den GI. (ll), (14) und (17) Gebrauch zu niachen ist, zu folgenden Ausdrucken:

. . . . . (20).

Man iiberzeugt sich leicht, dab tatsBclilicli die Gleichgewichtsbedingungen erfullt sind. Ebenso sind die sechs Vertriliclikeitsbedingungen erfilllt, die sicli durcli Kombinieren der GI. (2), (3) und (4) noch aufstellen lassen.

3. Deutung des Ansatzes. Der Ansatz so11 zunachst an Hand der speziellen Elastizitats.

D i e T h e o r i e d e r T o r s i o n p r i s m a t i s c h e r S t a b e entspricht den Ausgangs- theorie niiher diskutiert werden.

gleicliungen 66 2 2 , @ G t9 @ " F - x Q l , @ l = @ l ( y . z ) , @*== -- s - a x g . . . . (20a).

(1

Es wird dann a F = O , F = ; @I , ?] = t? x 2 , 6 = 5 - - 6 ~ 7 ~ . . . . .(2Ob).

D i e T h e o r i e d e r T o r s i o n r u n d e r S t B b e v e r i i n d e r l i c h e n Q u e r s c h n i t t e s entspriclit den Gleichungen

G G a @ , - O , @,=0, @ 2 = Q Z . y . ( s , r ) , @ 3- y. r , r ) ( r , r ) . . . . (%), --

wobci mit x, r Zylinderkoordinaten zugrunde gelegt sind ( r : 1/y2 + zz). Es wird

F=O, [ = O , ~ = Z ' Q > , C = - g . q . . . . . . . . . . (ma).

A u s d Q2 = 0 folgt ftir p die bekannte Differentialgleichung

D e r F a l l F = O e n t s p r i c h t m i t l i i n d e r a l l g e m e i n e n T o r s i o n .

D i e e b e n e E l a s t i z i tii t s t 11 e o r i e wird erlialten niit

wohei Q0' und GI' zwei neue harmonische Funktionen sind, die nur von x und y abhiingen. F' entspriclit jetzt der A i r y schen Spannungsfunktion.

D i e ac l i s s y m m e t r i s c h e E l a s t i z i t ii ts t 11 e o r i e geht aus derselben Substitation lier- vor, wenn wir voraussetzen, dab Q,' und @,' nur von x und r (Zylinderkoordinaten, s. o.) abhangen. F' ist dann die achssymmetrische Spannungsfunktion 7.

Auf G r u n d d i e s e s Z u s a m m e n h a n g e s w o l l e n w i r F a l s , r a u n i l i c l i e S p a n - n u n g s f u n k t i o n b e z e i c h n e n. - -.

'3) H. N e u b e r : Beitriige fiir den o r b s s g ~ n n ~ e t r i s r h e ~ l Spannun~z i i s t and , Diss., Miinchen 193'2, S. 3. 7 ) A. u. I,. F i i p p l : Drnna und Zwnng, 11. Bd., 2. Aufl.. S. 20R, Miincheii und Berlin 1928.

Ztschr.f.angew. N e II b e r , Ein neuer .4nsatz ziir Lijsung r!iundicher Problerne der Elastizitltstheorie Math. und Mech.

Fur den allgemeinen Spannungszustand ist bemerkenswert, dab imnier eine der vier liarnionischen Funktionen gleicli Null gesetzt werden darf, oline die Vollstandigkeit zu be- eintr8chtigeo.

206

Dies gelit aus der Substitution

hervor, welche an der Allgemcinlieit dcr vier Funktioiien Go, @,, @?, G3 niclits andert und zii deiii neuen Gleichungssystem

. . . . . . . (2011)

B F' 2 G [ = - - ~ +2clGl ' , B.r F' = Go'+ 5 Q1' + 2/ G2' ,

fulirt, welches nur noch die drei harmonischen Funktionen Qo', Ql', Q2' enthiilt. Es werden also in Wirklichkeit nur drei linrmonische Funktionen benotigt. E i n e r b e s t i mm t e n h a r - i n o n i s c h e n F u n k t i o n e n t s p r e c h e n n i i t h i n g e r a d e d r e i v o n e i n a n d e r v e r - s c h i e d e n e S p a n n u n g s z n s t a n d e . D i e M a n n i g f a l t i g k e i t d e s a l l g e m e i n e n e l a - s t i s c l i e n Z u s t a n d e s i s t g l e i c h d e r d r e i f a c h e n M a n n i g f a l t i g k e i t d e r l i a r m o - n i s c h e n F u n k t i o n e n.

Fur das Aufsuchen von Losungen ist es zweckniatiig, jeweils ein Koordinatensystem zu. grunde zu legen, in welchem die Randtliichen des Korpers eiitlialten sind. Aus diesem Griinde wollen wir auf krumirilinige Koordinaten iibergehen.

4. Ubergang auf krummlinige Koordinaten. Gchbren zu den1 ortliogonalen Koordinaten. system ?c. u, w , dessen Achsen die Riclitungskosiniis cos (x ,?c) iisw. mit den ursprhngliclien Acliseii bilden, die Spannunjiskoniponenten otL, i U , iisw. und die Verschiebungskomponenten U , 1: W, so gilt, da sicli letztere als Vektorkomponenten transformieren,

7J= cos (r, u). 6 + cos (y. I t ) . ?/ + cos ( z , ~ c ) . 97 US\V. . . . . . . . . (21).

Die Richttiiigskosinus crlillt inan bekanntlicli aus

1 a x h, B zc

c o s ( : r , t c ) = - - - - usw. . . . . . . . . . . . . . . . . . wobei die h, , , h , , h,,, der krummlinigen Verzerrung Recliiiung tragen und aus den Gleicliungen

. . . . . . . . . . . . . . (231

ZII bestiirimen sincl. (In Tensorschreihweise wird h,, = j/i;l.)

Setzt man far 6, I ] , q j die Ausdrucke aus GI. (18) ein und beachtet, daf3 sich aucli die ersten Ableitungen eiiier Funktion als Vektorkomponenten transformieren, SO erhBlt man schlietilich

Fur die Ermittlung der Spannungen verwendet nian am einfachsten die zwisclien Spannungen und Verschiebungen in krummlinigcn Koordinaten bestelienden Gleichungen, die wohl erst- mals von Bo r c h a r d t") angegeben wurden. I n der hier gewahlten Schreibweise ergibt sich

. . . . . . . . . . . . . (26).

8 ) B o r c h n r d l : J . f . blnth. (('relic), Bd. i 6 , 18i3.

Rand 14, Heft 4 Aupiist 1934 II b A r , E n neiier Ansatz ziir L6siing riiiimliclier Probleme der EIastizitStstlieorie 207

Der L a p 1 a c e sclie Operator gelit ilber in

Nachdem nunmehr alle matliematischen Vorbedirigungen gegeben sind, soll das Ver- f'ahren auf den Hohlkegel mit beliebig gerichteter Einzellast Anwendung finden.

5. Der Hohlkegel mit beliebig gerichteter Einzellast. Es werden zweckmii6ig Polar- koordinatcn in i t

x - 16 cos v . zugrunde gelegt. Aus den G1. (35) erhiilt man

y = vc sin 2' cos ti', 2; = zc sin v sin tt, . . . . . . (27)

. . . . . . . . . . . . . . h , = 1 , 11, = ZL, h , = zc sin v (28).

Wie aus Abb. 1 und 2 ersichtlich ist, fiillt die Kegelachse init der X-Achse zusammen; ferner ist die Kegelspitze zugleich Koordinatenursprung. Der Hohlkegel wird begrenzt von den FlBchen v = ;I und v = 6 . Als erste Gruppe der Randbedingungen ergeben sich aus der Last- freilieit der OberfiLclie:

ov = 0, 78, $7 =z 0 71) = 0 CW, . . . . . . . . . . . . Fur v = y

undv-6

also sechs Bedingungen. Weitere Bedingnngen ergeben sich darnus, dafi fur einen beliebigen, durch den Hohlkegel gelegten Schnitt die an der SclinittflLche nngreifenden Spanriungen zu- sammen mit der Einzelkraft ein Gleichgewichtssysteni bilden miissen. Es riiufi also die .c.Komponente der Einzelkraft entgegengesetzt gleich der Summe aller s-Komponenten dt?r an der Schnittflaclie angreifenden Spannungen sein. Das Entsprechende gilt fur die 9- und z-Koniponenten. Wird der Sclinitt langs einer Kugelfliiche gelegt und sind P,, P?,, Pz die Koinponenten der Einzelkraft, so folgen

. . . . . . . . . . . . . -P,-i ~ T l f p C O S ( x , p ) d F usw. (30). F I t = u I * , IO

Hierbei wurde der Einfachlieit halber u7, = T , ~ ?, gesetzt. Weitere Bezieliungen ergeben sich aus tlem Gleicligewicht gegen Verdrelien. Es muti fiir irgendeinen Bezugspunkt das Moment cler Einzelkraft dem Moment der an der Sclinittflgche angreifenden Spannungen entgegen- gesetzt gleich sein. Wird die Spitze des Kegels als Bezugspunkt gewahlt und sind ill,, Mu, Mz die Momente der Einzelkraft um die X-, Y- bzw. 2-Achse, so wird

J' ?,,&1 (y cos (a, p) - z cos (y, p)) d F USW. . . . . . . . . (31). p = 71, C , 111

Mx =j I n d c m n u n v e r l n n g t w i r d , d a b j e w e i l s n u r e i n e s d i e s e r s e c l i s I n t e g r a l e voii N u l l versc l i ic tden s e i n s o l l , z e r f i i l l t d i e a l l g e m e i n e L o s u n g d e s P r o b l e m s z u n c 11 s t i n s e c li s v o n e i n a n d e r v e r s c 11 i e rl e n e P a r t i k 11 1 a r 16 s u n g e n. Da die Liisungen fur Pu und P, und ebenso fiir ill!, und M, durch Vertauscliung der Y- und 2-Aclise iiieinander ubergehen, reduziert sich ilire Zahl auf vier. Da ferner die Losung ftir reine Torsion ( A l x + O ) bereits von A. F o p p l e ) mit Hilfe der Theorie der Torsion runder Stgibe von ver- iinderlicheni Querschnitt gegeben wurdo, bleiben nur melir drei Partikularlfisungen anzugeben.

A. Die Einzelkraft wirkt in Richtung der X-Achse und greift in der Kegelspitze an (s. Abb. 1).

In diesem Falle mussen alle Integrale mit Ausnalime clesjenigen fur P, verschwinden. Der Ausdruck fur P, lautet ausfuhrlich:

% n y - p, = 94' 5 (u,~ cos v ~- 7,1.u sin v) sin u dv dru . (32).

u fr

") A. 11. I,. F i i p p l : D r a w wid Zwafig. 11. Rd., 2. Aiifl., 9. Ins, hliinchen 11. Berlin 1928.

Ztsclir. f . angew. X e u b e r , Ein neuer Ansatz zur Liisung rlumlicher I'robleme der Elastizitltstheorie &intil. ulld Merh. 208

Beim Aufsuclien geeigneter harmoiiischer Funktionen, die diesen Bedingiingen geniigen, ge- langt man zu folgendem Ansatz:

GI, = A (In u + In (1 + cos w)) + C (In u + In sin u ) , ) . . . . (33).

Mit Anwendung der G1. (13) erhlilt nian als Spannungsfunktion F = ( A + C ) l n 2 i + A l n ( 1 + c o s w ) + C ' ~ n s i n w f B c o s w . . . . . . (34).

Hieraus sincl zonachst entsprecliend den (31. (24) die Verschiebungen zu bilden. Aus den Ver- schiebuiigen ergehen sich schliefilich mit Hilfe dcr G1. (25) uiid ('X) folgende Spaniiungen :

1 1 o,, zz 2 [ A - (3 +a) B cos u + C]

+ ( ( I -. 1) I3 cos w + C c n t v

. . . . . . . (36). sing I *

A - - - - + ( n - - l ) H c o s 1 ' - C - - - 1 1 + cos ,zJ

- A p - 1 1 + cos 2'

Man erkennt, dab zwisclien nu und T~~~ folgendc Ikziehung besteht:

ov -- 7141) * cot 2) = 0 . . . . . . . . . . * . . (36).

Die sechs Randbedingungen (PJ) reduzicren sich daher auf zwei. folgen :

Aus beiden Gleichungen

1 _______- - ._ - ~~

_- n 1 - .

1 + cos y cos 8 _ _ A - - - c (1-cos)~) (1- -cosc~) c ( c ( - l ) ( l - c o s ~ ) ( l -cosd) . . .

Zur Bestinimung voii C stelit noch G1. (32) zur Verfiigung. Es ergibt sich

P, (a -- 1) (1 -- cosy) (1 -- cos S ) L I T - - __- _ _ ._

2 n (cos b - cos 1,) [COS' y + - E S 6+ (2 ~- a ) cos y cos 81 * * . ' ' .

(37).

Die m a x i n i a l e S p a n n u n g tritt an der Inncnseite auf (w=8, s. Abb. 1). IIier wird cot y

u = s.rl () = a cos g Wir erhalten b

. . . . (39). - __ - P, (cosy + cos 3) [3 cos b (a - 1) cosy] ~III , , = - 9 - n ((I' - b') COS? y [cos' 1' + cos' b + (1' - u)cos y cos h] ' '

Fiir den V o 11 k e g e 1 ergibt sich

Die LBsung stimmt fur den Vollkcgel in i t eincr anderen LBsung fur das achsial gedruckte Hyperlxdoid uberein, wenn letzteres in groher Entfernung vom engsteii Quersehnitt betrachtet wird I").

Fur die I<ege l sc l i a l e " ) ergibt sicli durcli Grenzubergang + B und (c + b eine ein- 2 (L h faclie Formel. 1st k die Wandst&rke der Schale, so wird n2 - ZP .= __ cosy und wir erhalten

- -_______

1") H . N e II b e I': Britriige fiir den arliss).iiiiiic.lI'isolic,ii S~iniitiiiiigsziistaiid, Dias.. Miiiicheii 193:'. S. :li 11. 1. 11) Die Foriiielii f i ir die Reaelscliale gelteti nitr l i ir riiclit ullaii kleiiie Wntidstiirkeri. dn dnriii d ie Vornussetziiiip

kleii iei \'er.crIiiebiiiigeri iiicht iiielir g i l t .

Band 14, Heft I A(]gust I B ; ) ~ N e 11 b e r , Eiri Iieuer .Insatz zur Li)siing raumlicher Probleme der Elsstizitatstheorie 209

B. Die Einzellast wirkt in Richtung der Y-Achse und greift in der Kegelspitze an (s. Abb. 2).

In diesem Falle mussen alle Tntegrale init Ausnahnie desjenigen fiir P, verscliwinden. Letzteres lautet ausf~hrlich

Zn y

(I 6 - P, = ZL? 1 I [nzt sin w cos 1u + zU , cos v cos tv - T ~ , sin w ] sin w d v tZ w ] . . . (42).

Fiir die Erfulluiig dieser Bediiigungen ist der folgende Ansatz geeignet:

. . . . (43).

Die Spannungsfuuktion ergibt s k h entsprecliend GI. (13) zu

Mit Hilfe der GI. p4), (25) und (261 erlialten wir liieraus die Spannungen

sin t? cos ni 2 a c l + c o s v 1 -cosv

2 (1 c ( a -1) ( A + C - E ) - - - -+- - - +-- - 1 -t (‘0s ‘1,

2 a E 1 - cos 2, (1 + COSV)? - (1 - cos vy

sin v cos 1 ~ 3

t4 a 0 , -=- -- --

ff F n - c 4- -_’- + - - - - sin v sin $ t i

l c a

c1 C T1. I,. = - - - 11 +cos 1’ 1 -- C O S V ( 1 f c o s 2.y (1 - cos u)’

Es zeigt sich, daG wiederum zwisclien deli an den Itandbedingungen (2!!) beteiligten Spannungen eine Bezichung besteht, und zwar wird in diesem Falle

o., cos w + T,, ?, sin v - i,, lc cot gu = 0 . . . . . . . . . . . . . (46).

Mithin entsprechen den Bedingungen (29) nur vier Gleichungen. Zusammen niit GI. (42) stehen fur die funf noch unbekannten Konstanten daher funf Gleichungen zur Verfiigung, so clah letztere eindeutig festgelegt sind.

Zur Abkiirzung wollen wir setzen

Dann erlialten wir:

cos y = c , cos 0 7 ~ - tl , iY = (1 +. c) (1 + rl) [&I - ~ c)? + (c + d ) (1 - -- c tl)] (46).

I1 _- (1 - - c ) ( l - d ) - - __ - [ - ( a - 1)(tl - c y + ( ~ i l ) ( c + d ) ( l - c d ) - J a c d ( l - c d ) ] c N

E (1 - - c ) (1 -tZ)

c - *V - -

- - [ - (d - c)? $- (c + d ) (1 - c d ) ]

J P,u(n - 1) s c= - - 4 n f1 (tl -- c ) { (d - c)? [(3 - c d ) (1 c d ) ~ (d - c)2] + (4 - a) c d (1 - c d)z;

14

Ztsclir f angew 210 N e II b e r , Ein neuer Ansatz 2111' Liisnng rLiimlicher Prohlenie der ElastizitLtRtheorie alatll. ;lid ~ ~ ~ l ~ :

Die m a x i m a l e B i e g u n g s s p a n n u n g tritt an der Stelle n,=lSOn, v = y (vgl. Abb. 2)

auf. a

sin y Hier wird '16 = 7 ~ . Es ergibt sich

P, sin y (1 - c ? ) {8(d - cI2 + d [3 c - (a - 1) d ] (1 - c 0) ) (47). - __ -___ ___- -__ ~

(Jn, , \=nciz(cl - -c)C(d-cc)z[ ( : j cttl)(l - c d - ( d - ~ ) ~ ] + ( 4 - a ) c d ( l - r c t l ) ' ) * '

Die m a x i m a l e S c l i u b s p a n n u n g tritt an der Stelle w = 9 0 a , w = 8 (vgi. Abb. 1) auf.

Hier wird u = -- -- Wir erhalten d sin y ' a C

Pu(n --- 1) d2(1 - c2) (1 -- c d ) 7,,,,,-. -- - -. - - ~- __ .- n u 2 c : ( d - c ) ' [ ( ~ - - - c c l ) ( l ~ c d - ( d - ~ C ) ~ ] + ( 4 - a ) c d ( l - ~ d ) ~ } . . . '

I

Ahb. 2.

Beim V o 11 k e g e l massen von vornherein die

2

Konstanten n und F: gleicli Null gesetzt werden, da die zuieh6rigen Funktionen in der A c h e Unendliclikeitsstellen besitzen. Man erliiilt so

. . . . . * . (49),

Setzt man andererseits in den G1. (47) und (18) d r= 1, so erhiilt man die Formeln fur omax h d e r t sicli niclit, jedocli den V o l l k e g e l rn i t e i n e r f e i n c n a x i a l e n Bo l i rung .

erliiilt man fiir z,,,,,:

. . . . . . . . . . . (51), F, (a - - 1) ~~ (1 +:I Tn,a, - n f12 c 12 + ( 2 -a ) c] *

*

d. 11. gcnau den doppelten Wert. E i n e f e i n e a x i a l e 1 3 o h r n n g e r l i i j h t i i i i t l i in d i e S c h u b s p ~ n n u n g um

Ferner lassen sich aucli liier durcli Grenzubergang die Spannungen fur die K e g e l - s c l i a l e angcben, und zwar wird

-. - P.Y - t = 0 . . . . . . . . . . . . . (52). (Jm,, - n a h sin y '

C. Die Einzellast wirkt in Richtung der Y-Achse. Ihr Angriffspunkt liegt auf der X-Achse im Unendlichen (reine Biegung).

In diesem Falle niiissen alle Integrale iiiit Ausnshme clesjenigen fur ill, verschwinden. Der Ausdruck fiir N2 lautet ausfulirlich:

Beim Aufsuchen geeigneter Funktioncn gelangt man zu folgendem Aiisatz:

Hnnd 14, Heft 1 AI1gnqt 1934 N e u h e r Eiii neuer Ansntz n i r Liisung rXumlicher ProbIeme der Elastizitatstheorie 21 1

M i t Anwendung der G1. (13) wird die Spannungsfunktion

n . (55). [ ( A + C ) c o s v + 2 E + - - - B +---I

1 +cosv 1 - - COS'l' . cos tv sin v F = - ~ -

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Rei der Ausreclinung der Spannungen niit Hilfe der G1. (24)' (25) und (26) zeigt sich in diesem Falle, dalj zwischen a, und rVw folgende Beziehung bestelit:

CJ?, T?. u, Cot *U cos 11 = 0 . . . . . . . . . . . (33).

Die sechs Randbedingungen (29) reduzieren sich dalier wieder auf vier. Als weitere Be- dingung koinmt noch GI. (63) hinzu. Die Auflosung dieses Integrals bietet auch hier keine Schwierigkeitcn. Es stehen mithin wieder fl)r die funf Konstanten gerade funf Gleichungen zur Verfilgung. Die Ausrechnung sei hier iihergangen. Es sollen nun die M a x i m a l - s p a n n u n g e n angegeben werden. Zur Abkiirzung wollen wir setzen

0 2 c o s j J = c , cosfi-(tl. ~ n t g $ = g , l n t g - r k . . . . . . . (571,

ferner

(58). i 4 3 +- (1 - c' d') [- Ga (1 + c d ) + (4 - a) erZ(18+5 a + a c d ) ]

4 + ;. -1 13 (4 - a) c d (1 ~ c fly ( 2 - a + 2 c ( I ) - - (4 - (1) (2 + a ) c d (c -- d)'

+ 8 ( ~ - -a) (c - -

"-":I 3

(I -- cd) + (1 + a) c t ~ - - c * r ~ ) 12 a (c - ( ~ l ) z (1 - c * ) (1 - d*)]

Die m , 1 . x i n i a l e B i c g u n g s s p a n n u n g , diewieder an derStelle w=lSO" , Z=) I (vgl. ALb.3) auftritt, ergibt sich zu

+ 4 a [9+(11 + a ) eel] ((7 ~ c ) +4 (4 - a) c [a + G c t l - - (ti+u) c e ]

+ 1 2 ( l - c d ) ( l - C / ' ) ~ G / [ - a ( l - a ) c . (60).

a n l a \ = - . . . W)'

g - k 3 a d + 2 ( 4 - n)c?tl]

+ 4 (1 - a ) (8 + a) c (c -- 4 (9 - k ) )

Beim V 01 1 k e g e 1 miissen von vornherein die Konstanten D und E gleich Null gesetzt werden, da die zugehorigen Funktionen in der Aclise unendlich werden. Es werden

3 ATz (1 + c)' [(lo - a) c + 2 (1 - a)] -. -

?I a3 [G (1 - c ' ) T (4 - a) c ( 2 + c)*J ' '

Far den V o l l k e g e l i n i t e i n e r f e i n e n a x i a l e n B o h r u n g wird (aus G1. (60) mit d =. 1)

Ztechr. f .angew. N e u b e r , Ein neuer Ansstz zur Losung rluniliclier Probleme der Elnstizitatstheorie Math. M(%ch.

Fur die K e g e 1 s c h a 1 e wird durcli Grenziibergang y + S:

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und wir erlialten als Spannungen

Durch nberlagerung mit dem Spannungszustand B ktinnen wir jetzt auch die Fornieln Zu diesem Zweck zerlegen wir die Kraft, P, fur den K e g e l s t u n i p f angeben (s. Abb. 3).

Abb. 4.

die senkrecht zur Achse ini Abstand ( 1 . cot y - - 1 ( I sei die Llnge des Kegelstumplcs) von der Spitze angreifen soll, in eine i n der Spitze angreifende Krsft gleicher Grbfie, die niit P, zii identitizieren ist, und in ein I3iegungsmonient voni Hetrage - P ( n . cot y -- I ) , welches gleich Mz zu setzen ist.

Fur die K e g e l s t u m p f s c l i a l e wird dann

Schliefilich seien hier vor allem die Formeln fur s i c h s c h w a c 11 v e r j u n g e n d e

W e 11 en sngegeben (Vollkegelstumpf fur kleines y ) , die sic11 mit c = 1 - - tg2 y bei Vernach- llssigung Iioherer Potenzen von tg y ergeben :

1 2

2 1 P 3+- - - -4 - - t

2 n 1 + - u? . . (66). ( nL (c - g y ) -

7 TI,,.,\ = ) ( I) 1

2+m a -4y I + - - - - ~- tg) ' 3 1+-- - (

n u3 ' I l l , . , \ -

Axidererseits lassen sich die genauen Werte fur den H o Ii 1 z y 1 i n (1 e r ermitteln, indeni wir

c = 1 - - d = 1 -'-- und a c = m setzen. Die maximale Schubspaanung wird bZ 2 1c2 ' 2 ah2

P ~ ( : 3 + ~ ; ) ( f z + ( 1 -t ;;)b?] (67). ,,=- ~ _ _ ~ - . . . . . . . . . .

n (1 + A) (d - b')

F u r d e n K e g e l b e i z u s a m m e n g e s e t ; . t e r B i e g u n g e r g e b e n s i c h m i t h i n g r ij fi e r e B i e gu n g s s p a n n u n g e xi, a b e r k 1 e i n e r e S c h u b s p a xi n 11 n g e n a1 s b e i ni Z y l i n d e r . Dies erkllrt sicli in einfacher Weise dndurcli, dafi beim Kegel die Hiegungs- spannungen zugleich Querkraftkomponenten besitzen. Die masimale Schubspannung erh6ht sich durch eine feine axialc Bohrung um 100°/o.

6. Zusammenfassung. Ein neuer Ansatz ermtiglicht es, die drei Komponenten des elastisclien Verschiebungsvektors allein durcli Differentiieren aus vier harnionischen Funk- tionen abzuleiten. Ilas zugehdrige Gleichungssystein 1liPt sich in einfacher Weise. auf krummlinige Koordinatensysteme ubertragen. Es stellt auch clann noch die allgenieine Losung cles elastischen Zustandes clar, wenn eine der vier Funktionen gleich Null gesetzt wird. Als Beispiel wird die Spannungsverteilung im Hohlkegel unter Einzellast angegeben. 3 G