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Theorie der Supraleitung
SS 2003
Dietrich Einzel
Vorlaufige Version des Vorlesungsmanuskripts
(mit der Bitte um Kritik!!!)
Stand: Fri, July 11, 2003, 12:00
Nicht zur Verbreitung!
Uberarbeiten:
1.2.3.4.5.
1
Inhalt
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
1.1 Historische Fakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2 Literaturempfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2.1 Einfuhrende Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX1.2.2 Theorie der Supraleitung und der Suprafluiditat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2. Phanomenologische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.1 Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.1 Die Maxwell–Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.1.4 Stromrelaxation in neutralen (Quanten-) Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
2.2 Verallgemeinerte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.2 Verallgemeinerte London–Theorie fur den Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.2.3 Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.2.4 Die Fluxoidquantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.2.5 London–Theorie und Josephson–Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
2.3 Leistungsfahigkeit der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.1 Verdienste der London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.2 Die alte London–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.3 London–BCS Theorie fur Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.4 London–BCS–Theorie fur Fermi–Supraflussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.5 Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX2.3.6 Mangel der London Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX2.3.7 Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
3. BCS–Theorie paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.1 Normale Fermisysteme im Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.2 Normale Fermisysteme in außeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.3 Das Cooper–Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4 Verallgemeinertes BCS–Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.1 BCS–Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.2 Schritte zur Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.3 Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.4 Eigenschaften thermischer Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.5 Mechanismen der Paarformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.4.6 Losung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.4.7 Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
2
3.5 BCS–Supraleiter in außeren Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.6 Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.1 Warmekapazitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.2 Spinsuszeptibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.3 Dichteresponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX3.6.4 London–BCS–Suprastrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX3.6.5 Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
3.7 Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie . . . . . . . . . XX
4. Anhange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
4.1 Gegenuberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.2 Fermisysteme in d Raumdimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.3 Elektromagnetischer Response in Normalmetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.4 Die Hydrodynamik neutraler Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.5 London–Theorie der Bose–Supraflussigkeit 4He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.6 London–Theorie der geladenen Bose–Supraflussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.7 Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX4.8 Zur Aquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX4.9 Gapgleichung fur konventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX5.10 Gapgleichung fur unkonventionelle Supraleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX5.11 Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
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1. Vorlesung: Donnerstag, 10. April 2003, 10:30
1 Einleitung
1.1 Historische Fakten
Entdeckung der Supraleitung in Hg (Tc = 4.2K)Heike Kamerlingh Onnes, 1911 (Nobelpreis 1913)
Fig. 1: ρ(T ) vs T fur Hg
Dauerstrom in supraleitendem Bleiring bei 4 K: uber 1 Jahr!
Entdeckung der Magnetfeldverdrangung in SupraleiternWalther Meißner und Robert Ochsenfeld, 1933
Fig. 2: Skizze zur Magnetfeldverdrangung
( i) B = 0, T < Tc, B 6= 0: Feld dringt nicht ein (bis auf Schicht der Dicke λL)→ Abschirmeffektii) T > Tc, B 6= 0, T < Tc, Feld wird aus dem Supraleiter verdrangt→ Feldverdrangungseffekt
Erste phanomenologische quantenmechanische Theorie der SupraleitungFritz und Heinz London, 1935, Max von Laue, 1938 Diese Theorie erklart
• Verschwinden des elektrischen Widerstands
• Magnetfeld– Abschirmeffekt
• Vorhersage: Flußquantisierung
Zweite phanomenologische (Ginzburg–Landau–) Theorie der SupraleitungV. L. Ginzburg, L. D. Landau, 1950 (Humboldt–Forschungspreis 2000 fur Ginzburg)
• Gilt nur knapp unterhalb der Sprungtemperatur
• Beschreibt raumliche Inhomogenitaten des Supraleiters
• Kann Aussagen zur Symmetrie des SL Grundzustands machen
• Bislang tausende Male zitiert
4
Entdeckung von Supraleitung in intermetallischen (A15–) Verbindungen
Nb3Sn, Tc = 18.1KBernd Matthias, 1954
Nb3Ge, Tc = 23.2KJ. R. Gavaler, 1973
Vorhersage der Typ–II–Supraleitung mithilfe der GL–TheorieA. A. Abrikosov, 1957
• SL Mischzustand (Shubnikov–Phase) mit hexagonalem Gitter aus Flußschlauchen (Vor-tices)
Theorie der FermiflussigkeitenLev Landau, 1956 – 58, (Nobelpreis 1962)
Mikroskopische Theorie der SupraleitungJohn Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer, 1957, (Nobelpreis 1972)
• Anziehende Wechselwirkung (Gitter–Phononen) fur Elektronenpaare
• Paar–Kondensation im k–Raum: sog. Cooperpaare im S–Wellen Spin–Singulett–Zustand(k ↑,−k ↓)
• Supraleitung als makroskopisches Quantenphanomen
• Bogoliubov–Quasiteilchen als elementare Anregungen des Supraleiters mit Energielucke
• Thermisch aktiviertes Tieftemperaturverhalten von C(T ), χs(T ), λL(T )
Entdeckung der Flußquantisierung am Walther–Meißner–InstitutRobert Doll und Martin Nabauer, (1962)Deaver und Fairbanks, (1962)
Fig. 3: Zur Quantisierung des magnetischen Flusses in Pb
Entdeckung des Josephson–EffektsBrian Josephson, 1962 (Nobelpreis 1973)
• Cooper–Paare konnen zwischen zwei Supraleitern, die durch eine isolierende Schicht ge-trennt sind, tunneln → Suprastrom, der ohne außere Spannung fließen kann
Theoretische Vorhersage von Hoch–Tc–Supraleitung in organischen MolekulenW. Little, 1964
Entdeckung der Supraleitung inGraphit–Alkalimetall–Einlagerungsverbindungen bei Tc < 0.15 KKlaus Andres et al., 1965
5
• Erster Schicht–Supraleiter
Entdeckung von Pulsaren (rotierende Neutronensterne)Hewish und Bell, 1968; Gold, 1968
• Sehr hohe Dichte → Entartungstemperatur TF = 1012K
• Suprafluiditat im Neutronenstern bei Tc = 108K.
• Tieftemperaturphysik bei 100 Millionen K !!!
Entdeckung der Suprafluiditat von flussigem 3HeDave Lee, Doug Osheroff und Bob Richardson, 1971 (Nobelpreis 1996)
Fig. 4: Die Helium–Supraflussigkeiten
• 3He ist ein Spin–12–Fermion
• Erste terrestrische neutrale Fermi–Supraflussigkeit
• Mehrere superfluide Phasen (A, B, . . .)
• Elektrisch neutrale Cooperpaare im relativen p–Wellen Spin–Triplett–Zustand (kσ1,−kσ2)
• Nichtphononischer Mechanismus
• Erstmals von “unkonventioneller Supraleitung” die Rede
• Bogoliubov–Quasiteilchen (Bogolonen) als elementare Anregungen werden in Torsionspendel–Experimenten gesehen.
Fig. 5: Zur Scherviskositat der Bogoliubov–Quasiteilchen
Entdeckung von Supraleitung in Schweren–Fermionen–Verbindungen
CeCu2Si2, Tc = 0.6KFrank Steglich et al, 1979
UBe13, Tc = 0.9KHans–Rudiger Ott et al, 1983
UPt3, Tc = 0.5K TN = 5.0KGregory Stewart et al, 1984
6
URu2Si2, Tc = 1.5K, TN = 17.5KSchlabitz et al, 1985
CeRu2Si2, Tc = X.XKBrian Maple et al, 198X
• Intermetallische Verbindungen mitSeltenen– Erd– (Ce–) Ionen (4f–Momente)Actinid– (U–) Ionen (5f–Momente)
• Hohe Temperaturen: Lokale Momente + Leitungselektronen
• Tiefe Temperatiuren: Starke (Kondo–) Kopplung von f– und Leitungselektronen→ schwere oder auch langsame Elektronen an der Fermikante → “Schwere Fermionen”
• Spezifische Warme Cp = γT
System γ[mJ/MolK2] m∗/m
Cu 0.7
CeCu2Si2 1100 380UBe13 1040 260UPt3 420 180
URu2Si2 65 140
Tabelle 1: γ und m∗/m einiger Schwerer–Fermionen Systeme
• kein aktiviertes Tieftemperaturverhalten sondern Potenzgesetze in T
• Unkonventionelle Supraleitung
Synthese des ersten organischen Supraleiters (TMTSF)2PF6 mit Tc = 0.9 K (9kBar)K. Bechgaard, D. Jerome, A. Mazaud und M Ribault, 1980
Entdeckung der Supraleitung in Fulleriden (“Buckyballs”) K3C60 bei Tc = 18 KR. F. Curl, R. E. Smalley, 1985
• Fußballformige C60–Molekule mit Alkalimetall–Verbindungsbrucken auf einem regularenMetallgitter werden supraleitend
7
Entdeckung der Hoch–Tc– Supraleitung in Kupraten
La2−xSrxCuO4, Tc ≤ 37KBednorz und Muller, 1986 (Nobelpreis 1987)
Nd2−xCexCuO4, Tc ≤ 30KTokura et al, 1989
YBa2Cu3O7−δ, Tc ≤ 95KChu et al, 1986
Bi2Sr2Can−1CunO2n+4+δ, Tc ≤ 10, 85, 100K, n = 1, 2, 3Maeda et al, 1988
Tl2Ba2Can−1CunO2n+4+δ, Tc ≤ 20, 108, 125K, n = 1, 2, 3Hermann et al., 1988
Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33
Tc = 138K (Gegenwartiger Weltrekord!)
• Gemeinsamkeiten:
• Dotierungs–Phasendiagramm
Fig. 6: Dotierungs Phasendiagramme
• Cu–O–Ebenen
Fig. 7: Cu–O Ebenen
• Hohes Tc
• Niedrige Dimensionalitat (quasi–2D)
• Nichtaktiviertes Tieftemperaturverhalten fur C(T ), χs(T ), λL(T )
• Cooperpaare im relativen d–Wellen Spin–Singulett Paarzustand
Fig. 8: Zur d–Wellen–Kontroverse
Entdeckung von Supraleitung in Borokarbiden bei Tc = 7.2 KR. Cava et al., 1993
8
• “re–entrant” Supraleitung
• Elektrischer Widerstand von HoNi2B2C
Fig. 9: Zur Supraleitung in HoNi2B2C
Entdeckung von Supraleitung in Sr2RuO4 bei Tc = 0.93KMaeno et al., 1994
• Ruddlesden–Popper Serie Srn+1RunO3n+1
Fig. 10: Eigenschaften der Ruddlesdon–Popper–Systeme Srn+1RunO3n+1
• niedrige Dimensionaltat (quasi–2D)
• relativer p– oder f– Wellen Spin–Triplett–Paarzustand
• Erstes metallisches Analogon zu superfluidem 3He
Entdeckung der Suprafluiditat von flussigem 3He im Verunreinigungssystem SiO2–AerogelPorto und Parpia, 1994
Entdeckung der Hoch–Tc–Supraleitung in loch–dotierten Fulleriden bei Tc = 52 KJ. H. Schon, Ch. Koc und B. Batlogg, 2000.
Entdeckung der Supraleitung in MgB2 bei Tc = 38 KJ. Akimitsu et al., 2001
• Hoheres Tc als bei den “Zurich–Oxiden”
• Konventionelle s–Wellen–Supraleitung
Fig. 11: Einige Sprungtemperatur–Rekorde
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Supraleiter Tc[K] Jahr Entdecker Nobelpreis
Hg 4.20 1911 Kamerlingh Onnes 1913Nb 9.30 1930 Kamerlingh Onnes
Nb3Sn 18.10 1954 MatthiasNb3Ge 23.20 1973 Gavaler
3He–A 2.5 · 10−3 1971 Lee, Osheroff und Richardson 19963He–B < 2.0 · 10−3 1971
CeCu2Si2 0.60 1979 Steglich et al.UBe13 0.87 1983 Ott et al.UPt3 0.48 1984 Stewart et al.
K3C60 18 1985 Curl, Smalley, KrotoCs3C60 40 1985
La2−xSrxCuO4 < 37 1986 Bednorz und Muller 1987Nd2−xCexCuO4 < 30 1989 Tokura et alYBa2Cu3O7−δ < 95 1986 Chu et al.
Bi2Sr2Can−1CunO2n+4+δ 10, 85, 100 1988 Maeda et al.n = 1, 2, 3
Tl2Ba2Can−1CunO2n+4+δ 20, 108, 125 1988 Hermann et al.n = 1, 2, 3
Hg0.8Tl0.2Ba2Ca2Cu3O8.33 138 198X
HoNi2B2C 7.5 1993 Cava et al.LuNi2B2C 16.6 1993YNi2B2C 23 1993
Tabelle 2: Einige Sprungtemperaturrekorde
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1.2 Literaturempfehlungen
1.2.1 Einfuhrende Literatur
R. D. Parks (Ed.)Superconductivity, Volume 1Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
R. D. Parks (Ed.)Superconductivity, Volume 2Marcel Dekker, Inc., New York, 1969
D. R. Tilley and J. Tilley,Superfluidity and SuperconductivityAdam Hilger, Ltd., Bristol, Boston, 1986
M. R. J. Hoch und R. H. Lemmer (Eds.),Low Temperature PhysicsSpringer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991
W. Buckel,SupraleitungVCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1994
P. Muller, A. V. Ustinov (Eds.),V. V. Schmidt,The Physics of SuperconductorsSpringer, 1997
C. Enss und S. Hunklinger,TieftemperaturphysikSpringer–Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2000
1.2.2 Theorie der Supraleitung
J. R. Schrieffer,Theory of SuperconductivityW. A. Benjamin, Inc., Publishers, New York, Amsterdam, 1964
G. Rickayzen,Theory of SuperconductivityJohn Wiley & Sons, New York, London, Sidney, 1965
P. G. deGennes,Superconductivity of Metals and Alloys
11
Perseus Books, Reading Massachusetts, 1999
M. Tinkham,Introduction to SuperconductivityMcGraw Hill, Inc. New York, 1996
J. R. Waldram,Superconductivity of Metals and CupratesIOP Publishing Ltd., Bristol and Philadelphia, 1996
J. B. Ketterson und S. N. Song,SuperconductivityCambridge University Press, 1999
D. Einzel,Supraleitung und Suprafluiditat,Lexikon der Physik,Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2000,Seiten 228 – 235
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2. Vorlesung : Donnerstag, 24. April 2003, 11:00
3. Vorlesung : Donnerstag, 8. Mai 2003, 15:00
2 Phanomenologische Theorie
2.1 Zur Dynamik von Normalmetallen und Normalflussigkeiten
2.1.1 Die Maxwell–Gleichungen
Die Maxwell–Gleichungen der Elektrodynamik lauten (CGS–Einheiten):
∇×H(r, t) =4π
cje(r, t) +
1
c
∂D(r, t)
∂tAmpere
∇× E(r, t) = −1
c
∂B(r, t)
∂tFaraday
∇ ·B(r, t) = 0 Quellfreiheit von B
∇ ·D(r, t) = 4πne(r, t) Gauß
Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)):
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)
Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):
B(r, t) = H(r, t) + 4πM(r, t)
Wichtige physikalische Konsequenzen:
Quellfreiheit von B(r, t) →B(r, t) = ∇×A(r, t)
B kann aus Vektorpotential generiert werden.
Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des Vektorpotentials:
A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)
Faraday →
∇×[E(r, t) +
1
c
∂A(r, t)
∂t
]
︸ ︷︷ ︸−∇·φ(r,t)
= 0
E(r, t) = −∇φ(r, t)− 1
c
∂A(r, t)
∂t
13
E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.
Nota bene: Das skalare Potential ist unbestimmt bis auf die zeitliche Anderung einer beliebi-gen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des skalaren Potentials:
E′ = −∇φ′ − 1
c
∂(A +∇Λ)
∂t
= −∇(φ′ +
1
c
∂Λ
∂t
)
︸ ︷︷ ︸≡φ
≡ E
Konsequenz:
φ′(r, t) = φ(r, t)− 1
c
∂Λ(r, t)
∂tKonsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezuglich Eich-
transformationen (Eichinvarianz):
B′(r, t) = B(r, t)
E′(r, t) = E(r, t)
Kontinuitatsgleichung [longitudinale Projektion ∇·Ampere] (vgl. Ubungsblatt 1, Aufgabe1):
∂ne
∂t+∇ · je = 0
Abschirmung eines magnetischen Wechselfeldes [transversale Projektion ∇×Ampere] (vgl.Ubungsblatt 1, Aufgabe 1):(Trick: ∇× (∇×B) = −∇2B +∇(∇ ·B))
Resultat fur den Fall B(r, t) = B0(r) · exp(−iωt):(∇2 +
ω2
c2
)B(r, t) = −4π
c∇× je(r, t)
Rechte Gleichungsseite: Zusammenhang zwischen Stromdichte je Magnetfeld B benotigt.
Spezifikation des Zusammenhangs zwischen Stromdichte je und den elektromagnetischen Po-tentialen φ(r, t) und A(r, t).
Ziel: Diskussion der elektrischen Stromdichte je/Massenstromdichte jm sowohl fur
• normalleitende Metalle/Fermiflussigkeiten
• supraleitende Metalle/Supraflussigkeiten
auf phanomenologischer Ebene:
• Drude/Hagen-Poiseuille–Theorie (Normalmetall/-flussigkeit)
• Verallgemeinerung der London–Theorie (Supraleiter/Supraflussigkeiten).
14
2.1.2 Metallische Stromrelaxation im Drude–Modell
Relaxationsgleichung fur die Stromdichte von Metallelektronen im Drude–Modell (fur eineallgemeine Behandlung vgl. Anhang 6.4):
[∂
∂t+
1
τe1
+ O(∇2)
]je(r, t) = en
eE(r, t)
m︸ ︷︷ ︸Beschleunigung
Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):
1
τe1
=1
τ ee1
+1
τ ie1
1/τ ee1 beschreibt elastische Streuung der Ladungstrager an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.
1/τ ie1 beschreibt inelastische Streuung der Ladungstrager an Phononen, Spinfluktuationen, etc.
Nota bene: Zweiteilchenstoße fuhren nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).
Annahme: harmonische Zeitabhangigkeit des elektrischen Feldes:
E(r, t) = E0(r)e−iωt
Stromdichte im Langzeitlimes t À τe1 (Drude):
je(r, t)tÀτe1= σe(ω)E(r, t)
Drude–Leitfahigkeit
σe(ω) =ne2
m
11
τe1− iω
Elektrischer Gleichstromwiderstand:
Re =1
σe(ω = 0)=
m
ne2
1
τe1
Supraleitung:
Re = 0 ;1
τe1
≡ 0
→ Das scheinbare Verschwinden der Impulsrelaxation der Ladungstrager.
Spezialfall: transversales E–Feld [A(r, t) = A0(r) · exp(−iωt)]
je(r, t)tÀτe1= −ne2
mc
−iω
−iω + 1τe1
A(r, t)
=
σ(ω) E(r, t) ; ω → 0 Drude
−ne2
mcA(r, t) ; ω À τ−1
e1 stosslos
15
Nota bene: kein Stromresponse auf elektromagnetische Potentiale fur ∇ → 0, ω → 0
je(r, t) ∝ O(vFτe1 · ∇) · Φ(r, t) + O(τe1 · ω) ·A(r, t)
2.1.3 Die Magnetfeldabschirmung normaler Metallelektronen
Annahme: Drude–Relaxation der Stromdichte
Konsequenz (vgl. Ubungsblatt 1, Aufgabe 2 ):
(∇2 +
ω2
c2
)B(r, t) = −4π
c∇× je(r, t)
=4πne2
mc2
−iω1
τe1− iω
︸ ︷︷ ︸≡δ−2(ω)
B(r, t)
Abschirmungsgleichung fur B(r, t)
(∇2 +
ω2
c2
)B(r, t) =
B(r, t)
δ2(ω)
Elektromagnetische Abschirmlange (Skintiefe)
δ(ω) = λ0
√√√√ 1τe1− iω
−iω
=
λ0
1+i√2ωτe1
ω → 0 hydrodynamisch
λ0 ω À τ−1e1 stosslos, “London”
λ0 =
√mc2
4πne2=
c
ωp
Definition: Plasmafrequenz
ω2p =
4πne2
m
Verschiebungsstrom1
λ20
=ω2
p
c2À ω2
c2
Nota bene: Kein Beitrag vom Verschiebungsstrom fur ω ¿ ωp!
Fig. 12: Re δ(ω) als Funktion von ωτ
16
Magnetfeldabschirmung in einem normalmetallischen Halbraum, x > 0,B(r) = Hz(x)e3.
Abschirmungs–Gleichung∂2Bz(x)
∂x2=
Bz(x)
δ2(ω)
Physikalische Losung:
Bz(x) = Bz(0)e−x
δ(ω)
Fig. 13: Das Magnetfeldprofil Bz(x) vs. x
2.1.4 Stromrelaxation in neutralen (Quanten–) Flussigkeiten
Impulsrelaxation fur neutrale Fermionen (fur eine allgemeine Behandlung der Hydrodynamikvon Flussigkeiten vgl. Anhang 6.4):
Hydrodynamische Relaxationsgleichung[
∂
∂t+
1
τm1
− η
%
∂2
∂z2
]jmx(r, t) = nFx(r, t)
Kraftdichte: DruckgradientnF(r, t) = −∇P (r, t)
Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms:
1
τm1
≡ 0
Interpretation:
Keine Impulsrelaxation im Volumen von FermiflussigkeitenZweiteilchen–Stoßprozesse erhalten den Impulses gibt keine Phononen, Spinfluktuationen, Umklappprozesse, etc.Impulsrelaxation in Flussigkeiten an Wanden der Stromungskanale→ indirekt uber die Relaxation des Spannungstensors Scherviskositat einer normalen Fer-miflussigkeit:
η =1
5npFvFτm2
Fig. 14: Stromungsprofile geladener und neutraler Fermiflussigkeiten
17
Hagen–Poiseuille–Gesetz: Querschnittsmittelung < . . . > uber den Stromungskanal liefertim Spezialfall paralleler Platten im Abstand d:
< jm > = σmF
m
σm = m%d2
12η
Stromungswiderstand:
Rm =1
σm
=12
m%d2η
Suprafluiditat:Rm = 0
→ das scheinbare Verschwinden der Scherviskositat der Supraflussigkeit.
4. Vorlesung : Donnerstag, 15. Mai 2003, 15:00
2.2 Verallgemeinerte London–Theorie
Motivation: QM ist dissipationsfreie Theorie.Annahme, dass die Bewegung der “Supra–Elektronen” den Gesetzen der Quantenmechanikgehorcht.
2.2.1 Der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik
Ausgangspunkt: Elementarteilchen (auch zusammengesetzt denkbar) mit
Ladung Q (geladene Teilchen)
Ladung 0 (neutrale Teilchen)
Masse M
Bewegung in Gegenwart der elektromagnetischen Potentiale φ(r, t) und A(r, t) (geladeneTeilchen) oder des skalaren Potentials Ξ(r, t) (neutrale Teilchen).
Quantenmechanische Beschreibung durch Wellenfunktion
ψ(r, t) = a(r, t)︸ ︷︷ ︸Amplitude
eiϕ(r,t)︸ ︷︷ ︸Phase
Definition: Wirkungsfeld S(r, t):S(r, t) = hϕ(r, t)
Wahrscheinlichkeitsdichte
np(r, t) = ψ∗(r, t)ψ(r, t) = a2(r, t)
18
Ladungsdichte%Q(r, t) = Qnp(r, t)
Massendichte%M(r, t) = Mnp(r, t)
Quantenmechanische Dynamik des Teilchens: Schrodingergleichung
ih∂ψ(r, t)
∂t=
[−ih∇− Q
cA(r, t)
]2
2M+ Qφ(r, t) + Ξ(r, t)
ψ(r, t)
Gekoppelte Gleichungen fur Amplitude a(r, t) und Phase (Wirkung) S(r, t) (vgl. Ubungsblatt2, Aufgabe 1)
∂np
∂t+∇ · jp(r, t) = 0 (1)
∂S(r, t)
∂t+
1
2MV2 + Qφ(r, t) + Ξ(r, t)
=
h2∇2a(r, t)
2Ma(r, t)(2)
quasiklassisches Verhalten QM Verhalten
Interpretation von (1):
Kontinuitatsgleichung fur die Wahrscheinlichkeitsdichte np(r, t) fuhrt auf Wahrscheinlichkeitsstromdichtejp(r, t)
jp(r, t) =ih
2Mψ∇ψ∗ − ψ∗∇ψ − Q
M|ψ|2A
= np(r, t)V(r, t)
Quasiklassisches Geschwindigkeitsfeld:
V(r, t) =1
M
∇S(r, t)− Q
cA(r, t)
Wichtige Eigenschaft:
∇×V(r, t) = − Q
McB(r, t)
Interpretation von (2):
Quasiklassische Approximation: nur Terme in fuhrender Ordnung in h werden mitgenommen→ rechte Gleichungsseite = O(h2). →
Hamilton–Jakobi–Gleichung der klassischen Feldtheorie fur das Wirkungsfeld S(r, t) = hϕ(r, t)(Hamilton, 1834, Jakobi, 1837)
−∂S(r, t)
∂t= Qφ(r, t) + Ξ(r, t) +
1
2MV2(r, t)
︸ ︷︷ ︸Hamilton−Funktion
≡ H
19
Linearisierte Beschleunigungsgleichung fur V(r, t):
∂V(r, t)
∂t=
1
M
∇∂S(r, t)
∂t− Q
c
∂A(r, t)
∂t
=1
M
−Q∇φ(r, t)−∇Ξ(r, t)− Q
c
∂A(r, t)
∂t
=Q
ME(r, t)− 1
M∇Ξ(r, t)
Nichtlineares Resultat: Eulergleichung fur das quasiklassische Geschwindigkeitsfeld V (vgl.Ubungsblatt 2, Aufgabe 2):
∂V
∂t+ (V · ∇)V ≡ dV
dt=
Q
M
E +
1
cV ×B
− 1
M∇Ξ(r, t)
Interpretation: Die Dynamik eines quantenmechanischen Teilchens in den elektromagnetis-chen Potentialen φ(r, t) und A(r, t) wird im quasiklassischen Limes durch die Euler–Gleichungder Hydrodynamik beschrieben, in der die Lorentz–Kraft die treibende Kraft darstellt.
Ladungsstromdichte:
jQ(r, t) = Qnp(r, t)V(r, t)
=Qnp(r, t)
M
∇S(r, t)− Q
cA(r, t)
=Qnp(r, t)
M
h∇ϕ(r, t)− Q
cA(r, t)
Massenstromdichte:
jM(r, t) = Mnp(r, t)V(r, t)
= Mnp(r, t)∇S(r, t)
= np(r, t)hϕ(r, t)
2.2.2 Verallgemeinerte London–Theorie fur den Suprastrom
Ziel: moderne Version der Theorie von Fritz und Heinz London und Max von Laue aus denJahren 1935 – 1938. Anwendung auf
• paarkorrelierte Fermisysteme→ Supraleiter,→ superfluides 3He→ Neutronensterne
20
• superfluide Bose–Systeme→ superfluides 4He (He–II)→ atomares Gase (Rb, Cs, Na, etc.) check this!!!→ molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2)n]
London–Interpretation der Supraleitung:
Annahme: Eine makroskopische Anzahl geladener Teilchen (Ladung Q) oder neutraler Teilchen(Q = 0) der Masse M , das sogenannte Kondensat wird durch eine quantenmechanische Wellen-funktion ψ(r, t) beschrieben, bei der die Wahrscheinlichkeitsdichte np(r, t) durch die TeilchendichteN s(r, t) ersetzt wird:
np(r, t) → N s(r, t)
Begrundung:
Vergleich: Normalmetall, φ(r, t) ≡ 0:
je(r, t) = −ne2
mc
−iω
−iω + 1τe1
A(r, t)ωÀτ−1
e1= −ne2
mcA(r, t)
Elektron in der Quantenmechanik, φ(r, t) = 0:
JQ(r, t) = −npQ2
McA(r, t)
legt diese Ersetzung np → N s nahe. Man beachte, daß eine makroskopische Anzahl vonLadungstragern mit der Teilchenzahl N s durch ein und dieselbe quantenmechanische Wellen-funktion beschrieben werden. Quantenkoharenz auf makroskopischer Skala.
London–Gleichungen der Supraleitung und der Suprafluiditat:
Der Teilchen–Suprastrom:
Js(r, t) = N s(r, t)1
M
∇S(r, t)− Q
cA(r, t)
︸ ︷︷ ︸Vs(r,t)
Wichtige Eigenschaft:
∇×Vs(r, t) = − Q
McB(r, t)
Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion (→ Josephson–Relation):
−∂S(r, t)
∂t= QΦ(r, t) + Ξ(r, t)
Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit Vs:
∂Vs
∂t+ (Vs · ∇)Vs ≡ dVs
dt=
Q
M
E +
1
cVs ×B
− 1
M∇Ξ(r, t)
21
London–Gleichung fur den Ladungs–Suprastrom:
JsQ(r, t) = QJs(r, t) = QN sVs(r, t) =
N s(r, t)Q
M
∇S(r, t)− Q
cA(r, t)
London–Gleichung fur den Massen–Suprastrom:
JsM(r, t) = MJs(r, t) = N s(r, t)∇S(r, t)
Erste (linearisierte) London–Gleichung: (Longitudinaler Strom und Beschleunigung desKondensats)
∂JsQ(r, t)
∂t=
N s(r, t)Q2
ME(r, t)
Erste (linearisierte) London–Gleichung fur neutrale Systeme: (Longitudinaler Stromund Beschleunigung des Kondensats)
∂JsM(r, t)
∂t= −N s(r, t)∇Ξ(r, t)
Abschirmung durch das Kondensat
∇× JsQ(r, t) =
N s(r, t)Q
M∇×
∇S(r, t)− Q
cA(r, t)
Zweite London–Gleichung:
∇× JsQ(r, t) = −N s(r, t)Q2
McB(r, t)
Gegenuberstellung Drude ↔ London
Normalmetall (Drude) Supraleiter (London)
“longitudinal” je = −nem
−iω−iω+1/τ
ecA Js
Q = NsQM
(∇S − Q
cA
)
“transversal” ∇× je = −ne2
mc−iω
−iω+1/τB ∇× Js
Q = −NsQ2
McB
Tabelle 3: Gegenuberstellung Drude ↔ London
Konsequenz aus erster London–Gleichung: elektrische Dauerstrome
22
2.2.3 Magnetfeldabschirmung in der London–Theorie
Konsequenz aus zweiter London–Gleichung: Magnetfeldverdrangung im statischen Gren-zfall (ω → 0)
∇× [∇×B(r, t)] = −∇2B(r, t)
Ampere=
4π
c∇× Js
Q(r, t)
= −4πN s(r, t)Q2
Mc2B(r, t)
= −B(r, t)
λ2L
∇2B(r, t) =B(r, t)
λ2L
Londonsche Eindringtiefe:
λL =
√Mc2
4πN sQ2
Spezialfalle:
A. supraleitender Halbraum (x > 0)
B(r) = Bz(x) z =∂Ay
∂xz
∇ = x∂
∂x
Abschirmgleichung in dieser Geometrie
∂2Bz(x)
∂x2=
Bz(x)
λ2L
LosungBz(x) = Bz(0) e−x/λL
Stromdichte
JsQ
Ampere=
c
4π∇×B = − c
4π
∂Bz(x)
∂xy
=c
4π
Bz(x)
λL
y
Vektorpotential
A = −4π
cλ2
L JsQ = −λLBz(x)y
23
Fig. 15: Bz(x) und J sQy vs. x
5. Vorlesung: Donnerstag, 22. Mai 2003, 15:00
B. supraleitende Platte (−d/2 < x < d/2)
Fig. 16: Zum Feldeindringen in eine supraleitende Platte
Losung (vgl. Blatt 3, Aufgabe 1):
Bz(x) = Bz
(±d
2
)cosh(x/λL)
cosh(d/2λL)
C. supraleitender Zylinder (r < R)
B(r) = Bz(r) z
∇ = er∂
∂r
Losung:
Bz(r) = Bz(R)I0(r/λL)
I0(R/λL)
Hier ist I0(z) = J0(iz) die modifizierte Besselfunktion 0–ter Ordnung.Stromdichte
jse(r) = jse(r) eφ =
c
4π
Bz(r)
λL
eφ
2.2.4 Die Fluxoidquantisierung
Eigenschaft des London–Suprastroms:
JsQ =
N sQ
M
h∇ϕ− Q
cA
=N sQ2
Mc
−A +
c
Qh∇ϕ
=c
4π
1
λ2L
−A +
c
Qh∇ϕ
c
Qh∇ϕ = A +
4π
cλ2
LJsQ
24
Eindeutigkeit der quantenmechanischen Wellenfunktion ψ = aeϕ:∮
Γdr · ∇ϕ(r, t) = 2πn ; n = 0, 1, 2, . . .
Konsequenz:
Φ′ ≡∮
Γdr ·
A +
4π
cλ2
LJsQ
Stokes=
∫
SdS ·
∇×A +
4π
cλ2
L∇× JsQ
=∫
SdS ·
B +
4π
cλ2
L∇× JsQ
︸ ︷︷ ︸Fluxoid Φ′
=c
Qh2πn
= nhc
Q= nΦ0
Fluxoid–QuantisierungΦ′ = nΦ0
Fluß oder Fluxoid–Quant:
Φ0 =hc
Q
Spezialfalle:
A. einfach zusammenhangendes Gebiet
Fig. 17: Kontouren Γ1 und Γ2 fur einfach zusammenhangendes Gebiet
Entlang Γ1: B = 0, JsQ = 0 →
Φ = 0 ; Φ′ = 0
Entlang Γ2: B 6= 0, JsQ 6= 0 →
Φ ≈ 2πRλL ·B0 ; Φ′ = 0
→ Fluxoid verschwindet fur einfach zusammenhangendes Gebiet.
B. mehrfach zusammenhangendes Gebiet
Fig. 18: Kontour Γ fur mehrfach zusammenhangendes Gebiet
Φ′ = nΦ0
– Γ tief im SL–Gebiet: → JsQ = 0 → Flussquantisierung.
– Γ in Gebiet mit JsQ 6= 0 → Fluxoidquantisierung.
25
2.2.5 London–BCS–Theorie und Josephson–Effekt
Ausgangspunkt: Zwei Supraleiter 1 und 2 seien durch eine dunne isolierende (Oxyd–) Barrieremiteinander gekoppelt.
Fig. 19: Zum Josephson–Effekt
Die Wellenfunktion des Gesamtsystems, gebildet aus den Eigenzustanden |1〉 und |2〉 derSupraleiter auf der linken und rechten Seite lautet
|ψ〉 = ψ1|1〉+ ψ2|2〉Der Hamiltonoperator dieses gekoppelten Systems hat die Form
H = H1 + H2 + HT
Hµ =
[−ih∇− Q
cA(r, t)
]2
2M+ QUµ
|µ〉〈µ| ; µ = 1, 2
HT = T (|1〉〈2|+ |2〉〈1|)Gekoppelte Schrodingergleichungen:
ih∂ψµ(r, t)
∂t= Hµψµ(r, t) + Tψν(r, t)
Josephson–Kopplungsenergie T soll klein sein (→ weak link !).London–Wellenfunktionen zweier nicht identischer Supraleiter (a1 6= a2):
ψµ(r, t) = aµ(r, t)eiφµ(r,t) ; µ = 1, 2
a2µ(r, t) = N s
µ(r, t)
Behandlung der Teilsysteme |µ〉, fur µ = 1, 2 analog zur Ableitung der London–Gleichungenliefert aus dem Imaginarteil der Schrodingergleichung (vgl. Ubungsblatt 3, Aufgabe 2:)
∂N sµ
∂t+∇ · Js
µ =2T
h
√N s
µNsν sin(ϕν − ϕµ)
und aus dem Realteil im quasiklassischen Limes (h2 → 0), nach Linearisierung (Vs2µ → 0):
−h∂ϕµ
∂t= QUµ + T
√√√√N sν
N sµ
cos(ϕν − ϕµ)
Annahmen:1. identische Supraleiter (N s
1 = N s2 = N s)
2. Spannungsabfall uber dem Tunnelkontakt V = U1 − U2, d. h. U1,2 = ±V/2.Definition: Phasendifferenz
ϕ ≡ ϕ2 − ϕ1
26
Die aus dem Imaginarteil folgende Gleichung lautet:
∂N s1
∂t+∇ · Js
1 = IJ(ϕ) = −∂N s2
∂t−∇ · Js
2
Josephson–Tunnelrate:
IJ(ϕ) = Ic sin(ϕ)
Ic =2T
hN s
Die Große Ic heißt kritische Tunnelrate (kritische Stromdichte).Die aus dem Realteil folgenden Gleichungen lauten:
−hϕ1,2 = ±QV
2+ EJ(ϕ)
Josephson–Energie
EJ(ϕ) = T cos(ϕ)
Zusammenfassung: Aus der London–Theorie lassen sich zwei phanomenologische Josephson–Gleichungen fur die zeitabhangige Phasendifferenz und die Kondensat–Tunnelrate durch eine(isolierende) Barriere ableiten:
h∂ϕ
∂t= QV
∂N s1
∂t+∇ · Js
1 = Ic sin ϕ
2.3 Leistungsfahigkeit der London Theorie
2.3.1 Verdienste der London–Theorie
• Supraleitung als quantenmechanisches Phanomen (im quasiklassischen Limes!) auf makroskopis-cher Skala erkannt.
• Response des Kondensats auf außere elektromagnetische Potentiale verstanden:
– Dauerstrome
– Magnetfeldabschirmung
– Fluxoidquantisierung
– Josephson–Effekt
lassen sich im Rahmen der London– Theorie verstehen.
27
Aussagekraft der verallgemeinerten London–Theorie:
Q = ke ; k = 1, 2
M = km ; k = 1, 2
N s =ns
k
Die Hamilton–Jakobi– (Josephson–) Gleichung
−h∂ϕ
∂t= keφ + Ξ
Kondensat–Geschwindigkeitsfeld Vs:
Vs =1
m
(h
k∇ϕ− e
cA
)≡ vs
Kondensat–Teilchenstromdichte:
Js =1
kjs ; js = nsvs
Kondensat–Ladungsstromdichte:
JsQ = ke
1
kjs = ejs ≡ jse ; jse = ensvs
Kondensat–Massenstromdichte:
JsM = km
1
kjs = mjs ≡ gs ; gs = mnsvs = %svs
Kondensat–Beschleunigungsgleichung
∂vs
∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs
dt=
e
m
E +
1
cvs ×B
− 1
m∇Ξ
k
Erste (linearisierte) London–Gleichung fur geladene Systeme
∂jse∂t
=nse2
mE
Erste (linearisierte) London–Gleichung fur neutrale Systeme
∂gs
∂t= −ns∇Ξ
k
Zweite London–Gleichung
∇× jse = −nse2
mcB
London–Eindringtiefe:
λ2L =
mc2
4πnse2
Fluxoid–Quantum:
Φ0 =hc
ke
28
2.3.2 Die alte London–Theorie
Die ursprungliche Form des London–Theorie nahm irrtumlicherweise an, daß einzelne Elektro-nen das supraleitende Kondensat bilden. Daher hat man identifiziert
k = 1
Alle London–Gleichungen und das Resultat fur die London–Eindringtiefe konnen mit denobigen Ersetzungen korrekt angewendet werden. Das einzige falsche Resultat ergibt sich furdas Fluxoid–Qantum:
Φalt0 =
hc
e
2.3.3 Die London–BCS–Theorie fur Supraleiter
Experiment von Robert Doll und Martin Nabauer, Walther–Meißner–Institut, Herrsching, 1962:
Φexp0 =
hc
2e
→ Ladungstrager im Kondensat des Supraleiters sind Elektronen–Paare. Die Existenz vonElektronen–Paaren, die sogenannten Cooper–Paare wird auch in der mikroskopischen Theorieder Supraleitung von Bardeen, Cooper und Schrieffer, der sogenannten BCS–Theorie aus demJahre 1957 postuliert.
Korrekte Anwendung der London–Theorie (London–BCS–Theorie):
k = 2
Nota bene: im Folgenden werden wir eine “London–BCS” Notation verwenden, und dasFlußquant mit Φ0 = hc/2e (Φ0 = h/2e in SI–Einheiten) bezeichnen.
6. Vorlesung : Montag, 2. Juni 2003, 11:00
2.3.4 London–BCS–Theorie fur die Fermi–Supraflussigkeiten
Vorbemerkung:Bedeutung des skalaren Potentials Ξ(r, t) fur neutrale Supraflussigkeiten: chemisches Potentialder gesamten ruhenden Flussigkeit pro Teilchen:
Ξ(r, t) → µ(r, t)
Begrundung: Im allgemeinen sind Phase φ und Teilchenzahl N quantenmechanisch kon-jugierte Variable, die nicht simultan bestimmt werden konnen, d. h. es gibt eine Unbes-timmtheitsrelation der Form (S = hϕ)
δN · δS ∼ h
29
Im quasiklassischen Limes (→ N sehr groß ) sind Phase φ und Teilchenzahl N klassischekanonisch konjugierte Variable wie der Ort x und der Impuls p in der Mechanik.
Quasiklassische Hamilton–Gleichungen der Mechanik
x =∂H
∂p
p = −∂H
∂x
In vollig analoger Weise ergibt sich:
N =∂H
∂S
S = −∂H
∂N= −∂E
∂N= −µ ≡ Ξ
Das chemische Potential kann durch physikalische messbare Großen wie Druck und Temperaturuber die thermodynamische Gibbs–Duhem–Relation ausgedruckt werden:
µ(r, t) = µ0 + δµ(r, t)
δP (r, t) = nδµ(r, t) + σ0δT (r, t)
δµ(r, t) =1
nδP (r, t)− σ0δT (r, t)
Anwendung: neutrale Fermisysteme mit Paarkorrelationen:
• superfluides 3He
• Neutronensterne
Hier gilt:
k = 2
e = 0
M = 2m3
N s =ns
3
2Ξ = 2δµ3
JsM = gs
Superfluide Geschwindigkeit:
vs =h
2m3
∇ϕ
Der Massen–Suprastrom:
gs = m3ns3v
s = ρsvs = ns3
h
2∇ϕ
30
Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
− h
2
∂ϕ
∂t= δµ3 +
1
2m3v
s2
Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:
dvs
dt= − 1
m3
∇δµ3 = − 1
m3n∇δP − σ0δT
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))
∂gs
∂t= −ns
3∇δµ3 = −ns3
n∇δP − σ0δT
Zusatzbemerkung: Der Fall k = 1, e = 0, M = m4: superfluides 4He (vgl. Anhang 4.5)
2.3.5 Zur Eichinvarianz der London–BCS–Theorie
Verallgemeinerung fur realistische Supraleiter (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 2):
Ks =ns
m→ Ks
d. h. die Stromresponsefunktion Ks ist i. A. eine Tensorgroße
Die London–BCS–Gleichungen
∂jse(r, t)
∂t= e2Ks · E(r, t) longitudinaler Strom
∇× jse(r, t) = −e2
cKs ·B(r, t) transversaler Strom
sind eichinvariant, denn sie enthalten nur die eichinvarianten physikalischen Felder E(r, t) undH(r, t).
Die London–BCS–Gleichung fur den Ladungs–Suprastrom:
jse(r, t) = eKs ·
h
2∇ϕ(r, t)− e
cA(r, t)
ist nur dann invarint bezuglich der Eichtransformation
A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)
wenn man annimmt, daß der Phasenterm ∝ ∇ϕ(r, t) aus einer Eichtransformation hervorge-gangen ist. Dies fuhrt zur Identifikation
Λ(r, t) ≡ − hc
2eϕ(r, t) = −Φ0
2πϕ(r, t)
31
Konsequenz aus der Eichinvarianz: Suprastrom ist im stationaren Limes divergenzfrei, es giltLadungserhaltung:
∂%e(r, t)
∂t+∇ · jse(r, t) stationaer→ ∇ · jse(r, t) = 0
Fur die weiteren Rechnungen nehmen wir an, daß die raumliche Variation des Vektorpotentialsvon der Form ist
A(r, t) = A(t)eiq·r
Dies fuhrt zur Ersetzung∇ → iq
Dann lautet der London–BCS–Suprastrom
jse = −e2
cKs · A + iqΛ
Die Bedingung iq · jse = 0 legt Λ fest (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 2)
Λ =iq ·Ks ·Aq ·Ks · q
Resultat fur den eichinvarianten London–BCS–Strom:
jse = −e2
c
Ks − Ks · q : q ·Ks
q ·Ks · q
·A
= −e2
c
Ks − Ks · q : q ·Ks
q ·Ks · q
·A
q =∇|∇|
Spezialfall: Ks = Ks1 (vgl. Ubungsblatt 4, Aufgabe 1)
jse = −e2
cKs 1− q : q ·A
= −nse2
mcA− q(q ·A
= −nse2
mcq× (A× q)
2.3.6 Mangel der London Theorie
• Die Theorie ist lokal, eine Koharenzlange taucht nicht auf, d. h. sie beschreibt nurSupraleiter, in denen die Koharenzlange die kleinste relevante Lange darstellt (→ Typ–II–SL). Verbesserung durch die Arbeit von Ginzburg und Landau 1950.
• Dichte ns(T ) der Supraelektronen (sowie die Temperaturabhangigkeit derselben) ist nichtbekannt (phanomenologischer Ansatz!).
32
2.3.7 Zusammenfassung zur London– Elektro– und Hydrodynamik
Sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme konnen in einen Zustand makroskopis-cher Quantenkoharenz ubergehen, bei dem eine makroskopische Anzahl von Teilchen durch eineeinzige quantenmechanische Wellenfunktion beschrieben werden kann. Es ist bemerkenswert,daß dieser Zustand in fuhrender Ordnung in der Planckschen Konstanten h, d. h. im quasik-lassischen Limes der Quantenmechanik beschrieben werden kann, in dem nur eine zusatzlicheneue Variable auftaucht, namlich die Phase ϕ(r, t) der Kondensat–Wellenfunktion und das mitihr verknupfte Wirkungsfeld S(r, t) = hϕ(r, t). Zeitliche und raumliche Variation von S(r, t)beschreiben die Dynamik des Kondensats vollstandig.
Unterscheidung verschiedener Mechanismen zur Bildung dieses Zustands makroskopischer Quan-tenkoharenz:
Fermisysteme: BCS–Paarkondensation:
– konventionelle metallische Supraleitern (Singulett–s)– Schwere–Fermionen–Systeme (Singulett–d, Triplett–p, f (?))– lochdotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–d)– elektron–dotierte Kuprat–Supraleiter (Singulett–s, d + id (?))– Fullerene (Singulett–s)– Strontium–Rhutenat Sr2RuO4 (Triplett–p, f (?))– flussiges 3He (Triplett–p)– Atomkerne mit offenen Schalen fur N und P (Singulett–s)– Neutronensterne (Triplett–p, f (?))
Bose–Systeme: Bose–Einstein–Kondensation:
– flussiges 4He– atomare Gase (Na, Rb, Cs,...)– Exzitonen– molekularer (Para–) Wasserstoff [OCS–(pH2)n]
7. Vorlesung : Donnerstag, 5. Juni 2003, 15:00
33
3 BCS-Theorie paarkorrelierter Fermisysteme
3.1 Normale Fermisysteme im Gleichgewicht (d = 3)
Teilchenzahl N ≈ 1023
Teilchendichte n = NV
; V = LxLyLz
Wellenvektor k = 2π
nx
Lx, ny
Ly, nz
Lz
; nx = 0,±1,±2, . . .
Impuls (DeBroglie) p = hk
Energiedispersion εk = h2k2
2m= ξk + µ(T )
Fermienergie EF = µ(0) =h2k2
F
2m; kF = kF(n) =
(3π2n
m
) 13
chem. Potential µ(T ) = µ(0)1− 1
12
(πkBTµ(0)
)2+ . . .
Gruppengeschwindigkeit vk = 1h∇kεk
Zustandsdichte NF = dn(EF)dEF
= mkF
π2h2 = 32
nEF
Tabelle 4: Einige wichtige Parameter fur normale Fermisysteme
Besetzungszahldarstellung fur Fermionen (k–Raum)
Fermion im Quantenzustand k, σ
erzeugt durch c†kσ
vernichtet durch ckσ
(Anti–) Kommutatorrelationen (Pauli–Prinzip)
ckσ, ck′σ′+ = 0c†kσ, c
†k′σ′
+
= 0ckσ, c
†k′σ′
+
= δσσ′ δk,k′
34
Besetzungszahloperator fur den Quantenzustand k, σ
nkσ = c†kσ ckσ
Fermi–Dirac–Impulsverteilung
nk(T ) =< c†kσ ckσ >=
Θ(ξk) ; T = 0
1/[exp(ξk/kBT ) + 1] ; T 6= 0
Fig. 20: Zur Fermi–Dirac–Impulsverteilung
Energieableitung der Fermifunktion
ϕk = −∂nk
∂ξk
=1
4kBT
1
cosh2 (ξk/2kBT )
Fig. 21: Zur Energieableitung der Fermi–Dirac–Verteilung
Wichtige Eigenschaften (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 2)
1
V
∑
kσ
ϕk = NF
1
V
∑
kσ
ϕkvk : vk =n
m1
Feldoperatoren fur freie Fermionen (Pauli–Spinor)
Ψσ(r) =1√V
∑
kσ
ckσ eik·r
Ψ†σ(r) =
1√V
∑
k′σc†k′σ e−ik′·r
Kommutatorrelationen (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 2)
Ψσ(r), Ψσ′(r
′)
+= 0
Ψ†
σ(r), Ψ†σ′(r
′)
+= 0
Ψσ(r), Ψ†
σ′(r′)
+
= δσσ′ δ3(r− r′)
35
Teilchenzahldichte–Operator:
n(r) ≡ ∑σ
Ψ†σ(r)Ψσ(r)
=1
V
∑
k′kσ
c†k′σ ckσe−i(k′−k)·r
k′=k+q=
∑q
e−iq·r 1
V
∑
kσ
c†k+qσ ckσ
︸ ︷︷ ︸n(q)
=∑q
n(q)e−iq·r
Nota bene: Die Fourier–Transformierte n(q) der Teilchenzahldichte ist eine Superpositionvon sog. Teilchen–Loch–Anregungen nkσ(q)
nkσ(q) = c†k+qσ ckσ
Gesamt–Teilchenzahloperator:
N =∫
d3rn(r)
=∑q
n(q)∫
d3re−iq·r
︸ ︷︷ ︸V δq,0
= n(q = 0)
=∑
kσ
nkσ
Hamiltonoperator fur freie Fermionen:
H0 − µN =∑σ
∫d3rψ†σ(r)
(− h2∇2
2m− µ
)ψ†σ(r) =
∑
kσ
ξkc†kσ ckσ
Gesamtenergie freier Fermionen:
E(T ) =< H >=∑
k,σ
εknk
Entropiedichte
σ0(T ) = −kB1
V
∑
kσ
nk ln nk + (1− nk) ln(1− nk)
3.2 Normale Fermisysteme in außeren Potentialen
Hamiltonoperator in zweiter Quantisierung:
Hφ,A, B =∑σ
∫d3rψ†σ(r)
(−ih∇− e
cA
)2
2m+ eφ− γh
2σB
ψσ(r)
= H0 + δHφ,A, B
36
Berechnung der Variation nach φ, A und B:
δHφ,A, B =∑σ
∫d3r
ne(r)δφ(r)︸ ︷︷ ︸skalar
− 1
cje(r) · δA(r)
︸ ︷︷ ︸Ampere
− M(r)δB(r)︸ ︷︷ ︸Zeeman
Operator der Ladungsdichte:
ne(r) = en(r) =∑q
e−iq·rne(q)
ne(q) =1
V
∑
kσ
enkσ(q)
Operator der Ladungsstromdichte:
je(r) = e∑σ
ψ†σ(r)−ih∇
mψσ(r)− n(r)e2
mcA(r) =
∑q
e−iq·rje(q)
je(q) =1
V
∑
kσ
evknkσ(q)
︸ ︷︷ ︸paramagnetischer Anteil
− ne2
mcA(q)
︸ ︷︷ ︸diamagnetischer Anteil
Operator der Spinmagnetisierung:
M(r) =∑σ
ψ†σ(r)γh
2σψσ(r) =
∑q
e−iq·rM(q)
M(q) =1
V
∑
kσ
γh
2σnkσ(q)
Allgemeine Klassifizierung außerer Storpotentiale
Ukσ = eφ− vk · e
cA− γh
2σ︸︷︷︸
=±1
B
Storungs–Hamiltonoperator (→ Ubungsblatt 5, Aufgabe 1)
HU =∑σ
∫d3rΨ†
σ(r)Uσ(r)Ψσ(r) =∑
kqσ
Ukσ(q)nkσ(q)
Nota bene: Storungen koppeln an Teilchen–Loch–Anregungen, nkσ(q)
Fig. 22: Diagrammatische Darstellung außerer Storungen
37
Lokale Beschreibung (∇ → iq → 0)
H0 − µN + HU =∑
kσ
c†kσ (ξk + Ukσ) ckσ
Lokales Gleichgewicht
ξk → ξk + Ukσ
T → T + δT
nkσ(q) → < nkσ(q) >
q→0= nkσ ≡ n0
(ξk + Ukσ − ξk
TδT
)
= n0(ξk)−ϕk
(Ukσ − ξk
TδT
)
︸ ︷︷ ︸δnkσ
Lineare Antwort im lokalen Gleichgewicht:
• Ladungsdichte
δne = e∑
kσ
δnkσ
= e∑
kσ
ϕk (−eφ)
= e2NF︸ ︷︷ ︸“Ladungssuszeptibilitaet′′
(−φ)
• Stromdichte
je =∑
kσ
evkδnkσ − ne2
mcA
= e
≡ nm︷ ︸︸ ︷∑
kσ
ϕkvk : vk
(e
cA
)
︸ ︷︷ ︸“para′′
− ne2
mcA
︸ ︷︷ ︸“dia′′
= 0
• Magnetisierungsdichte
M =∑
kσ
γh
2σδnkσ
=
(γh
2
)2 ∑
kσ
ϕk
︸ ︷︷ ︸≡NF
B
=
(γh
2
)2
NF
︸ ︷︷ ︸Pauli Spinsuszeptibilitaet
B
38
• Entropiedichte
Tδσ = −kBT
V
∑
kσ
δnkσ lnnk
1− nk
=1
V
∑
kσ
ξkδnkσ
=1
V
∑
kσ
ξkδnkσ
δTδT
=
π2
3NFk2
BT︷ ︸︸ ︷1
V
∑
kσ
ϕkξ2k
T︸ ︷︷ ︸
spezifischeWaerme
δT
8. Vorlesung : Donnerstag, 12. Juni 2003, 15:00
3.3 Das Cooper–Problem
Ziel: Formation von Cooper–Paaren in entarteten wechselwirkenden Fermisystemen verstehen.
Ursache des Cooper–Phanomens: anziehenden Wechselwirkung Γ(r1, r2) der Fermi– (Quasi–)Teilchen in der Nahe der Fermiflache.
Ausgangspunkt: Fermionen–Paar wird einem gefullten Fermisee hinzugefugt. Quantenmech-anische Wellenfunktion fur das Fermionen–Paar:
Φσ1σ2(r1, r2) = −Φσ2σ1(r2, r1)
Trennung von Schwerpunkts– und Relativbewegung, Spin– und Bahnfreiheitsgraden:
Φσ1σ2(r1, r2) = eis· r1+r22 χsms
σ1σ2(r1 − r2)
s = p/h, p: Schwerpunktsimpuls des Paares
χ(r1 − r2) beschreibt Relativbewegung des Paares
χsmsσ1σ2
beschreibt die Spinabhangigkeit der Bahnwellenfunktion
χsmsσ1σ2
=
(χsms↑↑ χsms
↑↓χsms↓↑ χsms
↓↓
)
σ1σ2
∝(
12
12
| sσ1 σ2 | ms
)=
δs,1δms,1
1√2δms,0
(−1)s+1√2
δms,0 δs,1δms,−1
σ1σ2
Kopplung der Spins: Gesamtspin s, Projektion ms
s =
0 ms = 0 Singulett–Paarung
1 ms = −1, 0, 1 Triplett–Paarung
39
Singulett–Paarung
χsmsσ1σ2
s=0∝
0︸︷︷︸ms=1
1√2(| ↑↓> −| ↓↑>)
︸ ︷︷ ︸ms=0
− 1√2(| ↑↓> −| ↓↑>)
︸ ︷︷ ︸ms=0
0︸︷︷︸ms=−1
sms
σ1σ2
= −χsmsσ2σ1
Triplett–Paarung
χsmsσ1σ2
s=1∝
| ↑↑>︸ ︷︷ ︸ms=1
1√2(| ↑↓> +| ↓↑>)
︸ ︷︷ ︸ms=0
1√2(| ↑↓> +| ↓↑>)
︸ ︷︷ ︸ms=0
| ↓↓>︸ ︷︷ ︸ms=−1
sms
σ1σ2
= +χsmsσ2σ1
Pauli–Prinzip:
χsm2σ1σ2
= −χsmsσ2σ1
→ χ(r1 − r2) = χ(r2 − r1) gerade Paritaet, (S−, D−, . . . Welle)
χsmsσ1σ2
= χsmsσ2σ1
→ χ(r1 − r2) = −χ(r2 − r1) ungerade Paritaet, (P−, F − . . . Welle)
Daher: moglichst allgemeine Behandlung des Cooper–Problems angestrebt.
Zur Bedeutung von Φσ1σ2(r1, r2): Φσ1σ2(r1, r2) in zweiter Quantisierung
Φσ1σ2
II.Quant.→ ∑
k
χk b†σ1σ2(k, s)
b†σ1σ2(k, s) = c†k+ s
2σ1
c†−k+ s2σ2
= −c†−k+ s2σ2
c†k+ s2σ1
= −b†σ2σ1(−k, s)
Hier ist s = p/h. Das (Cooper–) Paar ist eine Uberlagerung von paarweise besetzten Zustandenk + s/2, σ1;−k + s/2, σ2 mit der (i. a. komplexen) Amlitude χk.
Einschrankungen:
• s–Wellen–Singulett–Paarung
• verschwindender Schwerpunktsimpuls s = 0
Schrodinger–Gleichung fur das Fermionen–Paar im Ortsraum (Zweikorper–Problem)− h2∇2
1
2m− h2∇2
2
2m− 2µ
χ(r1 − r2) + Γ(r1, r2) χ(r1 − r2) = E χ(r1 − r2)
Bedeutung von E: Paarenergie
40
E > 0 Kontinuum von StreuzustandenE < 0 Bindungsenergie des gebundenen Paarzustands
Gegenwart des Fermisees: “Blocking–Effekt” →
Beschreibung im Impuls– oder k–Raum
χ(r1 − r2) =1
V
∑
k
χk eik·(r1−r2)
Bedeutung von k: beschreibt Relativ–Bewegung (Bahndrehimpuls) des Paares.
Fourier–Transformation der Wechselwirkung
Γ(r) =∑
k
Γk eik·r
Schrodinger–Gleichung im k–Raum
(E − 2ξk)χk =∑
|k′|>kF
Γk−k′ χk′
Fig. 23: Zum Cooper–Problem
Modell–Wechselwirkung
Γk−k′ =
Γ0 |ξk|, |ξk′| < εc
0 sonst
εc: Abschneide–Energie
Einsetzen von Γkk′ in die Integralgleichung (vgl. Ubungsblatt 6).
Die Integralgleichung hat Losungen fur E < 0 (d. h. fur einen gebundenen Cooper–Paar–Zustand) wenn die Wechselwirkung Γkk′ in einer Schale um die Fermienergie µ anziehend ist,d. h. Γ0 < 0.
Paar–Bindungsenergie EB fur Γ0 = −|Γ0| (λ0 ≡ N(0)|Γ0|):
EB = − 2εc
e2/λ0 − 1
=
−2εce−2/λ0 λ0 ¿ 1 ; schwache Kopplung
−εcλ0 λ0 À 1 ; starke Kopplung
Kommentare:
41
• Cooper–Instabilitat schon fur infinitesimal kleine attraktive Wechselwirkungs–ParameterΓ0 = −|Γ0|.
• Bindungsenergie
EB = −2εce− 2
N(0)|Γ0|
kann nicht durch Storungstheorie fur kleine Γ0 abgeleitet werden.
• Bedeutung der charakteristischen (Abschneide–) Frequenz ωc:
a) Konventionelle metallische Supraleiter:Debye–Frequenz εc = hωD
b) superfluides 3He:charakteristische Frequenz ferromagnetischer (Para–) Magnonen (εc = hωFPM).
c) Schwere–Fermionen–Systeme, Kuprate:charakteristische Frequenz antiferromagnetischer (Para–) Magnonen (εc = hωAFPM).
SYSTEM PAARUNGSTYP
Konventionelle Metallelektronen Singulett–SSchwere–Fermionen– (Kondo–Gitter–) Systeme Singulett–D, Triplett–P, –F (?)
Kuprate (Loch–dotierte Antiferromagneten) Singulett–DKuprate (Elektron–dotierte Antiferromagneten) Singulett–S (?)
Fullerene (X3C60) Singulett–SFlussiges 3He Triplett–P
Ruddlesden–Popper–System (Sr2RuO4) Triplett–P,–F (?)Atomkerne mit offenen Schalen fur N oder P Singulett–S
Neutronensterne Triplett–P, –F (?)
Tabelle 5: Zur Universalitat des Phanomens der (Cooper–) Paarkorrelationen
3.4 Verallgemeinertes BCS–Modell
Zentrale Annahmen der (verallgemeinerten) BCS–Theorie:
42
• In der Nahe der Fermiflache gibt es eine (beliebig kleine) Wechselwirkung
Γ(s)kp =
Γ(s)0 h(s)(k · p) |ξk|, |ξp| < εc
0 sonst
die fur Paare mit Gesamtspin s = 0 (Singulett) oder s = 1 (Triplett) anziehend ist
Γ(s)0 < 0.
• spontane Paarformation im k–Raum, beschrieben durch einen im thermodynamischenGleichgewicht endlichen statistischen Mittelwert, die Paaramplitude
gkσ1σ2 ≡< c−kσ1 ckσ2 >6= 0 ; T ≤ Tc
Hier isthk = h(k1 − k2)
der Relativ–Impuls des Paares.
Pauli–Prinzip: totale Antisymmetrie von gkσ1σ2 beim Vertauschen der Spins σ1, σ2 und derImpulse k1, k2
g−kσ2σ1 = −gkσ1σ2
Spinabhangigkeit der Paaramplitude: Kombinationsmoglichkeiten, zwei Spins vom Betrag h/2und den Projektionen σ1, σ2 zum Gesamtpin s und der Gesamtprojektion ms.
Clebsch–Gordon–Koeffizient fur diese Kopplung:
(12
12
| sσ1 σ2 | ms
)=
δs,1δms,1
1√2δms,0
(−1)s+1√2
δms,0 δs,1δms,−1
σ1σ2
Zwei Falle moglich fur Fermionen:
s = 0 (Singulett–Paarung)
s = 1 (Triplett–Paarung)
Spin–Singulett–Paarung:
gkσ1σ2 =
(0 gk
−gk 0
)
σ1σ2
= gk(iτ2)σ1σ2
wobei gk = 12[gk↓↑ − gk↑↓].
43
Hier ist τ 2 eine der Pauli–Spinmatrizen, die zusammen mit der Einheitsmatrix τ 0 ein vollstandigesBasissystem von 2× 2–Matrizen bilden:
τ 0, ~τ =
(1 00 1
),
(0 11 0
),
(0 −ii 0
),
(1 00 −1
)
Pauliprinzip: gk muß fur Singulett–Paarung gerade Paritat bezuglich k haben,
g−k = gk .
Klassifizierung der k–Abhangikeit von gk durch orbitale Quantenzahl l:
s–Wellen–Paarung (l = 0), d–Wellen–Paarung (l = 2), u.s.w..
Spin–Triplett–Paarung:
gkσ1σ2 =
(gk↑↑ 1
2[gk↓↑ + gk↑↓]
12[gk↓↑ + gk↑↓] gk↓↓
)
σ1σ2
= gk · (τiτ 2)σ1σ2
Die Triplett–Komponenten
gkx =1
2(gk↓↓ − gk↑↑)
gky =1
2i(gk↑↑ + gk↓↓)
gkz =1
2(gk↓↑ + gk↑↓)
des Paaramplituden–Vektors gk, sind den magnetischen Quantenzahlen ms = −1, 0, 1 zuge-ordnet und haben wegen des Pauli–Prinzips ungerade Paritat bezuglich k,
g−k = −gk .
Triplett–Paarung: orbitale Quantenzahl l ist ungerade (engl.: odd parity pairing):
p–Wellen–Paarung (l = 1), f– Wellen–Paarung (l = 3), u.s.w..
Spontan gebrochene Symmetrie, verknupft mit dem supraleitendem Phasenubergang: namlichdie bezuglich der lokalen Eichtransformation
ckσ → ckσei ϕ2
bei der sich die Paaramplitude wie
gkσ1σ2 → gkσ1σ2eiϕ
transformiert spontan gebrochene Eichsymmetrie).
44
Cooperpaarformation: gk, gk 6= 0 fuhrt zu einer neuen Energieskala, dem mittlern sog. Moleku-
larpotential, vermittelt durch eine in der Nahe der Fermikante anziehende Wechselwirkung Γ(s)kp
∆k =∑p
Γ(0)kp gp ; dk =
∑p
Γ(1)kp gp
Die skalaren und vektoriellen Paaramplituden gk, gk, oder aquivalent dazu, die Paarpotentiale∆k und dk werden auch als Ordnungsparameter der supraleitenden oder superfluiden Phase despaarkorrelierten Fermisystems bezeichnet.
Gesamtheit der Cooperpaare → Kondensat bildet neuartigen kollektiven Zustand makroskopis-cher Quantenkoharenz, der bereits in der London–Theorie antizipiert worden ist.
Konsequenzen der Paarungshypothese der verallgemeinerten BCS–Theorie:
korrekte Beschreibung von supraleitenden und superfluiden Fermisystemen
• thermodynamische Eigenschaften
• elektromagnetischer Response + Fluxoidquantum (London–BCS–Theorie)
• superfluide Hydrodynamik
• Spindynamik
Charakterisierung einiger der in der Natur vorkommenden paarkorrelierten Fermisysteme durchdie Form ihrer Paarpotentiale.
Zerlegung:∆k = ∆0(T )f(k) ; dk = ∆0(T )f(k)
→ temperaturabhangiger Maximalwert ∆0(T )→ k–abhangiger orbitaler Anteil
→ Moglichkeit einer Anisotropie auf der Fermiflache.
Klassifizierung der Symmetrie des Paarpotentials in unterschiedlichen Fermisystemen:Vergleich mit der Symmetrie des Paarpotentials mit der der Fermiflache bzw. der Bandstruktur.
Konventionelle Paarung Symmetrien sind gleich (oder: nur die Eichsymmetrie ist spontangebrochen)
Fig. 24: Zur konventionellen Paarung
Unkonventionelle Paarung: Symmetrie des Paarpotentials ist geringer als die der Fer-miflache (oder: neben der Eichsymmetrie gibt es zusatzliche spontan gebrochene Symmetrien).
45
Fig. 25: Zur unkonventionellen Paarung
Weiteres (eleganteres) Kriterium fur unkonventionelle Paarung:
〈∆p〉FS ≡ 0
Konsequenz der Unkonventionaliat der Paarung:
Ordnungsparameter kann Nulldurchgange oder Noden aufweisen, d.h. er kann auf der Fer-miflache Punkt–(P) oder Linien–(L) formige Nullstellen haben.
Fig. 26: Einige Supraleiter und Supraflussigkeiten
Zusammenstellung einiger in der gegenwartigen Diskussion involvierten Modell–Paarzustaandefur die in der vorangegangenen Liste gezeigten Systeme:
Fig. 27: Einige Modell–Paarzustande
9. Vorlesung: Donnerstag, 26. Juni 2003, 15:00
Zur kontroversen Diskussion von dx2−y2–Paarung in Kupraten in den fruhen 90–er Jahren desvergangenen Jahrhunderts gibt das folgende Bild Aufschluß:
Fig. 28: Zur Diskussion unkonventioneller Supraleitung
3.4.1 BCS–Hamiltonoperator
Vorbemerkung: Die folgenden Ausfuhrungen beschranken sich der Ubersichtlichkeit halberauf den Fall der Spin–Singulett–Paarung.
Ausgangspunkt: Spontane (Cooper–) Paarformation:
gk ≡< bk >=< c−k↓ck↑ >Gleichgewicht
6= 0 ; T ≤ T SLc
Selbstkonsistenz–Gleichung:∆k =
∑p
Γkpgp
46
BCS–Hamiltonoperator:
HBCS − µN =∑
k
ξk
∑σ
c†kσ ckσ
︸ ︷︷ ︸∗
+∆kc†k↑c
†−k↓ + ∆∗
kc−k↓ck↑
Berechnung von “*”:∗ = c†k↑ck↑ − c−k↓c
†−k↓ + 1
Aufgliederung in Teilchen und Locher
HBCS − µN =∑
k
ξkc†k↑ck↑︸ ︷︷ ︸
Teilchen
+ (−ξ−k)c−k↓c†−k↓︸ ︷︷ ︸
Loecher
+ ∆kc†k↑c
†−k↓ + ∆∗
kc−k↓ck↑︸ ︷︷ ︸Mischung
Umschreibung (Nambu, 1962)
HBCS − µN =∑
k
(c†k↑ c−k↓
)
︸ ︷︷ ︸C†
k
·(
ξk ∆k
∆∗k −ξ−k
)
︸ ︷︷ ︸ξk
·(
ck↑c†−k↓
)
︸ ︷︷ ︸Ck
=∑
k
C†k · ξk
· Ck
Definition: Spinor–Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren im Teichen–Loch–Raum
Ck =
(ck↑c†−k↓
)
C†k =
(c†k↑ c−k↓
)
Energiematrix im Teilchen– Loch– oder Nambu– Raum
ξk
=
(ξk ∆k
∆∗k −ξ−k
)
3.4.2 Schritte zur Supraleitung
• (Schwach) anziehende Paar–Wechselwirkung: Γ(s) < 0
• Spontane Paarformation: gk 6= 0 → Paarpotential (Energielucke) ∆k 6= 0
• Energie ξk → Matrix
ξk
=
(ξk ∆k
∆∗k −ξ−k
)
im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.
47
• Impulsverteilungsfunktion nk → Matrix
n0k =
(< c†k↑ck↑ > < c−k↓ck↑ >
< c†k↑c†−k↓ > < c−k↓c
†−k↓ >
)=
(nk gk
g∗k 1− n0−k
)
im Teilchen–Loch– oder Nambu– Raum.
• Langreichweitige Ordnung, Ordnungsparameter gk bzw. ∆k
→ “nebendiagonale langreichweitige Ordnung” (engl.: “off–diagonal long range order”)
• Spontan gebrochene Symmetrie: U(1)–Invarianz bzw. Invarianz unter Eichtransformation
ck → ckei ϕ2
gk → gkeiϕ
∆k → ∆keiϕ
3.4.3 Diagonalisierung durch Bogoliubov–Methode
Diagonalisierung der Energiematrix durch die sog. Bogoliubov–Valatin–Transformation
Ck = Bk · αk
αk =
(αk↑α†−k↓
)
und die Matrix Bk lautet
Bk =
(uk vk
−v∗k u∗k
)
Neue Erzeugungs–und Vernichtungsoperatoren beschreiben fermionische Anregungen(→ Ubungsblatt 7, Aufgabe 1):
u2k + v2
k = 1 .
Man erhalt
B†k ξ
kBk =
(Ek Dk
D†k −Ek
)
Die Bedingung Dk ≡ 0 legt die Amplituden uk und vk fest:
u2k =
1
2
(1 +
ξk
Ek
)
v2k = 1− u2
k
wobeiEk =
√ξk + ∆2
k .
48
Physikalische Bedeutung von Ek: Form des transformierten Hamiltonoperators
HMF = UBCS(0) +∑
kσ
Ekα†kσαkσ
Erster Term: Gesamtenergie des BCS–Grundzustands.
Zweiter Term: Beitrag der thermischen Anregungen, der sog. Bogoliubov–Quasiteilchen beiendlichen Temperaturen.
Ek ist somit das Energiespektrum der Bogoliubov–Quasiteilchen.Verhalten von Ek in der Nahe von kF:
Ek|k|→kF
= ∆ +h2(|k| − kF)2
2MB
; MB = m∆
2EF
Rolle des Paarpotentials ∆k: (im allgemeinen) anisotrope Energielucke im Spektrum der ther-mischen Anregungen.
Nota bene: Analogie zwischen Bogoliubov–Quasiteilchen in paarkorrelierten Fermisystemenund Rotonen im superfluiden 4He!
Fig. 29: Bogoliubov–Quasiteilchen und Bogoliubov–Amplituden
Physikalische Bedeutung von Ek im Normalzustand:
Ek∆→0= |ξk|⟨
α†k↑αk↑ + α†−k↓α−k↓⟩
= u2k
⟨c†k↑ck↑ + c†−k↓c−k↓
⟩+ v2
k
⟨ck↑c
†k↑ + c−k↓c
†−k↓
⟩
= 2
u2k︸︷︷︸
Θ(ξk)
n0(ξk) + v2k︸︷︷︸
Θ(−ξk)
[1− n0(ξk)
]
︸ ︷︷ ︸n0(−ξk)
= 2n0(|ξk|)Nota bene: ν0(Ek) geht fur ∆ → 0 nicht in n0(ξk) sondern in n0(|ξk|) uber.
3.4.4 Eigenschaften thermischer Anregungen
Bogoliubov–Quasiteilchen: Impulsverteilungsfunktion
νk = ν(Ek) =< α†kσαkσ >=1
exp(Ek/kBT ) + 1
49
Fig. 30: Zur Fermi–Verteilung thermischer Anregungen
10. Vorlesung : Donnerstag, 3. Juli 2003, 15:00
Ableitung von νk nach Ek,
ϕk = −∂ν(Ek)
∂Ek
=1
4kBT cosh2(Ek/2kBT )
Fig. 31: Zur Ableitung ϕk der Fermiverteilung
Fig. 32 Energielucken–Noden und nodale Quasiteilchen
Diagonale Verteilungsfunktion nk im globalen thermodynamischen Gleichgewicht nach derBogoliubov–Valatin–Transformation:
nk = u2kνk + v2
k(1− νk) = v2k + (u2
k − v2k)νk
Fig. 33: Die BCS–Impulsverteilungsfunktion nk
Nota bene: Es ist bemerkenswert, daß die Ableitung von nk,
Φk ≡ −∂nk
∂ξk
=ξ2k
E2k
ϕk +∆2
k
2E3k
tanhEk
2kBT
bei allen Temperaturen T ≤ Tc der Summenregel∫ ∞
−∞dξkΦk = 1
genugt.
Fig. 34: Zur Ableitung Φk der Fermiverteilung
50
(Teilchenzahl–) Dichte der Bogoliubov–Quasiteilchen im thermischen Gleichgewicht:
νB(T ) =∑
kσ
νk
T→Tc= 3 ln 2 nkBT
µ
[1−O
(∆
kBT
)]
T→0= NFkBT lim
T→0Y (T )
Y (T ) =1
NF
∑
kσ
ϕk
Entropiedichte der Bogoliubov–Quasiteilchen (vgl. Ubungsblatt 5, Aufgabe 3):
σB(T ) = −kB1
V
∑
kσ
νk ln νk + (1− νk) ln(1− νk) =1
V
∑pσ
ξ2p
Tϕp
3.4.5 Mechanismen der Paarformation
Die Ursachen und Mechanismen fur die Paaranziehung Γ(s)kp < 0 sind unterschiedlich. Bei
konventionellen Supraleitern vermitteln meistens die Quanten der Gitterschwingungen, diePhononen, eine Paaranziehung zwischen den Elektronen. In einigen Klassen unkonventionellerSupraleiter (Schwere–Fermionen–, Hoch–Tc–Supraleiter, sowie in der superfluiden Fermifussigkeit3He), glaubt man heute, daß antiferromagnetische bzw. ferromagnetische sog. Spinfluktuatio-nen oder Paramagnonen die Paaranziehung verursachen.Hier sind noch einige erganzende Ausfuhrungen anzufugen!
3.4.6 Losung der Gapgleichung im Limes schwacher Kopplung
Gleichgewichts–Paaramplitude nach der Bogoliubov–Valatin–Transformation:
gk = ukvk (1− 2νk) = − ∆k
2Ek
tanhEk
2kBT
Gapgleichung bei T > 0:
∆k =∑p
Γkpgp = −∑p
Γkp∆p
2Ep
tanhEp
2kBT
Annahme 1: Paarwechselwirkung ist sehr klein
|NFΓ(s)kp| ¿ 1
(Limes schwacher Kopplung)Annahme 2: Paarwechselwirkung ist in einer Energieschale der Dicke εc ¿ EF um die Fer-mienergie attraktiv:
Γ(s)kp = −Γ(s)Θ(εc − |ξk|)Θ(εc − |ξp|)
fkfp
< f 2 >FS
δs,0 +fk · fp
< f2 >FS
δs,1
51
Losung der Energieluckengleichung bei T > 0 liefert (explizite Rechnung fur s–Wellen–Supraleiterfindet man im Anhang 5.8 fur unkonventionelle Supraleiter im Anhang 5.9):
1. die Sprungtemperatur
T (s)c =
2eγ
πεc exp
(− 1
NFΓ(s)
)
2. die beiden im Limes schwacher Kopplung universellen sog. BCS–Muhlschlegel–Parameter:
a) den Sprung in der spezifischen Warme bei Tc
∆C
CN
=C(T−
c )− CN(T+c )
CN(T+c )
=3
2
8
7ζ(3)
< f 2p >2
FS
< f 4p >FS
b) die Energielucke bei T = 0
∆0(0)
kBTc
= π/ exp
γ +
< ∆2p ln ∆p
∆0>FS
< ∆2p >FS
.
Hier ist γ = 0.577 . . . die Eulersche Konstante, ζ(3) = 1.202 . . . die Riemannsche ζ–Funktion,< . . . >FS=
∫(dΩ/4π) . . . bedeutet eine Mittelung uber die Fermiflache und
CN(T ) = NFπ2k2
BT
3= γT
ist die Warmekapazitat des normalen Fermisystems mit γ der Sommerfeld–Konstante.
isotrop axial E1g E2u dx2−y2
127ζ(3)
107ζ(3)
65ζ(3)
286245ζ(3)
87ζ(3)
∆CCN
1.426 1.188 0.998 0.971 0.951
πeγ
πe5/6
2eγπe47/30
4eγ
√3πe177/70
18eγ2π
eγ+12
∆0(0)kBTc
1.764 2.029 2.112 2.128 2.140
Tabelle 6: Einige BCS–Muhlschlegel–Parameter fur paarkorrelierte Fermisysteme.
52
Zusammenfassung: Energielucke bei T → Tc und T → 0 (vgl. Anhange 4.9 und 1.10):
∆0(T ) =
πkBTc
√8
7ζ(3)
〈f2p〉FS
〈f4p〉FS
(1− T
Tc
); T → Tc
∆0(0) ; T → 0
Temperatur–Interpolation der maximalen Energielucke fur Temperaturen 0 ≤ T ≤ Tc:
∆0(T ) = ∆0(0) tanh
πkBTc
∆0(0)
√√√√2
3
∆C
CN
1
< f 2p >FS
(Tc
T− 1
)
Fig. 35: Zur Temperaturabhangigkeit der Energielucke
3.4.7 Die Zustandsdichte paarkorrelierter Fermisysteme
Ausgangspunkt: Impulssummationen (vgl. Anhang 6.2):
1
V
∑
kσ
f(k) =∫ dΩk
4π
∫ ∞
−µdξk D(µ + ξk) f(k)
Verallgemeinerung auf paarkorrelierte Fermisysteme:
1
V
∑
kσ
f(k) =∫
dEk D[µ + ξk]∫ dΩk
4π
dξk
dEk︸ ︷︷ ︸Ekξk
f(k)
=∫
dEk D(µ)∫ dΩk
4πRe
Ek√E2
k −∆k∆†k︸ ︷︷ ︸
Ns(Ek)
f(k)
f(k)=f(Ek)=
∫dEkNs(Ek) f(Ek)
Zustanddichte im Supraleiter:
Ns(Ek) = D(µ)∫ dΩk
4πRe
Ek√E2
k −∆k∆†k
Zustandsdichte fur den Fall spharischer Fermiflachen (d=3):
Ns(Ek)
D(µ)=
1
2Re
∫ π
0dθ sin θ
∫ 2π
0
dϕ
2π
Ek√E2
k −∆20f
2(θ, ϕ)
x=cos θ=
Ek
∆0
1
2Re
∫ 1
−1dx
∫ 2π
0
dϕ
2π
1√(Ek
∆0
)2 − f 2(x, ϕ)
z=Ek/∆0=
1
2Re
∫ 1
−1dx
∫ 2π
0
dϕ
2π
z√z2 − f 2(x, ϕ)
53
Zustandsdichte fur den Fall zylindrischer Fermiflachen (d=2, vgl. Anhang 6.3):
Ns(Ek)
NF2
= Re∫ 2π
0
dϕ
2π
Ek√E2
k −∆20f
2(ϕ)
Spezialfalle:
1. Die Zustandsdichte isotroper Supraleiter: ∆k∆†k ≡ ∆2, f(x, ϕ) ≡ 1:
Ns(Ek) = D(µ) ReEk√
E2k −∆2
2. Energielucken mit Punktnoden (Axialer Zustand, f 2(x, ϕ) ≡ 1− x2):
Ns(Ek) = D(µ) ReEk
2∆0
ln(
Ek + ∆0
Ek −∆0
)
3. Energielucken mit Liniennoden (polarer Zustand, f(x, ϕ) ≡ x):
Ns(Ek) = D(µ) ReEk
∆0
arcsin(
∆0
Ek
)
4. Anisotrope Energielucke mit unterer Schranke (f(x, ϕ) = ∆min + (∆max −∆min) · |x|):
Ns(Ek) = D(µ) ReEk
∆max −∆min
[arcsin
∆max
Ek
− arcsin∆min
Ek
]
∆min→∆max=∆= D(µ) Re
Ek√E2
k −∆2
∆min→0= D(µ) Re
Ek
∆max
arcsin(
∆max
Ek
)
Fig. 36: Zustandsdichten fur verschiedene Supraleiter
3.5 BCS–Supraleiter in außeren Potentialen
Storpotentiale:
Ukσ = eφ− vk · e
cA− γh
2σ︸︷︷︸
=±1
B
Nambu–Darstellung:
Teilchen: e,k, σLocher: −e,−k,−σ
54
11. Vorlesung : Freitag, 4. Juli 2003, 8:30→ Storpotentiale im Nambu–Raum
Uk =
Uk↑︸︷︷︸Teilchen
−U−k↓︸ ︷︷ ︸Loecher
= U
(+)k
(1−1
)+ U
(−)k
(1
1
)
U(+)k =
1
2[Uk↑ + U−k↓] = eφ
U(−)k =
1
2[Uk↑ − U−k↓] = −vk
e
cA− γh
2B
BCS-Hamiltonoperator mit Storpotentialen
HBCS − µN + HU =∑
k
C†k ·
(ξk
+ Uk
)· Ck
=∑
k
C†k ·
(ξk + U
(+)k
)
︸ ︷︷ ︸≡Ξk
(1−1
)+ U
(−)k
(1
1
) · Ck
Zu diagonalisieren
ξk
+ Uk =
(Ξk ∆k
∆∗k −Ξk
)
︸ ︷︷ ︸1
+ U(−)k
(1
1
)
︸ ︷︷ ︸2
Term 1 wird diagonalisiert durch
Bk =
(u(Ξk) v(Ξk)−v∗(Ξk) u(Ξk)
)
Term 2 ist bereits diagonal.
B†k
(ξk
+ Uk
)Bk =
(E(Ξk) + U
(−)k
−E(Ξk) + U(−)k
)=
(Ek+
−Ek−
)
Verschobene Quasiteilchenenergien
Ek± =√
Ξ2k + ∆2
k ± U(−)k
Resultat der Diagonalisierung
HBCS − µN + HU = UBCS(0) +∑
k
α†k ·(
Ek+
−Ek−
)· αk
= UBCS(0) +∑
k
(Ek+α†k↑αk↑ + Ek−α†−k↓α−k↓
)
55
Verschobene BQT–Fermifunktionen⟨α†k↑αk↑
⟩= ν0(Ek+)
⟨α†−k↓α−k↓
⟩= ν0(Ek−)
Diagonale Impulsverteilungsfunktion
nk(Uk) = v2(Ξk) + u2(Ξk)ν0(Ek+)− v2(Ξk)ν
0(Ek−)
= v2(Ξk) +[u2(Ξk)− v2(Ξk)
]ν0(E(Ξk))︸ ︷︷ ︸
≡nk(Ξk)
+ [u2(Ξk) + v2(Ξk)]︸ ︷︷ ︸≡1
+∂ν0
k
∂Ek
U(−)k
= nk +∂nk
∂ξk
U(+)k +
∂ν0k
∂Ek
U(−)k
Ξk = ξk + U(+)k
BCS–Supraleiter im lokalen Gleichgewicht:
δnkσ = nk(Ukσ)− nk =∂nk
∂ξk
eφ− ∂ν0k
∂Ek
(vk · e
cA +
γh
2σB
)
3.6 Lokaler Response paarkorrelierter Fermisysteme
Vorbemerkung: Das Vorgehen in diesem Abschnitt ist identisch mit dem im Fall normalerFermisysteme (vgl. Abschnitt 3.2). Der Unterschied zwischen paarkorrelierten und normalenSystemen tritt bei der Transformation der Teilchen–Loch–Anregungen auf Quasiteilchenoper-atoren auf.
3.6.1 Warmekapazitat
Entropieanderung
TδσB = −kBT
V
∑pσ
δνpσ lnνp
1− νp︸ ︷︷ ︸≡− Ep
kBT
=1
V
∑pσ
Epδνpσ
=1
V
∑pσ
Epδνpσ
δT︸ ︷︷ ︸
CB(T )
δT
= CB(T )δT
56
Berechnung von δνpσ:
δνpσ = ν
Ep + ∂Ep
∂TδT
kB(T + δT )
− νp
= ν
Ep −
[Ep
T− ∂Ep
∂T
]δT
kBT
− νp
= ϕp
(Ep
T− ∂Ep
∂T
)δT
= ϕp
(Ep
T− 1
2Ep
∂∆2p
∂T
)δT
Warmekapazitat der Bogoliubov–Quasiteilchen:
CB(T ) =1
V
∑pσ
ϕp
(E2
p
T− 1
2
∂∆2p
∂T
)
Fig. 37: Zur spezifischen Warme der thermischen Anregungen
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 38: Spezifische Warme in Aluminium
Fig. 39: Spezifische Warme in Vanadium und YBCO
Fig. 40: Spezifische Warme in UBe13
Fig. 41: Spezifische Warme in YBCO und Sr2RuO4
3.6.2 Spinsuszeptibilitat
Spin–Magnetisierung:
M =1
V
∑pσ
γh
2σδnpσ
=
(γh
2
)21
V
∑pσ
ϕp B
= χB(T )B
57
Spinsuszeptibilitat der Bogoliubov–Quasiteilchen:
χB(T ) =
(γh
2
)21
V
∑pσ
ϕp =
(γh
2
)2
NFY (T )
Quasiteilchen–Yosida–Funktion
Y (T ) =1
NF
∑pσ
ϕp =∫ ∞
−∞dξp
∫ dΩp
4πϕp
Das Tieftemperaturverhalten der lokalen Responsefunktionen fur isotrope Energielucken ∆k =∆ ist thermisch aktiviert,
limT→0
Y (T ) = Y0(T ) =(
2π∆
kBT
) 12
exp(− ∆
kBT
)
und damit qualitativ unterschiedlich von dem fur Energielucken mit Nodenstruktur. Im let-zteren Fall existieren thermische Anregungen bei tiefen Temperaturen kBT ≤ ∆0 besonders inder Umgebung der Noden, was zu den Potenzgesetzen fur die Responsefunktionen fuhrt.
Fig. 42: Zur Quasiteilchen–Yosida–Funktion
Fig. 43: Zur Quasiteilchen–Spinsuszeptibilitat
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 44: Zur Spinsuszeptibilitat von Aluminium
Fig. 45: Zur Spinsuszeptibilitat von GdBa2Cu3O7
Fig. 46: Zur Spinsuszeptibilitat von 3He–B
Fig. 47: Experimentelle Resultate zur Spinsuszeptibilitat
12. Vorlesung : Donnerstag, 10. Juli 2003, 15:00
58
3.6.3 Dichteresponse
Ladungsdichteanderung
δne = e∑pσ
δnpσ
= e∑pσ
Φp(−eφ)
= χee(−φ)
Ladungssuszeptibilitatχee = e2NF
Kommentar: Resultat ist identisch mit dem fur das normale Fermisystem.
3.6.4 London–BCS–Suprastrom
Elektronische (Ladungs–) Stromdichte (vgl. Abschnitt 3.2):
jse = e∑pσ
vpδnpσ − ne2
mcA
= e∑pσ
ϕpvp : vpe
cA− e
∑pσ
Φpvp : vpe
cA
= −e2
cKs ·A
Suprastromresponse–TensorKs =
∑pσ
[Φp − ϕp]vp : vp
Spezialfall: isotrope Supraleiter
Ks(T ) =ns(T )
m1
ns(T ) = n[1− Y (T )]
Nota bene: Der Ausdruck fur den BCS–Suprastrom jse ist nicht eichinvariant!
3.6.5 Die London–BCS–Magnetfeldeindringtiefe
Annahmen:(i) uniaxiale Anisotropie (Achse n) der Fermiflache (n = a, b, c, mit a, b, c den Kristallachsen)oder(ii) uniaxiale Anisotropie (Achse n) der Energielucke (n = ˆ).
Man hat dannKs
ij = Ks‖ ninj + Ks
⊥ [δij − ninj] .
59
Der London–BCS–Strom, in die Maxwell–Gleichung
∇×B =4π
cjse
eingesetzt, beschreibt die Magnetfeldabschirmung des Supraleiters, charakterisiert durch diebeiden London–BCS–Eindringtiefen
λ2L‖,⊥ =
c2
4πe2Ks‖,⊥
Fur isotrope Fermisysteme ist
Ks‖ = Ks
⊥ =ns
m
mit der superfluiden Dichtens = n[1− Y (T )] .
Fig. 48: Zur London–Eindringtiefe einiger Supraleiter
Zur experimentellen Situation wird die folgende Auswahl von Daten diskutiert:
Fig. 49: Zur London–Eindringtiefe von Quecksilber
Fig. 50: Zur London–Eindringtiefe von Blei
Fig. 51: Experimentelle Resultate zur London–Eindringtiefe
Fig. 52: Zur London–Eindringtiefe von YBCO
Fig. 53: Zur London–Eindringtiefe von YBCO mit Impurities
Fig. 54: Zur London–Eindringtiefe von Sr2RuO4
60
In Tabelle 7 sind analytische Resultate fur das Tieftemperaturverhalten der drei oben abgeleit-eten Responsefunktionen fur einige supraleitende und superfluide Systeme zusammengestellt.
Große isotrop axial E1g E2u dx2−y2
CB(T )CN(T )
3Y (T )(
∆0
πkBT
)27π2
5
(kBT∆0
)2 27ζ(3)4π
(kBT∆0
)1 27ζ(3)
2π√
3
(kBT∆0
)1 27ζ(3)π2
(kBT∆0
)1
χB(T )χN
Y0(T ) π2
3
(kBT∆0
)2π2
ln 2(
kBT∆0
)1π√3ln 2
(kBT∆0
)12 ln 2
(kBT∆0
)1
δλL‖(T )
λL(0)12Y0(T ) π2
2
(kBT∆0
)2π2
8
(kBT∆0
)2 π ln(2)
2√
3
(kBT∆0
)1–
δλL⊥(T )λL(0)
12Y0(T ) 7π4
30
(kBT∆0
)4 3π ln(2)8
(kBT∆0
)1 π ln(2)
2√
3
(kBT∆0
)1ln 2
(kBT∆0
)1
Tabelle 7: Tieftemperaturverhalten einiger paarkorrelierter Fermisysteme
3.7 Eichinvarianz und Zusammenhang zwischen BCS– und London–Theorie
Problem mit den BCS–Resultaten fur δne und jse:
1. Wegen der lokalen und stationaren Beschreibung im Limes q → 0 und ω → 0 fehlen dieGradienten und Zeitableitungen der Phasenvariable ϕ, welche die gebrochene Eichsymmetriebeim supraleitenden Phasenubergang beschreibt.
2. Der London–Suprastrom verschwindet im Fall ungeladener Fermionen, welches eine Anwen-dung auf ungeladene Fermisysteme nicht zulaßt.
Daher
Eichtransformation im Dichteresponse:
δn = NF (−eφ + δµ)
δµ =e
c
∂Λ
∂t= − h
2
∂ϕ
∂t
Eichtransformation im Stromresponse:
jse = eKs ·(ps − e
cA
)
ps = −e
c∇Λ =
h
2∇ϕ
61
Beschleunigung des Kondensats:
∂ps
∂t= −e
c∇∂Λ
∂t= −∇δµ
Ziel: Ausdrucken von δµ durch physikalische Observable:
δµ = eφ +δn
NF
= eφ +δP
n
Nota bene: Hier ist die Relation zwischen Druck und Dichteanderung
δP = c2 δ%︸︷︷︸mδn
= nδn
NF
mit c2 = v2F/3 dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit verwendet worden.
Physikalische Interpretation: vgl. Abschnitt uber London–BCS Theorie, Josephson–Gleichung.
Beschleunigungsgleichung fur ps:
∂ps
∂t= −∇
(eφ +
δn
NF
)= −∇
(eφ +
δP
n
)
Beschleunigung des Suprastroms:
∂jse∂t
= eKs ·(
∂ps
∂t− e
c
∂A
∂t
)
= eKs ·(eE−∇δP
n
)
= eKs ·(eE−∇ δn
NF
)
Physikalische Interpretation:
A. Geladene Systeme: longitudinale London–Gleichung
∂jse∂t
= e2Ks · EIsotrope Fermisysteme (Ks → ns/m)
∂jse∂t
=nse2
mE
B. Neutrale Systeme: Massenstrom jsm = (m/e)jse:
∂gs
∂t= −mKs∇δP
n= −mKs∇ δn
NF
Isotrope Fermisysteme (Ks → ns/m)
∂gs
∂t= −ns
n∇δP = −ns∇ δn
NF
62
4 Anhange
4.1 Gegenuberstellung der Einheitensysteme CGS ↔ SI
GROSSE CGS SI
Lichtgeschwindigkeit c2 1µ0ε0
Elektrisches Feld E = −∇Φ− 1c
∂A∂t
E = −∇Φ− ∂A∂t
Magnetfeld H H
Elektrische Verschiebung D = E + 4πP D = ε0E + P
Magnetische Induktion B = H + 4πM B = µ0H + M
Ampere–Gesetz ∇×H = 4πc
(je + 1
4π∂D∂t
)∇×B = µ0
(je + ∂D
∂t
)
Faraday–Gesetz ∇× E = −1c
∂B∂t
∇× E = −∂B∂t
Coulomb–Gesetz ∇ ·D = 4πne ∇ ·D = ne
Plasmafrequenz ω2p = 4πne2
mω2
p = ne2
ε0m
Coulomb–WW V (r) = e2
|r| V (r) = e2
4πε0|r|
Coulomb–WW V (q) = 4πe2
q2 V (q) = e2
ε0q2
London-Eindringtiefe λ2L = mc2
4πnse2 = c2
ω2p
λ2L = m
µ0nse2 = 1µ0ε0ω2
p
Fluxoid–Quant φ0 = hcQ
φ0 = hQ
Tabelle A1: CGS vs. SI–Einheiten
63
4.2 Fermisysteme in d Raumdimensionen
Ausgangspunkt: d–dimensionaler Hyperkubus der Lange L und des Volumens Ld
Erlaubte Quantenzustande, charakterisiert durch diskrete Wellenzahlen (periodische Randbe-dingungen):
ki =(
2π
L
)ni ; i = 1, 2, . . . d
Auswertung von Impulssummen Sf:Sf ≡ ∑
σ
∑
k
f(k)
=∑σ
∑n1,n2,...nd
f(
2π
Ln
)
=∑σ
∫ddnf
(2π
Ln
)
=∑σ
(L
2π
)d ∫ddkf(k)
=∑σ
(L
2π
)d ∫ ∞
0dkkd−1
︸ ︷︷ ︸magnitude
∫dd−1Ωk
︸ ︷︷ ︸angle
f(k)
=∑σ
(L
2π
)d
Sd
∫ ∞
0dkkd−1
∫ dd−1Ωk
Sd
f(k)
Oberflache Sd der d–dimensionalen Einheitskugel:
Sd =∫
dd−1Ω =2π
d2
Γ(
d2
)
Volumen Vd der d–dimensionalen Einheitskugel:
Vd =Sd
d=
2πd2
d Γ(
d2
)
Spezialfalle:
d Sd Vd
1 2 2
2 2π π
3 4π 43π
4 2π2 π2
2
64
Tabelle A2: Sd und Vd verschiedenen Raumdimensionen
Fig. A1: Die Abhangigkeit von Sd und Vd von d
Annahme: Spektrum freier Fermionen:
εk =h2k2
2m= ξk + µ
Umwandlung von Impulssummen in Integrale uber Energieen εk, ξk:
Sf = Ld∫ ∞
0dεk Sd
∑σ
m(2mεk)d2−1
(2πh)d
︸ ︷︷ ︸Nd(εk)
∫ dd−1Ωk
Sd
f(k)
= Ld∫ ∞
−µdξk Sd
∑σ
m[2m(µ + ξk)]d2−1
(2πh)d
︸ ︷︷ ︸Nd(µ+ξk)
∫ dd−1Ωk
Sd
f(k)
Definition: Zustandsdichte (DOS) in d Dimensionen (2 Spinprojektionen)
Nd(µ + ξk) = 2Sdm[2m(µ + ξk)]
d2−1
(2πh)d
Spezialfall: DOS an der Fermienergie:
NFd ≡ Nd(µ) = 2Sdm[2m(µ)]
d2−1
(2πh)d
Umschreibung der Impulssummen (s = S/Ld)
sf ≡ SfLd
=∫ ∞
−µdξkNd(µ + ξk)
∫ dd−1Ω
Sd
f(k)
Beispiele fur Nd(µ + ξk)
d Nd(µ + ξk)
1 2mπh
1√2m(µ+ξk)
2 mπh2
3m√
2m(µ+ξk)
π2h3
Tabelle A3: Nd(µ + ξk) in verschiedenen Raumdimensionen
65
Einige wichtige Beziehungen:
Teilchenzahldichte in d Dimensionen:
nd =N
Ld
Fermi–Wellenzahl kFd in d Dimensionen:
nd =1
Ld
∑
kσ
Θ(k − kFd) = 2
(kFd
2π
)d
Vd →
kFd =
1
2
(2π)d
Vd
nd
1d
Fermigeschwindigkeit vFd in d Dimensionen:
vFd =hkFd
m
Fermienergie EFd in d Dimensionen:
EFd =h2k2
Fd
2m
Eigenschaften:
NFdv2Fd = d
nd
m
NFdEFd =d
2nd
4.3 Elektromagnetischer Response in Normalmetallen
Ziel: Vollstandige phanomenologische Behandlung der elektromagnetischen Antwort eines elek-tronischen Systems in einem Normalmetall, bei der sowohl die Coulomb–Abstoßung der Elek-tronen in einer Mittleren–Feld– (Hartree–) Naherung, als auch Stoßprozesse der Elektronenberucksichtigt werden. Resultate dieser Rechnungen sind die elektronische Ladungsdichte–Antwortfunktion (Lindhard–Mermin–Tensor) in Gegenwart von Stoßprozessen und die dy-namische elektronische Leitfahigkeit sowie deren allgemeiner Zusammenhang.
Motivation: Diese Rechnungen sind motiviert durch die Tatsache, daß diese Resultate, zumin-dest aufgrund meines Kenntnisstands, in keinem Lehrbuch uber Festkorper– oder Metallphysikzu finden sind.
Ausgangspunkt: Maxwell–Gleichungen
∇×H(r, t) =4π
cje(r, t) +
1
c
∂D(r, t)
∂tAmpere
66
∇× E(r, t) = −1
c
∂B(r, t)
∂tFaraday
∇ ·B(r, t) = 0 Quellfreiheit von B
∇ ·D(r, t) = 4πne(r, t) Coulomb
Elektronische Ladungsdichte:
ne(r, t) = %ext + ne + δne(r, t)
Nota bene: In einem Metall gilt Ladungsneutralitat, d. h. die elektronische Ladungsdichte neim Gleichgewicht wird durch die positive Ladung der Gitterionen–Rumpfe kompensiert. Daherspielt fur die Elektrodynamik von Metallen nur die Ladungs–Dichtefluktuation δne(r, t) eineRolle. %ext bezeichnet die Ladungsdichte, welche die Quelle der außeren elektrischen Feldstarkedarstellt.
Elektrische Verschiebung (Polarisation P(r, t)): D und E
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t)
Magnetische Induktion (Magnetisierung M(r, t)):
B(r, t) = B(r, t) + 4πM(r, t)
Quellfreiheit von B(r, t) →B(r, t) = ∇×A(r, t)
Nota bene: A(r, t) ist unbestimmt bis auf Gradienten einer beliebigen Phase Λ(r, t).
Eichtransformation des Vektorpotentials:
A′(r, t) = A(r, t) +∇Λ(r, t)
Bedeutung der elektrischen Feldstarke E(r, r): von außen an die Metallprobe angelegtes elek-trisches Feld, welches als quellfrei angenommen wird.Faraday →
∇×[E(r, t) +
1
c
∂A(r, t)
∂t
]
︸ ︷︷ ︸−∇·φ(r,t)
= 0
E(r, t) = −∇φ(r, t)− 1
c
∂A(r, t)
∂t
E(r, t) kann durch ein skalares Potential und das Vektorpotential dargestellt werden.
Nota bene: Das skalare Potential is unbestimmt bis auf die zeitliche Anderung einer beliebi-gen Phase Λ(r, t).
67
Eichtransformation des skalaren Potentials:
φ′(r, t) = φ(r, t)− 1
c
∂Λ(r, t)
∂t
Konsequenz: Invarianz der elektromagnetischen Felder B(r, t) und E(r, t) bezglich Eich-transformationen (Eichinvarianz):
B′(r, t) = B(r, t)
E′(r, t) = E(r, t)
Bedeutung der elektrischen Polarisierbarkeit P(r, r): die durch die Anwesenheit von elektron-ischen Ladungsdichtefluktuationen hervorgerufene Polarisation des Mediums:
δne(r, t) = ∇ ·P(r, t)
Bedeutung der magnetischen Feldstarke H(r, t): von außen an die Metallprobe angelegtesMagnetfeld.
Phanomenologischer elektronischer Suszeptibilitatstensor:
P(r, t) =↔χee ·E(r, t)
Phanomenologischer magnetischer Suszeptibilitatstensor:
M(r, t) =↔χmm ·H(r, t)
Dielektrizitatstensor:
D(r, t) = E(r, t) + 4πP(r, t) ≡↔ε ·E(r, t)↔ε = 1 + 4π
↔χee
Zeitableitung des Coulomb–Gesetzes:
∂ne(r, t)
∂t=
∂δne(r, t)
∂t
=1
4π∇ · ∂D(r, t)
∂t
=c
4π∇ ·
∇×H(r, t)− 4π
cje(r, t)
= −∇ · je(r, t)Kontinuitatsgleichung fur die Ladungsdichte:
∂δne(r, t)
∂t+∇ · je(r, t) = 0
Problem: Berechnung der elektronischen Stromdichte je(r, t). Dies ist Gegenstand der Trans-porttheorie, welche sich technischer Hilfsmittel wie Greensfunktionen und Kubo– Formeln oder
68
der Landau– Boltzmann– Transportgleichung bedient. Bei letzterer Methode kommt es ins-besondere auf die (naherungsweise) Behandlung des Stoßintegrals und dessen Kompatibilitatmit den Erhaltungseigenschaften des Fermisystems an. Wir wollen annehmen, daß die elektro-nische Stromdichte einer Relaxationsgleichung der Form
∂je(r, t)
∂t+∇ ·Π(r, t) = en
eD(r, t)
m− je(r, t)
τe1
genugt.Hier bedeutet 1/τe1 die Relaxations– (Transport–) Rate des Stroms (Matthiessen–Regel):
1
τe1
=1
τ ee1
+1
τ ie1
1/τ ee1 beschreibt elastische Streuung der Ladungstrager an Gitterfehlstellen, Versetzungen, etc.
1/τ ie1 beschreibt inelastische Streuung der Ladungstrager an Phononen, Spinfluktuationen, etc.
Nota bene: Zweiteilchenstoße fuhren nicht zur Stromrelaxation (Ausnahme: Umklappprozesse).
Weiterhin reprasentiert Π(r, t) die elektronische Impulsstromdichte (Spannungstensor), welchesich in der folgenden Weise in einen reaktiven diagonalen (Druck δP (r, t)) und einen dissipativenspurfreien (Π′(r, t)) Anteil aufspalten laßt:
Π(r, t) =e
mδP (r, t)1 + Π′(r, t)
Die Druckanderung δP (r, t) laßt sich uber die hydrodynamische Schallgeschwindigkeit cs
c2s =
v2F
3=
n
mNF
durch die Dichteanderung ausdrucken:
e
mδP (r, t) = c2
sδne(r, t) =n
m
δne(r, t)
NF
Hier bedeuten vF die Fermigeschwindigkeit und NF die elektronische Zustandsdichte an derFermikante fur beide Spinprojektionen.
Nach Einsetzen in die Relaxationsgleichung hat man:(
∂
∂t+
1
τe1
)je(r, t) +∇ ·Π′(r, t) =
n
me2D(r, t)− e∇δP (r, t)
=ne2
m
(D(r, t)−∇δne(r, t)
NFe2
)
69
Im Folgenden werden wir den dissipativen Anteil zum Spannungstensorfeld, welcher mit derelektronischen Scherviskositat verknupft ist, vernachlassigen und uns der Losung der resul-tierenden Differentialgleichung widmen. Wir fuhren eine effektive elektrische Feldstarke einuber:
D′(r, t) ≡ D(r, t)−∇δne(r, t)
NFe2
Dann lautet unsere Relaxationsgleichung:[
∂
∂t+
1
τe1
]je(r, t) =
ne2
mD′(r, t)
Annahme: harmonische Zeitabhangigkeit der effektiven elektrischen Feldstarke:
D′(r, t) = D′0(r)e
−iωt
je(r, t) = e−t/τe1
je(r, 0)−
ne2
m
−iω + 1τe1
D′0(r)
︸ ︷︷ ︸klingt ab
+ne2
m
−iω + 1τe1
D′(r, t)
︸ ︷︷ ︸“steady state′′
tÀτtr=ne2
m
−iω + 1τe1︸ ︷︷ ︸
σ(ω)
D′(r, t) ω→0=
ne2
mτe1
︸ ︷︷ ︸σ0
D′(r, t) Drude
Stromdichte im Fall t À τe1 (Drude):
je(r, t)tÀτe1= σe(ω)D′(r, t)
Drude–Leitfahigkeit
σe(ω) =ne2
m
11
τe1− iω
Fur Zeiten t À τ−1e1 lautet dann die sog. konstitutive Gleichung fur die elektronische Stromdichte:
je(r, t) = σ(ω)D(r, t)− σ(ω)
NFe2∇δne(r, t)
Benutzt man die Identitat NFv2F/3 = n/m, und definiert man eine Diffusionskonstante uber
D(ω) ≡ σ(ω)
NFe2=
v2F
3
1
−iω + 1τe1
=c2s
−iω + 1τe1
so erhalt man die konstitutive Gleichung fur die Stromdichte in der Form:
je(r, t) = σ(ω)D(r, t)︸ ︷︷ ︸Drude−Gesetz
−D(ω)∇δne(r, t)︸ ︷︷ ︸Ficksches Gesetz
70
Interpretation: Strome werden sowohl durch die treibende elektrische Verschiebung als auchdurch Gradienten in der Ladungsdichte hervorgerufen.
Nota bene: Dies ist eine Differentialgleichung in Ortsraum (Drude + Ficksche Diffusions–Differentialgleichung).
Losung dieser Gleichung im Fourier–Raum:
s(r, t) = s0 eiq·r−iωt ; S(r, t) = S0 eiq·r−iωt
wobei s = δne, φ, . . . und S = je,D, . . . bedeutet. Dann ist zu losen:
je = σ(ω)D−D(ω)iqδne
Kontinuitatsgleichung liefert Dichtefluktuation δne:
δne =iq · je
iω
=1
iω
[σ(ω)iq ·D + D(ω)q2δne
]
(1− D(ω)q2
iω
)δne =
σ(ω)
iωiq ·D
δne =σ(ω)
iω −D(ω)q2iq ·D
= e2 NFD(ω)
iω −D(ω)q2
︸ ︷︷ ︸χ0(q,ω)
iq ·D
= e2χ0(q, ω)iq ·DDichteresponse:
δne = e2χ0(q, ω)iq ·DDichte–Suszeptibilitat
χ0(q, ω) =1
e2
σ(ω)
iω −D(ω)q2
= NFD(ω)
iω −D(ω)q2
= NF
c2s
−iω−iω+1/τe1
ω2 − c2sq
2 −iω−iω+1/τe1
Interpretation: Die Dichte–Suszeptibilitat χ0(q, ω) weist bei hydrodynamischen Frequenzen(ω < τ−1
e1 ) einen sog. Diffusionspol auf, wenn
ω = −iD(ω)q2
71
Dies ist eine direkte Konsequenz der Ladungserhaltung im Metall. Im stoßlosen Bereich (ω Àτ−1e1 ) dagegen beschreibt der Pol der Ladungs–Suszeptibilitat die (kollektive) Schallanregung
des elektronischen Systems:
ω2 = c2sq
2 ; c2s =
v2F
3
Folglich beschreibt χ0(q, ω) den Ubergang von diffusivem zu reaktiven Verhalten in der Dyamikdes Elektronensystems im quasiklassischen Limes ω ¿ EF/h, |q| ¿ kF.
Nota bene: im stoßlosen Limes (τe1 →∞) lautet die Dichte Suszeptibilitat
χ0∞(q, ω) = lim
τe1→∞χ0(q, ω) = NF
c2s
ω2 − c2sq
2
Man beachte, daß die Dichte–Suszeptibilitat mit Stoßen sich nicht durch die Ersetzung ω →z = ω + i/τe1 in der Funktion χ0
∞(q, ω) ergibt:
χ0(q, ω) 6= χ0∞(q, z) ; z = ω +
i
τe1
Homogener Limes q → 0 von χ0(q, ω):
χ0(q → 0, ω) = NFc2s
ω2 + iωτe1
=n
m
1
ω2 + iωτe1
Behandlung der Stromdichte:
Multiplikation der Gleichung fur je mit q : q (longitudinale Projektion):
q(q · je) = σ(ω)q(q ·D)−D(ω) iqδne
= σ(ω)q(q ·D)−D(ω)iqσ(ω)
iω −D(ω)q2iq ·D
︸ ︷︷ ︸≡δne
= σ(ω)q(q ·D)− σ(ω)D(ω)q2
iω −D(ω)q2q(q ·D)
= σ(ω)
(1− D(ω)q2
iω −D(ω)q2
)q(q ·D)
=iωσ(ω)
iω −D(ω)q2q(q ·D)
= iωe2 NFD(ω)
iω −D(ω)q2
︸ ︷︷ ︸χ0(q,ω)
q(q ·D)
= iωe2χ0(q, ω)q(q ·D)
Multiplikation der Gleichung fur je mit 1− q : q (transversale Projektion):
(1− q : q) · je = σ(ω)(1− q : q) ·D
72
Addition dieser Resultate liefert die totale Stromdichte:
je = σ(ω)
(1− q : q) +
iω
iω −D(ω)q2q : q
·D
=σ(ω)(1− q : q) + iωe2χ0(q, ω)q : q
·D
=σ0⊥(ω)(1− q : q) + σ0
‖(q, ω)q : q·D
σ0⊥(ω) = σ(ω) =
ne2
m
1
−iω + 1τe1
σ0‖(q, ω) = σ(ω)
iω
iω −D(ω)q2= iωe2χ0(q, ω)
Letzter Schritt: Coulomb–Gesetz:
iq ·D = iq · E + 4πδne
= iq ·
E +
4πe2
q2︸ ︷︷ ︸V (q)
(−iq)δne
e2
= iq ·E− V (q)iq
δne
e2
Elektrische Verschiebung:
q(q ·D) = q(q · E)− V (q)iqδne
e2
= q(q · E)− iqV (q)
e2e2χ0(q, ω)iq ·D
= q(q · E) + V (q)χ0(q, ω)q2q(q ·D)(1− V (q)χ0(q, ω)q2
)q(q ·D) = q(q · E)
q(q ·D) =q(q · E)
1− V (q)χ0(q, ω)q2
Definition: Freie Lindhard–Mermin–Funktion:
L0(q, ω) = χ0(q, ω)q2
= NFD(ω)q2
iω −D(ω)q2
= NF
c2sq
2 −iω−iω+1/τe1
ω2 − c2sq
2 −iω−iω+1/τe1
Nota bene: Die Lindhard–Mermin–Funktion unterscheidet sich von der gewohnlichen Lindhard–Funktion durch die gleichzeitige Berucksichtigung von Stoßprozessen und der Ladungserhal-tung.
73
Definition: Abschirmungsfunktion (dielektrische Funktion):
ε(q, ω) = 1− V (q)L0(q, ω)
Dielektrische Funktion, ausgedruckt durch die longitudinale Leitfahigkeit:
ε(q, ω) = 1− V (q) χ0(q, ω)︸ ︷︷ ︸σ0‖(q,ω)/iωe2
q2
= 1 +4πiσ0
‖(q, ω)
ω
= 1 +4πiσ‖(q, ω)
ωε(q, ω)
ε(q, ω) = 1 +4πiσ0
‖(q, ω)
ω
=1
1− 4πiσ‖(q,ω)
ω
Daher hat man in allen Gleichungen zu ersetzen:
q(q ·D) =q(q · E)
ε(q, ω)
Dichteresponse:δne = e2χ(q, ω)iq · E
Renormierte Ladungssuszeptibilitat:
χ(q, ω) =χ0(q, ω)
ε(q, ω)=
χ0(q, ω)
1− V (q)L0(q, ω)
Umschreibung der renormierten Ladungssuszeptibilitat:
χ(q, ω) = NF
c2s
−iω−iω+1/τe1
ω2 −ω2
p + c2sq
2
−iω−iω+1/τe1
ω2p =
4πne2
m
Nota bene: Langreichweitige Coulomb–Wechselwirkung der Elektronen bewirkt die Ver-schiebung der elektronischen diffusiven Mode/Schallmode zur Plasmafrequenz!
Dichte–Response im Fall A → 0:
E → −iqφ
δne = e2L(q, ω)φ
74
Renormierte Lindhard–Mermin Funktion
L(q, ω) =L0(q, ω)
ε(q, ω)
= NF
c2sq
2 −iω−iω+1/τe1
ω2 −ω2
p + c2sq
2
−iω−iω+1/τe1
Identifikation der phanomenologischen Ladungssuszeptibilitat↔χee:
δne = iq ·P= iqχeeE
= iqe2χ(q, ω)E
χee ≡ e2χ(q, ω)
Identifikation des elektronischen Suszeptibilitatstensors↔ε
↔ε=
1
ε(q, ω)1
Stromresponse:
je = σ⊥(ω)(1− q : q) · E + σ‖(q, ω)q(q · E)
Transversale dynamische Leitfahigkeit:
σ⊥(ω) = σ0⊥(ω) = σ(ω) =
ne2
m
1
−iω + 1τe1
Longitudinale dynamische Leitfahigkeit:
σ‖(q, ω) =σ(ω)
ε(q, ω)
iω
iω −D(ω)q2
= iωe2NF
D(ω)iω−D(ω)q2
ε(q, ω)
= iωe2χ(q, ω)
4.4 Die Hydrodynamik neutraler Flussigkeiten
Eine Flussigkeit (Gas) sei durch die Massendichte
nm(r, t) ≡ %(r, t) = mn(r, t)
spezifiziert. Die Erhaltung der Masse (Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitatsgleichungbeschrieben:
∂%(r, t)
∂t+∇ · jm(r, t) = 0
75
Massenstromdichte oder Impulsdichte:
jm(r, t) = %(r, t)v(r, t)
v(r, t) ist das Geschwindigkeitsfeld der Flussigkeit.
Verallgemeinerung der Newtonschen Beschleunigungsgleichung:
%dv
dt= −∇P + %g
P (r, t) ist der Druck auf die Flussigkeit und g ist die Gravitationsbeschleunigung.
Berechnung der totalen Ableitung:
dvµ
dt=
3∑
i=1
∂vµ
∂xi
∂xi
∂t
=3∑
i=1
vi∂
∂xi
vµ
= (v · ∇)vµ
Resultat: Eulergleichung der Hydodynamik
∂v
∂t+ (v · ∇)v ≡ dv
dt= −1
%∇P + g
Spezialfall: Hydrostatik∇P (r, t) = %(r, t)g
Alternative Form der Eulergleichung: Erhaltungssatz fur die Impulsdichte
∂jmµ(r, t)
∂t+
∂Πµν(r, t)
∂xν
= 0
Πµν : Tensor der Impulsstromdichte (Spannungstensor).
Identifikation der Form von Πµν :
∂
∂t(%vµ) = vµ
∂%
∂t+ %
∂vµ
∂t
= −vµ∂(%vν)
∂xν
+ %
(−vν
∂vµ
∂xν
− 1
%
∂P
∂xµ
)
= − ∂P
∂xµ
− vµ∂(%vν)
∂xν
− %vν∂vµ
∂xν
= − ∂P
∂xµ
− ∂
∂xν
(%vνvµ)
= − ∂
∂xν
Pδµν + %vµvν
76
Resultat: Impulsstromdichte (Spannungstensor)
Πµν = Pδµν + %vµvν
Zahe Flussigkeiten: Impulsstromrelaxation:
Πµν = Pδµν + %vµvν + Π′µν
Dissipativer Anteil des Impulsstroms:
Π′µν = −η
∂vµ
∂xν
+∂vν
∂xµ
− 2
3δµν(∇ · v)
− ζδµν(∇ · v)
Transportparameter: η = Scherviskositat, ζ = Volumenviskositat.
Einsetzen in den Erhaltungssatz fur die Impulsdichte
−∂Π′µν
∂xν
= η∂
∂xν
∂vµ
∂xν
+∂vν
∂xµ
− 2
3δµν(∇ · v)
+ ζ
∂
∂xµ
(∇ · v)
= η
∂2vµ
∂x2ν
+∂
∂xµ
(∇ · v)− 2
3
∂
∂xµ
(∇ · v)
+ ζ
∂
∂xµ
(∇ · v)
= η∇2vµ +(ζ +
η
3
)∂
∂xµ
(∇ · v)
Navier–Stokes–Gleichung fur zahe Flussigkeiten und Gase
∂v
∂t+ (v · ∇)v ≡ dv
dt= −1
%∇P + g +
η
%∇2v +
1
%
(ζ +
η
3
)∇(∇ · v)
Spezialfall: inkompressible Flussigkeiten:
∂%(r, t)
∂t= 0 → ∇ · v(r, t) = 0
Navier–Stokes–Gleichung fur inkompressible Flussigkeiten
%
dv
dt− η
%∇2v
= %
∂v
∂t+ (v · ∇)v − η
%∇2v
= −∇P + %g
4.5 London–Theorie fur die Bose–Supraflussigkeit 4He
Hier gilt:
k = 1
e = 0
M = m4
N s = ns4
δµ = δµ4
Js = js4Js
M = jsm
77
Der Teilchen–Suprastrom:js4 = ns
4vs
Superfluide Geschwindigkeit:
vs =h
m4
∇ϕ
Wichtige Eigenschaft:∇× vs = 0
Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
−h∂ϕ
∂t= δµ4 +
1
2m4v
s2
Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:
∂vs
∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs
dt= − 1
m4
∇δµ4 = − 1
m4n∇δP − σ0δT
Der Massen–Suprastrom:gs = m4j
s4 = m4n
s4v
s = ns4h∇ϕ
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))
∂gs
∂t= −ns
4∇µ4 = −ns4
n∇δP − σ0δT
4.6 London–Theorie der geladenen Bose–Supraflussigkeit
Die Form der London–Theorie aus Kapitel 3.2.2 laßt sich auf die Supraleitung eines hypo-thetischen Bose–Kondensats aus Teilchen der Ladung q anwenden. Man hat zu identifizieren:
k = 1
Q = q
Der Teilchen–Suprastrom:js = nsvs
Superfluide Geschwindigkeit:
vs =1
m
∇S − q
cA
Die Zeitabhangigkeit der Phase der Kondensat–Wellenfunktion:
−h∂ϕ
∂t= qΦ +
1
2mvs2
Eulergleichung fur die superfluide Geschwindigkeit vs:
∂vs
∂t+ (vs · ∇)vs ≡ dvs
dt=
q
m
E +
1
cvs ×B
78
Der Ladungs–Suprastrom:
jsq = qjs = qnsvs =nsq
m
∇S − q
cA
Erste London–Gleichung (Longitudinaler Strom und Beschleunigung des Kondensats, (lin-earisiert!))
∂jsq∂t
=nsq
mE
Zweite London–Gleichung:
∇× jsq = −nsq2
mcB
Londonsche Eindringtiefe:
λL =
√mc2
4πnsq2
Fluxoid–Quantum
Φ0 =hc
q
4.7 Fermisysteme in Besetzungszahldarstellung
Ziel: Beschreibung von N ≈ 1023 Fermionen (Elektronen, 3He–Atome, Neutronen, etc.).
Zur Erinnerung: Vielteilchenaspekt der London–Theorie:
Wahrscheinlichkeutsdichte np(r, t) → Kondensat− Teilchenzahldichte N s(r, t)
N s(r, t) unbekannt.
Quantenmechanische Beschreibung von Vielteilchensystemen
Ausgangspunkt: Teilchen 1 und 2 in Einteilchenzustanden φa und φb.
Zweiteilchenzustande beschrieben durch ψαβ(1, 2), α = a, b, β = a, b.
Unterscheidbare Teilchen:
|ψαβ(1, 2)|2 6= |ψαβ(2, 1)|2 ; α, β = a, b
Ununterscheidbare Teilchen:
|ψαβ(1, 2)|2 = |ψαβ(2, 1)|2 ; α, β = a, b
79
Vertauschungsoperator (Permutation) fur ununterscheidbare Teilchen:
Pψαβ(1, 2) = ψαβ(2, 1) = eiζψαβ(1, 2)
Pψαβ(2, 1) = ψαβ(1, 2) = e2iζψαβ(1, 2) ; α, β = a, b →eiζ =
+1 (ζ = 0) Bosonen−1 (ζ = π) Fermionen
Vergleich: klass. Teilchen, Bosonen, Fermionen
a) zwei klassische (unterscheidbare) Teilchen 1, 2 in Zustanden (a, b): vier Moglichkeiten
ψαβ(1, 2) = φa(1)φa(2)
ψαβ(1, 2) = φa(1)φb(2)
ψαβ(1, 2) = φa(2)φb(1)
ψαβ(1, 2) = φb(1)φb(2)
b) zwei Bosonen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zustanden a, b: drei Moglichkeiten
ψαβ(1, 2) = φa(1)φa(2)
ψαβ(1, 2) =1√2φa(1)φb(2) + φa(2)φb(1) = ψαβ(2, 1)
ψαβ(1, 2) = φb(1)φb(2)
c) zwei Fermionen (ununterscheidbar) 1, 2 in Zustanden a, b: eine Moglichkeit
ψαβ(1, 2) =1√2φa(1)φb(2)− φa(2)φb(1) = −ψαβ(2, 1)
=1√2
∣∣∣∣∣φa(1) φa(2)φb(1) φb(2)
∣∣∣∣∣
→ “Slater–Determinante”
Nota bene: Bosonen haben erhohte Tendenz, sich im gleichen quantenmechanischen Zustandaufzuhalten.
Nota bene: Fur Fermionen gilt das Pauliprinzip:
ψαα(1, 2) = 0 ; α = a, b
| . . . | → “Slater–Determinante”, kompliziert fur N = 1023 Fermiteilchen.
Vielteilchenzustand fur Fermionen: Besetzungszahldarstellung
a) Allgemein| . . . |Slater → |na, nb, nc, . . . , ni, . . . , nj, . . . >
80
b) Betrachtung von 2 Fermionen 1, 2 in Zustanden a und b mit Besetzungszahlen na und nb
im Zweiteilchenzustandψab(1, 2) → |na, nb >
Erzeugungssoperatoren fur Fermionen (“teilchenartig”)
|vac > = |0, 0 >
c†a|0, 0 > = |1, 0 >
c†b|0, 0 > = |0, 1 >
c†ac†b|0, 0 >= −c†bc
†a|0, 0 > = |1, 1 >
c†a|1, 0 > = (c†a)2|0, 0 >= 0
Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen
c†αc†β + c†β c†α =c†α, c†β
+
= 0
Pauliprinzip: (c†α
)2= 0 ; α = a, b
Vernichtungsoperatoren fur Fermionen
ca|1, 1 > = |0, 1 >
cb|1, 1 > = |1, 0 >
cacb|1, 1 >= −cbca|1, 1 > = |0, 0 >
ca|0, 0 > = (ca)2|1, 0 >= 0
Antisymmetrie ↔ Kommutatorrelationen
cα, cβ+ = 0
Besetzungszahloperator
c†aca|1, 1 > = c†bcb|1, 1 >= 1|1, 1 >
c†aca|0, 1 > = c†bcb|1, 0 >= 0
cac†a|1, 1 > = cbc
†b|1, 1 >= 0
cac†a|0, 1 > = 1|0, 1 >
cbc†b|1, 0 > = 1|1, 0 >
nα = c†αcα
Pauliprinzip ↔ Vertauschungsregelcα, c†β
+
= δα,β
Physikalische Interpretation:∑ (Zahl der Teilchen) + (Zahl der Locher) = 1
81
ERSTE QUANTISIERUNG ZWEITE QUANTISIERUNG
Klassische Wellenfunktion Feldoperator
Ψσ(r) Ψσ(r)
Wahrscheinlichkeitsdichte Teilchenzahldichte
p(r) =∑
σ Ψ∗σ(r)Ψσ(r) n(r) =
∑σ Ψ†
σ(r)Ψσ(r)
Normierung (Hilbertraum) Normierung (Fockraum)
∫d3r p(r) = 1
∫d3r n(r) = N
Hamiltonoperator (Hilbertraum) Hamiltonoperator (Fockraum)
H = − h2∇2
2mH =
∑σ
∫d3rψ†σ(r)
(− h2∇2
2m
)ψ†σ(r)
Antisymmetrie der (Anti–)Vielteilchen–Wellenfunktion Vertauschungsrelationen
Pauliprinzip
Tabelle A4: Gegenuberstellung Einteilchen ↔ Vielteilchen–Quantenmechanik
4.8 Zur Aquivalenz von Bogolon– und Rotonspektrum
Ausgangspunkt:Bogolon–Energiespektrum (konstante Energielucke ∆)
Ep =√
ξ2p + ∆2
Verhalten von Ep in der Nahe des Fermiimpulses pF:
ξp = εp − µ = vF(p− pF)
Ep =√
ξ2p + ∆2 =
√∆2 + v2
F(p− pF)2
82
= ∆
√1 +
v2F
∆2(p− pF)2
≈ ∆ +(p− pF)2
2(
∆v2F
)
Resultat:
Ep = ∆ +(p− pF)2
2MB
Masse eines Bogoliubov–Quasiteilchens:
MB =∆
v2F
=1
2
∆
2(
12mv2
F
) m
=∆
2µ(T )m
4.9 Gapgleichung fur konventionelle Supraleiter
Ausgangspunkt: isotrope (s–Wellen–Singulett–) Paarwechselwirkung
Γ(s)kp = −Γ0Θ(εc − |ξk|)Θ(εc − |ξp|)
Gapgleichung mit diese Modell-Wechselwirkung:
∆k = N(0)Γ0
∫ εc
−εc
dξp∆p
2Ep
tanh(
Ep
2kBT
)
Umschreibung:
1
N(0)Γ0
=∫ εc
−εc
dξp
tanh(
Ep
2kBT
)
2Ep
=∫ εc
−εc
dξp
tanh(
ξp2kBT
)
2ξp
−tanh
(ξp
2kBT
)
2ξp
−tanh
(Ep
2kBT
)
2Ep
Definition:
P (T ) ≡∫ εc
−εc
dξp
tanh
(ξp
2kBT
)
2ξp
−tanh
(Ep
2kBT
)
2Ep
Energieluckengleichung hat dann die Form:
1
N(0)Γ0︸ ︷︷ ︸ln
(2eγεcπkBTc
)=
∫ εc
−εc
dξp
tanh(
ξp2kBT
)
2ξp︸ ︷︷ ︸ln
(2eγεcπkBT
)−P (T )
83
ln(
T
Tc
)= −P (T )
Gleichung fur die Sprungtemperatur:
kBTc =eγ
π2εce
− 1N(0)Γ0︸ ︷︷ ︸
≡∆(0)
Eulersche Konstante:
γ = limm→∞
m∑
n=1
1
n− ln m
= .57772156649 . . .
eγ = 1.78107241799 . . .
Energielucke bei T = 0:
∆(0) =π
eγkBTc = 1.76387698886 . . . kBTc
Eliminierung von εc bei Tc:
ln(
T
Tc
)T→Tc= −
(1− T
Tc
)− 1
2
(1− T
Tc
)2
− . . . = −P (T )
Trick (Residuensatz):
tanh(
Ep
2kBT
)
2Ep
≡ kBT∑n
1
(2n + 1)2(πkBT )2
︸ ︷︷ ︸h2ω2
n
+E2p
= kBT∑n
1
h2ω2n + E2
p
Berechnung von P (T ) in der Nahe von Tc:
P (T ) = ∆2kBT∑n
1
(h2ω2n + ξ2
p)(h2ω2n + E2
p)
∆→0= 2∆2kBT
∑n
∫ εc
0
dξp
(h2ω2n + ξ2
p)2+ O(∆4)
Berechnung des ξp–Integrals:∫ ∞
0
dξp
(h2ω2n + ξ2
p)2=
π
4h3|ω3n|
Damit ist:
P (T ) =1
2πkBT∆2
∑n
1
|(2n + 1)|3(πkBT )3
=1
2
(∆
πkBT
)2
2∞∑
n=0
1
(2n + 1)3
︸ ︷︷ ︸≡7ζ(3)/8
=7ζ(3)
8
(∆
πkBT
)2
84
Riemannsche ζ–Funktion:
ζ(z) =∞∑
k=1
1
kz; ζ(3) = 1.2020569031 . . .
Resultat fur die Energielucke in der Nahe der Sprungtemperatur:
(∆(T )
πkBTc
)2
=8
7ζ(3)
(1− T
Tc
)
T∂
∂T
(∆(T )
πkBTc
)2T→Tc= − 8
7ζ(3)
Interpolationsformel fur die Temperaturabhangigkeit der Energielucke:
∆(T ) = ∆(0) tanh
[πkBTc
∆(0)
√8
7ζ(3)
(Tc
T− 1
)]
Spezifische Warme CBCS(T ) (vgl. Abschnitt 4.7.1):
CBCS(T ) = 2∑
k
ϕk
(E2
k
T− 1
2
∂∆2(T )
∂T
)
Spezifische Warme an der Sprungtemperatur:
CBCS(T )T→T−c= 2
∑
k
ϕkξ2k
T︸ ︷︷ ︸
CN(T+c )=
NF3
(πkBTc)2
Tc
−NF1
2
∂∆2(T )
∂T︸ ︷︷ ︸− 8
7ζ(3)
(πkBTc)2
Tc
= CN(T+c ) ·
(1 +
3
2
8
7ζ(3)
)
Diskontinuitat der spezifischen Warme bei Tc:
∆C
CN
≡ CBCS(T−c )− CN(T+
c )
CN(T+c )
=3
2
8
7ζ(3)= 1.426...
Triviale “Strong–Coupling–Korrekturen”:
Wir wissen:
∆C = C(T−c )− C(T+
c ) = −1
2NF
∂∆2(T )
∂T|T→T−c
Selbstkonsistenzgleichung liefert bei Tc:
∆2(T ) = (πkBTc)2 8
7ζ(3)
(1− T
Tc
)
strong coupling= (πkBTc)
2 asc
(1− T
Tc
)
85
Temperaturableitung:
NF1
2
∂∆2(T )
∂T|T→T−c = −3
2asc NF
(πkBTc)2
3Tc︸ ︷︷ ︸CN(T+
c )
= −3
2ascCN(T+
c )
Resultat fur den “Strong–Coupling–Parameter” asc:
asc =2
3
∆C
CN
• Weiterer “Strong–Coupling–Parameter”:
δsc ≡ ∆(0)
kBTc
Interpolationsformel fur die Energielucke mit trivialen “Strong–Coupling–Korrekturen”:
∆(T ) = δsckBTc tanh
π
δsc
√asc
(Tc
T− 1
)
4.10 Gapgleichung fur unkonventionelle Supraleiter
Allgemeine Paarwechselwirkung fur anisotrope Singulett– und Triplett–Supraleiter (vgl. Vor-lesung, Abschnitt 4.4.6) fuhrt auf die Energieluckengleichung:
1
λs=
∫ εc
−εc
dξp
⟨Θp∆2
0p
⟩FS
〈∆20k〉FS
δs,0 +
⟨Θpd
2p
⟩FS
〈d2k〉FS
δs,1
=∫ εc
−εc
dξp
⟨Θp∆2
p
⟩FS
〈∆2k〉FS
Θp =1
2Ep
tanh(
Ek
2kBT
)≡ kBT
∑ωn
1
ω2n + E2
p
ωn =1
h(2n + 1)πkBT Matsubara− Frequenzen
Energieluckengleichung in der Nahe von Tc
1
λs=
1
〈∆2k〉FS
∫ εc
−εcdξp
⟨∆2
pΘp
⟩FS
=1
〈∆2k〉FS
∫ εc
−εcdξp
⟨∆2
p
[Θ0
p + (Θp −Θ0p)
]⟩FS
Θ0p ≡ lim
∆0→0Θp
86
=∫ εc
−εcdξpΘ0
p
︸ ︷︷ ︸ln
(2γπ
εckBT
)− 1
〈∆2k〉FS
∫ εc
−εcdξp
⟨∆2
p(Θ0p −Θp)
⟩FS
︸ ︷︷ ︸P( T
Tc)
= ln(
2γ
π
εc
kBT
)− P
(T
Tc
)
P(
T
Tc
)=
1
〈∆2k〉FS
∫ εc
−εcdξp
⟨∆2
p(Θ0p −Θp)
⟩FS
=2kBT
〈∆2k〉FS
∑n
∫ ∞
0dξp
⟨∆4
p
(ω2n + ξ2
p)(ω2n + ξ2
p + ∆2p)
⟩
FS
Hier bedeutet γ = exp(0.57721...) = 1.78106... die Euler–Konstante.Bedingung fur die Sprungtemperatur Tc
P (1) ≡ 0 →1
λs= ln
(2γ
π
εc
kBT sc
)
kBT sc =
2γ
πεc exp
(− 1
λs
)
Energieluckengleichung bei beliebigen Temperaturen
ln(
Tc
T
)= P
(T
Tc
)
A. Energieluckengleichung bei Tc:
1
ω2n + ξ2
p + ∆2p
=∞∑
µ=0
(−1)µ∆2µp
(ω2n + ξ2
p)1+µ
P(
T
Tc
)=
2kBT
< ∆2k >FS
∑ωn
∞∑
µ=0
(−1)µ < ∆4+2µp >FS
∫ ∞
0
dξp
(ω2n + ξ2
p)2+µ
︸ ︷︷ ︸∗
Berechnung von *
∫ ∞
0
dξp
(ω2n + ξ2
p)2+µ=
π
2
1
|ωn|3+2µ
(2µ + 1)!!
(2µ + 2)!!
P(
T
Tc
)=
1
< ∆2k >FS
∞∑
µ=0
(−1)µ < ∆4+2µp >FS
(πkBT )2+2µ
(2µ + 1)!!
(2µ + 2)!!
∑n
1
|2n + 1|3+2µ
︸ ︷︷ ︸∗∗
Berechnung von **
∑n
1
|2n + 1|3+2µ= 2λ(3 + 2µ) = 2
23+2µ − 1
23+2µζ(3 + 2µ)
87
λ(z) und ζ(z) bedeuten hier die λ–Function und die Riemannsche ζ–Funktion.
P(
T
Tc
)∆p=∆0fp
=∞∑
µ=0
2(2µ + 1)!!
(2µ + 2)!!
23+2µ − 1
23+2µζ(3 + 2µ) (−1)µ < f 4+2µ
p >FS
< f 2p >FS︸ ︷︷ ︸
aµ+1
(∆0(T )
πkBT
)2+2µ
= a1
(∆0(T )
πkBT
)2
+ a2
(∆0(T )
πkBT
)4
+ . . .
a1 =7
8ζ(3)
< f 4p >FS
< f 2p >FS
a2 = −21 · 32 · 4
31
32ζ(5)
< f 6p >FS
< f 2p >FS
Struktur der Energieluckengleichung:
x = 1− T
Tc
T = Tc(1− x)
ln(Tc
T) = − ln(1− x) =
∞∑
ν=1
xν
ν
D(x) =∆0(x)
πkBTc
P (x) = a1
(D(x)
1− x
)2
+ a2
(D(x)
1− x
)4
+ . . .
Taylorentwicklung von D2(x)
D2(x) =∞∑
`=1
b` x`
Koeffizientenvergleich liefert:
1 = a1 b1
1
2= 2a1b1 + a2b
21 + a1b2
1
3= 3a1b1 + 2a1b2 + 4a2b
21 + 2a2b1b2 + a1b3
1
4= . . .
In fuhrender Ordnung in [∆0(T )/kBT ]2 lautet das Resultat fur die maximale Energielucke∆0(T ):
∆20(T ) = (πkBTc)
2 x
a1
= (πkBTc)2 8
7ζ(3)
< f 2p >FS
< f 4p >FS
(1− T
Tc
)
88
Mithilfe des experimentell zuganglichen Sprungs in der Warmekapazitat
∆C
CN
= − limT→T−c
⟨∆p
kBT
∂∆p
kB∂T
⟩
FS
=3
2
8
7ζ(3)
< f 2 >2FS
< f 4 >FS
kann man das Resultat fur ∆0(T ) in der Nahe von Tc schreiben als:
∆0(T ) = πkBTc
√2
3
∆C
CN
1
< f 2 >FS
(1− T
Tc
)
B. Energieluckengleichung bei T = 0:
1
λs= ln
(2γ
π
εc
kBTc
)
=1
< ∆2p >FS
∫ εc
0dξp
⟨∆2
p
Ep
⟩
FS
=1
< ∆2p >FS
∫ εc
0dξp
⟨∆2
p√ξ2p + ∆2
p
⟩
FS
=1
< ∆2p >FS
⟨∆2
p ln[ξp +
√ξ2p + ∆2
p
]⟩FS|εc0
=1
< ∆2p >FS
⟨∆2
p ln
εc +
√ε2c + ∆2
p
∆p
⟩
FS
∆p¿εc=
1
< ∆2p >FS
⟨∆2
p ln
(2εc
∆p
)⟩
FS
∆p=∆0fp=
1
< f 2p >FS
⟨f 2p ln
(2εc
∆0fp
)⟩
FS
= ln2εc
∆0
−⟨f 2p ln fp
⟩FS
< f 2p >FS
Zusammenfassung:
ln(
2γ
π
εc
kBTc
)= ln
(2εc
∆0
)−
⟨f 2p ln fp
⟩FS
< f 2p >FS
Endresultat:
∆0(T ) =π
γkBTc exp
−
⟨f 2p ln fp
⟩FS
< f 2p >FS
δsc ≡ ∆0(0)
kBTc
=π
γexp
(−< ∆2
p ln(∆p/∆0) >FS
< ∆2p >FS
)
89
C. Interpolationsformel fur die Temperaturabhangigkeit des Maximums ∆0(T ) der Energielucke
∆0(T ) = δsc kBTc tanh
π
δsc
√√√√ 8
7ζ(3)
< f 2p >FS
< f 4p >FS
(Tc
T− 1
)
= δsc kBTc tanh
π
δsc
√√√√2
3
∆C
CN
1
< f 2p >FS
(Tc
T− 1
)
4.11 Die London–Kondensat–Wellenfunktion aus BCS–Sicht
Ausgangspunkt: Phanomenologische London–Wellenfunktion
ψ(r, t) = a(r, t)eiφ(r,t)
=√
N s(r, t)eiφ(r,t)
=
√ns
2eiϕ(r,t)/2
Ziel: Verknupfung der Amplitude a(r, t) der phanomenologischen London–Wellenfunktion mitdem Ordnungsparameter der BCS–Theorie.
BCS–Resultat fur die superfluide Dichte (isotrope Supraleiter):
ns(T ) = n[1− Y (T )]
Yosida–Funktion in der Nahe der Sprungtemperatur:
limT→Tc
Y (T ) = 1− 7ζ(3)(
∆
2πkBT
)2
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
a2 =n
2
[1−
(1− 7ζ(3)
(∆
2πkBT
)2)]
=7
2nζ(3)
(∆
2πkBT
)2
Resultat:
limT→Tc
a(r, t) =
√7n
2ζ(3)
∆
2πkBTc
Yosidafunktion fur T → 0:
limT→0
Y (T ) = Y0(T ) =
√2π∆
kBTexp
(− ∆
kBT
)
90
Amplitudenquadrat a2 in diesem Limes:
a2 =n
2
[1−
√2π∆
kBTexp
(− ∆
kBT
)]
Resultat:
limT→0
a(r, t) =
√n
2
[1−
√π∆
2kBTexp
(− ∆
kBT
)]
Interpretation: In der Nahe der Sprungtemperatur ist die Amplitude a der London–Wellenfunktiondirekt mit dem Ordnungsparameter ∆ der BCS–Theorie verknupft.
Bei T = 0 ist die Amplitude a mit der Gesamt–Teilchenzahldichte n des Supraleiters verknupft.
91
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