Formelsammlung MesstechnikV 2.3 s
MICHAEL OTT
MARKUS HANNEMANN
26. September 1999
oo INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen 11.1 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Grundlagen des elektrotechnischen Rechnens 22.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Spezifischer Widerstand und Leitf¨ahigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Widerstand und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Reihenschaltung von Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Parallelschaltung von Widerst¨anden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6 Induktiver Widerstand . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.7 Kapazitiver Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.8 Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.9 Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Messfehler bei Messgeraten 43.1 Fehlerangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Analoge Messger¨ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3 Digitale Messger¨ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4.1 Addition und Subtraktion . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4.2 Multiplikation und Division .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Statistische Fehler 54.1 Arithmetischer Mittelwert . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Median, Zentralwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Modal, Dichtemittel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Geometrischer Mittelwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Variationsbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.6 Mittlere Abweichung . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.7 Standart oder Quadratische Abweichung . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.8 Vertrauensbereich f¨ur den Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Diverse Spannungsformen 65.1 Rechteckspannung . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.2 Sagezahnspannung . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.3 Sinusspannung reine Wechselspannung . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65.4 Sinusspannung mit Gleichspannungsanteil . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.5 Sinusspannung nach Einpulsgleichrichtung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.6 Sinusspannung nach Zweipulsgleichrichtung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.7 Angeschnittener Sinushalbwellenstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.8 Angeschnittener Sinusvollwellenstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
c M+M i
oo INHALTSVERZEICHNIS
6 Periodische Spannungen und Strome 96.1 Linearer Mittelwert . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.1.1 Bei nicht linearen Spannungsformen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.1.2 Bei linearen Spannungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96.1.3 Beispiel zum Messbereich DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2 Effektivwert der Wechselspannung . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.1 Bei nicht linearen Spannungsformen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.2 Bei linearen Spannungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2.3 Beispiel zum MessbereichUTrue AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.3 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.1 Bei nicht linearen Spannungsformen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.2 Bei linearen Spannungsformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.3 Addition vonUDC undUTrue AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.4 Beispiel zuUe f f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.4 Angezeigter Wert . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.4.1 Beispiel zuUAnz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.5 Formfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.6 Crestfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Dampfung und Verstarkung 147.1 Dampfer bzw. Verst¨arker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2 Dampfung- und Verst¨arkungsfaktoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.3 Dampfungs- und Verst¨arkungsmaße .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4 Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.4.1 Absoluter Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157.4.2 Relativer Pegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.4.3 Pegelreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.5 Fehlanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 Messen mit Osziloskopen 178.1 Spannungsmessung . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.3 Frequenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.4 Phasenlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.5 Zeitmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.6 Phasenverschiebung mittels Lissajousfiguren .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.7 Lissajous Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.7.1 Frequenzy = Frequenzx ohne Phasenverschiebung .. . . . . . . . . . . 208.7.2 Frequenzy = 2 fache Frequenzx ohne Phasenverschiebung . . . .. . . . 208.7.3 Frequenzy = 4 fache Frequenzx ohne Phasenverschiebung . . . .. . . . 208.7.4 Frequenzy = Frequenzx mit 30Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 218.7.5 Frequenzy = Frequenzx mit 60Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 218.7.6 Frequenzy = Frequenzx mit 90Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 218.7.7 Frequenzy = Frequenzx mit 120Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 228.7.8 Frequenzy = Frequenzx mit 150Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 22
c M+M ii
oo INHALTSVERZEICHNIS
8.7.9 Frequenzy = Frequenzx mit 180Æ Phasenverschiebung . . . . . . . . . . 228.7.10 Wie geht dem (Graph nach Lissajou) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
c M+M iii
oo 1 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
1 Mathematische Grundlagen
1.1 Winkelfunktionen
α
βc
a
b
sinα = GegenkatheteHypotenuse=
ac sinβ = Gegenkathete
Hypotenuse=bc
cosα = AnkatheteHypotenuse=
bc cosβ = Ankathete
Hypotenuse=ac
tanα = GegenkatheteAnkathete = a
b tanβ = GegenkatheteAnkathete = b
a
cotα = AnkatheteGegenkathete=
ba cotβ = Ankathete
Gegenkathete=ab
c2 = a2+b2 Lehrsatz des Pythagoras:Das Quadrat ¨uber der Hypotenuse ist gleich derSumme der beiden Kathedenquadrate.
1.2 Binomische Formeln
(a+b)2 = a2+2ab+b2 erste Binomische Formel
(ab)2 = a22ab+b2 zweite Binomische Formel
(a+b) (ab) = a2b2 dritte Binomische Formel
1.3 Logarithmusfunktionen
loga b= loga+ logb
log ab = loga logb
logan = n loga
log bp
an = nb loga= loga
nb
ax = b ) logab= x
ax1x2 = b1
b2) x1 = x2 loga
b1b2
c M+M 1
oo 2 GRUNDLAGEN DES ELEKTROTECHNISCHEN RECHNENS
2 Grundlagen des elektrotechnischen Rechnens
2.1 Ohmsches Gesetz
I = UR I [A] = Stromstarke
U [V] = SpannungR[Ω] = Widerstand
G= 1R G[S] = Leitwert
2.2 Spezifischer Widerstand und Leitfahigkeit
ρ = 1κ ρ
hΩmm2
m
i= spezifischer Widerstand
κh
mΩmm2
i= Leitfahigkeit
R= ρlA l [m] = Leitungslange
A[mm2] = Leitungsquerschnitt
2.3 Widerstand und Temperatur
4R= α R1 4ϑ 4R[Ω] = Widerstands¨anderungα 1
K
= Temperaturkoeffizient (Kupferα = 1
235K+ϑ1(25Æ) )
4ϑ[K] = Temperatur¨anderungR1[Ω] = Kaltwiderstand
R2 = R1 (1+α 4ϑ) R2[Ω] = Warmwiderstand
2.4 Reihenschaltung von Widerstanden
Uges=n∑
i=1Ui Uges[V] = Gesamtspannung
Rges=n∑
i=1Ri Rges[Ω] = Gesamtwiderstand
U1U2
= R1R2
Die Spannungen verhalten sich wie die dazu-gehorigen Widerst¨ande
Iges= Ii Iges[A] = Der Strom ist ¨uberall gleichgroß
c M+M 2
oo 2 GRUNDLAGEN DES ELEKTROTECHNISCHEN RECHNENS
2.5 Parallelschaltung von Widerstanden
Iges=n∑
i=1Ii
1Rges
=n∑
i=1
1Ri
I1I2= R2
R1
2.6 Induktiver Widerstand
XL = 2 π f L XL[Ω] = Induktiver Widerstandf [Hz] = FrequenzL[H] = Induktivitat
2.7 Kapazitiver Widerstand
XC = 12π f C XC[Ω] = Kapazitiver Widerstand
C[F] = Kapazitat
2.8 Tiefpass
R1
??
U2U1 C1
U1U2
=
pR2+X2
CXC
Spannungsverh¨altnis = Widerstandsverh¨altnis
2.9 Hochpass
L1
R1
??
U2U1
U1U2
=
pX2
L R2
R2 Spannungsverh¨altnis = Widerstandsverh¨altnis
c M+M 3
oo 3 MESSFEHLER BEI MESSGERATEN
3 Messfehler bei Messgeraten
3.1 Fehlerangaben
F = AW F = Absoluter FehlerW = AF A = Angezeigter oder gemessener Wert
W = wahrer bzw. realer Wert
f %= AWW 100= F
W 100 f % = relativer Wert
3.2 Analoge Messgerate
F = MKl%100 M = Messbereichsendwert
KL% = Genauigkeitsklasse
f %= Kl% MW KL% M
A
3.3 Digitale Messgerate
F = x%A100 +n D x% = Fehlergrenze in % vom Messwert
n = Anzahl der DigitsD = Auflosung pro Digit(akt:Messbereich
Au f losung )
f %= x%+y% MW y% = Fehlergrenze in % der Aufl¨osung
y%= nD100M
3.4 Fehlerfortpflanzung
3.4.1 Addition und Subtraktion
FG =n∑
i=1Fi
FG = F1F2 : : :Fn
3.4.2 Multiplikation und Division
fG%=n∑
i=1fi%
fG%= f1% f2% : : : fn%
c M+M 4
oo 4 STATISTISCHE FEHLER
4 Statistische Fehler
4.1 Arithmetischer Mittelwert
x= 1n
n∑
i=1xi
4.2 Median, Zentralwert
Z=mittlerster Wert
Das ist der Wert der nach dem ordnen der Werte der mittlerste ist (in der Reihenfolge).
4.3 Modal, Dichtemittel
D=haufigster Wert
Das ist der Wert der nach dem ordnen der Werte der am h¨aufigsten auftretende Wert ist.
4.4 Geometrischer Mittelwert
G= np
x1 x2 : : : xn
4.5 Variationsbreite
W = xmaxxmin
4.6 Mittlere Abweichung
d = 1n
n∑
i=1jxi xj
4.7 Standart oder Quadratische Abweichung
S=
r1
n1 n∑
i=1(xi x)2
4.8 Vertrauensbereich fur den Mittelwert
v= Spn
c M+M 5
oo 5 DIVERSE SPANNUNGSFORMEN
5 Diverse Spannungsformen
5.1 Rechteckspannung
2
1
0
-1
-2
6UV
-tms
ξ = 1
1 2 3 4 5
Rechteckspannung
U =0:667V
jU j= 2V
U = 2V
5.2 Sagezahnspannung
4
3
2
1
0
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
Sagezahnspannung mit Gleichspannungsanteil
U = 1:5V
jU j= 1:5V
U = up3
U = 3Vp3= 1:732V
5.3 Sinusspannung reine Wechselspannung
2
1
0
-1
-2
6UV
-tms
ξ =p
2
2 4 6 8 10
Sinusspannung
U = 0V
jU j= 2uπ = 1:273V
U = up2
U = 1:414V
c M+M 6
oo 5 DIVERSE SPANNUNGSFORMEN
5.4 Sinusspannung mit Gleichspannungsanteil
3
2
1
0
-1
6UV
-tms
ξ = 1:73
2 4 6 8 10
Sinusspannung mit Gleichspannungsanteil
U = 1V
jU j= 1:436V
U =
qU
2+U2
U =
r1V2+
2Vp
2
2
U = 1:732V
5.5 Sinusspannung nach Einpulsgleichrichtung
20
15
10
5
0
6UV
-tms
ξ = 2
1 2 3 4 5
Sinusspannung nach Einpulsgleichrichtung
U = uπ = 6:366V
jU j=U = 6:366V
U = u2 = 10V
5.6 Sinusspannung nach Zweipulsgleichrichtung
20
15
10
5
0
6UV
-tms
ξ =p
2
1 2 3 4 5
Sinusspannung nach Zweipulsgleichrichtung
U = 2uπ = 12:732V
jU j=U = 12:732V
U = up2= 14:142V
c M+M 7
oo 5 DIVERSE SPANNUNGSFORMEN
5.7 Angeschnittener Sinushalbwellenstrom
4
3
2
1
0
6IA
-ϕÆ
ξ = 2:48
120 240 360 480 600
Angeschnittener Sinushalbwellenstrom
I = i2π (1+cosϕz) = 0:955A
jI j= I = 0:955A
I = i2
1 ϕz180Æ +
sin(2ϕz)2π
= 1:61A
18060 420 540300
5.8 Angeschnittener Sinusvollwellenstrom
4
3
2
1
0
6IA
-ϕÆ
ξ = 1:76
120 240 360 480 600
Angeschnittener Sinusvollwellenstrom
I = 0A
jI j= iπ (1+cosϕz) = 1:91A
I = ip2
1 ϕz180Æ +
sin(2ϕz)2π
= 2:275A
18060 300 420 540
-1
-2
-3
-4
c M+M 8
oo 6 PERIODISCHE SPANNUNGEN UND STROME
6 Periodische Spannungen und Strome
6.1 Linearer Mittelwert
Meßbereich DC
6.1.1 Bei nicht linearen Spannungsformen
U = 1T
TR
0u(t) dt UDrehspule,
UDC,UAV,U = arithm. Mittelwert
(Flache unter der Kurve dividiert durchPeriodendauer (positiv bzw. negativ))
4t,dt = Teil ZeitabschnittT = Gesamt Zeitabschnittu(t) = Spannung im Teil Zeitabschnitt
6.1.2 Bei linearen Spannungsformen
Mittelwert:
U = 1T
n∑
i=1(ui 4ti)
Betrag des Mittelwertes (Gleichrichtwert Wechsel- + Gleichspannung):
jU j= 1T
n∑
i=1jui 4tij
Mittelwert bei reiner Wechselspannung ist immerU = 0
6.1.3 Beispiel zum Messbereich DC
2
1
0
-1
-2
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
DC-Anteil
U = 1V1ms+(1V1ms)+(2V2ms)4ms =1V
jU j= 1V1ms+1V1ms+2V2ms4ms = 1:5V
- - - Ausgangswert
—— u
c M+M 9
oo 6 PERIODISCHE SPANNUNGEN UND STROME
6.2 Effektivwert der Wechselspannung
6.2.1 Bei nicht linearen Spannungsformen
UTrue AC=
s1T
TR
0(u(t)U)2 dt UTrue AC= Effektivwert der Wechselspannung
ui = Spitzenwert im Teil Zeitabschnitt
6.2.2 Bei linearen Spannungsformen
UTrue AC=
r1T
n∑
i=1(( uiU
ξ )2 4ti)
6.2.3 Beispiel zum MessbereichUTrue AC
9
2
1
0
-1
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
3
4
5
6
7
8
UTrue AC
- - - Ausgangswert ohne DC-Anteil
—— UTrue AC
UTrue AC=
r2ms(1V)2+1:5ms
3Vp
3
2+0:5ms
1Vp
3
2
4ms
UTrue AC= 1:291V
c M+M 10
oo 6 PERIODISCHE SPANNUNGEN UND STROME
6.3 Effektivwert
MeßbereichUTrue AC+DC
6.3.1 Bei nicht linearen Spannungsformen
UTrue AC+DC =
s1T
TR
0(u(t))2 dt UDreheisen,
U ,Ue f f,URMS,UTrue AC+DC = Wechsel- + Gleichspannungsanteil
u= uξ u,
ui ,u(t) = effektivwert zu diesem Zeitpunkt
6.3.2 Bei linearen Spannungsformen
UTrue AC+DC =
r1T
n∑
i=1(u2
i 4ti)
6.3.3 Addition vonUDC und UTrue AC
UTrue AC+DC =q
U2DC+U2
True AC
U =p
U2=+U2
6.3.4 Beispiel zuUe f f
2
1
0
-1
-2
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
3
4Effektivwert
Uef f =
r2ms(2V)2+1ms
2Vp
3
2+1ms
2Vp
3
2
4ms = 1:633V
Uef f =p(1V)2+(1:291V)2 = 1:633V
- - - Ausgangssignal
—— Uef f
c M+M 11
oo 6 PERIODISCHE SPANNUNGEN UND STROME
6.4 Angezeigter Wert
Meßbereich AC, Anzeige bei handels¨ublichen Meßger¨aten
1. Gleichspannung rausfiltern ( Kondensator ) uU
2. Wechselspannung gleichrichtenjuj juU j
3. Mittelwert bildenjUj juU j
4. Mit Formfaktor multiplizierenUAnz juUj 1;11
jUj= 1T
n∑
i=1(juiU j 4ti) jUj = Gleichrichtwert der reinen Wechselspannung
UAnz= jUj F F = 1,11UAnz = Angezeigter Wert
6.4.1 Beispiel zuUAnz
2
1
0
-1
-2
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
- - - Ausgangswert
—— ohne DC-Anteil
3DC-Anteil entfernen
3
2
1
0
-1
6UV
-tms
ξ =p
3
1 2 3 4 5
DC-Anteil
jU j= 2ms1V+1:5ms 3V2 +0:5ms 1V
24ms = 1:125V
UAnz= jU j F = 1:25V F = 1:111
- - - Ausgangswert ohne DC-Anteil
—— juj
c M+M 12
oo 6 PERIODISCHE SPANNUNGEN UND STROME
6.5 Formfaktor
Fur jede Kurvenform einer Spannung gibt es einen Formfaktor, mit diesem muß im Meßger¨atder Gleichrichtwert multipliziert werden um den Effektivwert richtig anzeigen zu k¨onnen. Ineinem Handels¨ublichen Sinus-Vollwellen korigierten Meßger¨at ist nur der Formfaktor f¨ur reineSinusspannung integriert (F = 1;11 ).
F =Ue f f
jU j = E f f ektivwertGleichrichtwert F = Formfaktor
WennUe f f = UTrue AC+DC
dannjU j der Gleichrichtwert der Wechsel- + GleichspannungWennUe f f = UTrue AC
dannjU j = jUj der Gleichrichtwert der reinen Wechselspannung
6.6 Crestfaktor
Der Crestfaktor gibt an, um das wievielfache der Spitzenwert gr¨oßer sein darf als der Effektiv-wert. Wird eruberschritten kann das Meßger¨at nicht mehr zuverl¨assig arbeiten.
FCrest=u
Ue f f= Spitzenwert
E f f ektivwert ξ,
FCrest = Crestfaktoru = Spitzenwert
WennUe f f = UTrue AC+DC
dannu der Spitzenwert der Wechsel- + GleichspannungWennUe f f = UTrue AC
dannu der Spitzenwert der reinen Wechselspannung
c M+M 13
oo 7 DAMPFUNG UND VERSTARKUNG
7 Dampfung und Verstarkung
7.1 Dampfer bzw. Verstarker
- -
??R1 R2
I1 I2
U1 U2Pab=2P1
Pzu
Abbildung 1: Verstarker- bzw. Dampfungsglied
η = PabPzu η = Wirkungsgrad
7.2 Dampfung- und Verstarkungsfaktoren
D = S1S2
D = DampfungsfaktorS1 = Eingangsgr¨oßeS2 = Ausgangasgr¨oße
V = 1D V = Verstarkungsfaktor
c M+M 14
oo 7 DAMPFUNG UND VERSTARKUNG
7.3 Dampfungs- und Verstarkungsmaße
aP = 10lgP1P2
aP[dB] = Leistungsd¨ampfungsmaßB = Bel
aU = 20lgU1U2
aU [dB] = Spannungsd¨ampfungsmaß
aP = aU 10lgR1R2
R1[Ω] = Eingangswiderstand
U2 =U1 10
ap+10logR1R2
20
!R2[Ω] = Ausgangswiderstand
aI = 20lg I1I2 aI [dB] = Stromdampfungsmaß
aP = aI +10lgR1R2
a= aP = aU = aI bei R1 = R2 a[dB] = Dampfungmaß in deziBel
v= a (1) v[dB] = Verstarkungsmaß
ages=n∑
i=1a Dampfung positiv, Verst¨arkung negativ
aL = α l aL[dB] = LeitungsdampfungαdB
m
= Dampfungskonstante der Leitung
l [m] = Leitungslange
a[dB] 0,00 1,00 3,00 6,00 10,0 20,0 30,0 40,0DP 1,00 1,26 2,00 4,00 10,0 100 1000 10000DU 1,00 1,12 1,41 2,00 3,16 10,0 31,6 100
Tabelle 1: Zusammenhang zwischen D¨ampfungsfaktoren und D¨ampfungsmaßen
7.4 Pegel
7.4.1 Absoluter Pegel
Der Pegel 0dB liegt bei der LeistungP0 = 1mW oder der SpannungU0 = 775mV vor.(I = 1;29mA,RL = 600Ω)
LUabs = 20lg UU0
LUabs[dBm] = Absoluter SpannungspegelU0[V] = Bezugsspannung
LPabs = 10lg PP0
LPabs[dBm] = Absoluter LeistungspegelP0[W] = Bezugsleistung
c M+M 15
oo 7 DAMPFUNG UND VERSTARKUNG
Bezugswerte Antennentechnik FernmeldetechnikRL 75,00 600 ΩU0 110(6) 77510(3) VI0 13,3310(9) 1,2910(3) AP0 13,3310(15) 1,0010(3) W
Tabelle 2: Bezugswerte f¨ur relative Pegel
7.4.2 Relativer Pegel
Fur BezugspunktU0 aus Tabelle:
LUrel = 20lg UU0
dBµV LUrel = Relativer Spannungspegel
7.4.3 Pegelreihe
Beispiel Pegelplan:
ages= a1v1+a2v2+a3
Dges= D1 1V1D2 1
V2D3
Sender Empfanger
-
v[dB]
a1 = l1 α a2 = l2 α a3 = l3 αv1 v2
Abbildung 2: Pegelplan
7.5 Fehlanpassung
Fehlanpassung muss beiR2 6= RLAST berucksichtigt werden.
aUFehl =
6dB+20lg RLASTR2+RLAST
aUFehl = Fehleranteil der D¨ampfung
75Ω ! 600Ω ) I# ) U" ) Verstarkung600Ω ! 75Ω ) I" ) U# ) Dampfung
c M+M 16
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8 Messen mit Osziloskopen
8.1 Spannungsmessung
G R
Y1 (oderY2)
?
U
U[V
]
t[s]
ay
tx
1Div
y
u(tx) = ay y(tx) u(tx)[V] = Spannung in abh¨angigkeit der Zeitay
VDiv
= Ablenkungskoeffizient in y-Richtung
y(tx)[Div] = Auslenkung in abh¨angigkeit der Zeit
8.2 Strommessung
G
R
RN
Y1 (oderY2)
-I
?
U
I[A]
t[s]
ay
tx
1Div
y
i(tx) =u(tx)RN
i(tx)[A] = Strom in abh¨angigkeit der ZeitRN[Ω] = Normalwiderstand
R> RN Z[Ω] = ScheinwiderstandRM[Ω] = Innenwiderstand Osziloskop
c M+M 17
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.3 Frequenzmessung
G R
Y1 (oderY2)
?
Uf
I[A]
t[s]
ax
tx
1Div
tx tx
tM = xax tM[s] = Periodendauerax s
Div
= Zeitkoeffizient in x-Richtung
x[Div] = Auslenkung in abh¨angikeit der Spannung
f = 1tM
f [Hz] = Frequenz
8.4 Phasenlage
G
R
RN
L
Y1
?
U
?
Y2
UN
Z
I[A]
t[s]
ax
x
1Div
x1 x2
x2x = 4t
T x2 = Abstand in Teilenx = Abstand in Perioden4t = ZeitdifferenzT = Periodendauer
4tT = ϕ
360Æ ϕ = Phasenverschiebungswinkel
ϕ = x2x 360Æ
c M+M 18
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.5 Zeitmessung
I[A]
t[s]
ax
tx
1Div
x
tx = ax xu(t) = usin(2 π f t +ϕu)i(t) = i sin(ω t +ϕi)
8.6 Phasenverschiebung mittels Lissajousfiguren
G1?
f1U
Y1
G2?
fNUN
X
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
ymax
y0
x0
xmax
ϕ =arcsin y0ymax
ϕ = Phasenverschiebungswinkel
ϕ =arcsin x0xmax
Diese Formeln gelten wenn sich die Figuren nach links neigen (+180Æ)
ϕ =arcsin y0ymax
+180Æ
ϕ =arcsin x0xmax
+180Æ
c M+M 19
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.7 Lissajous Figuren
8.7.1 Frequenzy = Frequenzx ohne Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x)sin(x)*0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(t)
fy = fx φ = 0Æ
8.7.2 Frequenzy = 2 fache Frequenzx ohne Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(2 * x)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(2 * t)
fy = 2 fx φ = 0Æ
8.7.3 Frequenzy = 4 fache Frequenzx ohne Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(4 * x)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(4 * t)
fy = 4 fx φ = 0Æ
c M+M 20
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.7.4 Frequenzy = Frequenzx mit 30Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 30)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(30 + t)
fy = fx φ = 30Æ
8.7.5 Frequenzy = Frequenzx mit 60Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 60)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(60 + t)
fy = fx φ = 60Æ
8.7.6 Frequenzy = Frequenzx mit 90Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 90)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(90 + t)
fy = fx φ = 90Æ
c M+M 21
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.7.7 Frequenzy = Frequenzx mit 120Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 120)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(120 + t)
fy = fx φ = 120Æ
8.7.8 Frequenzy = Frequenzx mit 150Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 150)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(150 + t)
fy = fx φ = 150Æ
8.7.9 Frequenzy = Frequenzx mit 180Æ Phasenverschiebung
-1
-0.5
0
0.5
1
0 50 100 150 200 250 300 350
sin(x + 180)sin(x) * 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
sin(t), sin(180 + t)
fy = fx φ = 180Æ
c M+M 22
oo 8 MESSEN MIT OSZILOSKOPEN
8.7.10 Wie geht dem (Graph nach Lissajou)
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
0 45 90 135 180 225 270 315 360
sin(x)
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
sin(t), sin(t)
Drehung um 90Æ und Spiegelung
1
0.750.
5
0.250
-0.2
5
-0.5
-0.7
5-1
045
9013
518
022
527
031
536
0
sin(x
+180
)
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
0 45 90 135 180 225 270 315 360
sin(x)
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
sin(t), sin(t+15)
Drehung um 90Æ und Spiegelung
1
0.750.
5
0.250
-0.2
5
-0.5
-0.7
5-1
045
9013
518
022
527
031
536
0
sin(x
+195
)
c M+M 23
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