Grundbegriffe der Schulgeometrie
SS 2006
(M. Hartmann)
Organisatorisches
• Vorlesung (Hartmann)– Dienstags bzw. Freitags zweistündig im Wechsel
• Übungen (Weth)– Zwei Gruppen A und B zur Auswahl– Wöchentliche Übungsaufgaben
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de• Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe• Rückgabe und Besprechung eine Woche später in den Übungen• Bewertung +, o, -
– Teilweise auch Präsenzübungen• Schein
– Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters– Voraussetzung zur Klausurteilnahme:
Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet!– Keine Nachholklausur!
Virtuelle Hochschule Bayern
• Wer hier teilnehmen will, muss sich zusätzlich kostenfrei bei der vhb für den Kurs „Grundbegriffe der Schulgeometrie“ einschreiben!
• Schreiben Sie sich heute noch ein!!• Frage: Wie geht das?• Antwort: ??
Was soll die Vorlesung leisten?
• Vorbereitung auf das Unterrichten von Geometrie in der zweiten Phase– Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts
• Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen• Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln• Exemplarisch
– Schulmathematisches Wissen • Auffrischen• Elaborierte Sichtweise• Teilweise fachmathematische Hintergründe
• Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen
Was kann die Vorlesung nicht leisten?
• Allgemeine Methodik des Unterrichtens• Stoffverteilungsplan• Komplette Stundenbilder• Vollständige Behandlung der Schulgeometrie
– Mathematisch– Didaktisch
• Strategische Vorbereitung fürs Examen – → Seminar zur Examensvorbereitung
Überblick über Vorlesung
I. Ziele des Geometrieunterrichts (1)
II. Bildung geometrischer Begriffe (10)
III. Inhaltslehre (2)
IV. Zeichnen/Konstruieren (2)
V. Geometrische Abbildungen /Symmetrie (2)
VI. Projektionen (2)
VII. Räumliches Vorstellungsvermögen (1)
VIII. Problemlösen/Kreativität (1)
I. Ziele des Geometrieunterrichts
• Erwerb – elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische
Operationen sowie deren Beziehungen– handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren,
Zeichnen, Messen, Berechnen,…)• Befähigung zur Anwendung dieses Wissens
– Alltag, Beruf und weiterführende Schulen • Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten
– Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe• Förderung von Problemlösetechniken
– speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein• Sprachschulung
– Beschreiben, Argumentieren, Fachsprache nutzen,…• Förderung kreativen Verhaltens
– Freude am Schaffen und Entdecken – Kreativitätsroutinen
Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP)• Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität
und problemlösendes Denken entwickeln …• Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum
fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen.
• Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern.
• …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein.• Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen
Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden.
• Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen geschult.
• Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible Anwendung.
II. Bildung geometrischer Begriffe
Sprech- und Schreibweisen
• Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw. des Raumes auf
• Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden
• Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht dann vom R² bzw. R³)
• Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maß unterschieden werden!
Empfohlene Schreibweisen (LP)
A, B, C... PunkteP (x | y) Punkt im Koordinatensystem mit
den Koordinaten x und yAB Gerade durch A und B[AB] Strecke von A nach B
Länge der Strecke ABg, h, k... Geradeng || h g ist parallel zu h
g h g ist senkrecht zu h (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt Bα, β, γ, δ... Winkelmaß
AB
VariierenAnalogisieren
Definitionen
Eigenschaften
Naive Vorstellung
FachmathematischerAspekt
Vorkommen
KreativesArbeiten
UnterrichtlicheRepräsentation
GeometrischerBegriff
Fachsprache
Fachsprache
Funktion
Anwendung
Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf
Begriffsumfeld
Beziehungen
Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
AnalysierenVernetzen
Handeln/Werken
Verbalisieren
Zeichnen
Schüleraktivität
Modell
Text
Bild
Ordnen
Operativ vorgehen
Ungenauigkeit
VariierenAnalogisieren
Definitionen
Eigenschaften
Naive Vorstellung
FachmathematischerAspekt
Vorkommen
KreativesArbeiten
UnterrichtlicheRepräsentation
GeometrischerBegriff
Fachsprache
Fachsprache
Funktion
Anwendung
Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf
Begriffsumfeld
Beziehungen
Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
AnalysierenVernetzen
Handeln/Werken
Verbalisieren
Zeichnen
Schüleraktivität
Modell
Text
Bild
Ordnen
Operativ vorgehen
Ungenauigkeit
VariierenAnalogisieren
Definitionen
Eigenschaften
Naive Vorstellung
FachmathematischerAspekt
Vorkommen
KreativesArbeiten
UnterrichtlicheRepräsentation
GeometrischerBegriff
Fachsprache
Fachsprache
Funktion
Anwendung
Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf
Begriffsumfeld
Beziehungen
Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
AnalysierenVernetzen
Handeln/Werken
Verbalisieren
Zeichnen
Schüleraktivität
Modell
Text
Bild
Ordnen
Operativ vorgehen
Ungenauigkeit
Naive Vorstellung• Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung. Sie ist oft
gekennzeichnet durch – Prototypen
• Sonderformen (Rechteck statt Viereck)• Normallagen (Quadrat vs. Raute)• Standardproportionen (Draht ein Zylinder, Blatt Papier ein Quader?)
– Bezug zu bestimmter Sachsituation (Pyramide Cheops)– Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile) – Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität)
• An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknüpft werden– Teilweise um sie auszumerzen (Raute vs. Quadrat) (da sich diese sonst
auf Dauer wieder festigt!)– Teilweise um sie zu nutzen
• Als Merkhilfe für Bezeichnungen (Pyramide, Trapez, Zylinder…)• Als mentale Prototypen (z.B. bildliche Repräsentation im Gedächtnis:
Normallage, bestimmte Proportion)• Als Ausgangspunkt für eine Verallgemeinerung (
schiefe nichtquadratische Pyramide)
Cheopspyramide
Trapez
Zylinder
Raute
Mentale Modelle beziehen sich auf Prototypen
Satz von Thales?
Fachmathematischer Aspekt
• Begriffe (z.B. Figuren, Relationen, Abbildungen…) werden definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet– Definitionen erfolgen oft durch
• Einschränkung bereits definierter Begriffe (bzw. Grundbegriffe) mithilfe definierter Begriffe
• Abstraktionsprozess durch Äquivalenzklassenbildung (→ z.B. Flächeninhalt)
– „Definierende“ Einschränkungen müssen unabhängig sein– Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen– Definition im Unterricht
• Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften– Viereckseigenschaften können sich z.B. beziehen auf
• Seiten (Längen, Lage), Winkel, Symmetrien, Diagonalen (Längen, Lage), Umfang, Flächeninhalt, Inkreis, Umkreis, …
Übersicht
• Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander – z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit
der Gegenwinkel
• Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffsnetz eingebunden– Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke)– Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel,
…)– Hierarchische Begriffsbeziehungen
• Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff• Lokales Ordnen bekannter Begriffe• Kreatives Ordnen
• Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess– Was macht eine Begriff mathematisch wertvoll?– Begriffsbildung durch Variation, Kombination, Reduktion…– Analogisieren hilft Eigenschaften in variierten Begriffen zu
entdecken
Übersicht
„Definition“ im Unterricht
• Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein!
• Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht– vorher definiert,– aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder– an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden.
• Bsp. für eine schulgerechte „Definition“ von Vieleck:Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener Streckenzug
• Definitionen können „statisch“ oder „dynamisch“ erfolgen– Bsp. Kegel, Parallelogramm…
VieleckeKeine Vielecke
Dreieck, nicht Viereck!
offen
überschlagen
Lokales Ordnen (Haus der Vierecke)• Warum systematisches lokales Ordnen im Unterricht?
– Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer)– Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen
Ordnens (z.B. zoologische Systematik)– Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch
• Wiederholung• Vernetzung• Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften)
– Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. „Das Parallelogramm ist ein Trapez“)
– Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und müssen dort nicht neu bewiesen werden)
Wie kann geordnet werden?
Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren Eigenschaften bekannt!
1) Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für Parallelogramm)
2) Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B zueigen ist:
– Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck, Raute oder Quadrat)
– Wenn nein, dann ist Typ B• Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges
Trapez) oder• Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in
diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein
zurück
Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet!
1) Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)
2) Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen:– Achsensymmetrie
– bzgl. Diagonalen (Drachen)– bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez)
– Punktsymmetrie (Parallelogramm)3) Kombiniere die ordnenden Eigenschaften
– Z.B. Achsensymmetrie bzgl.• zweier Diagonalen• dreier Mittelsenkrechter• einer Diagonalen und Punktsymmetrie…
4) Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten– Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu
ordnenden Vierecke• Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits
auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und Mittelsenkrechten
• In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90° schneiden
5) Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften
zurück
Kreatives Ordnen
Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll
• Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden
• Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!
1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich“.– Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die
in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...
2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“.– Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche
interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis
– Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)
Eigenschaften im Unterricht entdecken
• Das Wahrnehmen von Besonderheiten muss trainiert werden
• Fordern Sie explizit zum Beobachten auf. Hierzu haben Sie verschiedene Möglichkeiten– Geben Sie konkrete Hinweise auf welche
Eigenschaften geachtet werden kann– Fordern Sie dazu auf,
• systematisch alle möglichen Eigenschaften auf Besonderheiten hin zu untersuchen
• Operationen auszuführen und auf Invarianten zu achten
Lebensweltlicher AspektGeometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag, Beruf). Hier ist es fruchtbar zu fragen:
• Wo kommt ein geometrischer „Begriff“ (Objekt, Eigenschaft, Relation, Abbildung…) vor?– Z.B.: „Wo findest du hier im Klassenzimmer (Schulhaus, Straße…) Trapeze
(Parallelität, Drehungen…)?Ziel: Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche Bezeichnungen einüben
• Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor?– Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade?– Warum sind
• Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben,… kreisförmig?• Himmelskörper, Seifenblasen,… kugelförmig?• Teller, Tassen,… „rund“?
Ziel: Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen; Förderung der Allgemeinbildung; Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus Handwerk; Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess) und Eigenschaften verdeutlichen
– Warum entstehen Rauten wenn man zwei Parallelgitter gleichen Gitterabstandes kreuzt?Ziel: Als Ausgangspunkt für innermathematische Problemstellungen nutzen
Die umfassende Auseinandersetzung mit möglichst vielen mathematischen und lebensweltlichen Aspekten eines Begriffs sowie deren Zusammenhängen ermöglicht erst die Bildung sinnvoller unterrichtlicher Lernziele und ist damit die Grundlage jeglichen interessanten Mathematikunterrichts!
Fachwerk
Schimmelkultur, Hexenring, Baumscheibe…
Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!
Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!
Pinguine im Kreis
Teller als Rotationskörper erzeugt
Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element, sondern die Unterlage bewegt.Daraus lässt sich ein Zeichenverfahren für Kreise ohne Zirkel entwickeln:Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit. Der Fingernagel fixiert das Blatt an einer Stelle, um die dieses mit der anderen Hand gedreht wird.
Müssen Räder kreisförmig sein?
Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers (Gleichdicke) als den Kreis?
Ja, z.B. das Reuleaux-Dreieck!
Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicks gibt es kein Zentrum für eine Achse, das bei ebener Strecke auf gleicher Höhe bleibt.
Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur Gleichdicke sein.
Wie stellt man einen Turm gerade?
Schiefer Turm aus Kölsch
Schiefer Turm aus Kölsch
Wie stellt man einen Turm gerade?
Schiefer Turm aus Köln
Schiefer Turm aus Köln
Welches der Dreiecke ist rechtwinklig?
BA
E F
H G
CD
Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltwinkel
Ein rechter Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers
Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen
Mit ihm können Grunderfahren gemacht werden, die auf folgende Definition bzw. Satz vorbereitet
Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie auch senkrecht auf allen Geraden aus E, die durch ihren Spurpunkt gehen
Aspekt der Ungenauigkeit
Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Konstruktionen unabhängig vom Konstruktions-verfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen, in der praktischen Anwendung aber aufgrund von Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche Aspekte berücksichtigt werden müssen.
Bsp.:
• Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe für die Funktion von Bauteilen oder ein handwerkliche Vorgehensweisen nutzen?– Müssen Räder kreisförmig sein?– Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun?– Wie stellt man einen Turm gerade (bohrt man ein senkrechtes Loch)?– Wie repariert man eine klemmende Schranktür?Ziel: Geometrische Zusammenhänge bewusst nutzen können, Übliche
Formen und Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren können
Wie findet man solche Beziehungen?1. Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in
der Umwelt. Hier helfen z.B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet2. Man beobachtet wachen Auges Umwelt und sucht in dieser
geometrische Aspekte 3. Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus
VariierenAnalogisieren
Definitionen
Eigenschaften
Naive Vorstellung
FachmathematischerAspekt
Vorkommen
KreativesArbeiten
UnterrichtlicheRepräsentation
GeometrischerBegriff
Fachsprache
Fachsprache
Funktion
Anwendung
Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf
Begriffsumfeld
Beziehungen
Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff
Mentales Modell/Proposition
AnalysierenVernetzen
Handeln/Werken
Verbalisieren
Zeichnen
Schüleraktivität
Modell
Text
Bild
Ordnen
Operativ vorgehen
Ungenauigkeit
Umweltaspekt
Fachmathematischer Aspekt
Lehrer leitet ab
konkreteLernziele
Lehrer entwickelt
adäquateLernumgebung
Schüler baut auf
mentale Begriffe
AllgemeineBildungsziele
Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …
Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …
Sa
chst
rukt
ur
Repräsentationsformen:• Man unterscheidet in enaktive (Handlung), ikonische (Bild)
und symbolische (Text mit mathematischen Symbolen, Gleichungen…) Repräsentationsformen– Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe
eines Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf
• Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt für Repräsentationen im Unterricht liefern, so– sind sie nicht trennscharf– sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema für einzelne
Unterrichtseinheiten verstanden werden– kann z.B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die
bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern
– sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll (insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!)
– sichern sie nicht die Qualität der Repräsentationen– müssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden
Enaktive Repräsentation
• Hauptziele: – Erfahrungen sammeln– entdeckend lernen – Entdecken lernen (Sensibilität für Phänomene
entwickeln, operative Vorgehensweise anwenden)
• Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so – müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter
Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck!) – muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden!
(Handlungen führen über die Sprache zu mentalen Einsichten)
Ikonische Repräsentation
• Hauptziele: – Festhalten der Erfahrungen– Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales
Modell
• Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass– Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe,
Strichdicke…)– der Prototyp keinen Spezialfall darstellt– der Zusammenhang mit der vorangegangenen
Handlung deutlich gemacht wird
Symbolische bzw. textliche Repräsentation• Hauptziele:
– Während der Handlungen (vor allem sprachlich):• Klärung der noch undeutlichen Ideen• Kommunikation der Entdeckungen• Kommunikationstraining
– zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben– Verwenden eigener Bezeichnungen
– Abschließend:• Ergänzen der ikonischen durch propositionale Fassung
– um Sachverhalte» allgemeingültig sowie » leicht kommunizierbar zu repräsentieren
– zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell)
• Training exakten Formulierens
– Weiterführend (vor allem symbolisch):• Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als
Formeln)
• Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass– knapp aber unmissverständlich formuliert wird
(Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976)
– der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…)Bsp.: Außenwinkelsatz
Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens
• Enaktiv– Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren
Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!)
– Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie
– Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip)
– …• Ikonisch
– Inadäquate Repräsentation:…– Adäquate Repräsentationen:…
• Symbolisch– Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da
Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend)– Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils
gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen)
Repräsentation von Körpern
• Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden
• Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich!
• Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen– Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,…
Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur repräsentiert werden
– Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze, Oberflächenmaß, …
– Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…
• Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen – die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst
hergestellt werden• Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten!
– die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden durch
• Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe• Prozess des Aufbaus
– diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden– entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B.
Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)
– die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden– Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden – der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden
Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…)
– reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)
Netze von Körpern
• Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner)
• Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke• Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen
entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung
Beispiele:
Gegenbeispiel:Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhängend!
Nicht zusammenhängend!
Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist?
– mental-visuelles Zusammenfalten• Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf
Grundfläche stellen
– Anwenden von Ausschlusskriterien• Kein „U“
• kein „5er-Band“
• kein „großer Winkel“
– Speziell für Quadernetze• 3 Paare kongruenter Rechtecke
• Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten
großes Ukleines U U
5er-Bandgroßer Winkel
Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?
gleich oder verschieden?
Drehen
Umklappen
Lernziele zu Körpernetzen
• Umweltaspekt: – Vermeidung von Leimkanten– Verpackungsprobleme
• Einprägen von Körpereigenschaften• Training des räumlichen Vorstellungsvermögens
– speziell des mental-visuellen Operierens und– der Nutzung propositional beschreibbarer
Relativlagen
Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide
„sternförmig“ „mantelförmig“
Repräsentiert Symmetrie Repräsentiert Aufteilung inMantel- und Grundfläche
• Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“
• Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und Mittelsenkrechten der Grundkanten“
• Konstruktionsmöglichkeit 3: „Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“
Konstruktionsaufgabe
• Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm
• Ges: Netz der Pyramide
Standardnetze der geraden Rechteckspyramide
• Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide
Netz eine beliebigen Dreieckspyramide
Netz eine beliebigen Vieleckspyramide
Bedingungen für Pyramidennetze:(1) aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang
(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz
(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide
(Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt)
Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen kommen!
Netz einer regulären n-Eckspyramide
• Definition des regulären n-Ecks:Ein n-Eck mit – n gleichlangen Seiten und
– ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis)
heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck• Konstruktion eines regulären n-Ecks:
– Konstruktionsmöglichkeiten über • Bestimmungsdreieck
• „schrittweise Abbiegen“
• Kreis um Mittelpunktsstrahlen
• Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel– Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen
Berührpunkt gemeinsam haben
Zylindernetze
• Gerader Kreiszylinder:
• Beliebiger gerader Zylinder:
• Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder– Anwendung Rohrknie
Mantelfläche:
Kegelnetze
• Gerader Kreiskegel:
– Zusammenhang zwischen r und :
Netz des schiefen Prismas
• Abwicklung
Netz der Kugel?
• Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz!• Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer
Orange durch Schälen– unsystematisch oder
– systematisch versucht werden
II. Inhaltslehre
Fachmathematische Grundbegriffe der Flächeninhaltslehre:
• Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vn zerlegt, wenn
1. V = V1U…U Vn
2. Je zwei Vielecke der Menge {V1,…, Vn} haben höchstens Randpunkte gemeinsam
• Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so zerlegt werden können, dass für i= 1,…,n gilt: Vi ist kongruent zu Wi
– Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation
• Zwei Vielecke V und W heißen ergänzungsgleich, wenn sie sich durch endlich viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen lassen
• Satz: Zwei Vielecke sind genau dann ergänzungsgleich, wenn sie zerlegungsgleich sind
Flächeninhaltsfunktion
• Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle Zahl |V| zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion, wenn gilt:
1. |V|>0 stets
2. |V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist
3. |V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist
4. |V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist
• Satz: Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion
Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Zerlegungsgleichheit
• Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke haben denselben Flächeninhalt
Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule
1. Direkter Flächenvergleich:– ohne Zerlegung
– mit Zerlegung
2. Indirekter Flächenvergleich mittels eines– ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)
• Beispiele: – Bankflächen mittels Heft vergleichen
• Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds
– genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat)• Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch
Rückführung des Problems auf Längeneinheit
• Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke?– Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und– Abzählen besonders leicht möglich
3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln
• Rechteck– 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen– 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens– 3. Schritt: Formel (Spätestens hier Festlegung von m•m = m² als
Flächeninhalt des Einheitsquadrats)– 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere
• Andere Vier- bzw. Vieleckstypen– Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das
Rechteck zurückgeführt durch • Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie),• Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw. • Ergänzen • Scheren (auch Cavalieri)
• Beliebige „krummlinige“ Formen– Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete
Vielecke– Auf Karopapier: Einbeschriebenes und umbeschriebenes
„Karoeck“– Trapezstreifenmethode
• Kreis – 1. Schritt: Grobabschätzung
führt bereits zu Ansatz: AKreis= • r²– 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors an Beispielen.
Dazu z.B.:• Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben
oder• Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)
– Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“• Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet• Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her
– Fachmathematische Bestimmung z.B. mittels Folge ein- bzw. umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern
• In einem rechtwinkligen Dreieck– sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich
dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras)– ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz)– ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck
aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)
• Einfache Beweise (fürs Examen):• Weitere Beweise:
– Perigal
• Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung
Die Satzgruppe des Pythagoras
Aufbau des Volumenbegriffs
Analog Flächeninhalt!!• direkter Volumenvergleich
– ohne Verformung– mit Verformung
• Flüssigkeiten umschütten • Knetmasse verformen
• indirekter Vergleich mittels– ungenormten Repräsentanten– genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)
Aktivitäten
• Volumenvergleiche bzw. -messungen durch– Wiegen
• Vollkörper gleichen Materials verwenden
– mit Wasser befüllen• Direktvergleich• Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher)
– Wasser verdrängen• Überlaufen lassen• Wasserspiegel ansteigen lassen
– Zerlegungen• Bei gerade Säulen analog zu Vielecken
Ableitung der Volumenformeln
• Übersicht
Umgang mit Formeln
• Intensive formenkundliche Analysen voranstellen• Formeln nicht zu früh einführen• Analogien herausarbeiten• Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten)• Notwendige Schülerkompetenzen:
– Anwendungsbereich kennen– Formel interpretieren– nicht auf andere Bezeichnungen übertragen können– Größen einsetzen und mit diesen rechnen– Formeln umstellen– Formel in Formel einsetzen– Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw.
subtraktiv analysieren
IV. Geometrische Abbildungen
Kongruenzabbildungen• Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren auf
deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen– Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur
F2 ab?• Bildfigur parallel
• Bildfigur zusätzlich gedreht
• Bildfigur liegt spiegelbildlich
• Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich
– Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch
• Verschiebung,
• Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung),
• Achsenspiegelung oder
• Schubspiegelung!
• Fachmathematisch:- Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt
Kongruenzabbildung- Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch
geradentreu und winkelmaßtreu.
- Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung
- Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann.
- Dreispiegelungssatz: Die Verkettung von Achsenspiegelungen kann stets auf eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen gerade bzw. ungerade.
Verkettung von Kongruenzabbildungen
• Verschiebung mit Verschiebung• Verschiebung mit Drehung• Drehung mit Drehung• Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung• …
V. Symmetrie
• Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden.
• Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies:– Achsenspiegelung → Achsensymmetrie– Drehsymmetrie
• Drehung um 360°/n → n-strahlige Symmetrie
• Drehung um 180° → Punktsymmetrie (2-strahlige Symmetrie)
• Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum → Rotationssymmetrie
– Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie– Schubspiegelungssymmetrie
Achsensymmetrie (bzw. Ebenensymmetrie im Raum)
Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet.
Beispiele:
– Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft
– F1 liegt spiegelbildlich zu F2
– F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt)
– Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur
F1 F2
a
Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft?
• Natur:– Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,…– Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, …– Geologie: Kristalle, Vulkane,…– Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links
bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen….
• Artefakte:– Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte:
• Ursache: – Anpassung an vorhandene Symmetrie
(Brille, Stuhl, Toilette, Rathaus von Maastricht, …)– Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (Schaufel, Rechen,
Gewölbe…)– Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)
Repräsentation gleicher Machtansprüche
• Vor etwa 300 Jahren wurde Maastricht gleichberechtigt von Fürstbischof von Lüttich und dem Herzog von Brabant regiert
• Das neue Rathaus sollte die Einheit der Stadt und den gleichen Rang beider Fürsten verdeutlichen
Drehsymmetrie
Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet.
Beispiele:– Punktsymmetrische Figur– Drehsymmetrische Figur mit
• dreizähliger Drehsymmetrie
• vierzähliger Drehsymmetrie
– Reguläres n-Eck– Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit
ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie
Verschiebungssymmetrie
• Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein
• Beispiele:– Gerade– Bandornamente– Parkette
Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien
• Achsenspiegelung - Achsensymmetrie:– Klecksbilder – Umklappen einer Figur auf Folie– Einfach gefaltetes Papier
• schneiden• durchstechen
– Kohlepapier– Spiegel– Pantomime– Miraspiegel– Bauen z.B. mit Lego– Karopapier (Achslage parallel oder diagonal)– „Konstruktion“ mit
• Zirkel• Geodreieck
– Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, – Ergänzen zu symmetrischer Figur
• Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie:– Drehung einer Figur auf Folie– „Konstruktion“ mit
• Zirkel• Geodreieck
– Doppelt gefaltetes Papier schneiden– Doppelspiegel– Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden– Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums– Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht)
• Verschiebung - Verschiebungssymmetrie:– Verschiebung einer Figur auf Folie– Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal– Erzeugung von Bandornamenten– Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden– Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments
ProjektionenZentralprojektion
– Prinzip:• Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer
punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion
• Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst
– Eigenschaften:• Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche
abgebildet• Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden
auf Geraden abgebildet• Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln,
Hyperbeln) oder Strecken abgebildet• Bilder paralleler Geraden, die nicht parallel zur Bildebene liegen,
schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt• Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene
verlaufen, liegen auf einer Geraden (Horizontlinie)
Parallelprojektion
• Prinzip:– Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen
auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion– Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des
Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne)– Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen
auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst
• Eigenschaften:– Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente
abgebildet– Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf
Geraden abgebildet– Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen
festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet– Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln)
oder Strecken abgebildet– Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele
• Schrägbild vs. Normalbild– Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schrägbild die
abbildenden Strahlen senkrecht auf der Bildebene
• Dreitafelbild• Konstruktion eines Schrägbildes
– Heuristische Ideen: • Hilfslinien → punktweise Abbildung
• Rückführung auf bekanntes Problem → Einbettung in Quader
– Bsp: Sechseckspyramide, Kegel..
Kurze Übung
• Lernziel: Kreis ist die Menge aller Punkte, die …– Das Zeichnen eines Kreises mittels
• Untertasse• Schnur• Zirkel• Bleistift durch Drehung des Blattes
– Das Ausschneiden eines vorgezeichneten Kreises– Das Bild eines Kreises mit verschiedenen eingezeichneten Radien– Die symbolische Darstellung
• k(Z,B)• k(Z,r)• {P| Abstand P von Z ist 2 cm}
– Die Betrachtung eines Fahrradvorderrades– Das Zeichnen 3cm langer Strecken ausgehend von einem Punkt
• Lernziel: Kreis ist eine Figur konstanter Krümmung– Das Zeichnen eine Kreises mittels Zirkel– Das schrittweise Biegen eines Drahtes– Das Fahren eines Modellautos mit fester Lenkerstellung