Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Die Riskopramie ergibt sich also als ein Vielfaches der Varianz der
zugrundeliegenden ’Unsicherheit’
I Dieses Vielfach hangt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man
bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.
I Der Arrow-Pratt Koeffizient ist ein nutzliches Mass fur die absolute
Risikoaversion des Haushaltes.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Bisher haben wir uns nur angeschaut wie Individuen Risiko bewerten.
I Wir haben dabei ein Maß fur die Risikoeinstellung ermittelt.
I Ein zweiter wichtiger Punkt bleibt dabei offen: Wie messen wir
uberhaupt Riskiko?
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Ein Maß fur Risiko soll uns also zeigen wie risikoreich eine bestimmte
Situation/Lotterie fur ein Individuum ist.
I Die Idee ist dabei, dass ein risikoaverses Individuum eine Situation mit
weniger Risiko einer Situation mit mehr Risiko vorzieht.
I Das Risikomaß soll also eine entsprechende Reihung der Lotterien
generieren.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Das erste mogliche und intuitive Risikomaß ist naturlich die Varianz
einer Lotterie.
I Eine Situation in der das Einkommen einer großeren Variation
unterliegt hat auch eine hoheres Risiko.
I Der Vorteil der Varianz ist, dass diese leicht zu ermitteln und intuitiv
ist.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Der große Nachteil ist aber, dass die zu kurz greift, weil der erwartete
Nutzen (bzw. payoff) nicht nur eine Funktion der Varianz ist.
I Eine Lotterie mit einer hoheren Varianz muss nicht unbedingt mit
einem hoheren Risiko verbunden sein.
I Auch die weitere Momente der Verteilung spielen eine wichtige Rolle.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Stellen wir uns vor, dass der Haushalt sich einer (stochastischen)
Auszahlung in Hohe von ys = y + zs (siehe oben) gegenubersieht.
I Der Nutzen kann dann geschrieben werden als u(ys) = u(y + zs) bzw.
als Taylor Reihe
I u(ys) = u(y) + u′(y)zs + 12!u
′′(y)z2s + 1
3!u′′′(y)z3
s ...
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Damit ergibt sich der Erwartungswert des Nutzens als
I E(u(ys)) = E(u(y)) + 12!u
′′(y)E(z2s ) +
∑∞n=3
1n!u
n(y)E(zns )
I Da der Erwartungswert von zs Null ist, ist die Varianz E(z2s ) bzw. die
hoheren Momente E(zns )
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Es kann also Situationen geben in denen eine Lotterie eine hohere
Varianz als eine andere hat, der erwartete Nutzen aber dennoch
großer ist.
I Dann ist die Varianz naturlich kein vernunftiges Maß fur Risiko.
I Dies ist nur der Fall bei speziellen Nutzenfunktionen und/oder
Einkommensverteilungen.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Um diesem Problem zu begegnen wurden weitere Maße fur Risiko
vorgeschlagen.
1. stochastische Dominanz
2. mean-preserving spread
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Nehmen wir an, das Einkommen Y sei eine Zufallsvariable. Nehmen
wir weiterhin an, dass wir diese so normieren konnen dass y ∈ [0, 1].
I Betrachten wir nun eine Verteilungsfunktion F i (y) (mit zugehoriger
Dichte f i (y)), wobei i irgendeine Verteilung angibt.
I Von stochastischer Dominanz erster Ordnung spricht man immer
dann, wenn F 1(y) ≥ F 2(y)∀y und F 1(y) > F 2(y) fur min. ein y.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I In diesem Fall hat Verteilung 2 stochastische Dominanz uber
Verteilung 1.
I Salopp kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit fur ein
Einkommen von y oder kleiner, bei Verteilung 1 großer ist als bei
Verteilung 2.
I damit gilt aber auch folgender Satz.
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Satz
Wenn Verteilung 2 die Verteilung 1 stochastisch dominiert, dann ist der
erwartete Nutzen unter Verteilung 2 großer als unter Verteilung 1.
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Beweis
I Der erwartete Nutzen (abhangig von der Verteilung i) ist
Ei (u(y)) =∫ 10 f i (y)u(y)dy .
I Partielles integrieren (uv =∫
u′v +∫
v ′u, hier v ′ = f ) gibt
I Ei (u(y)) = (u(1)F i (1)− u(0)F i (0))−∫ 10 F i (y)u′(y)dy
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Damit kann man aber zeigen, dass fur E2(u(y))− E1(u(y)) folgendes
gilt
I E2(u(y))− E1(u(y)) =∫ 10 (F 1(y)− F 2(y))u′(y) > 0
I Die Definition der stochastischen Dominanz beweist den Satz.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Das Konzept der stochastischen Dominanz legt strenge Restriktionen
auf die zu vergleichenden Verteilungen.
I Faktisch sind nur Verteilungen vergleichbar, deren
Verteilungsfunktionen sich nicht schneiden.
I Diese harte Restriktion ist aber in vielen Fallen nicht praktikabel.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Ein zweites Konzept zur Messung des Risikos zielt deshalb weniger
auf die absoluten Werte der Verteilungsfunktion sondern vielmehr auf
die Flache unter der Funktion ab.
I Definiere die Flache unter der Verteilungsfunktion als
T (y) =∫ y0 F (y)dy .
I Fur den Erwartungswert gilt
E(y) =∫ 10 yf (y)dy = [yF (y)]10 −
∫ 10 F (y)dy
I E(y) = 1− T (1)
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I Mit Hilfe dieser Großen kann man nun zwei Verteilungen 1 und 2
bzgl. des Risikos miteinander vergleichen.
I Eine Verteilung 2 hat stochastische Dominanz zweiter Ordnung uber
Verteilung 1, wenn T 1(y) ≥ T 2(y) gilt, wobei fur manche y dies als
Ungleichheit halten muss.
I Eine Verteilung hat also stochastische Dominanz zweiter Ordnung,
wenn die Flache unter der Verteilungsfunktion immer kleiner oder
gleich der einer anderen Verteilung ist.
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Satz
Hat Verteilung 2 stochastische Dominanz zweiter Ordnung uber Verteilung
1, dann ist der erwartete Nutzen unter Verteilung 2 großer als unter
Verteilung 1.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
Beweis
I Wir haben gezeigt, dass folgendes gilt:
I E2(u(y))− E1(u(y)) =∫ 10 (F 1(y)− F 2(y))u′(y)
I ’Lost’ man nun die rechte Seite der Gleichung (partielles Integrieren!)
so erhalt man
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I (T 1(1)− T 2(1))u′(1)− (T 1(0)− T 2(0))u′(0)−∫ 10 (T 1(y)−
T 2(y))u′′(y) > 0.
I Dieser Ausdruck ist aber eben wegen der Annahme der stochastischen
Dominanz zweiter Ordnung positiv.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Der wichtige Punkt bei dem Konzept der stochastischen Dominanz
zweiter Ordnung ist, dass es sehr eng mit dem Konzept des
mean-preserving spread verbunden ist.
I Eine Verteilung 1 ist ein mean-preserving spread der Verteilung 2,
wenn diese einen identischen Erwartungswert habe,
I aber Verteilung 1 mehr Wahrscheinlichkeitsmasse an den Randern hat
(’fettere Enden’).
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Formal bedeutet dies, dass innerhalb eines beliebigen Intervalls
f 2(y) > f 1(y) bzw. f 2(y) < f 1(y) außerhalb dieses Intervalls.
I Beginnen wir also am ’linken’ Rand die Werte fur die Dichte zu
addieren (und damit die Verteilungsfunktion zu ermitteln),
I so ist F 1(y) > F 2(y) und zwar bis zu einem Schwellenwert y und
danach F 1(y) < F 2(y).
I Dies ist die ’single crossing property’ des mean preserving spread.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Wegen dieser Eigenschaft muss aber fur die Flache unter der
Verteilungsfunktion gelten, dass T 1(y)− T 2(y) ≥ 0 bzw. > fur
einige y .
I Weiterhin gilt naturlich per Definition T 1(1) = T 2(1).
I Damit impliziert der mean preserving spread aber die stochastische
Dominanz zweiter Ordnung.
I Risikoaverse Individuen verlieren also durch einen mean-preserving
spread
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 198 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Wir haben uns bisher angeschaut, wie die Haushalte gemaß ihrer
Risikoeinstellung klassifiziert werden konnen und
I wie das Risiko verschiedener Lotterien (Verteilungen) verglichen
werden kann.
I In einem nachsten Schritt wollen wir uns anschauen, wie ein Haushalt
mit Risiko umgeht, wenn es Versicherungen gibt.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 199 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Problem: Das Einkommen des Haushaltes hangt vom Zustand der
Welt s ab.
I Nehmen wir an, dass es 2 dieser Zustande gibt. Das Einkommen ist
dann y1 = y und y2 = y − L.
I L mogen dabei die Kosten eines Unfalls darstellen.
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Dem Haushalt bietet sich nun die Moglichkeit uber einen
Versicherungskontrakt Ressourcen von einem Zustand in den anderen
Zustand zu verschieben.
I Der Preis um einen Euro zu verschieben sei nun p.
I Bezahlt der Haushalt also pq, so erhalt dieser q falls der Zustand 2
eintritt.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 201 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Weiterhin nehmen wir an, dass πi die Wahrscheinlichkeit fur den
Zustand i ist.
I Sowohl das Individuum als auch der Versicherer kennen diese
Wahrscheinlichkeit → keine Adverse Selektion.
I Der Versicherungsnehmer hat weder Einfluss auf die Schadenshohe
noch auf die Schadenswahrscheinlickeit → kein Moral Hazard
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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Gegeben diese Information, kann das Einkommen des Haushaltes in
den beiden Situationen dargestellt werden:
I y1 = y − pq
I y2 = y − pq − L + q
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 203 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Damit konstituieren diese beiden Gleichungen so etwas wie eine
Budgetrestriktion.
I Das verbindende Element zwischen diesen beiden Zustanden der Welt
ist die Hohe der Versicherung q.
I Der Haushalt wahlt endogen die Versicherungssumme q, die den
erwarteten Nutzen maximiert.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 204 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Bevor wir uns dem Maximierungsproblem des Haushaltes widmen
wollen wir uns noch die Bedingung fur eine faire Versicherungspramie
anschauen.
I Eine faire Versicherungspramie liegt immer dann vor, wenn sich das
erwartete Einkommen nicht andert.
I Erwartetes Einkommen ohne Versicherung
π1(y) + π2(y − L) = y − π2L, wobei naturlich π1 + π2 = 1.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 205 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Erwartetes Einkommen mit Versicherung
π1(y − pq) + π2(y − L− pq + q) = y − pq − π2L + π2q
I Wenn also die Pramie p der Schadenseintrittswahrscheinlichkeit π2
entspricht, so handelt es sich um eine faire Versicherung.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 206 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Wie sieht nun das optimal Verhalten eines Haushaltes aus?
I Zielfunktion E(u) = π1u(y − pq) + π2u(y − L− pq + q)
I Die Bedingung erster Ordnung fur die optimale Wahl des
Versicherungsschutzes (alle anderen Großen sind exogen!) ist dann:
I π1u′(y − pq)(−1)p + π2u
′(y − L− pq + q)(1− p) = 0
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 207 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Dies Bedingung kann umgeschrieben werden zu:
I p(π1u′(y − pq) + π2u
′(y − L− pq + q)) = π2u′(y − L− pq + q)
I Die Grenzkosten der Versicherung (linke Seite), d.h. der
Einkommenverlust in Hohe von p muss im Optimum genau so groß
sein wie der Grenzertrag.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 208 / 311
Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit
I Wie hoch wir nun der optimale Versicherungsschutz sein, wenn die
Pramie der Versicherung fair ist, d.h. p = π2?
I In diesem Fall gilt im Optimum
π1u′(y − pq) + (1− π1)u
′(y − L− pq + q) = u′(y − L− pq + q)
I Dies impliziert aber, dass u′(y − pq) = u′(y − L− pq + q). Dies kann
nur wahr sein, wenn q = L
I Der Haushalt wird sich also bei fairer Pramie komplett absichern.
Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 209 / 311
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