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Allgemeine Gleichgewichtstheorie unter Sicherheit Entscheidungen unter Unsicherheit

I Die Riskopramie ergibt sich also als ein Vielfaches der Varianz der

zugrundeliegenden ’Unsicherheit’

I Dieses Vielfach hangt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man

bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.

I Der Arrow-Pratt Koeffizient ist ein nutzliches Mass fur die absolute

Risikoaversion des Haushaltes.

Jorg Lingens (WWU Munster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, 2010 176 / 311


I Bisher haben wir uns nur angeschaut wie Individuen Risiko bewerten.

I Wir haben dabei ein Maß fur die Risikoeinstellung ermittelt.

I Ein zweiter wichtiger Punkt bleibt dabei offen: Wie messen wir

uberhaupt Riskiko?



I Ein Maß fur Risiko soll uns also zeigen wie risikoreich eine bestimmte

Situation/Lotterie fur ein Individuum ist.

I Die Idee ist dabei, dass ein risikoaverses Individuum eine Situation mit

weniger Risiko einer Situation mit mehr Risiko vorzieht.

I Das Risikomaß soll also eine entsprechende Reihung der Lotterien

generieren.



I Das erste mogliche und intuitive Risikomaß ist naturlich die Varianz

einer Lotterie.

I Eine Situation in der das Einkommen einer großeren Variation

unterliegt hat auch eine hoheres Risiko.

I Der Vorteil der Varianz ist, dass diese leicht zu ermitteln und intuitiv

ist.



I Der große Nachteil ist aber, dass die zu kurz greift, weil der erwartete

Nutzen (bzw. payoff) nicht nur eine Funktion der Varianz ist.

I Eine Lotterie mit einer hoheren Varianz muss nicht unbedingt mit

einem hoheren Risiko verbunden sein.

I Auch die weitere Momente der Verteilung spielen eine wichtige Rolle.



I Stellen wir uns vor, dass der Haushalt sich einer (stochastischen)

Auszahlung in Hohe von ys = y + zs (siehe oben) gegenubersieht.

I Der Nutzen kann dann geschrieben werden als u(ys) = u(y + zs) bzw.

als Taylor Reihe

I u(ys) = u(y) + u′(y)zs + 12!u

′′(y)z2s + 1

3!u′′′(y)z3

s ...



I Damit ergibt sich der Erwartungswert des Nutzens als

I E(u(ys)) = E(u(y)) + 12!u

′′(y)E(z2s ) +

∑∞n=3

1n!u

n(y)E(zns )

I Da der Erwartungswert von zs Null ist, ist die Varianz E(z2s ) bzw. die

hoheren Momente E(zns )



I Es kann also Situationen geben in denen eine Lotterie eine hohere

Varianz als eine andere hat, der erwartete Nutzen aber dennoch

großer ist.

I Dann ist die Varianz naturlich kein vernunftiges Maß fur Risiko.

I Dies ist nur der Fall bei speziellen Nutzenfunktionen und/oder

Einkommensverteilungen.



I Um diesem Problem zu begegnen wurden weitere Maße fur Risiko

vorgeschlagen.

1. stochastische Dominanz

2. mean-preserving spread



I Nehmen wir an, das Einkommen Y sei eine Zufallsvariable. Nehmen

wir weiterhin an, dass wir diese so normieren konnen dass y ∈ [0, 1].

I Betrachten wir nun eine Verteilungsfunktion F i (y) (mit zugehoriger

Dichte f i (y)), wobei i irgendeine Verteilung angibt.

I Von stochastischer Dominanz erster Ordnung spricht man immer

dann, wenn F 1(y) ≥ F 2(y)∀y und F 1(y) > F 2(y) fur min. ein y.



I In diesem Fall hat Verteilung 2 stochastische Dominanz uber

Verteilung 1.

I Salopp kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit fur ein

Einkommen von y oder kleiner, bei Verteilung 1 großer ist als bei

Verteilung 2.

I damit gilt aber auch folgender Satz.



Satz

Wenn Verteilung 2 die Verteilung 1 stochastisch dominiert, dann ist der

erwartete Nutzen unter Verteilung 2 großer als unter Verteilung 1.



Beweis

I Der erwartete Nutzen (abhangig von der Verteilung i) ist

Ei (u(y)) =∫ 10 f i (y)u(y)dy .

I Partielles integrieren (uv =∫

u′v +∫

v ′u, hier v ′ = f ) gibt

I Ei (u(y)) = (u(1)F i (1)− u(0)F i (0))−∫ 10 F i (y)u′(y)dy



I Damit kann man aber zeigen, dass fur E2(u(y))− E1(u(y)) folgendes

gilt

I E2(u(y))− E1(u(y)) =∫ 10 (F 1(y)− F 2(y))u′(y) > 0

I Die Definition der stochastischen Dominanz beweist den Satz.



I Das Konzept der stochastischen Dominanz legt strenge Restriktionen

auf die zu vergleichenden Verteilungen.

I Faktisch sind nur Verteilungen vergleichbar, deren

Verteilungsfunktionen sich nicht schneiden.

I Diese harte Restriktion ist aber in vielen Fallen nicht praktikabel.



I Ein zweites Konzept zur Messung des Risikos zielt deshalb weniger

auf die absoluten Werte der Verteilungsfunktion sondern vielmehr auf

die Flache unter der Funktion ab.

I Definiere die Flache unter der Verteilungsfunktion als

T (y) =∫ y0 F (y)dy .

I Fur den Erwartungswert gilt

E(y) =∫ 10 yf (y)dy = [yF (y)]10 −

∫ 10 F (y)dy

I E(y) = 1− T (1)



I Mit Hilfe dieser Großen kann man nun zwei Verteilungen 1 und 2

bzgl. des Risikos miteinander vergleichen.

I Eine Verteilung 2 hat stochastische Dominanz zweiter Ordnung uber

Verteilung 1, wenn T 1(y) ≥ T 2(y) gilt, wobei fur manche y dies als

Ungleichheit halten muss.

I Eine Verteilung hat also stochastische Dominanz zweiter Ordnung,

wenn die Flache unter der Verteilungsfunktion immer kleiner oder

gleich der einer anderen Verteilung ist.



Satz

Hat Verteilung 2 stochastische Dominanz zweiter Ordnung uber Verteilung

1, dann ist der erwartete Nutzen unter Verteilung 2 großer als unter

Verteilung 1.



Beweis

I Wir haben gezeigt, dass folgendes gilt:

I E2(u(y))− E1(u(y)) =∫ 10 (F 1(y)− F 2(y))u′(y)

I ’Lost’ man nun die rechte Seite der Gleichung (partielles Integrieren!)

so erhalt man



I (T 1(1)− T 2(1))u′(1)− (T 1(0)− T 2(0))u′(0)−∫ 10 (T 1(y)−

T 2(y))u′′(y) > 0.

I Dieser Ausdruck ist aber eben wegen der Annahme der stochastischen

Dominanz zweiter Ordnung positiv.



I Der wichtige Punkt bei dem Konzept der stochastischen Dominanz

zweiter Ordnung ist, dass es sehr eng mit dem Konzept des

mean-preserving spread verbunden ist.

I Eine Verteilung 1 ist ein mean-preserving spread der Verteilung 2,

wenn diese einen identischen Erwartungswert habe,

I aber Verteilung 1 mehr Wahrscheinlichkeitsmasse an den Randern hat

(’fettere Enden’).



I Formal bedeutet dies, dass innerhalb eines beliebigen Intervalls

f 2(y) > f 1(y) bzw. f 2(y) < f 1(y) außerhalb dieses Intervalls.

I Beginnen wir also am ’linken’ Rand die Werte fur die Dichte zu

addieren (und damit die Verteilungsfunktion zu ermitteln),

I so ist F 1(y) > F 2(y) und zwar bis zu einem Schwellenwert y und

danach F 1(y) < F 2(y).

I Dies ist die ’single crossing property’ des mean preserving spread.



I Wegen dieser Eigenschaft muss aber fur die Flache unter der

Verteilungsfunktion gelten, dass T 1(y)− T 2(y) ≥ 0 bzw. > fur

einige y .

I Weiterhin gilt naturlich per Definition T 1(1) = T 2(1).

I Damit impliziert der mean preserving spread aber die stochastische

Dominanz zweiter Ordnung.

I Risikoaverse Individuen verlieren also durch einen mean-preserving

spread



I Wir haben uns bisher angeschaut, wie die Haushalte gemaß ihrer

Risikoeinstellung klassifiziert werden konnen und

I wie das Risiko verschiedener Lotterien (Verteilungen) verglichen

werden kann.

I In einem nachsten Schritt wollen wir uns anschauen, wie ein Haushalt

mit Risiko umgeht, wenn es Versicherungen gibt.



I Problem: Das Einkommen des Haushaltes hangt vom Zustand der

Welt s ab.

I Nehmen wir an, dass es 2 dieser Zustande gibt. Das Einkommen ist

dann y1 = y und y2 = y − L.

I L mogen dabei die Kosten eines Unfalls darstellen.



I Dem Haushalt bietet sich nun die Moglichkeit uber einen

Versicherungskontrakt Ressourcen von einem Zustand in den anderen

Zustand zu verschieben.

I Der Preis um einen Euro zu verschieben sei nun p.

I Bezahlt der Haushalt also pq, so erhalt dieser q falls der Zustand 2

eintritt.



I Weiterhin nehmen wir an, dass πi die Wahrscheinlichkeit fur den

Zustand i ist.

I Sowohl das Individuum als auch der Versicherer kennen diese

Wahrscheinlichkeit → keine Adverse Selektion.

I Der Versicherungsnehmer hat weder Einfluss auf die Schadenshohe

noch auf die Schadenswahrscheinlickeit → kein Moral Hazard



I Gegeben diese Information, kann das Einkommen des Haushaltes in

den beiden Situationen dargestellt werden:

I y1 = y − pq

I y2 = y − pq − L + q



I Damit konstituieren diese beiden Gleichungen so etwas wie eine

Budgetrestriktion.

I Das verbindende Element zwischen diesen beiden Zustanden der Welt

ist die Hohe der Versicherung q.

I Der Haushalt wahlt endogen die Versicherungssumme q, die den

erwarteten Nutzen maximiert.



I Bevor wir uns dem Maximierungsproblem des Haushaltes widmen

wollen wir uns noch die Bedingung fur eine faire Versicherungspramie

anschauen.

I Eine faire Versicherungspramie liegt immer dann vor, wenn sich das

erwartete Einkommen nicht andert.

I Erwartetes Einkommen ohne Versicherung

π1(y) + π2(y − L) = y − π2L, wobei naturlich π1 + π2 = 1.



I Erwartetes Einkommen mit Versicherung

π1(y − pq) + π2(y − L− pq + q) = y − pq − π2L + π2q

I Wenn also die Pramie p der Schadenseintrittswahrscheinlichkeit π2

entspricht, so handelt es sich um eine faire Versicherung.



I Wie sieht nun das optimal Verhalten eines Haushaltes aus?

I Zielfunktion E(u) = π1u(y − pq) + π2u(y − L− pq + q)

I Die Bedingung erster Ordnung fur die optimale Wahl des

Versicherungsschutzes (alle anderen Großen sind exogen!) ist dann:

I π1u′(y − pq)(−1)p + π2u

′(y − L− pq + q)(1− p) = 0



I Dies Bedingung kann umgeschrieben werden zu:

I p(π1u′(y − pq) + π2u

′(y − L− pq + q)) = π2u′(y − L− pq + q)

I Die Grenzkosten der Versicherung (linke Seite), d.h. der

Einkommenverlust in Hohe von p muss im Optimum genau so groß

sein wie der Grenzertrag.



I Wie hoch wir nun der optimale Versicherungsschutz sein, wenn die

Pramie der Versicherung fair ist, d.h. p = π2?

I In diesem Fall gilt im Optimum

π1u′(y − pq) + (1− π1)u

′(y − L− pq + q) = u′(y − L− pq + q)

I Dies impliziert aber, dass u′(y − pq) = u′(y − L− pq + q). Dies kann

nur wahr sein, wenn q = L

I Der Haushalt wird sich also bei fairer Pramie komplett absichern.


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