Betrachtungen zu Resonanz, Dämpfung, Vergrößerungs- und Gütefaktor in Berechnung und Messung
Innotesting 2019, Workshop Vibration
Dr.-Ing. Werner Kuitzsch, Spectral Dynamics GmbH
2 | Resonanz | © Kuitzsch
Copyright © by Dr.-Ing. Werner Kuitzsch, 2019Wilhelmsruher Damm 9913439 BerlinAlle Rechte vorbehalten. Kein Teil dieser Ausarbeitung darf in irgendeiner Form (Druck, Fotokopie oder einem anderen Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung von Dr.-Ing. Werner Kuitzsch reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.
3 | Resonanz | © Kuitzsch
Ein-Freiheitsgrad-System (SDOF), Beschreibungsgrößen
Übertragungsfunktion, komplex, Betrag, Phase
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz
Systemkenntnisse aus Vergrößerungsfaktor und Gütefaktor
Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Dämpfung
Halbwertsbreite und Güte, Berechnung
Vergleich von Verstärkungsfaktor und Gütefaktor,
Systemdämpfung und Dämpfung aus Gütefaktor
Messung von Halbwertsbreite und Güte
Vergleich von Verstärkungsfaktor und Gütefaktor bei Geschwindigkeitsbezug
INHALT
4 | Resonanz | © Kuitzsch
5 | Resonanz | © Kuitzsch
Dämpfungsbereiche D Systemantwort
keine unendlich
gering scharfes MaximumAmplitudenresonanz
schwach schwaches Maximum Amplitudenresonanz
stark kein Maximum, Phasenresonanz
kritisch Kriechfall
Ein-Freiheitsgrad-System (SDOF), Beschreibungsgrößen
Freie Schwingung: F(t), aErr(t) = 0
Eigenfrequenz, gedämpft 2Dω ω 1 D
Erzwungene Schwingung: F(t), aErr(t) ≠ 0
Erregeramplitude: 0 0 0F m a , a
f, Ω 2πfErregerfrequenz, -kreisfrequenz:
m y c y k y F t Bewegungsgleichung:
2 Erry 2 ω D y ω y a t
1 2 0,5000
1 2 0,7071
1 2 0,7071
0
1
ErrF(t) m a t Massenkraft
Die folgenden Systemantworten sind für die Anregung F0 bzw. a0 = 1 gerechnet, so dass V(,D) für sich betrachtet werden kann.
Err 0a t a sin ΩtHarmonische Beschleunigungsanregung:
Harmonische Kraftanregung: 0F t F sin Ωt
Eigenfrequenz, ungedämpft 0k ω kω , fm 2π m
0
Ω fηω f
Frequenzverhältnis:
η 1 ω
Dämpfungsmaß cD2mω
Übertragungsfunktion, komplex, Betrag, Phase
Antwortzeitverlauf: Ant 0y t y V η sin Ωt δ η Übertragungsfunktion, komplex V():
2 221V η
1 η 2ηD
Phasenfunktion (): 22ηDδ η arctan
1 η
nach /KloEl1a/
21V η
1 η i 2ηD
Vergrößerungsfunktion, Betrag V():
Real- und Imaginärteil des Nenners
Resonanz ist allgemein: Das verstärkte Mitschwingen eines schwingungsfähigen Systems unter einer zeitlich veränderlichen Einwirkung (lat. resonare „widerhallen“); hier der eingeschwungene Zustand des Systems, d.h. die freie Schwingung ist abgeklungen, nur noch rein erzwungene Schwingung.
7 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, AmplitudenresonanzKarl Klotter /KloEl1a/: nach der Resonanzfrequenz-Definition Res beim Maximum der Vergrößerungsfunktion V()
„sollte man es vermeiden, von der Resonanzfrequenz des Schwingers, zu sprechen“,sondern von Weg-, Geschwindigkeits-, Beschleunigungsresonanzen mit den jeweiligen Resonanzfrequenzen.
2Resη 1 2 D Resonanzfrequenz
Vergrößerungsfaktor
Wegresonanz, wandert in Abhängigkeit von D zu kleineren (analog auch Beschleunigungsantwort auf konstante Beschleunigungsanregung)
Geschwindigkeitsresonanz, bleibt bei = 1 unabhängig von D
Resonanzfrequenz Re sη 1
Re s1 1V η 1
2 D η
Re s Re s 21V η
2 D 1 D
Vergrößerungsfaktor Re s Res1V η
2 D
3 2 22
1V η1 η 2ηD
2 2 22
ηV η1 η 2ηD
(1) Amplitudenresonanz: Abhängigkeit der Amplitude V von der Erregerfrequenz und Dämpfung D
DIN 1311, Schwingungslehre, Blatt 2, einfache Schwinger geht bei Resonanzen von Größtwerten aus.
8 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Phasenresonanz
nach /KloEl1a/
Winkelresonanzfrequenz (90°-Frequenz)
Res entspricht ω, der Eigenfrequenz des ungedämpften Systems.
Re sη 1beiRe sπδ 902
(2) Phasenresonanz: Abhängigkeit der Phase δ von der Erregerfrequenz und Dämpfung D
0y t y V η sin Ωt δ Weg der bewegten Masse m
P t F t v t Mechanische Leistung aus Geschwindigkeit v(t) und Kraft F(t)
Weitere Betrachtungsgrößen:
siehe /Magnus/
0v t y V η Ω cos Ωt δ Geschwindigkeit der bewegten Masse m
0F t F sinΩt Kraft, konstante Amplitude 0 0F k y
Gilt für Resonanz von Weg (V3), Geschwindigkeit (V2), Beschleunigung (V1) bei Ω²-Anregung
9 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz
P t F t v t Mechanische Leistung aus Geschwindigkeit v(t) und Kraft F(t)
0 0P t F t v t F y V η Ω sinΩt cos Ωt δ
mit Kraftamplitude 0 0F k y Anregungsfrequenz Ω η ω
20 0 0
NmP k y ωs
Leistungsamplitude:
mit Additionstheoreme 1sinα cosβ sin α β sin α β2
Schwingungsleistung
Blindleistung:
Blind 0 Blind 0 2 22ηP t P V η sin 2Ωt δ P sin 2Ωt δ
2 1 η 2 η D
Wirkleistung:
2
Wirk 0 Wirk 0 2 22
D ηP t P V η P1 η 2 η D
(3) Energie-, Leistungsresonanz:
enthältGleichanteil mit sinδ, als mittlere Leistung, die (von der Dämpfung) irreversibel im System umgesetzt wird:
0 0ScheinF y V η Ω
P t sin δ sin 2Ωt δ2
Scheinleistung:
Wechselanteil mit sin(2Ωt+δ), der (aufgrund der Elastizität) periodisch mit 2∙Ω zwischen Erreger und System hin und her strömt:
siehe /Magnus/
2 222 D ηsinδ
1 η 2 η D
Kennwinkel
10 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz
Einsichtige Erklärung zu
Wirkleistung,
Blindleistung,
Scheinleistung
für
Nicht-Elektrotechniker bzw.
Maschinenbauer.
Wirkleistung
Blindleistung
Scheinleistung
(3) Energie-, Leistungsresonanz:
11 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz
Einsichtige Erklärung zu
Wirkleistung,
Blindleistung,
Scheinleistung
für
Nicht-Elektrotechniker bzw.
Maschinenbauer.
(3) Energie-, Leistungsresonanz:
2 222 D ηsinδ
1 η 2 η D
Real
Imaginär
δ
22ηDtanδ
1 η
12 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz
Blindleistung ≙ 2∙Ω periodische Leistung
Blind 2 22
ηV η2 1 η 2 η D
2
Wirk 2 22
D ηV η1 η 2 η D
Wirkleistung ≙ mittlere Leistung
Leistung-Vergrößerungsfunktionen siehe /Magnus/
Resonanzfrequenz Re sη 1
Resonanzamplitude Wirk,Re s Blind,Re s1V η V η
4 D
Resonanz des Schwingers bedeutet nunmehr allgemein, dass die vom Schwingerabsorbierte und dissipierte (umgewandelte) (Wirk-)Leistung bzw. kinetische Energie ein Maximum hat.
Res ≠ 1, Ω ≠ ω: Weg y(t) gegenüber Kraft F(t) um 90° (bis 180°) phasenverschoben.→ Energie wechselt 2x pro Periode die Richtung.→ Leistung P hat kein Maximum, Verhältnis von Wirkleistung PWirk zu Blindleistung PBlind
wird kleiner.
Bedeutung der Winkelresonanzfrequenz für die Leistung bzw. die kinetische Energie:Res = 1, Ω = ω: Weg y(t) gegenüber Kraft F(t) um -90° phasenverschoben (Phasenresonanz).
→ Geschwindigkeit v(t) mit Kraft F(t) in Phase (0°), damit stets in gleicher Richtung.→ Leistung P (Wirk & Blind), , erreichen ihr Maximum! Wirk 0 Wirk 0P P V 1 sin90 P 1 4D 1
13 | Resonanz | © Kuitzsch
Unterschiedliche Definitionen der Resonanz, Leistungsresonanz
Zu (3) Leistungsresonanz
Bisherige Feststellung, dass die Leistung P(t) ein Maximum hat, wo die Geschwindigkeit v(t) eine Maximum hat.
Bewegungsgrößen:
Allgemein hat weder die Wegamplitude y0(Ω), noch die Beschleunigungsamplitude a0(Ω)=-Ω²ꞏy0(Ω) ein Maximum an der Stelle, wo das Maximum der Geschwindigkeitsamplitude v0(Ω)=Ωꞏy0(Ω) liegt.
Weg 0Ant Ant 0v Ω
y t v t sin Ωt y Ω sin ΩtΩ
→ Geschwindigkeit Ant 0v t y t v Ω cos Ωt
Beschleunigung Ant Ant 0 0a t v t Ω v Ω cos Ωt a Ω sin Ωt
genau bei Eigenfrequenz ω, =1.Ihr Maximum:
unter der Eigenfrequenz ω, 1.
Ergebnis der Leistungsbetrachtung:
Die Resonanz findet nicht – je nach Betrachtungsgröße – bei einer anderen Frequenz statt.
Die scheinbar „falsche Lage“ der Resonanzmaximums kommt durch die „falsche Betrachtungsgröße“
zustande!
Nicht die einfach sichtbaren Bewegungsgrößen – y(t), a(t) – selbst sind die fundamentalen dynamischen
Größen, sondern Impuls, m∙v, und Energie, m∙v²/2, Leistung, F∙v!
aus /PhyAlt/
14 | Resonanz | © Kuitzsch
Systemkenntnisse aus Vergrößerungsfaktor und Gütefaktor
Der aus der a0,Ant ist maximale Strukturantwort bei a0,Err als Anregung,
berechnete
Q-Faktor Re sηQΔη
0,AntRe s
0,Err
aV
aVergrößerungsfaktor
besagt → dort ist die maximale Belastung in der Struktur,→ nicht, ob dort eine ausgeprägte Strukturresonanz ist,
könnte auch Klappern der dergleichen sein!
Die Information zur Strukturresonanz liefert hingegen Res die Resonanzfrequenz, Δ die Halbwertsbreite und die daraus berechnete Güte bzw. Resonanzschärfe,
Die Bereiche müssten sein Q = … 1,→ D = 0 … 0,7071 (was aber nicht zu D=1/(2Q)=0,5 passt,
siehe Folie über Unterschied von DQ zu D, dazu später).
Vergrößerungs- und Gütefaktor geben unterschiedliche, sich ergänzende Informationen zum Systemverhalten:
Er ist ein Maß für die Ausprägung der Resonanzspitze, wie hoch und schmal, wie „gefährlich“.
15 | Resonanz | © Kuitzsch
Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Dämpfung D (< 1)
Antwortfunktionen:Vergrößerungsfunktion V():
2 22
1V η1 η 2ηD
Phasenfunktion ():
22ηDδ η arctan
1 η
Kurve der maximalen Schwingungsantwort:
2Re sη D 1 2 D
Re s 21V D
2 D 1 D
2
Re s1 Dδ D arctan
D
Frequenz
Vergrößerungsfaktor
Phase
nach /KloEl1a/
Weiter mit der an sich „falschen bzw. ungünstigen“ Betrachtungsgröße, jedoch der meist gemessenen Beschleunigungsgröße V() ≙ V3().
16 | Resonanz | © Kuitzsch
Übertragungsfunktion für die Dämpfungen D = 0,1, D = 0,3826
Maximalen Schwingungsantwort:
Dämpfung D = 0,1 D = 0,3826
Frequenz 0,9899 0,8409
Vergrößerungs-faktor 5,025 1,414
Phase -84,26 -67,50
2Resη 1 2 D
Res 2
1V2 D 1 D
2
Res1 Dδ arctan
D
Maximalen Schwingungsantwort VRes(D):
17 | Resonanz | © Kuitzsch
Güte, Berechnung mittels Halbwertsbreite, woher 2∙D
Hier gilt in V() |Realteil| = Imaginärteil 21 η 2ηD
Re sπδ 902
45π πδ 90 45 452 4
45π πδ 90 45 1352 4
2 2Kin,Res Re s Res
1E m v V2
Kinetische Energie in Resonanz
Halbe Energie für die Halbwertsbreite2
Kin,Res 2 Re sRes
E V1 1 m v2 2 2 2
Winkelresonanzphase bei Res = 1 Halbwertsphase bei 1 Halbwertsphase bei 2
22η D D 1 D 21η D D 1 D Halbwertsfrequenzen
2 1Δη D η η 2 D Halbwertsbreite entspricht 2∙Dämpfung D (in der normierten Darstellung mit Res = 1)!
Res1V
2 D
entspricht Vergrößerungsfaktor(Vergleich der Überstimmung bei höherer Dämpfung D, siehe später)
Güte(-faktor), auch Resonanzschärfe Resη 1Q DΔη 2 D
entspricht im Ortskurvendiagramm (Übertragungsfunktion V() im (Re,Im)-Diagramm, siehe /KloEl1a/ )
Res1 1
VV η2
Res2 2VV η
2 Re s Re s
V η 1
Bezogen auf die lineare Bewegungsgröße stehen aus der Resonanzkurve zur Verfügung
HalbwertsamplitudenResonanzamplitude, -frequenz
18 | Resonanz | © Kuitzsch
Halbwertsbreite und Güte für die Dämpfungen D = 0.1, D = 0,3826
Minimale Frequenz der Halbwertsbreite 1 = 0, nicht < 0
12
Max1 1D 1 0,382682 2
Dämpfung D = 0,1 D = 0,3826
Frequenz 0,9899 0,8409
Vergrößerungs-faktor 5,025 1,414
Phase -84,26 -67,50
2Re sη 1 2 D
Re s 2
1V2 D 1 D
2
Res1 Dδ arctan
D
Halbwertsamplitude 3,55 1,0002
Frequenz, oben 1,0858 1,1892
Frequenz, unten 0,8837 0,0160
Halbwertsbreite 0,2021 1,1732
Güte 4,899 0,717
ResHBW
VV2
122 2
2η (1 2D ) 2 D 1 D 122 2
1η (1 2D ) 2 D 1 D
2 1Δη η η
ResηQΔη
2 2 21 Max Max Maxη 0 (1 2D ) 2 D 1 D
führt auf maximal mögliche Dämpfung Dmax
Q ≈ V Q ≪ VErgebnis
19 | Resonanz | © Kuitzsch
Vergleich von Verstärkungsfaktor VRes(D) und Gütefaktor Q(D)
In der Resonanz kann die höhere Amplitudenantwort a0,Ant gegenüber der Anregung a0,Err beschrieben werden mit
Güte
2
D 02 2 4
1 2 D1 1Q D2 D2 1 2 D 1 8 D 8 D
Vergrößerungsfaktor 0,AntRe s 20,Err
a 1V Da 1 2 D 1 D
Gütefaktor Re sηQ DΔη
Ergebnis: Der „Standard“-Faktor V2D(D) ist nur wenig kleiner als der Verstärkungsfaktor VRes(D). Der Q-Faktor Q(D) ist tendenziell niedriger als der Verstärkungsfaktor VRes(D)
bei D = 0,1 -0,22dB, D = 0,2 -0,9dB, D ≈ 0,3 -6dB.
Vergrößerungsfunktion 2 22
1V η1 η 2ηD
Re s Re s 1 2V , η , η , ηErgebnisse aus V(), direkt eingesetzt
Ergebnis Res D 021 1V D
2 D2 D 1 D
„Standard“-Faktor 2D1V D
2 D
Dämpfung D
In Berechnung vorgegeben
„good approximation“for D < 0,1 /ShoVib/
20 | Resonanz | © Kuitzsch
Vergleich von Systemdämpfung D und Dämpfung DQ aus Gütefaktor Q(D)
Vergrößerungsfaktor
In der Berechnung wurde angesetzt die Dämpfung
Res 21V D
2 D 1 D
Q1D D
2 Q D
Ergebnis: Der gegenüber dem Verstärkungsfaktor VRes(D) tendenziell niedrigere Q(D) führt reziprok zu einer
entsprechend höheren Dämpfung DQ(D) – einer bis zu +5,5dB höheren gegenüber den in der Berechnung angesetzten D (Folie vorher, Folie Rechenwerte).
Eine höhere, aus der Halbwertsbreite bestimmte Dämpfung DQ(D) kann auf schwächere, abgeschätzte Belastungen VQ(D) führen als VRes(D), entsprechend der Abweichungen des Q-Faktor in der vorherigen Folie.
D
Aus dem Gütefaktor mit dem „Standard“-Ansatz zurückgerechnet
Daraus ergaben sich aus V(), siehe vorherige Folie:
„Standard“-Faktor 2D1V D
2 D
Gütefaktor Re sηQ DΔη
„Halbwerts“-Dämpfung
Der mit einem aus der Halbwertsbreite ermittelten Dämpfung DQabgeschätzte Vergrößerungsfaktor V2D(D) und damit die Belastung wäre entsprechend geringer
„Halbwerts“-Vergrößerung Q Q1V D
2 D D
21 | Resonanz | © Kuitzsch
Messung von Halbwertsbreite und Güte
Rückkehr aus Frequenzverhältnis, -normierung auf dimensionsbehaftete Frequenzen f [Hz] 0
Ω η ω, f η f
Güte(faktor) Res Re s2 1
f fQΔf f f
aus Messung Abweichungen in der Messung gegenüber der Berechnung wegen „falscher Betrachtungsfunktion (Bewegungsgröße)“, nicht geringe Dämpfung D.
→ Die ungedämpfte Eigenfrequenz f0 kann nicht direkt gemessen werden, anstelle dessen Resonanzfrequenz fRes aus Maximalwert ARes der Messkurve und Halbwertsfrequenzen f1, f2 bezogen auf fRes und ARes/√2
Dämpfung Q1D
2 Q
Re s Re sA , fResonanzwerte
Halbwertsamplitude Re sHBWAA
2
1 2f , fHalbwertsfrequenzen
2 1Δf f f Halbwertsbreite
Vorteil der Messung des Q-Faktors gegenüber der des Vergrößerungsfaktor Vres;benötigt keine Kenntnis der Anregung a0,Err!
22 | Resonanz | © Kuitzsch
Messung der Beschleunigung für VRes und Q bzw. D und DQ
Aus „Peak Ratio“: D = 1/(2∙5,13) = 0,097Aus „3dB Down“: DQ = 1/(2∙4,87) = 0,103 ≙ +0,45dB∙DBemerkung: Dämpfung ist mit D ≈ 10% insgesamt gering und hat nur kleine Abweichungen von 5% zueinander.
≙
Auswertung des Diagramms, weil in den oberen Tabellen die Amplitudenwerte nicht enthalten sind.
≙-0,45dB∙PeakRatio
Resonance Search & Dwell (Ausschnitt)
23 | Resonanz | © Kuitzsch
Vergleich von Verstärkungsfaktor VRes(D) und Gütefaktor Q(D) bei Geschwindigkeitsbezug
Für die Geschwindigkeitsresonanz ist charakteristisch, dass
mit den Halbwertsfrequenzen
Vergrößerungsfaktor
Re sη 1
Re s1V D
2 D
Gütefaktor Re sηQ DΔη
Ergebnis: Mit der geschwindigkeitsbezogenen (Amplituden)-Resonanz stimmen über den gesamten Dämpfungsbereich überein die Vergrößerungsfaktoren VRes(D) und Gütefaktoren Q(D)
und damit auch die daraus gerechneten Dämpfungen!
In Berechnung vorgegebenev(t)-Vergrößerungsfunktion
2 22
ηV η1 η 2ηD
Resonanzfrequenz
22 22
22 21
η (1 2D ) 1 2D 1
η (1 2D ) 1 2D 1
2 1Δη η η
24 | Resonanz | © Kuitzsch
Messung der Geschwindigkeit für VRes und Q bzw. D und DQAuswertung des Diagramms
Ergebnis, Vergleich der Geschwindigkeits- zur Beschleunigungsmessung und : Die „Peak Ratio“ (AmpAnt/AmpErr) sind gleich.→ Damit deren Dämpfungen sind ebenfalls gleich, D = 1/(2∙5,12) = 0,097. Der Gütefaktor aus „3dB Down“ ist mit 5,63 größer, sogar größer als aus „Peak Ratio“, ≈ 10% bzw. +0,84dB.→ Die Dämpfung : DQ = 1/(2∙5,63) = 0,089 ≙ -0,84dB∙D.
Bemerkung: Der Gütefaktor > Verstärkungsfaktor entspricht nicht den Erwartung der „Gleichheit“ aus der vorherigen Folie; wäre weiter zu
untersuchen (System kein ideales SDOF-System?). konservative Abschätzung der Dämpfung und Belastung! Mit der Geschwindigkeitsbetrachtung v existiert die Proportionalität zu mechanischen Spannung σ, siehe unter Literatur.
≙+0,84dB∙PeakRatio
≙
Geschwindigkeit aus der Beschleunigung gewonnen, v0=a0/Ω
25 | Resonanz | © Kuitzsch
Rechenwerte VRes, Δ, Q in Abhängigkeit von der Dämpfung D
26 | Resonanz | © Kuitzsch
Literatur
/ShoVib/ Harris, C.M.; Crede, E.C.: Shock and Vibration Handbook. MacGraw-Hill Book Company, New York, 2nd Edition 1976.
/MeyGui/ Meyer, E.; Guicking, D.: Schwingungslehre, Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1974.
/KloEl1a/ Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, 1. Band: Einfache Schwinger, 3. Auflage, Teil A: Lineare Schwinger. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.
/Magnus/ Magnus, K.: Schwingungen. Eine Einführung in die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 1961, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart.
Crandall, S. H., “Relation between Strain and Velocity in Resonant Vibration”, J. Acoust. Soc. Amer. , 1962, v. 34, n. 12, pp 1960-1961, Dec.
Hung F.V., “Stress and Strain Limits on the Attainable Velocity in Mechanical Vibration ”, JAcorrst. Soc. Aper., 1960, v.32, n. 9, pp 1123-1 128, Sept.
/PhyAlt/ http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/altlast/index.html; Altlasten der Physik (49), Resonanz und Resonanzfrequenz.
/WikiRes/ https://de.wikipedia.org/wiki/Resonanz.
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