Seminar stochastische Geometrie
Kriging
1
Andreas Stach
Institut für Stochastik, Universität Ulm
09.01.2012
Motivation
•
•
•
•
2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂
n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien
1
in1
nxz
=∈
3
1719
32
26
2220
z(x0)?=> interpoliere „z(x0)“
Ziel
sind Gewichte ebestimmend zu noch ist, ktionZufallsfun eine wobei
)()(
Gleichung Kriging der Hilfe mit wurde gemessen nicht denen an Stellen an Dx von Schätzung
*
0
α
ααα
ω
ω
Ζ
Ζ=Ζ
∈
∑1=
n
xx0
4
sind Gewichte ebestimmend zu noch ist, ktionZufallsfun eine wobei αωΖ
Modellannahmen
•
• Die Realisierung einer Zufallsfunktion wird als regionalisierte Variable aufgefasst und als z(x) bezeichnet
•
• Die Realisierung einer Zufallsfunktion wird als regionalisierte Variable aufgefasst und als z(x) bezeichnet
DefinitionDefinition
2}p ,x:(x){ iablenZufallsvar
von Menge eine als ktionZufallsfun eine Definiere
≥⊂∈Ζ pRD
5
aufgefasst und als z(x) bezeichnet
• Erwartungswert, Varianz und Covarianz werden wie folgt definiert
aufgefasst und als z(x) bezeichnet
• Erwartungswert, Varianz und Covarianz werden wie folgt definiert
)()())()((:))(),(xCov( :unktionKovarianzf Punkte-2)())((
))(())((:(x))Var( :ktionVarianzfun
m(x):(x))( :onwertfunktiErwartungs
βαβαβα xxxxx
xmx
xx
ΕΕ−ΖΖΕ=ΖΖ−ΖΕ=
ΖΕ−ΖΕ=Ζ=ΖΕ
22
22
Modellannahmen
•
•
•
•
BemerkungBemerkung
aufgefasst Dx (x), ktionZufallsfun igenortsabhäng einer nRealisatio diskrete eine
als werden 1.....ni ,,x Stellen den an )z(x Messungen Die ii
∈Ζ
=≥⊂∈ 2pRDp
)Ζ(x iableZufallsvar eine lokal Ζ(x) ktionZufallsfun eine ist Dxx für αα ∈=
6
•• i.A. sind die Zufallsvariablen, die eine Zufallsfunktion bilden, nicht
unabhängig und identisch verteilt (iid)
•• i.A. sind die Zufallsvariablen, die eine Zufallsfunktion bilden, nicht
unabhängig und identisch verteilt (iid)
)Ζ(x iableZufallsvar eine lokal Ζ(x) ktionZufallsfun eine ist Dxx für αα ∈=
tätStationari der Konzept
Modell resallgemeine ein brauchen restriktiv zu Praxis die für ist sind, ktionZufallsfun einer iablenZufallsvar
iid von nenRealisatio )z(x die wonach Statistik, der Annahme klassische i
⇒⇒
⇒
Modellannahmen
Strenge Stationarität / Stationarität 1.OrdnungStrenge Stationarität / Stationarität 1.Ordnung
),....,(F
))(,....,)((),....(F gilt D hx,,....,,x N,n d.h. sind, tnsinvariantranslatio enVerteilung lendimensiona-n
alle falls stationär, streng heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine
,....,1
x
nx,..,1xn1
nhnxh
nnnn
zz
zxzxzzxhx
1
1111
++=≤Ζ≤ΖΡ=∈++∈∀
∈Ζ
2RD mit Dauf ktionZufallsfun eine Z(x) immer sei folgenden Im ⊂
7
,....,1
x nhnxh 1++=
restriktiv zu Praxis für
identisch enVerteilung alle sind ))(())(( Wegen
schreiben N, , x-xh mit hx als D x jedes sich lässt Es :Bemerkung
⇒
≤ΖΡ=≤ΖΡ∈=+∈
zxzx βα
αβαβ βα
Modellannahmen
••
•
••
•
Schwache Stationarität / Stationarität 2.OrdnungSchwache Stationarität / Stationarität 2.Ordnung
Dhxx, )())((x)(h))(x(x),Cov(
Dx m(x))( ))((
falls stationär, schwach heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine2
∈+∀=−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ∈∀=ΖΕ
∞≤ΖΕ∈Ζ
hCmhx
x
2
8
•• Dhxx, )())((x)(h))(x(x),Cov( ∈+∀=−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ hCmhx
)()( d.h. h,symmetrisc ist und ab h ektorRichtungsv vom nur hängt C unktionKovarianzf Die :Bemerkung
hChC −=
Modellannahmen
••
••
Intrinsische Stationarität / Stationarität 2.Ordnung der InkrementeIntrinsische Stationarität / Stationarität 2.Ordnung der Inkremente
Dhxx, )()(x))-h)(x(((x))-h)(xVar(
Dhxx, )())()(( falls stationär, hintrinsisc heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine
2 ∈+∀=Ζ+ΖΕ=Ζ+Ζ∈+∀==Ζ−+ΖΕ
∈Ζ
h
hmxhx
γ20
9
sVariogramm hentheoretisc des Definition zur Basis als uns Dient- fordert ktionZufallsfun der Momente der Existenz keine
Sie weil te,allgemeins die ist tätStationari der Form Diese- :Bemerkung
Variogramm
Man habe eine Zufallsfunktion Z(x) mit Eigenschaft der intrinsischen Stationarität
Dann definiert man das theoretische Variogramm
Man habe eine Zufallsfunktion Z(x) mit Eigenschaft der intrinsischen Stationarität
Dann definiert man das theoretische Variogramm
Definition theoretisches VariogrammDefinition theoretisches Variogramm
)))()((())()((2
1(h) 2
2
1xhxxhxVar Ζ−+ΖΕ=Ζ−+Ζ=γ
funktionVariogramm eine benötigt Verfahren Kriging (Ordinary) Das
10
)))()((())()((2
(h)2
xhxxhxVar Ζ−+ΖΕ=Ζ−+Ζ=γ
Bemerkung: Das theoretische Variogramm ist ein Maß für den räumlichen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen
••
•
••
•
EigenschaftenEigenschaften
∞→=
=−=≥
|h| für ||
)(lim
)()()(,)(
0
000
2h
h
hh
h
γγγγγ
Variogramm
Bemerkung: Das theoretische Variogramm ist nicht einfach zu bestimmen, auch weil es eine conditionally negative definite Funktion ist(siehe z.B. Wackernagel, Multivariate Geostatistics, pp.53)
Exemplarisches Vorgehen zur Bestimmung eines theoretischen Variogramms
11
1. Schätzung des Variogramms mit einem experimentellen Variogramm2. Herleitung des Variogramms mit Hilfe einer Kovarianzfunktion
Variogramm
Die Variogrammwolke misst die Unterschiedlichkeit von Messwerten Die Variogrammwolke misst die Unterschiedlichkeit von Messwerten
Definition VariogrammwolkeDefinition Variogrammwolke
nxzhxz ,...., ,))()((2
1(h)* 12 =−+= αγ αα
Variogramm ellenexperiment einem mit sVariogramm des Schätzung 1.
12
darstellen folgt wie wolkeVariogramm die sich lässt )()( Wegen **hh γγ =−
Variogramm
Definition experimentelles VariogrammDefinition experimentelles Variogramm
k
cn
k xzhxz hh ∈−+= ∑=
h mit ))()((2n
1)(
c
* 2
1αα
αγ
Variogramm ellenexperiment einem mit sVariogramm des Schätzung 1.
13
kc
k
n h
h
seVektorklas der ePunktepaar der Anzahl die ist Winkel und Länge gewissen einer mit Vektoren groupiert seVektorklas Die
−−
Variogramm
Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,
dann gilt
Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,
dann gilt
Zusammenhang Variogramm und KovarianzfunktionZusammenhang Variogramm und Kovarianzfunktion
unktionKovarianzf einer Hilfe mit sVariogramm des Herleitung 2.
)()((h) hCC −= 0γ
14
Variogramm
Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,
dann gilt
Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,
dann gilt
Zusammenhang Variogramm und KovarianzfunktionZusammenhang Variogramm und Kovarianzfunktion
unktionKovarianzf einer Hilfe mit sVariogramm des Herleitung 2.
(x))h),(x2Cov(-(x))Var(h))(xVar((x))-h)(xVar((h)2 :Beweis Ζ+ΖΖ++Ζ=Ζ+Ζ=γ
)()((h) hCC −= 0γ
15
))()(2( ))(),(2Cov(-(x))(x),Cov(h))(xh),(xCov(
(x))h),(x2Cov(-(x))Var(h))(xVar((x))-h)(xVar((h)2 :Beweis
hCC
xhx
−=Ζ+ΖΖΖ++Ζ+Ζ=
Ζ+ΖΖ++Ζ=Ζ+Ζ=
0
γ
Wähle unter Berücksichtung des experimentellen Variogramms eine passende Kovarianzfunktion und damit (theoretisches) Variogramm
Variogramm
•
•
•
•
Beispiele für KovarianzfunktionenBeispiele für Kovarianzfunktionen
>−=
>=
=
bah
bhC
bhCnug
, mit )||
exp()( : lExponentia
0 |h| für
0 |h| für )( :effekt-Nugget
0
0
16
•
•
•
•
>
≤≤+=
>−=
a
aaahC
baa
hbhC
sph
|h| für
|h| 0 für ) 2
|h| 1
2
|h| 3-b(1
)( : Sphärisch
, mit )||
exp()( : lExponentia
3
3
exp
0
0
0>⋅=
=
baa
, mit ),|h|
exp(-b-b
C(h)-C(0)(h) dann man erhält Variogramm llesexponentie Als γ
Variogramm
Illustration eines exponentiellen Variogramms und KovarianzfunktionIllustration eines exponentiellen Variogramms und Kovarianzfunktion
17
Kriging Verfahren
konstant ist und wertErwartungs unbekannte der existiere Umgebung einer In
)))()(((2
1(h)
:bekannt ist und existiert Variogramm hetheoretisc Das Dhxx, (h)2)))(-h)(x((Z(x))h)(xVar(
Dhxx, 0(x))h)(x( mit RDx (x), ktionZufallsfun stationäre hintrinsisc eine gebe Es
2
Ζ−+ΖΕ=
∈+∀=Ζ+ΖΕ=−+Ζ∈+∀=Ζ−+ΖΕ
⊂∈Ζ
2
2
xhx
x
γ
γ
•
•
•
18
Ordinary KrigingOrdinary Kriging
Verfahren Kriging Ordinary dem mit 1,....,ni ,x ktenNachbarpun- n von Hilfenahme zu unter x Stelle der an man reinterpolie Dann
DWx R,m m,(x))( konstant ist und wertErwartungs unbekannte der existiere Umgebung einer In
i
0
=
⊂∈∈=ΖΕ•
10 =Ζ=Ζ ∑ ∑1= 1=
n n
OK xx
α α
ααα ωω ),()( *
Kriging Verfahren
))()((
))()(())()(( ))(x)(x(
:gelten heitUnverzerrt die soll außerdem c,)z(x dass
ten,gewährleis Rc 1....n,i ,)z(x für soll Bedingung Die :Bemerkung
1
n
1
n
100
*
0
i
n
1
0
1
01
0
=+Ζ−ΖΕ=
Ζ−ΖΕ=⋅Ζ−ΖΕ=Ζ−ΖΕ
=
∈===
∑
∑∑∑
∑
===
=
hxx
xxxx
c
n
n
αα
αα
ααα
α
αα
ω
ωωω
ω
321
19
Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers
))()(( 01
=+Ζ−ΖΕ=∑=
hxx ααα
αω
∑∑∑== =
Ε
−+−−=
=Ζ−ΖΕ=Ζ−Ζ=nn n
xxxx
xxxxVar
10
1 1
20000
2
2α
ααβαα β
βα γωγωω
σ
)()(
....)))()((()()(( **
Kriging Verfahren
erhalten zu System Kriging Ordinary das um Methode-torMultiplika-Lagrange
der mit ersSchätzfehl des Varianz die Minimiere :Vorgehen weiteres
∑∑∑== =
Ε →−+−−=
n
min)()(α
ααβαα β
βα γωγωωσ 21
01 1
2nn n
xxxx
20
∑=
=n
1
ngung)(Nebenbedi α
αω 1
rltiplikatoLagrangemu mit
)()()(),,....,(
:man erhält L nktionLagrangefu Als
OKµ
ωµγωγωωµωωα
αα
ααβαα β
βα 12211
01 1
1 −−−+−−= ∑∑∑∑=== =
n
OK
nn n
OKn xxxxL
Kriging Verfahren
1,....,n für )()(
1,....,n für )()(
System-OK das liefert setzen 0 gleich und ,....,, nach L von Ableiten partielles n1
=−=+−
⇔
==−−+−−
∑
∑
=
=
10
10 0222
xxxx
xxxx
n
n
OK
OK
n
OK
OK
αγµγω
αµγγω
µωω
βαβαβ
βαβαβ
21
1 )(
.
. )(
.
.
0 . . . 1 )( . . . )(x . . .. . .1 )x-(x . . . )(
eibweiseMatrixschr in oder
n
1
n
1
−
−
=
−−
−
=
⇔∑
=
0
01
1
11
1
1
1
xx
xx
xxx
xx
n
OK
OK
OK
nn
n
nOk
γ
γ
µω
ω
γγ
γγ
ωβ
β
Kriging Verfahren
Varianz des Schätzfehlers bei Ordinary KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Ordinary Kriging
wenn ),()(
d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Ordinary - Lösung eindeutige eine also gibt es ar,invertierb ist Matrix Die- :Bemerkung
*αα xxxx =Ζ=Ζ 00
∑ −+=n
OKxx
2 γωµσ )(
22
∑=
−+=n
OK
OKOK xx1
02
ααα γωµσ )(
Kriging Verfahren
Varianz des Schätzfehlers bei Ordinary KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Ordinary Kriging
wenn ),()(
d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Ordinary - Lösung eindeutige eine also gibt es ar,invertierb ist Matrix Die- :Bemerkung
*αα xxxx =Ζ=Ζ 00
∑ −+=n
OKxx
2 γωµσ )(
23
∑=
−+=n
OK
OKOK xx1
02
ααα γωµσ )(
.
))(()(
))(()(
)()( :Beweis 2
Beh
xxxx
xxxx
xxxx
OKOK
nOK
OK
nOK
nOK
n
OK
nOKOK
nOK
nOK
nOK
nOK
nOK
OK
⇒
+−−+=+−+=
+−+−−=
−+−−=
∑∑∑
∑ ∑∑∑
∑∑∑
===
= ===
===
µµγωµγωω
µγωωγωω
γωγωωσ
αα
αβαβ
βα
α
α ββαβαβα
ββ
αα
αααβα
ββ
αα
22
2
2
0111
1 111
10
11
Kriging Verfahren
2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂
n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien
1
in1
nxz
=∈
Motivation Block-Kriging
•
•
•
•
2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂
n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien
1
in1
nxz
=∈
24
1719
32
26
2220=> interpoliere „z(v0)“ v0 ?
Kriging Verfahren
Block KrigingBlock Kriging
Verfahren Kriging Ordinary Verwende
10 =Ζ=Ζ ∑ ∑1= 1=
n n
v xα α
ααα ωω ),( *
:System Kriging Block
25
:System Kriging Block
∫ =−=
=
−−
−
000
0
01
1
11
1
1
v
ii
n
BK
BK
BK
nn
n
dxxxv
vx
vx
vx
xxx
xx
1,....,ni für )(||
),(
wertVariogramm mittleren dem mit
1 ),(
.
. ),(
.
.
0 . . . 1 )( . . . )(x . . .. . .1 )x-(x . . . )(
n
1
n
1
γγ
γ
γ
µω
ω
γγ
γγ
Kriging Verfahren
Varianz des Schätzfehlers bei Block KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Block Kriging
∑=
+−=n
BK
BKBK vxvv1
0002
ααα γωγµσ ),(),(
26
Kriging Verfahren
Dx R,m m,(x))(
konstant ist und wertErwartungs bekannte der existiere D ganzAuf
)x-(x)x-(x))(x),(xCov( :werden tdargestell so
bekannt bereits wie kann und bekannt explizit also ist unktionKovarianzf Die
Dhxx, (h)))(())(())()((h))(x(x),Cov(
Dhxx, (x))(h))(x(
d.h.,RDx Ordnung, 2. tätStationari mit (x) ktionZufallsfun eine gebe Es 2
∈∈=ΖΕ
==ΖΖ
∈+∀=+ΖΕ⋅ΖΕ−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ∈+∀ΖΕ=+ΖΕ
⊂∈Ζ
βααββα CC
Chxxhxx
•
•
27
Simple KrigingSimple Kriging
Verfahren Kriging Simple dem mit 1,....,ni ,x
ktenNachbarpun- n von Hilfenahme zu unter x Stelle der an man reinterpolie Dann
Dx R,m m,(x))(
i
0
=
∈∈=ΖΕ
∑1=
−Ζ+=Ζn
SK mxmx
αααω ))(()( *
0
Kriging Verfahren
Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers
)(
))(())((( ))(x-)(x(
:gelten heitUnverzerrt die Kriging Ordinary beim wie soll s :Bemerkung
n
1
n
100
*
0
0
=−−+=
ΖΕ−−ΖΕ+=ΖΖΕ
∑
∑
=
=
mmmm
xmxm
E
αα
αα
α
ω
ω
28
Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers
∑∑∑== =
Ε
−−−+−=
=−Ζ−Ζ−−Ζ+−ΖΕ=ΖΖ−Ζ+ΖΕ=Ζ−ΖΕ=Ζ−Ζ=
nn n
xxCxxCxxC
mxmxmxmx
xxxxxxxxVar
1000
1 1
002
02
0
002
02
02
00002
2
2
2
αααβα
α ββα ωωω
σ
)()()(
....)))()()(())(())(((
))()())(())((()))()((()()((**
****
Kriging Verfahren
erhalten zu System Kriging Simple das um ersSchätzfehl des Varianz die Minimiere :Vorgehen weiteres
min)()()( →−+−+−= ∑∑∑== =
Ε
nn n
xxCxxCxxC1
0001 1
2 2α
ααβαα β
βα ωωωσ
System-SK das liefert setzen 0 gleich und Ableiten partielles
29
1,....,n für )()(
1,....,n für )()(
System-SK das liefert setzen 0 gleich und Ableiten partielles
2
n 1,...., für
=−=−⇔
==−−−⇔
∑
∑
=
=
Ε ==∂∂
αω
αω
βαβαβ
βαβαβ
ααω
σ
n
n
xxCxxC
xxCxxC
10
10 022
0
Kriging Verfahren
Varianz des Schätzfehlers bei Simple KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Simple Kriging
)()(
)()()(
∑
∑∑==
−−=
−−−+−=
n
nnOK
SK
xxCC
xxCxxCxxC
0
1000
10
2
0
2
αα
ααα
ααα
ω
ωωσ
30
n 1,....,i ,x nMessstelle den an
etverschwind ersSchätzfehl des Varianz Die -
wenn ),()(
d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Simple - :Bemerkung
i
2
*
=
=Ζ=ΖSK
xxxx
σαα 00
)()( ∑=
−−= xxCC1
00α
ααω
Cross Validation
treffen zuAnomalien) npunktweise ,Ausreißern von sein(Vorhanden selbst Daten die über oder
Kriging) fürs kteNachbarpun der AnzahlParamter, seiner und sVariogramm des Art (z.B. Model das über Aussagen tMöglichkei einfache eine ist Validation Cross
[ ]
durch n 1,..,1,-1,.., ,x Punkten restlichen denauf ionInterpolat Kriging
eine führe und )x (Notation ,....,,x Punkt jeden ernacheinand Entferne :Vorgehen
i +==
ααα αα
i
n1
31
Differenz zwischen Messwert und Cross Validation SchätzwertDifferenz zwischen Messwert und Cross Validation Schätzwert
[ ] )(x-)( *
αα ΖΖ=∆ x
passt Messwerte anderen der aftNachbarsch die in Messwert der gut"" wie Indikation ⇒
Cross Validation
Mittlerer Cross Validation FehlerMittlerer Cross Validation Fehler
[ ] ))()(x(n
1
*∑=
≅Ζ−Ζ=Σα
αα 01
xn
vorliegt Wert) negativer (großer zungUnterschät oder
Wert) positiver (großer ungÜberschätz chesystematis eine ob Indikation ⇒
32
vorliegt Wert) negativer (großer zungUnterschät oder
Mittlerer quadrierter standard Cross Validation FehlerMittlerer quadrierter standard Cross Validation Fehler
[ ]
[ ]
))()((n
1
*
∑=
≅Ζ−Ζ
=Σα α
αα
σ1
12
2xx
n
entspricht Fehler gtenvorhergesa Model vom dem Mittel im erSchätzfehl der ob Indikation ⇒
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