Seminar stochastische Geometrie

Kriging

1

Andreas Stach

Institut für Stochastik, Universität Ulm

09.01.2012

Gliederung

• Motivation

• Modellannahmen und Variogramm

• Kriging Verfahren

2

Motivation

•

•

•

•

2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂

n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien

1

in1

nxz

=∈

3

1719

32

26

2220

z(x0)?=> interpoliere „z(x0)“

Ziel

sind Gewichte ebestimmend zu noch ist, ktionZufallsfun eine wobei

)()(

Gleichung Kriging der Hilfe mit wurde gemessen nicht denen an Stellen an Dx von Schätzung

*

0

α

ααα

ω

ω

Ζ

Ζ=Ζ

∈

∑1=

n

xx0

4

sind Gewichte ebestimmend zu noch ist, ktionZufallsfun eine wobei αωΖ

Modellannahmen

•

• Die Realisierung einer Zufallsfunktion wird als regionalisierte Variable aufgefasst und als z(x) bezeichnet

•

• Die Realisierung einer Zufallsfunktion wird als regionalisierte Variable aufgefasst und als z(x) bezeichnet

DefinitionDefinition

2}p ,x:(x){ iablenZufallsvar

von Menge eine als ktionZufallsfun eine Definiere

≥⊂∈Ζ pRD

5

aufgefasst und als z(x) bezeichnet

• Erwartungswert, Varianz und Covarianz werden wie folgt definiert

aufgefasst und als z(x) bezeichnet

• Erwartungswert, Varianz und Covarianz werden wie folgt definiert

)()())()((:))(),(xCov( :unktionKovarianzf Punkte-2)())((

))(())((:(x))Var( :ktionVarianzfun

m(x):(x))( :onwertfunktiErwartungs

βαβαβα xxxxx

xmx

xx

ΕΕ−ΖΖΕ=ΖΖ−ΖΕ=

ΖΕ−ΖΕ=Ζ=ΖΕ

22

22

Modellannahmen

•

•

•

•

BemerkungBemerkung

aufgefasst Dx (x), ktionZufallsfun igenortsabhäng einer nRealisatio diskrete eine

als werden 1.....ni ,,x Stellen den an )z(x Messungen Die ii

∈Ζ

=≥⊂∈ 2pRDp

)Ζ(x iableZufallsvar eine lokal Ζ(x) ktionZufallsfun eine ist Dxx für αα ∈=

6

•• i.A. sind die Zufallsvariablen, die eine Zufallsfunktion bilden, nicht

unabhängig und identisch verteilt (iid)

•• i.A. sind die Zufallsvariablen, die eine Zufallsfunktion bilden, nicht

unabhängig und identisch verteilt (iid)

)Ζ(x iableZufallsvar eine lokal Ζ(x) ktionZufallsfun eine ist Dxx für αα ∈=

tätStationari der Konzept

Modell resallgemeine ein brauchen restriktiv zu Praxis die für ist sind, ktionZufallsfun einer iablenZufallsvar

iid von nenRealisatio )z(x die wonach Statistik, der Annahme klassische i

⇒⇒

⇒

Modellannahmen

Strenge Stationarität / Stationarität 1.OrdnungStrenge Stationarität / Stationarität 1.Ordnung

),....,(F

))(,....,)((),....(F gilt D hx,,....,,x N,n d.h. sind, tnsinvariantranslatio enVerteilung lendimensiona-n

alle falls stationär, streng heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine

,....,1

x

nx,..,1xn1

nhnxh

nnnn

zz

zxzxzzxhx

1

1111

++=≤Ζ≤ΖΡ=∈++∈∀

∈Ζ

2RD mit Dauf ktionZufallsfun eine Z(x) immer sei folgenden Im ⊂

7

,....,1

x nhnxh 1++=

restriktiv zu Praxis für

identisch enVerteilung alle sind ))(())(( Wegen

schreiben N, , x-xh mit hx als D x jedes sich lässt Es :Bemerkung

⇒

≤ΖΡ=≤ΖΡ∈=+∈

zxzx βα

αβαβ βα

Modellannahmen

••

•

••

•

Schwache Stationarität / Stationarität 2.OrdnungSchwache Stationarität / Stationarität 2.Ordnung

Dhxx, )())((x)(h))(x(x),Cov(

Dx m(x))( ))((

falls stationär, schwach heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine2

∈+∀=−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ∈∀=ΖΕ

∞≤ΖΕ∈Ζ

hCmhx

x

2

8

•• Dhxx, )())((x)(h))(x(x),Cov( ∈+∀=−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ hCmhx

)()( d.h. h,symmetrisc ist und ab h ektorRichtungsv vom nur hängt C unktionKovarianzf Die :Bemerkung

hChC −=

Modellannahmen

••

••

Intrinsische Stationarität / Stationarität 2.Ordnung der InkrementeIntrinsische Stationarität / Stationarität 2.Ordnung der Inkremente

Dhxx, )()(x))-h)(x(((x))-h)(xVar(

Dhxx, )())()(( falls stationär, hintrinsisc heißt Dx (x), ktionZufallsfun Eine

2 ∈+∀=Ζ+ΖΕ=Ζ+Ζ∈+∀==Ζ−+ΖΕ

∈Ζ

h

hmxhx

γ20

9

sVariogramm hentheoretisc des Definition zur Basis als uns Dient- fordert ktionZufallsfun der Momente der Existenz keine

Sie weil te,allgemeins die ist tätStationari der Form Diese- :Bemerkung

Variogramm

Man habe eine Zufallsfunktion Z(x) mit Eigenschaft der intrinsischen Stationarität

Dann definiert man das theoretische Variogramm

Man habe eine Zufallsfunktion Z(x) mit Eigenschaft der intrinsischen Stationarität

Dann definiert man das theoretische Variogramm

Definition theoretisches VariogrammDefinition theoretisches Variogramm

)))()((())()((2

1(h) 2

2

1xhxxhxVar Ζ−+ΖΕ=Ζ−+Ζ=γ

funktionVariogramm eine benötigt Verfahren Kriging (Ordinary) Das

10

)))()((())()((2

(h)2

xhxxhxVar Ζ−+ΖΕ=Ζ−+Ζ=γ

Bemerkung: Das theoretische Variogramm ist ein Maß für den räumlichen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen

••

•

••

•

EigenschaftenEigenschaften

∞→=

=−=≥

|h| für ||

)(lim

)()()(,)(

0

000

2h

h

hh

h

γγγγγ

Variogramm

Bemerkung: Das theoretische Variogramm ist nicht einfach zu bestimmen, auch weil es eine conditionally negative definite Funktion ist(siehe z.B. Wackernagel, Multivariate Geostatistics, pp.53)

Exemplarisches Vorgehen zur Bestimmung eines theoretischen Variogramms

11

1. Schätzung des Variogramms mit einem experimentellen Variogramm2. Herleitung des Variogramms mit Hilfe einer Kovarianzfunktion

Variogramm

Die Variogrammwolke misst die Unterschiedlichkeit von Messwerten Die Variogrammwolke misst die Unterschiedlichkeit von Messwerten

Definition VariogrammwolkeDefinition Variogrammwolke

nxzhxz ,...., ,))()((2

1(h)* 12 =−+= αγ αα

Variogramm ellenexperiment einem mit sVariogramm des Schätzung 1.

12

darstellen folgt wie wolkeVariogramm die sich lässt )()( Wegen **hh γγ =−

Variogramm

Definition experimentelles VariogrammDefinition experimentelles Variogramm

k

cn

k xzhxz hh ∈−+= ∑=

h mit ))()((2n

1)(

c

* 2

1αα

αγ

Variogramm ellenexperiment einem mit sVariogramm des Schätzung 1.

13

kc

k

n h

h

seVektorklas der ePunktepaar der Anzahl die ist Winkel und Länge gewissen einer mit Vektoren groupiert seVektorklas Die

−−

Variogramm

Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,

dann gilt

Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,

dann gilt

Zusammenhang Variogramm und KovarianzfunktionZusammenhang Variogramm und Kovarianzfunktion

unktionKovarianzf einer Hilfe mit sVariogramm des Herleitung 2.

)()((h) hCC −= 0γ

14

Variogramm

Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,

dann gilt

Die Zufallsfunktion Z erfülle die Voraussetzung der schwachen Stationarität,

dann gilt

Zusammenhang Variogramm und KovarianzfunktionZusammenhang Variogramm und Kovarianzfunktion

unktionKovarianzf einer Hilfe mit sVariogramm des Herleitung 2.

(x))h),(x2Cov(-(x))Var(h))(xVar((x))-h)(xVar((h)2 :Beweis Ζ+ΖΖ++Ζ=Ζ+Ζ=γ

)()((h) hCC −= 0γ

15

))()(2( ))(),(2Cov(-(x))(x),Cov(h))(xh),(xCov(

(x))h),(x2Cov(-(x))Var(h))(xVar((x))-h)(xVar((h)2 :Beweis

hCC

xhx

−=Ζ+ΖΖΖ++Ζ+Ζ=

Ζ+ΖΖ++Ζ=Ζ+Ζ=

0

γ

Wähle unter Berücksichtung des experimentellen Variogramms eine passende Kovarianzfunktion und damit (theoretisches) Variogramm

Variogramm

•

•

•

•

Beispiele für KovarianzfunktionenBeispiele für Kovarianzfunktionen

>−=

>=

=

bah

bhC

bhCnug

, mit )||

exp()( : lExponentia

0 |h| für

0 |h| für )( :effekt-Nugget

0

0

16

•

•

•

•

>

≤≤+=

>−=

a

aaahC

baa

hbhC

sph

|h| für

|h| 0 für ) 2

|h| 1

2

|h| 3-b(1

)( : Sphärisch

, mit )||

exp()( : lExponentia

3

3

exp

0

0

0>⋅=

=

baa

, mit ),|h|

exp(-b-b

C(h)-C(0)(h) dann man erhält Variogramm llesexponentie Als γ

Variogramm

Illustration eines exponentiellen Variogramms und KovarianzfunktionIllustration eines exponentiellen Variogramms und Kovarianzfunktion

17

Kriging Verfahren

konstant ist und wertErwartungs unbekannte der existiere Umgebung einer In

)))()(((2

1(h)

:bekannt ist und existiert Variogramm hetheoretisc Das Dhxx, (h)2)))(-h)(x((Z(x))h)(xVar(

Dhxx, 0(x))h)(x( mit RDx (x), ktionZufallsfun stationäre hintrinsisc eine gebe Es

2

Ζ−+ΖΕ=

∈+∀=Ζ+ΖΕ=−+Ζ∈+∀=Ζ−+ΖΕ

⊂∈Ζ

2

2

xhx

x

γ

γ

•

•

•

18

Ordinary KrigingOrdinary Kriging

Verfahren Kriging Ordinary dem mit 1,....,ni ,x ktenNachbarpun- n von Hilfenahme zu unter x Stelle der an man reinterpolie Dann

DWx R,m m,(x))( konstant ist und wertErwartungs unbekannte der existiere Umgebung einer In

i

0

=

⊂∈∈=ΖΕ•

10 =Ζ=Ζ ∑ ∑1= 1=

n n

OK xx

α α

ααα ωω ),()( *

Kriging Verfahren

))()((

))()(())()(( ))(x)(x(

:gelten heitUnverzerrt die soll außerdem c,)z(x dass

ten,gewährleis Rc 1....n,i ,)z(x für soll Bedingung Die :Bemerkung

1

n

1

n

100

*

0

i

n

1

0

1

01

0

=+Ζ−ΖΕ=

Ζ−ΖΕ=⋅Ζ−ΖΕ=Ζ−ΖΕ

=

∈===

∑

∑∑∑

∑

===

=

hxx

xxxx

c

n

n

αα

αα

ααα

α

αα

ω

ωωω

ω

321

19

Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers

))()(( 01

=+Ζ−ΖΕ=∑=

hxx ααα

αω

∑∑∑== =

Ε

−+−−=

=Ζ−ΖΕ=Ζ−Ζ=nn n

xxxx

xxxxVar

10

1 1

20000

2

2α

ααβαα β

βα γωγωω

σ

)()(

....)))()((()()(( **

Kriging Verfahren

erhalten zu System Kriging Ordinary das um Methode-torMultiplika-Lagrange

der mit ersSchätzfehl des Varianz die Minimiere :Vorgehen weiteres

∑∑∑== =

Ε →−+−−=

n

min)()(α

ααβαα β

βα γωγωωσ 21

01 1

2nn n

xxxx

20

∑=

=n

1

ngung)(Nebenbedi α

αω 1

rltiplikatoLagrangemu mit

)()()(),,....,(

:man erhält L nktionLagrangefu Als

OKµ

ωµγωγωωµωωα

αα

ααβαα β

βα 12211

01 1

1 −−−+−−= ∑∑∑∑=== =

n

OK

nn n

OKn xxxxL

Kriging Verfahren

1,....,n für )()(

1,....,n für )()(

System-OK das liefert setzen 0 gleich und ,....,, nach L von Ableiten partielles n1

=−=+−

⇔

==−−+−−

∑

∑

=

=

10

10 0222

xxxx

xxxx

n

n

OK

OK

n

OK

OK

αγµγω

αµγγω

µωω

βαβαβ

βαβαβ

21

1 )(

.

. )(

.

.

0 . . . 1 )( . . . )(x . . .. . .1 )x-(x . . . )(

eibweiseMatrixschr in oder

n

1

n

1

−

−

=

−−

−

=

⇔∑

=

0

01

1

11

1

1

1

xx

xx

xxx

xx

n

OK

OK

OK

nn

n

nOk

γ

γ

µω

ω

γγ

γγ

ωβ

β

Kriging Verfahren

Varianz des Schätzfehlers bei Ordinary KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Ordinary Kriging

wenn ),()(

d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Ordinary - Lösung eindeutige eine also gibt es ar,invertierb ist Matrix Die- :Bemerkung

*αα xxxx =Ζ=Ζ 00

∑ −+=n

OKxx

2 γωµσ )(

22

∑=

−+=n

OK

OKOK xx1

02

ααα γωµσ )(

Kriging Verfahren

Varianz des Schätzfehlers bei Ordinary KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Ordinary Kriging

wenn ),()(

d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Ordinary - Lösung eindeutige eine also gibt es ar,invertierb ist Matrix Die- :Bemerkung

*αα xxxx =Ζ=Ζ 00

∑ −+=n

OKxx

2 γωµσ )(

23

∑=

−+=n

OK

OKOK xx1

02

ααα γωµσ )(

.

))(()(

))(()(

)()( :Beweis 2

Beh

xxxx

xxxx

xxxx

OKOK

nOK

OK

nOK

nOK

n

OK

nOKOK

nOK

nOK

nOK

nOK

nOK

OK

⇒

+−−+=+−+=

+−+−−=

−+−−=

∑∑∑

∑ ∑∑∑

∑∑∑

===

= ===

===

µµγωµγωω

µγωωγωω

γωγωωσ

αα

αβαβ

βα

α

α ββαβαβα

ββ

αα

αααβα

ββ

αα

22

2

2

0111

1 111

10

11

Kriging Verfahren

2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂

n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien

1

in1

nxz

=∈

Motivation Block-Kriging

•

•

•

•

2p hier 2,pRD Sei p =≥⊂

n Messstelle den an Messwerte die )( ),....,z(x 1....n,i D,x mit n Messstelle die x,...,x Seien

1

in1

nxz

=∈

24

1719

32

26

2220=> interpoliere „z(v0)“ v0 ?

Kriging Verfahren

Block KrigingBlock Kriging

Verfahren Kriging Ordinary Verwende

10 =Ζ=Ζ ∑ ∑1= 1=

n n

v xα α

ααα ωω ),( *

:System Kriging Block

25

:System Kriging Block

∫ =−=

=

−−

−

000

0

01

1

11

1

1

v

ii

n

BK

BK

BK

nn

n

dxxxv

vx

vx

vx

xxx

xx

1,....,ni für )(||

),(

wertVariogramm mittleren dem mit

1 ),(

.

. ),(

.

.

0 . . . 1 )( . . . )(x . . .. . .1 )x-(x . . . )(

n

1

n

1

γγ

γ

γ

µω

ω

γγ

γγ

Kriging Verfahren

Varianz des Schätzfehlers bei Block KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Block Kriging

∑=

+−=n

BK

BKBK vxvv1

0002

ααα γωγµσ ),(),(

26

Kriging Verfahren

Dx R,m m,(x))(

konstant ist und wertErwartungs bekannte der existiere D ganzAuf

)x-(x)x-(x))(x),(xCov( :werden tdargestell so

bekannt bereits wie kann und bekannt explizit also ist unktionKovarianzf Die

Dhxx, (h)))(())(())()((h))(x(x),Cov(

Dhxx, (x))(h))(x(

d.h.,RDx Ordnung, 2. tätStationari mit (x) ktionZufallsfun eine gebe Es 2

∈∈=ΖΕ

==ΖΖ

∈+∀=+ΖΕ⋅ΖΕ−+Ζ⋅ΖΕ=+ΖΖ∈+∀ΖΕ=+ΖΕ

⊂∈Ζ

βααββα CC

Chxxhxx

•

•

27

Simple KrigingSimple Kriging

Verfahren Kriging Simple dem mit 1,....,ni ,x

ktenNachbarpun- n von Hilfenahme zu unter x Stelle der an man reinterpolie Dann

Dx R,m m,(x))(

i

0

=

∈∈=ΖΕ

∑1=

−Ζ+=Ζn

SK mxmx

αααω ))(()( *

0

Kriging Verfahren

Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers

)(

))(())((( ))(x-)(x(

:gelten heitUnverzerrt die Kriging Ordinary beim wie soll s :Bemerkung

n

1

n

100

*

0

0

=−−+=

ΖΕ−−ΖΕ+=ΖΖΕ

∑

∑

=

=

mmmm

xmxm

E

αα

αα

α

ω

ω

28

Varianz des SchätzfehlersVarianz des Schätzfehlers

∑∑∑== =

Ε

−−−+−=

=−Ζ−Ζ−−Ζ+−ΖΕ=ΖΖ−Ζ+ΖΕ=Ζ−ΖΕ=Ζ−Ζ=

nn n

xxCxxCxxC

mxmxmxmx

xxxxxxxxVar

1000

1 1

002

02

0

002

02

02

00002

2

2

2

αααβα

α ββα ωωω

σ

)()()(

....)))()()(())(())(((

))()())(())((()))()((()()((**

****

Kriging Verfahren

erhalten zu System Kriging Simple das um ersSchätzfehl des Varianz die Minimiere :Vorgehen weiteres

min)()()( →−+−+−= ∑∑∑== =

Ε

nn n

xxCxxCxxC1

0001 1

2 2α

ααβαα β

βα ωωωσ

System-SK das liefert setzen 0 gleich und Ableiten partielles

29

1,....,n für )()(

1,....,n für )()(

System-SK das liefert setzen 0 gleich und Ableiten partielles

2

n 1,...., für

=−=−⇔

==−−−⇔

∑

∑

=

=

Ε ==∂∂

αω

αω

βαβαβ

βαβαβ

ααω

σ

n

n

xxCxxC

xxCxxC

10

10 022

0

Kriging Verfahren

Varianz des Schätzfehlers bei Simple KrigingVarianz des Schätzfehlers bei Simple Kriging

)()(

)()()(

∑

∑∑==

−−=

−−−+−=

n

nnOK

SK

xxCC

xxCxxCxxC

0

1000

10

2

0

2

αα

ααα

ααα

ω

ωωσ

30

n 1,....,i ,x nMessstelle den an

etverschwind ersSchätzfehl des Varianz Die -

wenn ),()(

d.h. or,Interpolat exakter ein ist Kriging Simple - :Bemerkung

i

2

*

=

=Ζ=ΖSK

xxxx

σαα 00

)()( ∑=

−−= xxCC1

00α

ααω

Cross Validation

treffen zuAnomalien) npunktweise ,Ausreißern von sein(Vorhanden selbst Daten die über oder

Kriging) fürs kteNachbarpun der AnzahlParamter, seiner und sVariogramm des Art (z.B. Model das über Aussagen tMöglichkei einfache eine ist Validation Cross

[ ]

durch n 1,..,1,-1,.., ,x Punkten restlichen denauf ionInterpolat Kriging

eine führe und )x (Notation ,....,,x Punkt jeden ernacheinand Entferne :Vorgehen

i +==

ααα αα

i

n1

31

Differenz zwischen Messwert und Cross Validation SchätzwertDifferenz zwischen Messwert und Cross Validation Schätzwert

[ ] )(x-)( *

αα ΖΖ=∆ x

passt Messwerte anderen der aftNachbarsch die in Messwert der gut"" wie Indikation ⇒

Cross Validation

Mittlerer Cross Validation FehlerMittlerer Cross Validation Fehler

[ ] ))()(x(n

1

*∑=

≅Ζ−Ζ=Σα

αα 01

xn

vorliegt Wert) negativer (großer zungUnterschät oder

Wert) positiver (großer ungÜberschätz chesystematis eine ob Indikation ⇒

32

vorliegt Wert) negativer (großer zungUnterschät oder

Mittlerer quadrierter standard Cross Validation FehlerMittlerer quadrierter standard Cross Validation Fehler

[ ]

[ ]

))()((n

1

*

∑=

≅Ζ−Ζ

=Σα α

αα

σ1

12

2xx

n

entspricht Fehler gtenvorhergesa Model vom dem Mittel im erSchätzfehl der ob Indikation ⇒

Literatur

� Hans WackernagaelMultivariate GeostatisticsSpringer 2003

� Potsdam-Institut für Klimafolgenforschung http://www.pik-potsdam.de/~fred/geostatistik/

33

http://www.pik-potsdam.de/~fred/geostatistik/