D. Totaro & C. Spannagel
Mengen
Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013
D. Totaro & C. Spannagel
D. Totaro & C. Spannagel
Menge
Photo by Stephan Kulla (derivate work), CC-BY 3.0 http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Veranschaulichung_einer_Menge.svg&filetimestamp=20110302234450
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Menge
Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.(Georg Cantor, 1895)
Beispiel: A={1,2,3}
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Beispiele für Mengen
• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum
• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit
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Gleichheit und Teilmengenbeziehung
• Mengengleichheit: • Teilmengenbeziehung:• Echte Teilmenge:
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• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum
• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit
Gleichheit und TeilmengenbeziehungMengengleichheit: Teilmengenbeziehung:Echte Teilmenge:
D. Totaro & C. Spannagel
• A={1,2,3} B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={} D={☼} E={3} F={1,3}• H= I=• J={20, 21, 22, 23, …} K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit
Mengenoperationen
Schnitt
M N
𝑀∩𝑁
Vereinigung
M N
𝑀∪𝑁
Differenz
𝑀 ¿M N
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Zeigen Sie mit Venn-Diagrammen:
𝐴∪ (𝐵∩𝐶)=( 𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)
( 𝐴∪𝐵 )∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶 )
C ¿ (𝐴∪𝐵¿)=(𝐶 ¿)∩(𝐶 ¿)
𝐴∪ ( 𝐴∩𝐵 )=𝐴
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Mächtigkeit von Mengen
• Mächtigkeit von M: |M|
• Beispiele: • A={a,b,c,d}, |A|=4• B={3}, |B|=1
D. Totaro & C. Spannagel
• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum
• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit
Mächtigkeit von Mengen
D. Totaro & C. Spannagel
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 10
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
…
Die natürlichen Zahlen
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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 10
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
…
Wie viele Quadratzahlen gibt es?
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„Jeder wohl definierten Menge kommt… eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element, einander zuordnen lassen.“
Angenommen, wir können nicht zählen…
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Quadratzahlen und nat. Zahlen
11 14 19 16 25 36 49 64 81 …
21 22 23 24 25 26 27 28 29 …
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1 2 3 4 50-1-2-3-4-512 34 56 78 910 11……
ℕℤ
……
Ganze Zahlen und natürliche Zahlen
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12
13
14
15
11
22
23
24
25
21
32
33
34
35
31
42
43
44
45
41
1
2
3 54
1
2
3
4
5 52
53
54
55
51
Nö.
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„… als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat.“(Henri Poincaré; 1854-1912)
„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." (David Hilbert; 1862-1943)
Georg Cantor (1845-1918)
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