Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft
1848-1923 1902-1950 1924-
•Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896)
•George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949)
•Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (New York, 1977)
•Mark E.J. Newman: Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law Contemporary Physics 46 (2005) 323-351.
Literatur
Häufigkeitsverteilungen I
M.E.J. Newman (2005)
Körpergröße Geschwindigkeit von Autos
Die Normalverteilung
Carl Friedrich Gauß, 1777-1855
Häufigkeitsverteilungen II
nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)
Städte mit mehr als 10000 Einwohnern
Potenzgesetze
•Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X:
min)1( ,)( XXXAXP
XAP log)1(loglog
•Doppellogarithmische Auftragung:
→ Gerade mit Steigung -(α+1)
•Kumulative Verteilung:
XA
dxxPXQX
)()(
Zipf-Plot
•Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach:
NXXX ....21
/11
rXX r
•Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N
•Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent 1
Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten
aus: Per Bak, How Nature Works(New York, 1996)
1
Pareto-Verteilung von grossen Vermögen
Forbes 400, nach Klass et al. (2007)
Verteilung von Einkommen
Chatterjee et al., 2007
Große und kleine Einkommen
A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005
aus: Capital 26/2007
aus: Capital 26/2007
Was haben Potenzgesetzemit Selbstähnlichkeit zu tun?
Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz
•Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant):
)1()1(
)1()(
)(
)(
bXA
bXA
XP
bXPfür jedes X, b
•Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft
•Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme
Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben
Richter-Skala:
)/log(3
20EEM
E: freigesetzte Energie E0=63 kJ
B. Gutenberg, R.F. Richter 1944
Aussterben biologischer Arten
Aussterbeereignissefür Familien marinerSpezies
M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)
Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse
M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)
Zahl von Kriegsopfern
L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)
1/f-Rauschen
M.A. Caloyannides (1974)
Frequenzspektrum der Spannungsschwankungenin einem Widerstand:
1,)( fAfS
1/f-Rauschen in der Musik
„Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)
“Wolken sind keine Kugeln,Berge keine Kegel, Küsten-linien keine Kreise. Die Rindeist nicht glatt – und auch der Blitzbahnt sich seinen Weg nicht gerade.”
Benoit B. Mandelbrot
Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie
B. B. Mandelbrot, 1967
How long is the coast of Britain?
Maßstabsabhängige Länge:
21,)1( DAlL D fraktale Dimension
Deterministische Fraktale
Dimension:
46.13log
5logD
“Vicsek-Schneeflocke”
Statistische Skaleninvarianz
JK, P. Meakin (1989)
Simulation der ballistischen Abscheidungunter schrägemEinfall
Diffusion-limited aggregation (DLA)
T.A. Witten, L.M. Sander 1981
Statistische Skaleninvarianz von DLA
P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium
Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)
Selbstähnlichkeit in der Geologie
Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)
Physics Today 1986
Further progress in this field depends upon establishing a more substantial theoretical base in which geometrical form is deducedfrom the mechanisms that produce it…Without that underpinningmuch of the work on fractals seems somewhat superficial and evenslightly pointless.
Exploring the consequences of self-similaritywas proving full of extraordinary surprises,helping me to understand the fabric of Nature. By contrast, the muddled discussion of the causes of scaling had few charms.
Der kritische Punkt
T. Andrews: “On the continuity of the gaseous and liquid states of matter”Proc. Roy. Soc. (1869)
Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt
T < Tc T = Tc T > Tc
aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999
Skaleninvarianz am kritischen Punkt
Kenneth G. Wilson: Nobelpreis 1982“for his theory of criticalphenomena in connectionwith phase transitions”
Self-organized criticality
Self-organized criticality
Per Bak (1948-2002)
Das Sandhaufen-Modell
Elaine Wiesenfeld
Das Sandhaufen-Modell
•Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1
•Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden → es entsteht eine Lawine
Das Sandhaufen-Modell
•Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz
Experimente mit Langkornreis
Frette et al., Nature 379, 49 (1996)
Schlusswort
„The sandpile theory – self-organizedcriticality – is irresistible as a metaphor.” Al Gore, Earth in the Balance (1992)
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