Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
Physik für Mediziner und Zahnmediziner
Vorlesung 0010
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Satz von Bernoulli
In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energiedichte konstant.
konstantρghpρv21 2 =++
Der Satz von Bernoulli ist eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes.
.constEEE potDkin =++Zur Erinnerung (Mechanik):
Alle diese Terme umschreiben „Druck“!
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Versuch: rotierender Zylinder Magnus Effekt
vZylinder
vrot,oben
vrot,unten vrot,oben vrot,unten = -
voben = vLuft + vrot
vunten = vLuft - vrot poben < punten
Auftrieb!
vLuft
Zylinder bewegt sich nach rechts
Die Luft strömt ihn von links an.
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noch einmal Bernoulli: Freistoß um die Ecke...
aus: Physik-Journal, Juni 2006
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Flugzeugflügel
Erklärung über den Bernoulli-Effekt
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Kontinuitätsgleichung
Folge der Inkompressibilität von Flüssigkeiten: „die pro Zeit in ein Volumen hineinfließende Flüssigkeit muss auch wieder herausfließen“
s2 s1
Querschnittsfläche A2 Querschnittsfläche A1
Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit
2211
2211
tAvtAvAsAs
∆=∆⇒⋅=⋅Gleichheit der Volumenelemente
Gleichheit des Transports
1
2
2
1
AA
vv
=⇒Ergibt umgekehrte Proportionalität zw. Flächen und Geschwindigkeiten
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...das „aufgebogene“ U-Rohr-Manometer
p
pLuft
h
ρghpp Luft +=
⇒ Druck p messbar über Höhe h der Flüssigkeitssäule
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Bernoulli
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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Erklärung mit dem Satz von Bernoulli
konstantρghpρv21 2 =++
Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:
an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit
Wir haben: veng > vbreit
Damit ergibt sich peng < pbreit
Wegen: unterschiedliches h
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Bernoulli mit weichen Scheiben
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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Stimmritze: Gummimembran-Modell
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Phonation
aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“
1. Luftströmung aus Trachea (Luftröhre) führt zum Öffnen der Stimmritze (Glottis)
2. erhöhte Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt den Druck (Bernoulli)
3. ⇒ Schließen der Glottis
Folge: periodisches Öffnen und Schließen führt zur Tonerzeugung
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Phonation und Artikulation
aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“
• Form des Resonanzkörpers (=Rachen und Mundhöhle) bestimmt den produzierten Laut
• Stimmgebung über Rückkopplung mit dem Gehör
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Buchhaltung: Bernoulli und Kontinuität
1
2
2
1
AA
vv
=⇒
Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit
Kontinuitätsgleichung
konstantρghpρv21 2 =++Satz von Bernoulli
Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich: an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit
In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energie konstant.
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Ströme: Vorgehensweise
• Erarbeiten wichtiger Zusammenhänge am Beispiel der Flüssigkeitsströmung
• Übertragen allgemeiner Ergebnisse auf elektrische Ströme und Spannungen Kirchhoffsche Gesetze, Widerstandsnetzwerke
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elektrische Spannung und Druckabfall
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten
v=0
x
p
v
x
p
∆p IpR ∆
=
Druckabfall entlang des Widerstands sowie Stromfluß
Widerstand ist unendlich: kein Druckabfall und kein Stromfluß
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elektrische Spannung und Druckabfall
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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reale elektrische Leiter
V
x
φ
U=∆φ IUR =
V
x
φ
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Das Ohm‘sche Gesetz
V
x
φ
U=∆φ IUR =
Zumeist geschrieben als:
U = R . I
WIKIPEDIA: Uri Geller erregte in den 1970er-Jahren erstmals Aufsehen mit seinen Fernsehauftritten, in denen er angeblich durch telepathische Kräfte versteckt gemalte Zeichnungen nachmalte, stehengebliebene Uhren zum Ticken brachte und Besteck verbog. Er sagt in Interviews gelegentlich, dass er glaubt, seine Kräfte von Außerirdischen vom Planeten „Hoova“,erhalten zu haben. Ob das bei der Physikklausur auch hilft……?
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Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
Verzweigungen: „Knoten“
geschlossene Kreise: „Maschen“
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Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
Serienschaltung:
Parallelschaltung:
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Kirchhoffsche Gesetze
In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:
Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)
1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme) Energie: Spannung (Druckdifferenz)
2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null
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1. Kirchhoffsches Gesetz Knotenregel
0Ij
j =∑In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null
I1
I2
I3
I4
0IIII 2143 =−−+
Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!
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2. Kirchhoffsches Gesetz Maschenregel
In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null
P1
P2
P3 P4
Einmal rum: Druckdifferenz P1-P1 muß Null sein
Masche
0UUABA
21 =+−→→
R1
R2
V
V
U1
U2
A B
Für Spannungen gilt dasselbe. Einmal rum:
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Flüssigkeitswiderstände
21 R1
R1
R1
+=
21 RRR +=
R1 R2
R1
R2
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Leitfähigkeit und Widerstand
21 R1
R1
R1
+=R1
R2 Verschließen!
Z.B. fließen jetzt 10ml pro Sekunde Nach dem Öffnen: Wieviel fließt etwa??
Der Widerstand R hat abgenommen Die Leitfähigkeit g hat zugenommen!
Es gilt: g = 1/R Wichtig bei Membranen!
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Serienschaltung
R1 R2 R
Equivalent zu
I
U
I I1 I2
U1 U2
U
I.
II.
Knotenreg.:
Maschenreg.:
Ohm‘sches Ges.: und und
X X X Alle Ströme sind gleich: 21 RRR +=I.
II.
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Parallelschaltung
R1
R2
U1
U2
I
I1
I2
I R
Equivalent zu
I
U
21 R1
R1
R1
+=II. I.
I.
II.
Wie ist der Wert von R?
Damit: X X
Knotenreg.:
Maschenreg.:
Ohm‘sches Ges.: und und
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Flüssigkeitswiderstände
21 R1
R1
R1
+=
21 RRR +=
R1 R2
R1
R2
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...wrap up
1.Kirchhoff (Teilchen)
im Knoten im Knoten
2.Kirchhoff (Energie)
in der Masche in der Masche
treibende Kraft Spannung U
Druckdifferenz ∆p
Strom elektrischer Strom
Volumenstrom
allgemein elektr.Strom Flüssigkeitsstrom
VdtdVI == Q
dtdQI ==
0Ii
i =∑0Ii
i =∑
0Ui
i =∑0pi
i =∆∑
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Schaltsymbole
V
A
- +
• Widerstand R
• Zuleitung (widerstandsfrei)
• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)
• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)
• Gleichspannungsquelle
• Kondensator
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reale Flüssigkeiten: Widerstand durch innere Reibung
Alltag: Flüssigkeiten besitzen unterschiedliche „Fließeigenschaften“
Ursache: Viskosität oder Zähigkeit, auch: innere Reibung
A
v=0
v0 F
x
v
∆v ∆x
Def.: Viskosität η
ΔxΔvAηF ⋅=
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laminares Strömungsprofil
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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kreisförmiger Röhrenquerschnitt: laminares Geschwindigkeitsprofil
r
( ) ( )22 ρrρv −∝ •Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null
• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte
ρ
v(ρ=r) = 0 v(ρ2) > 0
v(ρ3) >> 0 v(ρ=0) = max.
v, Geschwin- digkeit
Radius: ρ
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laminare Strömung: mikroskopische Vorstellung
• Flüssigkeit am Gefäßrand ruht (v=0)
• „Abgleiten“ der Flüssigkeitsschichten aneinander
• Reibung aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit
v(ρ)
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
v(ρ)
ρ
v(ρ+dρ) dρ
L
Betrachung einzelner Flüssigkeitszylinder
Flüssigkeitskraft: (vom Druck)
Viskosität:
Wenn‘s gleichmäßig fließt: Umstellen:
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Die Ableitung ist eine lineare Funktion von ρ
Integration
Integrationskonstante
Rand- oder Nebenbedingungen treten in der Physik oft auf. Sie geben an, wie sich ein System an bestimmten „charakteristischen“ Stellen verhält. Damit kann man dann ‚uneindeutige Gleichungen‘ endgültig bestimmen.
Sollte NULL sein !
Der Rand des Zylinders:
Also:
Wenn wir hier v0=0 setzen, bekommen wir für den Rand des Zylinders (der „Randwert“ – hier sprichwörtlich!) was unsinniges raus, nämlich:
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Wir hatten:
Und setzten: Damit ist:
Also insgesamt:
A
∆x Jedoch: v ist nicht konstant, wir haben: v(ρ) !
Und nun zum Fluß (laminare Strömung):
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
A
∆x
Von vorn ARing
ρ
∆ρ
Einsetzen von v(ρ): Dann in Integralform (und Rausziehen aller Konstanten):
Weil:
Damit:
Fluß eines einzelnen Rings: (Geschw. mal Fläche, wie vor)
Fluß gesamt:
Strömung eines Rings:
Summe über alle Ringe!
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
Stammfunktionen:
Bemerkenswert! 4te Potenz des Radius! Und endlich:
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Hagen-Poiseuille
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
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laminare Strömung: Hagen-Poiseuille
pL8
rI4
∆⋅η
π= 4r
L8Rπ
⋅η=oder
Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist
• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit
• proportional zur Länge der Kapillaren
• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius
Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich verändert werden
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einige Kreislaufdaten
• Blutvolumen: 5l • Herzschlagvolumen: ca 70ml
≈(4-6)l/min • unter Belastung: 20l/min • statischer Druck: (6-8)mmHg
(ca. 1kPa) (ohne Herzschlag!) • mittlerer Blutdruck: 100mmHg
(13kPa) • 0.25l/min O2-Verbrauch in
Ruhe • 3l/min O2-Verbrauch unter
Belastung
• Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit!
...abhängig vom Gefäßdurchmesser
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit
...abhängig von der Schubspannung (Druck)
Aggragation bei kleinen Schub-spannungen
Desaggragation bei großen Schub-spannungen
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Stromstärke-Druck-Diagramm
arteriovenöse Druckdifferenz
Dur
chbl
utun
g
dehnbares, aber druckpassives Gefäß (z.B. Lunge, Skelettmuskel)
starres Rohr
dehnbares, aber autoregulierendes Gefäsystem (z.B. Gehirn, Darm, Niere)
Blutgefäße ändern passiv oder aktiv ihren Strömungswiderstand und regulieren so die Durchblutung
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laminare und turbulente Strömung
Beobachtung:
Deutung:
Experimente
laminar turbulent
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Strömungsarten
laminare Strömung: Flüssigkeitsteilchen bewegen sich nur in Fließrichtung
turbulente Strömung: auch Geschwindigkeitskomponenten senkrecht und entgegen der Fließrichtung Wirbelbildung
Blutkreislauf: vorwiegend laminare Strömung; turbulente Strömung in der Aorta; pathologisch bei Gefäßverengungen ( Auskultation Strömungsgeräusche)
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Übergang laminar turbulent: Reynoldszahl
laminar turbulent
• laminare Strömung für kleine Strömungsgeschwindigkeiten
• Strömungswiderstand im turbulenten Bereich erhöht
• Übergang durch Reynoldszahl beschrieben: oberhalb von Re≈1000 nimmt der turbulente Strömungsanteil zu
ηρ⋅⋅
=vrRe
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Schaltung von Widerständen
Sie haben 3 Widerstände mit jeweils R=2kΩ zur Verfügung. Entwerfen Sie mit diesen Widerständen eine Schaltung mit dem Gesamwtiderstand Rges=3kΩ.
R R
R
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Serienschaltung
15Ω 12Ω 27Ω 18Ω 24Ω
U=32V
Die Spannung zwischen den Klemmen I und II des Widerstandes R2 beträgt in dem oben gezeigten Schaltbild:
1. U=2V
2. U=4V
3. U=5V
4. U=12V
5. U=15V
I II
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...Kategorien
Grundlagen: notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten
Wissenswertes:
Informationen jenseits des Notwendigen Für Experten:
Medzinische Physik...
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...das U-Rohr-Manometer
p p p p+∆p
h ρghΔp =
der hydrostatische Druck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab; insbesondere hängt er nicht von der Gefäßform ab
hydrostatischer Druck
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Blutdruckmessung
Manschettendruck > syst.Druck >> diast. Druck Manschettendruck ≥
syst.Druck >> diast. Druck
syst.Druck ≥ Manschettendruck >> diast. Druck Manschettendruck < syst. und
diast. Druck
aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“
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Widerstand
I: Volumenstromstärke [m3/s] ∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]
I: elektr. Stromstärke [A] U: Spannung [V]
Def.: Widerstand R
IUR =
Def.: Widerstand R
IpR ∆
=
I
∆p
I
U
53 mNs
msPa]R[ =
⋅= )Ohm(
AV]R[ Ω==
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Ergänzung: Leitwert G
I: Volumenstromstärke [m3/s] ∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]
I: elektr. Stromstärke [A] U: Spannung [V]
Def.: Leitwert G
R1
UIG ==
Def.: Leitwert G
pIG
∆=
I
∆p
I
U
ungebräuchlich! )Siemens(SVA]G[ ==
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Folge: Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten
v v=0
x
p
x
p
∆p IpR ∆
=
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reale elektrische Leiter
V
x
φ
U=∆φ IUR =
V
x
φ
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reale elektrische Leiter...
qFμv =
elektrische Leiter: Ladung wird transportiert durch
• Elektronen (Metalle)
• Ionen (Elektrolyte, biologische Systeme)
Widerstand aufgrund von Stößen der Ladungsträger Beschreibung durch die „Beweglichkeit“ μ:
v: Geschwindigkeit des Ladungsträgers F: Kraft auf den Ladungstträger q: Ladung des Ladungsträgers
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Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
Verzweigungen: „Knoten“
geschlossene Kreise: „Maschen“
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Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen
aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen
Serienschaltung:
Parallelschaltung:
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Buchhaltung: Kirchhoffsche Gesetze
In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:
Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)
1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme) Energie: Spannung (Druckdifferenz)
2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null
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1. Kirchhoffsches Gesetz
0Ij
j =∑In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null
I1
I2
I3
I4
0IIII 2143 =−−+
Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!
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1. Kirchhoffsches Gesetz
0Ij
j =∑
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2. Kirchhoffsches Gesetz
R1
R2
V
In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null
V
U1
U2
A B 0UU
ABA
21 =+−→→
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Parallelschaltung
R1
R2
21p R1
R1
R1
+=
I)(RIR
IRR
IRIII
IRUIRUIRUUUU
p2
p
1
p21
p22211121
÷=+⇒=+
=====⇒==
Rp
denn:
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Serienschaltung
R1 R2
21s RRR +=
IIRIRIRUUURU
RU
RUIIII
21s21
2
2
1
1
s21
÷+=⇒+=
===⇒==
Rs
denn:
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Schaltungen
21p R1
R1
R1
+=
21s RRR +=
R1 R2
R1
R2
Parallelschaltung
Serienschaltung
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...wrap up
1.Kirchhoff (Teilchen)
im Knoten im Knoten
2.Kirchhoff (Energie)
in der Masche in der Masche
treibende Kraft Spannung U
Druckdifferenz ∆p
Strom elektrischer Strom
Volumenstromdichte
allgemein elektr.Strom Flüssigkeitsstrom
VdtdVI == Q
dtdQI ==
0Ii
i =∑0Ii
i =∑
0Ui
i =∑0pi
i =∆∑
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