Polar-, Kugel-, Zylinderkoordinaten/ Mehrfachintegrale
Wozu verschiedene Koordinatensysteme?
Ausnutzen der Geometrie zur Vereinfachung der Rechnung
Flรคchen-/Volumenberechnung durch Integration
x
y
๐ด = 1 d๐ด = 1 d๐ฅd๐ฆ
d๐ด = d๐ฅ โ d๐ฆ
๐
๐
๐ = 1 d๐ = 1 d๐ฅd๐ฆd๐ง
A = 1 d๐ฆd๐ฅ = ๐ฆ 0
๐๐๐ฅ
d๐ฅ = ๐
๐๐ฅ d๐ฅ
๐
0
๐
0
๐๐๐ฅ
0
๐
0
=๐
2๐๐ฅ2
0
๐
=1
2๐ โ ๐
Flรคche eines rechtwinkligen Dreiecks:
d๐ด-Flรคchenelement (wie Pixel einer Rastergrafik)
Aufgabe 1 Berechnen Sie durch Integration die Flรคche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafรผr
โข a) kartesische Koordinaten
๐ฅ
๐ฆ
๐
๐ด = 1 dyd๐ฅ
?
?
?
?
๐ 2 โ ๐ฅ2 d๐ฅ = ๐ฅ
2๐ 2 โ ๐ฅ2 +
๐ 2
2arcsin
๐ฅ
๐ + ๐, R = ๐๐๐๐ ๐ก. Hilfestellung:
Aufgabe 1 Berechnen Sie durch Integration die Flรคche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafรผr
โข a) kartesische Koordinaten
๐ฅ
๐ฆ
๐
๐ 2 โ ๐ฅ2 d๐ฅ = ๐ฅ
2๐ 2 โ ๐ฅ2 +
๐ 2
2arcsin
๐ฅ
๐ + ๐, R = ๐๐๐๐ ๐ก. Hilfestellung:
๐ด = 1 dyd๐ฅ
๐ 2โ๐ฅ2
โ ๐ 2โ๐ฅ2
๐
โ๐
= 2 ๐ 2 โ ๐ฅ2 ๐๐ฅ = ๐๐ 2
๐
โ๐
Lรถsung:
Polar-/Zylinderkoordinaten
x
y
r
ฯ
x
y
z z
r ฯ
๐ฅ = ๐ cos ๐ ๐ฆ = ๐ sin ๐ (๐ง = ๐ง)
Beziehung zum kartesischen Koordinatensystem:
๐ ๐ ๐ ๐
Darstellung des Raumes durch die Koordinaten ๐, ๐ (und ๐ง)
Flรคchenelement in Polarkoordinaten
ฯ r
d๐ด = ๐d๐ โ d๐
๐ โ Funktional- determinante der Jakobi-Matrix Mathe-Vorlesung
Fรผr das Volumenelement in Zylinderkoordinaten gilt demnach:
d๐ = ๐d๐ โ d๐ โ d๐ง
.
๐ ๐ = d๐
๐๐
๐
๐๐ด โ ๐ โ ๐
sin d๐ =๐
๐ โ ๐ = ๐d๐
(sin๐ = ๐, wenn ๐ sehr klein)
Aufgabe 2 Berechnen Sie durch Integration die Flรคche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafรผr
โข a) Polarkoordinaten
๐
๐ด = 1 โ ๐ d๐d๐
?
?
?
?
r
ฯ
Zusatz: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit der Grundflรคche des Kreises und der Hรถhe h durch Integration
Aufgabe 2 Berechnen Sie durch Integration die Flรคche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafรผr
โข a) Polarkoordinaten
๐
๐ด = 1 โ ๐ d๐d๐
๐
0
2๐
0
= 1
2๐ 2 d๐ = ๐๐ 2
2๐
0
r
ฯ
๐ = 1 โ ๐ d๐d๐d๐ง
๐
0
2๐
0
โ
0
= ๐๐ 2 d๐ง = ๐๐ 2โ
โ
0
Lรถsung:
Zusatz:
Kugelkoordinaten Darstellung des Raumes durch die Koordinaten ๐, ๐ und ๐
๐ฅ = ๐ cos ๐ sin ๐
๐ฆ = ๐ sin ๐ sin ๐
๐ง = ๐ cos ๐
Beziehung zu den kartesischen Koordinaten:
Volumenelement in Kugelkoordinaten
๐ด = ๐ โ ๐ = ๐2 sin ๐ d๐d๐
.
๐
๐๐
๐
๐ = ๐ d๐
.
๐ sin ๐
๐๐
๐
๐ = ๐ sin ๐ d๐
๐๐ = ๐ด โ d๐ = ๐2 sin ๐ d๐d๐d๐
Aufgabe 3
a. Berechnen Sie durch Integration die Masse ๐ einer Kugel mit dem Radius ๐ und einer Dichte, die wie folgt vom Radius abhรคngt:
๐ ๐ = ๐0 โ ๐
๐๐ = ๐2 sin ๐ d๐d๐d๐
Volumenelement:
๐ = ๐ d๐
Ansatz:
Lรถsung zu Aufgabe 3
๐ = ๐ d๐
๐ฝ = ๐0 ๐ โ ๐2 sin ๐ d๐d๐d๐ = ๐0 ๐ 4
4sin ๐ d๐d๐
2๐
0
๐
0
๐
0
2๐
0
๐
0
= 2๐๐0 ๐ 4
4sin ๐ d๐ = 2๐๐0
๐ 4
4sin ๐ d
๐
0
๐
0
๐ = โ๐๐๐ 4
2cos ๐
0
๐
= 2๐๐0
๐ 4
2= ๐๐0๐
4
Ansatz:
Weitere Aufgaben:
Berechnen Sie das Trรคgheitsmoment:
a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von der Drehachse,
b. eines dรผnnen, homogenen Kreisrings mit Radius r und Masse m, der senkrecht zur Drehachse und dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt und
c. eines Vollzylinders mit Radius R und homogener Massenverteilung, der um seine Symmetrieachse rotiert mit Hilfe von Zylinderkoordinaten!
รbersicht Koordinatensysteme
Koordinaten-system
Koordi-naten
Umrechnung in kartesische Koordinaten
Determi-nante der Jakobi-Matrix
Volumenlement/ Flรคchenelement
kartesisch ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง - - d๐ด1 = d๐ฅ โ d๐ฆ d๐ด2 = d๐ฆ โ d๐ง d๐ด3 = d๐ฅ โ d๐ง
d๐ = d๐ฅ โ d๐ฆ โ d๐ง
polar ๐, ๐ ๐ฅ = ๐ cos๐ ๐ฆ = ๐ sin ๐
๐ ๐๐ด = ๐ d๐d๐
zylindrisch ๐, ๐, ๐ง ๐ฅ = ๐ cos๐ ๐ฆ = ๐ sin ๐ ๐ง = ๐ง
๐
d๐ดFlรคche = ๐ d๐d๐ d๐ดMantel = ๐ d๐d๐ง d๐ = ๐ d๐d๐d๐ง
sphรคrisch ๐, ๐, ๐ ๐ฅ = ๐ cos๐ sin ๐ ๐ฆ = ๐ sin๐ sin ๐ ๐ง = ๐ cos ๐
๐2 sin ๐ d๐ = ๐2 sin ๐ d๐d๐d๐ d๐ดO = ๐2 sin ๐ d๐d๐
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