Problemorientierung als eine Leitidee im
MathematikunterrichtBernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena
Göttingen 05.12.2002
Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena
Wellenreiten?
• Mengenleh(e?)re?
• „Back to basics“?
• Anwendungsorientierung (vgl. PISA)?
• Computerorientierung?
• Problemorientierung?!
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Mögliche Anlässe zur Intensivierung eines problemorientierten Mathematikunterricht
es
Neu(est)er Anlaß:
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Anlass 1: Bruchrechnung
„Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.”
(aus der Süddeutschen Zeitung)
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Anlass 2: Empirische Untersuchung
vor und nach Unterricht im Bruchrechnen
1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert?
?31
21 2.
3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes?
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Anlass 3: Eine Erfahrung aus Finnland
In einer TIMSS-Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber anderen Ländern am besten bei Aufgaben aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnung ab.
Die finnischen Schüler hatten das als einzige noch nicht im Unterricht behandelt!
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Anlass 4: Eine PISA-Aufgabe
Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an.Nach einer Stunde war die Robbe:a) auf dem Meeresbodenb) auf dem Weg nach obenc) beim Atemholend) auf dem Weg nach unten?
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Einige Fragen
• Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen?
• Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen?
• Wie lange liegt die Robbe am Boden?
• Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren?
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Für die Gäste einer Geburtstagspartie
sollen 10 Stück Kuchen eingekauft
werden. Dafür stehen 21 Euro
zur Verfügung. Man kann zwei
verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro.
Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das?
Anlass 5: Kuchenproblem (TIMSS Japan)
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Aki (8te Klasse):
Torte Bienenstich Summe
Stück Kosten Stück Kosten
10 23 0 0 23
9 20,70 1 2 22,70
...... ....... ..... .... ..........
4 9,20 6 12 21,20
3 6,90 7 14 20,90
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Dieter (8te Klasse):
• x 2,30 + (10 – x) 2 21
• x 0,30 1
• x = 3
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Clara (4. Klasse):
• „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. • Dann habe ich noch einen Euro über.• Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30
Cent mehr. • Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4
mal liegt schon drüber. • Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen
3 Tortenstücke eintauschen und fertig!”Vgl. MN9, S. 246
Was ist Problemorientierung?
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Was ist ein Problem?
Eher eine Aufgabe:• "In a discus-throwing competition, the winning throw
was 61.60 m. The second-place throw was 59.72 m. How much longer was the winning throw than the second-place throw?A. 1.18 m B. 1.88 m C. 1.98 m D. 2.18 m."(Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!).
Eher ein Problem:• „Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben?“
(Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ).
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Probleme – einige Kriterien
Orientierung an (echten) Problemen, d. h.• Bsp.: Kuchenaufgabe• Nicht sofort Lösung parat (hängt von der
jeweiligen Person ab)
• Erfordert selbständiges Denken• Lässt mehrere Lösungswege zu• Ist ausbaufähig
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Wie lässt sich das unterrichten?
Klassische
Methode:
Mögliche
Effekte:
s. „Anlässe“
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Mögliche methodische Alternativen
32,
73,
65
21
„dichter bei 1“ als
73
65
32,
73
Bsp. 1: Ordne folgende Brüche der Größe nach:
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Eine Methode zur Initiierung
(„Nichtverhinderung“) von
Denkprozessen!
Problemorientierung?
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Bsp. 2: Division von Brüchen:
23
115
21135
3):(32112):(235
3:3)2(112:2)3(5
3:3)2(112:3)2(5
3:2)(112:2)(5
32:
115
94
32
32:denn,
32
3:92:4?
32:
94
95
32
65:denn,
65
3:2)(92:2)(5?
32:
95
)dc
fe
ba(
cbda
d:bc:a
dc:
ba
„Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“
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Bsp. 3: Wanderungen im Zahlenhaus
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18
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Mögliche Fragen• Wie viele verschiedene Wege findet ihr? • Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr
dabei?• Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden.
Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl?• Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen
vor?• Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe?• Welche Variationen der Aufgabe findet ihr?
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Bsp. 4: Sortierspiel
?
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Sortierspiel
1 2 +
1 2 + 3 + 4 +MN 7, S. 250, Projekt
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Bsp. 5: LGS
I) x+2y=1 2x+2y=1
II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1
III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1
IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1
• Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung.
• Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung?
• Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen!
MN9, S. 48, Ü16
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Bsp. 6: Ulam Spirale
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Bsp. 7: Pythagoras und al
Sijzi
Vgl. MN 9, S. 129 A2
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Bsp. 7: Pythagoras und al
Sijzi
Wer war al-Sijzi?
• Abu Sa’id Ahmad ibn Muhammad
ibn ’Abd al-Jalil al-Sijzi,
lebte im 10. Jahrhundert• aus Sijistan im heutigen Südostiran
bzw. südwestlichen Afghanistan• Übersetzung des Aufgabentextes:
PD Dr. Sonja BrentjesVgl. MN 9, S. 129 A2
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Warum Problemorientierung?
• Lernpsychologie und Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus)
• Gesellschaftliche Erfordernisse
• Geschichte der Mathematik– Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen
von herausfordernden Problemen
– als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie
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Anwenden
Berechnen Konstruieren
Ordnen
Begründen Finden
SpielenBewerten
Mögliche Invarianten: wesentliche
mathematische (Denk-) Tätigkeiten
Beweise
Heuristik
Axiomatik
Riten, ReligionÄsthetik
Kalküle, Algorithmen
ArchitekturGeometrie
Würfelspiel; Würfelspiel; U.-Mathem.U.-Mathem.
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Entwicklung einer Schulbuchreihe
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Probleme mit der Problemorientierungen:
Implementierungsschwierigkeiten
• „Zeitmangel“?• „Richtige Probleme sind nur etwas für
besonders begabte Schüler“?• „Eigentlich machen wir das doch schon
längst!“?• „Vermittlung von Grundwissen und
Routinetechniken ist am wichtigsten“?• Stellenwert von Bildung und Lernen in
der Gesellschaft?
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Ich höre, und ich vergesse,
ich sehe, und ich erinnere
mich,
ich tue, und ich verstehe!
Konfuzius, (551- 479 v. Chr.)
Aus der Geschichte der Philosophie
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