Beispiel: Zufallsvariable
3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze
kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der
Köpfe interessiert.
Elementar-ereignis
Wahrschein- lichkeit
KKK 1/8
KKZ 1/8
KZK 1/8
ZKK 1/8
KZZ 1/8
ZKZ 1/8
ZZK 1/8
ZZZ 1/8
2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Zufallsvariable
3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze
kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der
Köpfe interessiert.
Elementar-ereignis
AnzahlKopf
Wahrschein-lichkeit
KKK 3 1/8
KKZ 2 1/8
KZK 2 1/8
ZKK 2 1/8
KZZ 1 1/8
ZKZ 1 1/8
ZZK 1 1/8
ZZZ 0 1/8
3 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Zufallsvariable
Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet
(Anzahl der beobachteten Köpfe)
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl
ergibt sich durch Summation der
Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die
mit dieser Zahl verknüpft sind:
AnzahlKopf 0 1 2 3
Wahrschein-lichkeit
1/8 3/8 3/8 1/8
4 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Diskrete Zufallsvariable (Random Variable)
Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis
e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e)
zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufalls-
variablen X ergibt sich durch die Zuordnung der
Wahrscheinlichkeiten von allen durch X definierten
Ereignissen.
5 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel aus Buch von Agresti
General Social Survey
Question: „What do you think is the ideal number of
children for a family to have?“
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable6
Ideal Number 0 1 2 3 4 5
Relative
Frequency
0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01
Beispiel aus Buch von Agresti
If you randomly pick out a person from the US-
population the probability of each allowed answer
will follow the above table.
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable7
Ideal Number 0 1 2 3 4 5
Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrschein-
lichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeits-
funktion der diskreten Zufallsvariablen X:
f(x) = P(X = x)
Seien x1, x2, ..., xi, ... die Realisationsmöglichkeiten
der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die
Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als pi
geschrieben:
f(xi) = P(X = xi) = pi i=1, 2, ... 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Zufallsvariable
Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet
(Anzahl der beobachteten Köpfe)
P{X=2} = 3/8
P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8
P{0 < X 1} = 3/8
P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1 - 1/8 - 3/8 = 4/8
AnzahlKopf 0 1 2 3
Wahrschein-lichkeit
1/8 3/8 3/8 1/8
9 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Verteilungsfunktion
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen
des Typs
{X x}
Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.
Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X
definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten
ermitteln.
Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit
P(X x) zuordnet nennt man die theoretische
Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X:
F(x) = P(X x)
10 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Münzwurf
F(0) = P{X 0} = 1/8
F(1) = P{X 1} = 4/8
F(2) = P{X 2} = 7/8
F(3) = P{X 3} = 8/8
Anzahl Kopf X 0 1 2 3
Wahrscheinlichkeits-
funktion P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Verteilungsfunktion
F(x) = P(X≤x) 1/8 4/8 7/8 8/8
Verteilungsfunktion
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 1 2 3 4 5
11 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable12
Ideal Number of
Children X
Probability
P(X = x)
Cumulative
Probability
F(x) = P(X ≤ x)
0 0,01 0,01
1 0,03 0,04
2 0,60 0,64
3 0,23 0,87
4 0,12 0,99
5 0,01 1,00
P(2 ≤ X ≤ 3) = 0,60 + 0,23 = 0,83
P(X ≤ 3) = 0,87 P(X ≤ 1) = 0,04
P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 1) = 0,87 - 0,04 = 0,83
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 1 2 3 4 5
Pro
ba
bili
ty P
(X =
x)
Ideal Number of Children
Wir können aus der
theoretischen
Verteilungsfunktion die
Wahrscheinlichkeit für
beliebige Ereignisse
berechnen.
Sprachliche Formulierungen
Für eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganzzahlige
Werte annehmen kann, sind folgende Aussagen
äquivalent:
X größer 2 X>2 bzw. X≥3
X zumindest 3 X≥3
X ist 3 oder mehr X≥3
X ist nicht kleiner als 3 Nicht(X<3)= X≥3
Ebenfalls äquivalent sind die folgenden Aussagen:
X ist kleiner als 2 X<2 bzw. X ≤ 1
X ist höchstens 1 X≤1
X ist 1 oder kleiner X≤1
X ist nicht größer als 1 Nicht(X>1)= X ≤ 1
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable13
Eigenschaften der theor. Verteilungsfunktion
F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es
gilt:
0 ≤ F(x) ≤ 1
bzw. da F(x) = P(X ≤ x)
0 ≤ P(X ≤ x) ≤ 1
F(x) steigt für wachsendes x monoton an
x1< x2 F(x1) F(x2)
F(x) 1 für x
F(x) 0 für x -
14 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
f(x) F(x) im diskreten Fall
Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und
der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der
diskreten Zufallsvariable X mit den
Realisationsmöglichkeiten x1, x2, ..., xi, ...:
F(xi) - F(xi-1) = f(xi)
F(xi) = P(X xi) =
= P(X < xi) + P(X = xi) =
= F(xi-1) + P(X = xi)
F x) f xi
x xi
( ( )
15 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Die Differenz zweier
aufeinanderfolgender Werte
der Verteilungsfunktion ist die
Wahrscheinlichkeit des
größeren Wertes bestimmt
Erwartungswert
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den
Realisationsmöglichkeiten xi und der zugehörigen
Wahrscheinlichkeitsfunktion pi=P(X=xi), i=1,2,...
Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X.
Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen,
wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind.
16 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
E X x pi i
i
( )
Varianz einer ZV
i i
i
V(X) E(X²) E(X)²
V(X) [x E(X)]²p(x )
17 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Misst die theoretisch zu erwartende Schwankung
eines zufälligen Phänomens
Y a bX V(Y) b²V(X)
Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen
Varianz
Beispiel aus Buch von Agresti
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable18
( ) i i
i
E X x p
V(X) E(X²) E(X)²
Ideal Number of
Children X
Probability
P(X = x) E(X) E(X²)
0 0,01 0,00 0,00
1 0,03 0,03 0,03
2 0,60 1,20 2,40
3 0,23 0,69 2,07
4 0,12 0,48 1,92
5 0,01 0,05 0,25
2,45 6,67
Erwartungswert E(X): 2,45
Varianz V(X): = 6,67 - 2,45² = 0,6675
Standardabweichung: 0,8170
Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)
19 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Unterschiedliche Strategien haben den selben
Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz !
Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)
20 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
-250
-150
-50
50
150
250
0 100 200 300 400 500
Simulation Spiel auf Dutzend
Simulation Spiel auf 1 Zahl
Theorie
Drücken Sie F9
Beispiel Würfelwurf
Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel,
welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt:
21 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Augenzahl Probability E(X) E(X²)
1 0,1667 0,1667 0,1667
2 0,1667 0,3333 0,6667
3 0,1667 0,5000 1,5000
4 0,1667 0,6667 2,6667
5 0,1667 0,8333 4,1667
6 0,1667 1,0000 6,0000
1,0000 3,5 15,1667
Erwartungswert 3,5
Varianz 2,9167
Standardabweichung 1,7078
( ) i i
i
E X x p
V(X) E(X²) E(X)²
Inferenzstatistisches Prinzip
In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik)
versucht man durch den systematischen Vergleich
von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit
hypothetischen theoretischen Modellen
Schlussfolgerungen über den datengenerierenden
Prozess ziehen zu können.
Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen
erfolgen:
Vergleich der theoretischen und der empirischen
Verteilung (z.B. Säulendiagramm empirischer
Häufigkeiten versus Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Vergleich von Maßzahlen (z.B. Mittelwert versus
Erwartungswert)
23 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Diskrete Zufallsvariable
Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen:
1) Erste Türkenbelagerung
2) Schlacht von Hastings
3) Entdeckung Amerikas
a) 1066 b) 1492 c) 1529
Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden:a b c a c b b a cb c a c a b c b a
Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist,da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt:0 1 10 3 1
24 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Diskrete Zufallsvariable
Geht man davon aus, dass ein Kandidat die Fragen rein
nach dem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6
möglichen Antwortmuster mit gleicher Wahrscheinlichkeit
wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Anzahl richtigen Antworten folgende Tabelle:
AnzahlrichtigeAntworten
0 1 2 3
Wahrschein-lichkeit
2/6 3/6 0 1/6
25 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Beispiel: Diskrete Zufallsvariable
Stellt man den Kandidaten wiederholt eine
Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon
ausgehen, dass der Kandidat im Mittel pro Problem eine
richtige Antwort treffen wird:
xi pi xipi
0 2/6 0
1 3/6 3/6
2 0 0
3 1/6 3/6
Summe 1 1
Dieses gewogene Mittel ist der Erwartungswert der
Zufallsvariable.
26 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
E X x pi i
i
( ) E X x pi i
i
( )
Anwendung beim Zuordnungstest
In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt:
Korrekt Prob Theorie A B C
0 2/6 10 24 11 4
1 3/6 15 4 15 6
2 0 0 0 0 0
3 1/6 5 2 4 20
Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten (Theorie) 1 richtige Lösung pro Schüler
Berechnung der empirischen Mittelwerte pro Klasse:
Mittelwert in Klasse(A): 10/30 = 1/3
Mittelwert in Klasse B: 27/30 = 9/10
Mittelwert in Klasse C: 66/30 = 2,2
27 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Theorie:
Verteilung beim
Raten nach dem
reinen
Zufallsprinzip
k
i
ii
k
i
ii xhxnn
x11
1
Vergleich empirische – theoretische Verteilung
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3
Theorie
A
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3
Theorie
B
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3
Theorie
C
28 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Gruppe A: deutlich
schlechter als blindes Raten
Gruppe B: entspricht
blindem Raten
Gruppe C: deutlich besser
als blindes Raten
Eigenschaften des Erwartungswertes
Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der
Erwartungswerte
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable29
E(X Y) E(X) E(Y)
E(aX b) aE(X) b
Linearität:
Additivität:
Beachte :
E(X X) E(2X)
aber
X X 2X
Zufallsvariable Augenzahl beim Würfelwurf
Augen-
zahl (X) P(X=x) x.P(X=x)
1 0,167 0,167
2 0,167 0,333
3 0,167 0,500
4 0,167 0,667
5 0,167 0,833
6 0,167 1,000
3,5
30 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
E(X) = 3,5
Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X)
Augen-
zahl
(2X) P(X=x) x.P(X=x)
2 0,167 0,333
4 0,167 0,667
6 0,167 1,000
8 0,167 1,333
10 0,167 1,667
12 0,167 2,000
7
31 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
E(2X) = 2*3,5=7
E(X) = 3,5
Ergebnis Augen Augen Augen Augen Augen Augen Möglich-
keiten
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
7 6
8 5
9 4
10 3
11 2
12 1
Summe Augenzahl von 2 Würfen
32 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Zufallsvariable X+X
1 2 3 4 5 6
1 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
2 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
3 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
4 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
5 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
6 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028
33 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Summe Augenzahl von 2 Würfen
z.B.: P(X+X=7)=6/36 1/36 = 0,02777778
Zufallsvariable X+X
Augen-
zahl
Y=X+X P(Y=y) y.P(Y=y)
2 0,028 0,056
3 0,056 0,167
4 0,083 0,333
5 0,111 0,556
6 0,139 0,833
7 0,167 1,167
8 0,139 1,111
9 0,111 1,000
10 0,083 0,833
11 0,056 0,611
12 0,028 0,333
7,000
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(Y=y)
34 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
E(2X) = 2*3,5 = 7E(X) = 3,5 E(X+X) = E(2X) = 7
Eigenschaften der Varianz einer ZV
V(X) E(X²) E(X)²
35 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable
Y a bX V(Y) b²V(X)
In Bezug auf lineare Transformationen gilt analog wie bei
der empirischen Varianz:
In Bezug auf die Summe/Differenz gilt, für zwei
unabhängige Zufallsvariablen X und Y:
Allgemein gilt:
V(X Y) V(X) V(Y)
V(X Y) V(X) V(Y)
V(X Y) V(X) V(Y) 2Cov(X,Y)
Anwendungsbeispiel
Im Zuge einer Erhebung wurden Haushalte in einer Stadt nach der
Anzahl der im Haushalt benutzten KFZ befragt.
Sie wählen aus der obigen Population rein zufällig einen Haushalt aus
und X sei die Zufallsvariable Anzahl der KFZ in einem zufällig
ausgewählten Haushalt.
Berechne Erwartungswert und Varianz für die diskrete Zufallsvariable X!
Angenommen Sie ziehen aus der obigen Population eine
Zufallsstichprobe von 5 unabhängigen Haushalten.
Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die
Gesamtsumme der Anzahl der KFZ, die von den 5 ausgewählten
Haushalten genutzt werden?
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable36
Anzahl der benutzten KFZ
0 1 2 3
Relative Häufigkeit
30% 40% 20% 10%
Lösung
Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable37
Anzahl KFZ rel Häufigkeit E(X) X² E(X²)
0 30% 0 0 0
1 40% 0,4 1 0,4
2 20% 0,4 4 0,8
3 10% 0,3 9 0,9
100% 1,1 2,1
Varianz 0,89
Erwartungswert bei 1 Person 1,1
Varianz bei einer Person 0,89
Erwartungswert bei 5 Personen 5,5
Varianz bei 5 Personen 4,45 wegen Unabhängigkeit
Vorgehen:
zuerst berechnen wir E(X) und V(X); dann wenden wir an, dass der Erwartungswert
einer Summe gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Bei der Varianz gilt das nur,
wenn die Beobachtungen statistisch unabhängig sind!
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