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Konzept diskreter Zufallsvariablen

Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

Statistik 1 für SoziologInnen

Beispiel: Zufallsvariable

3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze

kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der

Köpfe interessiert.

Elementar-ereignis

Wahrschein- lichkeit

KKK 1/8

KKZ 1/8

KZK 1/8

ZKK 1/8

KZZ 1/8

ZKZ 1/8

ZZK 1/8

ZZZ 1/8

2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable


3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze

kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der

Köpfe interessiert.

Elementar-ereignis

AnzahlKopf

Wahrschein-lichkeit

KKK 3 1/8

KKZ 2 1/8

KZK 2 1/8

ZKK 2 1/8

KZZ 1 1/8

ZKZ 1 1/8

ZZK 1 1/8

ZZZ 0 1/8



Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet

(Anzahl der beobachteten Köpfe)

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl

ergibt sich durch Summation der

Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die

mit dieser Zahl verknüpft sind:

AnzahlKopf 0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

1/8 3/8 3/8 1/8


Diskrete Zufallsvariable (Random Variable)

Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis

e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e)

zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufalls-

variablen X ergibt sich durch die Zuordnung der

Wahrscheinlichkeiten von allen durch X definierten

Ereignissen.


Beispiel aus Buch von Agresti

General Social Survey

Question: „What do you think is the ideal number of

children for a family to have?“

Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable6

Ideal Number 0 1 2 3 4 5

Relative

Frequency

0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01


If you randomly pick out a person from the US-

population the probability of each allowed answer

will follow the above table.


Ideal Number 0 1 2 3 4 5

Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrschein-

lichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeits-

funktion der diskreten Zufallsvariablen X:

f(x) = P(X = x)

Seien x1, x2, ..., xi, ... die Realisationsmöglichkeiten

der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die

Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als pi

geschrieben:

f(xi) = P(X = xi) = pi i=1, 2, ... 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable


Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet

(Anzahl der beobachteten Köpfe)

P{X=2} = 3/8

P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8

P{0 < X 1} = 3/8

P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1 - 1/8 - 3/8 = 4/8

AnzahlKopf 0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

1/8 3/8 3/8 1/8


Verteilungsfunktion

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer

Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen

des Typs

{X x}

Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X

definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten

ermitteln.

Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit

P(X x) zuordnet nennt man die theoretische

Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X:

F(x) = P(X x)


Beispiel: Münzwurf

F(0) = P{X 0} = 1/8

F(1) = P{X 1} = 4/8

F(2) = P{X 2} = 7/8

F(3) = P{X 3} = 8/8

Anzahl Kopf X 0 1 2 3

Wahrscheinlichkeits-

funktion P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Verteilungsfunktion

F(x) = P(X≤x) 1/8 4/8 7/8 8/8

Verteilungsfunktion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5


Beispiel


Ideal Number of

Children X

Probability

P(X = x)

Cumulative

Probability

F(x) = P(X ≤ x)

0 0,01 0,01

1 0,03 0,04

2 0,60 0,64

3 0,23 0,87

4 0,12 0,99

5 0,01 1,00

P(2 ≤ X ≤ 3) = 0,60 + 0,23 = 0,83

P(X ≤ 3) = 0,87 P(X ≤ 1) = 0,04

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) - P(X ≤ 1) = 0,87 - 0,04 = 0,83

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0 1 2 3 4 5

Pro

ba

bili

ty P

(X =

x)

Ideal Number of Children

Wir können aus der

theoretischen

Verteilungsfunktion die

Wahrscheinlichkeit für

beliebige Ereignisse

berechnen.

Sprachliche Formulierungen

Für eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganzzahlige

Werte annehmen kann, sind folgende Aussagen

äquivalent:

X größer 2 X>2 bzw. X≥3

X zumindest 3 X≥3

X ist 3 oder mehr X≥3

X ist nicht kleiner als 3 Nicht(X<3)= X≥3

Ebenfalls äquivalent sind die folgenden Aussagen:

X ist kleiner als 2 X<2 bzw. X ≤ 1

X ist höchstens 1 X≤1

X ist 1 oder kleiner X≤1

X ist nicht größer als 1 Nicht(X>1)= X ≤ 1


Eigenschaften der theor. Verteilungsfunktion

F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es

gilt:

0 ≤ F(x) ≤ 1

bzw. da F(x) = P(X ≤ x)

0 ≤ P(X ≤ x) ≤ 1

F(x) steigt für wachsendes x monoton an

x1< x2 F(x1) F(x2)

F(x) 1 für x

F(x) 0 für x -


f(x) F(x) im diskreten Fall

Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und

der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der

diskreten Zufallsvariable X mit den

Realisationsmöglichkeiten x1, x2, ..., xi, ...:

F(xi) - F(xi-1) = f(xi)

F(xi) = P(X xi) =

= P(X < xi) + P(X = xi) =

= F(xi-1) + P(X = xi)

F x) f xi

x xi

( ( )


Die Differenz zweier

aufeinanderfolgender Werte

der Verteilungsfunktion ist die

Wahrscheinlichkeit des

größeren Wertes bestimmt

Erwartungswert

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den

Realisationsmöglichkeiten xi und der zugehörigen

Wahrscheinlichkeitsfunktion pi=P(X=xi), i=1,2,...

Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X.

Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen,

wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind.


E X x pi i

i

( )

Varianz einer ZV

i i

i

V(X) E(X²) E(X)²

V(X) [x E(X)]²p(x )


Misst die theoretisch zu erwartende Schwankung

eines zufälligen Phänomens

Y a bX V(Y) b²V(X)

Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen

Varianz



( ) i i

i

E X x p

V(X) E(X²) E(X)²

Ideal Number of

Children X

Probability

P(X = x) E(X) E(X²)

0 0,01 0,00 0,00

1 0,03 0,03 0,03

2 0,60 1,20 2,40

3 0,23 0,69 2,07

4 0,12 0,48 1,92

5 0,01 0,05 0,25

2,45 6,67

Erwartungswert E(X): 2,45

Varianz V(X): = 6,67 - 2,45² = 0,6675

Standardabweichung: 0,8170

Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)


Unterschiedliche Strategien haben den selben

Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz !

Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)


-250

-150

-50

50

150

250

0 100 200 300 400 500

Simulation Spiel auf Dutzend

Simulation Spiel auf 1 Zahl

Theorie

Drücken Sie F9

Beispiel Würfelwurf

Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel,

welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt:


Augenzahl Probability E(X) E(X²)

1 0,1667 0,1667 0,1667

2 0,1667 0,3333 0,6667

3 0,1667 0,5000 1,5000

4 0,1667 0,6667 2,6667

5 0,1667 0,8333 4,1667

6 0,1667 1,0000 6,0000

1,0000 3,5 15,1667

Erwartungswert 3,5

Varianz 2,9167

Standardabweichung 1,7078

( ) i i

i

E X x p

V(X) E(X²) E(X)²

Arithm. Mittel versus Erwartungswert


Inferenzstatistisches Prinzip

In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik)

versucht man durch den systematischen Vergleich

von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit

hypothetischen theoretischen Modellen

Schlussfolgerungen über den datengenerierenden

Prozess ziehen zu können.

Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen

erfolgen:

Vergleich der theoretischen und der empirischen

Verteilung (z.B. Säulendiagramm empirischer

Häufigkeiten versus Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Vergleich von Maßzahlen (z.B. Mittelwert versus

Erwartungswert)


Beispiel: Diskrete Zufallsvariable

Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen:

1) Erste Türkenbelagerung

2) Schlacht von Hastings

3) Entdeckung Amerikas

a) 1066 b) 1492 c) 1529

Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden:a b c a c b b a cb c a c a b c b a

Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist,da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt:0 1 10 3 1



Geht man davon aus, dass ein Kandidat die Fragen rein

nach dem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6

möglichen Antwortmuster mit gleicher Wahrscheinlichkeit

wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der

Anzahl richtigen Antworten folgende Tabelle:

AnzahlrichtigeAntworten

0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

2/6 3/6 0 1/6



Stellt man den Kandidaten wiederholt eine

Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon

ausgehen, dass der Kandidat im Mittel pro Problem eine

richtige Antwort treffen wird:

xi pi xipi

0 2/6 0

1 3/6 3/6

2 0 0

3 1/6 3/6

Summe 1 1

Dieses gewogene Mittel ist der Erwartungswert der

Zufallsvariable.


E X x pi i

i

( ) E X x pi i

i

( )

Anwendung beim Zuordnungstest

In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt:

Korrekt Prob Theorie A B C

0 2/6 10 24 11 4

1 3/6 15 4 15 6

2 0 0 0 0 0

3 1/6 5 2 4 20

Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten (Theorie) 1 richtige Lösung pro Schüler

Berechnung der empirischen Mittelwerte pro Klasse:

Mittelwert in Klasse(A): 10/30 = 1/3

Mittelwert in Klasse B: 27/30 = 9/10

Mittelwert in Klasse C: 66/30 = 2,2


Theorie:

Verteilung beim

Raten nach dem

reinen

Zufallsprinzip

k

i

ii

k

i

ii xhxnn

x11

1

Vergleich empirische – theoretische Verteilung

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3

Theorie

A

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3

Theorie

B

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3

Theorie

C


Gruppe A: deutlich

schlechter als blindes Raten

Gruppe B: entspricht

blindem Raten

Gruppe C: deutlich besser

als blindes Raten

Eigenschaften des Erwartungswertes

Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der

Erwartungswerte


E(X Y) E(X) E(Y)

E(aX b) aE(X) b

Linearität:

Additivität:

Beachte :

E(X X) E(2X)

aber

X X 2X

Zufallsvariable Augenzahl beim Würfelwurf

Augen-

zahl (X) P(X=x) x.P(X=x)

1 0,167 0,167

2 0,167 0,333

3 0,167 0,500

4 0,167 0,667

5 0,167 0,833

6 0,167 1,000

3,5


E(X) = 3,5

Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X)

Augen-

zahl

(2X) P(X=x) x.P(X=x)

2 0,167 0,333

4 0,167 0,667

6 0,167 1,000

8 0,167 1,333

10 0,167 1,667

12 0,167 2,000

7


E(2X) = 2*3,5=7

E(X) = 3,5

Ergebnis Augen Augen Augen Augen Augen Augen Möglich-

keiten

2 1

3 2

4 3

5 4

6 5

7 6

8 5

9 4

10 3

11 2

12 1

Summe Augenzahl von 2 Würfen


STAT4U Kassel 2.ppt

STAT4U Kassel 2.ppt

Zufallsvariable X+X

1 2 3 4 5 6

1 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028

2 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028

3 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028

4 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028

5 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028

6 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028


Summe Augenzahl von 2 Würfen

z.B.: P(X+X=7)=6/36 1/36 = 0,02777778

Zufallsvariable X+X

Augen-

zahl

Y=X+X P(Y=y) y.P(Y=y)

2 0,028 0,056

3 0,056 0,167

4 0,083 0,333

5 0,111 0,556

6 0,139 0,833

7 0,167 1,167

8 0,139 1,111

9 0,111 1,000

10 0,083 0,833

11 0,056 0,611

12 0,028 0,333

7,000

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Y=y)


E(2X) = 2*3,5 = 7E(X) = 3,5 E(X+X) = E(2X) = 7

Eigenschaften der Varianz einer ZV

V(X) E(X²) E(X)²


Y a bX V(Y) b²V(X)

In Bezug auf lineare Transformationen gilt analog wie bei

der empirischen Varianz:

In Bezug auf die Summe/Differenz gilt, für zwei

unabhängige Zufallsvariablen X und Y:

Allgemein gilt:

V(X Y) V(X) V(Y)

V(X Y) V(X) V(Y)

V(X Y) V(X) V(Y) 2Cov(X,Y)

Anwendungsbeispiel

Im Zuge einer Erhebung wurden Haushalte in einer Stadt nach der

Anzahl der im Haushalt benutzten KFZ befragt.

Sie wählen aus der obigen Population rein zufällig einen Haushalt aus

und X sei die Zufallsvariable Anzahl der KFZ in einem zufällig

ausgewählten Haushalt.

Berechne Erwartungswert und Varianz für die diskrete Zufallsvariable X!

Angenommen Sie ziehen aus der obigen Population eine

Zufallsstichprobe von 5 unabhängigen Haushalten.

Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die

Gesamtsumme der Anzahl der KFZ, die von den 5 ausgewählten

Haushalten genutzt werden?


Anzahl der benutzten KFZ

0 1 2 3

Relative Häufigkeit

30% 40% 20% 10%

Lösung


Anzahl KFZ rel Häufigkeit E(X) X² E(X²)

0 30% 0 0 0

1 40% 0,4 1 0,4

2 20% 0,4 4 0,8

3 10% 0,3 9 0,9

100% 1,1 2,1

Varianz 0,89

Erwartungswert bei 1 Person 1,1

Varianz bei einer Person 0,89

Erwartungswert bei 5 Personen 5,5

Varianz bei 5 Personen 4,45 wegen Unabhängigkeit

Vorgehen:

zuerst berechnen wir E(X) und V(X); dann wenden wir an, dass der Erwartungswert

einer Summe gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Bei der Varianz gilt das nur,

wenn die Beobachtungen statistisch unabhängig sind!

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