Einführung in die wissenschaftliche Datenanalyse · Wahrscheinlichkeitstheorie Mathematische...

Einführung in die wissenschaftlicheDatenanalyse

Dr. Michael O. [email protected]

http://www-fp.physik.uni-mainz.de/FPkurs/

Mainz, 22. October 2010

LiteraturGrundbegriffeWahrscheinlichkeitsverteilungenParameterschätzung (Fit)

Einführung in die wissenschaftliche Datenanalyse

[email protected]

http://www-fp.physik.uni-mainz.de/FPkurs/

Literatur

Volker Blobel und Erich Lohrmann: Statistische und numerischeMethoden der Datenanalyse, Teubner Verlag (1998)Siegmund Brandt: Datenanalyse, BI Wissenschaftsverlag (1999)Philip R. Bevington: Data Reduction and Error Analysis for thePhysical Sciences, McGraw-Hill (1969)Roger J. Barlow: Statistics, John Wiley & Sons (1993)Glen Cowan: Statistical Data Analysis, Oxford University Press(1998)Frederick James: Statistical Methods in Experimental Physics,2nd Edition, World Scientific, 2006

Wes Metzger’s lecture notes:www.hef.kun.nl/~wes/stat_course/statist.pdf

Glen Cowan’s lecture notes:www.pp.rhul.ac.uk/~cowan/stat_course.html

Particle Physics Booklet: http://pdg.lbl.gov/


www.hef.kun.nl/~wes/stat_course/statist.pdf

www.pp.rhul.ac.uk/~cowan/stat_course.html

http://pdg.lbl.gov/

Vorbemerkungen

WissenschaftstheorieDer Kritische Rationalismus ist eine von Karl R. Popper (* 28.Juli 1902 in Wien; † 17. September 1994 in London) begründetephilosophische Denkrichtung, die in enger Verbindung mitseinem Modell für den wissenschaftliche Erkenntnisgewinn,dem sog. Falsifikationismus, steht. Logik der Forschung, 1934.

−→Existenz eines wahren Wertesvon Messgrößen und abgeleiteten Größen


Wahrscheinlichkeitstheorie

Mathematische Statistik, Stochastik:

−→ Axiome von KolmogorowKlassische Statistik, frequentist probability:Pragmatische Wahrscheinlichkeitsdefinition:

p(E) = limN→∞

nN

p steht für probabilityn(E) = Zahl des Eintretens des Ereignisses EN = Zahl der Herbeiführung der gegebenen Bedingungen(Durchführung des Experiments)Experimente müssen (prinzipiell) wiederholbar sein.Nachteil: Strenggenommen sind keineWahrscheinlichkeitsaussagen über die wahren Wertemöglich, lediglich die Angabe von oberen und unterenGrenzen mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit.



Mathematische Statistik, StochastikKlassische Statistik, frequentist probabilityBayes’sche Statistik, subjective probability:Subjektive Annahmen über die Grundgesamtheit gehen indie Wahrscheinlichkeitsberechnung ein.Bildhafte Definition: Wahrscheinlichkeiten werden aus demVerhältnis von (maximalen) “Wetteinsatz” und zuerwartendem Gewinn gebildet.

Wenn es 20 mal mehrgelbe als grüne Taxis gäbe: Würden Sie dem Zeugenimmer noch glauben?



Mathematische Statistik, StochastikKlassische Statistik, frequentist probabilityBayes’sche Statistik, subjective probability:

Subjektive Annahmen über die Grundgesamtheit gehen indie Wahrscheinlichkeitsberechnung ein.

In einer Stadt gibt es zwei Taxiunternehmen, das eine hatgrüne, das andere gelbe Taxis. Bei einem Autounfallkommt ein Mensch zu Schaden. Ein Zeuge hat ein grünesTaxi gesehen. Es kommt zur Gerichtsverhandlung.Der Anwalt des Unternehmens zweifelt die Aussage desZeugen an, da die Lichtverhältnisse schlecht waren. EinTest ergibt, dass in etwa 10% der Fälle bei gleichenBedingungen die Farbe des Taxis verwechselt wird.Würden Sie dem Zeugen glauben?

Wenn es 20 mal mehr gelbe als grüne Taxis gäbe: WürdenSie dem Zeugen immer noch glauben?





In einer Stadt gibt es zwei Taxiunternehmen, das eine hatgrüne, das andere gelbe Taxis. Bei einem Autounfallkommt ein Mensch zu Schaden. Ein Zeuge hat ein grünesTaxi gesehen. Es kommt zur Gerichtsverhandlung.Der Anwalt des Unternehmens zweifelt die Aussage desZeugen an, da die Lichtverhältnisse schlecht waren. EinTest ergibt, dass in etwa 10% der Fälle bei gleichenBedingungen die Farbe des Taxis verwechselt wird.Würden Sie dem Zeugen glauben?Wenn es 20 mal mehr gelbe als grüne Taxis gäbe: WürdenSie dem Zeugen immer noch glauben?





Taxis Zeuge sieht . . . Aussage ist . . .200 gelbe 180 mal “gelb”

20 mal “grün” 20/29 = 69% falsch10 grüne 9 mal “grün” 9/29 = 31% richtig

1 mal “gelb”

Nachteil: Hypothesen beeinflussen die Wahrscheinlichkeit.Vorteile bei seltenen und einmaligen Ereignissen, wieverrauschten Signalen oderKatastrophenwahrscheinlichkeiten.

Im F-Praktikum kommt die klassische Statistik zurAnwendung. Deshalb sollten alle Fehlerangabenals Konfidenzbereiche verstanden werden.



Mathematische Statistik, StochastikKlassische Statistik, frequentist probabilityBayes’sche Statistik, subjective probability:Subjektive Annahmen über die Grundgesamtheit gehen indie Wahrscheinlichkeitsberechnung ein.Nachteil: Hypothesen beeinflussen die Wahrscheinlichkeit.Vorteile bei seltenen und einmaligen Ereignissen, wieverrauschten Signalen oderKatastrophenwahrscheinlichkeiten.

Im F-Praktikum kommt die klassische Statistik zurAnwendung. Deshalb sollten alle Fehlerangabenals Konfidenzbereiche verstanden werden.


Kombination von Wahrscheinlichkeiten

Gegeben sind zwei Arten von Ereignissen, A und B. DieWahrscheinlichkeit für das Autreten von A ist p(A) (B: p(B)).Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B eintritt:

p(AoderB) = p(A) + p(B)− p(AundB)

Falls sich die Ereignisse A und B gegenseitig ausschließen, giltp(AundB) = 0Beispiel: Zufälliges Ziehen aus einem Deck von Skatkarten.

p(As oder Pik) =432

+832− 1

32=

1132

Spezialfall: B = A (Nicht-Eintreten von A).

p(Aund A) = p(A) + p(A) = 1


Kombination von Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B zusammen eintreten, ist:

p(AundB) = p(A) · p(B|A),

p(B|A) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis Beintritt, vorausgesetzt, das Ereignis A ist eingetreten.Falls die Ereignisse A und B unabhängig sind - aber auch nurdann - gilt p(B|A) = p(B), bzw.

p(AundB) = p(A) · p(B)


Tod in den Bergen

In einem Buch über die bergsteigerischen Leistungen vonReinhold Messner ist folgendes zu lesen: “Wenn man bedenkt,dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Expedition auf einenAchttausender umzukommen, 3,4% beträgt, dann hatteMessner eine Wahrscheinlichkeit von 3,4% · 29 = 99%, beiseinen 29 Expeditionen getötet zu werden.”

Das kann doch nicht wahr sein, was ist, wenn Messner zu einer30. Expedition aufbricht?Die Wahrscheinlichkeit, eine Expedition zu überleben istoffensichtlich 1− 0,034 = 0,966. Wenn man annimmt, dass dieeinzelnen Expeditionen unabhängige Ereignisse darstellen, istdie Wahrscheinlichkeit, alle 29 Expeditionen zu überleben:P = 0,96629 = 0,367.


Tod in den Bergen

In einem Buch über die bergsteigerischen Leistungen vonReinhold Messner ist folgendes zu lesen: “Wenn man bedenkt,dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Expedition auf einenAchttausender umzukommen, 3,4% beträgt, dann hatteMessner eine Wahrscheinlichkeit von 3,4% · 29 = 99%, beiseinen 29 Expeditionen getötet zu werden.”Das kann doch nicht wahr sein, was ist, wenn Messner zu einer30. Expedition aufbricht?

Die Wahrscheinlichkeit, eine Expedition zu überleben istoffensichtlich 1− 0,034 = 0,966. Wenn man annimmt, dass dieeinzelnen Expeditionen unabhängige Ereignisse darstellen, istdie Wahrscheinlichkeit, alle 29 Expeditionen zu überleben:P = 0,96629 = 0,367.


Tod in den Bergen

In einem Buch über die bergsteigerischen Leistungen vonReinhold Messner ist folgendes zu lesen: “Wenn man bedenkt,dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Expedition auf einenAchttausender umzukommen, 3,4% beträgt, dann hatteMessner eine Wahrscheinlichkeit von 3,4% · 29 = 99%, beiseinen 29 Expeditionen getötet zu werden.”Das kann doch nicht wahr sein, was ist, wenn Messner zu einer30. Expedition aufbricht?Die Wahrscheinlichkeit, eine Expedition zu überleben istoffensichtlich 1− 0,034 = 0,966. Wenn man annimmt, dass dieeinzelnen Expeditionen unabhängige Ereignisse darstellen, istdie Wahrscheinlichkeit, alle 29 Expeditionen zu überleben:P = 0,96629 = 0,367.


Definitionen

Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsdichteeines Messwertes (=Zufallsvariable)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.1

0 5 10 15 20 25 30

f(n)

n

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.1

0 5 10 15 20 25 30

f(x)

x

f (n) diskret f (x) kontinuierlichNormierung:

f (n) ≥ 0∑

n

f (n) = 1 f (x) ≥ 0∫ ∞−∞

f (x) dx = 1

Wahrscheinlichkeit:

p(n1 ≤ n ≤ n2) =

n2∑n1

f (n) p(x1 ≤ x ≤ x2) =

∫ x2

x1

f (x) dx


Definitionen

Integrierte Verteilungsfunktion oder kumulativeWahrscheinlichkeitsverteilung:

F (x) =

∫ x

−∞f (x ′)dx ′, F (−∞) = 0, F (∞) = 1

Beispiel:Zerfallszeit t eines radioaktiven Kerns der mittleren Lebensdauer τ :

f (t) =1τ

e−t/τ F (t) = 1− e−t/τ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

t/s

f(t)*12s F(t)


Erwartungswerte und Momente

Mittelwert: Kann eine Zufallsgröße E die Werte E1, E2, . . . , Enannehmen und geschieht dies mit der Wahrscheinlichkeit p(Ei),dann bezeichnet man als Mittelwert der Größe E(“Erwartungswert”)

E = 〈E〉 =n∑

i=1

Ei · p(Ei)

Der Erwartungswert der Funktion h(x) für kontinuierlicheZufallsgrößen:

E [h(x)] =

∫ ∞−∞

h(x) · f (x)dx

Mittelwert: ist der Erwartungswert von x (wichtiger Spezialfall):

E [x ] = x =

∫ ∞−∞

x · f (x)dx



Streuung = {Mittelwert der (Abweichung von x)2}1/2

σ2 = (x − x)2 =

∫ ∞−∞

(x − x)2 · f (x)dx

=

∫ ∞−∞

(x2 − 2xx + x2) · f (x)dx = x2 − 2x x + x2 = x2 − x2

σ2 = Varianz, σ = StandardabweichungFür diskrete Verteilungen:

σ2 =1N

(∑x2 − (

∑x)2

N

)Vorsicht: Hier wird die Varianz definiert! Für eineerwartungstreue Schätzung der Varianz wird 1

N durch 1N−1

ersetzt. Siehe: Schätzverfahren



Momente: Die Erwartungswerte von xn und von (x − 〈x〉)n

werden n-te algebraische Momente µn und n-te zentraleMomente µ′n genannt.Die Schiefe v(x) einer Zufallsvariablen x ist das auf die drittePotenz der Standardabweichung bezogene zentrale Moment 3.Ordnung µ′3(x):

v =µ′3σ3 =

E [(x − E [x ])3]

σ3

Das 4te zentrale Moment bezogen auf die vierte Potenz derStandardabweichung bezeichnet man als Wölbung (Kurtosis).


Binomialverteilung

Häufige Fragestellung: Sei p die Wahrscheinlichkeit für dasEintreten des Ereignisses bei einem Versuch - wie groß ist dieWahrscheinlichkeit, dass das Ereignis bei n Versuchen r-maleintritt?

P(r) =

(nr

)pr · (1− p)n−r

P(r) ist korrekt auf 1 normiert. Binomialtheorem mit q = 1− p.Der Mittelwert von r ist:

〈r〉 = E [r ] =n∑

r=0

rP(r)= np

Die Varianz σ2 ist

V [r ] = E [(r − 〈r〉)2] =n∑

r=0

(r − 〈r〉)2P(r)= np(1− p)


Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung ist gegebendurch:

P(r) =µr e−µ

r !

Der Mittelwert ist:

〈r〉 = µ

Die Varianz ergibt sich aus V [r ] =np(1− p) für die Binomialverteilung:

V [r ] = σ2 = np = µ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

µ = 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 2 4 6 8 10

µ = 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 2 4 6 8 10

µ = 2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 2 4 6 8 10

µ = 4


Das Gesetz der großen Zahl

Angenommen, dass in n statistisch unabhängigenExperimenten das Ereignis j insgesamt nj mal aufgetreten ist.Die Zahlen nj folgen einer Binomialverteilung, und dasVerhältnis hj = nj/n ist die entsprechende Zufallsvariable. DerErwartungswert E [hj ] ist die Wahrscheinlichkeit pj für dasEreignis j :

pj = E [hj ] = E [nj/n]

Für die Varianz gilt dann (Binomialverteilung!):

V [hj ] = σ2(hj) = σ2(nj/n) =1n2 · σ

2(nj) =1n2 · npj(1− pj)

Da das Produkt pj(1− pj) immer ≤ 14 ist, gilt die Ungleichung

σ2(hj) < 1/n

bekannt als das Gesetz der großen Zahl.Einführung in die wissenschaftliche Datenanalyse

Der Zentrale Grenzwertsatz

Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist der wichtigste Satz in derStatistik. Unter anderem erklärt er die zentrale Bedeutung derGauß-Verteilung.Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Summe w =

∑ni=1 xi einer

Stichprobe aus n unabhängigen Zufallsvariablen xi mit einerbeliebigen Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert 〈x〉 undVarianz σ2 geht in der Grenze n→∞ gegen eineGauß-Wahrscheinlichkeitsdichte mit Mittelwert 〈w〉 = n〈x〉 undVarianz V [w ] = nσ2.


Illustration: Zentraler Grenzwertsatz

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

GaussN=1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

N=2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

N=3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

N=10

Dargestellt ist die Summe uniform verteilter Zufallszahlen imVergleich zur Standardnormalverteilung.


Spezielle Wahrscheinlichkeitsdichten

Gleichverteilung: Diese Wahrscheinlichkeitsdichte ist konstantzwischen den Grenzen x = a und x = b:

f (x) =

{ 1b−a a ≤ x < b0 außerhalb

Mittelwert und Varianz sind:

〈x〉 = E [x ] =a + b

2V [x ] = σ2 =

(b − a)2

12

Die Gleichverteilung wird oft U(a,b) (“uniform”) geschrieben.Besonders wichtig ist die Verteilung U(0,1) mit den Grenzen 0und 1, die eine Varianz 1/12 hat.


Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Die wichtigste Wahrscheinlichkeitsdichte wegen ihrer großenBedeutung in der Praxis.

f (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2

Die Normalverteilung wird von zwei Parametern bestimmt, demMittelwert µ und der Standardabweichung σ. DieWahrscheinlichkeitsdichte mit dem Mittelwert µ = 0 und derVarianz σ2 = 1 heißt standardisierte Gauß-Verteilung,abgekürzt N(0,1).Die Gauß-Verteilung kann hergeleitet werden als Grenzfall derBinomialverteilung für große Werte von n und r , und aufähnliche Weise auch als Grenzfall der Poisson-Verteilung fürgroße Werte von µ.


Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

∫ 1

−1dx N(0,1) = 0,6827 = (1− 0,3173)∫ 2

−2dx N(0,1) = 0,9545 = (1− 0,0455)∫ 3

−3dx N(0,1) = 0,9973 = (1− 0,0027)

FWHM: Dieser Begriff ist oft nützlich, um auf einfache Weisedie Standardabweichung einer Gaußkurve zu schätzen.

FWHM = 2σ√

2ln2 = 2,355σ


Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) im Vergleich

0 0.05 0.1

0.15 0.2

0.25 0.3

0 2 4 6 8 10 12 14 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 2 4 6 8 10 12 14

Links: Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,6im Vergleich mit der Gauß-Verteilungmit µ = np = 6 und σ =

√np(1− p) =

√2,4.

Rechts: Poisson-Verteilung mit µ = 6 und σ =√

6im Vergleich mit der Gauß-Verteilung.


Integrierte Gaußfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird mit Φ(x) bezeichnet,

Φ(x) =1√2πσ

∫ x

−∞e−

(t−µ)2

2σ2 dt .

In vielen Formelsammlungen finden sich Tabellen derintegrierten standardisierten Gauß-Verteilung,

F (x) =1√2π

∫ z

−∞e−

x22 .

Die integrierte Verteilungsfunktion kann durch die Gauß’scheFehlerfunktion erf(x) ausgedrückt werden,

erf(x) =2√π

∫ x

0e−t2

dt .

Φ(x) =12

(1 + erf

(x − µ√

2σ

)).


Integrierte Gaußfunktion

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5*(1+erf(x/sqrt(2)))0.4*exp(-0.5*x*x)


χ2-Verteilung

Falls x1, x2, . . . , xn unabhängige Zufallsvariable sind, die alleeiner Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte folgen mit Mittelwert 0und Varianz 1, so folgt die Summe

u = χ2 =n∑

i=1

x2i

einer χ2-Verteilung fn(u) = fn(χ2) mit n Freiheitsgraden. DieWahrscheinlichkeitsdichte ist:

fn(u) =12

(u2

)n/2−1 e−u/2

Γ(n/2)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte fn(u) hat ein Maximum bei(n− 2). Der Mittelwert ist n und die Varianz 2n.


χ2-Wahrscheinlichkeitsdichte

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10

pdf(2,x)pdf(3,x)pdf(4,x)pdf(5,x)pdf(6,x)pdf(7,x)pdf(8,x)pdf(9,x)


χ2-Verteilungsfunktion

Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass χ2n im Intervall [0, x ] liegt.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

cdf(2,x)cdf(3,x)cdf(4,x)cdf(5,x)cdf(6,x)cdf(7,x)cdf(8,x)cdf(9,x)


χ2-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 2 4 6 8 10 12 14

95% c.l.

[0.831 ... 12.83]


Zufallsvariable in zwei Dimensionen

Die mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte f (x , y) derzwei Zufallszahlen x und y ist definiert durch dieWahrscheinlichkeit, das Variablenpaar (x , y) in den Intervallena ≤ x < b und c ≤ y < d zu finden

P(a ≤ x < b, c ≤ y < d) =

∫ d

c

∫ b

af (x , y) dx dy

Normierung: ∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x , y) dx dy = 1

Gilt:f (x , y) = h(x) · g(y)

dann sind die zwei Zufallsvariablen unabhängig.



Mittelwerte und Varianzen sind naheliegend (siehe 1. Dim):

< x >= E [x ] =

∫ ∫x f (x , y) dx dy

< y >= E [y ] =

∫ ∫y f (x , y) dx dy

V [x ] =

∫ ∫(x− < x >)2 f (x , y) dx dy = σ2

x

V [y ] =

∫ ∫(y− < y >)2 f (x , y) dx dy = σ2

y

Sei z eine Funktion von x , y :

z = z(x , y)

Damit ist z ebenfalls eine Zufallsvariable.

< z > =

∫ ∫z(x , y) f (x , y) dx dy

σ2z =

⟨(z− < z >)2

⟩Einführung in die wissenschaftliche Datenanalyse


Einfaches Beispiel:

z(x , y) = a · x + b · y

Erwartungswert von z:

< z > = a∫ ∫

x f (x , y) dx dy + b∫ ∫

y f (x , y) dx dy

= a < x > + b < y >

unproblematisch



z(x , y) = a · x + b · yVarianz:

σ2z =

⟨((a · x + b · y)− (a < x > + b < y >))2

⟩=

⟨((a · x − a < x >) + (b · y − b < y >))2

⟩= a2

⟨(x− < x >)2

⟩︸︷︷︸

σ2x

+b2⟨

(y− < y >)2⟩

︸︷︷︸σ2

y

+2ab 〈(x− < x >)(y− < y >)〉︸︷︷︸??

< (x− < x >)(y− < y >) >= cov(x , y) Kovarianz

= σxy =

∫ ∫(x− < x >)(y− < y >) f (x , y) dx dy



Normierte Kovarianz:cov(x , y)

σx σy= ρxy Korrelationskoeffizient

gibt ein grobes Maß der Abhängigkeit zweier Variablen an.

−1 ≤ ρxy ≤ 1



Für die Determinante der Kovarianzmatrix gilt:∣∣∣∣ σ2x σxy

σxy σ2y

∣∣∣∣ = σ2xσ

2y − σ2

xy = σ2xσ

2y (1− ρ2) ≥ 0


2-dim Gauß-Verteilung

-3.3

-3.2

-3.1

-3

-2.9

-2.8

-2.7

1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15

Para

met

er a

2

Parameter a1

Wahrscheinlichkeitsinhalt der Kovarianzellipse: 39,3%


Kovarianzmatrix in n-Dimensionen

Als Verallgemeinerung der Varianz definiert man dieKovarianzmatrix durch:

Vij =⟨

(~x− < ~x >)(~x− < ~x >)T⟩

Damit ergeben sich als Diagonalelemente der Matrix Vij dieVarianzen und als Nicht-Diagonalelemente die Kovarianzen:

Vii = var(xi) =

∫(xi− < xi >)2 f (~x) dx1 dx2 . . . dxn

Vij = cov(xi , xj) =

∫(xi− < xi >)(xj− < xj >) f (~x) dx1 dx2 . . . dxn .


Kovarianzmatrix in n-Dimensionen

Die Kovarianzmatrix

Vij =

var(x1) cov(x1, x2) . . . cov(x1, xn)

cov(x2, x1) var(x2) . . . cov(x2, xn). . . . . . . . .

cov(xn, x1) cov(xn, x2) . . . var(xn)

ist eine symmetrische n × n-Matrix. Man schreibt auch:

Vij =

σ2

1 σ12 . . . σ1nσ21 σ2

2 . . . σ2n. . . . . . . . .

σn1 σn2 . . . σ2n


Faltung

Zwei Zufallsvariablen x und y seien durch ihreWahrscheinlichkeiten fx (x) und fy (y) gegeben. Offensichtlichist ihre Summe w = x + y ebenfalls eine Zufallsvariable. DieWahrscheinlichkeitsdichte der Summe w sei fw (w). Sie wirddurch erhalten durch eine Faltung von x mit y .

fw (w) =

∫ ∫fx (x)fy (y)δ(w − x − y) dx dy

=

∫fx (x)fy (w − x) dx =

∫fy (y)fx (w − y) dy

−→ Charakteristische Funktion


Transformation von Wahrscheinlichkeitsdichten

Die Wahrscheinlichkeitsdichte fx (x) der Variablen x sollvermöge y = y(x) in eine andere Variable y transformiertwerden:

fx (x)y = y(x)

−→fy (y)

Betrachte: Intervall (x , x + dx)→ (y , y + dx)Bedenke: die Flächen unter den Wahrscheinlichkeitsdichten inden jeweiligen Intervallen müssen gleich sein.

fx (x)dx = fy (y)dy ↪→ fy (y) = fx (x(y))

∣∣∣∣dxdy

∣∣∣∣


Transformation von Mittelwert und Varianz,Fehlerfortplanzung

Entwicklung um Mittelwert:

y(x) = y(〈x〉) + (x −〈x〉) dydx

∣∣∣∣x=〈x〉

+12

(x −〈x〉)2 d2ydx2

∣∣∣∣x=〈x〉

+ . . .

Bis 2. Ordnung:

E [y ] ' y(〈x〉) + E [x − 〈x〉] dydx

∣∣∣∣x=〈x〉︸︷︷︸

=0

+12

E [(x − 〈x〉)2]d2ydx2

∣∣∣∣x=〈x〉

〈y〉 ' y(〈x〉) +12σ2

xd2ydx2

∣∣∣∣x=〈x〉︸︷︷︸

wird oft weggelassen


Transformation von Mittelwert und Varianz,Fehlerfortplanzung

Für die Varianz nehmen wir an 〈y〉 ' y(〈x〉) und entwickelny(x) um den Mittelwert 〈x〉 bis zur 1. Ordnung:

V [y ] = E[(y − 〈y〉)2

]= E

((x − 〈x〉) dydx

∣∣∣∣x=〈x〉

)2

=

(dydx

∣∣∣∣x=〈x〉

)2

· E[(x − 〈x〉)2

]=

(dydx

∣∣∣∣x=〈x〉

)2

· σ2x

Gesetz der Fehlerfortpflanzung für eine Zufallsvariable.


Schätzung von Parametern

Problemstellung: Aus fehlerbehafteten Messungen möglichstgenaue Ergebnisse erarbeiten zusammen mit Aussagen überZuverlässigkeit und Grenzen.Vorsicht: Messungen unterliegen einer Reihe vonunkontrollierbaren Einflüssen, welche zufällig genannt werden -sie sind also mit statistischen Fehlern versehen. Daneben gibtes aber noch systematische Fehler, die durch eine fehlerhafteMethode hervorgerufen werden, etwa durch falscheMessinstrumente oder falsche Formeln bei der Auswertung.Systematische Fehler müssen anders behandelt werden alsstatistische Fehler. So können sie auch durch Mittelung übermehrere Messungen nicht reduziert werden.


Schätzung von Parametern

Formal: Messung von n unabhängigen Werten x1, x2, . . . , xn derZufallsvariablen x bzw. ~x . (Stichprobe)Aufgabe: Beste Schätzung eines (mehrerer) Parameter. DieseSchätzung ist selbst auch eine Zufallsvariable. Deshalb sollenauch Aussagen über Fehler und Korrelationskoeffizientengemacht werden.Allgemeine Kriterien für eine Methode zur Bestimmung vonParametern mit Schätzwert a und wahrem Wert a0:

1 Konsistenz: limn→∞

a = a0.

2 Erwartungstreue: E[a] = a0.3 Effizienz: Varianz von a klein.4 Robustheit gegenüber falschen Daten und

Voraussetzungen.Wobei die letzten beiden Kriterien häufig im Widerspruch sind.


Robuste Schätzung von Mittelwerten

x =1n

n∑i=1

xi

Konsistenz? ok (Zentraler Grenzwertsatz)Erwartungstreue? ok E[x ] = 1

n∑n

i=1 E[xi ] =< x >.Effizienz?Robustheit?


Mittelwert einer symmetrischen Verteilung

Für symmetrische Verteilungen (die keine Gauß-Verteilungensind) ist das Stichprobenmittel weder effizient noch robust.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

−4 −2 0 2 4

Wah

rsch

einl

ichk

eits

dich

te p

(x)

Zufallsvariable x

f(x)g(x)h(x)

Breit-Wigner-Verteilung: f (x) = 1π

1x2+1

Gauß-Verteilung: g(x) = 1√2π

e−x2/2

Doppelt-Exponentiell: h(x) = 12e−|x |


Mittelwert einer symmetrischen Verteilung

Besser: Getrimmter Mittelwert (Mittelwert mit Abschneiden)Weglassen der (1− 2r)n/2 größten und kleinsten Messwerteeiner Stichprobe.

Grenzfälle:r = 0,5: Mittelwertr → 0: Median.

Für eine unbekannte sym. Ver-teilung liefert r = 0,23 das ro-bustete Verfahren mit einer Ef-fizienz von 82%.


Mittelwert einer Gleichverteilung

Die genaueste Schätzung ist gegeben durch:

x =x + x

2

mit x (x) kleinster (größter) Wert der Stichprobe.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Häu

figke

it

Mittelwert der Stichprobe

1e−10

1e−09

1e−08

1e−07

1e−06

1e−05

0.0001

0.001

0.01

0.1

10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08

abso

lute

r F

ehle

r

Größe der Stichprobe

Die beste Schätzung liefert die bessere Varianz, die wie (1/n)2

(statt (1/√

n)2) gegen Null geht.


Beispiel für eine Stichprobe

li/cm ni ni li/cm ni l2i /cm2

18,9 1 18,9 357,2119,1 1 19,1 364,8119,2 2 38,4 737,2819,3 1 19,3 372,4919,4 4 77,6 1505,4419,5 3 58,5 1140,7519,6 9 176,4 3457,4419,7 8 157,6 3104,7219,8 11 217,8 4312,4419,9 9 179,1 3564,0920,0 5 100,0 2000,0020,1 7 140,7 2828,0720,2 8 161,6 3264,3220,3 9 182,7 3708,8120,4 6 122,4 2496,9620,5 3 61,5 1260,7520,6 2 41,2 848,7220,7 2 41,4 856,9820,8 2 41,6 865,2820,9 2 41,8 873,6221,0 4 84,0 1764,0021,2 1 21,2 449,44∑

100 2002,8 40133,62

Stichprobe von 100 Längenmessungen:

N =∑

ni = 100

Mittelwert? Varianz?

〈l〉 =1N

∑ni li = 20,028 cm

s2 =1

N − 1

(∑ni l2i −

1N

(∑ni li)2)

= 0,2176 cm2

l = 〈l〉 ± s√N

= (20,028± 0,047) cm

s = s ± s√2(N − 1)

= (0,466± 0,033) cm


Beispiel für eine Stichprobe

0

2

4

6

8

10

12

18.5 19 19.5 20 20.5 21 21.5

Häu

figke

it

Länge / cm

"length.dat"Gauß(µ=20.028,σ=0.466)

Gauß(µ=20.0,σ=0.5)


Die Maximum-Likelihood-Methode

Stichprobe von n Werten xi . Zugrunde liegendeWahrscheinlichkeitsdichte f (x |a) sei bekannt und normiert∫

f (x |a) dx = 1.Likelihood-Funktion:

L(a) = f (x1|a) · f (x2|a) · . . . · f (xn|a) =n∏

i=1

f (xi |a)

Die beste Schätzung für a entspricht dem Maximum derLikelihood-Funktion.Maximum wie üblich durch Ableiten und Nullsetzen:

dL(a)

daoder

∂L(ak )

∂akfür alle k



In der Praxis meist Logarithmus der Likelihood-Funktionl(a) = ln L(a) bzw. negativer Logarithmus:

F (a) = −l(a) = −n∑

i=1

ln f (xi |a)

Natürlich muss F (a) minimiert werden.↪→ negative Log-Likelihood-Funktion


Methode der kleinsten Quadrate

Geschichte: Von Legendre, Gauß und Laplace zu Beginn des19. Jahrhunderts eingeführt.Die Methode der kleinsten Quadrate ist damit älter als dieallgemeinere Maximum Likelihood-Methode.In diesem Kapitel werden direkte Messwerte mit derEigenschaft von Zufallsvariablen (Daten) durchweg mit yibezeichnet.n-malige Messung einer Größe x liefert also y1, y2, . . . , yn:

yi = x + εi

εi ist die Abweichung yi ↔ x (Messfehler).



Die gemessenen Werte weichen von dem wahren Wert umeinen Betrag ab, der durch die Standardabweichung σbeschrieben wird.Im Sinne der Statistik sind die yi eine Stichprobe, welchereine Wahrscheinlichkeitsdichte zugrunde liegt.Es soll eine funktionelle Beziehung (Modell) für die wahrenWerte vorliegen.Dieses Modell kann von zusätzlichen Variablen aj(Parametern) abhängen.Für diese Parameter gibt es keine direkte Messung.

Das Modell wird durch eine oder mehrere Gleichungen derForm

f (a1,a2, . . . ,ap, y1, y2, . . . , yn) = 0

beschrieben. Diese Gleichungen heißen Bedingungen.



Das Modell kann benutzt werden, um Korrekturen ∆yi für dieMesswerte yi zu finden, so dass die korrigierten Werte dieBedingungen exakt erfüllen.Das Prinzip der kleinsten Quadrate verlangt, dass die Summeder Quadrate der Residuen ∆yi den kleinstmöglichen Wertannimmt.Im einfachsten Fall unkorrelierter Daten, die alle die gleicheStandardabweichung haben, entspricht das der Forderung:

S =n∑

i=1

∆y2i = Minimum

Man kann so Werte für die nicht gemessenen Parameter unterallgemeinen Bedingungen ermitteln −→ indirekte Messung



Die Methode der kleinsten Quadrate hat einige optimalestatistische Eigenschaften und führt oft zu einfachen Lösungen.Andere Vorschriften sind denkbar, führen aber im allgemeinenzu komplizierten Lösungen.

n∑i=1

|∆yi | = Minimum oder max |∆yi | = Minimum



Allgemeiner Fall:Daten werden beschrieben durch n-Vektor y.Verschiedene Standardabweichungen und mitKorrelationen, beschrieben durch die Kovarianzmatrix V.

Bedingung der kleinsten Quadrate in Matrixform:

S = ∆yT V−1∆y

Hierbei ist ∆y der Residuenvektor.


Lineare kleinste QuadrateBeispiel: Im Weinanbau werden die jeweils im Herbst geerntetenErträge in Tonnen je 100 m2 (t/ar) gemessen. Es ist bekannt, dassder Jahresertrag bereits im Juli ziemlich gut prognostiziert werdenkann, und zwar durch die Bestimmung der mittleren Anzahl vonBeeren, die je Traube gebildet worden sind.

Jahr Ertrag (yi ) Cluster (xi )1971 5,6 116,371973 3,2 82,771974 4,5 110,681975 4,2 97,501976 5,2 115,881977 2,7 80,191978 4,8 125,241979 4,9 116,151980 4,7 117,361981 4,1 93,311982 4,4 107,461983 5,4 122,30

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

80 90 100 110 120

Ert

rag/

(t/a

r) y

Clusterzahl x


Lineare kleinste Quadrate

Anpassung einer Geraden f (x) = a + b · x mit Hilfe von gnuplot:degrees of freedom (FIT_NDF) : 10rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(WSSR/ndf) :0.364062variance of residuals (reduced chisquare) =WSSR/ndf : 0.132541

Final set of parameters Asymptotic Standard Error======================= ==========================a = -1.0279 +/- 0.7836 (76.23%)b = 0.0513806 +/- 0.00725 (14.11%)

correlation matrix of the fit parameters:a b

a 1.000b -0.991 1.000


Bestimmung von Parameterwerten

Bestimmung von Parameterwerten a aus Messungen anhandeines linearen Modells.Der Vektor a der Parameter hat p Elemente a1,a2, . . . ,ap.Die Messwerte bilden den Vektor y von n Zufallsvariablen mitElementen y1, y2, . . . , yn.Der Erwartungswert von y ist gegeben als Funktion derVariablen x der Form:

y(x) = f (x ,a) = a1f1(x) + a2f2(x) + . . .+ apfp(x).

Damit ist der Erwartungswert jeder Einzelmessung yi gegebendurch

E [yi ] = f (xi , a) = yi

wobei die Elemente von a die wahren Werte des Parameters asind.


Bestimmung von Parameterwerten

Die Residuenri = yi − f (xi ,a)

haben für a = a die Eigenschaften

E [ri ] = 0 E [r2i ] = V [ri ] = σ2

i .

Die einzigen Annahmen hier sind Unverzerrtheit und eineendliche Varianz der Wahrscheinlichkeitsdichte der Residuen.Insbesondere ist es nicht zwingend nötig, dass sie gauß-verteiltist.


Normalgleichungen im Fall gleicher Fehler

Alle Daten sollen die gleiche Varianz haben und unkorreliertsein.Nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate muss die Summe derQuadrate der Residuen in Bezug auf die Parametera1,a2, . . . ,ap minimiert werden:

S =n∑

i=1

r2i =

n∑i=1

(yi − a1f1(xi)− a2f2(xi)− . . .− apfp(xi))2

Bedingungen für das Minimum:

∂S∂a1

= 2n∑

i=1

f1(xi) (a1f1(xi) + a2f2(xi) + . . .+ apfp(xi)− yi) = 0

. . . . . .

∂S∂ap

= 2n∑

i=1

fp(xi) (a1f1(xi) + a2f2(xi) + . . .+ apfp(xi)− yi) = 0


Normalgleichungen im Fall gleicher Fehler

Die Bedingung kann in Form der sogenanntenNormalgleichungen geschrieben werden

a1∑

f1(xi)2 + . . . + ap

∑f1(xi)fp(xi) =

∑yi f1(xi)

a1∑

f2(xi)f1(xi) + . . . + ap∑

f2(xi)fp(xi) =∑

yi f2(xi). . .

a1∑

fp(xi)f1(xi) + . . . + ap∑

fp(xi)2 =

∑yi fp(xi)

Die Schätzwerte von a1,a2, . . . ,ap nach kleinsten Quadratenfolgen als die Lösung dieser Normalgleichung.


Matrixschreibweise

Matrixschreibweise und Matrixalgebra vereinfachen dieFormulierung wesentlich.Die n × p Werte fj(xi) werden als Elemente einer n × p Matrixaufgefasst. Die p Parameter aj und die n Messwerte yi bildenSpaltenvektoren.

A =

f1(x1) f2(x1) . . . fp(x1)f1(x2) f2(x2) . . . fp(x2). . .. . .f1(xn) f2(xn) . . . fp(xn)

a =

a1a2. . .ap

y =

y1y2. . .. . .yn


Matrixschreibweise

Der n-Vektor der Resudien ist damit

r = y− Aa.

Die Summe S ist

S = rT r = (y− Aa)T (y− Aa)

= yT y− 2aT AT y + aT AT Aa

Bedingung für das Minimum

−2AT y + 2AT Aa = 0

oder in der Matrixform der Normalgleichungen

(AT A)a = AT y

Die Lösung kann mit Standardverfahren der Matrixalgebraberechnet werden:

a = (AT A)−1AT y


Kovarianzmatrix der Parameter

Die Kovarianzmatrix ist die quadratische n × n-Matrix

V[y] =

var(y1) cov(y1, y2) . . . cov(y1, yn)

cov(y2, y1) var(y2) . . . cov(y2, yn). . . . . . . . .

cov(yn, y1) cov(yn, y2) . . . var(yn)

Hier ist die Kovarianzmatrix eine Diagonalmatrix:

V[y] =

σ2 0 . . . 00 σ2 . . . 0. . . . . . . . .

0 0 . . . σ2


Kovarianzmatrix der Parameter

Für eine lineare Beziehung a = By gilt die Standardformel derFehlerfortpflanzung:

V[a] = BV[y]BT

mit B = (AT A)−1AT wird daraus

V[a] = (AT A)−1AT V[y]A(AT A)−1

oder für den vorliegenden Fall gleicher Fehler einfach

V[a] = σ2 (AT A)−1


Quadratsumme der Residuen

Die Summe S der Quadrate der Residuen im Minimum ist

S = yT y− 2aT AT y + aT AT A(AT A)−1AT y = yT y− aT AT y.

Der Erwartungswert E [S] ist

E [S] = σ2 (n − p) .

Ist die Varianz der Messdaten nicht bekannt, so erhält man ausS den Schätzwert

σ2 = S/(n − p).

Dies ist für große Werte von (n − p) eine gute Schätzung.


Korrektur der Datenwerte

Nach Berechnung der Parameter mit linearen kleinstenQuadraten können Werte der Funktion f (x) für beliebige xbestimmt werden durch

y(x) = f (x , a) =

p∑j=1

aj fj(x).

Speziell für die Werte xi , die zu den Messwerten yi gehören,ergeben sich die korrigierten Datenpunkte zu

y = Aa.

Fehlerfortplanzung liefert die Kovarianzmatrix

V[y] = AV[a]AT = σ2 A(AT A)−1AT


Der Fall unterschiedlicher Fehler

Wenn die einzelnen Datenpunkte statistisch unabhängig sind,dann ist die Kovarianzmatrix

V[y] =

σ2

1 0 . . . 00 σ2

2 . . . 0. . . . . . . . .

0 0 . . . σ2n

Der Ausdruck für die Summe der Residuenquadrate lautet nun:

S =∑

i

r2i

σ2i

= Minimum

Man führt die Gewichtsmatrix W(y) ein als inverse Matrix derKovarianzmatrix

W(y) = V[y]−1 =

1/σ2

1 0 . . . 00 1/σ2

2 . . . 0. . . . . . . . .

0 0 . . . 1/σ2n


Der Fall unterschiedlicher Fehler

Die Summe der Quadrate der gewichteten Residuen

S = rT W(y)r = (y− Aa)T W(y)(y− Aa)

muss nun bezüglich der Parameter minimiert werden. Es ergibtsich:

a = (AT WA)−1AT WyV[a] = (AT WA)−1

Die Summe der Residuenquadrate für a = a hat die Form

S = yT Wy− aT AT Wy

und den Erwartungswert E [S] = n − p .Die Kovarianzmatrix der korrigierten Datenpunkte ist

V[y] = A(AT WA)−1AT


Kleinste Quadrate in der Praxis: Geradenanpassung

Geradenanpassung mit der Funktion y = f (x ,a) = a1 + a2x .Messwerte yi liegen an den genau bekannten Punkten xi vor.

A =

1 x11 x21 x3. . .1 xn

V =

σ2

1 0 0 . . . 00 σ2

2 0 00 0 σ2

3 0. . . . . .

0 0 0 . . . σ2n

a =

(a1a2

)y =

y1y2y3. . .yn

W = V−1 wii =1σ2

i



Lösung:

AT WA =

( ∑wi

∑wixi∑

wixi∑

wix2i

)=

(S1 SxSx Sxx

)

AT Wy =

( ∑wiyi∑

wixiyi

)=

(SySxy

)(

S1 SxSx Sxx

) (a1a2

)=

(SySxy

)

a = (AT WA)−1AT WyV[a] = (AT WA)−1

(S1 SxSx Sxx

)−1

=1D

(Sxx −Sx−Sx S1

)mit D = S1Sxx − S2

x



Die Lösung ist

a1 = (SxxSy − SxSxy )/Da2 = (−SxSy − S1Sxy )/D

und die Kovarianzmatrix ist

V[a] =1D

(Sxx −Sx−Sx S1

).

Weiterhin ist die Summe der Residuenquadrate

S = Syy − a1Sy − a2Sxy

Für einen Wert y = a1 + a2x , berechnet an der Stelle x , ist dieStandardabweichung die Wurzel aus der Varianz:

V [y ] = V [a1] + x2V [a2] + 2xV [a1, a2] = (Sxx − 2xSx + x2S1)/D


Zusammenfassung

In der klassischen Statistik werden Fehlerangaben inForm von Konfidenzbereiche gemacht.Vorsicht bei Zählexperimenten mit kleinen Raten:Poisson- statt Gauß-Verteilung (Schiefe, Erwartungstreue)Vorsicht bei Nicht-Gauß-Verteilung - insbesondere beiverzerrten (schiefen) Verteilungen.Statt dem kleinste Quadrate Verfahren sollte dann etwadas Maximum-Likelihood Verfahren Anwendung finden.Der Matrixformulismus für das kleinste Quadrate Verfahrenist ein sehr mächtiges Werkzeug. EffizentesteParameterschätzung für lineare Modelle, beinhaltetFehlerfortpflanzung, geeignet als Optimierungsverfahrenauch für nicht-lineare Probleme.


Charakteristische Funktion

Ist x eine reelle Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F (x)und der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x), so bezeichnet man alsihre charakteristische Funktion den Erwartungswert der Größeexp(ıtx):

ϕ(t) = E [exp(ıtx)]

also im Fall einer kontinuierlichen Variablen ein Fourier-Integralmit seinen bekannten Transformationseigenschaften:

ϕ(t) =

∫ ∞−∞

exp(ıtx) f (x)dx

Insbesondere gilt für die zentralen Momente:

λn = E [xn] =

∫ ∞−∞

xn f (x)dx

ϕ(n)(t) =dnϕ(t)

dtn =

∫ ∞−∞

xn exp(ıtx) f (x)dx

ϕ(n)(0) = ınλn


χ2-Verteilung

Falls x1, x2, . . . , xn unabhängige Zufallsvariable sind, die alleeiner Gauß-Wahrscheinlichkeitsdichte folgen mit Mittelwert 0und Varianz 1, so folgt die Summe

u = χ2 =n∑

i=1

x2i

einer χ2-Verteilung fn(u) = fn(χ2) mit n Freiheitsgraden. DieWahrscheinlichkeitsdichte ist:

fn(u) =12

(u2

)n/2−1 e−u/2

Γ(n/2)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte fn(u) hat ein Maximum bei(n − 2). Der Mittelwert ist n und die Varianz 2n.


χ2-Verteilung

http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Γ(n) = (n − 1)!

Γ(12

) =√π

Γ(x + 1) = x · Γ(x)


http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

χ2-Verteilung


χ2-Verteilung

Die Größe

Q(χ2|n) = 1− P(χ2|n)

= 1− F (χ2)

= 1−∫ χ2

0fn(ν)dν

gegen χ2 für n Freiheitsgrade


t-Verteilung

Die t-Verteilung tritt auf bei Tests der statistischenVerträglichkeit eines Stichproben-Mittelwertes x mit einemvorgegebenen Mittelwert µ, oder der statistischenVerträglichkeit zweier Stichproben-Mittelwerte.Die Wahrscheinlichkeitsdichte der t-Verteilung ist gegebendurch

fn(t) =1√nπ

Γ((n + 1)/2)

Γ(n/2)

(1 +

t2

n

)−(n+1)/2


t-Verteilung

Die Studentschen t-Verteilungen f (t) (links) im Vergleich zurstandardisierten Gauß-Verteilung (gestrichelt) sowie dieintegrierten Studentschen t-Verteilungen

∫ t−∞ f (x)dx (rechts).


t-Verteilung

Quantile der t-Verteilung, P =∫ t−∞ fn(x)dx .


F -Verteilung

Gegeben sind n1 Stichprobenwerte einer Zufallsvariablen x undn2 Stichprobenwerte derselben Zufallsvariablen. Die besteSchätzung der Varianzen aus beiden Datenkollektionen seiens2

1 und s22. Die Zufallszahl

F =s2

1

s22

folgt dann einer F -Verteilung mit (n1,n2) Freiheitsgraden. Es istKonvention, dass F immer größer als eins ist.Die Wahrscheinlichkeitsdichte von F ist gegeben durch

f (F ) =

(n1

n2

)n1/2 Γ((n1 + n2)/2)

Γ(n1/2)Γ(n2/2)F (n1−2)/2

(1 +

n1

n2F)−(n1+n2)/2


Quantile der F -Verteilung, Konfidenz = 0,68


Einführung in die wissenschaftliche Datenanalyse · Wahrscheinlichkeitstheorie Mathematische...

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