1Barbara Schmidt-Thieme, Wort, Bild und Aktion. Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik.Universität Essen 11. Mai 2009
Wort, Bild und Aktion.
Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik.
Universität Essen, 11. Mai 2009
Barbara Schmidt-Thieme
AG Mathematik Lehren und LernenInstitut für Mathematik und Angewandte Informatik
Universität Hildesheim
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Steineschieben oder Mathematik?
Formel (Wort): ∀ n∈ℕ:∑i=1
n
i=n n+1 2
Aktion: Legen und Verschieben der Steine
Bild:
Für alle natürlichen Zahlen gilt, dass die Summe der ersten n
natürlichen Zahlen gleich der Hälfte des Produkts von n mit n+1 ist.
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1. Repräsentationsformen
Wort, Bild und Aktion
Enaktive, ikonische und symbolische
Repräsentationsformen
J. Bruner:
„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“
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1. Repräsentationsformen
enaktive Repräsentationsformen
ikonische Repräsentationsformen
symbolische Repräsentationsformen
semiotisches
Dreieck
Bezeichnetes
ZeichenZeichenbenutzer
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1. Repräsentationsformen
enaktive RF: Handlungen, Bewegungen
z. B. Addition in
Winkelsumme im Dreieck
ikonische RF
symbolische RF
ℕ ℤ
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1. Repräsentationsformen
enaktive RF: Handlungen, Bewegungen
ikonische RF: visuell räumlich
visuell graphisch
symbolische RF(Schnotz 1994ff, Koerber 2003, Felbrich 2005, Vogel 2006)
realistische Bilder analoge Bilder
logische Bilder
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1. Repräsentationsformen
enaktive RF: Handlungen, Bewegungen
ikonische RF: visuell räumlich
visuell graphisch (realistische,
analoge, logische Bilder)
symbolische RF: Sprache, formale Sprache
der Mathematik
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1. Repräsentationsformen
enaktive RF: Handlungen, Bewegungen
ikonische RF: visuell räumlich
visuell graphisch (realistische,
analoge, logische Bilder)
symbolische RF: Alltagssprache
Fachsprache der Mathematik
Formale Sprachen (Schmidt-Thieme 2003ff)
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1. RepräsentationsformenDie Fachsprache der Mathematik ist ...
... eine Varietät der deutschen Sprache,
die über ihre Funktion bestimmt wird,
nämlich die möglichst wertfreie Erkenntnis,genaue Darstellung undfehlerfreie Vermittlung fachlicher Kenntnisse.
(Roelcke, Fachsprachen 1999)
(Schmidt-Thieme 2004) System der deutschen Sprache:Gesamtheit aller möglichen Varianten
Funktionale Varietäten
Fachsprache der Mathematik
Technical language
English language system
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1. Repräsentationsformen
Zweidimensionales Fachsprachen-Gliederungsschema(Schmidt-Thieme 2005)
Expertenstatus
Verbindlichkeit
Laie Lernender Experte MathematikerNichtwissenschaftler Wissenschaftler
Fachlichkeitsgrad
Expertenstatus
Verwendungsarten
Laie Lernender Experte MathematikerNichtwissenschaftler Wissenschaftler
FilmZeitung
Vortrag
Buch
Prüfungsgespräch
Aufsatz
Kongressvortrag
Rezension
Diskussion
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1. Repräsentationsformen
enaktive RF: Handlungen, Bewegungen
ikonische RF: visuell räumlich
visuell graphisch (realistische,
analoge, logische Bilder)
? animiert, interaktiv, dynamisch ? (Neue Medien)
symbolische RF: Alltagssprache, Fachsprache
Mathematik, formale Sprachen
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1. Repräsentationsformen Bsp.
enaktive RF: Torten, Pizzen, Äpfel aufteilen
ikonische RF:
symbolische RF:
0,5 12
24 −3
−6
[ 1,2 ]={ m,n ∈ℤ×ℤ∖ {0 }mit m,n ~ 1,2 ⇔2m=n }
ℚ
Hälfte einhalb
null komma fünf
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1. Repräsentationsformen
Symbolische NameRepräsentationsformen Bezeichnung derfür Bruchzahlen Repräsentationsform
a/b mit a, b aus Z Bruch(schreibweise)
5/4 10/8 gemeiner, konkreter Bruch
5/4 unechter Bruch
1,25 Dezimalbruch, -zahl Dezimalschreibweise
1 ¼ gemischter Bruch, gemischte Zahl
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1. Repräsentationsformen
→ Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer
Kategorie
→ Bestimmung der Salienzen und Restriktionen (Handlungen/Manipulationen, die bei RF
(nicht) möglich sind)
→ Bestimmung des Bezeichneten und dessen
Verhältnis zum angestrebten mathematischen
Begriff, Äquivalenz der Zeichen
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2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen: 0 1 ½ √2
√2 = 1, 41.......
Irrationale Zahlen: Dezimalentwicklung ist
nicht abbrechend, nicht periodisch
Bruchschreibweise: gibt es nicht!
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2. Beispiele (a) Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen: √2 = 1, 41.......
Irrationale Zahlen:
Dezimalentwicklung ist nicht abbrechend, nicht periodisch
Kettenbruch
Intervallschachtelung
mit
2=11
21
2 12. . .
I n := [ rn ,sn ]
s n :=12 a n−1
2a n−1 rn :=
2sn
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2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen: √2 = 1, 41.......
Ikonisch:
1
1
√2
minkommensurabel,
kein gemeinsames Maß m
Wechselwegnahme endet nicht
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2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen
Reelle Zahlen: Goldener Schnitt
Ikonisch: Im Pentagramm gilt (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke):
Diagonale : Seite = Seite : (Diagonale -Seite)
Kettenbruch
ds=
sd−s
=12
15
ds=1
1
11
1 11. . .
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2. Beispiele: (b) Beweis
Satz: Beispiel:
Beweis:
mittels vollständiger Induktion
I.-Anfang:
I.-Schritt: Angenommen, die Aussage ist wahr für n.
Dann kann man folgern:
∀ n∈ℕ:∑I=1
n
i=n n+1 2
n=1 : ∑I=1
1
i=1 11 2
12. . .+n+ n+1 =n n+1 2
n+1 =n n+1 2 n+1
2=
n+2 n+12
=n+1 n+2
2
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3. ... und das Lernen von Mathematik
„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe
jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“ (Bruner)
→ Funktionen bzw. Bedeutung der Repräsentationsformen
für den Wissenserwerb,
als Medium zur Informationsgewinnung
→ Salienz, Restriktion des einzelnen Repräsentationsform
→ Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis
zum angestrebten mathematischen Begriff,
→ Äquivalenz der Zeichen
(Wechsel des Repräsentationssystems)
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3. ... und das Lernen von Mathematik
Stufen des Verstehens mathematischer Begriffe und Sachverhalte
Begriff als Bsp. Geometrie
intuitives Verständnis Phänomen räumlich-anschauungs-gebunden
inhaltliches Verständnis Träger von analysierend Eigenschaften
integriertes Verständnis Teil eines abstrahierend Begriffnetzes
formales Verständnis Objekt zum schlussfolgerndOperieren
kritisches Verständnis Entität axiomatisch
(Vollrath 1994) (Van Hiele 1967)
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3. ... und das Lernen von MathematikZuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens
Stufen Repräsentationsform
intuitives Verständnis räumlich- enaktiv?Phänomen anschauungsg.
inhaltliches Verständnis analysierend real. Bilder ?Eigenschaften analoge Bilder?
integriertes Verständnis abstrahierend logische Bilder ?Begriffsnetz Alltagssprache?
formales Verständnis schlussfolgernd Fachsprache?Operieren
kritisches Verständnis axiomatisch formale Sprache?
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3. ... und das Lernen von MathematikZuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens
Stufen Repräsentationsform
intuitives Verständnis enaktiv?Phänomen
inhaltliches Verständnis real. Bilder ?Eigenschaften analoge Bilder?
integriertes Verständnis logische Bilder ?Begriffsnetz Alltagssprache?
formales Verständnis Fachsprache?Operieren
kritisches Verständnis formale Sprache?
∀ n∈ℕ:∑I=1
n
i=n n+1 2
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3. ... und das Lernen von Mathematik
mehrmachen, TauschaufgabeBezeichnetes
Zeichen+ dazutun
ZeichenbenützerSchüler, 1. Klasse
Operation, kommutativBezeichnetes
Zeichen+ addieren
ZeichenbenützerSchüler, 5. Klasse
Verknüpfung, GruppeBezeichnetes
Zeichen(Z, + )
ZeichenbenützerStudierende
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3. ... und das Lernen von Mathematik
Kompetenzen des Lernenden:
→ Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer Kategorie
→ Wissen um die Salienzen und Restriktionen → Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis zum
angestrebten mathematischen Begriff
→ Wechsel der Repräsentationsformen unter Beobachtung der
Äquivalenz der Zeichen
Beim Lernen ist die Veränderung des mentalen Konzepts
immer verbunden mit einer Veränderung des Zeichenvorrats
und dessen Nutzung.
26Barbara Schmidt-Thieme, Wort, Bild und Aktion. Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik.Universität Essen 11. Mai 2009
3. ... und das Lernen von Mathematik
„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe
jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“ (Bruner)
... und das Lehren von Mathematik
→ Kenntnis, welche Salienzen welcher Repräsentationsformen
in welcher Entwicklungsstufe effizient genutzt werden können
→ Einführung neuer Repräsentationsformen
→ Initiierung des Wechsel von Repräsentationsformen durch den
Lernenden
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