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1Barbara Schmidt-Thieme, Wort, Bild und Aktion. Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik.Universität Essen 11. Mai 2009

Wort, Bild und Aktion.

Repräsentationsformen mathematischen Wissens und das Lernen von Mathematik.

Universität Essen, 11. Mai 2009

Barbara Schmidt-Thieme

AG Mathematik Lehren und LernenInstitut für Mathematik und Angewandte Informatik

Universität Hildesheim


Steineschieben oder Mathematik?

Formel (Wort): ∀ n∈ℕ:∑i=1

n

i=n n+1 2

Aktion: Legen und Verschieben der Steine

Bild:

Für alle natürlichen Zahlen gilt, dass die Summe der ersten n

natürlichen Zahlen gleich der Hälfte des Produkts von n mit n+1 ist.


1. Repräsentationsformen

Wort, Bild und Aktion

Enaktive, ikonische und symbolische

Repräsentationsformen

J. Bruner:

„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“



enaktive Repräsentationsformen

ikonische Repräsentationsformen

symbolische Repräsentationsformen

semiotisches

Dreieck

Bezeichnetes

ZeichenZeichenbenutzer



enaktive RF: Handlungen, Bewegungen

z. B. Addition in

Winkelsumme im Dreieck

ikonische RF

symbolische RF

ℕ ℤ




ikonische RF: visuell räumlich

visuell graphisch

symbolische RF(Schnotz 1994ff, Koerber 2003, Felbrich 2005, Vogel 2006)

realistische Bilder analoge Bilder

logische Bilder





visuell graphisch (realistische,

analoge, logische Bilder)

symbolische RF: Sprache, formale Sprache

der Mathematik







symbolische RF: Alltagssprache

Fachsprache der Mathematik

Formale Sprachen (Schmidt-Thieme 2003ff)


1. RepräsentationsformenDie Fachsprache der Mathematik ist ...

... eine Varietät der deutschen Sprache,

die über ihre Funktion bestimmt wird,

nämlich die möglichst wertfreie Erkenntnis,genaue Darstellung undfehlerfreie Vermittlung fachlicher Kenntnisse.

(Roelcke, Fachsprachen 1999)

(Schmidt-Thieme 2004) System der deutschen Sprache:Gesamtheit aller mÃ¶glichen Varianten

Funktionale VarietÃ¤ten

Fachsprache der Mathematik

Technical language

English language system



Zweidimensionales Fachsprachen-Gliederungsschema(Schmidt-Thieme 2005)

Expertenstatus

Verbindlichkeit

Laie Lernender Experte MathematikerNichtwissenschaftler Wissenschaftler

Fachlichkeitsgrad

Expertenstatus

Verwendungsarten

Laie Lernender Experte MathematikerNichtwissenschaftler Wissenschaftler

FilmZeitung

Vortrag

Buch

PrÃ¼fungsgesprÃ¤ch

Aufsatz

Kongressvortrag

Rezension

Diskussion







? animiert, interaktiv, dynamisch ? (Neue Medien)

symbolische RF: Alltagssprache, Fachsprache

Mathematik, formale Sprachen


1. Repräsentationsformen Bsp.

enaktive RF: Torten, Pizzen, Äpfel aufteilen

ikonische RF:

symbolische RF:

0,5 12

24 −3

−6

[ 1,2 ]={ m,n ∈ℤ×ℤ∖ {0 }mit m,n ~ 1,2 ⇔2m=n }

ℚ

Hälfte einhalb

null komma fünf



Symbolische NameRepräsentationsformen Bezeichnung derfür Bruchzahlen Repräsentationsform

a/b mit a, b aus Z Bruch(schreibweise)

5/4 10/8 gemeiner, konkreter Bruch

5/4 unechter Bruch

1,25 Dezimalbruch, -zahl Dezimalschreibweise

1 ¼ gemischter Bruch, gemischte Zahl



→ Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer

Kategorie

→ Bestimmung der Salienzen und Restriktionen (Handlungen/Manipulationen, die bei RF

(nicht) möglich sind)

→ Bestimmung des Bezeichneten und dessen

Verhältnis zum angestrebten mathematischen

Begriff, Äquivalenz der Zeichen


2. Beispiele: (a) Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen: 0 1 ½ √2

√2 = 1, 41.......

Irrationale Zahlen: Dezimalentwicklung ist

nicht abbrechend, nicht periodisch

Bruchschreibweise: gibt es nicht!


2. Beispiele (a) Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen: √2 = 1, 41.......

Irrationale Zahlen:

Dezimalentwicklung ist nicht abbrechend, nicht periodisch

Kettenbruch

Intervallschachtelung

mit

2=11

21

2 12. . .

I n := [ rn ,sn ]

s n :=12 a n−1

2a n−1 rn :=

2sn



Reelle Zahlen: √2 = 1, 41.......

Ikonisch:

1

1

√2

minkommensurabel,

kein gemeinsames Maß m

Wechselwegnahme endet nicht



Reelle Zahlen: Goldener Schnitt

Ikonisch: Im Pentagramm gilt (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke):

Diagonale : Seite = Seite : (Diagonale -Seite)

Kettenbruch

ds=

sd−s

=12

15

ds=1

1

11

1 11. . .


2. Beispiele: (b) Beweis

Satz: Beispiel:

Beweis:

mittels vollständiger Induktion

I.-Anfang:

I.-Schritt: Angenommen, die Aussage ist wahr für n.

Dann kann man folgern:

∀ n∈ℕ:∑I=1

n

i=n n+1 2

n=1 : ∑I=1

1

i=1 11 2

12. . .+n+ n+1 =n n+1 2

n+1 =n n+1 2 n+1

2=

n+2 n+12

=n+1 n+2

2


3. ... und das Lernen von Mathematik

„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe

jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“ (Bruner)

→ Funktionen bzw. Bedeutung der Repräsentationsformen

für den Wissenserwerb,

als Medium zur Informationsgewinnung

→ Salienz, Restriktion des einzelnen Repräsentationsform

→ Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis

zum angestrebten mathematischen Begriff,

→ Äquivalenz der Zeichen

(Wechsel des Repräsentationssystems)



Stufen des Verstehens mathematischer Begriffe und Sachverhalte

Begriff als Bsp. Geometrie

intuitives Verständnis Phänomen räumlich-anschauungs-gebunden

inhaltliches Verständnis Träger von analysierend Eigenschaften

integriertes Verständnis Teil eines abstrahierend Begriffnetzes

formales Verständnis Objekt zum schlussfolgerndOperieren

kritisches Verständnis Entität axiomatisch

(Vollrath 1994) (Van Hiele 1967)


3. ... und das Lernen von MathematikZuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens

Stufen Repräsentationsform

intuitives Verständnis räumlich- enaktiv?Phänomen anschauungsg.

inhaltliches Verständnis analysierend real. Bilder ?Eigenschaften analoge Bilder?

integriertes Verständnis abstrahierend logische Bilder ?Begriffsnetz Alltagssprache?

formales Verständnis schlussfolgernd Fachsprache?Operieren

kritisches Verständnis axiomatisch formale Sprache?


3. ... und das Lernen von MathematikZuordnung Repräsentationsformen zu Stufen des Verstehens

Stufen Repräsentationsform

intuitives Verständnis enaktiv?Phänomen

inhaltliches Verständnis real. Bilder ?Eigenschaften analoge Bilder?

integriertes Verständnis logische Bilder ?Begriffsnetz Alltagssprache?

formales Verständnis Fachsprache?Operieren

kritisches Verständnis formale Sprache?

∀ n∈ℕ:∑I=1

n

i=n n+1 2



mehrmachen, TauschaufgabeBezeichnetes

Zeichen+ dazutun

ZeichenbenÃ¼tzerSchÃ¼ler, 1. Klasse

Operation, kommutativBezeichnetes

Zeichen+ addieren

ZeichenbenÃ¼tzerSchÃ¼ler, 5. Klasse

VerknÃ¼pfung, GruppeBezeichnetes

Zeichen(Z, + )

ZeichenbenÃ¼tzerStudierende



Kompetenzen des Lernenden:

→ Zuordnung einer Repräsentationsform zu einer Kategorie

→ Wissen um die Salienzen und Restriktionen → Bestimmung des Bezeichneten und dessen Verhältnis zum

angestrebten mathematischen Begriff

→ Wechsel der Repräsentationsformen unter Beobachtung der

Äquivalenz der Zeichen

Beim Lernen ist die Veränderung des mentalen Konzepts

immer verbunden mit einer Veränderung des Zeichenvorrats

und dessen Nutzung.



„Jedem Kind kann auf jeder Entwicklungsstufe

jeder Unterrichtsgegenstand beigebracht werden.“ (Bruner)

... und das Lehren von Mathematik

→ Kenntnis, welche Salienzen welcher Repräsentationsformen

in welcher Entwicklungsstufe effizient genutzt werden können

→ Einführung neuer Repräsentationsformen

→ Initiierung des Wechsel von Repräsentationsformen durch den

Lernenden

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