5 . Zur Theorie d e r electrischew Schfwd/ngtmgew in BrZihtew; uorz A. Btsas.

Die Ergebnisse der H e r t z'schen Untersuchungen iiber sehr schnelle electrische Schwingungen haben sich im Rahmen der Maxwell'schen Theorie der Electricitat in so vollkommener Weise darstellen lassen, dass es fast scheint, als ob kein an- deres theoretisches System noch Aussicht auf Erfolg habe, nachdem die fundamentalen Anschauungen Maxwell's in dem- selben Maasse eine experimentelle Bestatigung gefunden haben, wie sie uns befahigen, die neuen Entdeckungen theoretisch zu begreifeu.

Nichtsdestoweniger diirfte es sich empfehlen , die tilteren Theorien nicht ganz beiseite zu schieben, ehe derversuch gemacht ist, mit ihrer Hiilfe das erweiterte Gebiet der experimentell erforschten electrischen Erscheinungen zu durchmessen, sei es auch nnr, urn bei consequenter Anwendung der alteren Vor- stellungen einen Punkt zu finden, iiber den man nicht hinaus- kommt, ohne neue Hypothesen zu ersinnen oder durch die Annahme der Maxw ell'schen 3'undamentalhypothesen das System zum Abschluss zu bringen.

Ich habe deshalb versucht, die electrischen Wellen in geradlinig ausgespannten Drahten theoretisch darzustellen im Anschluss an die klassische Abhandlung von Kirchhoff ,,Ueber die Bewegung der Electricitat in Drahten" l), von deren Voraussetzungen ich nur soweit abgewichen bin, als es die grundlegende Arbeit der Helmholtz'schen Theorie der Electro- dynamik ,,Ueber die Bewegungsgleichungen der Electricitit f ir ruhende leitende KGrper" a) nothwendig gemacht hat. Die umfangreichen und sorgfiiltigen Untersuchungen von E. Co hn und F. Heerwagen 3, boten eine sehr willkommene Unterlage

1) G. Kirchhoff , Ges. Abhandlungen, p. 131. 2) H. Helmholtz , Wissenschaftl. Abhandl. 1. p. 537. 3) E. Cohu u. F. Heerwagen, Ueber die Periode sehr schneller

electrischer Schwingungen. Wied. Ann. 43. p. 343. 1891.

488 A, Elsas.

fur die Priifung einiger Ergebnisse dieser Betrachtung, welche der Maxw ell’schen Theorie in keinem Punkte widerspricht.

I. Wir setzen voraus, dass die ,,primare“ Schwingung in

einem geraden cylindrischen Drahte erregt werde , dessen Durchmesser gegen seine Lange als unendlich klein betrachtet werden darf, dass die Enden dieses Drahtes mit gleich grossen und gleichgestalteten ebenen Platten oder gleichen Kugeln von erheblicher Capacitat verbunden sind, deren Mittelebenen mit der Drahtaxe in derselbeii Ebene des Raumes liegen, und dass der Draht in der Mitte seiner Lhnge durchschnitten wurde, um zwei kleine Kugeln aufzunehmen, die mit einen Induc- torium verbunden sind , dessen Entladungen zwischen ihnen ubergehen. Auch sol1 vorausgesetzt werden, dass in der Niihe dieses Drahtes keine anderen electrisch leitenden Korper vor- handen sind.

Unter diesen Voraussetzungen haben wir eine vollkommen symmetrische Anordnung. Die Endplatten .haben in jedem Augenblick Ladungen von derselben Grosse und entgegen- gesetztem Vorzeichen, und die Stromstarke ist an beiden En- den des Drahtes die gleiche.

Die auf die Einheit der Electricitatsmenge bezogene electro- motorische Kraft, die in einem Element d s des unendlich dunnen Drahtes nach derjenigen Richtung wirkt, in welcher die Entfernung s dieses Elementes von einem willkurlich ge- wahlten Punkt des Drahtes wachst, ist

Theorie der Herts’echen ,,primiirencc Schwingung.

wenn wir mit sp das Potential der auf dem Draht beficdlichen freien Electricitat, mit W das Potential der Stromung im Draht in Bezug auf das betrachtete Element bezeichnen und c die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes bedeutet. l)

Das Potential sp der freien Electricitat bestimmt sich nach dem Coulomb’schen electrostatischen Gesetz. Wir bezeichnen mit e die Menge der freien Electricitat im Element d s, dividirt durch die Lange ds, und lassen e‘ die entsprechende Grosse

1) Wir bedienen uns des G au a s i schen Maassystems,

Electrische Schzuingungen. 489

fur ein anderes Element ds’ bedeuten. Dann liefern diejenigen Theile des Drehtes, deren Entfernung r von dem Element ds unendlich gross ist im Vergleich zu d s und zum Durchmesser tles Drahtes, den Beitrag

y = J - - - . e‘ d s’

Urn den Beitrag derjenigen Elemente, fur welche die ge- nannte Bedingung nicht erfullt ist, zu finden, miissen wir die Vertheilung der Electricitiit innerhalb eines Querschnittes des Drahtes kennen. Wir denken uns einen Punkt eines Quer- schnittes auf ein Polarcoordiiiateiisystem bezogen , dessen An- fangspunkt der Mittelpunkt des Querschnittes ist. Die Coor- dinaten s, p, q sollen denjenigen Punkt des Drahtes bezeich- nen, in Beziehung auf den wir das Potential der freien Electri- citat suchen.

Wir machen die Annahme, dass sich, wie beim constanten Strom und beim electrischen Gleichgewicht , freie Electricitat iiur an der Oberflache der Leiter befindet. Wenn wir noch cc den Radius des Querschnittes nennen, so ist e ’ / 2 n a die Dichte der freien Electricitiit an der Oberflache des Elementes ds‘, und wenn wir unter x‘ die Entfernung s’ - s, unter y‘ den Winkel zwischen dem nach einem Punkt der Drahtober- flache gezogenen Radius und dem Radius, von welchem aus wir den Winkel w rechnen, verstehen und E eine im Vergleich zum Radius a! unendlich grosse Strecke bedeuten laesen, so liefert demnach der yon der Integration in (2) ausgeschlossene Theil des Drnhtes zum Potential rp den Beitrag:

1 ) - €

Urn die Integration nach x‘ ausfiihren zu konnen, nehmen wir an, dass die Function, welche e in seiner Abhangigkeit von der Zeit t und der Coordinate s darstellt, nach Art der Fourier’schen Reihen in eine unendliche Summe von Aus- driicken der Form A cos n s + R sin n s entwickelt werden konne, wobei A und B ale von s unabhiingig gedacht werden. Es kann der Einfachheit halber die Betrachtung auf ein Glied der Reihe beschrankt werden.

490 A . Elsas.

Wir setzen also: em = d c o s n s + B s i n n s

und entsprechend

(4) e', = A cos n s' + B sin n s' = d' cos n x' + B sin n x'. Ferner machen wir :

p = ua + 82 - 2 upcos(7p' - I#) und bemerken, dass wir in dem Integral nach x' die Grenzen - E und + E mit den Enden des Drahtes zusammenfallen Iassen konnen. Bei der Substitution z = 2' [ 6 werden dann die Integrationsgrenzen - 00 und + 00 und man erhalt:

c m m

--P

Aus der Gleichung (4) folgt aber A' = Acosns + Bsinns = e,,,

und was das 'Integral

'1 cos .$ n z d I / T , P f i n' .. - - j o m e - € ~ 1 z $/;2 1 d 1 "N J 1

anbetrifft, so diirfen wir auf Grund der Beobachtungen, die wir theoretich erklaren wollen, die Annahme machen, dass n $ immer sehr klein ist, d. h. dass die Wellenlangen n / R der

1) D i w Gleichung lbst sich einfacher Weise aus der bekannten - -

Lap 1 a c e'schen Formel m

__ _- 0

ableiten, indem man auf beiden Seiten mit d z / 1/z3 - 1 multiplicirt und und awischen den Grensen 1 und m intogirt. In der Gleichung

ltisst sich dae Integral nach x auf der linkcn Seite auclfiihren und ergibt

Electrische Schwingunyen. 49 1

Schwingungen, in welche wir uns die electrische Bewegung im Draht zerlegt denken, immer sehr gross sind im Vergleich zur Dicke des Drahtes. Alsdann ist der Werth des Integrals

n5 - l o g T + zu,'), wo das Functionszeicheii log den natiirlichen Logarithmus be- deutet und !Po die gewohnlich so bezeichnete Gaussische Constante (= - 0,5772157) ist.

Also wird 2n

__~_ v,,, = - 2 em log- - Po ) - y- d?,,'log)L2 + 02.- 2 ctQcos(q - y). ( i 0

Von dem noch auszufiihrenden Integral nach q,t' hat Kirchhoff a) bewiesen, dass es von y unabhangig und gleich 2 m log o? wird, so dass wir schliesslich erhalten:

y , = - 2 em log- - !Po n: 1

1 y = - 2 (log? - !Po oder, wenn wir setzen:

(5)

(6) y m = Ye,. Um die Function W und die electromotorische Kraft der

Induction zu berechnen, wollen wir das Gesetz der Induction in der Form annehmen, die ihm von F. E. N e u m a n n gegehen wurde. Wir machen also die Annahme, dass die von einem Element ds', in dem die Stromintensitat i' sich andert, in einem zweiten Element d s' des Leiters inducirte electromo- torische Kraft, bezogen auf die Einheit der Electricitatsmenge

1 di' cos(ds , d s ' ) d s 2 d t r

_ _ _ _ _ _ _ _ - _ -

ist, wo r die Lange der Verbindungslinie Elementen bedeutet. Ueberdies sehen wir bewiesen an, dass bei den Erscheinungen,

zwischen beiden als experimentell die wir erklaren

wollen, die Stromung wesentlich an der Oberflache des Drahtes stattfindet und in allen Punkten der Peripherie eines Quer-

-schnittes dieselbe ist. Unter diesen Voraussetzungen ist 212 ZQ

1) G. Kirchhoff , Borchhardt's Journ. f. Math. 48. Heft 4. 2) G. Kirchhoff , Ges. Abhandlungen, p. 131.

492 A. Elsas.

die Stromdichtigkeit in d s‘, und wir erhalten fur den Bei tag des endlichen Drahtstuckes 2 E in dessen Mitte d s liegt, zu der Function W- einen Ausdruck, der ganz dem in (3) gegebe- nen fur den Beitrag desselben Stuckes zum electrostatischen Potential sp entspricht, also unter Beibehaltung der dort ein- gefiihrten Bezeichnunge~l:

2 n f r .

(1 - - E

Wir machen weiter die Voraussetzung, dass die Strom- intensitat i als Function von s in eine Reihe von Ausdriicken der Form

i, = C, cos R s + B, sin n s

entwickelt werden kann, wo C und B von s unabhangig sind. Entsprechend ist

ifm = C, cos n s’ -+ B, sin n s’ und i‘, = C‘, cos nx’ -+ D,,, sinnx’.

Setzen wir letzteren Ausdruck fSr i’ in (7) ein, so finden wir durch dieselben Schlussfolgerungen , welche uns von der Gleichung (3) zu (6) geflihrt haben, fiir Wn den Ausdruck: (8) W, = y i m

in welchem 7 dieselbe Grosse ist, wie in (5). Nur hat y hier eine andere physikalische Bedeutung, als in (5;. Es erscheint hier a16 der Selbstinductionscoefficient der Langeneinheit des Drahtes, wahrend in (5) der reciproke Werth von y als die Capacitat der Langeneinheit betrachtet werden kann.

Zufolge der Gleichungen (6) und (8) wird der Ausdruck (1) fiir die electromotorische Kraft :

wobei e und i die Summen aller e m , respective i, bedeuten konnen, vorausgesetzt, dass wir die Veranderlichkeit von y mit n ausser Betracht lassen und es als eine constante Grosse behandeln dtirfen, was sich indessen nicht stets als zulassig erweisen wird.

Wir wollen ferner annehmen, dass, wie bei stationaren

Electrische Schwingungen. 493

Stromen, die Stromstarke der electromotorischen Kraft pro- portional ist. Dnnn erhalten wir die Differentialgleichung :

(14)

in welcher die Grosse w als der Widerstand der Langen- einheit des Drahtes aufgefasst werden kann, obwohl es nicht nothwendig ist, dass dieser Widerstand mit demjenigen fur constante Strome identisch ist.

Zu dieser Differentialgleichung (9) lasst sich eine zweite hinzufiigen. Es bedeutet id t die Electricitatsmenge, welche in der Zeit d t durch den Querschnitt des Drahtes fliesst, dessen Entfernung vom Anfangspunkt der Messung s ist. Durch den Querschnitt bei s + d s fliesst in derselben Zeit die Menge (i + (8 i / d s) d s) d t. Wenn die Stromung in derjenigen Rich- tung erfolgt. in welcher s wachst, verliert das Element d s demnach die Electricitatsmenge d i 1 d s . d s . d t. Da aber die freie 'Electricitat des Elementes eds ist, so haben wir:

~- __ e r n = x m e - ~- cos t f n 2 cB - h2

sin n ~

2

sin (t 1 / u 2 ( F - 7 2 + ti) h t c o s n s i, = J,e- ~

1 \ 2

C O S i I -

a i d e as= -at'

Durch Differentiation von (9) nach s, von (10) nach t und Elimination der Differentialquotienten von i ergiebt sich fur e die partielle Differentialgleichung :

a 2 e w 2 8 e a2 e ~ _ _ a 2 a + - - - = C 2 ~

(1 1) y a t a s ? '

Ebenso ergiebt sich durch Differentiation von (9) nach t und von (10) nach s und Elimination der Differentialquotienten von e die partielle Differentialgleichung fur i :

(13)

Setzen wir noch: 2u ca

Y _ - - 2 h ,

494 A. &as.

eine particuliire Losung der Differentialgleichungen (1 1) und (12) dar, welche den Symmetriebedingungen geniigt, dass fur die Enden des Drahtes s = i- I / 2 jederzeit die Potential- function ym = y em entgegengesetzt gleiche Werthe besitzt und die Stromstarke i, die gleiche ist. Die LLngen s werden von der Mitte der Funkenstrecke aus gemessen, und es ist im Punkte s = 0 jederzeit e,, = 0 und i, ein Maximum.

Itm und J, sind die Amplituden von e, und i, an den Enden des Drahtes. Zur Bestimmung des Verhaltnisses dieser beiden Grossen und des Bogens J dient die Gleichung (lo), derzufolge sein muss :

s ins , . I 2

sin IZ Am--- = - J m

cos '9 ) - 1 2 2

woraus folgt : 1 2 Emc = - J m t g n

Um die zulassigen Werthe von n und damit die Wellen- langen der moglichen Schwingungen zu bestimmen , bediirfen wir noch einer Bedingungsgleichung fur die Enden des Drahtes.

Die Stromstarke im Endpunkte s = I / 2 ist diejenige Electriciatsmenge , welche in der Zeiteinheit aus dem Draht auf die Endplatte iiberfliesst. Ebenso ist die Stromstiirke im Endpunkte s = - I I 2 diejenige Electricitatsmenge, welche der dort befindlichen Endplatte in der Zeiteinheit entzogen wird. Daher haben wir, wenn mit p die Capacitat einer Endplatte bezeichnet wird und demnach (3yv,, die Ladung derselben ist:

Nun ist vm hier zufolge (6) clurch den Werth bestimmt, welchen die Grosse ye, nach GI. (14) an den Enden des Drahtes aiinimmt. Beriicksichtigen wir dies und machen von

Electrische Schwingungen. 495

der fur jeden Punkt des Drahtes geltenden Gleichung (10) An- wendung , so orhalten wir die beiden Bedingungsgleichungen:

Der Ausdruck fiir i, in (14) genugt beiden Bedingungen gleichzeitig, wenn:

oder

1 1 = p y n t g n - 2

ist. Setzen wir n 1 / 2 = x,, so wird die Bestimmung der zu- Tassigen Werthe von n auf die Auflosung der Gleichung:

2, tg 2, = ~ = a

1st x;, die m te Wurzel dieser Gleichung, so

1

(18) 2 8 Y

(1 9) 1

zuruckgefuhrt. ist der zugehorige Werth von n:

2 Xm n = - .

Wir setzen n = x I Am; dann ist A, die (halbe) Wellenlange der Schwingung. Es ist also:

7c A, = - l .

Fur genugend kleine Werthe von a, also bei Drahten von geringer Lange, deren Enden mit erheblich grossen Capaci- faten belastet sind, ist die kleinste Wurzel x, der Gleichunp (18) naherungsweise = 6, da tg x, = 5 gesetzt werden darf. Dann aber ist nach (20):

2 Xm (20)

Indessen ist der wahre Werth von x, < p, also A, grosser, als es sich nach der Naherungsformel berechnet. 1st beispiels- weise a = +, so wird nach der Naherungsformel xo = +, wahrend der wahre Werth nur sehr wenig von 0,48 abweicht. Die nach der Formel (21) berechnete Wellenlange A, = x I ist dem- nach um 4 Proc. zu klein. Mit der Grosse von a wachst der

49 6 A. Elsas.

Fehler der angenaherten Berechnnng schnell. Fur a = ild / 4 ist der wahre Werth von xo = TC / 4 = 0,7854 (woraus Lo = 2 I folgt), wahrend die Naherungsformel xo = = 0,856 er- giebt, also gar nicht mehr zulassig ist.

Wir wollen von unseren Formeln eine Anwendung machen und die Wellenlange fur einen Schwingungserreger berechnen, den Hr. H e r t z in seiner ersten Arbeit iiber ,,Sehr schnelle electrische Schwingungen" l) benutzt hat. Dessen Lange war 1 = 150 cm, seine halbe Dicke 0,25 cm, und er endigte in Xugeln von 15 cm Radius. Wir haben also /3 = 15 cm. z, Die Qrosse y ist von der unbekannten Wellenlange Lo = TC 1 n ab- hiingig nach Gleichung (5), die wir in der Form:

schreiben konnen. Da aber Lo > I sein muss, weil xo nach (20) immer < m / 2 ist, so zeigt diese Gleichnng, dass y > 10,6 sein wird. Die Annahme y = 10 liefert aber schon fur Lo den Werth (TC I 2). I @= 3 13 cm nach der Nahernngsformel. Dem- nach ist die wirkliche Wellenlange noch grosser und es wird y > 12. Wir konnen mit, Hiilfe dieses zweiten Werthes fiir y eine neue Berechnung der Wellenlange vornehmen, und so ein Anniiherungsverfahren anwenden, welches schliesslich y = 12,7 liefert.

Hiernach wird mpi = 0,6274 und der Bogen, deasen Tangente diese Grosse hat = 0,5603. Nehmen wir das arith- metische Mittel dieser beiden Zahlen fiir die Grosse xo der Gleichung (20), so ' erhalten wir:

Lo = ~. 150 = 397 cm.

Es ist fur die Berechnung der Wellenlangen gleichgultig, ob wir die electromotorische Kraft der Induction nach dem Neum ann'schen, Maxw ell'schen oder dem allgenieineren Helmholtz'schen Gesetz 3, bestimmen. Denn der Coefficient

7c

2.0,5938

1) 11. Hertz, Untersuchungen uber die Ausbreitung der electrischen

2) Die Anmerkung, die Hi.. Hertz am Schlusse des Buches (1. c.

3) H. Helmholtz , Wissensch. Abhandl. 1. p. 537.

Kraft, p. 32.

p. 287) hieruber macht, ist mir nicht entgaugen.

Ehctrische Schwingungen. 49 7

y in den Bedingungsgleichungen (lci), der in diese Berechnung eingeht, bedeutet nicht das Verhaltniss der Function W zu i, sondern er ist hier gleich v / e . Der Einfachheit der Dar- stellung wegen wurde das Neumann'sche Gesetz zu Grunde gelegt, fir welches W / i = sp / e wird. Das Inductionsgesetz von Helmhol tz ergibt statt der Gleichung (8) eine andere:

(22) w,, = ( yr + - 2--) im = y'i,

und dementsprechend erhalten wir atatt der Differential- gleichung (1 2) eine andere :

1--k

Machen wir in dieser:

so zeigt sich, dass sie von der Gleichung (12) nur darin ver- schieden ist, dass statt der Lichtgeschwindigkeit c die Ge- schwindigkeit c' gesetzt wird. Diese geht in die .Berechnung der Wellenlangen nicht ein und ist im Allgemeinen nur um ein Geringes kleiner als c, wenn der Werth der unbekannten Constanten h des Helmholtz'schen Gesetzes zwischen 0 und 1 lie@ und y nicht sehr klein ist.

Die hoheren Wurzeln x, der Gleichung (18) nahern sich mit wachsendem Index m dem Werth m n , und die Wellen- langen sind nach Gleichung (20) also nahezu:

J 1 ? - 2,'

so lange a = I / 2 6 y eine kleine Gr6sse bleibt. y um so kleiner, je kleiner die Wellenlange

Indessen wird ist; a wachst

demnach mit m gleichzeitig, und deshalb ist die Naherungs- formel in den mcisten Fallen unbrauchbar.

II. Erswungene Sohwingungen in einer offenen Strombahn.

Vor der einen ebenen Endplatte des Schwingungserregers sei eine andere Platte parallel aufgestellt und mit einem sehr langen Draht verbundeii, der geradlinig und rechtwinkelig zum primaren Draht ausgespannt ist und frei in der Luft endigt.

In dieser offenen Strombahn werden durch den Schwin- gungserreger electrische Oscillationen erzeugt , deren Periode

Ann. a. Phys. u. Cham. N. F. 49. 32

498 A. Elsas.

mit derjenigen des Erregers iibereinstimmt.l) Die Schwingungen sind demnach l l erzwungene" in demselben Sinne, wie die Vibrationen eines elastischen Fadens, der an einer schweren Stimmgabel befestigt und geradlinig ausgespannt wird. Die Analogie ist iiberdies auch fur die theoretische Betrachtung vollkommen, wenn man sich vorstellt dass die Stimmgabel einer starken Dampfung unterworfen ist wahrend der weiche Faden nur geringen Reibungswiderstand findet. Da aber in der Akustik das Problem der M e l de'schen Fadenschwingungen unter der gegentheiligen Annahme einer ungedampften pri- maren Schwingung betrachtet wird, konnen wir nicht ohne Weiteres die Endgleichung abschreiben.2)

Den Ausdruck fur die Stromstarke i am Anfangspunkt s = 0 der offenen Strombahn konnen wir auf die Form bringen:

(1) i = C e - h t c o s p t . . . fir S = O .

Die Periode der primaren Schwingung bestimmt hier die Grosse p , und ebenso ist die Dampfung h diejenige der pri- miiren Schwingung. (2) i = O . . . f i i r s = I , wahrend in jedem Punkte des Drahtes die Differentialgleichung :

Im Endpunkte des Drahtes ist:

(3)

erfellt werden muss. Der Ausdruck:

geniigt im Punkte s = 0 der Bedingung i = C'e ( i ~ - h) t , fur s = I der Bedingung (2) und der Differentialgleichung (3), wenn man:

pz = (ip - h)2 + 2h'(ip - h) macht, oder fiir sehr kleine Werthe von h :

p = i p - ( ( h - h ' ) = i p - x

1) H. Hertz, Wied. Ann. 34. p. 551. 1888; Untersuchungen iiber die Ausbreitung der electrischen Kraft, p. 120.

2) Vgl. Lord Rayle igh, die Theorie des Schalles; deutsch von Neesen, p. 209; A. Elsas, Wied. Ann. 23. p. 173. 1884.

Electrische Schwingungen.

setzt. Der reelle Theil des Ausdrucks:

499

1 - - s 1 - 8 - (ip - x ) ~

- ( i p - x ) -

( i y - x)

( i p - x ) -

~- (iu - h) t e c - e

e C - e i = Ce 1 1

ist demiiach die gesuchte Losung, welche den Bedingungen (1) und (2) Geniige leistet.

Um den reellen Theil auszuscheiden, beachten wir, dass Zahler und Nenner anf die Form R e - i s gebracht werden kann. Wir setzen allgemein:

e - ( i p - x ) x - e ( i p - x ) x =

Alsdann wird: 2 = sinzpx. (ex' + e - x n ) + cos2px. ( exx - e -"") RX

oder ~~2 = 4sin2px + (ex' - e-"")2, x x - % 5

e C e - t g p 2. x l i - x x tgsx =

f 3 - I ?

1st demnach : x = h - h '

so erhalten wir die Losung unseres Problems in der Gleichung:

i=Ce cos - ht (Pt + a1 -

Diese zeigt, dass die Stromstarke in keinem Punkte des Drahtes Null wird, ausser im Endpunkte. Gleichwohl knnn man diejenigen Punkte, in denen sinp(Z - s) / c = 0 und die Amplitude der Schwingung ein Minimum wird, als Knoten- punkte auffassen , und entsprechend ergibt sich die halbe Wellenlange I = c T, wenn man p durch die (halbe) Schwin-

32 *

500 A. Elsa.

gungsdauer T nach der Formel p = n / T ausdriickt. Die Am- plitude der Schwingung in den uneigentlichen Knotenpunkten wird um so grosser, je weiter diese vom freien Ende entfernt sind. Daher lassen sich die Knotenpurikte am leichtesten experimentell bestinmen, wenn man den Draht vom Geien Ende aus absucht.

Indessen ist es fur die experimentelle Untersuchung auch nothwendig, die Abhangigkeit der Amplitude von dem Ver- haltniss der Wellenlange und der Gesammtlange des Drahtes zu beachten.’) Denkt man sich die Lange I als unverbder- lich, die Periode T der primaren Schwingung als variabel, so wird der Nenner des Bruches unter dem Wurzelzeichen der Gleichung (5) am kleinsten, demnach die Amplitude am grossten, wenn 1 einem Vielfachen von c T gleich ist und sinp 11 c ver- schwindet. Hingegen hat die Amplitude ihren kleinsten Werth, wenn I ein ungerades Vielfaches von c T/ 2 ist und sinp d l c demnach gleich 1 wird. I m ersten Falle ist der Anfangspunkt des Drahtes ein uneigentlicher Xnotenpunkt , und die Ampli- tude in den Schwingungsbauchen kann die Seinige viellnal iibertreffen, wenn die Dampfung x klein ist. Im letztereii Falle hat der Anfangspunkt eine grossere Amplitude, sls jeder andere Punkt des Drahtes. Die Melde’schen Fadenschwing- ungen sind vortreff lich geeignet , alle diese Verhaltnisse zur Anschauung zu bringen.

Stehende Wellen kommen merklich nicht zu Stande, wenn inail den Draht, welcher in erzwungene Schwingungen versetzt werden soll, so lang macht, dass eine uber denselbeii fort- schreitende Welle durch die Dampfiing vernichtet wird, ehe sie das Ende erreicht.

Fur die Theorie ist eine fortschreitende Schwingung charak- terisirt durch die Differentialgleichung (3), die Bedingungs- gleichung (1) und die Bedingung:

(6) i = O , . . fur s = m .

dass h’ bedeutend kleiner als h ist): Als Losung ergibt sich leicht (untcr der Voraussetzung,

1) Vgl. H. I l e r t x , Unteimchungen uber die Ausbreitung der elec- trischen &aft. Anmerkung 14. p. 289.

(7)

Electrisehe Xchwingungen. 50 1

oder , wenn man die Schwingungsdauer und die Wellenlange einfuhrt :

111. Die Lecher'sohe Vereuchsanordnung und die Beobachtungen von Cohn und Heerwctgen.')

Vor den beiden ebenen Endplatten des bisher als Schwing- ungserreger bezeichneten Leiters seien gleich grosse und gleich gestaltete ebene Platten parallel aufgestellt und mit zwei ein- ander parallel ausgespannten Drahten in der Weise verbunden, die die Figur veranschaulicht. Die Enden dieser Drahte seien mit rechtwinkeliger Bie- gung zu einem Kohl- r a u s c h' schen Plattencon- densator gefuhrt. Die mit ihren Anfangspunkten ver- bundenen Platten sollen ferner in gleiche Entfer- V' nung von den gegeniiber- stehenden Platten gebracht werden , damit die ganze Anord- nung eine symmetrische wird.

In diesem Falle werden, wie sich aus den Versuchsergeb- nissen von Cohn und Heerwagen mit Bestimmtheit schliessen lasst , nicht die Schwingnngen des Erregers den parallelen Drahten aufgezwungen, sondern die durch das Inductorium veranlassten Schwingungen sind die Eigenschwingungen des ganzen, aus den drei Condensatoren und den verbindenden Drahten bestehenden geschlossenen Systems von Leitern.

Zur Vereinfachung der theoretischen Erorterungen kiinnen wir uns denken, dass die beiden Condensatoren 1) u und v' u' im Stromkreise gegeneinander verschoben werden, bis die Platten v und v' zusammenfallen. Alsdann durfen die Platten v und v'

1) J. Lecher, Wien. Sitzungsber. 99. p. 340. 1890; Wied. Ann. 41. p. 850. 1890. - E. Cohn und F. Heerwagen, Wied. Ann. 43. p. 343. 1891. - Vgl. auch Salvioni , Rendiconti della R. Acad. dei Lincei, vol. I. lo Sem., fasc. 7. p. 206. 1892.

----------x - - .__ _ _ __ T-

y L 16-

502 A. EZsas.

entfernt werden, und die Platten u und u‘ bilden dann einen Condensator, dessen Plattenentfernung doppelt so grbss ist als v u resp. d u ‘ . Das vereinfachte System besteht dann aus zwei parallelen Drahten und zwei Platt,encondensatoren an den Enden derselben.

Zufolge der symmetrischen Anordnung ist jederzeit in jedem Punkte des Drahtes die freie Electricitat von derselben Dichte, aber von entgegengesetztem Vorzeichen, die Stromung von derselben IntensitLit, aber entgegengesetzter Richtung, wie in dem gegenuberliegenden Punkte auf der anderen Draht- halfte.

Fur die electromotorische Kraft, welche in einem beliebigen Punkte des Doppeldrahtes wirkt, erhalten wir einen Ausdruck von derselben Form, wie fur den geraden einfachen Draht im Kapitel I (p. 492). Es erhalt aber rler Coefficient y hier eine andere Bedeutung, da das Potential y der freien Electricitat [I, Gleichung (2)] und die Function W geandert wird durch die gegenseitigc Beeinflussung der ‘beiden parallelen Draht- halften.

Bezeichnen wir durch s und s’ die Entfernung zweier Punkte, welche nicht auf derselben Drahthalfte liegen , von den Anfangspunkten s = 0 und s’ = 0, durch I die Lange einer Drahthalfte und durch b den Abstand der parallelen Halften von einander, so wird der Beitrag zu dem Potential rp, welcher von derjenigen Drahthalfte herriihrt, auf der das Element d s nicht liegt:

f. e‘d s’

J -=?==-=. 1/ (S - s)* + ba 0

Wir setzen wieder, wie im ersten Capitel: s’ - s = x’,

nehmen an, dass B durch eine Fourier’sche Reihe nach s entwickelt werden kann und beschranken die Retrachtung auf ein Glied dieser Reihe, fur welches wir haben:

em = Acosns + Bsinns.

Derngernass ist im Element ds’ auf der anderen Drahthalfte: en,’ = - ( A cos ns‘ + 23 sin n 6’) = - (A‘ cos n x’ + IY sin n 2’).

Electrisehe Sthuingungen.

Das Integral wird durch diese Substitution : I - a

503

es ist nur dann in geschlossener Form darstellbar, wenn der Draht so lang ist, dass wir ihn durch zwei unendlich lange parallele Halften ersetzt denken durfen. Alsdann geht es uber in:

+on cos n xr d x’

- 0 3

oder, fur hinreichend kleine Werthe von b n in:

Es ist aber A‘ = A cos n s + B s i n n s = em; also erhalten wir, wenn wir nach den Gleichungen (5 ) und (6) des ersten Capitels den Beitrag, der von der anderen Drahthalfte herruhrt, hinzu- fiigen, fur das Potential die Gleichung:

(1) ym = 2em10gT. In derselben Weise ergibt sich:

b (2) W, = 2im10gy und, wenn wir hier

b

b (3) y = 2log-

setzen, erhalten die Differentialgleichungen dieselbe Form, wie im ersten Capitel.

In jedem Punkte des Drahtes ist demnach eine Differential- gleichung :

a 2 im a im a 2 im ___ a t z + 2 h - - = c2--

(4) a t a sp

zu erfullen, worin we=

Y 2 h = - .

Dieser Differentialgleichung entspricht eine electrische Schwin- gung:

\im = e - ht.cos f n 2 c2 - h2. t (A, cos n s + Bl sin n s)

1 +e-’~ts in1/n2e2-h2. t (AacOsns+B,sinns) . ( 5 )

504 A. %Isas.

Das Verhaltniss zwischen den Constanten A, und B,, A, und 4, und die Constante n , von welcher Schwingungszahl unci Wellenlange abhangen , werden durch die Bedingungen bestimmt, denen an den Enden einer Drahthalfte entsprochen werden muss.

Es sei Q die Electricitatsmenge auf derjenigen Conden- satorplatte, mit welchcr das Drahtende s = 0 verbunden ist, cp das Potential der Platte, p die Capacitat des Condensators. Dsnn ist die Stromstarke am Elide .F = 0 gleich der Electri- citatsmenge, welche der Platte in der Zeiteinheit entzogen wird, also

fiir s = O . . . i = --. 8 9 a t

Ferner ist, da die gegenuberstehende Platte das Potential - hat, Q durch die Potentialdifferenz 2 cp und die Capacitit p des Condensators bestimmt,

wahrend

ist, wenn e die Electricititsmenge auf der Lhgeneinheit des Drahtes am Ende s = 0 hedeutet. Daher ist die Stromstarke in diesem Punkte:

a e a t ’

i = - 2 p y

oder, da - d e / d t = d i l a s ist, a i a s fur s = 0 . . . i = 2 P y - - - .

Im Punkte s = I ist der Draht mit dem zweiten Condensator verbunden, dessen Capacitat durch hezeichnet werden soll. Hier hat die Stromung die Richtuag, in welcher s wachst, wenn die Ladung der Condensatorplatte vergrossert wird. Dem- nach ist hier i = d Q1 I d t , und wir erhalten als Bedingungs- gleichung :

far s = l . . . i = -2 /31y - .

Der Gleichung (6) geschieht Geriiige, wenn fur beide Indices 1 und 2

A = 2 p y n B

a i (7) a s

Electrische Schwingun.qen. 505

gemacht wird. A c o s n I + B s i n n l = 2 ,6 ' yn (As inn l - Bcosnl)

sein. Eliminirt. man hieraus A und B, so ergiebt sich eine Gleichung , welche die zulassigen Werthe von n bestimmt, namlich (8) 2pyncosn l .+ s innZ= 2 p ' y n ( 2 / l y n s i n n l - cosn2). oder

Wegen der Gleichung (7) muss ausserdem

(9)

Jeder Wurzel derselben entspricht eine gedzmpfte einfach har- monische electrische Schwingung. Die Gleichung ( 5 ) fiir die Stromsfarke lasst sich jetzt auf die Form bringen :

e - h t ( A , cos l/naca- hz t + A, sin l/n2 c2----h2 t) (cos ns

sinns). Jim =

Wegen der Beziehungen d i / d s = - a e / 8 t und $p = y e lasst sich dann das Potential cpm im Punkte s darstellen durch eine Gleichung

Demnach ist die Potentialdifferenz zwischen dem Punkte s und dem gegenuberliegenden Punkte auf der anderen Draht- halfte proportional mit 2 ,6 y n sin n s - cos n s; sie wird Null nur zwischen gewissen Punkten, die als Knotenpunkte der Schwingung bezeichnet werden kiinnen, und deren Lage sich aus der Gleichung

2Pyn sin nz - cos nz = 0

ergiebt, wenn wir in den Knotenpunkten s = z setzen. Es ist zufolge der Anordnung des Leiterkreises nothwendig , dass auch die Gleichung (13) cotgnz' = 28'yn gilt, in welcher z' die Entfernung der Knotenpunkte vom anderen Condensator, dessen Capacitat ,6' ist, bedeutet. Diese Gleichung ist theoretisch abzuleiten aus (8) und (12). Denn

oder I cotgnz = 2pyn (1 2)

506 A . Elsas.

wenn in die erste Gleichung (12) z =. I - z' gesetzt wird, er- halt man zunachst

(2gynsinnZ- cosnl )cosnz ' - (2 /?y~cosnI+ sinnl)sinnz'=O und bei Berucksichtigung von (8) :

cosnz'- 2/3'ynsinnz'= 0.

Wenn 2 und z' die Entfernungen desselben Knotenpunktes von den Drahtenden bedeuten, ist die Drahtlange I = z + z'; ver- steht man dagegen unter z und z' die Entfernung des ersten Knotenpunktes vom Anfang des Drahtes und die Entfernung des letzten Knoten vom Ende, so ist I = z + m A, + z'. Setzt man diesen Werth fur I in die Gleichung (9) ein, so werden die beiden Seiten derselben identisch gleich wegen der Gleichungen (12) und (13). Durch zwei der Gleichungen (9), (12) und (13) ist demnach die dritte bestimmt.

Wir wollen, wie es die Hrn. Cohn und Heerwagen ge- than haben, die Lage der aussersten Knotenpunkte durch z und z' bezeichnen.

Alsdann ist zufolge der Gleichung (13), die wir auf den veranderlicheu(K0 h l r a u s c h' schen) Condensatorbeziehen wollen, z' = 0, wenn die Capacitat des Condensators durch Zusammen- schieben der Platte unendlich gross gemacht wird. Am Draht- ende entsteht dann also ein Knotenpunkt, und die Gleichung (9), welche die Abhangigkeit der Wellenlangen I , von der Drahtlange I und den Constanten ,8 und y des Systems dar- stellt, ergiebt :

cotgnl = 2Pyn oder

(14)

Solange 2 p y n / I , eine kleine Zahl ist, folgt hieraus, dass m / / A,,, wenig kleiner ist, rtls n(2m + 1) / 2, also I , wenig grosser, als 2 I / (2 m + 1), womit zusammenhangt , dass zwei Wellen- Iangen verschiedener Schwingungen A, und Ip sich niihrungs- weise zu einander verhalten wie die ungeraden Zahlen 2 p + 1 und 2m + 1.

Die Tabelle I der Hrn. Cohn und Heerwagen (1. c.p. 351) enthalt die Wellenlange I , bis I , fur ein System, in welchem p = ca. 7 cm, 2y = 18,42 und I = ca. 1160 cm ist. Da hier

Electrisehe Schwingunyen. 507

2 /I y m = etwa 405 cm ist und die Wellenlangen zwischen 845 und 189 cm variiren, erhalt die rechte Seite der Gleichung (14) Werthe, die von etwa bis zu etwas mehr als 2 wachsen, und man kann demnach nicht mehr von der Naherungsformel I.,, = 2 1 / (2 m + 1) Gebrauch machen. Die exacte Prufung der Formel (14) wird erschwert durch den Umstand, dass die Capactiat t9 nicht genau bestimmbar ist. Nach einer privaten Mittheilung halt Hr. Cohn ca. 7 cm fur den wahrscheinlichsten Werth; es scheint jedoch, dass ,i3 etwas kleiner genommen werden muss, etwa gleich 6 cm, damit die Berechnung der Lange 1 aus der Gleichung (14) fur alle Wellenlangen Werthe liefert, die sich moglichst wenig von einem Mittelwerthe entfernen. Da an den Enden die beiden Drahthalften weder parallel noch aquidistant verlaufen, darf man 'ferner nicht erwarten, dass der berechnete Mittelwerth fiir I' mit der gemessenen Drahtlange genau ubereinstimmt. Bei den Versuchen von Cohn und He e r w age n betrug die gemessene Drahtlange von der Funken- strecke bis zum Kohlrausch'schen Condensator ungefahr 1158 cm. Die nachfolgende Tabelle I zeigt, dass auch der berechnete Werth von 1 nahezu diese Grosse hat, wenn man (3 = 6 cm setzt, wahrend fur ,4 = 7 crn 1 etwa 10 cm kleiner wird.

T a b e l l e 1.

~ _ _ _ _ ~ ~ ~ ' ' A, = 845 cm

1, = 500 ,, 1, = 354 ,, 1, = 274,5 ,,

1 = 1147,3cm

1 = 1142,9 ,, 1 = 1150,O ,, I = i i41,6 ,,

1, = 845 em 1, = 500 ,, 1, = 354 ,, 1, = 274,5 ,, 1, = 223,l ,, 1, = 189,l ,,

Wenn die Capacitat des veranderlichen Condensators einen endlichen Werth hat, wird die Gleichung (9) am bequemsten gepriift, indem man mit Hulfe der Gleichungen (12) und (13) die Entfernungen z und z' des ersten Knotens vom Anfang und des letzten Knotens vom Ende des Drahtes berechnet und 1 = z + m h, + z' macht.

Die Tabelle 2 enthalt die auf diese Weise aus dem Be- obachtungsmaterial der Tabelle I1 von Cohn und Heerwagen berechneten Werthe von 1.

I = 1161,9 em 1 = 1153,5 ,, I = 1151,6 ,, 1 = 1156,5 ,, 1 = 1156,l ,, 1 = 1165,O ,,

508 d. Elsas. Ehctrische Schwinguplgen.

T a b e l l e 2.

2 8 7 ~ 1 7 2835 cm

1, = 796 cm ~ I = 1159, l cm 1, =: 796 cm I = 1143,7cm

i., = 350 ,, I = 1151,6 ,, 1, = 350 ., I = i i 4 3 , o ,,

2/?77c = 347 cm 2(?77t = 405 cm .- . . . . . -. . . ~ . . . - - . ._ . . . - ..___ .

1, = 488,5 ,, 1 = 1151,7 ,, ~ 1, = 488,5 ,, i I = 1139,9 ,, i4 = 271 ,, 1 = 1149,4 ,, ~ 1, :- 271 ,, 1 = 1143,l ,, 1., = 222,l ,, 1 -= 1156,3 ,, 1’ l5 222,l ,, 1 = 1153,5 ,, 1, = 188,s ,, . 1 = 1164,8 ,, I., == 188,5 ,, 1 = 1160,3 ,,

. Mittc1.l = 1156,5 c:m . ,. Mittel I = 1146,O cm

Auch an den anderen Tabellen der Arbeit von Cohn und Heerw agen findet die Gleichung (9) hinreichende Bewahrung, was sich schon daraus ergibt, dass an dem ganzen grossen Beobachtungsmaterial die Gleichungen (1 2) und (1 3) verificirt werden konnten.

Wir diirfen daher unsere Untersuchung mit der Bemerkung schliessen, dass die elektrischen Schwingungen in Drahten sich vollstandig und auf einfache Weise theoretisch darstellen lassen, ohne dass wir irgendwo mit beobachteten Thatsachen in Wider- spruch gerathen oder gezwuiigen werden , die altcre Theorie durch die Maxwell’sche Hypothese zu erweitern. Damit so11 natiirlich nicht die Nothwendigkeit der Max well’schen Theorie allgemein bestritten oder bezweifelt werden. Wohl aber er- scheint im Interesse des theoretisclien Unterrichts der Nach- weis nicht unerheblich, dass ein grosser Theil des von H e r t z zuganglich gemachten Gebiets der schnellen electrischen Schwingungen unmittelbar von der alteren Theorie angegliedert werden kann.

Marburg , im April 1893.