Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

55
Erzwungene Schwingungen

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Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

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F = - Ds - bdsdt + F a

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

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s = s cos(t - 0)F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

s = s cos(t - 0)

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

s = s cos(t - 0)

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

s = s cos(t - 0)

Page 8: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s = s cos(t - 0)

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

1) 0

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

1) 0 F a/m20

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

1) 0 F a/m20

Hookesches Gesetz

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

s

00

1

1) 0 F a/m20

Hookesches Gesetz

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

s

1

1) 0 F a/m20

2) 0

00

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

s

1

00

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

00

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

r = 2

0 - 22

r

00

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

r = 2

0 - 22

r

Resonanzfrequenz

00

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F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

3)

r = 2

0 - 22

00

Page 20: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

1) 0 F a/m20

2) 0 F a/0b

3) 0

3

00

Page 21: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

3

1) 0 F a/m20 0

2) 0 F a/0b

3) 0

00

Page 22: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

3

1) 0 F a/m20 0

2) 0 F a/0b

3) 0

0

0

1

0

00

Page 23: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

3

0

0

1 2

1) 0 F a/m20 0

2) 0 F a/0b /2

3) 0

0

0

/2

00

Page 24: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

s = s cos(t - 0)

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

3

0

/2

1 2

1) 0 F a/m20 0

2) 0 F a/0b /2

3) 0

3

0

00

00

Page 25: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

SW04.1 Resonanzkurven.nb

F = - Ds - bdsdt + F a cos t

Erzwungene SchwingungenErzwungene Schwingungen

= b/2m

20 = D/m

s() = Fa/m

(20-2)2 + (2)2

() = arctan

22

0-2

s 0

0

s

1

2

r = 2

0 - 22

r

3

0

/2

1 2

1) 0 F a/m20 0

2) 0 F a/0b /2

3) 0

3

0

s = s cos(t - 0)

00

00

Page 26: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa = F a cos t s = s cos(t - 0)

Page 27: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

Page 28: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

Page 29: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa

s

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

Page 30: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

Page 31: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

I II III IV

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

Page 32: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

s.Fa

0 = 0

Fa = F a cos t

I II III IV

Page 33: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

s.Fa - + - +

0 = 0

Fa = F a cos t

I II III IV

Page 34: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

I II III IV

s.Fa - + - +

Page 35: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

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0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

Page 37: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

+ + + +

Page 38: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 =

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

+ + + +

I II III IV

Page 39: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 =

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

+ + + +

I II III IV

Page 40: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

0 =

0 = /2

Fa

s

s.

s = s cos(t - 0)

0 = 0

Fa = F a cos t

s.Fa - + - +

I II III IV I II III IV

+ + + +

I II III IV

+ - + -

Page 41: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Resonanzkurve

s

0

0

Page 42: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Resonanzkurve

Gütefaktor Q s

Q r/2

r

00

Page 43: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Resonanzkurve

Gütefaktor Q s

Q r/2

r

00

Halbwertsbreite 2

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Resonanzkurve

Gütefaktor Q s

Q r/2

r

00

71%

s (r)

s (r)/ 2

Page 45: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Resonanzkurve

Gütefaktor Q s

Q r/2

r

00

Q s (r)

s (0)

s (r)

Page 46: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Resonanzkurve

Gütefaktor Q

Q r/2

Q s (r)

s (0)

Q 2 WW

s

0

0

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Resonanzkurve

Gütefaktor Q

Q r/2

Q s (r)

s (0)

Q 2 WW

s

0

0 W = D 2s (r)

12

Page 48: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Gütefaktor Q

Q r/2

Q s (r)

s (0)

Q 2 WW

W = D 2s (r)12

s

0

0

2=

Page 49: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

Gütefaktor Q

Q r/2

Q s (r)

s (0)

Q 2 WW

W = D 2s (r)12

s

0

0 =f

2==f

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Gütefaktor Q

Q r/2

Q s (r)

s (0)

Q 2 WW

W = D 2s (r)12

s

00 f

f =/

Page 51: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

s

0

0

SW04.1 Resonanzkurven.nb

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Page 53: Erzwungene Schwingungen. Hookesches Gesetz.

[2.28] Die Schwingungsamplituden eines Turbinengehäuses wurden beiverschiedenen Drehzahlen (=Frequenzen) gemessen:

Amplitude/mm 2,5 15 37(Max)

20

Drehzahl/Upm 100 1650 1800 1900

Die effektive Masse des Gehäuses beträgt 2,3 t.

Bestimmen Sie die Resonanzfrequenz fr, die Abklingkonstante , dieDämpfungskonstante b, die Eigenfrequenz f0, die effektive Federkonstante D undden Gütefaktor Q. (Resonanzkurve durch ein Dreieck annähern.)

Wieviel Energie W steckt bei Resonanz im Gehäuse? Wieviel Leistung P wird inWärme umgewandelt?

Da die Turbine überwiegend bei 2000 Upm betrieben werden soll, muß dieResonanzfrequenz auf fneu < 1500 min-1 vermindert werden. Wie kann dasgeschehen?

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