1

V.4 Wellen in kontinuierlichen Medien

x

Longitudinale Wellen:

Transversale Wellen:

x

x

y

z

2

V.4.4 Lösung der 1-dim. Wellengleichung

Lösung der Wellengleichung für beliebige

zweimal differenzierbare Funktion f

Speziell kann z.B.:

gewählt werden.

“Harmonische Wellen”

Das Argument

bezeichnet man als Phase.

aus Dimensionsgründen,

[k] = 1/Länge

3

Phasengeschwindigkeit

Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Zustand konstanter Phase

Dazu betrachte:

nach links laufende Welle

nach rechts laufende Welle

?

4

Wellenlänge und Wellenzahl der harmonischen Welle

x

kürzester Abstand zwischen gleichen Schwingungszuständen (Oszillatoren in Phase)

Wellenlänge :

bzw.

k bezeichnet man als Wellenzahl

Momentaufnahme

bei fester Zeit t0

u(t=t0,x)

5

Kreisfrequenz der harmonischen Welle

t

Harmonische Schwingung

am festen Ort x0

u(t,x=x0)

Am festen Ort schwingt Oszillator gemäß:

bzw.

6

Superpositionsprinzip

Hat man zwei Lösungen u1 und u2 von

so ist auch u = u1 + u2 wieder eine Lösung.

(Folgt aus Linearität der Wellengleichung)

Wichtige Anwendung:

Fourierzerlegung

Stehende Wellen

… (mehr dazu später)

,

7

Ausbreitung einer Wellengruppe (Informationstransport)

Betrachte: Überlagerung zweier harmonischen Wellen (1 ≈ 2)

“Schwebung”

8

Ausbreitung einer Wellengruppe

x

x

x

Zeitpunkte t1

Zeitpunkte t2

Zeitpunkte t3

9

Gruppengeschwindigkeit

Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Wellengruppe fort?

Überlagert man unendlich viele harmonische Wellen findet man:

(hier ohne Beweis) ( falls )

Die Gruppengeschwindigkeit ist für die Informationsübertragung wichtig

10

Gruppengeschwindigkeit

Verwendet man kann man auch schreiben:

Bisherige Beispiele:

c ist unabhängig von der Wellenlänge,

die Gruppengeschwindigkeit ist gleich der Phasengeschwindigkeit,

endlich ausgedehnte Wellenpakete zerfließen nicht

11

Gruppengeschwindigkeit

Für Wasserwellen in tiefem Wasser gilt näherungsweise:

c ist von der Wellenlänge abhängig !

Wellenpakete zerfließen / Dispersion

12

Alternative Methode zur Lösung der Wellengleichung

Produktansatz

Um

zu lösen, mache folgenden Ansatz:

Einsetzen liefert:

!

13

Produktansatz:

14

Für beliebige k ist

Allgemeine Lösung, durch Überlagerung von Lösungen zu unterschiedlichem k:

Noch aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen:

15

V.4.5 Wellen in endlich ausgedehnten Systemen, Randbedingungen am Beispiel der schwingenden Saite

Beispiel: Fest eingespannte Saite

L

Beispiel: Loses Ende

Ring gleitet reibungsfrei

auf Stab

Keine Kraft längs des Stabes Ring horizontal

16

Zusätzlich zu den Anfangsbedingungen treten Randbedingungen hinzu!

“Dirichletsche Randbedingungen”:

Die Wellenfunktion ist auf dem Rand vorgegeben

Beispiel: festes Ende

“von Neumannsche Randbedingungen”

Die Normalableitung ist auf dem Rand vorgegeben

Beispiel: loses Ende

Die gesuchte Lösung der Wellengleichung muß also:

Wellengleichung erfüllen

Anfangsbedingungen erfüllen

Randbedingungen für alle Zeiten erfüllen

17

Grundschwingung n=1

1.Oberschwingung (n=2)

2.Oberschwingung (n=3)

n-1 Knoten

18

Stehende Welle als Überlagerung:

Verwende:

nach rechts

laufende Welle

nach links

laufende Welle

Damit:

Wellenberg wird als Wellental reflektiert

(“Phasensprung ”)

19

Reflexion am festen Ende (allgemein)

Es entsteht eine am Ursprung gespiegelte Welle die nach rechts läuft

Für die Gesamtlösung gilt dann:

Randbedingung:

R=-1, insbesondere |R| = 1 “Totalreflexion”

20

Reflexion am losen Ende

Gleicher Ansatz wie zuvor:

Randbedingung:

liefert R=1 (Tafelrechnung)

Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert

21

Lösung der schwingenden Saite für konkrete Anfangsbedingungen

Bsp.: gezupfte Saite

aL

h

Auslenkung zu t=0:

Anfangsgeschwindigkeit zu t=0:

22

Überlagerung der Eigenschwingungen

n=1..1

n=1..3

n=1..5

n=1..9

n=1..99

Zeitentwicklung Matlab Illustration

23

24

Numerische Lösung der schwingenden SaiteDiskretisieren von

ergibt

sich:

mit ( Tafelrechnung)

Mit:

25

V.4.6 Wellengleichung in mehr als einer Raumdimension

Verallgemeinerung des d’Alembert-Operators:

Wellengleichung:

26

Beispiel: Transversalschwingung einer Membran

Quadratische Membran am Rand eingespannt ergibt wieder diskretes

Spektrum von Eigenschwingungen / Eigenfrequenzen

können durch Chladnysche Klangfiguren sichtbar gemacht werden

27

V.4.7 Typische Wellenphänomene am Beispiel von Wasserwellen --- Huygenssches Prinzip

Allgemeine Theorie der Wasserwellen kompliziert:

nichtstationäre Bewegung von Flüssigkeiten

Beschreibung durch Euler-Gleichung falls Flüssigkeit als

inkompressibel

ohne innere Reibung

angenommen wird

“ideale Flüssigkeit”

Äußere Kraftdichte: Gravitation “Schwerewellen”

Außerdem: Randbedingungen am Rand der Flüssigkeit

Wellengleichung nimmt komplizierte Form an

28

Näherungsweise findet man:

“Tiefes Wasser”

(h Wassertiefe)

“seichtes Wasser”

Kapillarwellen:

Rechnung: siehe z.B. Lehrbuch der Theor. Physik, Walter Weizel

29

Wasserwellen können näherungsweise als 2-dimensional angenommen

werden.

Für harmonische Punktstörungen findet man dann

als Näherungslösung der Wellengleichung für große r.

“Huygenssche Elementarwelle”

30

Huygenssches Prinzip:

“Jeder Punkt einer Wellenfront wirkt als punktförmige Störung,

die Elementarwellen auslöst. Die Einhüllende der Elementarwellen

ergibt die zeitliche Entwicklung der ursprünglichen Wellenfront”

31

Ebene Welle als Überlagerung

von Kreiswellen

Kreiswelle als Überlagerung

von Kreiswellen

Einfache Anwendung des Huygensschen Prinzips

32

A B

Reflexion mit Huygensschem Prinzip

33

Reflexion an ebener Wand

ebene Wand

EinEin AusAus

ebene Welle

α α

Einfallswinkel Ausfallswinkel

34

A B

Brechung mit Huygensschem Prinzip

35

Brechung an Grenzflächen

α

β

Medium 1: c1

Medium 2: c2Brechungsgesetz

Kürzester Weg zwischen P1 und P2

36

Beugung am Spalt

Ausbreitung in den “geometrischen Schatten”

Wichtig für Hindernisse mit Abmessungen

vgl. Festumzüge: was hört man als erstes ?

37

Beugungsmuster bei Streuung am Spalt

Ebene Welle

λ

dα

Beugungsmuster im UnendlichenBeugungsmuster im Unendlichen

α

I2·

0. Ordnung

1. Ordnung

2. Ordnungdα

λ/2d/2

d

λαΔsinαΔ

38

Poissonscher Fleck (1818)

39

V.4.8 Schallwellen

Ausbreitung von Störungen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern

Demo: Klingel unter Vakuumglocke SW 2.12

Unterscheidung nach Frequenzbereichen:

Hörbarer Bereich 16 – 20000 Hz

20 kHz – 10 MHz Ultraschall

10 MHz – Hyperschall

Demo: Tongenerator SW 2.20

Schallwelle ?

40

Woher weiß man, dass Schall sich als Welle verhält ?

Falls Schall Welleneigenschaft besitzt, müssen typische Wellenphänomene beobachtbar sein

z.B.: Beugung, Interferenz,…

Beispiel: Stehende Welle in einem Rohr

geschlossenes

Ende

Lautsprecher

Pulver Gas / 2

Schallbauch Schallknoten

Kundt’sches Rohr

SW 2.10

!

41

Alternatives Experiment: Rubens’sches Flammrohr

Gas gefülltes

Rohr

Löcher

Flammen unterschiedlich hoch nach Einschalten des Lautsprechers

Was schwingt?

Druckschwankungen als Folge einer stehenden Welle

SW 2.11

42

Schallwelle in Luft

FlächeA

dx

p(x) p(x+dx)

v(x) v(x+dx)

Newtonsche Bewegungsgleichung:

reicht noch nicht aus, man braucht noch “Zustandsgleichung” ( p),

vgl. Diskussion Navier-Stokes Gleichung

longitudinale Druckwelle

43

Schall in Festkörpern

Elastische Longitudinalwelle

Elastische Rückstellkräfte Wellen

zt

Unendlicher Stab mitDichte: ρ

Elastizitätsmodul: E

z

ρ

Ev

z

ξ

ρ

E

t

ξ2

2

2

2

Schallgeschwindigkeit

zzt

z

Elastische Transversalwelle

ρ

Gv

z

ξ

ρ

G

t

ξ2

2

2

2

Unendlicher Stab mitDichte: ρ

Torsionsmodul: G

Schallgeschwindigkeit

44

Doppler-Effekt (C. Doppler 1803-1853)

Wie ändert sich die gehörte Frequenz falls

Beobachter oder Quelle bewegt ist

a) Bewegte Quelle

ruhende Quelle bewegte Quelle

?

45

Doppler-Effekt

b) Bewegter Empfänger / Beobachter

ruhende Quelle

Beobachter

Quelle

46

Machscher Kegel (E. Mach 1836 – 1916)

Betrachte nochmal bewegte Quelle:

Ergebnis divergiert für

Es bildet sich eine gemeinsame Wellenfront aus:

Wellenfront mit großer Amplitude (Kopf-,Stoß-,Schockwelle)

starke Verdichtung der Luft “Schallmauer”

47

Machscher Kegel

Was passiert bei ?

M bezeichnet man als Machzahl

48

Überschallknall Cherenkovstrahlung geladener

Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit

Machscher Kegel - Anwendungen