1

Wahrscheinlichkeits-rechnung II

Viel Drumherum

2

Der Plan

Eine ausführliche WiederholungEin Steilkurs in KombinatorikPaketlösungenEin Ausblick

Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden

3

Der Start: Würfeln

Würfeln mit einem „fairen“ Würfel

Problem 1: Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,eine 6 zu würfeln?

Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?

4

Fachsprache

Zufallsexperiment:Einmal würfeln

Ergebnismenge M: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Zufälliges Ereignis: A = {6}

Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6

5

Fachsprache

Zufallsexperiment: Zweimal würfeln

Ergebnismenge M: {(1,1), (1,2), , (6,5), (6,6)}

Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)}

Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36

6

Weitere Bezeichnungen

Gegenereignis zu A:

Anzahl der Elementeeiner Menge X: |X|, z.B.

|A| = 1

|B| = 12

A, z.B. {6} = {1, 2, 3, 4, 5}

5P(A) = 1 - P(A) =

6

7

Pascal

1623 – 1662

Theologe, Philosoph,Mathematiker, Physiker

Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen

8

Pierre de Fermat

1601 – 1665

First Class Mathematiker, ein Superstar

Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es

keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie

Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen

9

Jakob Bernoulli

1654 - 1705

Äusserst vielseitigerMathematiker, Gesetz der großen Zahlen

1713: Ars conjectandi:

„Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit“

10

Pierre Simon Laplace

1749 – 1827

Physiker und Mathematiker

Mechanik, Kosmologie

1812: Théorie analytique des probabilités

11

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

günstig für A | A |P(A) = ,

Gesamtzahl | M |

ein einfaches und plausibles Konzept!

12

Voraussetzungen:

„Faire Würfel“

Man kann schmerzfrei dividieren, also M ist endlich

Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!

13

Laplace-WahrscheinlichkeitenEinfaches KonzeptStrikte Voraussetzungen

Probleme:Wie ermittelt man |M|?Wie ermittelt man |A|?

Da fängt der Ärger an!

14

Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen

Ziel: Bestimmung der Anzahl von

– Anordnungen oder Auswahlen– mit oder ohne Wiederholung– mit oder ohne Reihenfolge

15

Kombinatorische Probleme 1

(P1): 10 LäuferZ = Anzahl der Reihenfolgen

(P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 SZ = Anzahl der

Reihenfolgen, nationale Variante

16

Kombinatorische Probleme 2

(P3): 10 Läufer, olympischZ = Anzahl der Reihenfolgen

(P4): WortproblemZ = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet

17

Kombinatorische Probleme 3

(P5): 6 aus 49Z = Anzahl der

Möglichkeiten

(P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten

Z = Anzahl der Auswahlen

18

Klassifikation

Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name

(P1) ja nein nein Permutation

(P2) ja ja nein Permutation mit W

(P3) ja nein ja Variation

(P4) ja ja ja Variation mit W

(P5) nein nein ja Kombination

(P6) nein ja ja Kombination mit W

19

Vollständige Klassifikation

Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name

(P1) ja nein nein Permutation

(P2) ja ja nein Permutation mit W

(P3) ja nein ja Variation

(P4) ja ja ja Variation mit W

(P5) nein nein ja Kombination

(P6) nein ja ja Kombination mit W

  nein nein nein (Anzahl 1)

  nein ja nein (Anzahl 1)

20

Kombinatorische Probleme 4

(Q1): 10 CentZ = Anzahl der

Darstellungen

(Q2): Eulers Rencontre-Problem

21

Permutationen

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Platz

P10 = 10 ·9 ·8 ·7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1

=10! = 3 628 800

22

Exkurs: Fakultäten

1! =12!=1·2=1!·2 =23!=1·2·3=2!·3 =64!=3! ·4 =245!=4! ·5 =1207!= ?

(n+1)!=n! ·(n+1)

23

Fakultäten:

100! = 93326215443944152681 69923885626670049071 59682643816214685929 63895217599993229915 60894146397615651828 62536979208272237582 51185210916864000000 000000000000000000

24

Fakultäten• 1000! =

• 402387260077093773543702433923003985719374864210714632543799910429938512398629020592044208486969404800479988610197196058631666872994808558901323829669944590997424504087073759918823627727188732519779505950995276120874975462497043601418278094646496291056393887437886487337119181045825783647849977012476632889835955735432513185323958463075557409114262417474349347553428646576611667797396668820291207379143853719588249808126867838374559731746136085379534524221586593201928090878297308431392844403281231558611036976801357304216168747609675871348312025478589320767169132448426236131412508780208000261683151027341827977704784635868170164365024153691398281264810213092761244896359928705114964975419909342221566832572080821333186116811553615836546984046708975602900950537616475847728421889679646244945160765353408198901385442487984959953319101723355556602139450399736280750137837615307127761926849034352625200015888535147331611702103968175921510907788019393178114194545257223865541461062892187960223838971476088506276862967146674697562911234082439208160153780889893964518263243671616762179168909779911903754031274622289988005195444414282012187361745992642956581746628302955570299024324153181617210465832036786906117260158783520751516284225540265170483304226143974286933061690897968482590125458327168226458066526769958652682272807075781391858178889652208164348344825993266043367660176999612831860788386150279465955131156552036093988180612138558600301435694527224206344631797460594682573103790084024432438465657245014402821885252470935190620929023136493273497565513958720559654228749774011413346962715422845862377387538230483865688976461927383814900140767310446640259899490222221765904339901886018566526485061799702356193897017860040811889729918311021171229845901641921068884387121855646124960798722908519296819372388642614839657382291123125024186649353143970137428531926649875337218940694281434118520158014123344828015051399694290153483077644569099073152433278288269864602789864321139083506217095002597389863554277196742822248757586765752344220207573630569498825087968928162753848863396909959826280956121450994871701244516461260379029309120889086942028510640182154399457156805941872748998094254742173582401063677404595741785160829230135358081840096996372524230560855903700624271243416909004153690105933983835777939410970027753472000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

25

Fakultäten

0! = 1

Rainer Roos an Richard Kunz (1957):Warum gilt 0! = 1?

Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.

26

Die Antwort:

n -t

0

0 -t -t

0 0

x -t

0

n! = t e dt

0! = t e dt = e dt = 1

x! = t e dt = (x+1)

27

n=3: Der Integrand

28

Gamma-Funktion

29

Gamma-Funktion

30

James Stirling

1692 – 1770,Schotte,

wichtige Beiträgezur Analysis.

nn

n! 2πne

31

Permutation mit Wiederholung

(5,2,2,1)10

(3,2)5

Läuferbeispiel:

Anzahl = P

Formelherleitung für P

32

Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10

1 a a a b b

2 a a b a b

3 a a b b a

4 a b a a b

5 a b a b a

6 a b b a a

7 b a a a b

8 b a a b a

9 b a b a a

10 b b a a a

33

Herleitung der Formel

a1 a2 a3 b1 b2 a1 a2 a3 b2 b1

a1 a3 a2 b1 b2 a1 a3 a2 b2 b1

a2 a1 a3 b1 b2 a2 a1 a3 b2 b1

a2 a3 a1 b1 b2 a2 a3 a1 b2 b1

a3 a1 a2 b1 b2 a3 a1 a2 b2 b1

a3 a2 a1 b1 b2 a3 a2 a1 b2 b1

34

Herleiten einer Formel

a1 a2 b1 a3 b2 a1 a2 b2 a3 b1

a1 a3 b1 a2 b2 a1 a3 b2 a2 b1

a2 a1 b1 a3 b2 a2 a1 b2 a3 b1

a2 a3 b1 a1 b2 a2 a3 b2 a1 b1

a3 a1 b1 a2 b2 a3 a1 b2 a2 b1

a3 a2 b1 a1 b2 a3 a2 b2 a1 b1

35

Herleiten einer Formel

5

5

5

P = 5! = 120

Identifizieren der a

P 5! = =20

3! 3!

Identifizieren der b

P 5! = =10

3! 2! 3! 2!

36

Analog:

(5,2,2,1)10

10!P 7560

5! 2! 2! 1!

37

Allgemein:

1 2 k(n ,n ,..,n )n

1 2 k

1 2 k

(1,1,1,..,1)n

(n)n

n!P , wobei

n ! n ! n !

n n ..... n = n;

speziell:

n!P n!

1! 1! 1!n!

P = 1n!

38

Variationen, ganz einfach

(P3) Z = 10·9·8

(P4) Z = 26·26·26·26 = 264

39

Variationen, ganz einfach

(3)10

(4) 426

(P3):

10! 10!V =10 (10-1) (10-2) =10 9 8 = =

(10-3)! 7!

(P4):

Vw =26

40

Variationen, allgemein

(k)n

(k) kn

n Objekte, Auswahl von k

n!V =n (n-1) (n-2) .. (n-k+1) =

(n-k)!

Vw =n

41

Lotto: Kombinationen

Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49.

Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k

(ohne Wiederholung)Gesucht: Anzahl der Auswahlen

42

Bezeichnungen

49 = Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Zahlen

6

6 ohne Reihenfolge auszuwählen

n = Anzahl der Möglichkeiten, aus n Dingen

k

k ohne Reihenfolge auszuwählen

43

Berechnung 1:

(6)49V = 49 48 47 46 45 44

Aufheben der Reihenfolge

49 49 48 47 46 45 44 = = 13 983 816

6 6!

44

Berechnung 2:

Codierung von Auszahlungen durchNullen und Einsen mit 49 Fächern:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… Fächer0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Code

4, 6, 10 wurden gezogen, die anderennicht.

45

Berechnung 2:

(6,43)49

49 49! P =

6 6! 43!

46

Insgesamt:

49 49 48 47 46 45 44 = =

6 6!

49! = 13 983 816

6! 43!

47

Allgemein:

n n (n-1) (n-2) .... (n-k+1) n! = =

k k! k! (n-k)!

Binomialkoeffizienten

48

Eigenschaften

49 49 =

6 43

49 48 48 = +

6 5 6

49

Einige Beispiele

10 10 9 8 7 10 9 8 7210

7?

3

8?

6

4 4! 1 2 3 4

11 11 11 11 10 9 11 10 9165

8 11 8 3 3! 1 2 3

50

Pascalsches Dreieck

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5

1

51

Pascalsches Dreieck

0 1

0

1 1 1 1

0 1

2 2 2 1 2 1

0 1 2

3 3 1 3

0 1

3 3 3 1

2 3

4 4 4 4 41 4 6 4 1

0 1 2 3 4

52

Pascalsches Dreieck

48 4848. Zeile:

5 6

4949. Zeile:

6

53

Binomische Formeln:

3 3 0 2 1 1 2 0 3

3 0 2 1 1 2 0 3

3 0 1 2

(a + b) = 1 a b + 3 a b + 3 a b + 1 a b

3 3 3 3 = a b + a b + a b + a b

0 1 2 3

3 3 3 3(1 + x) = x + x + x +

0 1 2 3

3

nn i

i=0

x

n(1 + x) = x

i

54

Pascals Glanztat

nn i

i=0

i

i=

?

0

n(1 + x) = x

i

(1 α

+ x) = x , i

α

55

Problem:

Was bedeutet , ?i

Beispiel:

10 10 (10-1) (10-2) = = 120

3 3!

1 1 11 ( -1) ( -2) 12 2 2 = = 23! 16

3

1 ( 1) (-1-1) (-1-2) = = -1

3

α

3!

α

56

Binomische Reihe

α i

i=0

-1 i

i=0

2 3

α(1 x) = x , |x| < 1

i

Beispiel:

-11(1 x) = = x =

i1+x

1 - x + x x ....

57

Lottoproblem:

6 aus 49 (ohne Zusatzzahl)

A4 = {4 Richtige, 2 Falsche}

P(A4) = ?

Allgemein:Ai = {i Richtige, 6-i Falsche}

P(Ai) = ?

58

Lösung des Lottoproblems

44

4

4

|A |P(A ) =

| M|

49| M| = Anzahl aller Auslosungen =

6

6 43A = |{4 Richtige, 2 Falsche}| =

4 2

6 43

4 2P(A ) =

49

6

59

Lösung des Lottoproblems

ii

i

i

|A |P(A ) =

| M|

49| M| = Anzahl aller Auslosungen =

6

6 43A = |{i Richtige, 6-i Falsche}| =

i 6-i

6 43

i 6-iP(A ) =

49

6

60

Lottoproblem

i P(Ai)

0 0,44

1 0,41

2 0,13

3 0,02

4 0,001

5 0,000 02

6 0,000 000 07

61

Lotto

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

62

Offene Fragen

Mittlere Anzahl der Richtigen?

Verallgemeinerungen?

63

Verallgemeinerung:

Situation:N (49) Objekte, M (6) mit der Eigenschaft E;n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt.

Ai = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}

64

Verallgemeinerung:

P(Ai) : H(N,M,n)-Verteilung

Hypergeometrische Verteilung

Lotto: H(49,6,6)-Verteilung

Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei

Wahlprognosen

65

H(N,M,n)

i

i

6 49-6

i 6-iP(A ) = (Lotto, H(49,6,6))

49

6

M N-M

i n-iP(A ) =

N

n

66

H(50,20,10), H(200,80,40)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1 11 21 31 41

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

1 11 21 31 41

67

H(400,160,80) H(400,80,80)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

1 11 21 31 41 51

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1 11 21 31 41 51

68

Vermutungen und Probleme

Glockenkurve!

Wie berechnet manBinomialkoeffizienten bei großen Zahlen?

69

400 über 200

102952500135414432972975880320401986757210925381077648234849059575923332372651958598336595518976492951564048597506774120

70

2000 über 800 • 67723379455480036725996296611787011514962208

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Das Problem (P6)

6 Fruchtsorten

Auswahl von 4, mit möglicherWiederholung, ohne Reihenfolge

Z = Anzahl der Auswahlen

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Die Lösung von (P6)

Apfel Birne Orange Banane Kiwi Melone

  O O O     O

Code

  O O O     O

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Lösung von (P6)

(5,4)11

(n-1,k)n-1+k

99! 9 8 7 6Z = P = = = = 126

45! 4! 1 2 3 4

Allgemein: n Sorten, k werden ausgewählt:

n-1+k(n-1+k)!Z = P = =

k(n-1)! k!

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Das Problem (Q1)

Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent

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Lösung: Brute Force

Keine Tricks:Man notiert alle Möglichkeiten und zählt sie.Wichtig: Systematik

Buchhalter: ListenKünstler: Bäume

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Buchhalterlösung: Z =11

10 5 5 5 2 2 1 5 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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Künstlerlösung: Baum, Z=11

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Prolog-Lösung

a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A).

a([_],0,1):-!.

a([_],X,0):-X<0,!.

a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X-K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA),

A=AA+AAA.

a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).

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(Q2): Sexparty

n Ehepaare

En =

Anzahl der heterosexuellen Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt

Ein wichtiges Problem!

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(Q2): Sexparty

Wichtig bei Sortierproblemen

Nicht ganz einfach

Problem hätte einen eigenen Vortragverdient

81

(Q2): Sexparty: Lösung

1

2

n+1 n n-1

n

Eulers Lösung:

E = 0

E = 1

E = n (E E )

Formel :

n!E = round( )

e

82

Der weitere Plan

Kennzahlen für VerteilungenGesetz der großen ZahlenNormalverteilung

Bestimmung vonWahrscheinlichkeiten

83

Haben Sie noch Fragen?

84

LiteraturtippsVon Randow: Das Ziegenproblemrororo 2004 7,90 €

Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeitrororo 2002 Vergriffen

Basieux: Die Welt als Rouletterororo 1995 8,50 €

Büchter/Henn Elementare StochastikSpringer 2005 24,95 €

Szekely: ParadoxaHarri Deutsch 2001 24,80 €

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Wenn Sie mehr wissen wollen

www.wickipedia.de: Da werden Sie geholfen.

Geschichte der Mathematik:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/